【高中数学】2018人教A选修2-3练习：第2章 随机变量及其分布2.3.1 Word版含解析

高中数学人教A版选修2-3 第二章随机变量及其分布 2.1.1 离散型随机变量（2）一、单选题1. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,随机变量为（）A.掷硬币的次数B.出现正面向上的次数C.出现正面向上或反面向上的次数D.出现正面向上与反面向上的次数之和2. 下列随机变量是离散型随机变量的是（）抛5颗骰子得到的点数和;某人一天内接收到的电话次数;某地一年内下雨的天数;某机器生产零件的误差数.A.(1)(2)(3)B.(4)C.(1)(4)D.(2)(3)3. 已知下列随机变量:①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;②一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分;③刘翔在一次110米跨栏比赛中的成绩X;④在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数X.其中X是离散型随机变量的是（）A.①②③B.②③④C.①②④D.③④4. 下列变量中不是随机变量的是().A.某人投篮6次投中的次数B.某日上证收盘指数C.标准状态下,水在100时会沸腾D.某人早晨在车站等出租车的时5. 下列随机变量中不是离散型随机变量的是().A.掷5次硬币正面向上的次数MB.某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间TC.从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和YD.将一个骰子掷3次,3次出现的点数之和X6. 下列随机变量中，不是离散型随机变量的是（）A.某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数XB.某水位监测站所测水位在(0, 18]这一范围内变化，该水位监测站所测水位HC.从装有1红、3黄共4个球的口袋中，取出2个球，其中黄球的个数ξD.将一个骰子掷3次，3次出现的点数和X参考答案与试题解析高中数学人教A版选修2-3 第二章随机变量及其分布 2.1.1 离散型随机变量（2）一、单选题1.【答案】B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】出现正面向上的次数为0或1，是随机变量【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】由离散型随机变量的定义知((1)(2)(3)均是离散型随机变量，而（4）不是，由于这个误差数几乎都是在0附近的实数，无法——列出．【解答】此题暂无解答3.【答案】C【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】③中X的值可在某一区间内取值，不能——列出，故不是离散型随机变量【解答】此题暂无解答4.【答案】C【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】由随机变量的概念可知．标准状态下，水在100∘C时会沸腾不是随机变量【解答】此题暂无解答5.【答案】B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】f】由随机变量的概念可知．某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间T不能——举出，故不是离散型随机变量【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】离散型随机变量及其分布列【解析】利用离散型随机变量的定义直接求解．【解答】解：水位在(0,18]内变化，不能一一举出，故不是离散型随机变量．其余都可以一一举出，故是离散型随机变量．故选B．。

