福建省晋江市平山中学2014届高中毕业班会考数学试卷

2014年初中学业质量检查（二）数 学 试 题（试卷满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上.一、选择题（每小题3分，共21分）每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答的一律得0分. 1. 5-的相反数是( ).A. 5B. 5-C. 51D. 51- 2. 方程132=-x 的解是( ). A. 2=x B. 3=x C. 4=x D. 5=x3. 下面左图是由五个完全相同的正方体堆成的物体，则这一物体的俯视图是( ).4. 把不等式组⎩⎨⎧≥+<.03,102x x 的解集在数轴上表示出来，正确的是( ).5. 已知一组数据：15，13，15，16，17，16，14，15，则这组数据的众数是( ).A.B.C.D.A ． B. C. D.（第3题图）A ． B. C. D.C. α-︒90D. α290-︒二、填空题（每小题4分，共40分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 8. 计算：=-223a a .9. 211. 计算：=+++33m m . 12. 如图，已知CD AB //，E 是AB 上一点，DE 平分BEC ∠交CD于点D ，︒=∠100BEC ，则=∠D ︒. 13. 若n 边形的每一个外角均为︒30，则=n .14. 已知扇形的圆心角为︒240，半径是cm 3，则扇形的弧长是 cm . 15. 已知一次函数b kx y +=的图象交y 轴于正半轴，且y 随x 的增大而减小， 三、解答题（共89分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 18.（9分）计算： 4)25(2421801-+--⨯+÷-.A BCD E （第12题图）(第17题图)（第7题图）19.（9分）先化简，再求值：2)2()1)(1(+++-x x x ，其中23-=x . 20.（9分）已知：如图，E 、F 是□ABCD 的对角线AC 上两点，BE DF //．求证：CF AE =.21.（9分）在一个不透明的布袋里，装有红色和黑色小球（除颜色外其余都相同）各2个，甲同学从中任意摸出一个球．（1）甲同学摸出红球的概率为 ；（2）甲乙两人约定如下：甲同学先随机摸出一个小球（不放回），乙同学再随机摸出一个小球，若颜色相同，则甲获胜；若颜色不同，则乙获胜．请你通过列表或画树状图的方法，说明这个游戏是否公平．22.（9分）学校举办一年一届的科技文化艺术节活动，需制作一块活动展板，请来两名工人.已知师傅单独完成需4天，徒弟单独完成需6天. （1）两人合作需要 天完成；（2）现由徒弟先做1天，再两人合作，问：还需几天可以完成这项工作？。

某某禾山中学、石狮永宁中学、南安柳城中学、某某英林中学联合考试2013-2014年度上学期高三第一次考试数学（文）试卷满分150分，考试时间120分钟.考查X 围：集合、逻辑、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量及数系的扩充、数列、立体几何.本试卷共 4页.请将试题答案写在答题卡上，考试结束，只交答题卡，试题不交回. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置。

1．在复平面内，复数()i i 21-对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知全集}6,5,4,3,2,1{=I ，集合}6,5,3,2{=A ，}3,1{=B ，则(∁I A )∪B 为（ ） A ．{1,3} B ．{3} C ．{1,3,4} D ．{3,4}3．设向量a =(1,)x ，b =(2,1)x -，则“1x =-”是“a ⊥b”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数()xx f x12-=的零点所在的大致区间是（ ） A ．（0，21） B ．（21，1） C ．（1，23）D ．（23，2） 5．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若0xy，则0x ”的否命题为：“若0xy，则0x ≠”B ．命题“∃0x ∈R，使得2210x ”的否定是：“∀x ∈R，均有2210x ”C ．“若0x y ，则,x y 互为相反数”的逆命题为真命题D ．命题“若cos cos x y ，则xy ”的逆否命题为真命题6．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥C ．若l α//，m α⊂，则l m //D ．若l α//，m α//，则l m //7. 已知数列{n a }是公差为2的等差数列，且521,,a a a 成等比数列，则2a 为（ ） A ．3B ．-3 C.2 D. -28. 函数x x x y sin cos +=的图像大致为( ).9.设xa ⎪⎭⎫ ⎝⎛=43,134-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x b ,=c ㏒43x ,若1>x ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.c b a <<B.c a b <<C.b a c <<D.a c b <<轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B. －π4 C ．0 D ．π412.已知函数2()2f x x bx =+的图象在点(0,(0))A f 处的切线L 与直线30x y -+=平行，若数列1()f n ⎫⎧⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2013S 的值为（）A.20132014B. 20122013C. 20112012D. 20122011二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知平面向量a =(1,2),b =(-2,1),则b a 2+=___________.14.已知函数12log ,1()24,1x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩,则1(())2f f =. 15.如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为610米，则旗杆的高度为_______米． 16.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照右图排列的 规律，第n 行（n≥3）从左向右的第3个数为.三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）设函数a x x x x f ++=2cos cos sin 3)(（1）写出函数)(x f 的最小正周期及单调递减区间； （2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx 时，函数)(x f 的最大值与最小值的和为23，求不等式1)(>x f 的解集．19．(本小题满分12分）已知二次函数21f (x )ax bx =++为偶函数，()11-=-f . (1)求函数()x f 的解析式；(2)若函数()()()x k x f x g -+=2在区间(－2,2)上单调递增，某某数k 的取值X 围. 20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,,c b a 若向量()().21,sin ,cos ,sin ,cos =⋅--=-=n m B C n C B m 且（1）求角A 的大小；（2）若4,b c ABC +=∆的面积3S =，求a 的值.21．（本题共12分）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，PA=AB=3，AD=1，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动. （1）当点E 为BC 的中点时， 证明EF//平面PAC ； （2）求三棱锥E-PAD 的体积；（3）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF.22. (本小题满分14分)已知函数2()(1)xf x ax x e =+-，其中e 是自然对数的底数，a R ∈． （1）若1=a ，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）若0<a ，求()f x 的单调区间；（3）若1-=a ，函数)(x f 的图象与函数m x x x g ++=232131)(的图象有3个不同的交点，某某数m 的取值X 围.“某某禾山中学、石狮永宁中学、南安柳城中学、某某英林中学”四校联考2013-2014学年上学期高三数学（文科）试卷答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C A B C B A D C C D A 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13.5 14.-2 15.30 16.三、解答题：本大题共6小题，满分74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17．（1）解：设等差数列{}n a 的公差是d ．依题意 3827()26a a a a d +-+==-，从而3d =-．……………2分 所以 2712723a a a d +=+=-，解得 11a =-． ………………4分 所以数列{}n a 的通项公式为 23+-=n a n ． ……………………6分 （2）解：由数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，得 1-=+n n n c b a ，即123-=++-n n c b n ， 所以 123-+-=n n c n b ……8分所以 21[147(32)](1)n n S n c c c -=++++-+++++21(31)(1)2n n n c c c --=+++++．……………………10分从而当1=c 时，2(31)322n n n n nS n -+=+=； ………………11分 当1≠c 时，(31)121nn n n c S c--=+-． ………………………12分18、解：（1）1cos 2()22x f x x a +=++………………1分 1sin(2)62x a π=+++…………………………3分T π∴=…………………………4分 令3222262k x k πππππ+≤+≤+ ，Z k ∈∴263k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈∴函数)(x f 的递减区间为：2[,],63k k k Z ππππ++∈…………6分（2）由[,]63x ππ∈-得：52666x πππ-≤+≤max min 3(),()2f x a f x a ∴=+=………………8分33022a a a ∴++=⇒=………………9分 ∴1()1sin(2)62f x x π>⇒+>52226663k x k k x k ππππππππ∴+<+<+⇒<<+，Z k ∈………11分又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx ∴不等式1)(>x f 的解集为{|0}3x x π<<………12分19、解：(1)∵二次函数1)(2++=bx ax x f 为偶函数,∴对称轴02=-=abx ,得0=b ，……………………3分 又由1)1(+=-a f ，得2-=a ，∴12)(2+-=x x f . …………6分（2）1)2(2)(2+-+-=x k x x g∵抛物线)(x g 的开口向下，对称轴42kx -=，………………8分∴函数)(x g 在（-∞，42k -）单调递增.依题意可得42k-≥2，……10分解得6-≤k ，∴实数k 的取值X 围为(]6,-∞-. ………………12分20．解：(1)∵21=⋅n m ，∴1cos cos sin sin 2B C B C ⋅-⋅=，………2分即1cos()2B C +=，∴1cos(π)2A -=，∴1cos 2A =-．…………5分 又(0,π)A ∈∴2π3A =．………………………6分（2）1sin 2ABC S bc A ∆=⋅12πsin23bc =⋅3=， ∴4bc =．…………………………8分又由余弦定理得：2222π2cos3a b c bc =+-22b c bc =++， ∴22()16412a b c bc =+-=-=，∴23a =．……………………12分21．