2012届高考数学导数极限复习题1

实用文档2012高考真题分类汇编：导数一、选择题1、【2012高考真题新课标理12】设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 最小值为（ ）()A 1ln2- ()B 2(1ln 2)- ()C 1ln2+ ()D 2(1ln 2)+2、【2012高考真题陕西理7】设函数()x f x xe =，则（ ）A. 1x =为()f x 的极大值点B.1x =为()f x 的极小值点C. 1x =-为()f x 的极大值点D. 1x =-为()f x 的极小值点[学3、【2012高考真题辽宁理12】若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是(A)21x e x x ++ (B)2111241x x x<-++ (C)21cos 12x x -(D)21ln(1)8x x x +-4、【2012高考真题湖北理3】已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为A ．2π5 B ．43 C ．32 D ．π2实用文档5、【2012高考真题全国卷理10】已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或16、【2012高考真题重庆理8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数为,()f x ，且函数)(')1(x f x y -=的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是（A ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)f（B ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)f（C ）函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -（D ）函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f二、填空题7、【2012高考真题陕西理14】设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲实用文档线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2z x y =-在D 上的最大值为 .8、【2012高考真题浙江理16】定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y+4)2=2到直线l:y=x 的距离，则实数a=_______。

2012高考数学理最后冲刺【六大解答题】导数专练1、已知函数()ln ,()()6ln ,a f x x g x f x ax x x=-=+-其中a R ∈。

（1）当1a =时，判断()f x 的单调性；（2）若()g x 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围；（3）设函数2()4,2h x x m x a =-+=当时,若12(0,1),[1,2],x x ∃∈∀∈总有12()()g x h x ≥成立，求实数m2. 已知函数)1(ln )(--=x a x x f ，a ∈R． (I)讨论函数)(x f 的单调性； (Ⅱ)当1≥x 时，)(x f ≤1ln +x x恒成立，求a 的取值范围．3.已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈．（I ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45o，问：m 在什么范围取值时，对于任意的[1,2]t ∈，函数32()[()]2m g x x x f x '=++在区间(,3)t 上总存在极值？4.已知三次函数)(x f 的导函数ax x x f 33)(2-='，b f =)0(，a ．b 为实数。

m]（Ⅰ）若曲线=y )(x f 在点（1+a ，)1(+a f ）处切线的斜率为12，求a 的值；（Ⅱ）若)(x f 在区间［-1，1］上的最小值．最大值分别为-2．1，且21<<a ，求函数)(x f 的解析式。

5.已知函数22()ln ax f x x e=-，（a e R,∈为自然对数的底数）．（Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；（Ⅱ）当1a =时，过点(0, )P t ()t ∈R 作曲线()y f x =的两条切线，设两切点为111(,())P x f x ，222(,())P x f x 12()≠x x ，求证12x x +为定值，并求出该定值。

2012 年高考文科数学真题及答案全国卷1注息事项 :1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动 .用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后 .将本试卷和答且卡一并交回。

第1 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合 A={ x|x2－ x－ 2<0} ， B={ x|－ 1<x<1} ，则（A）A B（B）BA（C）A=B（D）A∩B=【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法与集合间关系，是简单题.【解析】 A= （－ 1,2），故 B A ，故选 B.（ 2）复数 z＝3i的共轭复数是2 i（ A ）2 i（ B ）2 i（C）1 i（ D）1 i【命题意图】本题主要考查复数的除法运算与共轭复数的概念，是简单题.【解析】∵ z =3 ii ，∴ z 的共轭复数为 1 i ，故选D.= 12i（3）在一组样本数据（ x1， y1），（ x2， y2），⋯，（ x n， y n）（n≥ 2， x1,x2, ⋯ ,x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）(i=1,2, ⋯, n) 都在直线y 1x 1 y=1x+1上，则这组样本22数据的样本相关系数为（A）－ 1（B）0（C）1（D）1 2【命题意图】本题主要考查样本的相关系数，是简单题.【解析】有题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选 D.12x2y2=1（a＞ b ＞0）的左、右焦点，P 为直线 x3a（4）设F,F是椭圆E：a2b2上一2点，△ F2PF1是底角为300的等腰三角形，则 E 的离心率为A .1B .2C .3D .4 2345【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题.【解析】∵△F2 PF1是底角为300的等腰三角形，∴ PF 2A600， | PF 2 | | F 1F 2 | 2c ，∴ | AF 2 | = c ，∴2c3a ，∴e =3，故选 C.24（ 5）已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1) ，B(1,3) ，顶点 C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ ABC内部，则 zxy 的取值范围是（A ）(1－ 3，2)（ B ） (0， 2)（ C ）( 3－ 1，2)（ D ） (0， 1+ 3)【命题意图】本题主要考查简单线性规划解法，是简单题.【解析】有题设知C(1+ 3 ,2)，作出直线l 0：xy 0 ，平移直线l 0，有图像知，直线 l : zx y 过B点时， z max=2，过 C 时，z min =1 3 ，∴ z x y 取值范围为(1－3，2)，故选 A.（ 6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N ( N ≥2)和实数a 1，a 2，⋯，a N ，输出A ，B ，则A . A + B 为a 1，a 2，⋯，a N 的和ABB .为a 1，a 2，⋯，a N 的算术平均数C .A 和B 分别为a 1，a 2，⋯，a N 中的最大数和最小数D . A 和 B 分别为a 1，a 2，⋯，a N 中的最小数和最大数【命题意图】本题主要考查框图表示算法的意义，是 简单题 .【解析】由框图知其表示的算法是找大值和最小值，A 和B分别为 a 1， a 2，⋯， a N 中 的最大数和最小数，故选C.（7）如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为A .6B .9C .12D .18【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及体积计算，是简单题 .【解析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为 6，这边上高为 3，棱锥的高为 3，故其体积为116 33 =9，32故选 B.(8) 平面α截球 O 的球面所得圆的半径为1，球心 O 到平面α的距离为 2，则此球的体积为（ A ） 6π（ B ） 4 3π（C ） 4 6π（ D ） 6 3π【命题意图】【解析】N 个数中的最（ 9）已知>0，0，直线x =和x =5是函数f ( x) sin( x ) 图像的两条44相邻的对称轴，则=（ A ）ππ π 3π4（B ）3 （C ）2 （D ）4【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质，是中档题.【解析】由题设知，5，∴ =1，∴= k（ k Z ），=4442∴= k （ kZ ），∵0，∴ =，故选 A.44（ 10）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 216x 的准线交于 A 、B 两点，| AB |=4 3，则C 的实轴长为A .2B .2 2C .4D .8.【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题【解析】由题设知抛物线的准线为： x 4 ，设等轴双曲线方程为：x 2 y 2 a 2，将x 4代入等轴双曲线方程解得y =16 a 2 ，∵| AB|=43，∴2 16a 2 = 4 3 ，解得 a =2，∴ C 的实轴长为4，故选 C.(11)当 0< x ≤1时，4xlog a x ，则a 的取值范围是222（A ）(0，2 ) （B ）( 2 ， 1) （C ） (1， 2) （D ） ( 2，2)【命题意图】本题主要考查指数函数与对数函数的图像与性质及数形结合思想， 是中档题 .0 a12 【解析】由指数函数与对数函数的图像知11，解得a2 ，故选 A.loga242（ 12）数列 { a n } 满足a n 1( 1)n a n2n 1 ，则{ a n }的前60项和为（ A ）3690 （B ） 3660（ C ） 1845 （ D ） 1830 【命题意图】本题主要考查灵活运用数列知识求数列问题能力，是难题 . 【解析】【法 1】有题设知a 2 a 1=1，① a 3a 2=3②a 4 a 3=5③a 5 a 4=7， a 6 a 5=9， a 7 a 6=11， a 8a 7=13， a 9 a 8=15， a 10 a 9=17， a 11a 10=19， a 12a1121 ，⋯⋯∴②－①得 a 1a 3=2，③+②得 a 4 a 2=8，同理可得 a 5 a 7=2， a 6 a 8=24， a 9a 11=2，a10a 12=40，⋯，∴ a 1 a 3，a 5 a 7，a 9 a 11，⋯，是各项均为 2 的常数列，a 2a 4，a 6a 8，a 10a 12，⋯是首项为8，公差为 16 的等差数列，∴ { a n } 的前 60 项和为 15 215 8116 15 14 =1830.2【法 2】可证明：bn 1a4 n 1a4n 2a4 n 3a4 n 4a4 n 3a4n 2a4 n 2a 4n 16b n16b 1a 1a 2 a 3 a 4 1 01 5 1 4 S 1510 1516 18302第Ⅱ卷二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。

2012高考导数大题1.（2012年高考（天津理））已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a .(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值;(Ⅲ)证明=12ln (2+1)<221ni n i --∑*()n N ∈. 答案：【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力.(1)()f x 的定义域为(,)a -+∞()ln()f x x x a =-+11()101x a f x x a a x a x a+-'⇒=-==⇔=->-++ ()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-得：1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔=（2）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔≥=（*） (1)1ln 200g k k =-+≥⇒>1(221)()2111x kx k g x kx x x +-'=-+=++ ①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)02k g x x x g x g k -'≤⇔≤≤=⇒<=与（*）矛盾 ②当12k ≥时，min ()0()(0)0g x g x g '≥⇒==符合（*） 得：实数k 的最小值为12(lfxlby) （3）由（2）得：21ln(1)2x x x -+<对任意的0x >值恒成立 取2(1,2,3,,)21x i n i ==- ：222[ln(21)ln(21)]21(21)i i i i -+--<-- 当1n =时，2ln32-< 得：=12ln (2+1)<221n i n i --∑（lb ylfx ） 当2i ≥时，2211(21)2321i i i <----得：121[ln(21)ln(21)]2ln 3122121n i i i i n =-++-<-+-<--∑2．（2012年高考（新课标理））已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+; (1)求()f x 的解析式及单调区间; (2)若21()2f x x ax b ≥++,求(1)a b +的最大值 答案：(1)1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+ 令1x =得:(0)1f =1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔= 得:21()()()12x x f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+ ()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔<得:()f x 的解析式为21()2x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞ (2)21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时,()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增x →-∞时,()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时,()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+得:当ln(1)x a =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>令22()ln (0)F x x x x x =->;则()(12ln )F x x x '=- ()00,()0F x x e F x x e ''>⇔<<<⇔> 当x e =时,max ()2e F x =当1,a e b e =-=时,(1)a b +的最大值为2e 3.（2012年高考（浙江理））已知a >0,b ∈R,函数()342f x ax bx a b =--+.(Ⅰ)证明:当0≤x ≤1时,(ⅰ)函数()f x 的最大值为|2a -b |﹢a ;(ⅱ) ()f x +|2a -b |﹢a ≥0;(Ⅱ) 若﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0,1]恒成立,求a +b 的取值范围.答案：(Ⅰ) (ⅰ)()2122f x ax b '=-.当b ≤0时,()2122f x ax b '=->0在0≤x ≤1上恒成立,此时()f x 的最大值为:()1423f a b a b a b =--+=-=|2a -b |﹢a ;当b >0时,()2122f x ax b '=-在0≤x ≤1上的正负性不能判断,此时()f x 的最大值为:()max 2max{(0)1}max{()3}32b a b a f x f f b a a b a b b a ->⎧==--=⎨-<⎩，，（），()，=|2a -b |﹢a ; 综上所述:函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a -b |﹢a ;(ⅱ) 要证()f x +|2a -b |﹢a ≥0,即证()g x =﹣()f x ≤|2a -b |﹢a .