选修2-3 第二章 2.3 2.3.2一、选择题1．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为导学号 03960519( ) A ．3·2－2B ．2－4C ．3·2－10D ．2－8[答案] C[解析] E (X )＝np ＝6，D (X )＝np (1－p )＝3， ∴p ＝12，n ＝12，则P (X ＝1)＝C 112·12·(12)11＝3·2－10. 2．设随机变量X 的概率分布列为P (X ＝k )＝p k ·(1－p )1－k (k ＝0,1)，则E (X )、D (X )的值分别是导学号 03960520( )A ．0和1B ．p 和p 2C ．p 和1－pD ．p 和(1－p )p[答案] D[解析] 由X 的分布列知，P (X ＝0)＝1－p ，P (X ＝1)＝p ，故E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，易知X 服从两点分布，∴D (X )＝p (1－p )．3．已知随机变量ξ和η，其中η＝10ξ＋2，且E (η)＝20，若ξ的分布列如下表，则m 的值为导学号 03960521( )A ．4760B ．3760C ．2760D ．18[答案] A[解析] ∵E (η)＝E (10ξ＋2)＝10E (ξ)＋2＝20， ∴E (ξ)＝1.8即：1×14＋2m ＋3n ＋4×112＝1.8，∴2m ＋3n ＝7360①又m ＋n ＝1－14－112＝23②由①②得，m ＝4760.4．甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品1000件，ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数，η表示乙车床生产1000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别如表一、表二所示．据此判定导学号 03960522( )表一A ．甲比乙质量好 C ．甲与乙质量相同 D ．无法判定[答案] B[解析] 由分布列可求甲的次品数期望为E (ξ)＝0.7，乙的次品数期望为E (η)＝0.7，进而得D (ξ)＝(0－0.7)2×0.7＋(1－0.7)2×0＋(2－0.7)2×0.2＋(3－0.7)2×0.1＝1.21，D (η)＝(0－0.7)2×0.6＋(1－0.7)2×0.2＋(2－0.7)2×0.1＋(3－0.7)2×0.1＝1.01，故乙的质量要比甲好．5．随机变量X ～B (100,0.2)，那么D (4X ＋3)的值为导学号 03960523( ) A ．64 B ．256 C ．259 D ．320[答案] B[解析] 由X ～B (100,0.2)知随机变量X 服从二项分布，且n ＝100，p ＝0.2，由公式得D (X )＝np (1－p )＝100×0.2×0.8＝16，因此D (4X ＋3)＝42D (X )＝16×16＝256，故选B ．6．已知X 的分布列如下表：且a 、b 、c 成等比数列，E (X )＝19，则a ＝导学号 03960524( )A ．16B ．13C ．12D ．23[答案] C[解析] 由分布列的性质得a ＋b ＋c ＝1318①∵E (X )＝19，∴－a ＋c ＋59＝19，∴a －c ＝49，②又a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac ，③ 将②代入①、③得，⎩⎨⎧2a ＋b ＝76， ④b 2＝a (a －49). ⑤由④得b ＝76－2a ，代入⑤得，a ＝12或a ＝4954，当a ＝4954时，a ＋518＝6454>0，不合题意舍去，∴a ＝12.二、填空题7．(2016·海口高二检测)已知随机变量X ～B (4，p )，若E (X )＝2，则D (X )＝________.导学号 03960525[答案] 1[解析] 随机变量X 服从二项分布X ～B (4，p )，E (X )＝2， ∴4p ＝2，∴p ＝12，∴D (X )＝4p (1－p )＝1，故答案为1.8．随机变量ξ的取值为0、1、2，若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.导学号 03960526[答案] 25[解析] 设ξ＝1的概率为p .则E (ξ)＝0×15＋1×p ＋2(1－p －15)＝1，∴p ＝35.故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.9．(2016·枣庄市高二检测)抛掷一枚均匀硬币n (3≤n ≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B (n ，12)，若P (ξ＝1)＝332，则方差D (ξ)＝________.导学号 03960527[答案] 32[解析] ∵3≤n ≤8，ξ服从二项分布B (n ，12)，且P (ξ＝1)＝332，∴C 1n ·(12)n －1·(1－12)＝332， 即n ·(12)n ＝664，解得n ＝6，∴方差D (ξ)＝np (1－p )＝6×12×(1－12)＝32.三、解答题10．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.导学号 03960528(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) [解析] 设A i 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1,2，…，13)， 根据题意，P (A i )＝113，且A i ∩A j ＝∅(i ≠j )．(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝A 5∪A 8， 所以P (B )＝P (A 5∪A 8)＝P (A 5)＋P (A 8)＝213.