校级：高考数学试题导数内容探究

高考数学中的导数问题解析在高中数学的学习过程中，导数是一个非常重要的知识点。

导数的概念、求法和应用一直是高考数学中的重点和难点。

在高中数学的学习过程中，学生们需要对导数的定义、求导法则和高阶导数等知识进行深入的学习和理解。

本文将探讨高考数学中的导数问题，包括导数的概念、求导法则和应用等方面。

一、导数的概念导数是微积分中的一个重要概念。

它是描述函数变化率的数学工具，用于描述一个函数在某一点上的瞬时变化率。

在数学上，导数的定义是：如果函数f(x)在点x=a处的导数存在，那么函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(x→a) [f(x) - f(a)] / [x - a]这个式子的意思是：当x无限趋近于a的时候，f(x)和f(a)之差的商的极限存在，并且这个极限就是函数f(x)在点x=a处的导数。

导数的定义可以用图像来解释。

在图像上，一个函数f(x)在点( a , f(a) )处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。

因此，导数越大，函数在该点上的变化率越大。

二、导数的求法则求导是计算导数的过程。

求导需要运用一些基本的求导法则。

在高考数学中，最常用的求导法则有以下几种：1. 常数的导数等于0；2. 变量的一次幂的导数等于这个一次幂的系数；3. 变量的n次幂的导数等于这个n次幂的系数乘以x的n-1次幂；4. 变量的n次方根的导数等于这个n次方根的倒数乘以x的n-1次幂；5. 每条多项式的导数是它各项导数的和；6. 乘法规则：两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数再加上另一个函数的导数乘以该函数；7. 除法规则：两个函数的商的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数再减去另一个函数的导数乘以该函数，全部除以第二个函数的平方。

以上的规则可以帮助我们在计算导数的时候快速准确地求得导数。

三、导数的应用在高考数学中，导数的应用十分广泛，常常被用于研究函数在某个区间内的特性，例如最值、单调性、凸性、极值等。

2019高考数学复习导数应用题型分析讲解导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。

在高中阶段对于导数的学习，导数应用题型分析讲解主要以下几个方面：1.导数的常规问题：(1)刻画函数(比初等方法精确细微);(2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的切线);(3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数问题属于较难类型。

2.关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考(微博)中考察综合能力的一个方向，应引起注意。

知识整合1.导数概念的理解。

2.利用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实际问题的最大值与最小值。

复合函数的求导法则是微积分中的重点与难点内容。

课本中先通过实例，引出复合函数的求导法则，接下来对法则进行了证明。

3.要能正确求导，必须做到以下两点：(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法则，复合函数的求导法则。