亦即证()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a -b |﹢a ,∵()342g x ax bx a b =-++-,∴令()212206b g x ax b x a'=-+=⇒=. 当b ≤0时,()2122g x ax b '=-+<0在0≤x ≤1上恒成立,此时()g x 的最大值为:()03g a b a b =-<-=|2a -b |﹢a ;当b <0时,()2122g x ax b '=-+在0≤x ≤1上的正负性不能判断,()max max{()1}6b g x g g a =，（） 4max{2}36463662b b a b b a ab b a b a b a b a b a =+--⎧≤+-⎪=⎨>⎪-⎩，，，≤|2a -b |﹢a ;综上所述:函数 EMBED Equation.DSMT4在0≤x ≤1上的最大值小于(或等即 EMBED Equation.DSMT4+|2a -b |﹢a ≥0在0≤x ≤1上恒成立. (Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 EMBED Equation.DSMT4在0≤x ≤1上的最大值为|2a -b |﹢a , 且函数 EMBED Equation.DSMT4在0≤x ≤1上的最小值比﹣(|2a -b |﹢a )要大. ∵﹣1≤ EMBED Equation.DSMT4≤1对x EMBED Equation.DSMT4 [0,1]恒成立,∴|2a -b |﹢a ≤1. 取b 为纵轴,a 为横轴.则可行域为: EMBED Equation.DSMT4和 EMBED Equation.DSMT4,目标函数为z =a +b .作图如下:由图易得:当目标函数为z =a +b 过P (1,2)时,有 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 .∴所求a +b 的取值范围为: EMBED Equation.DSMT4. 4．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)设 EMBED Equation.DSMT4其中 EMBED Equation.DSMT4 ,曲线EMBED Equation.DSMT4 在点 EMBED Equation.DSMT4 处的切线垂直于 EMBED Equation.DSMT4 轴.(Ⅰ) 求 EMBED Equation.DSMT4 的值; (Ⅱ) 求函数 EMBED Equation.DSMT4 的极值.答案：解:(1)因 EMBED Equation.DSMT4 ,故 EMBED Equation.DSMT4由于曲线 EMBED Equation.DSMT4 在点 EMBED Equation.DSMT4处的切线垂直于 EMBED Equation.DSMT4 轴,故该切线斜率为0,即 EMBED Equation.DSMT4 , 从而 EMBED Equation.DSMT4,解得 EMBEDEquation.DSMT4(2)由(1)知 EMBED Equation.DSMT4,EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4令 EMBED Equation.DSMT4 ,解得 EMBED Equation.DSMT4(因 EMBED Equation.DSMT4不在定义域内,舍去),当 EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4,故 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4上为减函数; 当 EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4,故 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4上为增函数; 故 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 处取得极小值 EMBED Equation.DSMT4. 5．（2012年高考（陕西理））设函数 EMBED Equation.DSMT4(1)设 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,证明: EMBED Equation.DSMT4 在区间 EMBED Equation.DSMT4内存在唯一的零点; (2)设 EMBED Equation.DSMT4 ,若对任意 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ,有 EMBED Equation.DSMT4,求 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围;(3)在(1)的条件下,设 EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4内的零点,判断数列 EMBED Equation.DSMT4 的增减性.答案： (1) EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 时, EMBEDEquation.DSMT4∵ EMBED Equation.DSMT4,∴ EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4内存在零点.又当 EMBED Equation.DSMT4时, EMBED Equation.DSMT4 ∴ EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4上是单调递增的,所以 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4内存在唯一零点.(2)当 EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4对任意 EMBED Equation.DSMT4 都有 EMBED Equation.DSMT4等价于 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 上最大值与最小值之差 EMBED Equation.DSMT4 ,据此分类讨论如下:(ⅰ)当 EMBED Equation.DSMT4,即 EMBED Equation.DSMT4 时,EMBED Equation.DSMT4,与题设矛盾 (ⅱ)当 EMBED Equation.DSMT4,即 EMBED Equation.DSMT4 时,EMBED Equation.DSMT4恒成立(ⅲ)当 EMBED Equation.DSMT4,即 EMBED Equation.DSMT4 时,EMBED Equation.DSMT4恒成立.综上可知, EMBED Equation.DSMT4注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下:用 EMBED Equation.DSMT4 表示 EMBED Equation.DSMT4 中的较大者.当 EMBED Equation.DSMT4,即 EMBED Equation.DSMT4 时,EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4恒成立(3)证法一 设 EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4内的唯一零点 EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4, EMBED Equation.DSMT4于是有 EMBED Equation.DSMT4又由(1)知 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4上是递增的,故 EMBED Equation.DSMT4 , 所以,数列 EMBED Equation.DSMT4 是递增数列.证法二 设 EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4内的唯一零点EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4则 EMBED Equation.DSMT4 的零点 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内,故 EMBED Equation.DSMT4, 所以,数列 EMBED Equation.DSMT4是递增数列. 6. （2012年高考（山东理））已知函数 EMBED Equation.DSMT4( EMBEDEquation.DSMT4 为常数, EMBED Equation.DSMT4 是自然对数的底数),曲线 EMBED Equation.DSMT4 在点 EMBED Equation.DSMT4 处的切线与 EMBED Equation.DSMT4 轴平行.(Ⅰ)求 EMBED Equation.DSMT4 的值; (Ⅱ)求 EMBED Equation.DSMT4 的单调区间;(Ⅲ)设 EMBED Equation.DSMT4 ,其中 EMBED Equation.DSMT4 为 EMBED Equation.DSMT4 的导函数.证明:对任意 EMBED Equation.DSMT4 .答案：由f(x) = EMBED Equation.KSEE3可得 EMBED Equation.KSEE3EMBED Equation.KSEE3,而 EMBED Equation.KSEE3 ,即 EMBEDEquation.KSEE3,解得 EMBED Equation.KSEE3(Ⅱ) EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3,令 EMBEDEquation.KSEE3 可得 EMBED Equation.KSEE3 ,当 EMBED Equation.KSEE3 时, EMBED Equation.KSEE3;当 EMBEDEquation.KSEE3 时, EMBED Equation.KSEE3.于是 EMBED Equation.KSEE3 在区间 EMBED Equation.KSEE3 内为增函数;在 EMBED Equation.KSEE3 内为减函数.(Ⅲ) EMBED Equation.KSEE3,(1)当 EMBED Equation.KSEE3 时, EMBED Equation.KSEE3 , EMBED Equation.KSEE3 .(2)当 EMBED Equation.KSEE3 时,要证 EMBED Equation.KSEE3.只需证 EMBED Equation.KSEE3即可设函数 EMBED Equation.KSEE3.则 EMBED Equation.KSEE3,则当 EMBED Equation.KSEE3 时 EMBED Equation.KSEE3,令 EMBED Equation.KSEE3 解得 EMBED Equation.KSEE3 ,当 EMBED Equation.KSEE3 时 EMBED Equation.KSEE3 ;当 EMBED Equation.KSEE3 时 EMBED Equation.KSEE3 ,则当 EMBED Equation.KSEE3 时 EMBED Equation.KSEE3 ,且 EMBED Equation.KSEE3 ,则 EMBED Equation.KSEE3EMBED Equation.KSEE3 ,于是可知当EMBED Equation.KSEE3 时 EMBED Equation.KSEE3成立综合(1)(2)可知对任意x>0, EMBED Equation.KSEE3 恒成立.另证1:设函数 EMBED Equation.KSEE3 ,则 EMBED Equation.KSEE3,则当 EMBED Equation.KSEE3 时 EMBED Equation.KSEE3,于是当 EMBED Equation.KSEE3 时,要证 EMBED Equation.KSEE3,只需证 EMBED Equation.KSEE3即可,设 EMBED Equation.KSEE3 , EMBED Equation.KSEE3 ,令 EMBED Equation.KSEE3 解得 EMBED Equation.KSEE3 , 当 EMBED Equation.KSEE3 时 EMBED Equation.KSEE3 ;当 EMBED Equation.KSEE3 时 EMBED Equation.KSEE3 , 则当 EMBED Equation.KSEE3 时 EMBED Equation.KSEE3 ,于是可知当 EMBED Equation.KSEE3 时 EMBED Equation.KSEE3成立综合(1)(2)可知对任意x>0, EMBED Equation.KSEE3 恒成立.另证2:根据重要不等式当 EMBED Equation.KSEE3 时 EMBED Equation.KSEE3 ,即 EMBED Equation.KSEE3 ,于是不等式 EMBED Equation.KSEE3,设 EMBED Equation.KSEE3 , EMBED Equation.KSEE3 ,令 EMBED Equation.KSEE3 解得 EMBED Equation.KSEE3 ,当 EMBED Equation.KSEE3 时 EMBED Equation.KSEE3 ;当 EMBED Equation.KSEE3 时 EMBED Equation.KSEE3 ,则当 EMBED Equation.KSEE3 时 EMBED Equation.KSEE3 ,于是可知当 EMBED Equation.KSEE3 时 EMBED Equation.KSEE3成立.7.（2012年高考（辽宁理））设 ,曲线 与直线在(0,0)点相切.(Ⅰ)求 的值. (Ⅱ)证明:当 时,.【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用.本题容易忽略函数 的定义域,根据条件曲线 与直线在(0,0)点相切,求出 的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明即可.从近几年的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练.本题属于中档题.8．（2012年高考（江苏））若函数 EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.3处取得极大值或极小值,则称 EMBED Equation.3为函数EMBED Equation.3 的极值点.已知 EMBED Equation.DSMT4 是实数,1和 EMBED Equation.DSMT4 是函数 EMBED Equation.DSMT4 的两个极值点.(1)求 EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 的值; (2)设函数 EMBED Equation.DSMT4 的导函数 EMBED Equation.DSMT4 ,求 EMBED Equation.DSMT4 的极值点;(3)设 EMBED Equation.DSMT4 ,其中 EMBED Equation.DSMT4 ,求函数 EMBED Equation.DSMT4 的零点个数.【答案】解:(1)由 EMBED Equation.DSMT4 ,得 EMBED Equation.DSMT4 .∵1和 EMBED Equation.DSMT4 是函数 EMBED Equation.DSMT4 的两个极值点,∴ EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,解得 EMBED Equation.DSMT4 .(2)∵由(1)得, EMBED Equation.DSMT4 ,,解得 EMBED Equation.DSMT4 .∴ EMBED Equation.DSMT4∵当 EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4 ;当 EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4 ,∴ EMBED Equation.DSMT4 是 EMBED Equation.DSMT4 的极值点.∵当 EMBED Equation.DSMT4 或 EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4 ,∴ EMBED Equation.DSMT4 不是 EMBED Equation.DSMT4 的极值点.∴ EMBED Equation.DSMT4 的极值点是-2.(3)令 EMBED Equation.3 ,则 EMBED Equation.DSMT4 .先讨论关于 EMBED Equation.DSMT4 的方程 EMBED Equation.3 根的情况: EMBED Equation.DSMT4时,由(2 )可知, EMBED Equation.3 的两个不当 EMBED Equation.DSMT4同的根为I 和一2 ,注意到 EMBED Equation.3 是奇函数,∴ EMBED Equation.3 的两个不同的根为一和2.