【2016届走向高考】高三数学一轮(人教B版)基础巩固：第8章 第1节 直线的方程与两条直线的位置关系

第八章 解析几何第38讲 直线的方程及位置关系1. C 解析： 若1－k ＝0，即k ＝1，直线l 1：x ＝3，l 2：y ＝25，显然两直线垂直．若k ≠1，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝k k －1，k 2＝1－k 2k ＋3.由k 1k 2＝－1，得k ＝－3.综上，k ＝1或k ＝－3.2. C 解析： 因为直线x ＋ay ＋b ＝0经过第一、二、四象限，则该直线的斜率－1a <0，可得a >0，该直线在y 轴上的截距－b a >0，可得b <0.3. B 解析： 当直线过原点时，直线方程为y ＝32x .当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y b ＝1.因为在两坐标轴上的截距相等，所以b ＝a ，将点P (2,3)代入得2a ＋3a ＝1，解得a ＝b ＝5，此时直线方程为x ＋y －5＝0.综上，满足过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有2条．4. B 解析： 直线kx －y ＋2k ＝0恒过定点M (－2,0)，直线x ＋ky －2＝0恒过定点N (2,0)，而k ·1＋(－1)·k ＝0，即直线kx －y ＋2k ＝0与直线x ＋ky －2＝0垂直．当P 与N 不重合时，PM ⊥PN ，PM→·PN →＝0，当P 与N 重合时，PM →·PN →＝0，设P (x ，y )，则PM→＝(－2－x ，－y )，PN →＝(2－x ，－y )，于是得x 2＋y 2＝4，显然点P 与M 不重合，因此，点P 的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆(除点M 外)，如图．由图可知，射线AP 绕点A 旋转，且∠OAP ∈[0,90°)．当AP 旋转到与圆O ：x 2＋y 2＝4相切时，∠OAP 最大，tan ∠OAP 最大．因为|OA |＝4，AP ′为切线，P ′为切点，|OP ′|＝2，∠OP ′A ＝90°，所以∠OAP ′＝30°，所以∠OAP 的最大值为30°，(tan ∠OAP )max ＝tan30°＝33.(第4题)5. AC 解析： 由方程组⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝2，即交点P (0,2)．又l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以l 的斜率为－43，所以故直线l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.6. BD 解析： 方法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0，l 2：mx ＋3y －2＝0，可知①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行．②当m ≠0时，l 1∥l 2，只需2m ＝m ＋13≠4－2，解得m ＝2或m ＝－3.综上，m 的值为2或－3.方法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，所以l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0，l 1与l 2不重合，所以l 1∥l 2.综上，m 的值为2或－3.7. －13 解析： 由题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则⎩⎨⎧ a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎨⎧ a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13. 8. 12 解析： 由题意知a ≠2，所以k AB ＝22－a ＝k AC＝2－b 2⇒4＝(2－a )(2－b )⇒ab ＝2(a ＋b )⇒1a ＋1b ＝12.9. 2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0或2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0 解析：因为l 1∥l 2，所以m 2＝8m ≠n －1，所以⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧ m ＝－4，n ≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0，所以|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18，所以直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为4x －8y －2＝0，所以|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22，所以直线l 1的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.综上，直线l 1的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0或2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.10. 【解答】 (1) 直线l 的方程整理得(2x ＋y ＋4)＋m (x －2y －3)＝0，由⎩⎨⎧ 2x ＋y ＝－4，x －2y ＝3，解得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝－2，所以无论m 为何实数，直线l 过定点M (－1，－2)．(2) 过定点M (－1，－2)作一条直线l 1，使直线l 1夹在两坐标轴之间的线段被点M 平分，则直线l 1过点(－2,0)，(0，－4)．设直线l 1的方程为y ＝kx ＋b ，把两点坐标代入得⎩⎨⎧ －2k ＋b ＝0，b ＝－4，解得⎩⎨⎧ k ＝－2，b ＝－4，则直线l 1的方程为y ＝－2x －4，即2x ＋y ＋4＝0.11. 【解答】 (1) 将(a ＋1)x ＋y －5－2a ＝0整理成(x －2)a ＋x ＋y －5＝0，令⎩⎨⎧ x －2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝3，所以定点P 为(2,3)，故不论a 为何值，直线l 必过定点P (2,3)．(2) 由题意知a ＋1≠0，由(a ＋1)x ＋y －5－2a ＝0，得当y ＝0时，x A ＝5＋2a a ＋1，当x ＝0时，y B ＝5＋2a .由⎩⎨⎧ 5＋2a a ＋1>0，5＋2a >0，得a >－1，所以△AOB 的面积S ＝12·x A ·y B＝12·5＋2a a ＋1·(5＋2a )＝12，解得a ＝12，此时A (4,0)，B (0,6)，|AB |＝42＋62＝213，所以△AOB 的周长为4＋6＋213＝10＋213，故当△AOB 的面积为12时，△AOB 的周长为10＋213.12. BC 解析： 因为函数f (x )在x ＝2处的导数存在，所以lim Δx →0 f (2)－f (2＋Δx )2Δx ＝－12lim Δx →0 f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝－12f ′(2)，则B 正确．又因为lim Δx →0 f (2－Δx )－f (2)2Δx ＝－12lim Δx →0 f (2－Δx )－f (2)－Δx＝－12f ′(2)，所以C 正确． 13. 【解答】 (1) 因为a m ＝27，所以数列{a n }的前m 项中含有A 中的元素为1,3,5,7,9，…，27，共有14项，数列{a n }的前m 项中含有B 中的元素为3,9,27，共有3项，排列后为1,3,3,5,7,9,9，…，27,27，所以m ＝16或17.(2) 因为2×50－1＝99,34＝81<99,35＝243>99，所以数列{a n }的前50项中含有B 中的元素为3,9,27,81，共有4项，它们都是正奇数，均属于A ，所以数列{a n }的前50项中含有A 中的元素为1,3,5,7,9，…，27,29，…，79,81,83，…，2×46－1＝91，共有46项，所以S 50＝46×(1＋91)2＋(3＋9＋27＋81)＝2 116＋120＝2 236.第39讲 圆的方程1. A 解析： 方程x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0⇒(x ＋1)2＋(y －2)2＝9，所以圆心为(－1,2)，半径为3.2. D 解析： 设圆C 的圆心坐标为C (a,0)，半径为r ，则圆C 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，由题知⎩⎨⎧(－1－a )2＋12＝r 2，(1－a )2＋32＝r 2，解得a ＝2，r 2＝10，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10.3. B 解析： 若方程x 2＋y 2－x ＋3y ＋a ＝0表示圆，则(－1)2＋32－4a ＝10－4a >0，解得a <52.因为a <3D ⇒/a <52，a <52⇒a <3，所以甲是乙的必要不充分条件．4. D 解析： 设点M 的坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是线段AB 的中点，所以x ＝x 0＋42，y ＝y 0＋32，于是x 0＝2x －4，y 0＝2y －3①.因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，所以点A 的坐标满足圆的方程，即(x 0＋1)2＋y 20＝4②.把①代入②，得(2x －4＋1)2＋(2y －3)2＝4，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，这就是点M 的轨迹方程，它表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32为圆心，半径为1的圆．5. AB 解析： 对于A ，圆心为(k ，k )，一定在直线y ＝x 上，A 正确；对于B ，将(3,0)代入得2k 2－6k ＋5＝0，其中Δ＝－4<0，方程无解，即所有圆C k 均不经过点(3,0)，B 正确；对于C ，将(2,2)代入得k 2－4k ＋2＝0，其中Δ＝16－8＝8>0，故经过点(2,2)的圆C k 有两个，故C 错误；所有圆的半径为2，面积为4π，故D 错误．6. AB 解析： 将点(0,2)代入曲线C ：(x －m )2＋(y －m )2＝(m －1)2可得(－m )2＋(2－m )2＝(m －1)2，整理得m 2－2m ＋3＝0，即(m －1)2＋2＝0，显然此方程无解，即曲线C 一定不过点(0,2)，A 正确；当m >1时，易得曲线C 是圆心为(m ，m )，半径为m －1的圆，此时原点和圆心之间的距离为m 2＋m 2＝2m ，2m －(m －1)＝(2－1)m ＋1>0，故原点在圆外，过原点有两条直线与曲线C 相切，B正确；当m ＝1时，曲线C ：(x －1)2＋(y －1)2＝0，则⎩⎨⎧ x －1＝0，y －1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，则曲线C 表示一个点，C 错误；当m ＝2时，曲线C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1，圆心(2,2)在直线y ＝x 上，则直线y ＝x 被曲线C 截得的弦长即为圆的直径，等于2，D 错误． 7. 2 解析： 圆(x －1)2＋y 2＝2的圆心为(1,0)，半径r ＝2，则圆心(1,0)到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|1－0＋3|12＋(－1)2＝22>2，所以直线与圆相离，则点P 到直线y ＝x ＋3的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径，所以点P 到直线x －y ＋3＝0的最短距离为22－2＝ 2.8. x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0 解析： 圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2①.因为半径为r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20②.由①②可得⎩⎨⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎨⎧D ＝－4，E ＝2.又因为圆心在第二象限，所以－D 2＜0，即D ＞0，－E 2>0，即E <0，则⎩⎨⎧D ＝2，E ＝－4，故圆C 的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.9. x 2＋y 2－4x －2y －20＝0 解析： 方法一：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.由题意知⎩⎨⎧ －D ＋5E ＋F ＋26＝0，－2D －2E ＋F ＋8＝0，5D ＋5E ＋F ＋50＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝－4，E ＝－2，F ＝－20，故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0. 方法二：由题意可求得线段AC 的垂直平分线的方程为x ＝2，线段BC 的垂直平分线的方程为x ＋y －3＝0，则圆心是两垂直平分线的交点(2,1)，半径r ＝(2＋1)2＋(1－5)2＝5，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝25，一般方程为x 2＋y 2－4x －2y －20＝0.10. 【解答】 (1) 由y ＝x 2－2x －3，令y ＝0，解得x ＝－1或x ＝3.令x ＝0，得y ＝－3，所以圆C 过(0，－3)，(3,0)，(－1,0)．设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧ 9－3E ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，1－D ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧ D ＝－2，E ＝2，F ＝－3，所以圆C 的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0. (2) 设M (x ，y )，则A (2x,2y )，将A 的坐标代入圆C 的方程得4x 2＋4y 2－4x＋4y －3＝0，即点M 的轨迹方程为x 2＋y 2－x ＋y －34＝0.11. 