家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。

(2)对于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。

2019高考数学复习导数应用题型分析讲解的内容就这些，查字典大学网预祝考生金榜题名。

要练说，得练看。

看与说是统一的，看不准就难以说得好。

练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。

在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。

高考数学导数试题解题研究以新课标全国卷为例一、本文概述本文旨在深入研究高考数学导数试题的解题策略，以新课标全国卷为例进行详细分析。

我们将首先概述导数的基本概念及其在高考中的重要性，然后深入探讨导数试题的常见题型和解题技巧。

通过对新课标全国卷历年导数试题的系统梳理，我们将揭示导数试题的命题规律和趋势，为考生提供有针对性的备考建议。

本文还将分享一些成功的解题经验和策略，帮助考生更好地应对高考数学导数试题，提高解题效率和准确性。

通过本文的研究，我们期望能为广大考生和教师提供有益的参考，推动高考数学导数试题解题水平的提升。

二、导数基础知识回顾导数作为高中数学的核心知识点，其基础知识的掌握对于解答导数试题至关重要。

我们需要明确导数的定义。

导数描述了函数在某一点处切线的斜率，它表示函数在该点处的瞬时变化率。

在求解导数试题时，我们应熟练掌握导数的定义，能够根据给定的函数求出其在某一点的导数。

我们需要掌握导数的基本公式和运算法则。

例如，常见的导数公式包括常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导数等。

同时，我们还需要熟悉导数的运算法则，如加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则等。

这些公式和法则将为我们求解导数试题提供有力的工具。

导数的几何意义和应用也是我们需要关注的重点。

导数的几何意义体现在函数图像的切线斜率上，我们可以通过导数来判断函数的单调性、极值点等性质。

同时，导数在实际生活中的应用也十分广泛，如物理学中的速度、加速度等都与导数密切相关。

对于新课标全国卷中的导数试题，我们还需要关注其命题特点和趋势。

近年来，导数试题的命题逐渐趋于灵活和多样化，不仅涉及到导数的基础知识，还涉及到导数在实际问题中的应用。

因此，我们需要加强对导数综合应用能力的培养，提高解题的灵活性和创新性。

对于高考数学导数试题的解题研究，我们需要从导数的基础知识入手，熟练掌握导数的定义、公式、运算法则和几何意义等方面的知识。

我们还需要关注导数在实际问题中的应用和命题趋势的变化，加强综合应用能力的培养和实践经验的积累。

2023新高考二卷数学导数【引言】导数是数学中非常重要的概念，它在许多应用领域都起着重要作用。

对于要参加2023年新高考的学生来说，熟练掌握导数的相关知识是非常关键的。

本文将围绕导数展开论述，从导数的定义、求导法则以及导数的应用三个方面进行详细介绍，帮助学生深入理解导数的概念和运用。

【正文】一、导数的定义导数是描述函数在切点的瞬时变化率的概念。

数学上，给定函数f(x)，若存在常数k，当x无限趋近于某个实数a时，f(x)与f(a)+k(x-a)之差与x-a的差的比值趋近于0，则称函数f(x)在点a处可导，常数k称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。

导数的计算方法包括极限法、定义法和利用求导法则等。

二、求导法则1. 常数倍法则：(cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数；2. 和差法则：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)；3. 乘法法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；4. 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2；5. 反函数求导法则：若y=f(x)在点x对应的y=f^(-1)(y)上可导，且f'(x)≠0，则(f^(-1)(y))' = 1/[f'(x)]。

三、导数的应用导数在许多应用中起着重要作用，其中常见的应用包括极值问题、函数图像的描绘以及曲线的切线方程的求解等。

1. 极值问题：导数可以帮助我们找到一个函数的极大值和极小值点。

当导数在某点为0时，可能是函数的极值点，而导数的正负性可以帮助我们进一步确定是极大值点还是极小值点。

2. 函数图像的描绘：通过研究函数的导数，可以得到函数的增减性、凹凸性以及拐点等信息，从而帮助我们更加准确地描绘函数的图像。

高考数学最新真题专题解析—导数及其应用（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I 卷【母题题文】已知函数f(x)=x 3−x +1，则( ) A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点C. 点(0,1)是曲线y =f(x)的对称中心D. 直线y =2x 是曲线y =f(x)的切线 【答案】AC 【分析】本题考查利用导数研究函数的极值与零点以及曲线上一点的切线问题，函数的对称性，考查了运算能力以及数形结合思想，属于中档题． 【解答】解： f(x)=x 3−x +1⇒f′(x)=3x 2−1 ，令 f′(x)=0 得： x =±√33，f′(x)>0⇒x <−√33 或 x >√33 ； f′(x)<0⇒−√33<x <√33，所以 f(x) 在 (−∞,−√33) 上单调递增，在 (−√33,√33) 上单调递减，在 (√33,+∞)上单调递增，所以 f(x) 有两个极值点 (x =−√33 为极大值点， x =√33为极小值点 ) ，故 A正确 ;又 f(−√33)=−√39−(−√33)+1=1+2√39>0 ， f(√33)=√39−√33+1=1−2√39>0 ，所以 f(x) 仅有 1 个零点 ( 如图所示 ) ，故 B 错 ;又 f(−x)=−x 3+x +1⇒f(−x)+f(x)=2 ，所以 f(x) 关于 (0,1) 对称，故 C 正确 ;对于 D 选项，设切点 P(x 0,y 0) ，在 P 处的切线为 y −(x 03−x 0+1)=(3x 02−1)(x −x 0) ，即 y =(3x 02−1)x −2x 03+1 ，若 y =2x 是其切线，则 {3x 02−1=2−2x 03+1=0，方程组无解，所以 D 错． 【母题来源】2022年新高考II 卷【母题题文】曲线y =ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为 ， ． 【答案】y =x e y =−xe 【分析】本题考查函数切线问题，设切点坐标，表示出切线方程，带入坐标原点，求出切点的横坐标，即可求出切线方程，为一般题． 【解答】解：当 x >0 时，点 (x 1,lnx 1)(x 1>0) 上的切线为 y −lnx 1=1x 1(x −x 1).若该切线经过原点，则 lnx 1−1=0 ，解得 x =e ， 此的切线方程为 y =xe ．当 x <0 时，点 (x 2,ln(−x 2))(x 2<0) 上的切线为 y −ln (−x 2)=1x 2(x −x 2) ．若该切线经过原点，则 ln(−x 2)−1=0 ，解得 x =−e ， 此时切线方程为 y =−xe ． 【命题意图】考察导数的概念，考察导数的几何意义，考察导数求导法则求导公式，导数的应用，考察数学运算和逻辑推导素养，考察分类讨论思想，函数和方程思想，化归与转化的数学思想，分析问题与解决问题的能力。

