山东省诸城市桃林镇中考数学第31章归纳法复习题无答案

专题30 函数与面积破解策略解决函数与面积问题的常用方法有 1．割补法当所求图形的面积没有办法直接求出时，我们采取分割或补全图形再分割的方法来表示所求图形的面积，如图：EDC BADCBADCBAS △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD S 四边形ABCD ＝S 四边形ADCE ＋S △BCEN FMDCBAECBAS △ABC ＝S 梯形AEFC －S △AEB －S △CBF S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S 梯形BDNM －S △BCM －S △D一般步骤为：（1）设出要求的点的坐标；（2）通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积相加减； （3）列出关于所设参数的方程求解； （4）检验是否每个坐标都符合题意． 2．等积变换法利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：nmD C EBA直线m ∥直线nS △ABC ＝S △ABD ＝S △ABE例如，在平面直角坐标系中经常作已知三角形一边的平行线去进行等积变换，y xO EDC BAS △ABC ＝S △ABD ＝S △ABE一般步骤： （1） 设出直线表达式，两条平行的直线k 值相等； （2） 通过已知点的坐标，求出直线表达式； （3） 求出题中要求的点；（4）检验是否每个坐标都符合题意．3、铅锤法三角形的铅垂高指无论三角形怎么放，上方顶点到下方顶点的纵向距离（不是两点之间的距离，而是指两点之间上下距离，左右横向不用考虑）．在平面直角坐标系中经常向x 轴y 轴作垂线，然后利用铅锤法，如图一般步骤：（1）设出点的坐标；（2）向x 轴y 轴作垂线对图形进行分割，利用铅锤法表示图形面积； （3）根据题意列方程求解； （4）检验是否符合题意． 4．等比转换法若已知条件中的图形是相似的，可以将面积比转化为图形的线段比；若已知条件中的图形是同底或等底 的，可以将面积比转化为图形的对应高的比；若已知条件中的图形是同高或等高 的，可以将面积比转化为图形的对应底的比 一般步骤：（1）设出点的坐标；（2）将图形的面积比转化为图形的线段比； （3）列方程，求出参数； （4）检验是否符合题意． 例1如图，直线x y 21=与双曲线)0(>=k x ky 交A 、B 两点，且点A 的横坐标为4， （1） 求k 的值 （2） 若双曲线)0(>=k xky （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线)0(>=k xky ）于P ，Q 两点（P 点在第一象限），若由点A ，B ，P ，Q 为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标．解（1）∵点A 横坐标为4， 把x ＝4代入x y 21=中 得y ＝2， ∴A （4，2）， ∵点A 是直线x y 21=与双曲线)0(>=k xky ）的交点， ∴k ＝4×2＝8；（2）解法一：如图，∵点C 在双曲线上， 当y ＝8时，x ＝1， ∴点C 的坐标为（1，8）．过点A ． C 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，得矩形DMON ． ∵S 矩形ONDM ＝32，S △ONC ＝4，S △CDA ＝9，S △OAM ＝4． ∴S △AOC ＝S 矩形ONDM −S △ONC −S △CDA −S △OAM ＝32−4−9−4＝15；解法二：如图，过点C ． A 分别做x 轴的垂线，垂足为E ． F ， ∵点C 在双曲线y ＝8x 上， 当y ＝8时，x ＝1， ∴点C 的坐标为（1，8）． ∵点C ． A 都在双曲线y ＝8x 上， ∴S △COE ＝S △AOF ＝4，∴S △COE ＋S 梯形CEFA ＝S △COA ＋S △AOF ． ∴S △COA ＝S 梯形CEF A ．∵S 梯形CEFA ＝12×（2＋8）×3＝15， ∴S △COA ＝15；（3）∵反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形， ∴OP ＝OQ ，OA ＝OB ，∴四边形APBQ 是平行四边形，∴S △POA ＝S 平行四边形APBQ ×14＝14×24＝6， 设点P 的横坐标为m （m ＞0且m ≠4）， 得P （m ，8m ），过点P 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E ． F ， ∵点P 、A 在双曲线上， ∴S △POE ＝S △AOF ＝4， 若0＜m ＜4，如图，∵S △POE ＋S 梯形PEFA ＝S △POA ＋S △AOF ， ∴S 梯形PEFA ＝S △POA ＝6． ∴21 （2＋m8）⋅（4−m ）＝6 ∴m 1＝2，m 2＝−8（舍去）， ∴P （2，4）；若m ＞4，如图，∵S △AOF ＋S 梯形AFEP ＝S △AOP ＋S △POE ， ∴S 梯形PEFA ＝S △POA ＝6． ∴21 （2＋m8）⋅（m −4）＝6， 解得m 1＝8，m 2＝−2（舍去）， ∴P （8，1）．∴点P 的坐标是P （2，4）或P （8，1）．例2如图，抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为直线x ＝2，且与x 轴交于A 、B 两点，且与x 轴交于A 、B 两点．与y 轴交于点C ．其中AI （1，0），C （0，－3）． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上运动（点P 异于点A ）．当△PBC 面积与△ABC 面积相等时．求点P 的坐标；解：（1）由题意，得，解得∴抛物线的解析式为． （2）①令，解得∴B （3，0）当点P 在x 轴上方时，如图1，过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，易求直线BC的解析式为，∴设直线AP的解析式为，∵直线AP过点A（1，0），代入求得．∴直线AP的解析式为解方程组，得∴点当点P在x轴下方时，如图1设直线交y轴于点，把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点，得直线的解析式为，解方程组，得∴综上所述，点P的坐标为：，例3如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线23=+-（a≠0）与x轴交于A（－2，0），B（4．0）y ax bx两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P从点A出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒1个电位长度的速度向点C运动，其中一个点到达终点时．另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，问：运动多少秒时，△PBQ的面积最大，晟大面积是多少？（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点K．使S△CBK∶S△PBQ＝5∶2？若存在，求点K 的坐标；若不存在，请说明理由．x解（1）因为抛物线与x轴交于A（－2，0），B（4，0）两点，所以y＝a（x＋2）（x－4）＝ax2－2ax－8a．所以－8a＝－3，解得38a=．b＝－2a＝－34．所以抛物线的表达式为233384y x x=--．（2）如图1．过点Q作QH⊥x轴于点H．x图1在Rt△BCO中，OB＝4，OC＝3，所以BC＝5．sin B＝35．在Rt△BQH中，BQ＝t．所以QH＝BQ·sin B＝35t．