(2)由题意可知，X 的所有可能取值为0、1、2，且 P (X ＝1)＝P (A 3∪A 6∪A 7∪A 11) ＝P (A 3)＋P (A 6)＋P (A 7)＋P (A 11)＝413，P (X ＝2)＝P (A 1∪A 2∪A 12∪A 13) ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 12)＋P (A 13)＝413，P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝513.所以X 的分布列为：故X 的期望E (X )＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．一、选择题1．(2016·泰安高二检测)设ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝23，P (ξ＝x 2)＝13，且x 1<x 2，又已知E (ξ)＝43，D (ξ)＝29，则x 1＋x 2的值为导学号 03960529( )A ．53B ．73C ．3D ．113[答案] C[解析] 由E (ξ)＝43，D (ξ)＝29得，⎩⎨⎧23x 1＋13x 2＝43，(x 1－43)2·23＋(x 2－43)2·13＝29，解之得，⎩⎨⎧x 1＝53，x 2＝23，或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2. ∵x 1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2.∴x 1＋x 2＝3.2．随机变量X 的分布列如下：若E (X )＝158，则D (X )等于导学号 03960530( )A ．732B ．932C ．3364D ．5564[答案] D[解析] 由题意知， ⎩⎪⎨⎪⎧1×0.5＋2x ＋3y ＝158，0.5＋x ＋y ＝1，∴⎩⎨⎧x ＝18，y ＝38.∴D (X )＝(1－158)2×12＋(2－158)2×18＋(3－158)2×38＝5564.二、填空题3．已知随机变量ξ的概率分布列如下：导学号 03960531已知E (ξ)＝6.3，随机变量η[答案] 1.68[解析] 由分布列的性质知b ＝1－0.5－0.1＝0.4，∵E (ξ)＝4×0.5＋0.1×a ＋9×0.4＝0.1a ＋5.6＝6.3，∴a ＝7， ∵η～B (a ，b )，即η～B (7,0.4)， ∴D (η)＝7×0.4×(1－0.4)＝1.68.4．已知总体的各个体的值由小到大依次为2、3、3、7、a 、b 、12、13.7、18.3、20，且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是________.导学号 03960532[答案] 10.5、10.5[解析] 由题意得a ＋b2＝10.5，∴a ＋b ＝21，x ＝2＋3＋3＋7＋21＋13.7＋18.3＋20＋1210＝10，∴s 2＝110[(10－2)2＋(10－3)2＋(10－3)2＋(10－7)2＋(10－a )2＋(10－b )2＋(10－12)2＋(10－13.7)2＋(10－18.3)2＋(10－20)2]＝110[82＋72＋72＋32＋(10－a )2＋(10－b )2＋4＋3.72＋8.32＋102] ＝110[(10－a )2＋(10－21＋a )2＋…] ＝110[2(a －10.5)2＋…]当a ＝10.5时，方差s 最小，b ＝10.5. 三、解答题5．现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.导学号 03960533(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是35，答对每道乙类题的概率都是45，且各题答对与否相互独立．用X 表示张同学答对题的个数，求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)设事件A ＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”， 则有A －＝“张同学所取的3道题都是甲类题”． 因为P (A －)＝C 36C 310＝16，所以P (A )＝1－P (A －)＝56.(2)X 所有的可能取值为0、1、2、3. P (X ＝0)＝C 02·(35)0·(25)2·15＝4125； P (X ＝1)＝C 12·(35)1·(25)1·15＋C 02(35)0·(25)2·45＝28125； P (X ＝2)＝C 22·(35)2·(25)0·15＋C 12(35)1·(25)1·45＝57125； P (X ＝3)＝C 22·(35)2·(25)0·45＝36125. 所以X 的分布列为：所以E (X )＝0×4125＋1×28125＋2×57125＋3×36125＝2.6．(2016·山师附中高二检测)现对某高校16名篮球运动员在多次训练比赛中的得分进行统计，将每位运动员的平均成绩所得数据用频率分布直方图表示如下．(如：落在区间[10,15)内的频率/组距为0.0125)规定分数在[10,20)、[20,30)、[30,40)上的运动员分别为三级篮球运动员、二级篮球运动员、一级篮球运动员，现从这批篮球运动员中利用分层抽样的方法选出16名运动员作为该高校的篮球运动员代表.导学号 03960534(1)求a 的值和选出篮球运动员代表中一级运动员的人数；(2)若从篮球运动员代表中选出三人，求其中含有一级运动员人数X 的分布列； (3)若从该校篮球运动员中有放回地选三人，求其中含有一级运动员人数Y 的期望． [解析] (1)由频率分布直方图知：(0.0625＋0.0500＋0.0375＋a ＋2×0.0125)×5＝1，∴a ＝0.0250.其中为一级运动员的概率为(0.0125＋0.0375)×5＝0.25， ∴选出篮球运动员代表中一级运动员为0.25×16＝4人． (2)由已知可得X 的可能取值分别为0、1、2、3， P (X ＝0)＝C 312C 316＝1128，P (X ＝1)＝C 212·C 14C 316＝3370，P (X ＝2)＝C 112·C 24C 316＝970，P (X ＝3)＝C 34C 316＝1140，∴X 的分布列为(3)由已知得Y ～B (3，14)，∴E (Y )＝np ＝3×14＝34，∴含有一级运动员人数Y 的期望为34.。