在高考中导数问题常见的分类讨论（一）热点透析由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用，所以自从导数进入高考后，立即得到普遍地重视，在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额，许多试题放在较后的位置，且有一定的难度..分类讨论是中学数学的一种解题思想，如何正确地对某一问题进行正确地分类讨论，这就要求大家平时就要有一种全局的观点，同时要有不遗不漏的观点。

只有这样在解题时才能做到有的放矢。

下面我想通过对导数类题的解答的分析，来揭示如何水道渠成顺理推舟进行分类讨论。

（二）知识回顾 1． 函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 2． 函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 3． 函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． （三）疑难解释1． 可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．2． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分条件．3． 对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件． 附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1． 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝2x 2＋2x －x 2－a x ＋12＝x 2＋2x －ax ＋12.因为f (x )在x ＝1处取极值，所以1是f ′(x )＝0的根，将x ＝1代入得a ＝3.2． 函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(x )在区间(1，＋∞)上是增函数， 则f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在(1，＋∞)上恒成立．∴a ≥－3.3. 如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断：①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中正确的判断是________．(填序号) 答案 ②③解析 ①∵f ′(x )在[－2，－1]上是小于等于0的， ∴f (x )在[－2，－1]上是减函数；②∵f ′(－1)＝0且在x ＝0两侧的导数值为左负右正， ∴x ＝－1是f (x )的极小值点； ③对， ④不对，由于f ′(3)≠0.4． 设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．－239D.33答案 C解析 g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0，解得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)． 当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3333 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1 1 g ′(x )－0 ＋g (x )极小值所以当x ＝3时，g (x )有最小值g ⎛⎪⎫3＝－23. 5． (2011·辽宁)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，∵m ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}，即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞). 二、高频考点专题链接题型一. 需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。

导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、根本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，那么常数c ＝ 6 ；3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．假设曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，那么P 点的坐标为 〔1，0〕3．假设曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，那么l 的方程为 430x y --=4．求以下直线的方程：〔1〕曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； 〔2〕曲线2x y =过点P(3,5)的切线；解：〔1〕123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P所以切线方程为0211=+-+=-y x x y 即， 〔2〕显然点P 〔3，5〕不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，那么200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255 110000y x y x 或，即切点为〔1，1〕时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为〔5，25〕时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 〔Ⅰ〕假设函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； 〔Ⅱ〕在〔Ⅰ〕的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； 〔Ⅲ〕假设函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：〔1〕由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f〔2〕).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。

导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0）3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --=4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线；解：（1）123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P所以切线方程为02 11=+-+=-y x x y 即，（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255 110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上 故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③ 由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f（2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。

历年高考函数导数综合题解题思路归纳总结导数综合题是高考数学中的重要题型，主要涉及函数、导数、不等式等知识点，需要具备较强的逻辑思维、推理能力和数学应用能力。

以下是历年高考函数导数综合题的解题思路详细归纳总结：考察的题型分5大类，23个小类一、求函数的单调性1.求函数的导数；2.根据导数的符号判断函数的单调性；3.根据单调性判断函数的极值点或最值点；4.根据极值点或最值点进行参数取值范围的求解。

