全同粒子体系的波函数泡利原理共55页文档

第1篇一、引言在微观世界的探索中，科学家们发现了一系列神奇的现象。

其中，泡利不相容定律是量子力学中一个非常重要的原理，它揭示了微观粒子之间的一种特殊关系。

本文将详细阐述泡利不相容定律的内涵、起源、应用以及在我国科研领域的重要性。

二、泡利不相容定律的内涵泡利不相容定律，又称为泡利原理，是奥地利物理学家沃尔夫冈·泡利于1925年提出的。

该定律指出：在同一个原子中，不可能有两个电子的四个量子数完全相同。

这四个量子数分别是主量子数（n）、角量子数（l）、磁量子数（m）和自旋量子数（s）。

1. 主量子数（n）：表示电子所处的能级，取值为正整数（1、2、3...）。

2. 角量子数（l）：表示电子在原子轨道中的角动量大小，取值范围为0到n-1。

3. 磁量子数（m）：表示电子在特定角动量状态下的磁矩方向，取值范围为-l到l。

4. 自旋量子数（s）：表示电子自旋的取向，取值为+1/2或-1/2。

泡利不相容定律意味着，在同一个原子中，两个电子的四个量子数不能同时取相同值。

这保证了电子在原子中的稳定分布，为原子的化学性质提供了基础。

三、泡利不相容定律的起源泡利不相容定律的发现源于对原子结构的探索。

在20世纪初，科学家们发现，通过改变原子核的电荷数，可以产生不同元素。

然而，当时的原子模型无法解释元素周期表中的周期性规律。

泡利在研究电子在原子中的分布时，发现了这一神奇的现象，并提出了泡利不相容定律。

四、泡利不相容定律的应用泡利不相容定律在物理学、化学、材料科学等领域具有广泛的应用。

1. 物理学：泡利不相容定律是量子力学的基本原理之一，为研究原子、分子、固体等微观世界的性质提供了理论基础。

2. 化学：泡利不相容定律解释了元素周期表中元素的周期性规律，为化学元素的研究提供了重要依据。

3. 材料科学：泡利不相容定律在研究材料电子结构、导电性等方面具有重要意义。

五、泡利不相容定律在我国科研领域的重要性泡利不相容定律作为量子力学的基本原理之一，在我国科研领域具有重要地位。

2.2 Pauli 原理2.2.1全同粒子体系与置换对称性微观粒子自身固有的性质称为内禀性质，例如电子的质量、电荷、自旋等是电子的内禀性质，而电子的坐标和动量等则不是内禀性质. 内禀性质完全相同的粒子称为全同粒子.我们的基本假定是：全同粒子内禀性质的差别是观测不到的. 这个基本假定也常常被说成：全同粒子是不可分辨的.根据物理学的基本原理，某种基本物理量不可观测意味着物理体系存在着某种对称性. 如果人们原来认为是不可观测的量后来被实践证明可以观测了，则相应的对称性也就被破坏了.根据我们的基本假定，全同粒子内禀性质的差别是不可观测（观测不到）的，因此，全同粒子体系必定存在着某种对称性. 我们现在来研究这种对称性.假定我们用N 个数字1,2,...,N 对N 个全同粒子进行编号，然后用同样的N 个数字对这些粒子重新编号，从置换群的观点看，重新编号相当于对N 个数字的排列做一次置换. 由于全同粒子是不可分辨的，因此，重新编号不会发生任何可观测的后果，这意味着全同粒子体系存在着置换对称性. 假定第i 个粒子的坐标为i q （包括空间坐标和自旋坐标），置换对称性要求体系的任何可观测物理量应当是这N 个粒子的坐标{},1,2,...i q i N =的对称函数. 特殊地，体系的Hamilton 量应当是{},1,2,...,i q i N =的对称函数. 也就是说，当对{},1,2,...,i q i N =中的变量做任何置换或者以任何方式将它们重新编号时，Hamilton 量应当保持不变，不管有什么微扰作用在这一体系上，这个条件一定要满足. 另一方面，全同粒子体系的状态用波函数1(,...,...,...)i j N q q q q ψ描写，置换对称性要求当用置换群N D 中的任一元素对波函数中的变量做置换或者以任何方式将它们重新编号时，除了相因子外，波函数不应该发生任何变化.由于任何置换都可以写成对换的乘积，因此我们只需讨论对换算符ij P 对物理量或波函数的作用即可，这里),(j i P ij =,表示将i 粒子和j 粒子的坐标交换，或者说把i 粒子重新标记为j ，而把j 粒子重新标记为i .2.2.2 Pauli 原理的第一种表述根据以上讨论，N 电子体系的Hamilton 算符12(,,...)N H q q q 在对换算符作用下应当保持不变，因而有1(...,,...,,...)(...,,...,,...)ij i j ij i j P H q q p H q q-= （2.2.1）或写为ij ij HP H P = （2.2.2）这表明ij P 和Hamilton 量对易，例如（2.0.2）式表示的Hamilton 量就满足（2.2.1）式. 必须强调指出，（2.2.2）式中的Hamilton 量不限于（2.0.2）式，而是更一般的Hamilton 量，其中可能包含各种微扰项（含时与不含时）. 如前所述，不论Hamilton 量的具体形式如何，（2.2.2）式都应该满足. 更一般地，对任意置换P ，我们都有,1H P H P =- HP PH = （2.2.3）对波函数),...,,(21n q q q ψ，我们有,...),...,(...,,...),...,(...,i j j i ij q q q q P ψ=ψ （2.2.4）和(...,,...,,...)(...,,...,,...),...)i j i j j i i j P q q q q q q λψ=ψ=ψ （2.2.5） （2.2.5）式表示ψij P 和ψ只能差一相因子. 另一方面，也可以把（2.2.5）式看作算符ij P 的本征方程，本征函数为ψ，本征值为λ. 再用ij P 分别作用于（2.2.4）和（2.2.5）式两边，由于对i 和j 做两次交换等于不交换，故由（2.2.4）式得，,...),...,(...,,...),...,(...,2j i j i ij q q q q P ψ=ψ （2.2.6）由（2.2.5）式得，,...),...,(...,,...),...,(...,,...),...,(...,22j i j i ij j i ij q q q q P q q P ψ=ψ=ψλλ （2.2.7）比较（2.2.6）和（2.2.7）式，我们有，,...),...,(...,,...),...,(...,2j i j i q q q q ψ=ψλ （2.2.8）于是有12=λ， 1±=λ （2.2.9） 即ij P 的本征值1±=λ。