所以S△PBQ＝12BP·QH＝12（6－3t）×35t＝()29911010t--+．因为0≤t≤2，所以当t＝1时，△PBQ的面积最大，最大面积是910．（3）方法一：等比转化法当△PBQ的面积最大时，t＝1，此时P是AB的中点，点P的坐标为（1，0），BQ＝1．如图2，因为△PBC与△PBQ是等高三角形，所以S△PBC∶S△PBQ＝BC∶BQ＝5∶1．x图2当S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2时，S △PBC ∶S △CBK ＝2∶1．因为△PBC 与△CBK 是同底三角形，所以对应高的比是2∶1． 如图3，在x 轴上点B 的右侧取一点D ．使得BD ＝12BP ，则点D 的坐标为11,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， x图3过点D 作BC 的平行线交抛物线于点K ，过点K 作KF ⊥x 轴于点E ．设点K 的坐标为()()3,248x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭．由KE CD DE BO =，得()()324381142x x x -+-=-． 整理得2430x x -+=．解得11x =，23x =． 所以点K 的坐标为（1，278-）或（3，158-）． 方法二：铅垂法由S △CBK ∶S △PBQ ＝5∶2，S △PBQ ＝910，得S △CBK ＝94．如图4．过点K 作x 轴的垂线交BC 于点F ，设点K 的坐标为233,384x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．x图4F CBAOP Q K由于点F 在直线BC 上，所以点F 的坐标为3,34x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以KF ＝22333333348482x x x x x ⎛⎫⎛⎫----=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．△CBK 被KF 分割为△CKF 和△BKF ．它们以FK 为底的高的和为OB ＝4．所以S △CBK ＝2133942824x x ⎛⎫⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，解得11x =，23x =．所以点K 的坐标为（1，278-）或（3，158-）． 进阶训练1．如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A （－1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与抛物线变于点P ．与直线BC 相交干点M ，连结P B ．（1）位于第一象限内的抛物线上是否存在点D ．使得△BCD 的面积最大？若存在，求出点D 的坐标及△BCD 面积的最大值；若不存在，请说明理由．（2）抛物线上是否存在点Q ，使得△QMB 与△PMB 的面积相等？著存在．求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．xMPC BAO【答案】（1）存在，点D 的坐标为315,24⎛⎫⎪⎝⎭，S △BCD 取最大值278；（2）存在，点Q 的坐标为（2，3），317317,22⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭或317317,22⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭． 【提示】（1）由题意可得y ＝－x 2＋2x ＋3．设D （t ，－t 2＋2t ＋3）．作DH ⊥x 轴于点H ， 则S △BCD ＝S 梯形DCOH ＋S △BDH －S △BOC ＝－32t 2＋92t ＝－23327228t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．从而当t ＝32时，S △BCD 取得最大值等，此时点D 315,24⎛⎫⎪⎝⎭． （2）易得直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3．点P ，M 的坐标分别为（1，4），（1，2）．直线PM 与x 轴交于点E （1，0）．所以PM ＝EM 过点产且与直线BC 平行的直线为y －x ＋5．过点E 且与BC 平行的直线为y ＝－x ＋1．两直线与抛物线的交点即为满足条件的点Q ，所以点Q 为Q 1 （2，3），Q 2317317+-⎝⎭， Q 3317317-+⎝⎭xMPCBAOD2．如图，抛物线y ＝213222x x --与T 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，P 是x 轴下方抛物线上的一个动点（不与点C 重合）．连结P B ．P C ．设△PBC 的面积为S ，（1）求S 的取值X 围；（2）若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有个．xyA CBO【答案】（1）0＜S ＜5；（2）11个，【提示】（1）设点P 的坐标为213,222m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，如图，过点P 作一轴的平行线，交BC 于点F ，则可得点F 的坐标为1,22m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．①当点P 在BC 下方的抛物线上时．可得FP ＝－2122m m +，从而S ＝12PF ·OB ＝－（m －2）2＋4，此时0＜S ≤4；②当点P 在BC 上方、x 轴下方的抛物线上时．S 最大＝S △ABC ＝5．此时0＜S ＜5，即得解．（2）点P 在x 轴下方、BC 上方时，面积为1，2，3，4的三角形各一个；点P 在BC 下方时，面积为1，2，3的三角形各2个，面积为4的三角形为1个，共11个满足条件的△PB C ．xyFA CBO P3．如围，抛物线E ：y ＝x 2经过点A （1，m ），以原点为顶点的抛物线E 2经过点B （2，2），点A ，B 关于y 轴的对称点分别为点A ′，B ′．P 为第一象限内的抛物线E 1上与点A 不重台的一点，连结OP 并延长与抛物线E 2相交于点P ′，求△PAA ′与△P ′BB ′的面积之比．xyE 2E 1P′B′A′AB OP【答案】14PAA P BB S S '''=△△． 【挺示】易得点A （1，1）．抛物线E 2表达式为y ＝212x ．如图，过点P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，PC 交直线AA '于点E ；过点P ′作P ′D ⊥x 轴，垂足为D ．P 'D 交直线BB ′于点F ．依题意可设P （c ，c 2），P ′（d ，212d ）．其中c ＞0，c ≠1．因为tan ∠POC ＝tan ∠P 'O D ．则2212d c c d =．可得d ＝2c ． 222211211122111422242222PAA P BB AA PE c c S S c BB P F d ''''⋅⨯⨯--====⨯-''⋅⨯⨯-△△．x2。