二、切线问题1.求函数的导数；2.根据导数的几何意义求出切线的斜率；3.根据切线的定义写出切线方程；4.根据切线方程和已知条件求解参数。

三、不等式恒成立问题1.求函数的导数；2.根据导数的符号判断函数的单调性；3.根据函数的单调性和最值求解不等式恒成立的参数范围。

四、零点问题1.求函数的导数；2.根据导数的符号判断函数的单调性；3.根据函数的零点和单调性求解参数的范围。

五、多变量问题1.分别对各个变量求导；2.利用导数研究各个变量的单调性和最值；3.根据函数的图像和性质求解参数的范围。

高考导数综合题的突破点1.导数的定义和性质：导数作为微积分的基本概念，其定义和性质是解决导数综合题的基础。

学生需要熟练掌握导数的计算公式和运算法则，理解导数在研究函数中的意义和应用。

2.切线与导数的关系：切线是导数的几何意义所在，也是导数综合题中常见的考点。

学生需要理解切线的定义和性质，掌握切线方程的求解方法，能够利用导数求曲线的切线。

3.函数的单调性与导数的关系：单调性是函数的重要性质之一，而导数则是研究函数单调性的重要工具。

学生需要理解导数与函数单调性之间的关系，能够通过导数的符号判断函数的单调性。

4.极值与最值的求解：极值和最值是导数综合题中常见的考点。

学生需要掌握极值和最值的求解方法，理解极值和最值的几何意义，能够利用导数求函数的极值和最值。

5.不等式与导数的关系：不等式是导数综合题中常见的考点之一。

学生需要理解导数在处理不等式问题中的作用，掌握利用导数证明不等式的方法。

考点聚焦高考数学导数试题分析与教学策略研究■宋洪巍摘要：函数是数学教学的主要内容之一，在处理函数问题时，导数发挥着重要作用，是函数问题在解决过程中运用的用具。

为了提高学生学以致用的能力，高中数学教师要有意识地培养学生借助导数方式解决问题的能力。

分类解题和数形结合是导数比较常用的解题方式，也是学生在高考过程中使用频率最高的解题思路。

因此，数学教师务必培养学生运用导数方式处理数学问题的意识。

本文主要分析学生在学习导数时存在哪些困难，然后结合高考试题如何有效运用数学导数分析题目，以便能够为提高学生数学知识运用能力以及思维逻辑能力贡献力量。

关键词：高中数学；导数；高考试题导数模块蕴含的知识非常抽象，而且十分枯燥，高中生很难进行深入的理解，无法有效借助导数思维解决数学问题。

此外，由于我国长期处于应试教育模式中，教师的教学手段比较单一，无法让学生在导数学习过程中有明显的收获，对学生的数学进程产生了阻碍。

因此，数学教师要不断改进和创新教学方案，以便能够更加有效地借助导数对高考试题进行分析，让学生能够接触到更加丰富的学习资源。

除此之外，高中生要对教师的教学进行配合，积极完成教师布置的学习任务，在处理高考试题过程中不断尝试运用导数思维，以便能够更好地将数学知识进行运用。

一、导数分析高考试题时所面对的困境1.高中生应用导数知识能力有限导数公式以及导数的基础知识比较抽象，学生难以在短时间内进行有效的理解，而且高中生的数学思维不够完善，缺乏严谨性，因此，学生在学习基础知识时，其理解过程非常困难。

因此，教师在引领学生共同分析高考例题时，学生表现出的学习能力非常薄弱，经常混淆导数公式和知识，解题准确率非常低。

2.学生的导数基础知识储备不高很多学生的导数知识非常贫瘠，缺乏足够的知识储备，所以学生在分析高考例题或者在具体解题时无法运用导数知识。

部分学生容易将导函数为零的数值错误地看作是极值点，完全没有考虑到函数的范围。

学生在解题过程中优先对函数的定义域进行确定，由于学生基础知识不够牢固，很难做到上述这一点，所以他们在解题过程中对函数的“过某点”和“在某点”的差别缺乏判断能力。

高中数学导数题型全解析在高中数学中，导数是一个极其重要的概念和工具，它不仅在函数的研究中发挥着关键作用，还与物理、经济等领域有着紧密的联系。

导数题型种类繁多，掌握这些题型对于提高数学成绩和解决实际问题的能力都具有重要意义。

下面我们就来对高中数学中常见的导数题型进行全面解析。

一、导数的定义与计算导数的定义是理解和计算导数的基础。

函数＼（y ＝ f(x)＼）在＼（x ＝ x_0\）处的导数定义为：＼（f'（x_0) ＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{＼Delta y}｛＼Delta x} ＝＼lim\limits_{＼Delta x ＼to 0} ＼frac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼）。

在计算导数时，我们需要掌握基本函数的求导公式，如＼（C' ＝0\）（＼（C\）为常数）、＼（（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＼）、＼（（＼sin x)＇＝＼cos x\）、＼（（＼cos x)＇＝＼sin x\）、＼（（e^x)＇＝ e^x\）、＼（（＼ln x)＇＝＼frac{1}｛x}＼）等。

同时，还需要掌握导数的四则运算法则：＼（（u ± v)＇＝ u' ± v'＼）、＼（（uv)＇＝ u'v ＋ uv'＼）、＼（（＼frac{u}｛v}）＇＝＼frac{u'v uv'｝｛v^2}＼）（＼（v ≠ 0\））。

