向量的概念 (1)

向量的概念及表示一、知识、能力聚焦1、向量的概念（1）向量：既有方向，又有大小的量叫做向量。

【注：和量与数量的区别，表示向量的大小称为向量的模（也就是用来表示向量的有向线段的长度）】 向量 的大小称为向量的长度（或称为模），记作│ │。

（2）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作 。

（3）单位向量：长度等于1的向量叫单位向量。

（5）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，若向量 和 相等，则记作 = 。

2、共线向量共线向量（也称平行向量），应注意两个向量共线但不一定相等，而两个向量相等是一定共线。

平面几何的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量分为如下五种情况：（1）方向相同、模相等；（2）方向相同、模不等。

（3）方向相反、模相等；（4）方向相反、模不等；（5）零向量和任何向量共线。

例：把平面一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是什么？ 解：因任一单位向量的始点移到同一点O 时，终点一定落在以O 为圆心，半径为1的单位圆上，反过来，单位圆上的任一点P 都对应一个单位向量 ，故构成的图形为一单位圆。

（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

例： 向量 、 平行，记作// 。

向量 、 、 平行，记作// // 。

（6）零向量与任一向量平行（7）相反向量：与向量 长度相等且方向相反的向量叫做 的相反向量。

记为- ， 与- 互为相反向量，且规定：零向量的相反向仍是零向量。

例： 在平行四边形ABCD 中，向量 和向量 方向相同O AB a b a b OP a b a b a b c a b c a a a a a AB DC AB且长度相等； = 。

向量 和向量 长度相等但方向相反，是一对相反向量； =- 。

3、向量的表示 几何法：用有向线段来表示，即用有向线段的起点、终点来表示，如 用| |表示长度。

例： 如图，四边形ABCD 与ABDE 都是平行四边形；①用有向线段表示与向量 相等的向量； ②用有向线段表示与向量 共线的向量；解：①与 相等的向量是 、 、 。

向量章节知识点总结1. 向量的基本概念1.1 向量的定义向量是表示物理量的一种数学工具，它有大小和方向两个基本特征。

常用符号表示向量，例如a→。

向量常用箭头表示法表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

1.2 向量的表示向量常用坐标表示法表示，例如a→=(a1,a2,a3)。

向量也可以用分量和方向角表示，例如a→=(a cos a,a cos a,a cos a)。

不同的表示方法都可以用来描述向量的大小和方向，选择合适的表示方法便于计算和分析。

1.3 向量的相等两个向量相等的条件是它们的大小和方向都相同，即a→=a→。

向量相等可以用坐标或分量表示法进行判断。

2. 向量的性质2.1 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律，即a→+a→=a→+a→，(a→+a→)+a→=a→+(a→+a→)。

向量的加法可以用三角形法则或平行四边形法则进行图解，方便进行向量的几何解释。

2.2 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是向量的一种运算。

两个向量的数量积定义为它们的模的乘积与它们的夹角的余弦值，即a→⋅a→=aa cos a。

数量积有交换律和分配律，是一个标量。

2.3 向量的矢量积向量的矢量积，也称为叉积或外积，是向量的一种运算。

两个向量的矢量积定义为它们的模的乘积与它们的夹角的正弦值，即a→×a→=aa sin aa→。

矢量积有右手定则和反交换律，是一个向量。

3. 向量的运算3.1 向量的数乘向量的数乘是向量与标量的乘法，即aa→。

向量的数乘改变了向量的大小，但不改变它的方向。

向量的数乘有分配律和结合律。

3.2 向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的角度，可以通过数量积的定义求解。

两个向量的夹角满足余弦定理，即a→⋅a→=aa cos a。

根据夹角的大小，可以判断向量的方向和位置关系。

4. 向量的应用4.1 向量在几何中的应用向量在几何中有广泛的应用，例如描述线段、平面、直线等几何图形，求解距离、角度、面积等几何性质，进行向量方程的几何解释等。