解（1）证明：连结AC ，EF ∵点E 、F 分别是边BC 、PB 的中点∴PBC ∆中，PC EF //…………………………………2分 又，平面PAC EF ⊄PAC PC 平面⊂………………3分 ∴当点E 是BC 的中点时，EF//平面PAC …………4分 （2）∵PA ⊥平面ABCD 且ABCD BC AB AC 面⊂,, ∴AC PA ⊥，AB PA ⊥，BC PA ⊥ ∴PAD Rt ∆中，PA =3，AD=1∴2321=⨯⨯=∆PA AD S PAD ………6分 又四边形ABCD 为矩形∴AB AD ⊥又AD 和PA 是面PAD 上两相交直线 ∴PAD AB 平面⊥又AD//BC∴AB 就是三棱锥E-PAD 的高． ……………………………7分 ∴213233131=⨯⨯=⨯⨯=∆-AB S V PAD PAD E . ……………8分 （3）∵AB PA ⊥，PA=AB=3，点F 是PB 的中点∴等腰PAB ∆中，PB AF ⊥ …………………………9分又BC PA ⊥，BC AB ⊥且PA 和AB 是平面PAB 上两相交直线 ∴BC ⊥平面P AB 又PAB AF 平面⊂∴BC AF ⊥……………………………10分 又PB 和BC 是平面PBC 上两相交直线∴PBC AF 面⊥……………………11分 又PBC PE 平面⊂∴PE AF ⊥∴无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF 成立. ………12分 22. 解：（1） 1=a ，∴xe x x xf )1()(2-+=，∴++='x e x x f )12()(x x e x x e x x )3()1(22+=-+，………………1分 ∴曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线斜率为e f k 4)1(='=. …………2分又 e f =)1(，∴所求切线方程为)1(4-=-x e e y ，即034=--e y ex ．……3分 （2）++='xe ax xf )12()(xxe x a ax e x ax ])12([)1(22++=-+()[]xe a ax x 12++=，①若021<<-a ，当0<x 或aa x 12+->时，0)(<'x f ； 当<<x 0aa 12+-时，0)(>'x f .∴)(x f 的单调递减区间为]0,(-∞，),12[+∞+-aa ；单调递增区间为]12,0[aa +-. …………………5分②若21-=a ，=')(x f 0212≤-xe x ，∴)(x f 的单调递减区间为),(+∞-∞. …………………6分③若21-<a ，当aa x 12+-<或0>x 时，0)(<'x f ； 当012<<+-x aa 时，0)(>'x f .∴)(x f 的单调递减区间为]12,(a a +--∞，),0[+∞；单调递增区间为]0,12[aa +-. …………………8分（3）当1-=a 时，由（2）③知，2()(1)xf x x x e =-+-在]1,(--∞上单调递减，在]0,1[-单调递增，在),0[+∞上单调递减，∴()f x 在1-=x 处取得极小值ef 3)1(-=-，在0=x 处取得极大值1)0(-=f .……………10分由m x x x g ++=232131)(，得x x x g +='2)(. 当1-<x 或0>x 时，0)(>'x g ；当1-0<<x 时，0)(<'x g .∴)(x g 在]1,(--∞上单调递增，在]0,1[-单调递减，在),0[+∞上单调递增.故)(x g 在1-=x 处取得极大值m g +=-61)1(， 在0=x 处取得极小值m g =)0(.…………………12分函数)(x f 与函数)(x g 的图象有3个不同的交点，∴⎩⎨⎧>-<-)0()0()1()1(g f g f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>-+<-m m e 1613. ∴1613-<<--m e .…………14分。

2014年福州市高中毕业班质量检测理科数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={(x ,y )|y =lg x },B ={(x ,y )|x=a },若A ∩B =∅,则实数a 的取值范围是( ). A. a <1 B. a ≤1 C. a <0 D. a ≤02.“实数a =1”是“复数(1)ai i +( a ∈R ,i 为虚数单位)的模为2”的( ). A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既不是充分条件又不是必要条件 3. 执行如图所示的程序框图,输出的M 的值是（ ）A ．2B ．1-C ．12D ．2- 4. 命题”x R ∃∈,使得()f x x =”的否定是( )A.x R ∀∈,都有()f x x =B.不存在x R ∈,使()f x x ≠C.x R ∀∈,都有()f x x ≠D.x R ∃∈,使 ()f x x ≠5. 已知等比数列{a n }的前n 项积为∏n ,若8843=⋅⋅a a a ,则∏9=( ). A.512 B.256 C.81 D.166. 如图,设向量(3,1)OA =,(1,3)OB =,若OC ＝λOA ＋μOB ,且λ≥μ≥1,则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是( )7. 函数f (x )的部分图象如图所示,则f (x )的解析式可以是( ).A.f (x )=x +sin xB.x x x f cos )(=C.f (x )=x cos xD.)23)(2()(ππ--=x x x x f 8. 已知F 1、F 2是双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P 与点F 2关于直线abxy =对称,,则该双曲线的离心为 ( ).A.2B.5C.2D.2 9.若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )=f (x ), f (2－x )=f (x ), 且当x ∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数H (x )= |x e x |－f (x )在区间[－3,1]上的零点个数为 ( )A.5B.4C.3 10.已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx+d (b 、c 、d 为常数),当x ∈(0,1)值,则22)3()21(-++c b 的取值范围是( ). A.()5,237 B.)5,5( C.)25,437( D.(5,25) 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.5名同学排成一列,某个同学不排排头的排法种数为 (用数字作答).12.如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ,则点M 恰好取自 阴影部分的概率为 .13. 若直线20x y -+=与圆22C :(3)(3)4x y -+-=相交于A 、B 两点,则CA CB ⋅的值为 .14.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的表面积为 .15.已知函数1(1)sin 2,[2,21)2(),()(1)sin 22,[21,22)2nn x n x n n f x n N x n x n n ππ+⎧-+∈+⎪⎪=∈⎨⎪-++∈++⎪⎩, 若数列{a m }满足))(2(+∈=N m mf a m ,且{}m a 的前m 项和为m S ,则20142006S S -= .三、解答题:本大题共六个小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分13分)在对某渔业产品的质量调研中,从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件,测量该产品中某种元素的含量(单位:毫克).下表是测量数据的茎叶图:规定:当产品中的此种元素含量≥15毫克时为优质品.(Ⅰ)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数);(Ⅱ)从乙地抽出的上述10件产品中,随机抽取3件,求抽到的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望()E ξ.17. （本小题满分13分）已知函数2()2cos cos ().f x x x x x R =+∈.（Ⅰ）当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆的内角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，且3,()2,c f C ==若向量)sin ,1(A m =与向量)sin ,2(B n =共线，求b a ,的值.18. （本小题满分13分）如图，直角梯形ABCD 中，090ABC ∠=2===AD BC AB =4，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，点G 在EF 上，沿EF 将梯形AEFD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ． （Ⅰ）当AG GC +最小时，求证：BD ⊥CG ； （Ⅱ）当B ADGED GBCF V V --=2时，求二面角D BG C --平面角的余弦值.19.（本小题满分13分）已知动圆C 过定点(1,0),且与直线x =－1相切. （Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹方程;（Ⅱ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点,直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β, ①当βα+=2π时,求证直线AB 恒过一定点M ;②若αβ+为定值(0)θθπ<<,直线AB 是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标; 若不存在,请说明理由.20. （本小题满分14分）已知函数1()ln +)f x x ax a=-（，其中a R ∈且0a ≠ （Ⅰ）讨论()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线y ax =的图像恒在函数()f x 图像的上方，求a 的取值范围; （Ⅲ）若存在110x a-<<，20x >，使得()()f x f x ==120，求证：120x x +>. 21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换. 已知矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=d c A 33,若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111α,属于特征值1的一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=232α.（Ⅰ）求矩阵A 的逆矩阵; （Ⅱ）计算A 3⎪⎪⎭⎫⎝⎛-41的值. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程.在平面直角坐标系xoy 中,以O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=,直线l 的参数方程为:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 224222(t 为参数),两曲线相交于M ,N 两点.（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程; （Ⅱ）若P (－2,－4),求|PM |+|PN|的值． （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲设函数f (x )=|x －4|+|x －3|, （Ⅰ）求f (x )的最小值m（Ⅱ）当a +2b +3c=m (a ,b ,c ∈R)时,求a 2+b 2+c 2的最小值.2014年福州市高中毕业班质量检测 数学(理科)试卷参考答案及评分标准1—10 DABCA DCBBD11.96 12.1/3 13.0 14.18+32 cm 2 15.804216. 解:(I)甲厂抽取的样本中优等品有7件,优等品率为7.10 乙厂抽取的样本中优等品有8件,优等品率为84.105=………………4分(II)ξ的取值为1，2，3. ………………5分12823101(1),15C C P C ξ⋅===………………7分21823107(2),15C C P C ξ⋅===………………9分 157)3(3100238=⋅==C C C P ξ………………11分 所以ξ的分布列为………………12分故17712123.1515155E ξξ=⨯+⨯+⨯=的数学期望为（）………………13分 17. 解:(I)2()2cos 2f x x x =+=cos 221x x ++=2sin 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭……………2分 令-222,262k xk k Z πππππ+≤+≤+∈，解得322322ππππ+≤≤-k x k 即63ππππ+≤≤-k x k …………4分[0,]2x π∈,∴f (x )的递增区间为]6,0[π………………6分(Ⅱ)由21)62sin(2)(=++=πC C f ,得21)62sin(=+πC而()0,C π∈,所以132,666C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以5266C ππ+=得3C π=8⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分 因为向量)sin ,1(A =与向量)sin ,2(B =共线，所以sin 1sin 2A B =， 由正弦定理得:21=b a ①……………10分 由余弦定理得:3cos2222πab b a c -+=,即a 2+b 2－ab =9 ②………12分由①②解得32,3==b a ……………13分18. 