【解答】 (1) 令P (x ，y )，由题意知C (1,3)．因为|PC |＝2|PB |，所以(x －1)2＋(y －3)2＝4[(x －4)2＋y 2]，整理得(x －5)2＋(y ＋1)2＝8，故曲线E 的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝8.(2) 由(4－5)2＋(0＋1)2＝2<8，知B (4,0)在曲线E 内部，要使△OBM 的面积是△OBN 的面积的3倍，即|y M |＝3|y N |.当直线l 的斜率为0时，直线l 为y ＝0，此时△OBM ，△OBN 的面积均为0，不满足题设；令直线l 为x ＝ky ＋4，代入曲线E 中，整理得(1＋k 2)y 2＋2(1－k )y －6＝0，Δ＝4(1－k )2＋24(1＋k )2>0，所以y M ＋y N ＝2(k －1)1＋k 2，y M y N ＝－61＋k 2<0，则y M ＝－3y N ，所以y M ＋y N ＝－2y N ＝2(k －1)1＋k 2，得y N ＝1－k 1＋k 2，则y M ＝3(k －1)1＋k 2.又y M y N ＝－3(1－k )2(1＋k 2)2＝－61＋k 2，整理得(k ＋1)2＝0，即k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＝－y ＋4，即x ＋y －4＝0.12. CD 解析： 对于A ，因为z ＝3－2i ，所以z 的虚部为－2，故A 错误；对于B ，设z ＝a ＋b i ，由|z |＝1可得a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1，有好多种情况，例如，a ＝12，b ＝32，此时z ＝12＋32i ，故B 错误；对于C ，若Z 的坐标为(－1,3)，则z ＝－1＋3i ，又z 是关于x 的实系数方程x 2＋px ＋q ＝0的一个根，所以(－1＋3i)2＋p (－1＋3i)＋q ＝－8－p ＋q ＋(3p －6)i ＝0，所以⎩⎨⎧3p －6＝0，－8－p ＋q ＝0，解得⎩⎨⎧p ＝2，q ＝10，p ＋q ＝12，故C 正确；对于D ，设z ＝a ＋b i ，则1≤a 2＋(b －2)2≤2，即1≤a 2＋(b －2)2≤2，所以Z 的集合所构成的图形为环形，如图所示，其面积为π(2－1)＝π，故D 正确．(第12题)13. 【解答】 (1) S n ＝n 2a n ，当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1，两式相减得，a n＝n 2a n －(n －1)2a n －1，a 1＝1≠0，化简得a n a n －1＝n －1n ＋1(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·…·13·1＝2n (n ＋1)(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝1满足上式，所以a n ＝2n (n ＋1)(n ∈N *)． (2) 由(1)得，b n ＝1n ，b n b n ＋1b n ＋2＝1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)，所以T n ＝12×⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2－12×3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×3－13×4＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2－1(n ＋1)(n ＋2)＝14－12(n ＋1)(n ＋2)<14. 第40讲 直线与圆、圆与圆的位置关系1. B 解析： 如图，(x －a )2＋(y －b )2＝1的圆心为(a ，b )，经过原点，可得a 2＋b 2＝1，则圆心(a ，b )在单位圆x 2＋y 2＝1上，原点(0,0)到直线y ＝x ＋2的距离为|OB |＝21＋1＝2，延长BO 交x 2＋y 2＝1于点C ，以C 为圆心，OC 为半径作圆C ，BC 的延长线交圆C 于点D .当圆心(a ，b )在C 处时，点(a ，b )到直线y ＝x ＋2的距离最大，且为|OB |＋1＝2＋1，此时，圆(x －a )2＋(y －b )2＝1上的点D 到直线y ＝x ＋2的距离最大，且为|OB |＋1＋1＝2＋2.(第1题)2. C解析：方法一：由题意得，圆M是过原点，以BC为直径的圆，所以圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，直线l过定点(2,2)，定点在圆上，所以圆与直线的位置关系为相交或相切．方法二：圆M的圆心为(1,1)，半径为2，圆心到直线l的距离为d＝|－k＋1| k2＋1＝k2－2k＋1k2＋1＝1－2kk2＋1.当k＝0时，d＝1<2，所以直线和圆相交．当k<0时，d＝1－2kk2＋1＝1＋21－k＋(－k)≤2(当且仅当k＝－1时，等号成立)，所以直线和圆相交或相切．当k>0时，d＝1－2kk2＋1＝1－21k＋k，则0≤d<1，所以直线和圆相交．3. B解析：由x2＋y2＋4y＝0，得x2＋(y＋2)2＝4，则圆心为C(0，－2)，半径为2，如图，易知O在圆上．因为∠AOB＝45°，所以∠ACB＝90°，得CA⊥CB，则圆心C到直线x－y＋m＝0的距离d＝r sin45°＝2×22＝2，即2＝|2＋m|2，解得m＝0或m＝－4.(第3题)4. A解析：直线y＝2x＋1上任取一点P(x0，y0)作圆C：x2＋y2－4x＋3＝0的切线，设切点为A.圆C：x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，圆心C(2,0)，r＝1，切线长为|PC|2－r2＝|PC|2－1.因为|PC|min＝|2×2＋1|22＋(－1)2＝5，所以切线长的最小值为(5)2－1＝2.5. BD解析：由圆C：(x＋1)2＋y2＝2，得圆心C(－1,0)，半径r＝2，因为圆心C(－1,0)到直线l：x－y＋4＝0的距离d＝|－1－0＋4|12＋(－1)2＝322>r，所以直线l 与圆C 相离，A 不正确，B 正确；|PM |≥|PC |－r ≥d －r ＝22，C 不正确，D 正确．6. BD 解析： 对于A ，圆C 1：x 2＋y 2－3x －3y ＋3＝0，其圆心为C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，r 1＝62，圆C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，其圆心为C 2(1,1)，r 2＝2，直线C 1C 2的方程为y ＝x ，即线段AB 垂直平分线的方程为x －y ＝0，故A 错误；对于B ，因为|r 1－r 2|<|C 1C 2|＝22<|r 1＋r 2|，所以两圆相交，两圆方程作差可得x ＋y －3＝0，即公共弦AB 所在直线的方程为x ＋y －3＝0，故B 正确；对于C ，圆心C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32在公共弦AB 上，则公共弦AB 的长为6，故C 错误；对于D ，因为圆心C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32在公共弦AB 上，所以在过A ，B 两点的所有圆中，面积最小的圆是圆C 1，故D 正确．7. (x ＋1)2＋(y －2)2＝16 解析： 由题知，圆心为C (－1,2)，到直线x ＋3y ＋5＝0的距离为d ＝|－1＋6＋5|10＝10.因为圆心为C (－1,2)，且截直线x ＋3y ＋5＝0所得的弦的长为26，所以r 2＝d 2＋(6)2＝16，所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝16.8. π3 解析： 设直线AP 的斜率为k ，倾斜角为α，方程为y －1＝k (x －3)⇒kx －y ＋1－3k ＝0.当直线AP 是圆x 2＋y 2＝1的切线时，|1－3k |k 2＋1＝1⇒k ＝0或k ＝3，所以0≤k ≤3，即0≤tan α≤3⇒0≤α≤π3，故直线AP 倾斜角的最大值为π3.9. ±6 解析： 联立⎩⎨⎧x ＋y －m ＝0，x 2＋y 2＝4⇒2x 2－2mx ＋m 2－4＝0.设A (x 1，－x 1＋m )，B (x 2，－x 2＋m )，则Δ＝4m 2－8(m 2－4)＝32－4m 2>0，即m 2<8，则x 1x 2＝m 2－42，x 1＋x 2＝m .因为OA →·OB →＝2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝2，所以m 2－4－m 2＋m 2＝2，解得m ＝± 6.10. 【解答】 由题意得，圆心C (1,2)，半径r ＝2.(1) 因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，所以点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k ＝－1k PC ＝1，所以过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0.(2) 因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M 在圆C 外部. 当过点M 的切线斜率不存在时，切线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆C 的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34，所以切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0，切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.11. 【解答】 (1) 由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1，解得4－73<k <4＋73，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2) 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，Δ＝16(k ＋1)2－28(1＋k 2)>0(*)，所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，满足(*)式，所以l 的方程为y ＝x ＋1，则圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.12. B 解析： 由题意，集合B ＝{y |y ＝2x ＋1}＝{y |y >1}，可得∁R B ＝{y |y ≤1}．又由A ＝{－2，－1,0,1,2}，可得A ∩(∁R B )＝{－2，－1,0,1}．13. f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6(答案不唯一) 解析： 由题意，设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，由f (x )的最小值为－2，得A ＝2.若⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π为半个周期长度，则T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π2＝π，即ω＝2πT ＝2.由①，不妨令2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝－π2，解得φ＝－π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，经检验，符合①②条件．14. 【解答】 (1) 在△ABC 中，因为c ＝b cos A ＋a sin B ，由正弦定理得sin C ＝sin B cos A ＋sin A sin B ，又由C ＝π－(A ＋B )，可知sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以sin(A ＋B )＝sin B cos A ＋sin A sin B ，即sin A sin B ＝sin A cos B .因为A ∈(0，π)，可得sin A ≠0，所以sin B ＝cos B ，即tan B ＝1.又因为0<B <π，所以B ＝π4.(2) 由M 为AC 边的中点，可得BM →＝12(BA →＋BC →)，所以BM→2＝14(BA →2＋2BA →·BC →＋BC→2)．又由|BM →|＝22，且B ＝π4，可得c 2＋a 2＋2ac ＝32①.因为b ＝4，所以由余弦定理可得a 2＋c 2－2ac ＝16②.联立①②解得ac ＝42，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝2.第41讲 椭 圆第1课时 椭圆的标准方程与基本性质1. C 解析： 由题意，椭圆C 的焦点位于x 轴上，且c ＝1，e ＝c a ＝12⇒a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，因此其方程是x 24＋y 23＝1.2. B 解析： 设正三角形F 2AB 的边长为m ，不妨设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c,0)．设|BF 1|＝x ，则|AF 1|＝m －x ，由椭圆的定义可知|BF 1|＋|BF 2|＝2a ⇒x ＋m ＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ⇒m －x ＋m ＝2a ，解得m ＝43a ，x ＝23a .在△F 2F 1B 中，由余弦定理可知|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|cos π3，即4c 2＝49a 2＋169a 2－2·2a 3·4a 3·12⇒a 2＝3c 2⇒e ＝c a ＝33.3. B 解析： 由椭圆x 2m ＋y 2m －1＝1(m >1)，可得a 2＝m ，b 2＝m －1，所以c 2＝a 2－b 2＝1，则c ＝1.如图，设△AF 1F 2内切圆的半径为r ，因为S △AF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y A |＝12(|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|)·r ，所以2c ·|y A |＝(2a ＋2c )·r ，则r ＝1m ＋1|y A |.