向量基础知识汇总向量是物理学和数学中的基本概念之一，它在多个领域有着重要的应用。

本文将对向量的基础知识进行汇总。

1.向量的定义向量是具有大小和方向的量，可以用箭头来表示。

箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

2.向量的表示方法可以使用坐标表示法来表示向量。

在二维平面上，可以用一个有序对表示向量的坐标。

(a,b)表示向量的横坐标和纵坐标。

3.向量的运算向量的运算包括加法、减法和数乘。

-向量的加法：将两个向量的对应分量相加得到结果向量。

例如，(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)。

-向量的减法：将两个向量的对应分量相减得到结果向量。

例如，(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)。

- 向量的数乘：将一个向量的每个分量都乘以一个标量得到结果向量。

例如，k(a, b) = (ka, kb)。

4.向量的模向量的模表示向量的大小，也称为向量的长度。

在二维平面上，向量(a,b)的模为√(a^2+b^2)。

5.单位向量单位向量是模为1的向量。

可以通过将向量除以其模得到单位向量。

例如，向量(a,b)的单位向量为(a/√(a^2+b^2),b/√(a^2+b^2))。

6.向量的数量积向量的数量积又称为点积或内积。

向量(a, b)和向量(c, d)的数量积为ac + bd。

数量积的结果是一个标量。

7.向量的向量积向量的向量积又称为叉积或外积。

向量(a, b)和向量(c, d)的向量积为ad - bc。

向量积的结果是一个向量。

8.向量的投影向量的投影是一个向量在另一个向量上的投影。

向量a在向量b上的投影为(a·b)/，b。

9.向量的平行和垂直关系两个向量平行意味着它们的方向相同或相反。

两个向量垂直意味着它们的数量积为0。

10.向量的线性相关和线性无关向量的线性相关意味着它们可以通过线性组合得到零向量。

向量的线性无关意味着它们不能通过线性组合得到零向量，除非所有的系数都为零。

11.向量的线性组合向量的线性组合是指将向量与标量相乘后相加得到的结果向量。

向量知识点归纳向量，在数学和物理学中起着重要的作用。

它是平面几何和立体几何研究的基础，也是物理学中描述力和速度等物理量的必备工具。

本文将就向量的概念、运算法则以及在几何和物理中的应用等方面进行归纳总结。

一、向量的概念向量是有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

向量记作A→或A→，其中A表示向量起点，A表示向量本身。

向量可以用坐标表示，例如坐标为(A, A)的向量记作(A, A)→。

向量有负数，零向量和单位向量等特殊情况。

二、向量的运算法则1. 向量的加法：向量的加法仍然是向量。

向量A→和A→的和记作A→+A→，求和的方法是将两个向量的起点连接起来，然后连接向量的终点，所得线段的方向与第一个向量相同，长度等于两个向量长度之和。

2. 向量的减法：向量的减法实际上就是加上一个相反数。

向量A→和A→的差记作A→−A→，即A→+（−A→）。

求差的方法是将向量A→取负号后，按照向量的加法规则进行运算。

3. 数量乘法：向量与实数之间的乘法。

若A→为一个向量，A为实数，则数量乘法的结果为AA→，即将向量的长度乘以实数，并沿原来的方向延长或缩短。

4. 数量积（点积）：又称内积或数量积。

向量A→和A→的数量积记作A→·A→或(A, A)。

数量积的结果是一个实数，其计算公式为A→·A→=AAAA+AAAA。

5. 向量积（叉积）：又称外积或向量积。

向量A→和A→的向量积记作A→×A→或[A, A]。

向量积的结果是一个向量，其方向垂直于向量A→和A→所在的平面，并遵循右手法则。

向量积的计算公式为：A→×A→ = (AAAA− AAAA)A→ + (AAAA− AAAA)A→ + (AAAA− AAAA)A→三、向量在几何中的应用1. 向量与平面几何：向量在平面几何中可以表示线段、直线和平面等。

两点间的向量可以用来求距离和中点，平行向量可以用来判定直线的平行和共线性，两向量的数量积可以用来判断两直线是否垂直。

向量知识点总结及讲解一、向量的基本概念1. 向量的定义在数学中，向量是有大小和方向的量。

在几何学中，向量通常表示为有向线段。

在向量中，大小通常表示为向量的长度，方向表示为向量的箭头指向。

2. 向量的表示向量可以用坐标、分量或者表示向量的起点和终点等方式来表示。

在二维空间中，可以使用(x, y)来表示向量，在三维空间中，可以使用(x, y, z)来表示。

3. 向量的相等当两个向量的大小和方向都相同时，这两个向量称之为相等向量，可以表示为AB=CD。

4. 零向量零向量是指大小为0，方向任意的向量，可以表示为0。

5. 单位向量单位向量是指大小为1的向量，可以将任意非零向量除以其大小得到单位向量。

6. 平行向量两个向量的方向相同或者相反，则这两个向量称之为平行向量，可以表示为AB∥CD。

7. 垂直向量当两个向量的夹角为90°时，这两个向量称之为垂直向量，可以表示为AB⊥CD。

8. 自由向量自由向量是指一个向量沿着平行的方向平移以后仍然保持原有性质的向量。

9. 定位向量定位向量是指起点固定在坐标原点上的向量，可以用终点的坐标表示。

二、向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

2. 向量减法向量减法是指将被减向量取反后与减向量进行向量加法，得到一个新的向量。

3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或者内积，是指将两个向量的对应分量相乘后相加得到一个数，可以表示为a·b。