诸城市中考数学试题及答案一、选择题1. 设函数 f ( x ) = x^2 - 4, 则 f ( 1 + x ) + f ( 1 - x ) =A. 2x^2 - 2B. 2x^2 - 6C. 2x^2 - 8D. 2x^2 - 122. 已知数列 { a_n } 的通项公式为 a_n = n^2 + 1, 则 a_4 - a_3 + a_2 - a_1的值为A. -5B. -3C. 1D. 53. 在△ABC 中，D 是 BC 的中点，则 AB ∶ AD 的比值为A. 2 ∶ 1B. 1 ∶ 2C. 1 ∶ 1D. 3 ∶ 14. 若树的顶点数为 V, 树枝数为 E，则满足 V = E+1 的图形为A. 树形B. 圆形C. 正方形D. 网格形5. 在平面直角坐标系中，点 P ( 2, a ), Q ( 3, 2 ), R ( b, 1 )三点共线，下列积 b*2 - b + a - 1 的值为A. -2B. -1C. 0D. 1二、解答题1. 设 S 是数列 { a_n } 的前 n 项和，若 a_1 = 2, a_{n+1} - a_n = n^2, 求 S_7 的值。

解：根据题目中给出的关系式，可以得到：a_2 - a_1 = 1^2a_3 - a_2 = 2^2...a_7 - a_6 = 6^2将上述式子相加得：a_7 - a_1 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 6^2根据等差数列求和公式，可以得到：a_7 - a_1 = (1 + 2 + 3 + ... + 6)^2 = (21)^2 = 441由题意可知，S_7 = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_7，将 a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_6 代入得：S_7 = (a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_6) + a_7 = S_6 + a_7 = S_6 + 441因此，要求 S_7 的值，只需要知道 S_6 的值。

第2章 整式的加减2.1 代数式与整式2.1.1 当x （0x ≠）取相反数时，代数式2ax bx +对应的值也为相反数，则ab 等于________________.2.1.2 当m =2π时，多项式31am bm ++的值是0，则多项式31452a b ππ++=________________.2.1.3 设m 、n 是非负整数，且32m n <,则三个n 次多项式之积与一个2m 次多项式之和是_____________次多项式．2.1.4 已知有如下一组x 、y 、z 的单项式：3232242323117,8,,3,9,,,9,,0.325x z x y x yz xy z x zy zy xyz y z xz y z --. 我们用下面的方法确定它们的先后次序：对任意两个单项式，先看x 的幂次，规定x 的幂次高的单项式排在x 的幂次低的单项式的前面；再看y 的幂次，规定y 的幂次高的排在y 的幂次低的前面；再看z 的幂次，规定z 的幂次高的排在z 的幂次低的前面．那么39y z 应排在第_______________位．2.1.5 如果一个多项式的每一个单项式的次数都相同，那么称该多项式为齐次多项式，例如, 32322x xy xyz y +++是次数为3的齐次多项式．已知：+22323m x y xy z +是齐次多项式，则m =( )A. 1B. 2C. 3D. 42.1.6 三个有理数a 、b 、c ，其积是负数，其和是正数，当a b c x a b c =++时，代数式19951028x x -+的值是___________________.2.1.7 某同学做一道代数题：求代数式9876543210987654321x x x x x x x x x +++++++++,当1x =-时的值.由于将式中某一项前的“+” 号错看为“-”, 误得代数式的值为7, 那么这位同学看错了____________次项前的符号.2.1.8 在由x 、y 、z 构成的单项式中，挑出满足下列条件的单项式：①系数为1；②x 、y 、z 的幂次之和小于或等于5；③交换x 和z 的幂次，该单项式不变．那么你能挑出_______________个这样的单项式, 在挑出的单项式中，将x 的幂次最低的两两相乘,又得到一组单项式, 将这组单项式相加（同类项要合并）得到一个整式, 那么该整式是_______________个不同的单项式之和.2.1.9 (1)若219932199401(265)(458)n n x x x x a a x a x -++-=+++g L ,则n =___________,01n a a a +++=L _______________.(2) 如果52345012345(13)x a a x a x a x a x a x -=+++++,那么012345a a a a a a +++++的值为__________.(3)把26(1)x x -+展开后得121121211210a x a x a x a x a +++++L ,则121086420a a a a a a a ++++++=_________.2.1.10 现有代数式x +y ,x -y ,xy ,和x y ,当x 和y 取哪些值时，能使其中的三个代数式的值相等？2.1.11 某岛居民中,23的男人是有妻子的，35的女人是有丈夫的，那么有配偶的居民占岛上人口的几分之几？2.1.12 小丁与小王每天都以固定的速度分别由A 、B 两地相向而行（两人的速度不必相同）．第一天他们在点X 相遇，第二天小丁提早30min 出发，结果他们在点相遇，点Y 在线段XB 上且XY 之长度为2km ，请问：若第三天小王提早30min 出发，他们在点Z 相遇，则XZ 之长度为多少千米？2.1.13 有若干名小朋友，第一名小朋友的糖果比第二名小朋友的糖果多2块，第二名小朋友的糖果比第三名小朋友的糖果多2块……即前一名小朋友总比后一名小朋友多2块糖果，他们按次序围成圆圈做游戏，从第一名小朋友开始给第二名小朋友2块糖果，第二名小朋友给第三名小朋友4块糖果……即每一名小朋友总是将前面传来的糖果再加上自己的2块传给后一名小朋友．请用字母或代数式表示：(1)游戏前小朋友的数量，第一名小朋友和最后一名小朋友的糖果数；(2)当游戏进行到第k 圈将要结束时，第一名小朋友和最后一名小朋友的糖果数．2.2整式的加减2.2.1两个10次多项式的和是( )A. 20次多项式B. 10次多项式C. 100次多项式D. 不高于10次的多项式2.2.2己知32221A x x =--+, 29B x =-, 3222C x x x =+-,则}{4[3(2)]4B A A B C A -----的结果为( )A. 3244210x x x --++B. 3244210x x x +--C. 3244210x x x +++ D . 以上结论都不对2.2.3如果30.3x m n -与412y m n 是同类项，那么代数式23233232(5423)(2532)x y y xy x x xy y x y ---+----的值等于___________________.2.2.4己知22171,2523A x x B x x =-+=-+,且32x =-,则5[22(3)]A B A B A ----=_________________.2.2.5己知32232435,210,201015A x ax ax B bx bx A B x x x =-+-=-+-=+--,则A B +=_____________.2.2.6 若2004,2005,2007a b b c c d -=-=--=,则()()a c b d a d--=-_________________.2.2.7己知a b c d x a b c d y a b c d z a b c d w -+++=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪++-=⎩,其中0b ≠,若x y z w kb -++=,则k 的值为__________________.2.2.8在算式1234567x x x x x x x ------中任意加括号来指出运算顺序，例如12345[()()]x x x x x ----67()x x --为其中一种方法，则所有可能的加括号的方法一共能得到_________________种不同的值．2.2.9 将1，2，3，…，100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组的两个数中的任意一个数记作a ，另一个记作b ，代人代数式1()2a b a b -++中进行计算，求出其结果，50组都代人后可求得50个值，这50个值的和的最大值是___________________.2.2.10 定义一个用符号＃表示的运算：a ＃b =35a b b ⨯⨯⨯+．如果有一个自然数m ，对任何自然数a ，有a ＃m =a 或者m ＃a =a 成立，那么就称m 是运算＃的单位元．请回答：(1)3＃7的值是多少？(2)运算＃是否有单位元？ (3)运算＃是否有交换律和结合律？2.2.11 甲地需要粮食90t ，乙地需要粮食70t ，今丙地有粮食l 00t ，丁地有粮食60t ．由丙运往甲的每吨运费是丙运往乙的每吨运费的2倍，由丁运往甲的每吨运费是丁运往乙的每吨运费的1.5倍，由丙运往甲的每吨运费是丁运往甲的每吨运费的1.7倍．请问：怎样调拨，才能使总运费最省？。