解:(Ⅰ)证明：∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点,∴EF //BC 又∠ABC =90°∴AE ⊥EF ，∵平面AEFD ⊥平面EBCF ， ∴AE ⊥平面EBCF ，AE ⊥EF ，AE⊥BE ，又BE ⊥EF ， 如图建立空间坐标系E ﹣xyz ．……………2分 翻折前,连结AC 交EF 于点G,此时点G 使得AG+GC 最小. EG =12BC =2,又∵EA=EB =2．则A (0,0,2),B (2,0,0),C (2,4,0), D (0,2,2),E (0,0,0),G (0,2,0), ∴=(﹣2,2,2),CG =(-2,-2,0)∴BD CG ⋅=(﹣2,2,2)(-2,-2,0)=0， ∴BD ⊥CG ………………5分 (Ⅱ)解法一：设EG=k ,AD ∥平面EFCB ,∴点D 到平面EFCB 的距离为即为点A 到平面EFCB 的距离.S 四形GBCF =12[(3- k )+4]×2=7-k D GBCF V S AE 四形GBCF -\=鬃13=2(7)3k -又B ADGE ADGE V S BE 四形-=?13=2(2)3k +,B ADGE D GBCF V V --=2,∴4(2)3k +=2(7)3k -,1k ∴=即EG =1…………………8分设平面DBG 的法向量为1(,,)n x y z =,∵G (0,1,0), ∴(2,1,0),BG =-BD =(－2,2,2),则 1100n BD n BG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222020 x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩取x ＝1,则y ＝2,z ＝－1,∴(1,2,1)n =- …………………10分 面BCG 的一个法向量为2(0,0,1)n = 则cos<12,n n>=1212||||n n n n =-…………………12分由于所求二面角D-BF-C 的平面角为锐角, ……………………13分 (Ⅱ)解法二:由解法一得EG =1,过点D 作DH ⊥EF ,垂足H ,过点H 作BG 延长线的垂线垂足O ，连接OD. ∵平面AEFD ⊥平面EBCF,∴ DH ⊥平面EBCF ，∴OD ⊥OB,所以DOH ∠就是所求的二面角D BG C --的平面角. …………9分由于HG =1,在∆OHG 中OH =,又DH=2，在∆DOH 中tan DHDOH OH∠==分分 19. 解: (Ⅰ)设动圆圆心M (x ,y ),依题意点M 的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x =－1为准线的抛物线………2分 其方程为y 2=4x .- …………3分(Ⅱ)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由题意得x 1≠x 2(否则αβπ+=)且x 1x 2≠0,则4,4222211y x y x == 所以直线AB 的斜率存在,设直线AB 的方程为y=kx+b , 则将y=kx+b 与y 2=4x 联立消去x ,得ky 2－4y +4b =0 由韦达定理得kby y k y y 4,42121==+-------※…………6分 ①当βα+=2π时,tan tan 1αβ⋅=所以121212121,0y y x x y y x x ⋅=-=,…………7分所以y 1y 2=16,又由※知:y 1y 2=kb4所以b =4k ;因此直线AB 的方程可表示为y=kx+4k ,所以直线AB 恒过定点(－4,0). …………8分②当αβ+为定值(0)θθπ<<时.若βα+=2π,由①知, 直线AB 恒过定点M (－4,0) …………9分 当2πθ≠时,由αβθ+=,得tan tan()θαβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=16)(42121-+y y y y将※式代入上式整理化简可得:k b 44tan -=θ,所以θtan 44+=k b ,…………11分此时,直线AB 的方程可表示为y=kx +θtan 44+k ,所以直线AB 恒过定点)tan 4,4(θ-…………12分所以当2πθ=时,直线AB 恒过定点(－4,0).,当2πθ≠时直线AB 恒过定点)tan 4,4(θ-.…………13分 20. 解:(I)f (x )的定义域为),1(+∞-a. 其导数'()a xf x a ax x a=-=-++2111………1分①当0a <时,'()0f x >,函数在),1(+∞-a上是增函数;…………2分 ②当0a >时,在区间(,)a-10上,'()0f x >;在区间(0,+∞)上,'()0f x <． 所以()f x 在(,)a-10是增函数,在(0,+∞)是减函数. …………4分 (II)当0a <时, 取1x e a=-，则11()1()2()011f e a e a ae e e a a a a-=--=->-=->, 不合题意.当0a >时令()()h x ax f x =-,则1()2ln()h x ax x a=-+………6分问题化为求()0h x >恒成立时a 的取值范围.由于'12()12()211a x a h x a x x a a+=-=++ ………7分 ∴在区间(,)a a--112上,0)('<x h ;在区间),21(+∞-a 上,0)('>x h .()h x ∴的最小值为1()2h a -,所以只需1()02h a->即1112()ln()022a a a a ⋅---+>,1ln 12a ∴<-,2ea ∴>………9分(Ⅲ)由于当0a <时函数在),1(+∞-a上是增函数,不满足题意,所以0a >构造函数:()()()g x f x f x =--(10x a-<<)11()ln()ln()2g x x x ax a a∴=--++………11分则2'22112()20111ax g x a x x x a a a=-+=<-+-所以函数)(x g 在区间1(,0)a-上为减函数. 110x a-<<,则1()(0)0g x g >=,于是()()f x f x -->110,又1()0f x =,()()f x f x ->=120,由()f x 在,)+∞（0上为减函数可知21x x >-.即120x x +>…………………14分21. (1)(本小题满分7分)选修4-2：矩阵与变换解: (Ⅰ)法一:依题意,⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧-=-=+42,2236d c d c d c .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4233A . ………… 2分 所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-213121321A …………4分 法二:033)3(0332=-++-=----c d d d c λλλλ即的两个根为6和1,故d =4,c =2. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴4233A …………2分 所以⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-213121321A -…………4分 (Ⅱ)法一:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23…………5分 A 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=2×63⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11－13⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434429…………7分 法二:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1308612987423322142115;221421154233423332A A A 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434429411308612987…………7分 (2)(本小题满分7分)选修4-4：坐标系与参数方程.解:(Ⅰ)(曲线C 的直角坐标方程为y 2=4x , 直线l 的普通方程x －y －2=0. ………..4分(Ⅱ)直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222(t 为参数), 代入y 2=4x , 得到0482122=+-t t ,设M ,N 对应的参数分别为t 1,t 2则048,2122121>==+t t t t所以|PM |+|PN|=|t 1+t 2|=212…………7分(3) )(本小题满分7分)选修4-5：不等式选讲解:(Ⅰ)法1: f (x )=|x －4|+|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|=1, 故函数f (x )的最小值为1. m =1. …………4分法2:⎪⎩⎪⎨⎧<-<≤≥-=3,2743,14,72)(x x x x x x f .------------------1分x ≥4时,f (x )≥1;x <3时,f (x )>1,3≤x <4时,f (x )=1,----------------3分 故函数f (x )的最小值为1. m =1. …………4分(Ⅱ)由柯西不等式(a 2+b 2+c 2)(12+22+32)≥(a +2b +3c )2=1----------5分故a 2+b 2+c 2≥141-…………6分 当且仅当143,71,141===c b a 时取等号…………7分。

泉州市2014届高三3月质检数学试卷（理科） 一、本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数z=（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） 2．已知集合A={x|x+1＜0}，B={x|3x＞0}，那么集合A∩B（ ） A．{x|x＜1}B．{x|x＜3} C．{x|1＜x＜3}D．? 3．某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y值是（ ） 4．在二项式（2x+3）n的展开式中，若常数项为81，则含x3的项的系数为（ ） 5．已知等比数列{an}的首项a1=1，公比q≠1，且a2，a1，a3成等差数列，则其前5项的和S5=（ ） 已知某产品连续4个月的广告费用xi（千元）与销售额yi（万元），经过对这些数据的处理，得到如下数据信息： ①xi=18，yi=14； ②广告费用x和销售额y之间具有较强的线性相关关系； ③回归直线方程=x+中的=0.8（用最小二乘法求得）． 那么，当广告费用为6千元时，可预测销售额约为（ ） 7．已知l，m为不同的直线，α，β为不同的平面，如果l?α，且m?β，那么下列命题中不正确的是（ ） 8．在如图所示的棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，若点P是正方形BCC1B1的中心，则三棱锥PAB1D1的体积等于（ ） B． C． D． 9．某数学爱好者设计了一个食品商标，如果在该商标所在平面内建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则商标的边缘轮廓线AOC恰是函数y=tan的图象，边缘轮廓线AEC恰是一段所对的圆心角为的圆弧．若在图中正方形ABCD内随机选取一点P，则点P落在商标区域内的概率等于（ ） B． C． D． 10．（2014?泉州一模）如图，对于曲线Ψ所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得α≥∠AOB对于曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B恒成立，则称角α为曲线Ψ上的任意两个不同的点A、B恒成立，则称角α为曲线Ψ的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线Ψ的相对于点O的“确界角”．已知曲线C：y=（其中e=2.71828…是自然对数的底数），O为坐标原点，则曲线C的相对于点O的“确界角”为（ ） B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卷的相应位置． 11．（4分）（2014?泉州一模）（x2+sinx）dx=_________　． 12．（4分）（2014?泉州一模）若对满足不等式组的任意实数x，y，都有2x+y≥k成立，则实数k的最大值为　_________　． 13．（4分）（2014?泉州一模）已知直线l过双曲线C：3x2y2=9的右顶点，且与双曲线C的一条渐近线平行．