例如，求函数＼（f(x) ＝ x^3 ＋ 2x^2 3x ＋ 1\）的导数，根据求导公式和法则可得：＼（f'（x) ＝ 3x^2 ＋ 4x 3\）。

二、利用导数求函数的单调性函数的单调性是导数的一个重要应用。

若＼（f'（x) ＞ 0\），则函数＼（f(x)＼）在相应区间上单调递增；若＼（f'（x) ＜ 0\），则函数＼（f(x)＼）在相应区间上单调递减。

高考数学导数知识点复习解析
【】高中生各科考试，各位考生都在厉兵秣马，枕戈待旦，把自己调整到最正确作战形状。

在这里查字典数学网为各位考生整理了2021年高考数学导数知识点温习解析，希望可以助各位考生一臂之力，祝各位考生金榜题名，前程似锦!!
导数运用的题型与方法
一、专题综述
导数是微积分的初步知识，是研讨函数，处置实践效果的有力工具。

在高中阶段关于导数的学习，主要是以下几个方面: 1.导数的惯例效果：
(1)描写函数(比初等方法准确纤细);(2)同几何中切线联络(导数方法可用于研讨平面曲线的切线);(3)运用效果(初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便)等关于次多项式的导数效果属于较难类型。

2.关于函数特征，最值效果较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3.导数与解析几何或函数图象的混分解绩是一种重要类型，也是高考中调查综合才干的一个方向，应惹起留意。

二、知识整合
1.导数概念的了解。

2.应用导数判别可导函数的极值的方法及求一些实践效果
的最大值与最小值。

复合函数的求导法那么是微积分中的重点与难点内容。

课本中先经过实例，引出复合函数的求导法那么，接上去对法那么停止了证明。

3.要能正确求导，必需做到以下两点：
(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及和、差、积、商的求导法那么，复合函数的求导法那么。

(2)关于一个复合函数，一定要理清中间的复合关系，弄清各分解函数中应对哪个变量求导。

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生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。

－－泰戈尔导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。

二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

1．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是 2 2．已知函数2)()(2=-==x c x x x f y 在处有极大值，则常数c ＝ 6 ；3．函数331x x y -+=有极小值 －1 ,极大值 3题型二：利用导数几何意义求切线方程1．曲线34y x x =-在点()1,3--处的切线方程是 2y x =- 2．若曲线x x x f -=4)(在P 点处的切线平行于直线03=-y x ，则P 点的坐标为 （1，0）3．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 430x y --=4．求下列直线的方程：（1）曲线123++=x x y 在P(-1,1)处的切线； （2）曲线2x y =过点P(3,5)的切线；解：（1）123|y k 23 1)1,1(1x /2/23===∴+=∴++=-=－上，在曲线点－x x y x x y P Θ所以切线方程为0211=+-+=-y x x y 即， （2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为),(00y x A ，则200x y =①又函数的导数为x y 2/=，所以过),(00y x A 点的切线的斜率为/2|0x y k x x ===，又切线过),(00y x A 、P(3,5)点，所以有352000--=x y x ②，由①②联立方程组得，⎩⎨⎧⎩⎨⎧====255 110000y x y x 或，即切点为（1，1）时，切线斜率为;2201==x k ；当切点为（5，25）时，切线斜率为10202==x k ；所以所求的切线有两条，方程分别为2510 12 )5(1025)1(21-=-=-=--=-x y x y x y x y 或即，或题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值1．已知函数))1(,1()(,)(23f P x f y c bx ax x x f 上的点过曲线=+++=的切线方程为y=3x+1 （Ⅰ）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围解：（1）由.23)(,)(223b ax x x f c bx ax x x f ++='+++=求导数得过))1(,1()(f P x f y 上点=的切线方程为：).1)(23()1(),1)(1()1(-++=+++--'=-x b a c b a y x f f y 即而过.13)]1(,1[)(+==x y f P x f y 的切线方程为上故⎩⎨⎧-=-=+⎩⎨⎧-=-=++3023323c a b a c a b a 即∵124,0)2(,2)(-=+-∴=-'-==b a f x x f y 故时有极值在 ③由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴.542)(23+-+=x x x x f（2）).2)(23(443)(2+-=-+='x x x x x f 当;0)(,322;0)(,23<'<≤->'-<≤-x f x x f x 时当时13)2()(.0)(,132=-=∴>'≤<f x f x f x 极大时当 又)(,4)1(x f f ∴=在[－3，1]上最大值是13。