4. 向量的数量积性质（1）交换律：a·b = b·a（2）结合律：a·(b+c) = a·b + a·c（3）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c5. 向量的数量积应用向量的数量积有很多应用，例如计算向量的模、判定向量的垂直性、计算夹角等。

6. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或者外积，是指将两个向量的对应分量相乘后得到一个新的向量。

第一节向量有关概念及线性运算一、向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。

2、向量的表示：（1）几何法：且一条有向线段表示，长度表示大小，箭头表示方向。

（2）符号表示法：有向线段记法：，，或一个字母：，。

（3）坐标表示：与起点在原点的有向线段一一对应。

A，B的坐标分别为，，则向量的坐标为3、向量的长度（大小）：向量的长度称为向量的模。

记作：4、零向量：长度为0的向量。

记作：5、单位向量：长度为1个单位长度的向量。

关注重点：（1）方向（2）长度二、两个向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

记作：，或规定：零向量与任一向量平行。

2、相等的向量：长度相等且方向相同的向量。

记作：，或零向量与零向量相等。

3、相反向量：与长度相同方向相反的向量，记作的相反向量是。

注意：数学上的向量均指自由向量：一切向量都可以在不改变方向和大小的前提下，将它移至任意位置，即起点可任取，且起点一旦确定，终点也将唯一确定。

1、判断下列命题的正误：（1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若与是两个单位向量，则与相等；（4）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；（5）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（6）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量；（7）若非零向量，是共线向量，则A、B、C、D四点共线；（8）“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件是“”；（9）共线的向量一定相等；（10）相等的向量一定共线。

解：（1）正确（2）正确（3）错误两个单位向量的模均为1，但方向可以不同。

（4）正确因为零向量与任意向量共线（5）错误两向量相等，起点可以不同，只需模相等，方向相同。

（6）错误方向不定。

（7）错误线段AB可与线段CD平行。

（8）正确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

小结：[1]相等与共线区别：向量相等一定共线，但共线未秘相等。

[2]向量共线与四点共线：向量是自由向量，因此四点不共线但可能两个向量共线。

数学向量的知识点总结一、向量的定义和表示1. 向量的定义在几何学中，向量通常表示为具有大小和方向的箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

在代数学中，向量可以用有序数对表示，例如 (a, b)，其中 a 和 b 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

2. 向量的表示向量通常用一个字母加上一个有向线段或者一个箭头表示，比如AB→ 或者a→，其中 AB表示向量的起点和终点，箭头表示向量的方向和大小。

在数学中，向量通常用粗体字母来表示，比如a或者a。

3. 向量的模和方向向量的模表示向量的大小，通常用两点间的距离来表示。

向量的方向表示向量指向的方向，通常用夹角或者方向余弦来表示。

例如，向量 a 的模表示为 |a|，向量 a 的方向表示为θ。

二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即两个向量的和等于连接它们的两条边的和。

向量的加法可以表示为 c = a + b，其中 c 表示两个向量的和，a 和 b 分别表示加数。

2. 向量的减法向量的减法可以看成是向量加法的逆运算，即 c = a - b 等价于 c + b = a。

向量的减法也满足三角形法则，即两个向量的差等于连接它们的两个端点的线段。

3. 向量的数量积向量的数量积又叫作点积或者内积，表示为 a·b，定义为a·b = |a| |b| cosθ，其中 |a| 和 |b|分别表示向量的模，θ 表示两个向量的夹角。

向量的数量积是一个标量，表示向量的大小和方向之间的关系。

4. 向量的向量积向量的向量积又叫作叉积或者外积，表示为 a×b，定义为|a×b| = |a| |b| sinθ n，其中 |a×b| 表示向量的模，n 表示两个向量所在平面的法向量。

向量的向量积是一个向量，表示向量的方向和大小之间的关系。

三、向量的线性运算1. 向量的线性组合给定一组向量a₁, a₂, ..., aa 和一组标量k₁, k₂, ..., ka，它们的线性组合定义为k₁a₁ + k₂a₂ + ... + k aaa。