时,∵ EMBED Equation.3 , EMBED 当 EMBED Equation.DSMT4Equation.3 ,∴一2 , -1,1 ,2 都不是 EMBED Equation.3 的根..由(1)知 EMBED Equation.3时, EMBED Equation.3 ,于是 EMBED ①当 EMBED Equation.3Equation.3 是单调增函数,从而 EMBED Equation.3 .无实根.此时 EMBED Equation.3 在 EMBED Equation.DSMT4②当 EMBED Equation.3时. EMBED Equation.3 ,于是 EMBEDEquation.3 是单调增函数.又∵ EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 的图象不间断,∴ EMBED Equation.3 在(1 , 2 )内有唯一实根.同理, EMBED Equation.3 在(一2 ,一I )内有唯一实根.时, EMBED Equation.3 ,于是 EMBED ③当 EMBED Equation.3Equation.3 是单调减两数.又∵ EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 的图象不间断,∴ EMBED Equation.3 在(一1,1 )内有唯一实根.时, EMBED Equation.3 有两个不同的因此,当 EMBED Equation.DSMT4;当 根 EMBED Equation.DSMT4 满足 EMBED Equation.DSMT4时EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.3 有三个不同的根 EMBED Equation.DSMT4 ,满足.EMBED Equation.DSMT4现考虑函数 EMBED Equation.DSMT4 的零点:时, EMBED Equation.3 有两个根 EMBED ( i )当 EMBED Equation.3Equation.DSMT4 ,满足 EMBED Equation.DSMT4.而 EMBED Equation.3 有三个不同的根, EMBED Equation.3 有两个不同的根,故 EMBED Equation.DSMT4 有5 个零点.时, EMBED Equation.3 有三个不同的根 ( 11 )当 EMBED Equation.3EMBED Equation.DSMT4 ,满足 EMBED Equation.DSMT4.而 EMBED Equation.3有三个不同的根,故 EMBED Equation.DSMT4 有9个零点.综上所述,当 EMBED Equation.3时,函数 EMBED Equation.DSMT4 有5个零点;当 EMBED Equation.3时,函数 EMBED Equation.DSMT4 有9 个零点.【考点】函数的概念和性质,导数的应用.【解析】(1)求出 EMBED Equation.3 的导数,根据1和 EMBED Equation.DSMT4是函数 EMBED Equation.3 的两个极值点代入列方程组求解即可.(2)由(1)得, EMBED Equation.DSMT4 ,求出 EMBED Equation.DSMT4 ,令 EMBED Equation.DSMT4 ,求解讨论即可.(3)比较复杂,先分 EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 讨论关于 EMBED Equation.DSMT4 的方程 EMBED Equation.3 根的情况;再考虑函数 EMBED Equation.DSMT4 的零点.9.（2012年高考（湖南理））已知函数 EMBED Equation.DSMT4 = EMBEDEquation.DSMT4 ,其中a ≠0.(1) 若对一切x ∈R, EMBED Equation.DSMT4 ≥1恒成立,求a 的取值集合.(2)在函数 EMBED Equation.DSMT4 的图像上取定两点 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4,记直线AB 的斜率为K,问:是否存在x 0∈(x 1,x 2),使 EMBED Equation.DSMT4成立?若存在,求 EMBED Equation.DSMT4的取值范围;若不存在,请说明理由. 【解析】(Ⅰ)若 EMBED Equation.DSMT4 ,则对一切 EMBED Equation.DSMT4, EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ,这与题设矛盾,又 EMBED Equation.DSMT4 ,故 EMBED Equation.DSMT4 .而 EMBED Equation.DSMT4 令 EMBED Equation.DSMT4当 EMBED Equation.DSMT4时, EMBED Equation.DSMT4 单调递减;当EMBED Equation.DSMT4时, EMBED Equation.DSMT4 单调递增,故当EMBED Equation.DSMT4时, EMBED Equation.DSMT4 取最小值EMBED Equation.DSMT4于是对一切 EMBED Equation.DSMT4 恒成立,当且仅当EMBED Equation.DSMT4. ①令 EMBED Equation.DSMT4 则 EMBED Equation.DSMT4当 EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4 单调递增;当 EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4 单调递减.故当 EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4 取最大值 EMBED Equation.DSMT4 .因此,当且仅当 EMBED Equation.DSMT4即EMBED Equation.DSMT4 时,①式成立.综上所述, EMBED Equation.DSMT4 的取值集合为 EMBED Equation.DSMT4. (Ⅱ)由题意知, EMBED Equation.DSMT4令 EMBED Equation.DSMT4则EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4令 EMBED Equation.DSMT4 ,则 EMBED Equation.DSMT4 .当 EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4 单调递减;当 EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4 单调递增.故当 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 即 EMBED Equation.DSMT4从而 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4又 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4因为函数 EMBED Equation.DSMT4 在区间 EMBED Equation.DSMT4 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在 EMBED Equation.DSMT4使 EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 单调递增,故这样的 EMBED Equation.DSMT4 是唯一的,且 EMBED Equation.DSMT4.故当且仅当EMBED Equation.DSMT4时, EMBED Equation.DSMT4 . 综上所述,存在 EMBED Equation.DSMT4 使 EMBED Equation.DSMT4 成立.且 EMBED Equation.DSMT4的取值范围为 EMBED Equation.DSMT4.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出 EMBED Equation.DSMT4 取最小值 EMBED Equation.DSMT4对一切x ∈R,f(x)EMBED Equation.DSMT4 1恒成立转化为 EMBED Equation.DSMT4,从而得出a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.10. （2012年高考（湖北理））(Ⅰ)已知函数 ,其中 为有理数,且 . 求 的最小值;(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:设 , 为正有理数. 若 ,则 ;(Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注:当 为正有理数时,有求导公式 .考点分析:本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学归纳法,对考生的归 纳推理能力有较高要求.解析:(Ⅰ) ,令 ,解得 .当 时, ,所以 在 内是减函数;当 时, ,所以 在 内是增函数.故函数 在 处取得最小值 .(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 时,有 ,即 ①若 , 中有一个为0,则 成立;若 , 均不为0,又 ,可得 ,于是在①中令 , ,可得,即 ,亦即 .综上,对 , , 为正有理数且 ,总有 . ②(Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为:设 为非负实数, 为正有理数.若 ,则 . ③用数学归纳法证明如下:(1)当 时, ,有 ,③成立.(2)假设当 时,③成立,即若 为非负实数, 为正有理数,且 ,则 .当 时,已知 为非负实数, 为正有理数,且 ,此时 ,即 ,于是= .因,由归纳假设可得,从而.又因 ,由②得,从而 .故当 时,③成立.由(1)(2)可知,对一切正整数 ,所推广的命题成立.说明:(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对 成立,则后续证明中不需讨论 的情况.11. （2012年高考（广东理））(不等式、导数)设 EMBED Equation.DSMT4,集合 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4, EMBEDEquation.DSMT4 .(Ⅰ)求集合 EMBED Equation.DSMT4 (用区间表示);(Ⅱ)求函数 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内的极值点.解析:(Ⅰ)考虑不等式 EMBED Equation.DSMT4的解. 因为 EMBED Equation.DSMT4,且 EMBED Equation.DSMT4 ,所以可分以下三种情况:①当 EMBED Equation.DSMT4时, EMBED Equation.DSMT4 ,此时 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4. ②当 EMBED Equation.DSMT4时, EMBED Equation.DSMT4 ,此时 EMBED Equation.DSMT4, EMBED Equation.DSMT4 . ③当 EMBED Equation.DSMT4时, EMBED Equation.DSMT4 ,此时 EMBED Equation.DSMT4有两根,设为 EMBED Equation.DSMT4 、 EMBED Equation.DSMT4 ,且 EMBED Equation.DSMT4 ,则 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4,于是 EMBED Equation.DSMT4. 当 EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4, EMBED Equation.DSMT4 ,所以 EMBED Equation.DSMT4 ,此时 EMBED Equation.DSMT4;当 EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4 ,所以 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,此时 EMBED Equation.DSMT4. 综上所述,当 EMBED Equation.DSMT4时, EMBED Equation.DSMT4 ;当 EMBED Equation.DSMT4时, EMBED Equation.DSMT4 ;当 EMBED Equation.DSMT4时, EMBED Equation.DSMT4 ;当 EMBEDEquation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4.其中 EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4. (Ⅱ) EMBED Equation.DSMT4 ,令 EMBED Equation.DSMT4可得 EMBED Equation.DSMT4.因为 EMBED Equation.DSMT4 ,所以 EMBED Equation.DSMT4有两根 EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 ,且 EMBED Equation.DSMT4 .①当 EMBED Equation.DSMT4时, EMBED Equation.DSMT4 ,此时 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有两根 EMBED Equation.DSMT4 和 EMBED Equation.DSMT4 ,列表可得EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT41 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4+ 0 - 0 + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 极大值 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 .EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 1 EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 + 0 - 0 + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 极大值 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 . EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT41 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4+ 0 - 0 + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 极大值 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 .EMBED Equation.DSMT4 1 EMBED Equation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4 + 0 - 0 + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 极大值 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 .1 EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 + 0 - 0 + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 极大值 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 .EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 + 0 - 0 + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 极大值 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 .EMBED Equation.DSMT4 + 0 - 0 + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 极大值 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 .EMBED Equation.DSMT4+ 0 - 0 + EMBED Equation.DSMT4 递增 极小值 递减 极大值 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 .