§7-7-1 两个全同粒子波函数)()(222q V q V ++∇−∇h==)()()ˆ)()()ˆ22201110q q q H q q q H i i i φεφφεφ（（粒子1 在i 态，粒子2 在j 态，则体系能量和波函数为则体系能量和波函数为：：=Φ+=)()(),(2121q q q q E j i ji φφεε验证验证：：),(),(ˆ2121q q E q q HΦ=Φ),()](ˆ)(ˆ[212010q q q H q HΦ+=)]()(ˆ)[()()]()(ˆ[22012110q q H q q q q Hj i j i φφφφ+=)()()()(2121q q q q j i j j i i φφεφφε+=)()()](ˆ)(ˆ[212010q q q H q Hj i φφ+=左端)()()(21q q j i j i φφεε+=),(21q q E Φ=交换简并=Eε)],(),([),q q q q C q q Φ+Φ=Φ（Φ())],(),([),q q q q C q q Φ+Φ=Φ（ΦΦΦ设粒子间无互作用设粒子间无互作用，，单粒子H 0不显含时间不显含时间，∑N其对称化波函数是：：2 个Bose 子体系，其对称化波函数是2 个Bose 子体系，其对称化波函数是其对称化波函数是：：Nkφ∏归一化因子!n该体系对称化的波函数。

φ1 、φ2、φ3，求：该体系对称化的波函数该体系对称化的波函数。

φ1 、φ2、φ3，求：该体系对称化的波函数该体系对称化的波函数。

φ1 、φ2、φ3，求：该体系对称化的波函数元素可重复选取）（元素可重复选取个元素（从m 个不同元素中每次取n 个元素其反对称化波函数是：：体系，，其反对称化波函数是2 个Fermi 子体系每一项都是单粒子波函数乘积形式，行列式展开后，，每一项都是单粒子波函数乘积形式●行列式展开后2 个Fermi 子体系(,()(()(11i i q q q q φφ们分别可能处于单粒态、、，1φ2φ3φ1925年奥地利物理学家泡利在研究全同粒子系统的波函数时发现，若全同粒子系统由费密子组成若全同粒子系统由费密子组成，，由于费密子系统的波函数是反对称函数是反对称函数，，如果有两个粒子的状态相同如果有两个粒子的状态相同，，则系统的波函数为零为零，，即不能有两个或两个以上的费密子处在同一个状态——泡利不相容原理泡利不相容原理。

第六章全同粒⼦体系第六章全同粒⼦体系6.1 全同粒⼦体系之前所讨论的问题都是单粒⼦问题，在⾃然界中经常碰到由多个粒⼦所组成的体系，称为多粒⼦体系，这些体系或者由⾮全同粒⼦构成或者由全同粒⼦构成，⽽我们关注是由全同粒⼦构成的体系。