要使△AF 1F 2内切圆的半径最大，则需|y A |最大，因为|y A |≤b ＝m －1，又△AF 1F 2内切圆的半径的最大值为33，即33＝m －1m ＋1，解得m ＝4，所以a ＝2，则椭圆的离心率e ＝c a ＝12.(第3题)4. C 解析： 由椭圆定义可得点P (x ，y )在椭圆x 22＋y 2＝1上，因为点A ，B 关于点D (0，－2)对称，所以P A →·PB →＝(PD →＋DA →)·(PD →＋DB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PD →－12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫PD →＋12AB →＝PD →2－14|AB →|2＝|PD→|2－1，而|PD →|＝x 2＋(y ＋2)2＝2－2y 2＋(y ＋2)2＝－(y －2)2＋10.因为－1≤y ≤1，所以当y ＝1时，|PD →|取得最大值3，所以P A →·PB→的最大值为32－1＝8.5. ACD 解析： 令椭圆的半焦距为c ，则F 1(－c,0)，F 2(c ，0)，由tan ∠BF 1F 2＝15，得b ＝15c ，a ＝4c ，椭圆C ：x 216c 2＋y 215c 2＝1，B (0，15c )．而BQ→＝2QF →2，则点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，15c 3.对于A ，椭圆C 的离心率e ＝c a ＝14，A 正确；对于B ，设K (x 0，y 0)，则y 20＝15c 2－1516x 20，KF →1·KF →2＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－c 2＝116x 20＋14c 2>0，即∠F 1KF 2为锐角，B 不正确；对于C ，直线PF 1的斜率k ＝15c 32c3－(－c )＝155，C 正确；对于D ，直线BF 1的方程为15x －y ＋15c ＝0，点Q到直线BF 1的距离d ＝|2c 3×15－15c3＋15c |(15)2＋(－1)2＝15c3，即点Q 到直线F 1B 与F 1F 2的距离相等，所以PF 1平分∠BF 1F 2，D 正确．6. CD 解析： 对于A ，由椭圆方程知a ＝2，c ＝4－3＝1，所以离心率e ＝c a ＝12，A 错误；对于B ，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，|F 1F 2|＝2c ＝2，所以△PF 1F 2的周长为4＋2＝6，B 错误；对于C ，当P 为椭圆短轴端点时，tan ∠F 1PF 22＝c b ＝33，则tan ∠F 1PF 2＝2tan∠F 1PF 221－tan 2∠F 1PF 22＝2331－13＝3，所以∠F 1PF 2＝60°，即(∠F 1PF 2)max ＝60°，所以∠F 1PF 2<90°，C 正确；对于D ，因为|PF 1|min ＝a －c ＝1，|PF 1|max ＝a ＋c ＝3，所以1≤|PF 1|≤3，D 正确．7. (1,2) 解析： 因为椭圆x 2k －1＋y 23－k＝1的焦点在y 轴上，所以⎩⎨⎧3－k >k －1，3－k >0，k －1>0，解得1<k <2，所以实数k 的取值范围为(1,2)．8. 32 解析： 在椭圆x 24＋y 23＝1中，a ＝2，b ＝3，c ＝1，则|F 1F 2|＝2.(1) 若∠F 2MF 1为直角，则⎩⎨⎧|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，|MF 1|2＋|MF 2|2＝(2c )2＝4，该方程组无解，不符合题意；(2) 若∠MF 1F 2为直角，则⎩⎨⎧|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝4，|MF 2|2－|MF 1|2＝(2c )2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧|MF 1|＝32，|MF 2|＝52，所以S △MF 1F 2＝12|F 1F 2|·|MF 1|＝12×2×32＝32；(3) 若∠MF 2F 1为直角，同理可求得S △MF 1F 2＝32.综上所述，S △MF 2F 1＝32.9.5－12 解析： 如图，不妨设AB 经过右焦点F ，由对称性可得CD 经过另一个焦点，则|AD |＝2c .又由c 2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a ，则|AB |＝2b 2a ，则2b 2a ＝2c ，即b 2＝ac ＝a 2－c 2，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca －1＝0，解得c a ＝－1±52.又离心率e ∈(0,1)，所以离心率为5－12.(第9题)10. (1) 由题意得c ＝1，因为2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，所以4c ＝2a ，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，故所求椭圆的方程为x 24＋y23＝1.(2) 设P 点坐标为(x ，y )，x <0，y >0，因为∠F 2F 1P ＝120°，所以PF 1所在直线的方程为y ＝－3(x ＋1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x ＋1)，x 24＋y 23＝1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－85，y ＝335，所以S△PF 1F 2＝12|F 1F 2|×335＝335.11. 【解答】 (1) 如图，在△ABC 中，A (－1,0)，B (1,0)，|AC |＝22，因为线段AC 上的点M 满足∠MBC ＝∠MCB ，所以|MC |＝|MB |，所以|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MC |＝|AC |＝22>|AB |＝2，根据椭圆的定义，可得点M 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆(不含与x 轴的交点)，其中2a ＝22，2c ＝2，可得a ＝2，c ＝1，则b ＝a 2－c 2＝1，所以Γ的方程为x 22＋y 2＝1(y ≠0)．图(1)图(2)(第11题)(2) 由(1)知椭圆的方程为x 22＋y 2＝1，设过点B (1,0)的直线为x ＝my ＋1.联立方程组⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 2＋2y 2＝2，整理得(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则Δ＝4m 2＋4(m 2＋2)＝8(m 2＋1)>0，y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.因为PB→＝3BQ →，可得(1－x 1，－y 1)＝3(x 2－1，y 2)，所以－y 1＝3y 2，将－y 1＝3y 2代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝m m 2＋2，3y 22＝1m 2＋2，消去y 2可得3m 2(m 2＋2)2＝1m 2＋2，解得m 2＝1，即m ＝±1，所以l 的斜率为1m ，即±1.第2课时 直线与椭圆1. C 解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 24＝1，得(4＋m )x 2＋4mx ＝0，所以x A ＝0，x B ＝－4m4＋m .又|AB |＝1＋k 2|x B －x A |＝2|x B |，所以2|4m 4＋m |＝3 2.因为m >0，所以4m4＋m ＝3，解得m ＝12.2. B 解析： 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知直线l 的方程为y ＝x －1.由AF →2＝λF 2B →，得(1－x 1，－y 1)＝λ(x 2－1，y 2)，则有－y 1＝λy 2①.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x 22＋y 2＝1，消去x ，得3y 2＋2y －1＝0，所以y 1＝13，y 2＝－1，代入①得λ＝13.3. D 解析： 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式作差并化简整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2，而x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝－2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝14，直线l 的方程为y ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x －4y －92＝0. 4. A 解析： 设与已知直线平行且与椭圆相切的直线为x ＋2y ＋b ＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋b ＝0，x 24＋y 23＝1，消去y 得4x 2＋2bx ＋b 2－12＝0，所以Δ＝(2b )2－4×4(b 2－12)＝0⇒b ＝±4，所以椭圆上点P 到直线x ＋2y －9＝0的最短距离为d ＝|－9－(－4)|12＋22＝ 5.5. AC 解析： 由题意知|AF |＝(x 1－4)2＋y 21＝x 21－8x 1＋16＋9－9x 2125＝16x 2125－8x 1＋25＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x 1－52，同理|CF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45x 2－52.因为|x 1|≤5，|x 2|≤5，所以45x 1－5<0，45x 2－5<0.又|AF |＋|CF |＝2|BF |，所以5－45x 1＋5－45x 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫95－0，所以10－45(x 1＋x 2)＝185，所以x 1＋x 2＝8，故A 正确，B 错误．因为x 1＋x 2＝8，所以设线段AC 的中点为D (4，y 0)．又A ，C 在椭圆上，所以x 2125＋y 219＝1①，x 2225＋y 229＝1②.由①－②得x 21－x 2225＝－y 21－y 229，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－9(x 1＋x 2)25(y 1＋y 2)＝－9×825×2y 0＝－3625y 0，即k AC ＝－3625y 0，所以直线DT 的斜率k DT ＝－1k AC ＝25y 036，从而直线DT 的方程为y －y 0＝25y 036(x －4)．令y ＝0，得x ＝6425，即T ⎝ ⎛⎭⎪⎫6425，0，所以直线BT 的斜率k ＝54，故C 正确，D 错误．6. BC 解析： 由题知c ＝2，则椭圆的右焦点为F 1(2，0)．因为点C (－2，1)在椭圆上，且|CF 1|＝(2＋2)2＋12＝3，|CF |＝1，所以2a ＝|CF 1|＋|CF |＝4，解得a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝4－2＝2，所以椭圆G 的标准方程为x 24＋y 22＝1，故A 错误，B 正确．因为点Q 在第一象限，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k (k >0)，则直线l 的方程为y ＝kx .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝kx ，x 2＋2y 2＝4，得(1＋2k 2)x 2－4＝0，易知Δ>0，且x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－41＋2k 2，则|PQ |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝41＋k 21＋2k 2＝3，解得k 2＝72，所以k ＝±142.又k >0，所以直线l 的方程为14x －2y ＝0，故C 正确，D 错误．7. 53 解析： 由已知可得直线的方程为y ＝2x －2，|OF |＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝43，不妨设A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，则S △AOB＝12·|OF |·|y A －y B |＝53.8.4105 解析： 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎨⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，Δ＝80－16t 2>0，即t 2<5，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－8t 52－16(t 2－1)5＝42·5－t 25，当t ＝0时，|AB |max ＝4105.9. 3 解析： 如图，由题可知E (1,0)，|NE |＝1，设M (x 0，y 0)，x 209＋y 28＝1⇒y 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209，－3≤x 0≤3，则|MN |＝|ME |2－|NE |2＝|ME |2－1＝(x 0－1)2＋y 20－1＝x 20－2x 0＋8⎝⎛⎭⎪⎫1－x 209＝x 209－2x 0＋8＝x 20－18x 0＋723＝(x 0－9)2－93，故当x 0＝3时，|MN |min ＝36－93＝ 3.(第9题)10. 【解答】 (1) 设椭圆E 的半焦距为c ，则离心率为c a ＝33，即a ＝3c ，b 2＝a 2－c 2＝2c 2，椭圆E 的方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，把x ＝c 代入椭圆方程得|y |＝23c3，于是得43c 3＝433，解得c ＝1，所以椭圆E 的方程为x 23＋y 22＝1.(2) 由(1)知，F 1(－1,0)，显然直线AF 1不垂直于y 轴，设其方程为x ＝ty －1，由⎩⎨⎧x ＝ty －1，2x 2＋3y 2＝6，消去x 并整理得(2t 2＋3)y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，Δ＝16t 2＋16(2t 2＋3)>0，则y 1＋y 2＝4t2t 2＋3，y 1y 2＝－42t 2＋3，且|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2t 2＋32＋162t 2＋3＝43·t 2＋12t 2＋3.