+ 0 - 0 + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 极大值 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 .0 - 0 + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 极大值 递增 - 0 + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 极大值 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 .0 + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 极大值 递增 所以小值点 EMBED Equation.DSMT4 .+ EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 极大值 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 .EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 极大值 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 .EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 极大值 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 .递增 极小值 递减 极大值 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 .极小值 递减 极大值 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 .递减 极大值 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 . 极大值 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 .递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 .所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 .所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 .②当 EMBED Equation.DSMT4时, EMBED Equation.DSMT4 ,此时EMBED Equation.DSMT4,列表可得 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4+ 0 - + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 + 0 - + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4+ 0 - + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 + 0 - + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 + 0 - + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.EMBED Equation.DSMT4 + 0 - + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.EMBED Equation.DSMT4 + 0 - + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.+ 0 - + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.0 - + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.- + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.+ EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBEDEquation.DSMT4 ,没有极大值点.递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.③当 EMBED Equation.DSMT4时, EMBED Equation.DSMT4 ,此时 EMBED Equation.DSMT4 (可用分析法证明),于是 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有一根 EMBED Equation.DSMT4 ,列表可得EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4+ 0 - + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 + 0 - + EMBED Equation.DSMT4 递增 极小值递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4+ 0 - + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 + 0 - + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 + 0 - + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.EMBED Equation.DSMT4 + 0 - + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.EMBED Equation.DSMT4 + 0 - + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.+ 0 - + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.0 - + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.- + EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBEDEquation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.+ EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.EMBED Equation.DSMT4递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.递增 极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.极小值 递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.递减 递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.递增 所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.所以 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.④当 EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4,此时 EMBED Equation.DSMT4 ,于是 EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内恒大于0, EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内没有极值点.综上所述,当 EMBED Equation.DSMT4时, EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 内有极大值点1,极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ;当 EMBED Equation.DSMT4时, EMBED Equation.DSMT4 在 EMBED Equation.DSMT4 内只有极小值点 EMBED Equation.DSMT4 ,没有极大值点.当EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4在 EMBED Equation.DSMT4 内没有极值点.12. （2012年高考（福建理））已知函数 EMBED Equation.DSMT4 .(Ⅰ)若曲线 EMBED Equation.DSMT4 在点 EMBED Equation.DSMT4 处的切线平行于 EMBED Equation.DSMT4 轴,求函数 EMBED Equation.DSMT4 的单调区间;(Ⅱ)试确定 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围,使得曲线 EMBED Equation.DSMT4 上存在唯一的点 EMBED Equation.DSMT4 ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 EMBED Equation.DSMT4 .【考点定位】本题主要考查函数的导数、导数的应用、二次函数的性质、函数的零点等基础 知识,考查运算求解能力、抽象与概括的能力、推理与论证的能力,考查数形结合的思想、转 化与化归的思想、分类讨论的思想、有限与无限的思想.解:(1) EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 ,故 EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4 , EMBED Equation.DSMT4 时, EMBED Equation.DSMT4 ,所以函数 EMBED Equation.DSMT4 的增区间为 EMBED Equation.DSMT4 ,减区间为 EMBED Equation.DSMT4(2)设切点 EMBED Equation.DSMT4 ,则切线 EMBED Equation.DSMT4令 EMBED Equation.DSMT4,因为只有一个切点,所以函数 EMBED Equation.DSMT4 就只有一个零点,因为 EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4,若 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4,因此有唯一零点,由 EMBED Equation.DSMT4 的任意性知 EMBED Equation.DSMT4 不合题意若 EMBED Equation.DSMT4 ,令 EMBED Equation.DSMT4,则 EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4 ,存在一个零点 EMBED Equation.DSMT4 ,使曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.故 EMBED Equation.DSMT4 的取值范围为 EMBED Equation.DSMT4 .13. （2012年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 设函数 EMBED Equation.DSMT4 .。

1【2012高考全国文21】（本小题满分12分）已知函数ax x x x f ++=2331)( （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()f x 有两个极值点21,x x ，若过两点))(,(11x f x ，))(,(22x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线)(x f y =上，求a 的值。

2【2012高考浙江文21】（本题满分15分）已知a ∈R ，函数3()42f x x ax a =-+ （1）求f(x)的单调区间（2）证明：当0≤x ≤1时，f(x)+ 2a -＞0.3.【2012高考辽宁文21】(本小题满分12分)设()ln 1f x x =，证明： (Ⅰ)当x ﹥1时，()f x ﹤ 32（ 1x -） (Ⅱ)当13x <<时，9(1)()5x f x x -<+4【2012高考陕西文21】 （本小题满分14分） 设函数()(,,)n n f x x bx c n N b c R +=++∈∈（1）设2n ≥，1,1b c ==-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点；（2）设n 为偶数，(1)1f -≤，(1)1f ≤，求b+3c 的最小值和最大值；（3）设2n =，若对任意12,x x [1,1]∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围；12、【答案】【解析】（1）由题意得2()122f x x a '=-，当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.当0a >时，()12())f x x x '=，此时函数()f x 的单调递增区间为⎡⎢⎣.(2)由于01x ≤≤，当2a ≤时，33()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+.当2a >时，333()242(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+.设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则2()626()(33g x x x x '=-=-+. 则有所以min ()(1039g x g ==->. 当01x ≤≤时，32210x x -+>.；故3()24420f x a x x +-≥-+>.3、【答案】【解析】本题主要考查导数公式，以及利用导数，通过函数的单调性与最值来证明不等式，考查转化思想、推理论证能力、运算能力、应用所学知识解决问题的能力，难度较大。

2012年各地高考模拟试题中导数题大汇编学生用高考模拟试题中导数题大汇编一、填空题： 1、设函数()xx x f 62-=，则()x f 在=x 处的切线斜率为 .2、函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-=2,2,sin 2ππx x x y 的大致图象是 .3、函数()13++=x axx f 有极值的充要条件是 .4、已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时不等式()()'0f x xf x +<成立，若()0.30.333a f =⋅、log 3(log 3)b f ππ=⋅、3311log(log )99c f =⋅，则a 、b 、c 大小关系是 .5、设曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =.6、已知曲线1)(23+++=bx ax xx f 在点(1,(1))f 处的切线斜率为3，且32=x 是)(x f y =的极值点，则a b += .7、已知对任意实数x ，有()()f x f x -=-、()()g x g x -=且0x >时，/()0f x >、/()0g x >，则0x <时 .A.0)(',0)('>>x g x fB.0)(',0)('<>x g x fC.0)(',0)('><x g x fD.0)(',0)('<<x g x f 8、函数)(x f 的图像如图，)('x f 是)(x f 的导函数，则下列数值排列正确的是 . A. )2()3()3()2(0''f f f f -<<< B. )2()2()3()3(0''f f f f <-<< C.)2()3()2()3(0''f f f f -<<< D.)3()2()2()3(0''f f f f <<-<9、曲线34x x y -=在点(1,3)-- 处的切线方程是 .10、曲线2xy x =+在点(1,1)--处的切线方程为 . 11、已知函数32()35f x x ax x =-+-在区间[1,2]上单调递增，则a 的取值范围是 .12、设R a ∈，若函数Rx ax ey x∈+=,有大于零的极值点，则实数a 取值范围是 . 13、函数233x xy +-=在点(1,2)处的切线方程为 .14、设x x x f ln )(=，若2)(0='x f ，则=0x .15、已知曲线21y x=-在0x x =处的切线与曲线31y x =-在0x x =处的切线互相平行，则0x 的值为 .16、若幂函数()f x 的图象经过点(2,4)A ，则它在A 点处的切线方程为 .若两个正数a 、b 满足1)2(<+b a f ，则22++a b 的取值范围是 . A ．)