§2.1.1离散型随机变量一、教学目标1.复习古典概型、几何概型有关知识。

2.理解离散型随机变量的概念，学会区分离散型与非离散型随机变量。

3. 理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.重点：离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当地定义随机变量.难点：对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究.二、复习引入：1.试验中不能的随机事件，其他事件可以用它们来，这样的事件称为。

所有基本事件构成的集合称为，常用大写希腊字母表示。

2.一次试验中的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）。

互斥事件的概率加法公式。

3. 一次试验中的两个事件叫做互为对立事件，事件A的对立事件记作，对立事件的概率公式4.古典概型的两个特征：（１） .（２） .5.概率的古典定义：P（A）= 。

6.几何概型中的概率定义：P(A)= 。

三、预习自测：1.在随机试验中，试验可能出现的结果，并且X是随着试验的结果的不同而的，这样的变量X叫做一个。

常用表示。

2.如果随机变量X的所有可能的取值，则称X为。

四、典例解析：例1写出下列各随机变量可能取得值：（1）抛掷一枚骰子得到的点数。

（2）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数。

（3）抛掷两枚骰子得到的点数之和。

（4）某项试验的成功率为0.001，在n次试验中成功的次数。

（5）某射手有五发子弹，射击一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求这名射手的射击次数X的可能取值例2随机变量X为抛掷两枚硬币时正面向上的硬币数，求X的所有可能取值及相应概率。