由直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆E 交于A ，B 两点及椭圆的对称性知，点A ，B 关于原点O 对称，则S △AOC ＝12S △ABC ＝67，因此S △AOC ＝12|OF ||y 1－y 2|＝23·t 2＋12t 2＋3＝67，解得t 2＝2，即t ＝±2，所以直线AC 的方程为x －2y ＋1＝0或x ＋2y ＋1＝0.11. 【解答】 (1) 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，k OM ＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－12.因为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在椭圆C 上，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0，整理得y 21－y 22x 21－x 22＝y 1＋y 2x 1＋x 2×y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2，所以k AB ·k OM ＝－b 2a 2，即－12＝－b 2a 2，则a 2＝2b 2.又因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，62在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则1a 2＋32b 2＝1，联立解得a 2＝4，b 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2) 不存在，理由如下：假定C 上存在P ，Q 两点关于l ：y ＝x ＋1对称，设直线PQ 与直线l 的交点为N ，如图，则N 为线段PQ 的中点，连接ON .因为PQ ⊥l ，则k AB ·k PQ ＝－1，即k PQ ＝－1.由(1)可得k ON ·k PQ ＝－12，则k ON ＝12，即直线ON ：y ＝12x .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－1，即N (－2，－1)．因为(－2)24＋(－1)22＝32>1，所以点N (－2，－1)在椭圆C 外，所以假设不成立，故C 上不存在P ，Q 两点关于l 对称．(第11题(2))第42讲 双曲线1. D 解析： 由题意得a 2＋4＝32⇒a 2＝5，所以e ＝35＝355. 2. C 解析： 双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±b 2x ，所以b2＝3，b ＝2 3.3. A 解析： 由题意可知，a ＝2，c ＝4＋12＝4，|PF 1|≥c －a ＝2.若|PF 2|＝5，则||PF 1|－5|＝4，|PF 1|＝9或1(舍去)．若|PF 1|＝9，则|9－|PF 2||＝4，|PF 2|＝5或13.故“|PF 2|＝5”是“|PF 1|＝9”的充分不必要条件．4. A 解析： 由题意得F (c,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，bc a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－bc a .因为M 为线段OB 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，－bc 2a ，又F 为AB 的中点，所以MF ∥OA ，即四边形OAMF为梯形．又O ，A ，F ，M 四点共圆，即四边形OAMF 为圆内接四边形，而圆内接四边形的对角互补，可知四边形OAMF 为等腰梯形，所以|OM |＝|AF |，即⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＝bca ，整理得a 2＝3b 2，所以e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233. 5. CD 解析： 双曲线C ：y 23－x 2＝1的焦点在y 轴上，a ＝3，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝2.对于A ，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝23，而P 点在哪支上并不确定，故A 错误；对于B ，焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±ab x ＝±3x ，故B 错误；对于C ，e ＝c a ＝23＝233，故C 正确；对于D ，设P (x ，y )，则|PO |＝x 2＋y 2＝x 2＋(3x 2＋3)＝3＋4x 2≥3(当x ＝0时取等号)，因为O 为F 1F 2的中点，所以|PF →1＋PF →2|＝|2PO →|＝2|PO →|≥23，故D 正确．6. BD 解析： 如图，连接AF 2，BF 2，MF 2.设|AF 1|＝x ，因为|AB |＝4，a ＝1，所以|AF 2|＝|BF 2|＝|MF 1|＝x ＋2，D 正确．因为M 为线段AB 的中点，所以MF 2⊥AB .又tan ∠BF 1F 2＝33，所以|MF 2|＝c ，|MF 1|＝|AF 2|＝3c ，则|AM |＝2c ＝2，得c ＝2，所以双曲线的离心率为c a ＝2，A 不正确；F 2F →1·F 2M →＝|F 2F →1||F 2M →|cos ∠F 1F 2M ＝|F 2M →|2＝2，F 2A →·F 2M →＝|F 2A →||F 2M →|cos ∠AF 2M ＝|F 2M →|2＝2，F 1F →2·F 1M →＝|F 1F 2→||F 1M →|·cos ∠MF 1F 2＝|F 1M →|2＝6，则B 正确，C 不正确．(第6题)7. 5 解析： 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝2x ，所以b a ＝2，所以e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 5. 8. x 22－y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫答案不唯一，满足x 22－y 2＝λ(λ≠0)即可 解析： 若双曲线C的焦点在x 轴上，则b a ＝22，此时a 2＝2b 2，则双曲线的方程为x 22b 2－y 2b 2＝1，此时双曲线C 的方程可表示为x 22－y 2＝λ(λ>0)；若双曲线C 的焦点在y 轴上，则a b ＝22，此时b 2＝2a 2，则双曲线的方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，此时双曲线C 的方程可表示为x22－y 2＝λ(λ<0)．综上所述，双曲线C 的方程可表示为x 22－y 2＝λ(λ≠0)．9. 5 解析： 不妨设焦点F 1，F 2在x 轴上，两曲线在第一象限的公共点为P ，设C 2的实半轴长为a ，则C 1的长半轴长为3a ，半焦距为c .设|PF 1|＝x (x >y )，|PF 2|＝y (x >y )，则⎩⎨⎧ x ＋y ＝6a ，x －y ＝2a ⇒⎩⎨⎧x ＝4a ，y ＝2a .由题意知P 在以F 1F 2为直径的圆上，所以x 2＋y 2＝4c 2＝20a 2，解得e ＝ 5.10. 【解答】 (1) 由渐近线为y ＝3x 知，b a ＝3①.又焦点到渐近线的距离为3，即(c,0)到直线y ＝3x 的距离|3c |3＋1＝3c 2＝3，所以c ＝2，a 2＋b 2＝4②.联立①②，解得a 2＝1，b 2＝3，则双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2) 因为直线l 与双曲线交于两支，交点分别为P ，Q ，所以直线l 的斜率必存在，且经过点(0,1)，可设直线l ：y ＝kx ＋1，与双曲线联立得(3－k 2)x 2－2kx －4＝0.设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧ Δ>0，x 1＋x 2＝2k 3－k 2，x 1·x 2＝－43－k 2<0，解得－3<k < 3.由OM →＝OP →＋OQ →知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋x 2＝2k 3－k 2，y ＝y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝63－k 2，两式相除得x y ＝k 3，即k ＝3x y ，代入y ＝63－k2得y 2－2y －3x 2＝0.又－3<k <3，所以y ≥2，所以点M 的轨迹方程为y 2－2y －3x 2＝0(y ≥2)．11. 【解答】 (1) 因为双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，则可设双曲线的方程为x 29－y 23＝λ(λ≠0)，将点P (3，2)代入得99－23＝λ，解得λ＝13，所以双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2) 显然直线BQ 的斜率不为零，设直线BQ 的方程为x ＝my ＋1，B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，A (x 1，－y 1)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 23－y 2＝1，x ＝my ＋1，消去x 整理得(m 2－3)y 2＋2my －2＝0，由题意得m 2－3≠0且Δ＝4m 2＋8(m 2－3)>0，即m 2>2且m 2≠3，y 1＋y 2＝－2m m 2－3，y 1y 2＝－2m 2－3，直线AD 的方程为y ＋y 1＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 1)，令y ＝0，得x ＝(x 2－x 1)y 1y 2＋y 1＋x 1＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝(my 1＋1)y 2＋(my 2＋1)y 1y 2＋y 1＝2my 1y 2＋(y 1＋y 2)y 2＋y 1＝2m ·－2m 2－3－2m m 2－3－2m m 2－3＝－6mm 2－3－2mm 2－3＝3，所以直线AD 过定点(3,0)． 第43讲 抛物线 1. B 解析： 点M (m,4)在抛物线C ：y 2＝4x 上，则42＝4m ，解得m ＝4，则M (4,4)．又抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F (1,0)，准线x ＝－1，则直线MF 的方程为4x －3y －4＝0，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－83，则|FN |＝(－1－1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－83－02＝103. 2. C 解析： 如图，圆与抛物线都关于x 轴对称，故所截得的弦AB 与x 轴垂直，圆心为原点，圆的半径为2，所以x 2A ＋y 2A ＝22.因为y A ＝3，x A <0，解得x A ＝－1，故－p 2＝－1，得p ＝2.(第2题)3. A 解析： 由抛物线C ：y 2＝4x 知，焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，过点P 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，如图，由抛物线的定义知|PN |＋|PM |＝|PQ |－1＋|PM |＝|PF |＋|PM |－1，当F ，P ，M 三点共线时，|PM |＋|PN |最小，且为|MF |－1＝(3－1)2＋(4－0)2－1＝25－1.(第3题)4. B 解析： 由题意知，抛物线的焦点(1,0)恰为圆心F ，抛物线的准线l 1：x＝－1，圆的半径为2，可得圆F 与l 1相切．如图，设直线l ：y ＝t 与准线l 1交于点D ，由抛物线的定义知|AF |＝|AD |，又|FB |＝2，所以△F AB 的周长为|F A |＋|AB |＋|FB |＝|AD |＋|AB |＋2＝|DB |＋2.由图知2<|DB |<4，故|DB |＋2∈(4,6)．结合选项知△F AB 的周长可能为5.(第4题)5. ABD 解析： 对于A ，因为|PF |＝5，所以由抛物线的定义得y P ＋1＝5，得y P ＝4，所以x 2P ＝4y P ＝16，且点P 在第一象限，所以点P 的坐标为(4,4)，故A正确；对于B ，直线PF 的方程为y ＝34x ＋1，由y ＝34x ＋1与x 2＝4y 联立得，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14，则由两点间距离公式得|QF |＝54，故B 正确；对于C ，方法一：S △OPQ ＝12|OF ||x P －x Q |＝12×1×5＝52；方法二：由B 得|PQ |＝254，原点O 到直线PF 的距离为d ＝45，所以S △OPQ ＝52，故C 错误；对于D ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由x 2＝4y 得，y ＝x 24，则y ′＝x 2，MA 的切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y －y 1＝x 12x －x 212，由x 21＝4y 1，得y ＝x 12x －y 1，把点M (x 0，－1)代入y ＝x 12x －y 1，得x 0x 1－2y 1＋2＝0，同理x 0x 2－2y 2＋2＝0，即A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点满足方程x 0x －2y ＋2＝0，所以AB 的方程为x 0x －2y ＋2＝0，故D 正确．6. AD 【解答】 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由抛物线的定义可得|MN |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝16，又因为MN 的中点到y 轴的距离是6，所以|x 1＋x 2|＝12，所以x 1＋x 2＝－12，所以p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝－8x ，所以A 正确；准线方程为x ＝2，所以B 不正确；设直线l 的方程为x ＝my －2，联立⎩⎨⎧x ＝my －2，y 2＝－8x ，整理得y 2＋8my －16＝0，Δ＝64m 2＋64>0，则y 1＋y 2＝－8m ，y 1·y 2＝－16，所以x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－8m 2－4＝－12，解得m ＝±1，所以l 的方程为x ＝±y －2，所以C 不正确；S △MON ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12·2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝82＋64＝82，所以D 正确．