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点恰好在直线l上，则p=_________　． 14．（4分）（2014?泉州一模）已知：△AOB中，∠AOB=90°，AO=h，OB=r，如图所示，先将△AOB绕AO所在直线旋转一周得到一个圆锥，再在该圆锥内旋转一个长宽都为，高DD1=1的长方体CDEFC1D1E1F1．若该长方体的顶点C，D，E，F都在圆锥的底面上，且顶点C1，D1，E1，F1都在圆锥的侧面上，则h+r的值至少应为　_________　． 15．（4分）（2014?泉州一模）定义一种向量运算“?”：?=（，是任意的两上向量）．对于同一平面内的向量，，，，给出下列结论： ?=?；λ（）=（λ）（λR）； （+）=?+? ④若是单位向量，则||≤||+1 以上结论一定正确的是　_________　．（填上所有正确结论的序号） 三、解答题：本大题共5小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（13分）（2014?泉州一模）某校高三年段共有1000名学生，将其按专业发展取向分成普理、普文、艺体三类，如图是这三类的人数比例示意图．为开展某项调查，采用分层抽样的方法从这1000名学生中抽取一个容量为10的样本． （Ⅰ）试求出样本中各个不同专业取向的人数； （Ⅱ）在样本中随机抽取3人，并用ξ表示这3人中专业取向为艺体的人数．试求随机变量ξ的数学期望和方差． 17．（13分）（2014?泉州一模）已知函数f（x）=2sin?cos2cos2+（ω＞0），其图象与直线y=2的相邻两个公共点之间的距离为2π． （Ⅰ）若x∈[0，π]，试求出函数f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）△ABC的三个内角A，B，C及其所对的边a，b，c满足条件：f（A）=0，a=2，且b，a，c成等比数列．试求在方向上的抽影n的值． 18．（13分）（2014?泉州一模）已知M（0，），N（0，），G（x，y），直线MG与NG的斜率之积等于． （Ⅰ）求点G的轨迹Γ的方程； （Ⅱ）过点P（0，3）作一条与轨迹Γ相交的直线l．设交点为A，B．若点A，B均位于y轴的右侧，且=，请求出x轴上满足|QP|=|QB|的点Q的坐标． 19．（13分）（2014?泉州一模）设函数f（x）=xn+ax+b（a，b∈R，n∈N*），函数g（x）=sinx． （Ⅰ）当a=b=n=3时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a=b=1，n=2时，求函数h（x）=g（x）f（x）的最小值； （Ⅲ）当n=4时，已知|f（x）|≤对任意x∈[1，1]恒成立，且关于x的方程f（x）=g（x）有且只有两个实数根x1，x2．试证明：x1+x2＜0． 20．（14分）（2014?泉州一模）几何特征与圆柱类似，底面为椭圆面的几何体叫做“椭圆柱”．图1所示的“椭圆柱”中，A′B′，AB和O′，O分别是上、下底面两椭圆的长轴和中心，F1、F2是下底面椭圆的焦点．图2是图1“椭圆柱”的三视图及其尺寸，其中俯视图是长轴在一条水平线上的椭圆． （Ⅰ）若M，N分别是上、下底面椭圆的短轴端点，且位于平面AA′B′B的两侧． ①求证：OM∥平面A′B′N； ②求平面ABN与平面A′B′N所成锐二面角的余弦值； （Ⅱ）若点N是下底面椭圆上的动点，N′是点N在上底面的投影，且N′F1，N′F2与下底面所成的角分别为α、β，请先直观判断tan（α+β）的取值范围，再尝试证明你所给出的直观判断．本题有21、22、23三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分7分．如果多做，则按所做的前两题记分．【选修4-2：矩阵与变换】 21．（7分）（2014?泉州一模）在平面直角坐标系xOy中，线性变换σ将点（1，0）变换为（1，0），将点（0，1）变换为（1，2）． （Ⅰ）试写出线性变换σ对应的二阶矩阵A； （Ⅱ）求矩阵A的特征值及属于相应特征值的一个特征向量． 【选修4-4：坐标系与参数方程】 22．（7分）（2014?泉州一模）平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的方程为x2+y2=4．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程； （Ⅱ）求直线l和圆C的交点的极坐标（要求极角θ∈[0，2π）） 【选修4-5：不等式选讲】 23．（2014?泉州一模）设函数f（x）=+的最大值为M． （Ⅰ）求实数M的值； （Ⅱ）求关于x的不等式|x1|+|x+2|≤M的解集．。

（第16题图）C（第12题图）C（第7题图）2014年晋江市初中学业质量检查数 学 试 题（试卷满分：150分；考试时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共21分）1．51-的绝对值是（ ）A ．51B ．5-C ．51-D ．52．已知在ABC ∆中，B A C ∠+∠=∠，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形3．如图，是由5个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．若x y >，则下列式子错误．．的是（ ） A ．1212x y ->- B ．22x y +>+ C ．22x y -<- D ．22x y>5．已知⊙1O 与⊙2O 相切，它们的半径分别是4、r ，且圆心距=21O O 7，则r 可能是下列的（ ）A ．3B ．11C ．3或11D ．3、-3或116．某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱支持地震灾区，他们捐款的数额分别是 （单位：元）100，40，100，60，50，100，200，这组数据的众数和中位数分别是（ ） A ．100元，40元 B ．100元，60元C ．200元，100元D ．100元，100元 7．如图，点A 、O 、C 三点在同一条直线上，射线OB 在∠AOC 的内部，且射线OM 、射线ON 分别平分∠AOC 与∠BOC ，设∠AOC = y °，∠BON= x °，则y 与x 的函 数关系的图象是（ ）二、填空题（每小题4分，共40分） 8的相反数是 ．9．计算：222a ya y a y-+=-- ．10．分解因式：24129x x -+= ．11．据报道，在2014年，晋江市教育总投入预计为2 796 000 000元，则2 796 000 000元用科学记数法表示为 元．12．如图，在等腰△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，若∠BAD =20°，则∠BAC = 度．13．正n 边形的每个外角都是45°，则n = ．14．菱形的两条对角线的长分别为6cm 与8cm ，则菱形的周长为cm ．15．如图，在边长为1的33⨯的方格中，点B 、O 都在格点上， 则劣弧BC 的长是 ．16．如图，在四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是AD 、AB 、BC 、CD 的中点，且对角线AC ⊥BD ，:4:3AC BD =， AC+BD=28，则:MQ QP = ，则四边形MNPQ 的面积是 ．17．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB AD DC ==，60B ∠=︒，1124NC MC BC ==，现有P 、Q 两个动点分别从点A 、N 同时沿梯形的边开始移动，点P 依顺时针方向环 行，点Q 依逆时针方向环行，若点P 的速度与点Q 的速度之 比为2:3，则点P 、点Q 第1次相遇的位置是点；第2014次相遇在点． 三、解答题（共89分）18．（9(0116453⨯+--－．19．（9分）先化简，再求值：()()()2223aa a +---，其中23a =-．（第3题图）A ．B ．C ．D ．（第15题图）OC（第17题图）学校： 班级： 姓名： 座号： （密 封 线 内 请 不 要 答 题） …………⊙…………⊙……密………⊙………封……⊙………装……⊙………订……⊙………线……⊙……………⊙…………（ 密 封 线 内 请 不 要 答 题 ） …………⊙…………密…………⊙…………封…………⊙…………装…………⊙…………订…………⊙…………线…………⊙………20．（9分）如图，在□ABCD 中，点E 、点F 分别在AD 、CB 的延长线上，且DE BF =，连结EF 分别交AB 、CD 于点H 、点G ． 求证：△EAH ≌△FCG ．21．（9分）在一个不透明的布袋中，装有三个小球，小球上分别标有数字“1”、“2”和“3”，它们除了数字不同外，其余都相同．（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为“3”的概率是多少？（2）若第一次从布袋中随机摸出一个小球，设记下的数字为x ，再将此球放回盒中，第二次再从布袋中随机抽取一张，设记下的数字为y ，请用画树状图或列表法表示出上述情况的所有等可能结果，并求出3x y +>的概率． 22．（9分）今年植树节，某校组织师生开展植树造林活动，为了了解全校1200名学生的植树情况，随机抽样调查部分学生的植树情况，制成如下统计表和条形统计图（均不完整）．（1）将统计表和条形统计图补充完整； （2）求所抽样的学生植树数量的平均数；（3）若植树数量不少于5棵的记为“表现优秀”，试根据抽样数据，估计该校1200名学生“表现优秀”的人数．23．（9分）某水果店老板用400元购进一批葡萄，由于葡萄新鲜，很快售完，老板又用500元购进第二批葡萄，所购数量与第一批相同，但每千克比第一批多了2元． （1）求：第一批葡萄进价每千克多少元？（请列方程求解）（2）若水果店老板以每千克11元的价格将两批葡萄全部售出，可以盈利多少元？24．（9分）已知：直线324y x =+与双曲线()0ky k x=>相交于点A 、B ，且点A 的纵坐标 为1-．（1）求双曲线的解析式；（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于点D 、C ，过点B 作BP AB ⊥，交y 轴于点P ，求tan BPC ∠的值．A B CD E G F HM25．（13分）如图，已知抛物线22y x x c =-++经过点()0,3C ，且与x 轴交于A 、B 两点 （点A 在点B 的左侧），线段BC 与抛物线的对称轴相交于点P ．M 、N 分别是线段OC和x 轴上的动点，运动时保持90MPN ∠=︒不变． （1）求抛物线的解析式；（2）①试猜想PN 与PM 的数量关系，并说明理由；②在①的前提下，连结MN ，设OM m =．△MPN 的面积为S ，求S 的最大值．26．（13分）如图1，在平面直角坐标系中，等边△OAB 的顶点(6,0)A -，顶点B 在第二象限，顶点O 为坐标原点，过点B 作//BC OA 交y 轴于点C ． （1）填空：点B 的坐标是________；（2）若点Q 是线段OB 上的一点，且13OQ OB =，过点Q 作直线l 分别与直线AO 、直线BC 交于点H 、G ，以点O 为圆心，OH 的长为半径作⊙O ． ①设点G 的横坐标为x ，当点G 在直线．．BC 上移动，试探究：当x 为何值时，⊙O 与直线BC 、直线AB 都分别相切？②过点G 作GD ∥OC ，交x 轴于点D ，若线段．．GD 与⊙O 有公共点P ，且点M （1，1），探求：2PO PM +的最小值．（图1）x（备用图）学校： 班级： 姓名： 座号： （密 封 线 内 请 不 要 答 题） …………⊙…………⊙……密………⊙………封……⊙………装……⊙………订……⊙………线……⊙……………⊙…………1 2 3 数字x 数字y2 3 1 2 3 1 2 3 1 ABCDE GFH 2014年初中学业质量检查数学试题参考答案及评分标准说明：（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分． （三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．一、选择题（每小题3分，共21分）1．A ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．C ； 6．D ；7．B ；二、填空题（每小题4分，共40分）8．； 9．1； 10．()223x -； 11．92.79610⨯； 12．40； 13．8；14．20； 15 16．4:348；17．D ；C ． 三、解答题（共89分）18．（本小题9分）解：原式3451=-+-………………………………………………………8分3= …………………………………………………………………9分19．（本小题9分） 解：原式=()22469a a a ---+ ………………………………………………4分= 22469a a a --+- ………………………………………………5分=613a - ………………………………………………………………6分当23a =-时，原式=26133⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭17=-…………………………………9分20．（本小题9分）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD CB =，AD ∥CB ，A C ∠=∠………3分∴E F ∠=∠……………………………………4分 ∵DE BF =，∴AD DE CB BF +=+，即AE CF =……6分 在△EAH 和△FCG 中，E F ∠=∠,AE CF =,A C ∠=∠，∴△EAH ≌△FCG ()ASA ………………9分21．