变式训练一只口袋装有6个小球，其中有3个白球，3个红球，从中任取2个小球，取得白球的个数为X，求X的所有可能取值及相应概率。

例3△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，向△ABC内部随意投入一个小球，求小球落在△ADE 中的概率。

五、当堂检测1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是：（）(A)两次出现的点数之和；(B)两次掷出的最大点数；(C)第一次减去第二次的点数差；(D)抛掷的次数。

人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修2-3 习题第二章检测 (B)(时间 :90 分钟满分:120分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.已知离散型随机变量X 的分布列为X123P则 X 的数学期望 E( X) = ()A B.2C D.3解析 :E(X)= 1 + 2+ 3答案 :A2.正态分布N1(μ1,),N2(μ2, ),N3(μ3, )(其中σ1,σ2,σ3均大于 0)所对应的密度函数图象如图,则下列说法正确的是 ()A. μ1最大 ,σ最大1B.μ3最大 ,σ最大3C.μ1最大 ,σ最大3D.μ3最大 ,σ最大1解析:在正态分布2N(μ,σ)中 ,x= μ为正态曲线的对称轴 ,结合题图可知 ,μ3最大 ;又参数σ确定了曲线的形状 :σ越大 ,曲线越“矮胖”,σ越小 ,曲线越“高瘦”.故由题图知σ1最大 .答案 :D3.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用 7 局 4 胜制 (即先胜 4 局者获胜 ,比赛结束 ),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同,那么甲以 4 比 2 获胜的概率为 ()A BC D解析 :甲以 4 比 2 获胜 ,则需打六局比赛且甲第六局胜,前五局胜三局,故其概率为答案 :C4.对标有不同编号的 6 件正品和 4 件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出 2 件 .在第一次摸出正品的条件下 ,第二次也摸到正品的概率是()A BC D解析 :“第一次摸出正品”记为事件A,“第二次摸出正品”记为事件B.则P(A)=P(AB)=,则P(B|A)=答案 :C5.若随机变量ξ~B(n,p),且E(ξ)= 6,D(ξ)=3,则P(ξ= 1)的值为()A.3 ×2- 2B.3×2-10C.2 -4D.2 -8解析 :∵ξ~B(n,p),且 E(ξ)= 6,D(ξ)= 3,∴n p= 6,且 np(1-p)= 3,解得 n= 12,p= ,∴P(ξ= 1)=-= 3×2-10.答案 :B6.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小的小正方体.经过搅匀后 ,从中随机取一个小正方体 ,记它的涂漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)= ()A BC D解析 :由题意可知涂漆面数X 的可能取值为0,1,2,3.由于 P(X= 0)=,P(X= 1)=,P(X= 2)=,P(X= 3)=,故 E(X)= 0+ 1+ 2+ 3答案 :B7.某商家进行促销活动,促销方案是顾客每消费 1 000 元 ,便可以获得奖券 1 张 ,每张奖券中奖的概率为 ,若中奖 ,则商家返还中奖的顾客现金 1 000 元 .小王购买一套价格为 2 400 元的西服 ,只能得到 2 张奖券 ,于是小王补偿50 元给一同事购买一件价格为600 元的便服 ,这样小王就得到了 3 张奖券 .设小王这次消费的实际支出为ξ(元 ),则 E(ξ)等于 ()A.1 850 元B.1 720 元C.1 560 元D.1 480 元解析 :根据题意知 ,ξ的可能取值为 2 450,1 450,450,-550,且 P(ξ= 2 450)=,P(ξ= 1450)=,P( ξ= 450)=,P(ξ=- 550)=,则 E(ξ)= 2 450 + 1 450+ 450+ (-550)= 1 850(元 ),故选 A .答案 :A8.一名篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为a,得 2 分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c∈ (0,1)) .已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况),则 ab 的最大值为 ()A BC D解析 :由已知 ,得 3a+ 2b+ 0×c=2,即3a+ 2b= 2,故ab= 3a×2b答案 :D9.设随机变量η服从正态分布2322(1,σ),若 P(η<- 1)= 0.2,则函数 f(x) = x +x+ ηx 没有极值点的概率是()A.0 .2B.0.3C.0.7D.0.8322解析 :∵函数 f(x)= x +x + ηx 没有极值点 ,2 2∴f'(x)=x + 2x+ η= 0 无解 ,2∴ = 4-4η<0,∴η<- 1 或η> 1.2∵随机变量η服从正态分布N(1,σ),P(η<- 1)= 0.2,∴P(η<- 1 或η> 1)= 0.2+ 0.5= 0.7,故选 C.答案 :C10.已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i= 1,2)个球放入甲盒中 .