7. 1 解析： 如图，由抛物线y 2＝4x 可知其焦点为F (1,0)，由抛物线的定义可知|PF |＝x P ＋1，故点P 到点M (0，3)的距离与点P 到y 轴的距离之和为|PM |＋x P ＝|PM |＋|PF |－1≥|MF |－1＝1＋(3)2－1＝1，即点P 到点(0，3)的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为1.(第7题)8. 163 解析： 如图，设AF 的中点为M ，因为∠AFP ＝∠AFQ ，AF 的垂直平分线分别交l 和x 轴于P ，Q 两点，所以△PMF ≌△QMF ，所以|P A |＝|PF |＝|FQ |，M 是PQ 的中点，所以四边形APFQ 是菱形，于是AP ∥FQ .由抛物线的定义可得|P A |＝|AF |，所以△APF 为等边三角形，所以∠P AF ＝∠AFQ ＝60°，直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，可得3x 2－10x ＋3＝0，Δ>0显然成立，所以x 1＋x 2＝103，x 1x 2＝1，故|AB |＝1＋(3)2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(1＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1009－4＝163.(第8题)9. 4 解析： 抛物线的焦点坐标为(1,0)，当直线的斜率不存在时，令x ＝1，得y ＝±2，所以|AB |＝4.当直线的斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －1)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，k ≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Δ＝(2k 2＋4)2－4k 4＝16k 2＋16>0，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2＋4k 2＋2＝4＋4k 2>4，所以|AB |的最小值为4.10. 【解答】 (1) 把M (x 0,4)代入抛物线C 得16＝2px 0，则x 0＝8p .由|MF |＝5，得x 0＋p 2＝8p ＋p 2＝5，所以p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8.(2) 当p ＝8时，x 0＝1，舍去；当p ＝2时，x 0＝4，则M (4,4)且C ：y 2＝4x ，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224，y 2. 方法一：设直线AB 的方程为x ＝my ＋n ，与抛物线C 联立得y 2－4my －4n＝0，Δ＝16m 2＋16n >0，则⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n ，由MA ⊥MB ，得MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－4＋(y 1－4)(y 2－4)＝0.由y 1≠4且y 2≠4，得(y 1＋4)(y 2＋4)＋16＝0，即y 1y 2＋4(y 1＋y 2)＋32＝0，所以－4n ＋16m ＋32＝0，即n ＝4m ＋8，从而直线AB 为x ＝my ＋4m ＋8＝m (y ＋4)＋8，即直线AB 过定点Q (8，－4)．又k MQ ＝－2，当|MN |最大时，AB ⊥MQ ，所以m ＝2，直线AB 的方程为x －2y －16＝0.方法二：k AB ＝y 1－y 2y 214－y 224＝4y 1＋y 2.由MA ⊥MB ，得MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214－4⎝ ⎛⎭⎪⎫y 224－4＋(y 1－4)(y 2－4)＝0.由y 1≠4且y 2≠4，得(y 1＋4)(y 2＋4)＋16＝0，即y 1y 2＋4(y 1＋y 2)＋32＝0①.直线AB 的方程为y －y 1＝4y 1＋y 2⎝⎛⎭⎪⎫x －y 214，整理得4x ＋y 1y 2＝y (y 1＋y 2)，将①代入得4x －32＝(y 1＋y 2)(y ＋4)，即直线AB 过定点Q (8，－4)．又k MQ ＝－2，当|MN |最大时，AB ⊥MQ ，所以直线AB 的方程为y ＋4＝12(x －8)，即x －2y －16＝0.11. 【解答】 (1) 当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝0，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.当k ＝0时，直线y ＝1符合题意；当k ≠0时，令Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16－16k ＝0，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.综上，直线l 的方程为x ＝0，y ＝1或x －y ＋1＝0.(2) 方法一：设Q (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨令x 1<x 2，因为直线l与抛物线C 有两个交点，所以⎩⎨⎧k ≠0，Δ＝－16k ＋16>0，所以k <1，且k ≠0，x 1＋x 2＝4－2k k 2，x 1x 2＝1k 2.由|AP ||PB |＝|AQ ||QB |，得x 1x 2＝x －x 1x 2－x ，所以x ＝2x 1x 2x 1＋x 2＝12－k ，所以y ＝k 2－k ＋1＝22－k ，所以y ＝2x .因为k <1，且k ≠0，所以0<x <1，且x ≠12，所以点Q 的轨迹方程为y ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <1且x ≠12. 方法二：设Q (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨令x 1<x 2，因为直线l 与抛物线C 有两个交点，所以⎩⎨⎧ k ≠0，Δ＝－16k ＋16>0，所以k <1，且k ≠0，x 1＋x 2＝4－2k k 2，x 1x 2＝1k 2.因为点Q 在线段AB 上，设|AP ||PB |＝|AQ ||QB |＝λ，则P A →＝λPB→，AQ →＝λQB →，所以⎩⎨⎧ x 1＝λx 2，x －x 1＝λ(x 2－x )，所以x ＝2x 1x 2x 1＋x 2＝12－k ，从而y ＝k 2－k ＋1＝22－k ，所以y ＝2x .因为k <1，且k ≠0，所以0<x <1，且x ≠12，所以点Q 的轨迹方程为y ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <1且x ≠12. 第44讲 圆锥曲线的综合问题第1课时 圆锥曲线中的求值与证明问题1. 【解答】 (1) 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝12，8a 2－1b 2＝1，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝1，所以双曲线C 的标准方程是x 24－y 2＝1.(2) 假定存在直线AB ，使得|AM |·|BM |＝10成立，显然AB 不垂直于y 轴，否则|AM |·|BM |＝5.设直线AB 的方程为x ＝my ＋3，由⎩⎨⎧x ＝my ＋3，x 2－4y 2＝4，消去x 并整理得(m 2－4)y 2＋6my ＋5＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由题得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－4≠0，Δ＝36m 2－20(m 2－4)＝16(m 2＋5)>0，y 1＋y 2＝－6m m 2－4，y 1y 2＝5m 2－4>0，解得m 2>4，即m <－2或m >2，因此，|AM |·|BM |＝1＋m 2|y 1－0|1＋m 2·|y 2－0|＝(1＋m 2)|y 1y 2|＝5(1＋m 2)m 2－4＝10，解得m ＝±3，所以存在直线AB ，使得|AM |·|BM |＝10成立，此时，直线AB 的方程为x －3y －3＝0或x ＋3y －3＝0.2. 【解答】 (1) 由长轴的两个端点分别为A (－2,0)，B (2,0)，可得a ＝2，由离心率为32，可得c a ＝32，所以c ＝3.又a 2＝b 2＋c 2，解得b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2) 由题可知l 的斜率存在，且斜率不为零，故设l 的方程为x ＝my ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，x 24＋y 2＝1，得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，Δ＝4m 2＋12(m 2＋4)＝16m 2＋48>0，则y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4，所以2my 1y 2＝3(y 1＋y 2)．因为k AM ＝y 1x 1＋2，直线AM 的方程为y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，6y 1x 1＋2，又k NB ＝y 2－0x 2－2＝y 2x 2－2，k BQ ＝6y 1x 1＋2－04－2＝6y 1x 1＋22＝3y 1x 1＋2，所以k NB －k BQ ＝y 2x 2－2－3y 1x 1＋2＝y 2(x 1＋2)－3y 1(x 2－2)(x 2－2)(x 1＋2)＝y 2(my 1＋3)－3y 1(my 2－1)(x 2－2)(x 1＋2)＝－2my 1y 2＋3(y 1＋y 2)(x 2－2)(x 1＋2)＝0，即k NB ＝k BQ ，所以N ，B ，Q 三点共线．3. 【解答】 (1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2c －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2，故椭圆C 的。

第八章 第七节一、选择题1．(文)(2014·云南部分名校联考)P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上的点，F 1，F 2是其焦点，且PF 1→·PF 2→＝0，若△F 1PF 2的面积是9，a ＋b ＝7，则双曲线的离心率为( )A.74 B.72C.52D ．54[答案] D[解析] 由PF 1→·PF 2→＝0得∠F 1PF 2＝90°，在△F 1PF 2中有|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1||PF 2|＝4c 2.由双曲线定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ，且|PF 1||PF 2|＝18，代入得b ＝3，∴a ＝4，c ＝5，则离心率为54.(理)(2014·湖北荆门调研)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，2)D ．(2，＋∞)[答案] D[解析] 过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线y ＝－b a (x －c )，与y ＝ba x 联立，解得M (c 2，bc 2a )．由点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，得(c 2)2＋(bc2a)2>c 2， ∴1＋b 2a2>4，∴e ＝1＋b 2a2>2. 2．(2014·北京石景山统一测试)已知动点P (x ，y )在椭圆C ：x 225＋y 216＝1上，F 为椭圆C 的右焦点，若点M 满足|MF →|＝1且MP →·MF →＝0，则|PM →|的最小值为( )A. 3 B ．3 C.125 D ．1[答案] A[解析] 在椭圆C ：x 225＋y 216＝1中，a ＝5，b ＝4，c ＝3，M 在以F 为圆心，1为半径的圆上，PM 为圆的切线，所以PF 最小时，切线长最小．设P (x 0，y 0)，则|PM |2＝|PF |2－1＝(x 0－3)2＋y 20－1＝(x 0－3)2＋16－16x 2025－1＝925x 20－6x 0＋24＝925(x 0－253)2－1， ∵－5≤x 0≤5，∴当x 0＝5时，|PM |2取到最小值3， ∴|PM |min ＝ 3..3．(文)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则|AF ||BF |的值为( )A ．5B ．4C ．3D ．2[答案] C[解析] 由题意设直线l 的方程为y ＝3(x －p 2)，即x ＝y 3＋p2，代入抛物线方程y 2＝2px中，整理得3y 2－2py －3p 2＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则y A ＝3p ，y B ＝－33p ，所以|AF ||BF |＝|y Ay B|＝3. (理)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点M (1，m )(m ＞0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值是( )A.125 B ．19C.15 D ．13[答案] B[解析] ∵M (1，m )到焦点距离为5，∴M 到准线距离为5， 又x M ＝1，∴p2＝4，∴p ＝8，∴y 2＝16x ，当x ＝1时，y ＝±4，∵m >0，∴m ＝4，即M (1,4)， 双曲线左顶点A (－a ，0)，∴k MA ＝41＋a，又双曲线的一条渐近线方程为y ＝1ax ， 由题意知41＋a ＝1a，∴a ＝19.4．(2014·辽宁省协作校三模)抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且∠AFB ＝23π，弦AB 中点M 在准线l 上的射影为M ′，则|MM ′||AB |的最大值为( ) A.433B ．33C.233D ． 3[答案]B[解析] 如图，由抛物线定义及条件知，|MM ′|＝12(AA ′＋BB ′)＝12(|AF |＋|BF |)．