⾸先研究由全同粒⼦组成的多粒⼦体系的特性。

1、全同粒⼦我们称质量m，电荷q，磁矩M，⾃旋S等固有属性完全相同的微观粒⼦为全同粒⼦。

其中，固有属性⼜叫内禀属性，如所有的电⼦，所有的质⼦系都是全同粒⼦系，在相同的物理条件下，全同粒⼦体系中的全同粒⼦的⾏为应该是相同的。

全同粒⼦体系有个重要的特点，就是我们量⼦⼒学第5个基本假设给出的。

2、量⼦⼒学基本假设全同性原理假设（不能由量⼦⼒学中的基本假设推出）：全同粒⼦具有不可区分性，交换任何两个粒⼦不引起体系物理状态的改变。

（不可区分性与交换不变性）量⼦⼒学中，粒⼦的状态是⽤波函数来描述的，如果描述两个粒⼦的波没有重叠，例如：把两个粒⼦分别置于两个不同的容器中，⾃然可以区分哪个是1粒⼦，哪个是2粒⼦；但如果描述两个粒⼦的波发⽣重叠，例如：氢原⼦中的两个电⼦，这两个全同电⼦就⽆法区分了，因为⼀切测量结果都不会因为交换⽽有所改变。

由于全同粒⼦的不可区分性，每个粒⼦都是处于完全相同的状态，所以交换任何两个全同粒⼦并不形成新的状态。

在⾃然界中，实际出现的状态，只是那些交换不变的态，其余的态实际都不存在，由全同性原理假设出发，可以得到全同粒⼦体系的⼀些重要性。

3、全同粒⼦体系?H算符的交换不变性粒⼦不可区分，单体算符形式⼀样。

在量⼦⼒学情况下，微观粒⼦不存在严格意义的轨道，对于粒⼦的坐标，我们仅知道粒⼦在某处出现的⼏率，设有两个全同粒⼦在不同时刻给它们照相，根据照⽚上的位置，在某⼀时刻把它两个粒⼦编号，则在后⼀时刻的照⽚上没有任何根据能指出哪个是第⼀号，哪个是第⼆号，即使两次的照⽚时间间隔再短，也⽆法分辨。

但我们⼜必须给粒⼦的“坐标”i q 编上号码（1,2,i N =），因为不可能把各个粒⼦的不同坐标的哦要⽤⼀个变量q来表⽰，这样，12,N q q q 代表第⼀个位置（含⾃旋），第⼆个位置，……各有⼀个粒⼦，不能规定是哪⼀个粒⼦；于是，12,N q q q 表⽰粒⼦的坐标（含⾃旋），但每⼀个坐标q 都不专属于某⼀个粒⼦，若把12,N q q q 顺序作任意置换后，也还是在(1,2,)i q i N =各有⼀个粒⼦。

泡利不相容原理证明泡利不相容原理是量子力学中的一个重要原理，它描述了在同一量子态下，两个或多个相同类型的费米子（包括电子、质子、中子等）不能具有完全相同的量子状态。

这意味着两个费米子不能同时处于相同的能级和自旋状态。

泡利不相容原理的证明可以从波函数的对称性入手。

根据费米子的统计特性，其波函数必须满足反对称性，即对于两个费米子的波函数ψ(x1, x2)来说，交换两个粒子的位置后，波函数会发生变号，即ψ(x2, x1) = -ψ(x1, x2)。

这种反对称性导致了泡利不相容原理的成立。

假设存在两个完全相同的费米子，其波函数为ψ(x1, x2)。

根据反对称性，交换两个粒子的位置后，波函数应该变为-ψ(x1, x2)。

然而，由于费米子是完全相同的，交换两个粒子的位置并不会改变其波函数，也就是说，ψ(x1, x2) = -ψ(x1, x2)。

这个等式只有在波函数为零的情况下才能成立，也就是说，两个费米子不能处于相同的量子态。

泡利不相容原理的应用非常广泛。

最常见的例子是电子在原子中的排布。

根据泡利不相容原理，每个能级最多只能容纳两个电子，且它们的自旋方向必须相反。

这就解释了为什么原子中电子的能级是分裂的，以及为什么原子中的电子不会全部堆积在最低能级。

除了原子结构外，泡利不相容原理还解释了其他许多物理现象，例如金属中的电子行为、超导体中的电子配对等。

它的发现对于理解物质的基本性质和开发新的材料具有重要意义。

总之，泡利不相容原理是量子力学的基本原理之一，它要求同一量子态下的费米子具有不同的量子状态。

这一原理通过波函数的反对称性得到证明，对于解释原子结构和其他物理现象有着重要的意义。