（本小题9分） 解：（1）13；…………………………………………………………………………………3分（2）（解法一）列举所有等可能结果，画出树状图如下：…………………6分由上图可知，共有9种等可能结果，其中3>+y x 的情况有6种．∴()36293x y P +>==…………………………………………………………………9分（解法二）（1）列表如下由上图可知，共有9种等可能结果，其中3>+y x 的情况有6种． ∴()32963==>+y x P …………………………………………………9分 22．（本小题9分）（1）0.4 15 50；………………………3分补图如图所示………………………5分（2）532041551064.650⨯+⨯+⨯+⨯=（棵）…7分（3）由样本的数据知，“表现优秀”的百分率为0.30.20.5+=由此可以估计该校1200名学生“表现优秀”的人数：12000.5600⨯=（人）………………………………9分……………………6分M23（本小题9分） 解：（1）设第一批葡萄进价每千克x 元，依题意得 ……………………1分4005002x x =+…………………………………………………3 解得：8x =，……………………………………………………5 经检验8x =是原方程的解，且符合题意答：第一批葡萄进价每千克8元.……………………………………6分（2） 由（1）知400508，50211400500200⨯⨯-+（）＝ 答：可盈利200元……………………………………………………9分 24（本小题9分）解：（1）把1y =-代入324y x =+，得：4x =-∴点A 的坐标为()4,1--……………………………………………………2分 把()4,1--代入k y x =，得：14k -=-， ∴4k =∴双曲线的解析式为：4y x=……………………………………………4分 （2）∵BP AB ⊥，∴90PBC ∠=︒，∴90BPC PCB ∠+∠=︒∵DO CO ⊥，∴90DOC ∠=︒，90CDO DCO ∠+∠=︒，又DCO PCB ∠=∠ ∴BPC CDO ∠=∠，tan tan BPC CDO ∠=∠…………………………5分在324y x =+中，令0x =，则2y =，∴2OC =，令0y =，则83x =-，∴83DO =，……………………………………7分在Rt DOC ∆中，23tan tan 843OC BPC CDO DO ∠=∠===．…………9分 25．（本小题13分）解：（1）把点()0,3C 代入22y x x c =-++得：3c =∴抛物线的解析式是223y x x =-++．………………………………3分 （2）①猜想2PN PM =，理由如下： ……………………………………4分令0y =，则2230x x -++=，解得：11x =-，23x = ∴()1,0A -，()3,0B设直线CB 的解析式为y kx b =+()0k ≠，∴3,30b k b =⎧⎨+=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线CB 的解析式为3y x =-+抛物线223y x x =-++的对称轴为直线1x =， ∴当1x =时，132y =-+=，∴()1,2P ，……………………………7分 作PE y ⊥轴于点E ，如图1，设抛物线的 对称轴与x 轴相交于点F ，则四边形是矩形．∴1PE =，2PF =∴90EPM MPF ∠+∠=︒ ∵90MPN ∠=︒，∴90MPF FPN ∠+∠=︒， ∴EPM FPN ∠=∠又∵90PEM PFN ∠=∠=︒， ∴PEM ∆∽PFN ∆ ∴PE PMPF PN=， ∵()1,2P ，∴1PE =，2PF =， ∴12PM PN =，即2PNPM =．………………………10分②∵OM m =，∴()0,M m ，∴2EM m =-，1PE =在Rt PEM ∆中，由勾股定理得：PM =221124522PMN S S PM PN PM PM PM m m ∆==⋅=⋅==-+∴()221S m =-+()03m ≤≤当02m ≤≤时，S 随着m 的增大而减小，当0m =时，S 有最大值，5S 最大值＝． 当23m ≤≤时，S 随着m 的增大而增大，当3m =时，S 有最大值，2S 最大值＝ 综上，当03m ≤≤时，即0m =，5S 最大值＝…………………………………13分26．（本小题13分）解：（1）(3,B-（2）解：①作OT AB⊥于点TAO OC⊥，//BC OAOAB∆是等边三角形，∴60BOA ABO∠=∠=︒，//BC OA，∴BOA∠=∴ABO CBO∠=∠，即OB∴OT OC=分两种情况讨论：（i）当点G在点B当OH OC OT==时，⊙此时OH OC==//BC OA∴QBG∆∽QOH∆∴OH OQBG BQ=，又13OQ=12OQBQ==，即BG∴CG BG BC=-=∴当3x=时，⊙O（ii）当点G在点B当OH OC OT==时，⊙此时OH OC==同①可得：BG=，∴CG BG BC=+=∴当3x=-时，⊙O直线AB都分别相切．综上，3x=或x=-。

2014年初中学业质量检查数学试题（试卷满分：150分；考试时间：120分钟）、选择题（每小题3分，共21分.）每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的,3 •如图，是由5个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）.6 •某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱支持地震灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）100 ,40 , 100 , 60 , 50, 100 , 200，这组数据的众数和中位数分别是（）.A. 100 元，40 元C. 200 元，100 元 D . 100 元，100 元7 .如图，点A、0、C三点在同一条直线上，射线OB在.AOC的内部，且射线OM、射线ON分别平分• AOB与• BOC，设• MOB = y °, • BON二x。

，则y与x的函数关系的图象是（）.9 .计算：加+ -y 2a - y 2a - y2请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答的一律得0分. 1的绝对值是（5 ).B. -52 .已知在ABC中, ■ C =/A • . B，则=ABC的形状是（).A .等边三角形B •锐角三角形C.直角三角形D. 5D .钝角三角形（第3题图）A . B.C .D .4.若x y，则下列式子错误. 的是（).A . 1 -2x 1 -2yB.x 2y 2 C . - 2x ：：- 2y D .x25.已知O O1与O O2相切，它们的半径分别是4、r，且圆心距O1O2=7,则r可能是下列的（）A . 3B.11 C . 3 或11 D . 3、-3 或11A. B. C.B . 100 元，60 元8 .寸5的相反数是________210.分解因式：4x -12x 9二11 .据报道，在2014年，晋江市教育总投入预计为 2 796 000 000 元，则32 796 000 000 元用科学记数法表示为 _____________ 元.12 •如图，在等腰 ABC 中，AB =AC , AD_BC ，若.BAD = 20 ,13 .正n 边形的每个外角都是 45。

ACBOM（第7题图）y x 晋江市初中学业质量检查数 学 试 题（试卷满分：150分；考试时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共21分.）每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡上相应题目的答题区域内作答，答对的得3分，答错或不答的一律得0分. 1．51-的绝对值是( ). A ．51B ．5-C ．51-D ．5 2．已知在ABC ∆中，B A C ∠+∠=∠，则ABC ∆的形状是( ).A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形 3．如图，是由5个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是( ).4．若x y >，则下列式子错误．．的是( ). A ．1212x y ->-B ．22x y +>+C ．22x y -<-D ．22x y> 5. 已知⊙1O 与⊙2O 相切，它们的半径分别是4、r ，且圆心距=21O O 7，则r 可能是下列的( ).A ．3B ．11C ．3或11D ．3、-3或116．某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱支持地震灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）100，40，100，60，50，100，200，这组数据的众数和中位数分别是( ). A ．100元，40元 B ．100元，60元 C ．200元，100元 D ．100元，100元7．如图，点A 、O 、C 三点在同一条直线上，射线OB 在AOC ∠的内部，且射线OM 、射线ON 分别平分AOB ∠与BOC ∠，设y MOB =∠°，x BON =∠°，则y 与x 的函数关系的图象是( ) .二、填空题（每小题4分，共40分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 8．5的相反数是_______. 9．计算：._______222=--+-ya yy a a10．分解因式：._________91242=+-x x(第3题图)正面 A ．C ．B ．D ．xy 90OA.90B. y x O9090C.90y x O90D.90xy 90O(第16题图) MNPQ ADAD(第12题图)11．据报道，在，晋江市教育总投入预计为2 796 000 000元，则2 796 000 000元用科学记数法表示为___________元.12．如图，在等腰ABC ∆中，AC AB =，BC AD ⊥，若︒=∠20BAD ，则______=∠BAC 度.13．正n 边形的每个外角都是︒45，则_____=n .14．菱形的两条对角线的长分别为cm 6与cm 8，则菱形的周长为cm ______. 15．如图，在边长为1的33⨯的方格中，点B 、O 都在格点上，则劣弧BC 的长是________.16．如图，在四边形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是AD 、AB 、BC 、CD 的中点，且对角线BD AC ⊥，3:4:=BD AC ，28=+BD AC ，则_______:=QP MQ ，则四边形MNPQ 的面积是．17．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC AD AB ==，︒=∠60B ，BC MC NC 4121==，现有P 、Q 两个动点分别从点A 、N 同时沿梯形的边开始移动，点P 依顺时针 方向环行，点Q 依逆时针方向环行，若点P 的速度与点Q 的速度之比为3:2，则点P 、点Q 第1次相遇的位置是_____点；第次相遇在_____点. 三、解答题（共89分）在答题卡上相应题目的答题区域内作答. 18.（9分）计算：()1335416327---+⨯-÷－.19.（9分）先化简，再求值：()()()2322---+a a a ，其中32-=a ． 20.（9分）如图，在□ABCD 中，点E 、点F 分别在AD 、CB 的延长线上，且BF DE =， 连结EF 分别交AB 、CD 于点H 、点G ． 求证：EAH ∆≌FCG ∆．(第15题图)O BCA DBCMN →P →(第17题图)ABCDE GFH21.（9分）在一个不透明的布袋中，装有三个小球，小球上分别标有数字“1”、“2”和“3”，它们除了数字不同外，其余都相同.（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为“3”的概率是多少？（2）若第一次从布袋中随机摸出一个小球，设记下的数字为x ，再将此球放回盒中，第二次再从布袋中随机抽取一张，设记下的数字为y ，请用画树状图或列表法表示出上述情况的所有等可能结果，并求出3>+y x 的概率．22.（9分）今年植树节，某校组织师生开展植树造林活动，为了了解全校1200名学生的植树情况，随机抽样调查部分学生的植树情况，制成如下统计表和条形统计图（均不完整）．植树数量（棵） 频数 频率 3 5 0.1 4 20 5 0.3 6 10 0.2 合计1（1）将统计表和条形统计图补充完整； （2）求所抽样的学生植树数量的平均数；（3）若植树数量不少于5棵的记为“表现优秀”，试根据抽样数据，估计该校1200名学生“表现优秀”的人数.23.（9分）某水果店老板用400元购进一批葡萄，由于葡萄新鲜，很快售完，老板又用500元购进第二批葡萄，所购数量与第一批相同，但每千克比第一批多了2元. （1）求：第一批葡萄进价每千克多少元？（请列方程求解）（2）若水果店老板以每千克11元的价格将两批葡萄全部售出，可以盈利多少元？ADCBP xyO 24.（9分）已知：直线243+=x y 与双曲线()0>=k x k y 相交于点A 、B ，且点A 的纵坐标为1-.