∴(|MM ′||AB |)2＝(|AF |＋|BF |2)2|AB |2＝14(|AF |2＋|BF |2＋2|AF |·|BF |)|AF |2＋|BF |2＋|AF |·|BF |＝14(1＋|AF |·|BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF |·|BF |) ≤14(1＋|AF ||BF |3|AF |·|BF |)＝13， ∴|MM ′|AB |≤33，等号成立时，|AF |＝|BF |. 5．(文)(2013·唐山一中、湖南师大附中月考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 22－y 22＝1的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B ．x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1 D ．x 220＋y 25＝1[答案] D[解析] 双曲线x 22－y 22＝1的渐近线方程为y ＝±x ，由e ＝32可得a ＝2b ， ∴椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1，而渐近线y ＝±x 与椭圆的四个交点为顶点的四边形为正方形，设在第一象限的小正方形边长为m ，则m 2＝4⇒m ＝2，从而点(2,2)在椭圆上，即：224b 2＋22b 2＝1⇒b 2＝5，于是a 2＝20，椭圆方程为x 220＋y 25＝1，应选D.(理)(2015·浙江桐乡四校联考)点P 是双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与圆C 2：x 2＋y 2＝a 2＋b 2的一个交点，且2∠PF 1F 2＝∠PF 2F 1，其中F 1、F 2分别为双曲线C 1的左右焦点，则双曲线C 1的离心率为( )A.3＋1 B ．3＋12C.5＋12D ．5－1[答案] A[解析] ∵a 2＋b 2＝c 2，∴⊙C 2以F 1F 2为直径， ∴PF 1⊥PF 2，∵∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，∴∠PF 1F 2＝30°， ∴|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c ，由双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴3c －c ＝2a ， ∴e ＝ca＝3＋1.6．(2014·广东汕头一模)已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有( )A ．3个B ．4个C ．6个D ．8个[答案] C[解析] 当∠PF 1F 2为直角时，根据椭圆的对称性知，这样的点P 有2个；同理，当∠PF 2F 1为直角时，这样的点P 有2个；当P 点为椭圆的短轴端点时，∠F 1PF 2最大，且为直角，此时这样的点P 有2个．故符合要求的点P 有6个．二、填空题7．(文)(2013·唐山一中月考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的右焦点F ，若过F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有1个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是________．[答案] [2，＋∞)[解析] 由条件知ba ≥tan60°＝3，∴c 2－a 2a 2≥3，∴e ≥2.(理)已知过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是________．[答案] (1，2)[解析] 由条件知，渐近线的倾斜角小于45°，即b a <1，∴c 2－a 2a 2<1，∴c 2a 2<2，即e 2<2，∵e>1，∴1<e< 2.8．已知以F 1(－2,0)、F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为________．[答案] 27[解析] 根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1(b >0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程得，4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个公共点， ∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)(－b 4＋12b 2)＝0， 即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3， 长轴长为2b 2＋4＝27.9．(2014·山东文)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|F A |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．[答案] y ＝±x[解析] 抛物线x 2＝2py 的准线方程为y ＝－p 2，与双曲线的方程联立得x 2＝a 2(1＋p 24b2)，根据已知得a 2(1＋p 24b 2)＝c 2①.由|AF |＝c ，得p 24＋a 2＝c 2 ②.由①②可得a 2＝b 2，即a ＝b ，所以所求双曲线的渐近线方程是y ＝±x .三、解答题10．(文)(2014·唐山一模)P 为圆A ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的动点，点B (1,0)．线段PB 的垂直平分线与半径P A 相交于点M ，记点M 的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)当点P 在第一象限，且cos ∠BAP ＝223时，求点M 的坐标．[解析] (1)圆A 的圆心为A (－1,0)，半径等于2 2. 由已知|MB |＝|MP |，于是|MA |＋|MB |＝|MA |＋|MP |＝22，故曲线Γ是以A ，B 为焦点，以22为长轴长的椭圆，a ＝2，c ＝1，b ＝1， 曲线Γ的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由cos ∠BAP ＝223，|AP |＝22，得P (53，223)．于是直线AP 方程为y ＝24(x ＋1)． 由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1y ＝24(x ＋1)，解得5x 2＋2x －7＝0，x 1＝1，x 2＝－75.由于点M 在线段AP 上，所以点M 坐标为(1，22)． (理)(2013·唐山一中月考)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)由已知条件，知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程，得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得(12＋k 2)x 2＋22kx ＋1＝0.①由直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ， 得Δ＝8k 2－4(12＋k 2)＝4k 2－2＞0，解得k <－22或k >22，即k 的取值范围为(－∞，－22)∪(22，＋∞)． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由方程①，知x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k 2.③ 由A (2，0)，B (0,1)，得AB →＝(－2，1)．所以OP →＋OQ →与AB →共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)， 将②③代入，解得k ＝22. 由(1)知k ＜－22或k ＞22， 故不存在符合题意的常数k .一、解答题11．(文)(2014·湖南岳阳一模)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P (－2，1)在椭圆上，线段PF 2与y 轴的交点M 满足PM →＋F 2M →＝0.(1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上任一动点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．[解析] (1)∵点P (－2，1)在椭圆上， ∴2a 2＋1b2＝1.① 又∵PM →＋F 2M →＝0，M 在y 轴上， ∴M 为PF 2的中点， ∴－2＋c ＝0，c ＝ 2. ∴a 2－b 2＝2，②联立①②，解得b 2＝2(b 2＝－1舍去)， ∴a 2＝4.故所求椭圆C 的方程是x 24＋y 22＝1.(2)∵点N (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为N 1(x 1，y 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y 0－y 1x 0－x 1×2＝－1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x12.解得⎩⎨⎧x 1＝4y 0－3x5，y 1＝3y 0＋4x5.∴3x 1－4y 1＝－5x 0.∵点N (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 22＝1上，∴－2≤x 0≤2， ∴－10≤－5x 0≤10，即3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．(理)(2014·中原名校联考)已知A (1,0)，P 为圆F ：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点，线段AP 的垂直平分线交半径FP 于点Q ，当点P 在圆上运动时．(1)求点Q 的轨迹方程；(2)设点D (0,1)，是否存在不平行于x 轴的直线l 与点Q 的轨迹交于不同的两点M ，N ，使(DM →＋DN →)·MN →＝0，若存在，求出直线l 斜率的取值范围，若不存在，请说明理由．[解析] (1)依题意知：|QF |＋|QA |＝|PF |＝4>|F A |＝2，所以点Q 的轨迹是以F ，A 为焦点的椭圆，∴所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)∵条件(DM →＋DN →)·MN →＝0等价于|DM →|＝|DN →|， ∴若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在， 否则点D (0,1)在x 轴上，矛盾． ∴可设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0， 由Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0得4k 2＋3＞m 2. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为Q (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m 3＋4k 2. 又∵|DM →|＝|DN →|，∴y 0－1x 0＝－1k ，即3m3＋4k 2－1－4km 3＋4k 2＝－1k，解得：m ＝－3－4k 2.由4k 2＋3＞m 2得4k 2＋3＞(3＋4k 2)2， 即4k 2＜－2，这是不可能的． 故满足条件的直线不存在．12．(文)(2013·珠海模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设点F (12，0)，直线l ：x ＝－12，点P在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，RQ ⊥FP ，PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过A (1,0)，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长|TS |是否为定值？请说明理由．[解析] (1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线． ∵|PQ |是点Q 到直线l 的距离． 点Q 在线段FP 的垂直平分线上， ∴|PQ |＝|QF |.故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为y 2＝2x (x >0)．(2)弦长|TS |为定值．理由如下：取曲线C 上点M (x 0，y 0)，M 到y 轴的距离为d ＝|x 0|＝x 0， 圆的半径r ＝|MA |＝(x 0－1)2＋y 20， 则|TS |＝2r 2－d 2＝2y 20－2x 0＋1， 因为点M 在曲线C 上，所以x 0＝y 202，所以|TS |＝2y 20－y 20＋1＝2，是定值．(理)(2013·山西大学附中月考)已知抛物线y 2＝4x ，过点M (0,2)的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且直线l 与x 轴交于点C .(1)求证：|MA |，|MC |，|MB |成等比数列；(2)设MA →＝αAC →，AB →＝βBC →，试问α＋β是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．[解析] (1)证明：设直线l 的方程为y ＝kx ＋2(k ≠0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝4x得k 2x 2＋(4k －4)x ＋4＝0.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (－2k，0)，则x 1＋x 2＝－4k －4k 2，x 1·x 2＝4k2.②∴|MA |·|MB |＝1＋k 2|x 1－0|·1＋k 2|x 2－0|＝4(1＋k 2)k 2，而|MC |2＝(1＋k 2|－2k －0|)2＝4(1＋k 2)k 2，∴|MC |2＝|MA |·|MB |≠0， 即|MA |，|MC |，|MB |成等比数列． (2)由MA →＝αAC →，MB →＝βBC →得(x 1，y 1－2)＝α(－x 1－2k ，－y 1)，(x 2，y 2－2)＝β(－x 2－2k ，－y 2)，即得α＝－kx 1kx 1＋2，β＝－kx 2kx 2＋2，则α＋β＝－2k 2x 1x 2－2k (x 1＋x 2)k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4.将②代入得α＋β＝－1，故α＋β为定值，且定值为－1.13．