第30章 函数[x ]与｛x }30．1 设k 是整数，则下述正确的是（ ）A ．[][][]m n m n +=+B ．[][][]mn m n =C ．[][]km k m =D ．若m 不是整数，则[][]1m m ---30．2 求满足25{}[]125x x +=的所有实数x 的和（其中［x ]表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-表示x 的小数部分）．30．3 解方程：13[]51{}21x x x -=+，这里[x ]表示不超过x 的最大整数，{}[]x x x =-．30．4 对于有理数x 和y ．用[x ]和［y ］分别表示不大于x 和y 的最大整数，解方程组3[] 1.53[]22.2x y x y +=⎧⎨-=⎩．30．5 已知x 、y 、z 满足[]{}0.9[]{}0.2{}[] 1.3x y z x y z x y z ++=-⎧⎪++=⎨⎪++=⎩③②①，其中，对于a ，［a ]表示不大于a 的大整数，{}[]a a a =-．求x 、y 、z 的值．30．6 对于有理数x ,用［x ］表示不大于x 的最大整数，解方程65135[]07x x --+=．30．7 若符号[x ]表示不大于x 的最大整数，对正有理数a ，求方程4[]34x a +=的正整数解．30．8 求方程294155[]09x x +-+⨯=，0x >的解．30．9 对于有理数x ，用［x ］表示不大于x的最大整数，解方程22520310[]025y y ++-=．30．10 设［x ］表示不超过x 的最大整数,解方程[2][3]95x x +=． 30．11 已知20032004x <<，[x ]表示不大于x 的最大整数，{}[]x x x =-，如果[]{}x x ⨯是正整数,求满足条件的所有实数x 的和．30．12 计算：1352120072009{}{}{}{}{}{}777777k -+++++++，其中｛a ｝表示a 的小数部分．30．13 将正整数中所有被4整除以及被4除余1的数全部删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列｛a ｝：2，3，6，7,10，11，…．数列{}n a 的前n 项之和记为n S ,其中n ＝1,2,3，…．求122006[][][]S S S S =+++的值（其中［x ］表示不超过x的最大整数)．30．14 若最简分数p q写成小数形式为0．abababab …（这里非负整数a 、b 可以相等，但至少有一个非0)．请问：符合条件的分数中，不同的分子有多少个?30．15 设［x ]表示不大于x 的最大整数，给出下列100个数：20071[]1+，20072[]2+，20073[]3+，…，2007100[]100+．试判断其中有多少个不同的整数．30．16 如图所示，圆周上有2009个点，按顺时针依次编号为1到2009．今从编号为1的点开始，每隔6个点去掉一个点，则第500次去掉的点的编号是多少？尊敬的读者：1 23 2008 2009本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

山东省诸城市桃林镇桃林初中2022届中考数学压轴题专项汇编：专题专题26 相似三角形的存在性破解策略探究两个三角形相似时，一般情况下首先寻找一组对应角相等，然后根据对应边成比例分两种情况列方程．掌握一些相似的根本模型有助于快速解决问题，相似三角形的根本模型有： 1．“A〞字形：在△ABC中．点D在AB上，点E在AC上．DE∥BC．结论：△ABC∽△ADE． ADBEC2．反“A〞字形〔1〕：在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，∠AED＝∠ABC．结论：△ABC∽△AED．AEBDC〔2〕：在△ABC中，点D在AB上，∠ACD＝∠ABC．结论：△ABC∽△A〔：D． ADB3．“8〞字形：在△ABC中，点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上，DE∥BC．结论：△ABC∽△AED．CDAB4．反“8〞字形EC：在△ABC中，点D在CA的延长线上，点E在BA的延长线上，∠ADE＝∠ABC．结论：△ABC∽△ADE．EDABC5．双垂直：△ABC中，∠BAC＝90?，AD为斜边BC上的高．结论：△ABC∽△DBA，△ABC ∽△DAC，△ABD∽△CAD．ABDC6．一线三等角〔1〕Rt△ABC和Rt△CED，B，C，E三点共线，?B??E??ACD?90?．结论：△ABC∽△CED．ADBCE〔2〕△ABC和△CDE，B，C，E三点共线，?B??E??ACD?90?．结论：△ABC∽△CED．ADBCE〔3〕△ABC和△CED，B，C，E三点共线，?B??E??ACD?90?．结论：△ABC∽△CED．ADBCE例题讲解例1如图，A〔－1，0〕，B〔4，0〕，C〔2，6〕三点，G是线段AC上的动点〔不与点A，C重合〕．假设△ABG与△ABC相似，求点G的坐标．yAOBxGC解：设直线AC的表达式为y?sx?t，?0?s?t?s??2 把A，C两点坐标代入可得?，解得?．?6?2s?tt??2??所以直线AC的表达式为y??2x?2．设点G的坐标为〔k，－2k －2〕，因为点G与点C不重合，所以△ABG与△ABC相似只有△AGB∽△ABC一种情况．所以AGAB． ?ABAC而AB＝5， AC?(2?1)2?(?6)2?35， AG?(k?1)2?(?2k?2)2?5k?1， 5k?15所以?528，即k?1?，解得k1?， k2??〔舍〕．333355210所以点G的坐标(,?)．33例2 如图，抛物线y?2(x?2)(x?4)与x轴交于点A，B〔点A在B的左侧〕，与y轴交于8点C，CD∥x轴交抛物线于点D． P是抛物线上一点，问：是否存在点P，使以P，A，B为顶点的三角形与△ABD相似〔△PAB与△ABD不重合〕？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由．yACODBx解：存在．因为点A〔－2，0〕，B〔4，0〕，C〔0，?2〕，过点D〔2，?2〕作DE⊥AB于点E，由勾股定理得AD?32,BD?6．PBAB1①如图，当△P∽△ABD时，，所以PB 过点P1作PM AB?66．?111⊥AB 于点M1，1ABBDPMDE所以11?，解得PM11?62． PBBD1∵BM1BE=，∴BM1?12，∴点P1的坐标为〔－8，62〕， PBBD1因为此时点P1不在抛物线上，所以此种情况不存在．P2BAB，所以P．过点P2作P2M2⊥AB于点M2， =2B=62ABADPMBM2AEDE=所以22=，解得P．因为，所以BM2?8， M=2222P2BADP2BAD②当△P2AB∽△BDA时，所以点P2的坐标为〔－4，22〕，将x＝－4代入抛物线的表达式得y=22，所以点P2在抛物线上．