21,31( B ．),3()21,(+∞⋃-∞ C ．)3,21( D ．)3,(-∞ 24、已知)(x f '是函数)(x f 的导数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能是下图中 .25、函数x x x y sin cos -=的一个递增区间是 .A.)23,2(ππB.)2,(ππC.)25,23(ππ D.)3,2(ππ 26、函数()3ln f x x x =+的单调递减区间是 . 27、设32()1f x xax x =-+--在(,)-∞+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是 . 28、若函数2()1x af x x +=+在2x =处取得极值，则a = .29、定义在R 上的函数()y f x =，满足(4)(),(2)'()0f x f x x f x -=->，若12x x <且124x x+<、则 .A.12()()f x f x < B.12()()f x f x > C.12()()f x f x = D.不确定30、函数()3sin xf x x=+（[0,1)x ∈的最小值 .31、已知函数()f x 的定义域为[2,)-+∞，部分对应值如下表，/()f x 为()f x 的导函数，函数/()y fx =的图象如图所示．若实数a 满足(21)1f a +<，则a 的取值范围是 .32、函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =.33、曲线y= 323x x -有一条切线与直线30x y +=平行，则此切线方程为 .34、若曲线3()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .x －2 0 4f (x ) 1 －1 135、如图所示的曲线是函数dcx bx xx f +++=23)(的大致图象，则2221x x+等于 .36、若幂函数()f x 的图象经过点(2,4)A ，则它在A 点处的切线方程为 .37、函数()y f x =在定义域3(,3)2-内的图象如图所示，记()y f x =的导函数为/()y fx =，则不等式/()0f x ≤的解集为 .38、定义域为),0()0,(+∞⋃-∞的偶函数)(x f 在区间(0,)+∞上的图象如图所示，则不等式0)(')(>x f x f 的解集是 .A.(,0)(0,1)-∞⋃；B.),1()0,1(+∞⋃-；C.),1()1,(+∞⋃--∞；D.(1,0)(0,1)-⋃ 39、定义在R 上的函数()y f x =对任意x 满足(3)()f x f x -=，/3()()02x fx ->，若12x x <且123x x+>，则有 .(A)12()()f x f x > （B ）12()()f x f x < （C ）12()()f x f x = （D ）不确定40、已知点P 在曲线14+=xe y 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 . 41、若函数2()1x a f x x +=+在1x =处取极值，则a = .42、已知函数])2,2[()(23-∈+++=x c bx ax xx f 的图象过原点，且在1±x 处的切线的倾斜角均为43π，现有以下三个命题：①])2,2[(4)(3-∈-=x x xx f ；②)(x f 的极值点有且只有一个；③)(x f 的最大值与最小值之和为零，其中真命题的序号是 . 43、曲线31y xx =++在点()1,3处的切线方程是 .44、设曲线1y x=在点(1,1)处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =.45、若函数xxx f ln 2)(2-=在其定义域内的一个子区间(1,1)k k -+内不是．．单调函数，则实数k 的取值范围是 .46、设)(x f 是一个三次函数，)('x f 其导函数，如图所示是函数/()y xf x =的图像的一部分，则)(x f 的极大值与极小值分别为 .【答案】)2(-f 与)2(f 二、解答题： 47、已知函数21()22f x axx=+、()g x lnx =.（Ⅰ）如果函数()y f x =在[1,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围. （Ⅱ）是否存在正实数a ，使得函数()()()(21)g x x f x a x 'Γ=-++在区间1(,)e e 内有两个不同的零点？若存在，请求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.48、定义在R 上的函数3)(23+++=cx bx axx f 同时满足以下条件：①)(x f 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数；② /()f x 是偶函数；③ )(x f 在0=x 处的切线与直线2y x =+垂直. （Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）设()4ln g x x m =-，若存在[]e x ,1∈，使)()(x f x g '<，求实数m 的取值范围.50、已知函数x xxgkxxfln )(,)(= =.（Ⅰ）求函数x xx gln )(=的单调区间；（Ⅱ）若不等式)()(xgxf≥在区间),0(+∞上恒成立，求实数k的取值范围.56、已知,ln )(x x x f =a x x x g +-=221)(．（1）当2=a 时，求]3,0[)(在函数x g y =上的值域；(2) 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；(3) 证明: 对一切(0,)x ∈+∞，都有()12ln x g x x x e e '+>-成立．。

2012年导数高考题汇编一、选择题：1.（2012年辽宁文）函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为 A .(1,1]- B .(0,1] C .[1,)+∞ D .(0,)+∞解：1(1)(1),0x x y x x x x+-'=-=>.当01x <<时，0y '<，函数单调递减；当1x >时，0y '>，函数单调递增.故函数单调递减区间为(0,1]. 答案：B2.（2012福建理）如图所示，在边长为1的正方形O ABC 中任取一 点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为A .14 B .15 C .16 D .17解：设阴影面积为S，则312120021211)|32326S x dx x x ==-=-=⎰，又正方形面积1S '=，∴由几何 概型知，P 恰好取自阴影部分的概率为16. 答案：C3.（2012年陕西理）设函数()e x f x x =，则A .1x =为()f x 的极大值点B .1x =为()f x 的极小值点C .1x =-为()f x 的极大值点D .1x =-为()f x 的极小值点解：()e e e (1)x x x f x x x '=+=+，当1x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增.故当1x =-时，函数()f x 有极小值.答案：C4.（2012年江西理）计算定积分121(sin )d x x x -+=⎰ .解：∵321cos sin 3x x x x '⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，∴11231112(sin )d cos 33x x x x x --⎛⎫+=-=⎪⎝⎭⎰. 答案：23. 5.（2012年江西文）设函数2()ln f x x x=+，则A .12x =为()f x 的极大值点 B .12x =为()f x 的极小值点 C .2x =为()f x 的极大值点 D .2x =为()f x 的极小值点6.已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c =A .2-或2B .9-或3C .1-或1D .3-或17.（2012重庆理）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A .函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB .函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC .函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D .函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f8.（2012重庆文）设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是解：∵()f x 在2x =-处取得极小值，∴当2x <-时，()f x 单调递减，即()0f x '<；当2x >-时，()f x 单调递增，即()0f x '>. ∴当2x <-时，()0y xf x '=>；当2x =-时，()0y xf x '==；当20x -<<时，()0y xf x '=<；当0x =时，()0y xf x '==；当0x >时，()0y xf x '=>.答案：选C9.（2012年新课标理）设点P 在曲线1e 2x y =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为A .1ln2- Bln 2)- C .1ln2+ Dln 2)+解：函数1e 2x y =与ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称，故||PQ 的最小值就应是点P （或点）到直线y x =的最小距离的2倍.设函数1e 2x y =图象上点00(,)P x y 处的切线平行于直线y x =.则有0001|e 1ln212x x x k y x y ='===⇒=⇒=,因此，直线y x =与 曲线1e 2x y =ln 2)-ln 2)2ln 2)-⨯-. 答案：选B变式 设点P 在曲线e x y =上，点Q 在曲线11y x=-上，则||PQ 的最小值为 A1)- B1)- CD解：函数e x y =的反函数为ln y x =，考查函数ln y x =与图象11y x =-的公共点情况，即考查方程1ln 1x x=-的解的个数，即考查函数1()ln 1h x x x=+-的零点个数.1()ln 1h x x x =+-，22111()x h x x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '<，()h x 递减；当1x >时，()0h x '>，()h x 递增.故0x >时，()(1)0h x h ≥=，即1ln 1x x≥-，仅当1x =时，取等号.因此||PQ 最小值就是函数e x y =及其反函数ln y x =图象上两点距离最小值，易知A BC D此时(0,1)P ，(1,0)Q ，故||PQ .答案：选C10.（2012年湖南文）设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是()f x 的导数，当[0,]x π∈时，0()1f x <<；当(0,)x π∈且2x π≠时，()02x f x π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭.则函数()sin y f x x=-在[2,2]ππ-上的零点个数为A .2B .4C .5D .8解：根据函数()f x 的性质，将()sin y f x x =-的零点个数转化为函数1()y f x =与2sin y x =图象的交点的个数. ∵()02πx f x ⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，当2πx π<<时，()0f x '>，∴()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数；当02πx <<时，()0f x '<，∴()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数.设2πx π≤≤，则02πx π≤-≤.由()f x 是以2π为最小正周期的偶函数知(2)()f πx f x -=.故2πx π≤≤时，0()1f x <<. 依题意作出草图可知，1()y f x =与2sin y x =在[2,2]ππ-上有四个交点. 答案：选B11.（2012年辽宁理）若[0,)x ∈+∞，则下列不等式恒成立的是 A .2e 1x x x ≤++ B 211124x x ≤-+ C .21cos 12x x ≥- D .21ln(1)8x x x +≥-解：对选项A ，在区间[0,)+∞上，函数e x y =和21y x x =++的增长速度不在同一个“档次”上，随着x 的增大，e x y =的增长速度越来越快，会超过并会远远大于21y x x =++的增长速度，故不等式2e 1x x x ≤++不能恒成立.对选项B ：令t ，则1t ≥，21x t =-.于是，原不等式对[0,)x ∈+∞是否恒成立534740t t t ⇔-+-≥对[1,)t ∈+∞是否恒成立.记53()4740,[1,)f t t t t t =-+-≥∈+∞，则42()51275(1)(1),[1,)f t t t t t t t t ⎛'=-+=+-∈+∞ ⎝，易知()f t 在⎛ ⎝内递减.当t ⎛∈ ⎝时，()(1)0f t f <=，故不等式534740t t t -+-≥对[1,)t ∈+∞不恒成立，从而排除选项B. 对选项C ：记21()c o s 1,[0,)2f x x x x =+-∈+∞，()sin 0f x x x '=-≥在[0,)+∞上恒成立，故()f x 在[0,)+∞上递增，所以()(0)0f x f ≥=，即当[0,)x ∈+∞时，不等式21cos 12x x ≥-+恒成立.对选项D ：取4x =，则左边2ln5lne 2=<==右边，此时21ln(1)8x x x +<-，从而排除选项D. 答案：选C12.（2012年福建文）已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<，且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论：①(0)(1)0f f >；②(0)(1)0f f <；③(0)(3)0f f >；④(0)(3)0f f <.其中正确结论的序号是A .①③B .①④C .②③D .②④13.（2012山东文）设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+，若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有两个不同的公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则下列判断正确的是A .120x x +>，120y y +>B .120x x +>，120y y +<C .120x x +<，120y y +>D .120x x +>，120y y +<解：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或23x b =.这样，必须且只需(0)0F =或203F b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.因为(0)1F =，故必有203F b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由此得b 不妨设12x x <，则223x b =所以1()()(F x x x x =-，比较系数得1x -，故1x =120x x +，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<. 答案：B13.（2012全国大纲理）已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c = A .2-或2 B .9-或3 C .1-或1 D .3-或1解：∵2333(1)(1)y x x x '=-=+-，∴当1x <-时，0y '>，函数单调递增；当11x -<<时，0y '<，函数单调递减；当1x >时，0y '<，函数单调递增.因此，当1x =-时，函数取得极大值2c +；当1x =时，函数取得极小值2c -. 当函数图象与轴恰有两个公共点时，必有20c +=或20c -=，∴2c =-或2c =. 答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.（2012新课标文）曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为 .提示：33ln 13ln 4y x x x x'=++⋅=+，故1|4x k y ='==，所求切线方程为14(1)y x -=-，即43y x =-. 答案：43y x =-.14.（2012年广东理）曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为 .15.（2012年山东理）设0a >，若曲线y =x a =，0y =所围成封闭图形的面积为2a ，则a = .提示：3322202233S x x a a ====⎰，故49a =.答案：49. 16.