（1）求双曲线的解析式；（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于点D 、C ，过点B 作AB BP ⊥，交y 轴于点P ，求BPC ∠tan 的值.yxOABCPMN 25. （13分）如图，已知抛物线c x x y ++-=22经过点()3,0C ，且与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），线段BC 与抛物线的对称轴相交于点P ．M 、N 分别是线段OC 和x 轴上的动点，运动时保持︒=∠90MPN 不变． （1）求抛物线的解析式；（2）①试猜想PN 与PM 的数量关系，并说明理由；②在①的前提下，连结MN ，设m OM =MPN ∆的面积为S ，求S 的最大值.26. （13分）如图1，在平面直角坐标系中，等边OAB ∆的顶点)0,6(-A ，顶点B 在第二象限，顶点O 为坐标原点，过点B 作OA BC //交y 轴于点C . （1）填空：点B 的坐标是________； （2）若点Q 是线段OB 上的一点，且OB OQ 31=，过点Q 作直线l 分别与直线AO 、 直线BC 交于点H 、G ，以点O 为圆心，OH 的长为半径作⊙O . ① 设点G 的横坐标为x ，当点G 在直线．．BC 上移动，试探究：当x 为何值时，⊙O 与直线BC 、直线AB 都分别相切？② 过点G 作OC GD //，交x 轴于点D ，若线段．．GD 与⊙O 有公共点P ，且点M （1，1），探求：PM PO +2的最小值.（图1）ABGCQHy xOlC yOABQ Mx（备用图）初中学业质量检查数学试题参考答案及评分标准说明：（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分. （二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分. （三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数.一、选择题（每小题3分，共21分）1. A ；2.C ；3. D ；4.A ；5. C ；6.D ；7. B ；二、填空题（每小题4分，共40分）8.5-； 9. 1； 10. ()232-x ； 11.910796.2⨯； 12. 40； 13.8；14. 20； 15.22π； 16.3:448；17. D C . 三、解答题（共89分）18.（本小题9分）解：原式1543-+-=………………………………………………………8分3= …………………………………………………………………9分19.（本小题9分）解：原式=()96422+---a a a ………………………………………………4分= 96422-+--a a a ……………………………………………………………5分 =136-a ………………………………………………………………6分当32-=a 时，原式=13326-⎪⎭⎫⎝⎛-⨯ 17-=…………………………………………………………9分20.（本小题9分）(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CB AD =，AD∥CB，C A ∠=∠………………………………………3分 ∴F E ∠=∠……………………………………4分 ∵BF DE =，∴BFCB DE AD +=+，即ABCDE GFHCF AE =…………………………………6分在EAH ∆和FCG ∆中，F E ∠=∠,CF AE =,C A ∠=∠，∴EAH ∆≌FCG ∆()ASA …………………………………………………………9分 21.（本小题9分） 解： (1)31；…………………………………………………………………………………3分 (2)（解法一）列举所有等可能结果，画出树状图如下：…………………………………………………………………………………………6分 由上图可知，共有9种等可能结果，其中3>+y x 的情况有6种.∴()32963==>+y x P ………………………………………………………………………………9分 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3456………………………………………………………………………………………………………………………6分由上图可知，共有9种等可能结果，其中3>+y x 的情况有6种.∴()32963==>+y x P …………………………………………………………………………………………………9分22.（本小题9分）（1）0.4 15 50；……………………………………………………3分 补图如图所示…………………………………………………………5分数字y和数字x1 2 3数字x数字y2 3 1 2 3 1 2 31（2）6.45061051542035=⨯+⨯+⨯+⨯（棵）……………………7分（3）由样本的数据知，“表现优秀”的百分率为5.02.03.0=+ 由此可以估计该校1200名学生“表现优秀”的人数：6005.01200=⨯（人）……………………………………………………………9分23（本小题9分）解：(1)设第一批葡萄进价每千克x 元，依题意得 ………………………………………………………1分4005002x x =+…………………………………………………………………………………3 解得：8x =，…………………………………………………………………………………5 经检验8x =是原方程的解，且符合题意答：第一批葡萄进价每千克8元.………………………………………………………………6分 (2) 由（1）知508400＝，20050040011250）＝（+-⨯⨯ 答：可盈利200元 ……………………………………9分 24（本小题9分） 解：(1)把1-=y 代入243+=x y ，得：4-=x ∴点A 的坐标为()1,4--…………………………………………………………2分把()1,4--代入xk y =，得：41-=-k ，∴4=k∴双曲线的解析式为：xy 4=………………………………………………………………4分(2)∵AB BP ⊥，∴︒=∠90PBC ，∴︒=∠+∠90PCB BPC∵CO DO ⊥，∴︒=∠90DOC ，︒=∠+∠90DCO CDO ，又PCB DCO ∠=∠ ∴CDO BPC ∠=∠，CDO BPC ∠=∠tan tan …………………………………………………………………………………………5分在243+=x y 中，令0=x ，则2=y ，∴2=OC ，令0=y ，则38-=x ，∴38=DO ，………………………………………7分在DOC Rt ∆中，43382tan tan ===∠=∠DO OC CDO BPC .…………………………9分 25.(本小题13分)解：(1)把点()3,0C 代入c x x y ++-=22得：3=c∴抛物线的解析式是322++-=x x y .…………………………………………………3分 (2) ①猜想PM PN 2=，理由如下：……………………………………………4分 令0=y ，则0322=++-x x ，解得：11-=x ，32=x ∴()0,1-A ，()0,3B设直线CB 的解析式为b kx y +=()0≠k ，∴⎩⎨⎧=+=03,3b k b ，解得：⎩⎨⎧=-=31b k ，∴直线CB 的解析式为3+-=x y抛物线322++-=x x y 的对称轴为直线1=x ， ∴当1=x 时，231=+-=y ，∴()2,1P ，…………………………………………………………………………………7分 作y PE ⊥轴于点E ，如图1，设抛物线的对称轴与x 轴相交于点F ，则四边形PEOF 是矩形.∴1=PE ，2=PF ∴︒=∠+∠90MPF EPM ∵︒=∠90MPN ，∴︒=∠+∠90FPN MPF ，∴FPN EPM ∠=∠ 又∵︒=∠=∠90PFN PEM ，∴PEM ∆∽PFN ∆ ∴PN PM PF PE =，∵()2,1P ，∴1=PE ，2=PF ，∴21=PN PM ，即PM PN 2=.……………………………………………………10分②∵m OM =，∴()m M ,0，∴m EM -=2，1=PE 在PEM Rt ∆中，由勾股定理得：()5421222+-=-+=m m m PM542212122+-==⋅=⋅==∆m m PM PM PM PN PM S S PMN ∴()122+-=m S ()30≤≤m当20≤≤m 时，S 随着m 的增大而减小，当0=m 时，S 有最大值，5＝最大值S . 当32≤≤m 时，S 随着m 的增大而增大，当3=m 时，S 有最大值，2＝最大值S 综上，当30≤≤m 时，即0=m ，5＝最大值S ………………………………………………………………………………………………13分26.(本小题13分)yxOABC PMN EF （图1）11 / 12解：（1）()33,3-B ……………………………………………………………………………………………3分（2）解：①作AB OT ⊥于点T ， OC AO ⊥，OA BC // ∴OC BC ⊥OAB ∆是等边三角形， ∴︒=∠=∠60ABO BOA ， OA BC //，∴CBO BOA ∠=∠，∴CBO ABO ∠=∠，即OB 平分ABC ∠ ∴OC OT =……………………………………………………………………………………………………4分分两种情况讨论：(i)当点G 在点B 的右侧时，如图1所示当OT OC OH ==时，⊙O 与直线BC 、直线AB 都分33==OC OH ， OA BC //∴QBG ∆∽QOH ∆∴BQ OQ BG OH =，又OB OQ 31=，则21=BQ OQ ∴2133==BQ OQ BG ，即36=BG ，…………………………………………6分 ∴336-=-=BC BG CG，∴当336-=x 时，⊙O 与直线BC 、直线AB 切.……………………………………………………………7(ii)当点G 在点B 的左侧时，如图2所示 当OT OC OH ==时，⊙O 与直线BC 、直线AB 此时33==OC OH ， 同①可得：36=BG ，∴336+=+=BC BG CG∴当336--=x 时，⊙O 与直线BC 、直线AB 切.12 / 12综上，336-=x 或336--=x 时⊙O 与直线BC 、直线AB 都分别相切. ②解：由①可得21=BG OH ，即21=BG OP PM BG PM OP +=+∴2如图3所示，过点M 作直线y MN ⊥轴于点N ，交GD 于点K ，则四边形GCNK 为矩形 CG NK =∴KM BG PM BG PM PO +≥+=+∴2当点P 在y 轴的左侧且与点K 重合时，如图4，此时12-=-=+=+=+∴B M x x KM BG PM BG PM PO ∴当点P 在y 轴的左侧且与点K 重合时，PM PO +2最小值为4. …………………………………………………………13分。

2014年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(共10小题,每题4分,满分40分;每小题只有一个正确的选项)1.-5的相反数是()A.-5B.5C.D.-2.地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时,将110000用科学记数法表示为()A.11×104B.1.1×105C.1.1×104D.0.11×1063.某几何体的三视图如图所示,则该几何体是()A.三棱柱B.长方体C.圆柱D.圆锥4.下列计算正确的是()A.x4·x4=x16B.(a3)2=a5C.(ab2)3=ab6D.a+2a=3a5.若7名学生的体重(单位:kg)分别是:40,42,43,45,47,47,58,则这组数据的平均数是()A.44B.45C.46D.476.下列命题中,假命题．．．是()A.对顶角相等B.三角形两边的和小于第三边C.菱形的四条边都相等D.多边形的外角和等于360°7.若(m-1)2+=0,则m+n的值是()A.-1B.0C.1D.28.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器,根据题意,下面所列方程正确的是()A.=B.-=C.= D.=-9.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC为()A.45°B.55°C.60°D.75°10.如图,已知直线y=-x+2分别与x轴,y轴交于A,B两点,与双曲线y=交于E,F两点.若AB=2EF,则k的值是()A.-1B.1C.D.第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(共5小题,每题4分,满分20分;请将正确答案填在相应位置)11.分解因式:ma+mb=.12.若5件外观相同的产品中有1件不合格,现从中任意抽取1件进行检测,则抽到不合格产品的概率是.13.计算:(+1)(-1)=.14.如图,在▱ABCD中,DE平分∠ADC,AD=6,BE=2,则▱ABCD的周长是.15.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC到点F,使CF=BC.若AB=10,则EF的长是.三、解答题(满分90分;请将正确答案及解答过程写在相应位置.作图或添加辅助线用铅笔画完,再用黑色签字笔描黑)16.(每小题7分,共14分)(1)计算:++|-1|;(2)先化简,再求值:(x+2)2+x(2-x),其中x=.17.(每小题7分,共14分)(1)如图1,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D;(2)如图2,在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中,△ABC的顶点均在格点上.