(1) 放入 i 个球后 ,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i= 1,2);(2) 放入 i 个球后 ,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为p i(i= 1,2).则()A. p1>p 2,E( ξ1)<E (ξ2)B.p1<p 2,E(ξ1)>E ( ξ2)C.p1>p 2,E(ξ1)>E ( ξ2)D.p1<p 2,E( ξ1)<E (ξ2)解析 :p1=,--p2=,-p1-p2=----=- > 0.故 p1>p 2.ξ1的可能取值为 1,2, P(ξ1= 1)=; P(ξ1= 2)=故 E(ξ+ 21)= 1ξ2的可能取值为 1,2,3.P(ξ2= 1)=-,-P(ξ2= 2)=-,P(ξ2= 3)=-,-故 E(ξ-- + 2- + 3-2)= 1---=-于是 E(ξ) -E(ξ)12--=-- ---=---=-又∵m≥ 3,n≥3,∴E(ξ)-E(ξ)< 0,12即 E(ξ)<E (ξ) .12综上 ,应选 A .答案 :A二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.两名狙击手在一次射击比赛中,狙击手甲得 1 分、 2 分、 3 分的概率分别为0.4,0.1,0.5;狙击手乙得1 分、 2 分、 3 分的概率分别为0.1,0.6,0.3.那么两名狙击手中,获胜希望大的是.解析 :设甲得分为X,乙得分为Y,则E(X)= 1×0.4+ 2×0.1+ 3×0.5= 2.1,E(Y)= 1×0.1+ 2×0.6+ 3×0.3= 2.2.因为 E(X)<E (Y),所以乙获胜的希望大.答案 :乙12.园丁要用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图所示圆形花坛的四块区域.要求同一区域内须用同一种颜色的鲜花,相邻区域须用不同颜色的鲜花.设花圃中布置红色鲜花的区域数量为ξ,则随机变量ξ的均值 E(ξ)=.解析 :随机变量ξ的取值分别为0,1,2.当ξ= 0 时用黄、蓝、白三种颜色来涂色,只能左右同色,共有3×2×1=6(种 ),即ξ= 0 所包含的基本事件有6 种 ,所以 P(ξ= 0)=;P(ξ= 2)=;人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修2-3 P(ξ= 1)= 1-E(ξ)= 0+ 1+ 2 = 1.答案 :113.随机量ξ的取0,1,2,若P(ξ= 0)= ,E(ξ)= 1, D (ξ)=.解析 :当ξ= 1 的概率 p,E(ξ)= 0+ 1× p+2 - -= 1,解得 p=故 D(ξ)= (0-1) 2+ (1-1) 2+ (2-1)2答案 :14.某商行摸活,:从装有除色外完全相同的7 个白球、 3 个球的盒子中摸出 3 个不同的球 ,摸出后把球放回 .若 3 个球全是球 ,中一等 ;若 3 个球中 1 个白球 2 个球二等 .有 3 人去摸 ,恰有 2 人中的概率.解析 :一个人去摸 ,中一等的概率 P1=,中二等的概率 P2=,所以任何一人中的概率P1+P 2=若 3 人去摸 ,恰有 2 人中的概率-答案 :15.在(x+ 1)9的二展开式中任取2,P i表示取出的 2 中有 i 系数奇数的概率.若用随机量ξ表示取出的 2中系数奇数的数i,随机量ξ的均.解析 :∵(x+ 1)9的展开式中各的系数(k= 0,1,2,⋯ ,9),共 10 个,∴系数奇数的有共 4 个 .P(ξ= 0)=,P( ξ= 1)=,P(ξ= 2)=∴E(ξ)=0+ 1+ 2答案 :三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20 层停靠 .若该电梯在底层载有 5 名乘客 ,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为,用ξ表示这 5 位乘客在第20 层下电梯的人数 .求 :(1) 随机变量ξ的分布列 ;(2) 随机变量ξ的均值 .解 :(1)考察一位乘客是否在第20 层下电梯为一次试验,这是 5 次独立重复试验 ,则ξ~B,即有 P(ξ=k )=-,k=0,1,2,3,4,5.由此可得ξ的分布列为ξ012345P(2)∵ξ~B,∴E(ξ)= 517.(8分)从某企业生产的某种产品中抽取500 件 ,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图 :(1) 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数和样本方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 ).(2) 由直方图可以认为 ,这种产品的质量指标值22 Z 服从正态分布 N(μ,σ), 其中μ近似为样本平均数,σ近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求 P(187.8<Z< 212.2);②某用户从该企业购买了100 件这种产品 ,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数 .利用①的结果 ,求 E(X).2附:12.2.若 Z~N( μ,σ),则 P(μ-σ<Z< μ+ σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<Z< μ+ 2σ)≈0.954 5.解 :(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为= 170×0.02+ 180×0.09+ 190×0.22+ 200×0.33+ 210×0.24+ 220×0.08+ 230×0.02= 200,2222222s = (-30) ×0.02+ (-20) ×0.09+ (-10) ×0.22+ 0×0.33+ 10 ×0.24+ 20 ×0.08+ 30 ×0.02= 150.