（2012年浙江理、文）定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线21:C y x a =+到直线:l y x =的距离等于曲线222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的距离，则实数a = .曲线2C 是圆心为(0,4)-，半径r 圆心到直线:l y x =的距离1d 所以曲线2C 到直线l 的距离为1d r -.设曲线1C 上的点00(,)x y 到直线:l y x =的距离最短为d ，则过00(,)x y 的切线平行于直线y x =.已知函数2y x a =+，则0|21x xy x ='==，即012x =，014y a =+，点00(,)x y 到直线:l y x =的距离111||||a a d ⎛⎫-+- ⎪，由题意1||a -74a =-或94a =.当74a =-时，直线l 与曲线1C 相交，不合题意，故舍去.答案：49. 16.（2012年江西理）计算定积分121(sin )d x x x -+=⎰ .解：111112231111112(sin )d d sin d cos 33x x x x x x x x x -----+=+=-=⎰⎰⎰. 答案：23. 三、解答题：本大题共6小题，共70分. 17.（2012年新课标文）设函数()e 2x f x ax =--.（1）求()f x 的单调区间；（2）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值.解：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()e x f x a '=-. 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增.若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>.所以，()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增.故()f x 的递减区间为(,ln )a -∞，递增区间为(ln ,)a +∞. （2）由于1a =，所以()()1()(e 1)1x x k f x x x k x '-++=--++. 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0)e 1x x k x x +<+>-.① 令1()e 1x x g x x +=+-，则22e 1e (e 2)()1(e 1)(e 1)x x x x x x x g x ----'=+=--. 由（1）知，函数()e 2x h x x =--在(0,)+∞上单调递增.而(1)0h <，(2)0h >，所以()h x 在(0,)+∞上存在唯一的零点，故()g x '在(0,)+∞上存在唯一的零点.设此零点为α，则(1,2)α∈.当(0,)x α∈时，()0g x '<；当(,)x α∈+∞时，()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g α. 又由()0g α'=，可得e 2αα=+，所以()1(2,3)g αα=+∈. 由于①式等价于()k g α<，故整数k 的最大值为2.18.（2012年新课标理）已知函数121()(1)e (0)2x f x f f x x -'=-+.（1）求()f x 的解析式及单调区间；（2）若21()2f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值.解：（1）求导：1()(1)e (0)x f x f f x -''=-+，令1x =，则0(1)(1)e (0)1(0)1f f f f ''=-+⇒=. 在原函数中，令0x =，则01(0)(1)e 1(1)e f f f -''==⇒=，故21()e 2x f x x x =-+. 由于()e 1x f x x '=-+，故当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>. 从而，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，单调增区间为(0,)+∞.（2）由已知条件得e (1)x a x b -+≥.（*） ①若10a +<，则对任意实数b ，当0x <，且11bx a -<+时，可得e (1)x a x b -+<，因此（*）式不成立. ②若10a +=，则(1)0a b +=.③若10a +>，设()e (1)x g x a x =-+，则()e (1)x g x a '=-+.当(,ln(1))x a ∈-∞+时，()0g x '<；当(ln(1),)x a ∈++∞时，()0g x '>. 从而()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 故()g x 有最小值(ln(1))1(1)ln(1)g a a a a +=+-++.所以21()2f x x ax b ≥++等价于1(1)ln(1)b a a a ≤+-++.（**） 因此22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++.设22()(1)(1)ln(1)h a a a a =+-++，则()(1)[12l n (1)]ha a a '=+-+.所以()h a 在121,e 1⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在12e 1,⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，故()h a 在12e 1a =-处取得最大值.从而e ()2h a ≤，即e (1)2a b +≤.当12e 1a =-，12e 2b =时，（**）式成立，故21()2f x x ax b ≥++.综上，(1)a b +的最大值为e 2.19.（2012年江苏理）已知,a b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点. （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点； （3）设()(())h x f f x c =-，其中[2,2]c ∈-，求函数()y h x =的零点个数.解：（1）由题设知2()32f x x ax b '=++，且(1)320f a b '-=-+=，(1)320f a b '=++=，解得0a =，3b =-.（2）由（1）知3()3f x x x =-.因为2()2(1)(2)f x x x +=-+，所以()0g x '=的根为121x x ==，32x =-，于是函数()g x 的极值点只可能是1或2-.当2x <-时，()0g x '<；当21x -<<时，()0g x '>，故2-是()g x 的极值点. 当21x -<<或1x >时，()0g x '>，故1不是()g x 的极值点. 所以的极值点为2-.（3）令()f x t =，则()()h x f t c =-.先讨论关于x 的方程()f x d =根的情况，[2,2]d ∈-. 当||2d =时，由（2）可知，()2f x =-的两个不同的根为1和2-， 注意到()f x 是奇函数，所以()2f x =的两个不同的根为1-和2.当||2d <时，因为(1)(2)20f d f d d --=-=->，(1)(2)20f d f d d -=--=--<， 所以2-，1-，1，2都不是()f x d =的根. 由（1）知()3(1)(1)f x x x '=+-.①当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，于是()f x 是单调递增函数，从而()(2)2f x f >=， 此时()f x d =无实根.同理，()f x d =在(,2)-∞-上无实根.②当(1,2)x ∈时，()0f x '>，于是()f x 是单调递增函数.又(1)0f d -<，(2)0f d ->，()y f x d =-的图象不间断，所以()f x d =在(1,2)内有唯一实根.同理，()f x d =在(2,1)--内有唯一实根.③当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，故()f x 是单调减函数.又(1)0f d -->，(1)0f d -<，()y f x d =-的图象不间断，所以()f x d =在(1,1)-内有唯一实根.由上可知：当||2d =时，()f x d =有两个不同的实根1x ，2x 满足1||1x =，2||2x =；当||2d <时，()f x d =有三个不同的实根345,,x x x 满足||2,3,4,5i x i <=.现考虑函数()y h x =的零点.（ⅰ）当||2c =时，()f t c =有两个根12,t t 满足1||1t =，2||2t =，而1()f x t =有三个不同的根，2()f x t =有两个不同的根，故()y h x =有5个零点.（ⅱ）当||2c <时，()f t c =有三个不同的根345,,t t t 满足||2(3,4,5)i t i <=，而()(3,4,5)i f x t i ==有三个不同的根，故()y h x =有9个零点.综上可知，当||2c =时，函数()y h x =有5个零点；当||2c <时，函数()y h x =有9个零点.20.（2012山东）已知函数ln ()e xx kf x +=（k 为常数，e 2.71828= 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.（1）求k 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）（理）设2()()()g x x x f x '=+，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，2()1e g x -<+.（文）设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，2()1e g x -<+.解：（1）由ln ()e x k f x +=，得1ln (),(0,)e kx x xf x x x --'=∈+∞. 因为曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与x 轴平行， 所以(1)0f '=，因此1k =. （2）由（1）得1ln (),(0,)e xx x xf x x x --'=∈+∞， 当(0,1)x ∈时，10x ->，ln 0x ->，()0f x '>；当(1,)x ∈+∞时，10x -<，ln 0x x -<，()0f x '<. 所以()f x 的单调增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞. （3）（文）因为()()g x xf x '=，所以1()(1ln ),(0,)e xg x x x x x =--∈+∞. 令()1ln ,(0,)h x x x x x =--∈+∞，则2()ln 2(ln ln e ),(0,)h x x x x -'=--=--∈+∞.因此，当2(0,e )x -∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当2(e ,)x -∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减. 所以()h x 的最大值为22(e )1e h --=+，故2()1e h x -≤+. 又当(0,)x ∈+∞时，101e x<<， 故当(0,)x ∈+∞时，所以21()1e e h x -<+，即2()1e g x -<+. （理）证明：因为2()()()g x x x f x '=+，所以1()(1ln ),(0,)e xx g x x x x x +=--∈+∞. 因此，对任意0x >，2()1e g x -<+等价于2e 1ln (1e )1xx x x x ---<++.令()1ln ,(0,)h x x x x x =--∈+∞，则2()ln 2(ln ln e ),(0,)h x x x x -'=--=--∈+∞.因此，当2(0,e )x -∈时，()0h x '>，()h x 单调递增；当2(e ,)x -∈+∞时，()0h x '<，()h x 单调递减. 所以()h x 的最大值为22(e )1e h --=+，故21ln 1e x x x ---≤+.设()e (1)x x x ϕ=-+.因为0()e 1e e x x x ϕ'=-=-，所以当(0,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，()(0)0x ϕϕ>=，故当(0,)x ∈+∞时，()e (1)0x x x ϕ=-+>，即e 11xx >+. 所以22e 1ln 1e (1e )1x x x x x ----≤+<++.因此对任意0x >，2()1e g x -<+.21.（2012年安徽理）设函数1()e (0)e x xf x a b a a =++>. （1）求()f x 在[0,)+∞内的最小值；（2）设曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为32y x =，求,a b 的值. 解：（1）1()e e x f x a a '=-，当ln x a <-时，()0f x '<，()f x 在(,ln )a -∞-上递减；当ln x a >-时，()0f x '>，()f x 在(ln ,)a -+∞上递增.①若01a <<，ln 0a ->，()f x 在(0,ln )a -上递减，在(ln ,)a -+∞上递增，从而()f x 在[0,)+∞上的最小值为(ln )2f a b -=+； ②若1a ≥，ln 0a -≤，()f x 在(0,ln )a -上递增，从而()f x 在[0,)+∞上的最小值为1(0)f a b a=++.（2）依题意2213(2)e e 2f a a '=-=，解得2e 2a =或21e 2a =-（舍去）， 所以22e a =，代入原函数可得1232b ++=，即12b =，故22e a =，12b =. 变式 （2012年安徽文）设定义在(0,)+∞上的函数1()(0)f x ax b a ax=++>. （1）求()f x 的最小值；（2）设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为32y x =，求,a b 的值. 解：（1）2222211()()11()a x x a x a a f x a ax ax x +--'=-==，当10x a <<时，()0f x '<，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减；当1x a >时，()0f x '>，()f x 在1,a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增. 所以当1x a=时，()f x 取最小值为2b +. 解法二：由题设和均值不等式可知，1()2f x ax b b ax =++≥+，其中等号成立当且仅当1ax =，即1x a=时，()f x 取最小值为2b +. （2）21()f x a ax '=-，依题意13(1)2f a a '=-=，解得2a =或12a =-（舍去）， 将2a =代入13(1)2f ab a =++=，解得1b =-，故2ea =，1b =-.22.（2012年浙江理）已知0a >，b ∈R ，函数3()42f x ax bx a b =--+.（1）证明：当01x ≤≤时，①函数()f x 的最大值为|2|a b a -+；②()|2|0f x a b a +-+≥. （2）若1()1f x -≤≤对[0,1]x ∈恒成立，求a b +的取值范围.解：（1）①22()122126b f x ax b a x a ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭.当0b ≤时，有()0f x '≥，此时()f x 在[0,)+∞上单调递增； 当0b >时，()12f x a x x ⎛'= ⎝，此时()f x在⎡⎢⎢⎣上单调递减，在⎫⎪⎪⎭上单调递增. 所以当01x ≤≤时，max 3,2,()max{(0),(1)}max{,3}|2|,2a b b a f x f f a b a b a b a a b b a-≤⎧==-+-==-+⎨-+>⎩.②由于01x ≤≤，故当2b a ≤时，333()|2|()34224222(221)f x a b a f x a b ax bx a ax ax a a x x +-+=+-=-+≥-+=-+. 当2b a >时，3333()|2|()42(1)244(1)244(1)22(221)f x a b a f x a b ax b x a ax a x a ax a x a a x x +-+=-+=+-->+-->+--=-+. 设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则2()626g x x x x ⎛'=-= ⎝⎭⎝⎭，于是()g x '，()g x 随x 的变化情况如下：所以，min ()10g x g ==.所以当01x ≤≤时，32210x x -+>.故3()|2|2(221)f x a b a a x x +-+≥-+. （2）由①知，当01x ≤≤时，m ax ()|2|f x a b a =-+，所以|2|1a b a -+≤.若|2|1a b a -+≤，则由②知()(|2|)1f x a b a ≥--+≥-.