③由抛物线的对称性可知：点P2与点P3关于直线x＝1对称，所以P3的坐标为〔6，22〕．④当点P4位于点C处时，两个三角形全等，所以点P4的坐标为〔0，-2〕．综上所得，点P的坐标为〔－4，22〕，〔6，22〕或〔0，-2〕时，以P，A，B为顶点的三角形与△ABD相似．yP1P2P3M1M2AC(P4)ODBM3x例3 如图，直线y??x?3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y??x2?bx?c 经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似?假设存在，请求出t的值；假设不存在，请说明理由．yMBQAOPx解：∵y??x?3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴ A点坐标为〔3，0〕，B点坐标为〔0，3〕，??9?3b?c?0?b?2将A〔3，0〕，B〔0，3〕代入y??x2?bx?c，得?，解得?， c?3c?3??所以抛物线的解析式为y??x2?2x?3??(x?1)2?4．∴点M的坐标为〔1，4〕，MB?12?12?2．所以BM2?AB2?AM2， ?MBA?90?．如图，设运动时间为t秒，那么OP＝t， BQ?(3?t)2．①当△BOP∽△QBM 时，2(3?t)2MBBQ?，即，整理得： t2?3t?3?0， ?t3OPOB而??32?4?1?3?0，所以此种情况不存在；②当△BOP∽△MBQ时，所以当t?2(3?t)2MBBQ9?，即，解得t?． ?3t4OBOP9时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似． 4yMBQAOPx 进阶训练31．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y??x2?bx?c的图象交x轴于A?4,0?，4B??1,0?两点，交y轴于点C．〔1〕求抛物线的表达式和对称轴；〔2〕假设P是线段OA上的一点〔不与点O，A重合〕，Q是AC上一点，且PQ ＝PA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△APQ相似？如果存在，请求出点D 的坐标；如不存在，请说明理由．yCQBAOPx∴点M的坐标为〔1，4〕，MB?12?12?2．所以BM2?AB2?AM2， ?MBA?90?．如图，设运动时间为t秒，那么OP＝t， BQ?(3?t)2．①当△BOP∽△QBM 时，2(3?t)2MBBQ?，即，整理得： t2?3t?3?0， ?t3OPOB而??32?4?1?3?0，所以此种情况不存在；②当△BOP∽△MBQ时，所以当t?2(3?t)2MBBQ9?，即，解得t?． ?3t4OBOP9时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似． 4yMBQAOPx 进阶训练31．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y??x2?bx?c的图象交x轴于A?4,0?，4B??1,0?两点，交y轴于点C．〔1〕求抛物线的表达式和对称轴；〔2〕假设P是线段OA上的一点〔不与点O，A重合〕，Q是AC上一点，且PQ ＝PA，在x轴上是否存在点D，使得△ACD与△APQ相似？如果存在，请求出点D 的坐标；如不存在，请说明理由．yCQBAOPx。

第29章不定方程★方程4x5y 98的正整数解的个数是（）（A）4（B）5（C）6（D）无量多★使得方程kx123k有一个整数解x的正整数k的个数是（）（A）3（B）4（C）5（D）6★方程x12y221的整数解有（）（A）1组（B）2组（C）4组（D）无数组★若正整数x、y知足x272y2，则这样的正整数对（x，y）的个数是（）（A）1（B）2（C）3（D）4★★x9，y4是二元二次方程2x25xy3y230的一组整数解.这个方程的不同的整数解共有（）（A）2组（B）6组（C）12组（D）16组★★不定方程42的正整数解（m，n）的个数是（）m n（A）1（B）2（C）3（D）4★★方程x y336的整数解（x，y）的个数是（）（A）2（B）3（C）4（D）5★★ab bc44知足联立方程ac bc的正整数组（a，b，c）的个数是（）23（A）0（B）1（C）2（D）3★★三个质数的积恰巧等于它们和的11倍，则这三个质数分别是.★用100元买100只鸡，公鸡每只5元，母鸡每只3元，小鸡3只1元，则最多能够买合计多少只？★用100元恰巧买了三种笔100支，此中金笔每支10元.铱金笔每支3元，圆珠笔每支元.试问：三种笔各买了几支？★小华用5元钱买40个水果款待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种，每个的价格分别为20分、8分、3分.小华希望他和五位朋友都能分到苹果，而且各人获得的苹果数量互不同样，试问：他可否实现自己的梦想？★牛奶和李子果装在同的瓶子里销售，同商铺展开回收此空瓶的. 每5 个空瓶能够1瓶牛奶，每10个空瓶能够1瓶李子果. 沙从地窖里找到了60个空瓶，拿到商铺去物件.他每次只回一瓶牛奶，或一瓶李子果，而且等把到的牛奶或李子果都吃掉后，在拿空瓶去物件.内行了若干次交以后，他手中只剩下了1个空瓶.：他一共行了多少次交？★★一批游客决定分乘几大汽，要使每有同的人数，起初，每乘坐22人，有一人坐不上.若开走一空，所有的游客好均匀分乘余下的汽.已知每的容量不多于32人，：原有多少？批游客有多少人？★将若干个部件放入起码10个盒子内，要求每个盒子装的部件个数同样.假如每盒装12个，果剩一个部件未装；假如盒子再增添3个，所有部件恰巧装在各个盒子内.：原有多少个盒子？多少个部件？★某旅的一座楼每都有10套房，房自第一开始挨次1，2，⋯，10号，并逐个次下去（第二的房号11，12，⋯，20，这样等等）.知德荣和麦里都住在改楼内，德荣的号好等于麦里的房号，而他的房号之和等于 239.求德荣的房号.★某个体有48名会，可是只有一半人有制服.在某次式，他排成一个6×8的方，恰巧可把没有制服的会藏在方的内部.以后又来了一批会，但数是有一半人没有制服，在接下来的式，他排成了一个不一样的方，又恰巧可把无制服的会藏在方的内部.：新来的会有多少人？★用17根火柴不搭成一个2×3的矩形方，如所示.那么用1000根火柴，能够搭出多少种矩形方呢？★★有40只脚的蜈蚣与有3个的同在一此中.共有26个和298只脚.若每只蜈蚣有1个，：每只有多少只脚？★小琳用算器求三个正整数a、b、c的表达式a b的.她挨次按了a、＋、b、c÷、c、=，获得数11.而当她挨次按b、＋、a、÷、c、=，惊地获得数是14.是她才理解算器是先做除法在做加法的，于是她挨次按（a、＋、b、）、÷、c、=而获得了正确的果.个正确果是什么？2★★求出所有的正整数x及y，使其知足方程19x93y4xy.★★设三个数xyzt、yzt、zt的和为4493，求两位数yt.★★求出拥有以下性质的所有三位数A：将数A的数字经各样摆列，获得的所有数的算术均匀值等于A.★对方程a2b2a2b212005.求出起码一组整数解.★★证明：以下的方程有无穷多组正整数解：x21y21z21.★★★请找出所有正整数k，使得存在正整数m与n，知足mm k nn1.★★★设N为正整数，已知方程式99x100y101z N恰有一组正整数解，试求N 的最大值.★★求出知足等式2x5y xy1的所有整数x和y.★★求出方程x3y311x y2121x y5的所有整数解.★★求不定方程y23x2y230x2517的所有正整数解（x，y）.★★求知足等式2x2y2y226x21201的全部正整数组（x，y）.★★求不定方程x4y4z42x2y22y2z22z2x224的整数解.★★求证：方程x3113y3没有正整数解.★★知足方程1111的正整数解（x，y）有多少个？