(2)①由 (1) 知 ,Z~N(200,150), 从而 P(187.8<Z< 212.2)=P (200-12.2<Z< 200+ 12.2)≈0.682 7.②由①知 ,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率约为0.682 7,依题意知X~B(100,0.682 7),所以 E(X)≈100×0.682 7= 68.27.18.(9分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有 4 个红球、 6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、 5 个白球的乙箱中,各随机摸出 1 个球 ,在摸出的 2 个球中 ,若都是红球 ,则获一等奖 ;若只有 1 个红球 ,则获二等奖 ;若没有红球 ,则不获奖 .(1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率 ;(2) 若某顾客有 3 次抽奖机会 ,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为X,求 X 的分布列和均值 .解 :(1)记事件 A1= { 从甲箱中摸出的 1 个球是红球 }, A2= { 从乙箱中摸出的 1 个球是红球 }, B1= { 顾客抽奖 1 次获一等奖 }, B2= { 顾客抽奖 1 次获二等奖 }, C= { 顾客抽奖 1 次能获奖 } .由题意 ,A1与 A2相互独立 ,A1与 A2互斥 ,B1与 B2互斥 ,且 B1=A 1A2,B2=A 1A2,C=B 1+B 2 ,因为 P(A1)=,P(A2)=,所以 P(B1) =P (A1A2)=P (A1) P( A2 )=,P(B2)=P (A1A2)=P (A1 )+P (A2)=P ( A1 )P( )+P ()P(A2)=P ( A1 )(1-P(A2))+ (1-P(A1)) P(A2)=--故所求概率为P(C)=P (B1+B 2)=P (B1)+P (B2)=(2)顾客抽奖 3 次可视为 3 次独立重复试验,由(1) 知 ,顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为,所以X~B于是 P(X= 0)=,P(X= 1)=,P(X= 2)=,P(X= 3)=故 X 的分布列为X0123PX 的均值为 E( X) =319.(10分)某车间在两天内,每天生产10 件产品 ,其中第一天、第二天分别生产了 1 件、 2 件次品 .质检部每天要在生产的10 件产品中随意抽取 4 件进行检查 ,若发现有次品,则当天的产品不能通过.(1) 求两天全部通过检查的概率;(2) 若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度,两天全不通过检查罚300 元 ,通过 1 天、 2 天分别奖 300 元、 900 元 .那么该车间在这两天内得到奖金的数学期望是多少元?分析 (1)运用独立事件同时发生的概率求两天全部通过的概率.(2) 列奖金的分布列,求均值 .解 :(1)随机抽取 4 件产品进行检查是随机事件.“记第一天通过检查”为事件A,则 P(A)=记“第二天通过检查”为事件B,则 P(B)=因第一天、第二天检查是否通过是相互独立的,所以两天全部通过检查的概率为P(AB )=P (A)P(B)=(2)记所得奖金为ξ元,则ξ的取值为-300,300,900.P(ξ=- 300)=P ()=P ( )P( )=P(ξ= 300)=P ((A )∪( B)) =P (A )+P ( B)=P (A)P( ) +P ( )P(B)=P(ξ= 900)=P (AB)=所以 ,ξ的分布列为ξ-300300900PE(ξ)=- 300+ 300+ 900= 260.故该车间在这两天内得到奖金的均值是260 元 .20.(10分)某人居住在城镇的 A 处 ,准备开车到单位 B 处上班 ,若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的 ,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图例如A→ C→ D算两个路段: 设路段 AC 发生堵车事件的概率为,路段 CD 发生堵车事件的概率为(1)请你为其选择一条由 A 到 B 的路线 ,使得途中发生堵车事件的概率最小;(2)若记路线 A→C→ F→ B 中遇到堵车的次数为随机变量ξ,求ξ的均值E(ξ).解 :(1)记路段 AC 发生堵车的事件为AC(其他路段也类似),因为各路段发生堵车的事件是相互独立的,且在同一路段发生堵车的事件最多只有一次,所以路线A→ C→D → B 中遇到堵车的概率为1-P()= 1-P() ·P( ) ·P( )= 1----= 1-同理 ,路线 A→C→ F→ B 中遇到堵车的概率为1-P()=,路线 A→ E→F → B 中遇到堵车的概率为1-P()=路线 A→ E→F → C→ D→ B 中遇到堵车的概率为1-P()=显然要使由 A 到 B 的路线中发生堵车事件的概率最小,只可能在以上四条路线中选择,因此选择路线 A→C→ F→ B,可使途中发生堵车的概率最小 .(2)路线 A→C→ F→ B 中遇到堵车的次数ξ的可能取值为 0,1,2,3,P(ξ= 0)=P ()=,P(ξ= 1)=P (AC)+P (CF)+P (FB)=,P(ξ= 2)=P (AC·CF)+P (CF ·FB)+P (AC FB)=,P(ξ= 3)=P (AC·CF·FB)=,所以 E(ξ)=0+ 1+ 2+ 3,即路线 A→ C→ F→B 中遇到堵车的次数的均值为。