所以1()1f x -≤≤对任意01x ≤≤恒成立的充要条件是|2|1,0,a b a a -+≤⎧⎨>⎩即20,31,0a b a b a -≥⎧⎪-≤⎨⎪>⎩或20,1,0.a b b a a -<⎧⎪-≤⎨⎪>⎩（*）在直角坐标系aOb 中，（*）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段BC . 做一组平行直线()a b t t +=∈R ，得13a b -<+≤，所以a b +的取值范围是(1,3]-.23.（2012年浙江文）已知a ∈R ，函数3()42f x ax ax a =-+. （1）求()f x 的单调区间；（2）证明：当01x ≤≤时，()|2|0f x a +->.解：（1）依题意得2()122f x x a '=-.当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，此时()f x 的单调增区间为(,)-∞+∞； 当0a >时，()12f x a x x ⎛'= ⎝，此时()f x的单调增区间为,⎛-∞ ⎝和⎫⎪⎪⎭，递减区间为⎛ ⎝. （2）证明：由于当01x ≤≤时，故当2a ≤时，33()|2|422442f x a x ax x x +-=-+≥-+； 当2a >时，333()|2|42(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+. 设3()221,01g x x x x =-+≤≤，则2()626g x x x x ⎛'=-= ⎝⎭⎝⎭，于是()g x '，()g x 随x 的变化情况如下：所以，min ()10g x g ==.所以当01x ≤≤时，32210x x -+>.故3()|2|4420f x a x x +-≥-+>.24.（2012年辽宁理）设()ln(1)f x x ax b =++（,a b ∈R ，,a b 为常数），曲线()y f x =与直线32y x =在点(0,0)相切. （1）求,a b 的值；（2）证明：当02x <<时，9()6xf x x <+. 解：（1）由()y f x =过点(0,0)，得1b =-. 由()y f x =在(0,0)点的切线斜率为32，又0013||12x x y a x ==⎛'==+ +⎝，得0a =. （2）证法一：由均值不等式，当0x >时，112x x ++=+12x+.记9()()6x h x f x x =-+，则312(1)1545454(6)216(1)2()1(6)(6)2(1)(6)4(1)(6)x x x h x x x x x x x x +++-+'=<-=+++++++. 令3()(6)216(1)g x x x =+-+，则当02x <<时，2()3(6)2160g x x '=+-<. 因此()g x 在(0,2)内是递减函数.又(0)0g =，得()0g x <，所以()0h x '<. 因此()h x 在(0,2)内是递减函数.又(0)0h =，得()0h x <. 于是当02x <<时，9()6xf x x <+. （2）证法二：由（1）知()ln(1)1f x x =+.由均值不等式，当0x >时，112x x ++=+12x +.①记()ln(1)k x x x =+-，则(0)0k =，1()1011x k x x x -'=-=<++，故()0k x <，即ln(1)x x +<.② 由①②得，当0x >时，3()2f x x <. 记()(6)()9h x x f x x =+-，则当02x <<时，311()()(6)()9(6)(9[3(1)(6)(218(1)]212(1)h x f x x f x x x x x x x x x ''=++-<++-=+++-+++1[3(1)(6)(3)18(1)](718)02(1)24(1)x xx x x x x x x <++++-+=-<++. 因此()h x 在(0,2)内是递减函数.又(0)0h =，得()0h x <.即9()6xf x x <+. 25.（2012年辽宁文）设()ln 1f x x =.证明：（1）当1x >时，3()(1)2f x x <-；（2）当13x <<时，9(1)()5x f x x -<+.解：（1）证法一：记3()ln 1(1)2g x x x =--，则当1x >时，13()02g x x '=<.又(1)0g =，所以有()0g x <，即3()(1)2f x x <-.证法二：当1x >时，1x +122x+.① 令()ln 1k x x x =-+，则(1)0k =，1()10k x x'=-<，故()0k x <，即ln 1x x <-.②由①②得，当1x >时，3()(1)2f x x <-.（2）证法一：记9(1)()()5x h x f x x -=-+，由（1）得3112()1545454554(5)21622()(5)(5)2(5)4(5)4(1)(5)x x x x h x x x x x x x x x x ++++-'=<-=-=++++++. 令3()(5)216G x x x =+-，则当13x <<时，2()3(5)2160G x x '=+-<，因此()G x 在(1,3)上是减函数. 又由(1)0G =，得()0G x <，所以()0h x '<.因此()h x 在(1,3)内是递减函数.又(1)0h =，得()0h x <. 于是当13x <<时，9(1)()5x f x x -<+. （2）证法二：记()(5)()9(1)h x x f x x =+--，则当13x <<时，由（1）得231111()()(5)()9(1)(5)(9[3(1)(5)(2)18](73255)022224x h x f x x f x x x x x x x x x x x x''=++-<-++-=-++++-=-+<.因此()h x 在(1,3)内是递减函数.又(1)0h =，得()0h x <.即9(1)()5x f x x -<+. 26.（2012年福建理）已知函数2()e e ()x f x ax x a =+-∈R .（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求函数()f x 的单调区间；（2）试确定a 的取值范围，使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .解：（1）由于()e 2e x f x ax '=+-，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率20k a ==，所以0a =，即()e e x f x x =-. 此时()e e x f x '=-.当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>. 故()f x 的单调递减区间为(,1)-∞，单调递增区间为(1,)+∞.（2）设点00(,())P x f x ，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+，令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---，故曲线()y f x =在点P 处的切线与曲线只有一个公共点P 等价于函数()g x 有唯一零点.因为0()0g x =，且000()()()e e 2()x x g x f x f x a x x '''=-=-+-.①若0a ≥，当0x x >时，()0g x '>，则0()()0g x g x >=；当0x x <时，()0g x '<，则0()()0g x g x >=. 故()g x 只有唯一零点0x x =.由P 的任意性知，0a ≥不合题意. ②若0a <，令00()e e 2()x x h x a x x =-+-，则0()0h x =，()e 2x h x a '=+.当(,ln(2))x a ∈-∞-时，()0h x '<，从而()h x 在(,ln(2))a -∞-内单调递减；当(ln(2),)x a ∈-+∞时，()0h x '>，从而()h x 在(ln(2),)a -+∞内单调递增.（ⅰ）若0ln(2)x a =-，当(,ln (2))x a ∈-∞-时，0()()()0g x h x h x '=>=；当(ln (2),)x a ∈-+∞时，0()()()0g x h x h x '=>=.所以()g x 在R 上单调递增.所以函数()g x 在R 上有且只有一个零点ln(2)x a =-.（ⅱ）若0ln(2)x a >-，由于()h x 在(ln(2),)a -+∞内单调递增，且0()0h x =，则当(ln(2),)x a ∈-+∞时有0()()()0g x h x h x '=<=，0()()0g x g x >=；任取10(ln(2),)x a x ∈-有1()0g x >.又当1(,)x x ∈-∞时，易知122200000000()e (e ())()()e (e ())()()x x g x ax f x x f x x f x ax f x x f x x f x ax bx c ''''=+-+-+<+-+-+=++，其中0(e ())b f x '=-+，1000e ()()x c f x x f x '=-+. 由于0a <，则必存在21x x <，使得2220ax bx c ++<. 所以2()0g x <，故()g x 在21(,)x x 内存在零点，即()g x 在R 上至少有两个零点. （ⅲ）若0ln(2)x a <-，仿（ⅱ）并利用3e 6x x >，可证函数()g x 在上R 至少有两个零点. 综上，当0a <时，曲线()y f x =上存在唯一的点(ln(2),(ln(2)))P a f a --，曲线在该点处的切线与曲线有且只有一个公共点P .27.（2012福建文）已知函数3()sin ()2f x ax x a =-∈R ，且在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为32π-.（1）函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数，并加以证明.28.（2012天津理）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >.（1）求a 的值；（2）若对任意的[0,)x ∈+∞，有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （3）证明：12ln(21)2()21ni n n i *=-+<∈-∑N .解：(1)()f x 的定义域为(,)a -+∞. 由()ln()f x x x a =-+，得1(1)()1x a f x x a x a--'=-=++，显然导函数零点1(,)x a a =-∈-+∞. 当1a x a -<<-时，()0f x '<，()f x 递减；当1x a >-时，()0f x '>，()f x 递增.故1x a =-时，()f x 有极小值(1)1f a a -=-，因为()f x 是单峰函数，故m in ()(1)10f x f a a =-=-=，得1a =. （2）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥，则()0g x ≥对[0,)x ∈+∞恒成立当且仅当m in ()0(0)g x g ≥=，取1x =，则应有(1)1ln20g k =-+≥，从而0k >. 1[(12)]()2112(1)x x k g x kx x k x --'=-+=++. ①若120k -<，即12k >，则当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 递增. 这时有m in ()0(0)g x g ≥=，故12k >适合题意. ②若120k ->，即12k <，则当(0,12)x k ∈-时，()0g x '<，()g x 递减；当(12,)x k ∈-+∞时，()0g x '>，()g x 递增. 取0(0,12)x k ∈-，有2000()(0)0()0g x g kx f x <=⇒-<，即200()f x kx ≤不成立.故102k <<不合题意.③若12k =，则2()01x g x x '=≥+在[0,)+∞上恒成立，仅当0x =时取等号，故()g x 递增. 综上，k 的最小值为12. （3）当1n =时，不等式左边2ln32=-<=右边，所以不等式成立. 当2n ≥时，1111122222ln 1[ln(21)ln(21)]ln(21)2121212121nn n n ni i i i i f i i n i i i i i =====⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+--=-+⎪ ⎪⎢⎥-----⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑∑. 在（2）中取12k =，得21()(0)2f x x x ≤≥，从而222(,2)21(21)(23)(21)f i i i i i i *⎛⎫≤<∈≥ ⎪----⎝⎭N ， 所以有112222221ln(21)(2)2ln32ln312212121(23)(21)21nn n ni i i i n f f f i i i i i n ====⎛⎫⎛⎫-+==+<-+=-+-< ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑. 综上，12ln(21)2()21ni n n i *=-+<∈-∑N . 29.（2012天津文）已知函数3211(),32a f x x x ax a x -=+--∈R ，其中0a >.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在区间(2,0)-内恰有两个零点，求a 的取值范围；（3）当1a =时，设函数()f x 在区间[,3]t t +上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，记()()()g t M t m t =-，求函数()g t 在区间[3,1]--上的最小值.30.（2012陕西理）设函数()(,,)n n f x x bx c n b c *=++∈∈N R（1）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点；（2）设2n =，若对任意12,[1,1]x x ∈-，有2122|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围；（3）在（1）的条件下，设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的零点，判断数列23,,,,n x x x 的增减性.30.（2012陕西文）设函数()(,,)n f x x bx c n b c *=++∈∈N R（1）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点；（2）设n 为偶数，|(1)|1f -≤，|(1)|1f ≤，求3b c +的最小值和最大值；（3）设2n =，若对任意12,[1,1]x x ∈-，有12|()()|4f x f x -≤，求b 的取值范围.31.（2012湖南理）已知函数()e ax f x x =-，其中0a ≠.（1）对一切x ∈R ，()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）在函数()f x 的图象上取定两点11(,())A x f x ，2212(,())()B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k .问：是否存在012(,)x x x ∈，使0()f x k '>成立？若存在，求0x 的取值范围；若不存在，请说明理由.32.（2012湖南文）已知函数()e x f x ax =-，其中0a >.（1）对一切x ∈R ，()1f x ≥恒成立，求a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定两点11(,())A x f x ，2212(,())()B x f x x x <，记直线AB 的斜率为k .证明：存在012(,)x x x ∈，使0()f x k '=成立.33.（2012北京理）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.34.（2012北京文）已知函数2()1(0)f x ax a =+>，3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值； （2）当3a =，9b =-时，求函数()()f x g x +在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围.35.（2012江西理）若函数()h x 满足①(0)1h =，(1)0h =；②对任意[0,1]a ∈，有(())h h a a =；③在(0,1)上单调递减.则称()h x 为补函数.已知函数11()(1,0)1ppp x h x λp λx ⎛⎫-=>-> ⎪+⎝⎭. （1）判断函数()h x 是否为补函数，并证明你的结论；（2）若存在[0,1]m ∈，使()h m m =，称m 是函数()h x 的中介元.记1()p n n*=∈N 时()h x 的中介元为n x ，且1nn i i S x ==∑对任意的n *∈N ，都有12n S <，求λ的取值范围； （3）当0λ=，(0,1)x ∈时，函数()y h x =的图象总在直线1y x =-的上方，求p 的取值范围.36.