x1y x1y1991★★试求所有的自然数组（A，B，C），使得A2BC100，A B2C124.★★求不定方程组x y z3x3y3z3的所有整数解.3★★求出所有边长为整数，且面积（的数值）等于周长的直角三角形的三边长.★★求方程xy x2xy y2的所有整数解.★★★求方程x63x31y4的整数解.x2y12★★★证明：方程组z12没有正整数解.y24x3z23★★★证明：不存在4个连续正整数，其积是整数的完整立方.★★求不定方程1115的正整数解. x y z6★★求不定方程xy yz zx xyz2的所有正整数解.★★求证：方程1111只有有限多组正整数解. x y z1983★★求下边方程组的整数解a22b22bc100 2ab c2100.★★求方程x212x y220的整数解.★★求方程14x224xy21y24x12y180的整数解.★★试求不定方程x12y43z91x y z的整数解.2★★求所有的整数对x，y，使得xy12x12y12.★★求方程x y 3的所有正整数解.x2xy y2729．51确立不定方程111的正整数解有多少组．x y198929．52证明：当n为“半偶数”，即n 4k 2时，方程x2y2n无解．29．53证明：不定方程x2y28z36没有整数解．29．54求证：方程x y1977无正整数解．429．55试找出知足等式p q q p r的所有质数p、q和r．29．56求证：当n为奇数或4的倍数时，方程x2y2n有正整数解．29．57求知足方程x3y4z5的任一组正整数解（x、y、z）．试问：这个方程的正整数解集是有限的仍是无穷的？29．58求证：方程x2y5z3有无量多组知足xyz≠0的整数解．29．59试找出所有这样的x、y、z，使得对全部正整数n，都有x n y n z n1．29．60求方程2w2x2y2z的知足条件w x y z的整数解．529．61求知足等式n2(n 1)2m4(m 1)4的所有整数n、m．29．62对正整数k，存在正整数n和m，使得11k．求出所有这样的正整数k．2222n m n m29．63求方程x2y2z2的正整数解．29．64确立所有斜边与一条直角边为连续整数的勾股三角形．29．65证明：方程x4y4z2无正整数解．6。

第1篇代数篇第1章有理数1．1 有理数的概念★1．1．1 a、b在数轴上的位置如图所示，则在a＋b，b－2a，a b-，b－a中负数的个数是( )．(A)1 (B)2 (C)3 (D)4★1．1．2 设有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，则代数式b a-＝-＋a c-＋c b_ ___．c a★1．1．3 已知a、b是有理数，有以下三式：①a b-；+< a b②a2＋b2＋a＋b＋1 <0;③a2＋b2－2a－2b＋1 <0．其中一定不成立的是 (填写序号)★1．1．4 在a、b、c三个数中，有如下三个结论：甲：若至少有两个数互为相反数，则a＋b＋c＝0；乙：若至少有两个数互为相反数，则(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c－0)2＝0；丙：若至少有两个数互为相反数，则(a＋b)(b＋c)(c＋0)＝0．其中正确结论的个数是( )．(A)0 (B)1 (C)2 (D)3★1．1．5 已知数轴上有A和B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于★★1．1． 6 已知2y-+＋(x)1-+＋(a＋b－2)2＝1，x＋ay＝1，bx－y＝3，则2()1a b(x＋y－2)2＝★★1．1．7求2x-－10x+的最小值．★★1．1．8求1x-＋2x-＋3x-的最小值．★★1．1．9 abcde是一个五位数，其中a，b，c，d，e为阿拉伯数字，且a<b<c<d，则a b-＋b c-＋c d-＋d e-的最大值是★★1．1．10设x、y、a都是实数，并且x＝1－a，y＝(1－a)(a－1－a2)，试求x＋y＋a3＋1的值．★★1．1．11 数轴上有一动点a，从原点出发沿着数轴移动，每次只允许移动1个单位．经过10次移动，a点移动到距离原点6个单位处，问：a点的移动方法有多少种？★★1．1．12 圆周上有和为94的n个整数(n>3)，每个数都等于它后面(按顺时针方向)的两个数的差的绝对值．问：n的所有可能值是多少？★★★1．1．13如图所示，数轴上标有2n＋1个点，它们对应的整数是－n，－(n－1)，…，－2，－1，0，1，2，…，(n－1)，n，它们称为整点，为了确保从这些整点中可以取出2009个，使其中任意两个点之间的距离不等于4，问：n的最小值是多少?-(n-1)-n nn-11．2 有理数的大小比较★1．2．1 若有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列各式中错误的是( )．(A)－ab<2 (B) 1b>－1a(C)a＋b<－12(D)ab<一1xb a★1．2．2 已知P＝999999，Q＝990119，那么P、Q的大小关系是( )．(A)P>Q (B)P＝Q (C)P<Q (D)无法确定★1．2．3 如果实数a、b、c满足abc>0，a＋b＋c＝0，a<－b<c，那么a、b、c的大小为( )． (A)a>0，b>0，c>0 (B)a>0，b<0，c>0(C)a<0，b<0，c>0 (D)a<0，b>0，c<0★1．2．4有四个数：a＝3.852.57-，b＝15341023-，c＝－487325，d＝－267178，它们的大小关系是( )．A．d<c<b<a B．d<b<c<a C．b<c<a<d D．d<a<c<b★1．2．5 若a＝3.143.13-÷3．12，b＝2.142.13-÷2．12，c＝1.141.13÷(－1．12)，则a、b、c的大小顺序是( )．(A)a>b>c (B)a>c>b (C)b>c>a(D)c>b>a★★1．2．6 比较2234和5100的大小，并说明理由．1．3 有理数的运算★1．3．1 下列说法中，正确的个数是( )．(1)n个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负；(2)n个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负；(3)n个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；(4)n个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个．(A)1 (B)2 (C)3 (D)4★1．3．2计算：－4012×(114＋109144)÷(－0．5)÷34×43－13×[(－2)2－22]＝____．★1．3．3计算：(－313)2－413×(－6．5)＋(－2)4÷(－6)．★1．3．4计算：(－2)5÷(－6)－417×(－8．5)－(－313)2．★1．3．5设a＝1÷2÷3÷4，b＝1÷(2÷3÷4)，c＝1÷(2÷3)÷4，d＝1÷2÷(3÷4)，则(b÷a)÷(c÷d)＝___ _．★1．3．6 某地区2008年2月21－28日的平均气温为－1℃，2月22－29日的平均气温为－0．5℃，2月21日的平均气温为－3C，则2月29日的平均气温为．★★1．3．7计算：(1＋111＋113＋117)×(111＋113＋117＋119)－(1＋111＋113＋117＋1 19)×(111＋113＋117)＝( )．(A) 111(B)113(C)117(D)119★1．3．8计算：1＋2＋3＋ (100)★1．3．9计算：－1＋3－5＋7－9＋11－…－1993＋1995－1997＝( )． (A ) 999 (B ) －998 (C ) 998 (D ) －999★1．3．10 计算：－1－(－1)1－(－1)2－(－1)3－ …－(－1)99－(－1)100． ★★1．3．