(文)(2013·东北三校联考)已知点E (m,0)为抛物线y 2＝4x 内一个定点，过E 斜率分别为k 1、k 2的两条直线交抛物线于点A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是AB 、CD 的中点．(1)若m ＝1，k 1k 2＝－1，求三角形EMN 面积的最小值； (2)若k 1＋k 2＝1，求证：直线MN 过定点．[解析] (1)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点， 设AB 方程为y ＝k 1(x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －1)，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4.AB 中点M (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴M (2k 21＋1，2k 1)；同理，点N (2k 21＋1，－2k 1)． ∵k 1k 2＝－1，∴AB ⊥CD ， ∴S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝12(2k 21)2＋(2k 1)2·(2k 21)2＋(－2k 1)2＝2k 21＋1k 21＋2≥22＋2＝4， 当且仅当k 21＝1k 21，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取最小值4.(2)设AB 方程为y ＝k 1(x －m )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －m )，y 2＝4x ，得k 1y 2－4y －4k 1m ＝0，y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4m ，AB 中点M (x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴M (2k 21＋m ，2k 1)；同理，点N (2k 22＋m ，2k 2)．∵k 1＋k 2＝1，∴k MN ＝y M －y N x M －x N ＝k 1k 2k 1＋k 2＝k 1k 2，∴l MN ：y －2k 1＝k 1k 2[x －(2k 21＋m )]，即y ＝k 1k 2(x －m )＋2，∴直线MN 恒过定点(m,2)．(理)(2015·洛阳市期中)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．[解析] (1)∵左焦点(－c,0)到点P (2,1)的距离为10，∴(2＋c )2＋1＝10，解得c ＝1. 又e ＝c a ＝12，解得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴所求椭圆C 的方程为：x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，化为3＋4k 2>m 2. ∴x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2 ＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.∵以AB 为直径的圆过椭圆右顶点D (2,0)，k AD ·k BD ＝－1， ∴y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0， ∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0.化为7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k7.且满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝－2k 时，l ：y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾； 当m ＝－2k 7时，l ：y ＝k (x －27)，直线过定点(27，0)．综上可知，直线l 过定点(27，0)．14．(文)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，坐标原点到直线AB 的距离为32，其中A (0，－b )，B (a,0)．(1)求双曲线的标准方程；(2)设F 是双曲线的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线的右支交于不同的两点P 、Q ，点M 为线段PQ 的中点．若点M 在直线x ＝－2上的射影为N ，满足PN →·QN →＝0，且|PQ →|＝10，求直线l 的方程．[解析] (1)依题意有⎩⎨⎧ca＝2，ab a 2＋b2＝32，a 2＋b 2＝c 2.解得a ＝1，b ＝3，c ＝2.所以，所求双曲线的方程为x 2－y 23＝1.(2)当直线l ⊥x 轴时，|PQ →|＝6，不合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1(x >0)，y ＝k (x －2)，消去y 得， (3－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－3＝0.①因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以3－k 2≠0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 1、x 2是方程①的两个正根，于是有⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k 2k 2－3>0，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3>0，Δ＝(4k 2)2－4(3－k 2)(－4k 2－3)>0，所以k 2>3.②因为PN →·QN →＝0，则PN ⊥QN ，又M 为PQ 的中点，|PQ →|＝10，所以|PM |＝|MN |＝|MQ |＝12|PQ |＝5.又|MN |＝x 0＋2＝5，∴x 0＝3，而x 0＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3＝3，∴k 2＝9，解得k ＝±3.∵k ＝±3满足②式，∴k ＝±3符合题意． 所以直线l 的方程为y ＝±3(x －2)． 即3x －y －6＝0或3x ＋y －6＝0.(理)(2014·天津河东区二模)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足OA →·OB →<6(其中O 为原点)，求k 的取值范围．[解析] (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2＋82kx ＋4＝0.由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得， Δ1＝128k 2－16(1＋4k 2)＝16(4k 2－1)>0， 即k 2>14.①将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点得，⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ2＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0.② 即k 2≠13且k 2<1.设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A ·x B ＝－91－3k 2， 由OA →·OB →<6得x A x B ＋y A y B <6，x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1.于是3k 2＋73k 2－1<6，即15k 2－133k 2－1>0，解此不等式得，k 2>1315或k 2<13.③ 由①、②、③得，14<k 2<13或1315<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－1315)∪(－33，－12)∪(12，33)∪(1315，1)．。

§8.1直线的方程考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)．知识梳理1．直线的方向向量一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l.2．直线的倾斜角(1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.3．直线的斜率(1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tanθ为直线l的斜率；当θ＝90°时，直线l的斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y2－y1 x2－x1.4．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1截距式xa＋yb＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个方向向量a＝(－B，A)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．(×)(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tanα.(×)(4)直线y＝kx－2恒过定点(0，－2)．(√)教材改编题1．已知点A(2,0)，B(3，3)，则直线AB的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°答案B解析由题意得直线AB的斜率k＝3－03－2＝3，设直线AB的倾斜角为α，则tanα＝3，∵0°≤α<180°，∴α＝60°.2．已知直线l过点(1,1)，且倾斜角为90°，则直线l的方程为() A．x＋y＝1B．x－y＝1C．y＝1D．x＝1答案D解析因为直线l的倾斜角为90°，所以该直线无斜率，与x 轴垂直，又因为直线l 过点(1,1)，所以直线l 的方程为x ＝1.3．过点P (2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________________．答案3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5.所以直线方程为x ＋y －5＝0.题型一直线的倾斜角与斜率例1(1)若直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是()A ．[－3，1]B ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) C.－33，1－∞，－33∪[1，＋∞)答案B解析如图，当直线l 过点B 时，设直线l 的斜率为k 1，则k 1＝3－00－1＝－3；当直线l 过点A 时，设直线l 的斜率为k 2，则k 2＝1－02－1＝1，所以要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．(2)直线2x cos α－y －3＝0∈π6，()A.π6，π3B.π4，π3C.π4，π2D.π4，2π3答案B解析直线2x cosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.思维升华直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分跟踪训练1(1)(2023·温州模拟)直线x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)的倾斜角的最小值是________．答案3π4解析直线可化为y＝－1m2＋1x－m2m2＋1.∵m2≥0，∴m2＋1≥1，则0<1m2＋1≤1，∴－1≤－1m2＋1<0.则所求倾斜角的最小值是3π4 .(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，________.答案13－3解析如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tanθ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，故k OA ＝tan(θ－45°)＝tan θ－tan 45°1＋tan θtan 45°＝2－11＋2＝13，k OC ＝tan(θ＋45°)＝tan θ＋tan 45°1－tan θtan 45°＝2＋11－2＝－3.题型二求直线的方程例2求符合下列条件的直线方程：(1)直线过点A (－1，－3)，且斜率为－14；(2)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍；(3)直线过点(5,10)，且原点到该直线的距离为5.解(1)∵所求直线过点A (－1，－3)，且斜率为－14，∴y ＋3＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋13＝0.(2)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y ＝kx ，又直线过点(2,1)，∴1＝2k ，解得k ＝12，∴直线方程为y ＝12x ，即x －2y ＝0；当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为x a ＋yb ＝1，＋1b ＝1，2b ，＝4，＝2，∴直线方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0；综上，所求直线方程为x －2y ＝0或x ＋2y －4＝0.(3)当直线的斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，满足题意；当直线的斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋10－5k ＝0.∴原点到直线的距离d ＝|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34，∴所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.思维升华求直线方程的两种方法(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．跟踪训练2(1)在△ABC中，已知点A(5，－2)，B(7，3)，且AC边的中点M在y轴上，BC 边的中点N在x轴上，则MN所在直线的方程为()A．5x－2y－5＝0B．2x－5y－5＝0C．5x－2y＋5＝0D．