（2012江西文）已知函数2()()e x f x ax bx c =++在[0,1]上单调递减且满足(0)1f =，(1)0f =. （1）求a 的取值范围；（2）设()()()g x f x f x '=-，求()g x 在[0,1]上的最大值和最小值.37.（2012湖北理）（1）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<.()f x 求的最小值；（2）试用（1）的结果证明如下命题：设10a ≥，20a ≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，则12121122b ba a ab a b ≤+； （3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题.注：当α为正有理数时，有求导公式1()ααx αx -'=. 解：（1）11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-.当01x <<时，()0f x '<，故()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，故()f x 单调递增. 故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =.（2）由（1）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f ≥=，即(1)r x rx r ≤+-. ①若12,a a 中有一个为0，则12121122b ba a ab a b ≤+成立. 若12,a a 均不为0，由121b b +=，可得211b b =-，于是在①中令12a x a =，1r b =，可得1111122(1)b a a b b a a ⎛⎫≤⋅+- ⎪⎝⎭，即111121121(1)b b a a a b a b -≤+-，亦即111121122b ba a ab a b -≤+. 综上，对10a ≥，20a ≥，12,b b 为正有理数，且121b b +=，总有111121122b ba a ab a b -≤+. ② （3）（2）中的命题推广形式为：设12,,,n a a a 为非负实数，12,,,n b b b 为正有理数，若121n b b b +++= ，则12121122n b b b n n n a a a a b a b a b ≤+++ .③用数学归纳法证明如下：（ⅰ）当1n =时，11b =，有11a a ≤，③成立.（ⅱ）假设当n k =时，③成立，即若12,,,k a a a 为非负实数，12,,,k b b b 为正有理数，且121k b b b +++= ，则12121122kb b bk k k a a a a b a b a b ≤+++ .当1n k =+时，已知121,,,,k k a a a a + 为非负实数，121,,,,k k b b b b + 为正有理数，且1211k k b b b b +++++= ， 此时101k b +<<，即110k b +->，于是12111111112121111121121121()()kkk kk k k k k k b b b b b b b b b b b b b b b bk k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++----+++==⋅ . 因为121111111k k k k b b b b b b ++++++=--- ，由归纳假设可得 12111111112212121211111111k k k k b b b b b b k k k kk k k k k b a b a b a b b b a a aa a ab b b b +++---+++++++≤⋅+⋅++⋅=---- . 从而1111211122121111k kk k b b b b b bk k k k k k a b a b a b a a a a a b +++-+++⎛⎫+++≤⋅ ⎪-⎝⎭.又因为11(1)1k k b b ++-+=，由②得11111221122111111221111(1)11k k b b k k k kk k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b ++-++++++++⎛⎫++++++⋅≤⋅-+=++++ ⎪--⎝⎭，从而112121112211kk b b b bk k k k k k a a a a a b a b a b a b ++++≤++++ .故当1n k =+时，③成立.由（ⅰ）、（ⅱ）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立.38.（2012湖北文）设函数()(1)(0)n f x ax x b x =-+>，n 为正整数，,a b 为常数，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=.（1）求,a b 的值； （2）求函数()f x 的最大值； （3）证明：1()ef x n <. （1）解：因为(1)f b =，由点(1,)b 在直线1x y +=上，可得11b +=，即0b =. 因为1()(1)n n f x anx a n x -'=-+，所以(1)f a '=-.又因为切线1x y +=的斜率为1-，所以1a -=-，即1a =.故1a =，0b =.（2）解：有（1）知1()(1)n n n f x x x x x +=-=-，1()(1)1n n f x n x x n -⎛⎫'=+-⎪+⎝⎭.当0,1n x n ⎛⎫∈ ⎪+⎝⎭时，()0f x '>，故()f x 单调递增；当,1n x n ⎛⎫∈+∞⎪+⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 单调递减. 故()f x 在(0,)+∞上的最大值为1111(1)nn n nn n f n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-= ⎪ ⎪⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （3）证明：令1()ln 1(0)φt t t t =-+>，则22111()(0)t φt t t t t-'=-=>. 当(0,1)t ∈时，()0φt '<，故()φx 单调递减；当(1,)t ∈+∞时，()0φt '>，故()φt 单调递增. 故在(0,)+∞上()φt 的最小值为(1)0φ=，所以()0(1)φt t >>，即1ln 1(1)t t t>->.令11t n =+，得11ln 1n n n +>+，两边取对数得11ln ln e n n n ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以11e n n n ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，即11(1)en n n n n +<+. 由（2）知11()(1)en n n f x n n +≤<+.39.（2012大纲理）设函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()1sin f x x ≤+，求a 的取值范围.解：（1）()sin f x a x '=-.①当1a ≥时，()0f x '≥，且仅当1a =，2x π=时，()0f x '=，所以()f x 在[0,]π上是增函数；②当0a ≤时，()0f x '≤，且仅当0a =，0x =，或x π=时，()0f x '=，所以()f x 在[0,]π上是减函数； 当01a <<时，方程()0f x '=有两实根1x ，2x . 当1[0,)x x ∈时，sin x a <，()0f x '>，()f x 是增函数； 当12(,)x x x ∈时，sin x a >，()0f x '<，()f x 是减函数； 当2(,]x x π∈时，sin x a <，()0f x '>，()f x 是增函数. （2）.40.（2012全国大纲文）已知函数321()3f x x x ax =++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设()f x 有两个极值点12,x x ，若过两点11(,())x f x ，22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上，求a 的值.41.（2012四川理）已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A .设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距.（1）用a 和n 表示()f n ；（2）求对所有n 都有33()1()11f n n f n n -≥++成立的a 的最小值；（3）当01a <<时，比较11()(2)nk f k f k =-∑与27(1)()4(0)(1)f f n f f -⋅-的大小，并说明理由.解：（1）由已知得，交点A 的坐标为⎫⎪⎪⎭，对212ny x a=-+求导得2y x '=-，则抛物线在A 处的切线方程为y x =，即n y a =+，则()n f n a =.（2）由（1）知()n f n a =，则33()1()11f n n f n n -≥++成立的充要条件是321n a n ≥+.即知321n a n ≥+对所有n 成立.特别地，取2n =，得到a当a 3n ≥时，122331223332314(13)1C 3C 3C 31C 3C 3C 312[5(2)(25)]212n n n n n n n n n a n n n n n >=+=+⋅+⋅+⋅+≥+⋅+⋅+⋅=++-+->+ .当0,1,2n =时，显然321n n ≥+.故当a 3()1()11f n n f n n -≥++对所有自然数n 都成立.所以满足条件的a . （3）由（1）知()k f k a =，则21111()(2)nnk kk k f k f k a a ===--∑∑，(1)()(0)(1)1nf f n a a f f a--=--. 下面证明：1127(1)()()(2)4(0)(1)nk f f n f k f k f f =->⋅--∑.首先证明：当01x <<时，21274x x x ≥-. 设函数227()()1,014g x x x x x =-+<<，则812()43g x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭.当203x <<时，()0g x '<；当213x <<时，()0g x '>. 故()g x 在区间(0,1)上的最小值min 2()03g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.所以，当01x <<时，()0g x ≥，即得21274x x x ≥-. 由01a <<知01()k a k *<<∈N ，因此21274k kka a a ≥-，从而 121111127272727(1)()()(2)441414(0)(1)n n nnn k k k k k k a a a a f f n a f k f k a a a a f f +===---=≥=⋅>⋅=⋅-----∑∑∑. 42.（2012四川文）已知a 为正实数，n 为自然数，抛物线22na y x =-+与x 轴正半轴相交于点A .设()f n 为该抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距.（1）用a 和n 表示()f n ； （2）求对所有n 都有()1()11f n nf n n -≥++成立的a 的最小值；（3）当01a <<时，比较111(1)(2)(2)(4)()(2)f f f f f n f n +++--- 与(1)(1)6(0)(1)f f n f f -+⋅-的大小，并说明理由.解：（1）由已知得，交点A 的坐标为⎫⎪⎪⎭，对212ny x a=-+求导得2y x '=-，则抛物线在A 处的切线方程为y x =，即n y a =+，则()n f n a =.。

北大附中2012届高考数学满分突破专题训练：导数及其应用I 卷一、选择题1．函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a 的值等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D2．函数f (x )＝(x －a )(x ＋b )x －c在点x ＝1和x ＝2处的极限值都是0，而在点x ＝－2处不连续，则不等式f (x )＞0的解集为( ) A ．(－2,1) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) C ．(－2,1)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(1,2) 【答案】C3．函数)2sin(2x x y +=的导数是（ ）A ． )2cos(2x x y +='B ． )2sin(22x x x y +='C ． )2cos()14(2x x x y ++='D ． )2cos(42x x y +='【答案】C4．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率．．．是－10ln2(太贝克/年)，则M (60)＝( ) A ．5太贝克 B ．75ln2太贝克 C ．150ln2太贝克 D ．150太贝克【答案】D5．已知)(x f '是函数)(x f 的导数，y=)(x f '的图象如图所示，则y=)(x f 的图象最有可能是下图中 ( ）【答案】B 6．函数()5 10x y x a a =⋅≠>的导数是 ( ）A ． 45ln xx a a ⋅ B ． 455ln x xx a x a a ⋅+⋅C ． 455x xx a x a ⋅+⋅ D ． 455log x xa x a x a x ⋅+⋅【答案】B7．设)(x f 是一个三次函数，)('x f 其导函数，如图所示是函数)('x xf y =的图像的一部分，则)(x f 的极大值与极小值分别为（ ）A ．)1(f 与)1(-fB ．)1(-f 与)1(fC ．)2(-f 与)2(fD ．)2(f 与)2(-f【答案】C8．已知实数d c b a ,,,成等比数列，且对函数x x y -+=)2ln(，当b x =时取到极大值c ，则ad 等于( ) A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】A9．函数()y f x =的图象过原点且它的导函数'()y f x =的图象是如图所示的一条直线，则()y f x =图象的顶点在 ( ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A10． 曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A ． (1,0)B ． (2,8)C ． (1,0)和(1,4)--D ． (2,8)和(1,4)--【答案】C11．如图所示的曲线是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图象，则2221x x +等于 ( ）A ．98B ．910 C ．916 D ．45【答案】C12． 在曲线y ＝x 3＋x －2的切线中，与直线4x －y ＝1平行的切线方程是 ( )A ．4x －y ＝0B ．4x －y －4＝0C ．2x －y －2＝0D ．4x －y ＝0或4x －y －4＝0【答案】D13．若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h →+--=（ ）A ．3-B ．6-C ．9-D ．12-【答案】D14．函数()y f x =在定义域3(,3)2-内的图象如图所示，记()y f x =的导函数为'()y f x =，则不等式'()0f x ≤的解集为（ ）A ．[)31[,]1,222-B ．148[1,][,]233- C ．[)1[,1]2,33-D ．31144,[,],323233⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 【答案】CII 卷二、填空题15．曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与坐标轴围成的面积是 答案：5216． 已知函数1)(23++=ax x x f 的导函数为偶函数，则=a .【答案】017．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋3在(0,1)上为减函数，函数g (x )＝x 2－a ln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值为________． 【答案】218．已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为 .【答案】219．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________. 【答案】420． 质量为5 kg 的物体运动的速度为v =(18t －3t 2) ms,在时间t =2 s 时所受外力为______N. 【答案】30三、解答题 21．设函数()()f x x a ln x x a.=+-+(I ）设()()()gx f x ,g x '=求函数的单调区间；(II ）若1a e≥，试研究函数()()f x x a ln x x a =+-+的零点个数。