高中数学高考导数题型分析在高中数学的高考试卷中，导数是一个非常重要的考点。

导数是微积分的基础概念之一，也是高考数学中的难点和重点之一。

下面我将分析一些常见的导数题型。

1. 导数定义题型：导数的定义是导数题中最基础的一种题型。

通常是给出一个函数，然后要求求出其导数。

这种题型主要考察对导数定义的理解和应用能力。

解题关键是根据导数的定义进行计算，并简化结果。

例如，给出一个函数f(x)=3x^2+2x，求其导数。

根据导数定义，导数f'(x) = lim(h->0) ((f(x+h)-f(x))/h)，将函数f(x)代入公式进行计算，得到f'(x)=6x+2。

2. 导函数的运算题型：这种题型要求对复合函数、反函数、商函数等进行导数运算。

解题关键是根据导数的运算法则，运用链式法则、反函数导数法则、商函数导数法则等进行计算。

例如，已知函数y=ln(3x+1)，求y'。

通过链式法则，可以将这个复合函数分解成两个部分，即g(x)=3x+1和h(x)=ln(x)，然后分别求其导数，再代入求得最终解。

计算过程如下：g'(x)=3，h'(x)=1/x，y'=(3x+1)*(1/x)=3+1/x。

3. 导数应用题型：这种题型主要考察对导数的应用能力。

常见的导数应用题有极值问题、最优化问题、曲线的凹凸性问题等。

解题关键是根据问题给出的条件，建立数学模型，然后运用导数的性质和规律进行求解。

例如，有一长方形花坛，其中一边靠墙，另外三条边都用煤炭筛挡住，设底边向量为x，求长方形的最大面积。

首先设长方形的宽为y，由花坛的几何关系得到，x+2y=100，即y=50-0.5x。

然后建立目标函数A=x*y，即A=x(50-0.5x)，求导得到A'=50-x，令导数为0，可以解得x=25。

将x=25代入目标函数A，得到最大面积为A(25)=25*(50-0.5*25)=625。

2023年高考数学真题题源解密（全国卷）专题12 导数及其应用目录一览①2023真题展现考向一导数与切线问题考向二导数与函数单调性考向三导数与函数的极值、最值考向四利用导数证明不等式②真题考查解读③近年真题对比④命题规律解密⑤名校模拟探源⑥易错易混速记考向一导数与切线问题考向二导数与函数单调性考向三导数与函数的极值、最值考向四利用导数证明不等式【命题意图】1．导数概念及其几何意义（1）了解导数概念的实际背景.（2）理解导数的几何意义.2．导数在研究函数中的应用（1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.3．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.【考查要点】（1）利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度不定，题目可能为简单题，也可能为难题，题型为选择题、填空题或解答题。

（2）导数综合应用的命题方面，理科仍将以选择、填空压轴题或解答题压轴题形式考查不等式恒（能）成立问题与探索性问题、利用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解问题，重点考查分类整合思想、分析解决问题的能力。

文科仍将以解答题压轴题形式考查零点、极值、最值，简单不等式恒（能）成立问题与探索性问题、利用导数解证与不等式有关的问题，一般难度不会太高。

【得分要点】高频考点：含参函数的参数对函数性质的影响；用导数研究函数的单调性、极值或最值；导数的几何意义，求曲线切线的方程；函数的零点讨论；函数的图像与函数的奇偶性。

中频考点：用函数的单调性比较大小；利用函数证明不等式或求不等式的解；求参数的取值范围；函数模型的应用。

考向一导数与函数的极值、最值为函数的极大值点，由图可知b a <，a<0，故ab 当0a >时，由x b >时，f由图可知b a >，0a >，故二、填空题4．（2022·全国乙卷理数第值点和极大值点．若1x <1,1⎛⎫所以2eln e a <，解得1e a <<综上所述，a 的取值范围为⎛ ⎝[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导()2ln 2e xf x a a x '=⋅-=0的两个根为因为12,x x 分别是函数()2f x =所以函数()f x 在()1,x -∞和(，不符合题意；考向二导数与函数单调性与切线问题(2) 和当时，的解为：时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；综上可得：当时，在当时，在解得：，则，与联立得综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和考向三导数与函数的零点3．（2022·全国甲卷理数第21题）(1)若()0f x ≥，求a 的取值范围；(2)证明：若()f x 有两个零点1x 【答案】(1)(,1]e -∞+(2)证明见的解析【详解】（1）[方法一]：常规求导内有两个不相同的解．0,考向四利用导数证明不等式x纵观近几年高考对导数的考查，试题设计一般是包含一大一小，理科对导数的几何意义以及切线考查的频率较高，用导数研究函数的单调性、极值、最值是引导教学的常规要求。