2x－5y＋5＝0答案A解析设C(x，y)，M(0，m)，N(n，0)，因为A(5，－2)，B(7，3)，0，mn，0，解得x＝－5，y＝－3，m＝－52，n＝1，即C(－5，－3)，N(1,0)，所以MN所在直线的方程为y＋5252＝x1，即5x－2y－5＝0.(2)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为() A．y－3＝－32(x＋4)B．y＋3＝32(x－4)C．y－3＝32(x＋4)D．y＋3＝－32(x－4)答案C解析方法一因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，所以直线l 的斜率k ＝32，故直线l 的方程为y －3＝32(x ＋4)．方法二设P (x ，y )是直线l 上的任意一点(不同于A )，则AP →＝(x ＋4，y －3)，因为直线l 的一个方向向量为n ＝(2,3)，所以3(x ＋4)－2(y －3)＝0，故直线l 的方程为y －3＝32(x ＋4)．题型三直线方程的综合应用例3已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点，当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程．解方法一设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)，则－1k ，B (0,1－2k )，S △AOB ＝12(1－2k＝124＋(－4k )≥12×(4＋4)＝4，当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.方法二设直线l ：x a ＋yb＝1，且a >0，b >0，因为直线l 过点M (2,1)，所以2a ＋1b ＝1，则1＝2a ＋1b≥22ab，故ab ≥8，故S △AOB 的最小值为12×ab ＝12×8＝4，当且仅当2a ＝1b ＝12时取等号，此时a ＝4，b ＝2，故直线l 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.延伸探究1．在本例条件下，当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程．解由本例方法二知，2a ＋1b＝1，a >0，b >0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b ＝3＋a b ＋2ba≥3＋22，当且仅当a ＝2＋2，b ＝1＋2时，等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x ＋2y ＝2＋ 2.2．本例中，当|MA |·|MB |取得最小值时，求直线l 的方程．解方法一由本例方法一知－1k，B (0,1－2k )(k ＜0)．所以|MA |·|MB |＝1k2＋1·4＋4k 2＝2×1＋k 2|k |＝2(－k )＋1(－k )≥4.当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时取等号．此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法二由本例方法二知A (a ,0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0，2a ＋1b＝1.所以|MA |·|MB |＝|MA →|·|MB →|＝－MA →·MB→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5＝(2a ＋b 5＝4，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.思维升华直线方程综合问题的两大类型及解法(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x ，y 的关系，将问题转化为关于x (或y )的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．跟踪训练3(1)直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋3－a ＝0(a ∈R )，直线l 过定点________，若直线l 不经过第三象限，则实数a 的取值范围是________．答案(1，－4)[3，＋∞)解析直线l ：(a ＋1)x ＋y ＋3－a ＝0可化为a (x －1)＋x ＋y ＋3＝0，－1＝0，＋y ＋3＝0，＝1，＝－4，∴直线l 过定点(1，－4)，∵直线l 可化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －3，又直线l 不经过第三象限，(a ＋1)<0，－3≥0，解得a ≥3.(2)已知直线l 过点M (1,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为坐标原点．当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，则直线l 的方程为________．答案x ＋y －2＝0解析设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则A (a ,0)，B (0，b )，且1a ＋1b＝1，则a ＋b ＝ab ，所以|MA |2＋|MB |2＝(a －1)2＋(0－1)2＋(0－1)2＋(b －1)2＝4＋a 2＋b 2－2(a ＋b )＝4＋a 2＋b 2－2ab ＝4＋(a －b )2≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.课时精练1．(2023·阜阳模拟)在x 轴与y 轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为()A ．45°B ．135°C ．90°D ．180°答案A解析由题意知直线过点(－2,0)，(0,2)，设直线斜率为k ，倾斜角为α，则k ＝tan α＝2－00－(－2)＝1，故倾斜角α＝45°.2．已知直线l1：3x＋y＝0与直线l2：kx－y＋1＝0，若直线l1与直线l2的夹角是60°，则k 的值为()A.3或0B．－3或0C.3D．－3答案A解析直线l1：3x＋y＝0的斜率为k1＝－3，所以直线l1的倾斜角为120°.要使直线l1与直线l2的夹角是60°，只需直线l2的倾斜角为0°或60°，所以k的值为0或 3.3．(2023·南京师范大学附中模拟)若将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，再沿y轴负方向平移2个单位长度，又回到了原来的位置，则l的斜率是()A．－32B.32C．－23D.23答案C解析由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，则平移后直线的方程为y＝k(x－3)＋b－2＝(kx＋b)＋(－3k－2)，可得kx＋b＝(kx＋b)＋(－3k－2)，即k＝－2 3 .4．若直线l的方程y＝－ab x－cb中，ab>0，ac<0，则此直线必不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析由y＝－abx－cb，ab>0，ac<0，知直线l的斜率k＝－ab<0，在y轴上的截距－cb>0，所以此直线必不经过第三象限．5．直线l：3x－y＋2＝0与x轴交于点A，把l绕点A顺时针旋转45°得直线m，m的倾斜角为α，则cosα等于()A．－6＋24B.2－64C.6＋24D.6－24答案C解析设l的倾斜角为θ，则tanθ＝3，∴θ＝60°，由题意知α＝θ－45°＝60°－45°，∴cosα＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝12×22＋32×22＝6＋24.6．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是()A．x＋y－5＝0B．2x－y－1＝0C．2x－y－4＝0D．2x＋y－7＝0答案A解析易知A(－1,0)．∵|PA|＝|PB|，∴点P在AB的垂直平分线，即x＝2上，∴B(5,0)．∵PA，PB关于直线x＝2对称，∴k PB＝－1.∴l PB：y－0＝－(x－5)，即x＋y－5＝0.7．(多选)下列说法正确的有()A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3,2)C．过点(2，－1)，斜率为－3的直线的点斜式方程为y＋1＝－3(x－2)D．斜率为－2，在y轴上截距为3的直线方程为y＝－2x±3答案ABC解析A中，直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，所以(k，b)在第二象限，故A正确；B中，直线可写为y－2＝a(x－3)，所以直线过定点(3,2)，故B正确；C中，根据直线的点斜式方程知正确；D中，由直线的斜截式方程得y＝－2x＋3，故D错误．8．(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为() A．x－y＋1＝0B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0D．x－y－1＝0答案ABC解析当直线经过原点时，斜率为k＝2－01－0＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x ±y ＝a ，把点A (1,2)代入可得1－2＝a 或1＋2＝a ，求得a ＝－1或a ＝3，故所求的直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上，所求的直线方程为2x －y ＝0，x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.9．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________．答案32，＋∞解析由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，6≤0，－2k ≤0，得k ≥32.10．已知直线l 的倾斜角为α，sin α＝35，且这条直线l 经过点P (3,5)，则直线l 的一般式方程为________________________________．答案3x －4y ＋11＝0或3x ＋4y －29＝0解析因为sin α＝35，所以cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以直线l 的斜率为k ＝tan α＝±34，又因为直线l 经过点P (3,5)，所以直线l 的方程为y －5＝34(x －3)或y －5＝－34(x －3)，所以直线l 的一般式方程为3x －4y ＋11＝0或3x ＋4y －29＝0.11．已知点A (2,4)，B (4,2)，直线l ：y ＝kx －2,则直线l 经过定点________，若直线l 与线段AB 有公共点，则k 的取值范围是________．答案(0，－2)[1,3]解析由题意得直线l ：y ＝kx －2过定点C (0，－2)，又点A (2,4)，B (4,2)，k CA ＝4－(－2)2－0＝3，k CB ＝2－(－2)4－0＝1，要使直线l 与线段AB 有公共点，由图可知k ∈[1,3]．12．过点P (－1,0)且与直线l 1：3x －y ＋2＝0的夹角为π6的直线的一般式方程是______________．答案x ＋1＝0或x －3y ＋1＝0解析直线l 1的倾斜角β∈[0，π)且tan β＝3，则β＝π3，因为所求直线与直线l 1的夹角为π6，所以所求直线的倾斜角为π6或π2，当所求直线的倾斜角为π2时，直线为x ＝－1；当所求直线的倾斜角为π6时，直线为y ＝33(x ＋1)，故直线为x －3y ＋1＝0.综上，所求直线为x ＋1＝0或x －3y ＋1＝0.13．(多选)下列说法正确的是()A ．不经过原点的直线都可以表示为x a ＋y b＝1B ．若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B 且AB 的中点为(4,1)，则直线l 的方程为x 8＋y 2＝1C ．过点(1,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为y ＝x 或x ＋y ＝2D ．直线3x －2y ＝4的截距式方程为x 43＋y －2＝1答案BCD 解析A 中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A 错；B 中，AB 的中点为(4,1)，那么A (8,0)，B (0,2)，则直线l 的方程为x 8＋y 2＝1，故B 对；C 中，直线过原点时方程为y ＝x ，不过原点时方程为x ＋y ＝2，故C 对；D 中，方程3x －2y ＝4可化为x 43＋y －2＝1，故D 对．14．(2023·天津模拟)若直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)两点，则l 斜率的取值范围为________；其倾斜角的取值范围为____________________．答案(－∞，1]0，π4∪解析因为直线l 经过A (2,1)，B (1,m 2)两点，所以l 斜率k ＝1－m 22－1＝1－m 2≤1，所以l 斜率的取值范围为(－∞，1]，设其倾斜角为α，α∈[0，π)，则tan α≤1，所以其倾斜角的取值范围为0，π4∪15．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＋1＝0和过定点B 的动直线mx －y －2m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |＋|PB |的最大值为()A ．25B ．32C ．3D ．6答案D 解析由题意知，动直线x ＋my ＋1＝0过定点A (－1,0)，动直线mx －y －2m ＋3＝0可化为(x －2)m ＋3－y ＝0－2＝0，－y ＝0，可得B (2,3)，又1×m ＋m ×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，因为|PA |2＋|PB |22≥，所以|PA |＋|PB |≤2(|PA |2＋|PB |2)＝2×18＝6，当且仅当|PA |＝|PB |＝3时取等号．16．若ab >0，且A (a ,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．答案16解析根据A (a ,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b ＝1，又因为C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又因为ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.。