11 计算：(12＋32＋52＋…＋992)－(22＋42＋62＋…＋1002)★★1．3．12 代数和－1×2008＋2×2007－3×2006＋4×2005＋…－1003×1006＋1004×1005的个位数字是★★1．3．13 计算：11＋(21－12)＋(31－22＋13)＋(41－32＋23－14)＋…＋(91－82＋73－64＋…＋19) ★★1．3．14计算：(13－712＋920－1130＋1342－1556)×23×21．★1．3．15 计算：112⨯＋123⨯ ＋134⨯＋…＋120082009⨯． ★1．3．16求证：113⨯＋124⨯＋135⨯＋146⨯＋…＋1(n 1)n +＝34－232(n 1)(n 2)n +++★★1．3．1 7计算：1＋112+＋1123++＋…＋11232010++++ ★★1．3．18计算：1－11(12)⨯+－1(12)(123)+⨯++－1(123)(1234)++⨯+++★★1．3．19 计算：2－22－23－24－…－218－219＋220＝____． ★★1．3．20 已知S ＝12－24＋38－416＋ …＋(－1)k －12k k ＋ …＋200520052－200620062，则小于S 的最大整数是_ ___．★★1．3． 21计算：1＋3 ＋32＋33＋…＋32010．★★★1．3．22计算：12＋22＋…＋n 2． ★★1．3．23 比较12＋24＋38＋416＋…＋2n n 与2的大小． ★★1．3．24计算：(1－2111)×(1－2112)×(1－2113)×…×(1－211994)＝ ． ★★1．3．25 已知m ，n 都是正整数，并且 A ＝(1－12)×(1＋12)×(1－13)×(1＋13)×…×(1－1m )×(1＋1m )， B ＝(1－12)×(1＋12)×(1－13)×(1＋13)×…×(1－1n )×(1＋1n ) (1)证明：A ＝12m m +，B ＝12n n+(2)若A－B＝126，求m和n的值．★★1．3．26 算式(1＋113⨯)×(1＋124⨯)×(1＋135⨯)×(1＋146⨯)×…×(1＋1 98100⨯)×(1＋199101⨯)的整数部分为( )(A) 1 (B)2 (C)3 (D)4★1．3．27 按一定规律排列的一串数11，－13，23，－33，15，－25，35，－45，55，123,,,777--…中，第98个数是____________________．1．3．28 运算*按下表定义, 例如3*2=1, 那么(2*4)*(1*3)=( )A． 1 B． 2 C． 3 D． 41．3．29 现定义两种运算“⊕”, “⊗”, 定义，对于任意两个整数a、b, 1a b a b⊕=+-,1a b ab⊗=-,求4[(68)(35)]⊗⊕⊕⊗．。

2024 年考纲变式题目1.【例-10】在平面直角坐标系中，点P(m−1,−3m+4)，则点P不行能在()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限2.【例-12】如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，BD∥x轴，点C在x轴上，点A，D 在函数 y =12x( x >0)的图象上，若∆ABC的面积为2，则∆ABE与∆CDE的面积之比( ). yABE DO CxA．2:5B．1:3C．3:8D．4:113.【例-12】如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，BD∥x轴，点B在y轴上，点A，D 在函数 y =kx( x >0)的图象上，则∆ABE 与∆CDE 的面积之比为4：1，若∆BCD 的面积为6，那么k的值(A．48). yAB E DC xOB．36 C．24 D．184.【例-17】如图，在∆ABC中，∠A=90︒，∠B=30︒，AC=3+ 3 ，点O在BC上，以O为圆心的圆和AB，AC分别相切于E，F两点，则图中阴影部分的面积为.AEFBO C5. 【例-18-1】已知顶点为A的抛物线y=2x2+b1x+c1与顶点为C的抛物线y2= ax 2+b2 x + c2(a<0)交于点 B ( m , n), D ( m +2, n)，若满意∠ABC=90︒，则a的值为.6.【例-18-2】顶点为A的抛物线y=x2+b1x+c1与顶点为C的抛物线y2=−12x2+b2x+c2交于点B(m−3,n),D(m−1,n)，则tan∠ABC的值为.7.【1-17】如图，在直径为8的弓形ACB中，弦AB=4 3 ，C是弧AB的中点，点M为弧上动点，CN⊥AM于点N，当点M从点B动身逆时针运动到点C，点N所经过的路径长为.CMNA B8.【1-18】如图，将Rt∆ABO放置在直角坐标系中，直角顶点A在x轴正半轴上，点B在第一象限，反比例函数y=10x(x>0)的图象交AB于点C，反比例函数y=kx(x>0)的图象交OB 于点 D，若 CD∥OA，且S∆BCD = 9 ，则k= . SCDOA 16yBD CO Ax9.【2-10-1】如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC边于点E，将一块三角板的直角顶点放在E点处，使它的一条直角边过点A，另一条直角边交CD于F点.若满意CF=2DF，BC=5，求tan∠BAE 的值和 BE 的长.A DFB E C10. 【2-10-2】如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交BC于点E，将一块三角板的直角顶点放在E处，并使它的一条直角边过点A，另一条直角边交CD于点M,AM与DE相交于点F.若点M为CD的中点，若BC=6，则DF的长为.A DFMB E C11.【2-10-3】如图，矩形ABCD中，N为BC的中点，将一块三角板的直角顶点放在N点处，并使它的一条直角边过点A，另一条直角边交CD于点M，若tan∠DAM=4 3，AB =4.5，则 CM 的长为().A． 2 B． 1 C．3 D．53 2 5 8ADMB N C12. 【2-11】抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A，且图象经过点B，C，若∆ABC是面积为 4 的等腰直角三角形，则a=.13.【3-11】如图，点A(0, 2),D(1, 0)，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，延长BC与坐标轴分别交于A1、D1，以A1D1为边在第一象限作正方形A1B1C1D1，延长B1C1与坐标轴分别交于A2、D2，以A2D2为边在第一象限作正方形A2B2C2D2……，依次类推，则点C2024y的坐标是( )B2A2B1 C2A1A B C1CxO D D1 D214. 【3-17-1】如图，圆O与x正半轴相交于A、B两点且与y轴相切，圆心为O(1,m)，C是圆上肯定点且满意BC = 3 ，点M是圆上一动点，点N是平面坐标内一点，若四边形MBNC 是平行四边形，则MN的长度可能是()A．8 B．5 C．79 2 2yCOO A B x第12题D．289yCOO A B x第13题15. 【3-17-2】如图，圆O与y轴相切，圆心O(4, 2 2 )，C是圆上一点且满意∠CBA=75︒，点M 是圆上一动点，点 N 是平面坐标内一点，若四边形 MBNC 是平行四边形，则当 MN 的长取最大值时，点N的纵坐标的值是.16. 【3-18-1】如图，Rt∆ABC中，∠BAC=90︒，将∆ABC绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是∆A'B'C，点A的对应点A'落在中线AD上，且点A'是∆ABC的重心，A'B'与BC相交于点E，则BE:CE的值为.A DA' CB D EC EA O BB'17. 【3-18-2】如图，菱形ABCD中，∠BAD=60︒，AB=4，将菱形绕点A顺时针方向旋转肯定角度后，BC的对应边B'C'交CD边于点E，若E为B'C'中点，那么cos∠BAB'= .BA B'CE'DC'D'18. 