导数与函数的极值【考点梳理】函数极值的概念函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值．【教材改编】1．(选修2－2 P 28思考改编)下列哪个函数x ＝0不是极值点( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝e x －xD ．f (x )＝cos x[答案] B[解析] 仅有f (x )＝x 3的导数f ′(x )＝3x 2，虽然f ′(0)＝0，但无论x ＞0还是x ＜0，恒有f ′(x )＞0，故选B.2．(选修2－2 P 28例4改编)f (x )＝13x 3－4x ＋m 的极小值为－43，则m 的值为( )A ．4B ．－4 C.203D ．－203 [答案] A[解析] f ′(x )＝x 2－4，当f ′(x )＝0时，x ＝－2或x ＝2.当f ′(x )＜0时，－2＜x ＜2.f ′(x )＞0时，x ＜－2或x ＞2.∴f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是增函数．f(x)在(－2,2)上是减函数．∴f(x)极小值＝f(2)＝13×23－4×2＋m＝－163＋m＝－43.∴m＝4，故选A.3．(选修2－2 P29练习T2(4)改编)函数f(x)＝3x－x3，下列说法错误的是() A．图象关于原点对称B．极大值为2C．极小值为－2D．值域为[－2,2][答案] D[解析] f(－x)＝－3x＋x3＝－f(x)．∴f(x)为奇函数，A正确；f′(x)＝3－3x2.当f′(x)＝0时，x＝－1或x＝1；当f′(x)＜0时，x＜－1或x＞1；当f′(x)＞0时，－1＜x＜1.∴f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上是减函数，在(－1,1)上是增函数．∴f(x)极小值＝f(－1)＝－2.f(x)极大值＝f(1)＝2，B、C正确；值域为(－∞，＋∞)，D错误，故选D.4．(选修2－2 P32A组T5(2)改编)f(x)＝x3－27x()A．有极大值－54B．有极大值54，极小值－54C．有极小值54 D．有极小值－54，无极大值[答案] B[解析] f′(x)＝3x2－27，f′(x)＝0时，x＝±3.f ′(x )＞0时，x ＜－3或x ＞3.f ′(x )＜0时，－3＜x ＜3，∴f (x )在(－∞，－3)，(3，＋∞)上是增函数，在(－3,3)上是减函数．∴f (x )极大值＝f (－3)＝54.f (x )极小值＝f (3)＝－54.故选B.5．(选修2－2练习P 29 T 2(3)改编)f (x )＝－x 3＋kx 有极小值－2，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D.4 [答案] C[解析] f ′(x )＝－3x 2＋k .①当k ≤0时，f ′(x )≤0无极值；②当k ＞0时，由f ′(x )＝0，得x ＝±k 3. f ′(x )＜0时，x ＜－k 3，或x ＞k 3. f ′(x )＞0时，－k 3＜x ＜k 3. ∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－k 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫k 3，＋∞上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 3，k 3上是增函数，所以f (x )极小＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－k 3＝k 3k 3－k k 3＝－2. ∴k ＝3，故选C.6．(选修2－2 P 32B 组T 2改编)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论错误的是( )A ．a ＜0B ．c ＜0C ．d ＜0D ．ac ＜b 23[答案] B[解析] 由题图知f (0)＝d ＜0，又f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由题图知f (x )有两个极值点x 1＜0，x 2＞0且在(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)上是减函数，在(x 1，x 2)上是增函数，∴a ＜0且(2b )2－4×3a ×c ＞0，即b 2＞3ac ，即ac ＜b 23，又x 1x 2＝c 3a ＜0，∴c ＞0，故选B.7．(选修2－2 P 65A 组T 2(3)改编)函数y ＝x e x 的极小值为________．[答案] －1e[解析] y ′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)．由y ′＝0，得x ＝－1.y ′＞0时，x ＞－1，y ′＜0时x ＜－1.∴函数y ＝x e x 在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，＋∞)上是增函数．