①sin B的值是;②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(A与A1,B与B1,C与C1相对应),连结AA1,BB1,并计算梯形AA1B1B的面积.图1图2设中学生体质健康综合评定成绩为x分,满分为100分.规定:85≤x≤100为A级,75≤x<85为B 级,60≤x<75为C级,x<60为D级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩,整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中的信息,解答下列问题:(1)在这次调查中,一共抽取了名学生,a=%;(2)补全条形统计图;(3)扇形统计图中C级对应的圆心角为度;(4)若该校共有2000名学生,请你估计该校D级学生有多少名?19.(满分12分)现有A,B两种商品,买2件A商品和1件B商品用了90元,买3件A商品和2件B商品用了160元.(1)求A,B两种商品每件各是多少元;(2)如果小亮准备购买A,B两种商品共10件,总费用不超过．．．300元,问有几．．．350元,且不低于种购买方案,哪种方案费用最低?如图,在△ABC中,∠B=45°,∠ACB=60°,AB=3,点D为BA延长线上的一点,且∠D=∠ACB,☉O为△ACD的外接圆.(1)求BC的长;(2)求☉O的半径.21.(满分13分)如图1,点O在线段AB上,AO=2,OB=1,OC为射线,且∠BOC=60°,动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动,设运动时间为t秒.(1)当t=秒时,则OP=,S△ABP=;(2)当△ABP是直角三角形时,求t的值;(3)如图2,当AP=AB时,过点A作AQ∥BP,并使得∠QOP=∠B.求证:AQ·BP=3.图1图2备用图如图,抛物线y=(x-3)2-1与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)求点A,B,D的坐标;(2)连结CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连结AE,AD.求证:∠AEO=∠ADC;(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作☉E 的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标.备用图答案全解全析：一、选择题1.B只有符号不同的两个数互为相反数,-5的相反数是5,故选B.评析本题考查相反数的定义,属容易题.2.B科学记数法的表示形式为a×10n,1≤|a|<10,故110000=1.1×105,故选B.评析本题考查科学记数法的定义,属容易题.3.D由主视图和左视图为三角形知此几何体为锥体,由俯视图为圆可推得此几何体为圆锥.评析本题考查由三视图抽象出几何体和学生的空间想象能力,属容易题.4.D x4·x4=x4+4=x8,A选项错误;(a3)2=a3×2=a6,B选项错误;(ab2)3=a3·b2×3=a3b6,C选项错误;根据合并同类项法则知,D选项正确,故选D.5.C这组数据的平均数是=46,故选C.评析本题考查数据分析中的平均数的计算方法,属容易题.6.B根据三角形三条边之间的关系可知B是错误的,故选B.7.A∵(m-1)2+=0,∴-∴-∴m+n=-1,故选A.8.A根据“现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同”可以列出方程=,故选A.评析本题考查分式方程的应用,根据题意正确找出等量关系是关键,属容易题.9.C由已知得AB=AE,∠BAE=150°,∴∠ABF=15°,∴∠BFC=∠ABF+∠BAF=60°.评析本题考查正方形、等边三角形、等腰三角形的性质,属中等难度题.10.D如图,作ED⊥OB,EC⊥OA,FG⊥OA,垂足分别为D,C,G,ED交FG于H,易得A(2,0),B(0,2),∴△ACE、△AOB、△EHF都是等腰直角三角形,又∵AB=2EF,∴EH=FH=1,设OG=x,∴AC=EC=1-x,∴E(x+1,1-x),F(x,2-x).又∵点E、F在双曲线上,∴(x+1)(1-x)=x(2-x),解得x=,∴E,k=.评析本题考查反比例函数与一次函数图象的交点问题,相似三角形的判定和性质,属难题.二、填空题11.答案m(a+b)解析ma+mb=m(a+b).评析本题考查提公因式法分解因式,属容易题.12.答案解析5件外观相同的产品中有1件不合格,从中任意抽取1件进行检测,则抽到不合格产品的概率是.评析本题考查概率,属容易题.13.答案1解析(+1)(-1)=()2-12=2-1=1.评析本题考查二次根式的运算法则和平方差公式,属容易题.14.答案20解析∵四边形ABCD是平行四边形,AD=6,BE=2,∴BC=AD=6,∴EC=4.又∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠EDC.∵AD∥BC,∴∠ADE=∠DEC,∴∠DEC=∠EDC.∴CD=EC=4.∴▱ABCD的周长是2×(6+4)=20.评析本题考查平行四边形的性质和等腰三角形的判定,属中等难度题. 15.答案5解析∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,AB=10,∴AD=5,AE=EC,DE=BC,∠AED=90°.∵CF=BC,∴DE=FC.在Rt△ADE和Rt△EFC中,∵AE=EC,∠AED=∠ECF=90°,DE=FC,∴Rt△ADE≌Rt△EFC(SAS).∴EF=AD=5.评析本题考查三角形中位线定理,属中等难度题.三、解答题16.解析(1)原式=3+1+1=5.(2)原式=x2+4x+4+2x-x2=6x+4.当x=时,原式=6×+4=6.评析本题考查了实数的运算,属容易题.17.解析(1)证明:∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE.又∵AB=DC,∠B=∠C,∴△ABF≌△DCE.∴∠A=∠D.(2)①.②如图所示.由轴对称的性质可得,AA1=2,BB1=8,梯形AA1B1B的高是4.=(AA1+BB1)×4=20.∴梯形评析本题考查了全等三角形的判定与性质,属容易题.18.解析(1)50;24.(2)如图所示.综合评定成绩条形统计图(3)72.(4)该校D级学生约有2000×=160(名).评析本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用,条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比,属容易题.19.解析(1)设A商品每件x元,B商品每件y元.依题意,得解得答:A商品每件20元,B商品每件50元.(2)设小亮准备购买A商品a件,则购买B商品(10-a)件.依题意,得--解得5≤a≤6.根据题意知,a的值应为整数,所以a=5或a=6.方案一:当a=5时,购买费用为20×5+50×(10-5)=350元;方案二:当a=6时,购买费用为20×6+50×(10-6)=320元.∵350>320,∴购买A商品6件,B商品4件的费用最低.答:有两种购买方案,方案一:购买A商品5件,B商品5件;方案二:购买A商品6件,B商品4件.其中方案二费用最低.20.解析(1)过点A作AE⊥BC,垂足为E.∴∠AEB=∠AEC=90°.在Rt△ABE中,∵sin B=,∴AE=AB·sin B=3·sin45°=3×=3.∵∠B=45°,∴∠BAE=45°.∴BE=AE=3.在Rt△ACE中,∵tan∠ACB=,∴EC==°==.∴BC=BE+EC=3+.(2)由(1)得,在Rt△ACE中,∠EAC=30°,EC=,∴AC=2.解法一:连结AO并延长交☉O于M,连结CM.∵AM为直径,∴∠ACM=90°.在Rt△ACM中,∵∠M=∠D=∠ACB=60°,sin M=,=4.∴AM==°∴☉O的半径为2.解法二:连结OA,OC,过点O作OF⊥AC,垂足为F,则AF=AC=.∵∠D=∠ACB=60°,∴∠AOC=120°.∴∠AOF=∠AOC=60°.在Rt△OAF中,∵sin∠AOF=,∴AO==2,即☉O的半径为2.评析本题主要考查了解直角三角形以及锐角三角函数的应用,属中等难度题.21.解析(1)1;.(2)①∵∠A<∠BOC=60°,∴∠A不可能为直角.②当∠ABP=90°时,∵∠BOC=60°,∴∠OPB=30°.∴OP=2OB,即2t=2.∴t=1.③当∠APB=90°时,作PD⊥AB,垂足为D,则∠ADP=∠PDB=90°.∵OP=2t,∴OD=t,PD=t,AD=2+t,BD=1-t(△BOP是锐角三角形).解法一:BP2=(1-t)2+3t2,AP2=(2+t)2+3t2.∵BP2+AP2=AB2,∴(1-t)2+3t2+(2+t)2+3t2=9,即4t2+t-2=0.解得t1=-,t2=--(舍去).解法二:∵∠APD+∠BPD=90°,∠B+∠BPD=90°,∴∠APD=∠B.又∵∠ADP=∠PDB=90°,∴△APD∽△PBD,∴=,∴PD2=AD·BD.于是(t)2=(2+t)(1-t),即4t2+t-2=0.解得t1=-,t2=--(舍去).综上,当△ABP是直角三角形时,t=1或-.(3)证法一:∵AP=AB,∴∠APB=∠B.作OE∥AP,交BP于点E,∴∠OEB=∠APB=∠B.∵AQ∥BP,∴∠QAB+∠B=180°.又∵∠3+∠OEB=180°,∴∠3=∠QAB.又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP,已知∠B=∠QOP,∴∠1=∠2.∴△QAO∽△OEP.∴=,即AQ·EP=EO·AO.∵OE∥AP,∴△OBE∽△ABP.∴===.∴OE=AP=1,BP=EP.∴AQ·BP=AQ·EP=AO·OE=×2×1=3.证法二:连结PQ,设AP与OQ相交于点F.∵AQ∥BP,∴∠QAP=∠APB.∵AP=AB,∴∠APB=∠B.∴∠QAP=∠B.又∵∠QOP=∠B,∴∠QAP=∠QOP.∵∠QFA=∠PFO,∴△QFA∽△PFO.∴=,即=.又∵∠PFQ=∠OFA,∴△PFQ∽△OFA.∴∠3=∠1.∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP,已知∠B=∠QOP,∴∠1=∠2.∴∠2=∠3.∴△APQ∽△BPO.∴=.∴AQ·BP=AP·BO=3×1=3.22.解析(1)顶点D的坐标为(3,-1).令y=0,得(x-3)2-1=0,解得x1=3+,x2=3-.∵点A在点B的左侧,∴点A坐标为(3-,0),点B坐标为(3+,0).(2)证明:过D作DG⊥y轴,垂足为G,则G(0,-1),GD=3.令x=0,则y=,∴点C坐标为.∴GC=-(-1)=.设对称轴交x轴于点M.∵OE⊥CD,∴∠GCD+∠COH=90°.∵∠MOE+∠COH=90°,∴∠MOE=∠GCD.又∵∠CGD=∠OME=90°,∴△DCG∽△EOM.∴=,即=.∴EM=2,即点E的坐标为(3,2),∴ED=3.由勾股定理,得AE2=6,AD2=3,∴AE2+AD2=6+3=9=ED2.∴△AED是直角三角形,且∠DAE=90°.设AE交CD于点F.∴∠ADC+∠AFD=90°.又∵∠AEO+∠HFE=90°,∠AFD=∠HFE,∴∠AEO=∠ADC.(3)由☉E的半径为1,根据勾股定理,得PQ2=EP2-1.要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小.设点P的坐标为(x,y),由勾股定理,得EP2=(x-3)2+(y-2)2.∵y=(x-3)2-1,∴(x-3)2=2y+2.∴EP2=2y+2+y2-4y+4=(y-1)2+5.当y=1时,EP2取最小值,为5.把y=1代入y=(x-3)2-1,得(x-3)2-1=1,解得x1=1,x2=5.又∵点P在对称轴右侧的抛物线上,∴x1=1舍去.∴点P的坐标为(5,1).此时Q点坐标为(3,1)或.评析本题是压轴题,涉及考点众多,难度较大.第(2)问中,注意观察图形,将问题转化为证明△ADE为直角三角形的问题,综合运用勾股定理及其逆定理、三角函数(或相似形)求解;第(3)问中,解题关键是将最值问题转化为求EP2最小值的问题,注意求EP2最小值的具体方法.属难题.。

2014-2015学年高二下学期期中考试数学(理科)试卷第I 卷（选择题 共70分）一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在复平面内，复数1ii+对应的点位于（ ） Ａ．第一象限Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限2、已知()2f x x =，则()3f '等于（ ）A ．0B ．2xC ．6D ．9 3.下列表述正确的是（ ）①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

A ．①③⑤；B ．②③④；C ．②④⑤；D ．②③⑤。