【4-17】点A，C为圆周上的两点，点B为AC的中点,以线段BA，BC为邻边作边长为 2的菱形ABCD,顶点D恰好在该圆直径的三等分点上，求圆的半径为.19. 【4-18】如图，已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A(0,10)，B(7, 0)，过B作直线l平行y轴，点P是直线l上的一个动点，以AP为边作正方形APCD，当点P在运动过程中，AC+BC的最小值为 .lDCAPO Bx20.【5-11】如图，点E是矩形ABCD边BC上一动点，AB=3，BC=10，连结AE，DE，以AE，DE 为边构造平行四边形 AEDF，BF，CF 分别交 AD 于点 M，N，则下列结论错误的是()A. MN是∆FBC的中位线B．S∆FAB+S∆FDC=15C．EF的取值范围为：6≤EF≤ 109D．若四边形AEDF为矩形，则BE=1 或 9FA DM NB E C21.【5-12】将两块直角三角板如图1摆放其中边AB与AM重合，AC=60，连结CM，N为CM 上一点，且 CN=3NM，将∆ABC 绕点 A 顺时针旋转使得 B 点恰好第一次落在斜边上，则点N的运动的路径是.M MN NBBCCA A22. 【5-17】如图，在∆ABC中，M是BC边上一动点，连结AM，点D，E分别是∆ABM，∆AMC 的重心，若∆DEM 的面积为2，则∆ABC 的面积为.AD EB M C23. 【5-18-1】如图，点A在反比例函数y= 4 ( x> 0) 图象上，B在反比例函数y= −8 ( x< 0)x x 图象上，且∆AOB为Rt∆，∠BAO=90︒,∠ABO=30︒,则点B的坐标为.yBAxO24. 【5-18-2】如图，点A在反比例函数y= k1 ( k< 0, x< 0) 图象上，B、C在反比例函数x 1y = k2 ( k > 0, x> 0) 图象上，且四边形AOBC为正方形，则DC:AD的值为.x 2yCDABO x。

初中数学竞赛模拟试题(三十一)一、选择题(每小题6分，共30分)1．0＜a ＜1÷(1＋1a )×11a +可化简为() A ．11a a -+B ．11a a -+C ．1－a 2D ．a 2－1 2．若a 是方程3x 2－2x －663＝0的一个实根，则(3a 2—66413a －444)3的值是()A ．1B ．－1C ．8D ．－83．如图31－1，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长()A ．等于4B ．等手5C ．等于6D ．不能确定OB 图31－14．已知A (13，1a )，B (14，1b )，C (15，1c )满足a b c +＝13，b a c +＝12，则A ，B ，C 三点的位置适合() A ．在同一条直线上B ．组成锐角三角形C ．组成直角三角形D ．组成钝角三角形5．下列命题中正确的是()A ．对角线都相等的五边形是正五边形B ．有六条对角线相等的六边形是正六边形C ．对角线相等且可内接于一圆又可外切于一圆的四边形是正方形D ．三角形的三条外角平分线相交成的三角形一定是锐角三角形二、填空题(每小题6分，共30分) 6．若0＜x＜a，化简：－(1a x-－1a x+)[2x＝____________________7．在△ABC中，E，F是BC的三等分点，M是AC的中点，BM与AE，AF分别交于G，H，则BG：GH：HM＝______________________．8．设的整数部分是a，小数部分是b，则a2＋(1＋)ab的值筹于____________________9．关于x的方程x2－11x＋30＋y＝0的两根都大于5，则y的最大值为________________________．10．如图31－2，已知△ABC，∠B的平分线交边AC于P，∠A的平分线交边BC于Q，如果过点P，Q，C的圆也过△ABC的内心R，且PQ＝1，则PR的长等于__________________．RQPABC图31－2三、解答题(每小题l5分，共60分)11．已知a，b为整数，若一元二次方程x2＋ax a－b＋(2a－b－1)x＋a2＋a－b－4＝0的根都是整数，求a，b的值．12．如图31－3，四条不同的平行直线l l，l2，l3，l4，如果有l1与l2的距离等于l3与l4的距离．证明：必存在一个正方形，使它在此四条直线上各有一个顶点．l 4l 3l 2l 1图31－313．如图31－4，ABCD 为一菱形，∠A ＝60°，ABO 1与AD ，AB 相切，O 2与AB ，BC 相切，且圆O 1与圆O 2相辫外切，求圆O 1与圆O 2的周长的和的最大、最小值．AC图31－414．如图31－5，已知在直角坐标系中，⊙C 与y 轴相切，且C 点的坐标为(1，0)，直线l 过点A (－1，0)与⊙C 相切于D 点．(1)求直线l 的解析式；(2)在直线l 上存在点P ．使△APC 为等腰三角形，并求P 点的坐标．图31－5。

第3章 一元一次方程等式与方程3.1.1 在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边（ ） A.乘以同一个数 B.乘以同一个整式 C.加上同一个代数式 D.都加上1 3.1.2 方程甲34（x -4）=3x 与方程乙x -4=4x 同解，其根据是（ ） A.甲方程两边都加上了同一个整式x B.甲方程的两边都乘以43x C.甲方程的两边都乘以43 D.甲方程的两边都乘以433.1.3 如果一个方程的解能满足另一个方程，那么，这两个方程（ ）A.是同解方程B.不是同解方程C.是同一个方程D.可能不是同解方程3.1.4 若p ，q 都是质数，以x 为未知数的方程px +5q =97的根是1，则p 2-q = . 3.1.5 证明：方程x 3+x +1=0没有整数根.一元一次方程3.2.1 如果x =85是方程12421236x x a x a---++=+的解，那么222273511326a a a a a a -+---+--=（ ） 43 D .233.2.2 设x =8是方程3x -2=24x a +的解，a 又是方程x -()()111339x x b x b ⎡⎤--=+⎢⎥⎣⎦的解，则b的值是3.2.3 已知关于x 的方程3243a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦和3151128x a x +--=有相同的解，那么这个解是 .3.2.4 使得关于x 的方程kx -12=3k 有整数解的正整数k 可能的值为 . 3.2.5 已知（m 2-9）x 2-（m -3）x +6=0是以x 为未知数的一元一次方程，如果a m ≤，那么a m a m ++-的值为 .3.2.6 （3m -1）x =6x -35是关于x 的方程，为确保该方程的解是负整数，m 能取的最大值是 .3.2.7 解方程： （1）7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-； （2）}111246819753x ⎡+⎤⎧⎛⎫+++=⎨⎪⎢⎥⎩⎝⎭⎣⎦.3.2.8 若a ，b ，c 是正数，解下列方程： （1）3x a b x b c x c a c a b ------++= （2）3x a x b x c xb c c a a b a b c---++=+++++3.2.9 解关于x 的方程（m +1）（m -1）x +（m -2）（1-m ）=0.3.2.10 若关于x方程m2x+6x=（5x+1）m-3至少有两个实数解，则m满足的条件是（）A. m=2B. m=3C.m≠2 ≠2且m≠33.2.11 如果a，b为定值，那么关于x的方程2236kx a x bk+-=+，无论k为何值，它的根总是1，求a，b的值.3.2.12老师说：“a，b两个数满足关系式a+b-ab=1，已知a不是整数，则对b可做出怎样的结论？”学生A说：“b也不是整数。