∴y 极小值＝y |x ＝－1＝－1e. 8．(选修2－2 P 32 B 组T 1(4)改编)已知f (x )是可导的函数，且f ′(x )＜f (x )对于x∈R 恒成立，有如下四个命题，其中正确的是________．(填上所有正确的序号)①f (1)＜e f (0)，f (2 017)＞e 2 017f (0)②f (1)＞e f (0)，f (2 017)＞e 2 017f (0)③f (1)＞e f (0)，f (2 017)＜e 2 017f (0)④f (1)＜e f (0)，f (2 017)＜e 2 017f (0)[答案] ④[解析] 令g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫f (x )e x ′＝f ′(x )e x －f (x )e xe 2x ＝f ′(x )－f (x )e x＜0， 所以函数g (x )＝f (x )e x 是单调减函数，所以g (1)＜g (0)，g (2 017)＜g (0)，即f (1)e 1＜f (0)1，f (2 017)e 2 017＜f (0)1，故f (1)＜e f (0)，f (2 017)＜e 2 017f (0)，故①②③错，④正确．9．(选修2－2 P 29练习T 2(3)改编)已知f (x )＝m ＋12x －x 3有三个零点，则实数m 的范围是________．[答案] (－16,16)[解析] f ′(x )＝－3x 2＋12，当f ′(x )＝0时，x ＝－2或x ＝2；当f ′(x )＜0时，x ＜－2或x ＞2；当f ′(x )＞0时，－2＜x ＜2.∴f (x )在(－∞，－2)，(2，＋∞)上是减函数，在(－2,2)上是增函数．∴f (x )极小值＝f (－2)＝m －16.f (x )极大值＝f (2)＝m ＋16.∵f (x )有三个零点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )极大＞0，f (x )极小＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＋16＞0，m －16＜0，所以－16＜m ＜16.10．(选修2－2 P 18A 组T 6(1)改编)函数y ＝x ln x 有极________值________．[答案] 小 －1e[解析] y ′＝ln x ＋1(x ＞0)，当y ′＝0时，x ＝e －1；当y ′＜0时0＜x ＜e －1；当y ′＞0时，x ＞e －1.∴y ＝x ln x 在(0，e －1)上是减函数，在(e －1，＋∞)上是增函数．∴y ＝x ln x 有极小值y |x ＝e －1＝－1e .11．(选修2－2 P 26练习T 1(2)改编)已知f (x )＝e x －kx 有极值1.(1)求k 的值；(2)求f (x )的单调区间．[解析] (1)f ′(x )＝e x －k ，①当k ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )无极值；②当k ＞0时，由f ′(x )＝0，得x ＝ln k .当f ′(x )＜0时，x ＜ln k ，当f ′(x )＞0时，x ＞ln k .∴f(x)在(－∞，ln k)上是减函数，在(ln k，＋∞)上是增函数．∴f(x)仅有一极小值f(ln k)＝k－k ln k＝1.令g(t)＝t－t ln t－1(t＞0)，g′(t)＝1－ln t－1＝－ln t(t＞0)，由g′(t)＝0，得t＝1.当g′(t)＜0时，t＞1.当g′(t)＞0时，0＜t＜1.∴g(t)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．∴g(t)仅有一极大值，即g(t)极大值＝g(1)＝1－ln 1－1＝0，∴满足k－k ln k＝1，仅有一根k＝1，∴k的值为1.(2)由(1)知f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．。

新高考二卷的数学导数部分是一个重要的考点，主要考察学生对导数概念、导数计算、导数应用等方面的掌握情况。

以下是一些可能出现的题型和解题思路：
1.导数概念题：这类题目主要考察学生对导数定义、导数符号等基本概念的理解。

解
题时，需要仔细阅读题目，理解题意，然后根据导数的定义和性质进行计算。

2.导数计算题：这类题目主要考察学生对导数计算方法的掌握情况，包括求导公式、
链式法则、乘积法则等。

解题时，需要先确定函数的表达式，然后根据导数计算方法进行求导，得出结果。

3.导数应用题：这类题目主要考察学生对导数的应用能力，包括利用导数求函数的单
调性、极值、最值等。

解题时，需要先确定函数的表达式，然后根据导数的性质进行分析，得出结论。

在解题过程中，需要注意以下几点：
1.仔细阅读题目，理解题意，确定需要求解的问题。

2.根据导数的定义和性质进行计算，注意计算过程中的细节问题。

3.结合题目要求进行分析，得出正确的结论。

总之，新高考二卷的数学导数部分是一个重要的考点，需要学生掌握导数的概念、计算和应用方法，同时注意解题过程中的细节问题。