4. 用反证法证明命题“三角形的内角至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（ ）. A ．假设三内角都不大于60︒ B ．假设三内角都大于60︒ C ．假设三内角至多有一个大于60︒ D ．假设三内角至多有两个大于60︒ 5、若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为210x y +-=，则（ ）A. 00()f x '>B. 00()f x '<C. 00()f x '=D. 0()f x '不存在 6. 定积分()1e2xx dx +⎰等于（ ）．A ．1B ．e 1-C ．eD ．e 1+ 7．用数学归纳法证明：22111(1)1n n a a a aa a++-++++=≠-，在验证n ＝1时，左端计算所得的式子是（ ）（A ）1 （B ）1+a （C ）21a a ++ （D ）231a a a +++ 8 . 函数y =x 2cos x 的导数为（ ）A ．y ′=x 2cos x -2x sin xB ．y ′=2x cos x +x 2sin xC ．y ′=x cos x -x 2sin xD ． y ′=2x cos x -x 2sin x9.观察式子： 474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，…，则可归纳出式子为（ ）A 、121131211222-<+++n nB 、121131211222+<+++n nC 、n n n 12131211222-<+++D 、122131211222+<+++n nn10. 函数x x y 33-=的极大值为m ，极小值为n ，则n m +为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．411．已知函数()f x 的导函数的图象如图所示，给出下列四个结论： ①函数()f x 在区间(3,1)-内单调递减； ②函数()f x 在区间(1,7)内单调递减；③当3x =-时，函数()f x 有极大值； ④当7x =时，函数()f x 有极小值． 则其中正确的是 （ ）A ．②④B ．①④C ．①③D ．②③12.函数()()321f x x ax =+-+∞在区间，内是增函数，则实数a 的取值范围是 A.[)3+∞，B.[)3-+∞，C.()3-+∞，D.()-∞，-313．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示，则函数y=f (x)的图象可能为 （ ）A B C D 14. 对于函数x e x f xln )(-=，下列结论正确的一个是O-1 xy1 -1-2-11 2-2 -11-11A. )(x f 有极小值，且极小值点)21,0(0∈xB. )(x f 有极大值，且极大值点)21,0(0∈x C. )(x f 有极小值，且极小值点)1,21(0∈x D. )(x f 有极大值，且极大值点)1,21(0∈x 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在相应横线上.）15.复数ii++121的虚部是 16．设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =17.⎰--2224dx x =________.18． 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市． 由此可判断乙去过的城市为________．19. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图3中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．2014-2015学年高二下学期期中考试512122图3数学（理科）答题卡一、选择题（70分）二、填空题（20分）15、_______________；16、_______________；17、18、19、______________，_____________三、解答题（共5小题，共60分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）20.（本小题满分10分）过点A(4，2)作曲线()f x x=的切线l．（1）求切线l的方程；（2）求切线l，x轴及曲线()f x x=所围成的封闭图形的面积s．21(本小题满分12分)已知数列()()1111,,,,1335572121n n⨯⨯⨯-+题序一二20 21 22 23 24 总分得分题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14答案⑴求出1234,,,S S S S ； ⑵猜想前n 项和n S . (3）并用数学归纳法证明你的猜想是否正确？22. (本小题满分12分)已知函数32y ax bx =+，当1x =时，有极大值3 （1）求函数的解析式并写出它的单调区间 （2）求此函数在上的最大值和最小值23. (本小题满分12分)某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值.已知投入x 万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为2(60)x x -万元，并且技改投入比率(0,5]60xx∈-. （Ⅰ）求技改投入x 的取值范围；（Ⅱ）当技改投入多少万元时，所获得的产品的增加值为最大，其最大值为多少万元？24（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)若2a =,求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)设2()22g x x x =-+,若对任意1(0,)x ∈+∞,均存在[]20,1x ∈,使得12()()f x g x <,求a的取值范围.。

1．A ； 2．B ； 3．A ； 4．A ；5．A ；6．D ；7．C ；8．D ；9．C ；10．A ． 11．1+i ； 12．20； 13．8； 14．2nn +； 15．①． 16．解法一：（I ）()2cos cos 222x x x f x m =++11cos 22x x m =+++ 1sin 62x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭． ……………………3分因为()f x 的图象过点（56π，0），所以51sin 0662m ππ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，解得12m =-. ………5分所以()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由22262k x k πππ-+π≤+≤+π，得22233k x k ππ-+π≤≤+π，k ∈Z . 故()f x 的单调递增区间是22,233k k ππ⎡⎤-+π+π⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ……………7分（Ⅱ）由（I ）得，()1cos 2f x x x =+.所以01cos 2t S x x dx ⎫=+⎪⎪⎝⎭⎰ ……………9分01sin 22t x =-+11sint 0sin 022⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 32t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． ……………12分 所以()sin 32S t t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（203t π<<）. ……………13分 解法二：(Ⅰ)因为函数()f x 的图象过点（56π，0），所以506f ⎛⎫π= ⎪⎝⎭.又25555cos cos 6121212f m ⎛⎫π=ππ+π+ ⎪⎝⎭5151cos 6262m =π+π++1122m m =++=+. ………………3分 所以102m +=，解得12m =-. ………………5分以下同解法一.（II ）由（I ）得()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 所以0sin 6tS x dx π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰ ……………9分 0cos 6t x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭cos 6t π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. ………………12分 所以()cos 6S t t π⎛⎫=-+⎪⎝⎭（203t π<<）. ………………13分17．本题主要考查频率分布直方图、样本平均数等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意可知，该地区吸烟者人数占总人数的18． ……………..2分 所以抽取的3个人中至少1人吸烟的概率为0033171()()88p C =-……………..5分169512=． ……………..6分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知，吸烟者烟草消费支出的平均数为0.150.10.250.30.350.30.450.10.550.10.650.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.36=（万元）． ……………..8分又该地区吸烟者人数为11008⨯万， ……………..10分 所以该地区年均烟草消费税为41100100.40.36180008⨯⨯⨯⨯=（万元）．……………..12分 又由于该地区因吸烟导致的疾病治疗等各种费用约为18800万元，它超过了当地烟草消费税， 所以当地的烟草消费税不足以支付当地居民因吸烟导致的疾病治疗等各种费用．……………..13分 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、简单几何体的体积、二面角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．满分13分．解：（I ）取AB 中点O ，连接OM ，OC.∵M 为A 1B 1中点，∴MO ∥A 1A ，又A 1A ⊥平面ABC ，∴MO ⊥平面ABC ，∴MO ⊥AB …………….2分 ∵△ABC 为正三角形，∴AB ⊥CO 又MO ∩CO=O ，∴AB ⊥平面OMC 又∵MC ⊂平面OMC ∴AB ⊥MC ……………5分（II ）以O 为原点，以OB ，OC ，M O 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系．如图.依题意(0,0,0),(2,0,0),(2,0,0),O A B C M -． …………….6分设)(0P t t ≤≤，则(0,23,26),(4,0,0),(0,2)MC AB OP t =-==．………….7分要使直线MC ⊥平面ABP ，只要0,0.MC OP MC AB ⎧=⎪⎨=⎪⎩即20-=，解得t =…………….8分 ∴P 的坐标为．∴当P 为线段1CC 的中点时，MC ⊥平面ABP ．…………….10分 （Ⅲ）取线段AC 的中点D，则(1D -，易知DB ⊥平面11A ACC ，故(3,DB =为平面PAC 的一个法向量．……….11分又由（II）知MC =-为平面PAB 的一个法向量． …………….12分 设二面角B AP C --的平面角为α，则3cos 6MC DB MC DBα⨯===． ∴二面角B AP C -- ． …………….13分 19．本小题主要考查圆的方程与性质、椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分13分．解：（Ⅰ）设M (,)x y ，P (,)p p x y ，因为PQ 垂直x 轴于点Q ，M 为直线l 上一点，且2PQ MQ =， 所以p x x =，p y =，…………….2分因为点P 在圆22:2O x y +=上，所以222p p x y +=即22)2x +=，整理得2212x y +=． 故曲线Γ的方程为2212x y +=．…………….4分 （Ⅱ）设三角板的直角顶点放置在圆O 的圆周上的点(,)N a b 处，则222a b +=，又设三角板的另一条直角边所在直线为l '． （ⅰ）当1a =时，直线NF x ⊥轴，:1l y '=±，显然l '与曲线Γ有且只有一个公共点．……………5分 （ⅱ）当1a ≠时，则1NF b k a =-. 若0b =时，则直线l '：x =l '与曲线有且只有一个公共点；………6分若0b ≠时，则直线l '的斜率1ak b-=， 所以()1:a l y b x a b -'-=-，即12a ay x b b--=+ ，……………7分 由221,212,x y a a y x b b ⎧+=⎪⎪⎨--⎪=+⎪⎩得()()2222212112102a a a a x x b b b ⎡⎤⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++⋅+-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即()()()()2222221412220b a x a a x a b ⎡⎤⎡⎤+-+--⋅+--=⎣⎦⎣⎦． （*）又222b a =-， ……………8分所以方程（*）可化为()()()()2222412410a x a a x a -+--⋅+-=，所以()()()()22241216210a a a a ∆=-----=⎡⎤⎣⎦， ……………9分所以直线l '与曲线Γ有且只有一个公共点．综上述，该同学的结论正确。