2．3.1．离散型随机变量的均值1．离散型随机变量的均值(1)定义：若离散型随机变量X 的分布列为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或均值． (2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)性质：若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 为常数，X 是随机变量，则Y 也是随机变量，且有E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .2．两点分布与二项分布的均值1．对离散型随机变量均值的理解离散型随机变量的均值E (X )是一个数值，是随机变量X 本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．2．随机变量的均值与样本平均值的关系随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值．甲、乙两人各自独立破译某个密码，甲破译出密码的概率是3，乙破译出密码的概率是45，设破译出该密码的人数为X ，求其均值． 设A ，B 分别为甲、乙破译出该密码的事件，X 的可能取值是0,1,2.P (X ＝0)＝P (A ·B )＝P (A )·P (B )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－45＝115；P(X＝1)＝P(A·B)＋P(A·B)＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－45＋⎝⎛⎭⎪⎫1－23×45＝25；P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝23×45＝815.所以X的分布列是因此E(X)＝0×115＋1×25＋2×15＝15.求期望的关键是写出分布列，一般分四步(1)确定X可能的取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有2节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．解：X可取的值为1,2,3，则P(X＝1)＝35，P(X＝2)＝25×34＝310，P(X＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X的分布列为E(X)＝1×35＋2×310＋3×10＝2.(1)一次投篮时投中次数X的均值；(2)重复5次投篮时投中次数Y 的均值． (1)X 的分布列为则E (X )＝0×0.4＋1×0.6＝即一次投篮时投中次数X 的均值为0.6. (2)Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)． 故E (Y )＝5×0.6＝3，即重复5次投篮时投中次数Y 的均值为3.设p 为成功概率，则服从两点分布的离散型随机变量的均值为p ，服从二项分布的离散型随机变量的均值为np .若将题型一中的“无放回”改为“有放回”，并去掉条件“直到取到好电池为止”，求检验5次取到好电池次数X 的均值．解：每次检验取到好电池的概率均为35，故X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35， 则E (X )＝5×35＝3.50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X .(1)求X 的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X 的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？(1)X 的所有可能取值有6,2,1，－2，P (X ＝6)＝126200＝0.63，P (X ＝2)＝50200＝0.25， P (X ＝1)＝20200＝0.1，P(X＝－2)＝4200＝0.02.故X的分布列为(2)E(X)万元)．(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)，依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的均值．交5元钱，可以参加一次抽奖，一袋中装有同样大小的10个球，其中8个标有“1元钱”，2个标有“5元钱”，抽奖者从中任取两个球，他所得的奖金是所抽取的两球上标的钱数之和，求抽奖人获利的均值．解：设X为抽到的两球所标的钱数之和，则X的可能取值如下：X＝2，抽到两个标有“1元钱”的球；X＝6，抽到一个标有“1元钱”的球，一个标有“5元钱”的球；X＝10，抽到两个标有“5元钱”的球．由题意可知P(X＝2)＝C28C210＝2845，P(X＝6)＝C18×C12C210＝1645，P(X＝10)＝C22C210＝145.因此E(X)＝2×2845＋6×1645＋10×145＝16245＝185.若用Y表示抽奖人获利的可能值，则Y＝X－5，故获利的均值E(Y)＝E(X)－5＝185－5＝－75＝－1.4.3.求离散型随机变量的均值(12分)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．求该射手的总得分X 的分布列及均值E (X )．记：“该射手射击甲靶命中”为事件B ， “该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ， “该射手第二次射击乙靶命中”为事件D . 由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23，(2分)根据题意知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.(3分) 根据事件的独立性和互斥性得P (X ＝0)＝P (B C D ) ＝＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136；(4分) P (X ＝1)＝P (B C D )＝P (B )P (C )P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝112；(5分) P (X ＝2)＝P (B C D ＋B C D ) ＝P (B C D )＋P (B C D )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝19；(7分) P (X ＝3)＝P (BC D ＋B C D )＝P (BC D )＋P (B C D )＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13；(8分) P (X ＝4)＝P (B CD )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19；P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13.(10分)故X 的分布列为(11分) 所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋ 4×193＝4112.(12分)利用公式计算应细心，不要出现计算错误.利用公式计算应细心，不要出现计算错误.运动员射击一次所得环数X 的分布列如下：ξ. (1)求ξ的分布列； (2)求ξ的均值．解：(1)ξ的可能取值为7,8,9,10，P (ξ＝7)＝0.04，P (ξ＝8)＝2×0.2×0.3＋0.32＝0.21，P (ξ＝9)＝2×0.2×0.3＋2×0.3×0.3＋0.32＝0.39，P (ξ＝10)＝2×0.2×0.2＋2×0.3×0.2＋2×0.3×0.2＋0.22＝0.36，ξ的分布列为(2)ξ的均值为E (ξ)＝7×0.04＋8×0.21＋9×0.39＋10×0.36＝9.07.1．已知ξ的分布列为则ξ的均值为( )A ．0B ．－1 C.18 D.14解析：选D E (ξ)＝－1×14＋0×38＋1×14＋2×18＝14.2．同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X ，则X 的均值是( )A ．20B ．25C ．30D ．40解析：选B 抛掷一次正好出现3枚反面向上，2枚正面向上的概率为C 2525＝516.所以X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫80，516. 故E (X )＝80×516＝25. 3．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的均值E (ξ)＝8.9，则y 的值为________．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋0.8＋2.7＋10y ＝8.9，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0.6，7x ＋10y ＝5.4，解得y ＝0.4.答案：0.44．设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3，P (X ＝k )＝ak ＋b (k ＝1,2,3)．又X 的均值E (X )＝3，则a ＋b ＝________.解析：∵P (X ＝1)＝a ＋b ，P (X ＝2)＝2a ＋b ，P (X ＝3)＝3a ＋b ，∴E (X )＝1×(a ＋b )＋2×(2a ＋b )＋3×(3a ＋b )＝3， ∴14a ＋6b ＝3.①又∵(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＝1， ∴6a ＋3b ＝1.②∴由①②可知a ＝12，b ＝－23，∴a ＋b ＝－16.答案：－165．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X 表示取得的分数．求：(1)X 的分布列； (2)X 的均值．解：(1)由题意知，X 可能取值为0,1,2,3,4. P (X ＝0)＝C 24C 29＝16，P (X ＝1)＝C 13C 14C 29＝13，P (X ＝2)＝C 14C 12＋C 23C 29＝1136，P (X ＝3)＝C 12C 13C 29＝16， P (X ＝4)＝C 22C 29＝136.故X 的分布列为(2)E (X )＝0×16＋1×3＋2×36＋3×6＋4×36＝9.一、选择题1．若随机变量ξ～B (n,0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值为( ) A ．2×0.44B ．2×0.45C ．3×0.44D ．3×0.64解析：选C 因为ξ～B (n,0.6)，所以E (ξ)＝n ×0.6，故有0.6n ＝3，解得n ＝5.P (ξ＝1)＝C 15×0.6×0.44＝3×0.44.2．设ξ的分布列为又设η＝2ξ＋5，则E A.76 B.176 C.173D.323解析：选D E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝176，所以E (η)＝E (2ξ＋5)＝2E (ξ)＋5＝2×176＋5＝323.3．今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为ξ，则E (ξ)等于( )A ．0.765B ．1.75C ．1.765D ．0.22解析：选B ξ可能的取值为0,1,2，P (ξ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015，P (ξ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.85×(1－0.9)＝0.22，P (ξ＝2)＝0.9×0.85＝0.765，所以E (ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.4．现有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的均值是( )A ．6B ．7.8C ．9D ．12解析：选B 设此人的得奖金额为X ，则X 的所有可能取值为12,9,6.P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，P (X ＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，故E (X )＝7.8. 5．节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后卖不出的鲜花以每束1.6元处理．根据节前的销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X (束)的分布列如下表．若进这种鲜花500束，则期望利润是( )A ．706元B ．690元C ．754元D ．720元解析：选 A 节日期间这种鲜花需求量的均值E (X )＝200×0.20＋300×0.35＋400×0.30＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340，则利润Y ＝5X ＋1.6(500－X )－500×2.5＝3.4X －450，所以E (Y )＝3.4E (X )－450＝3.4×340－450＝706.故期望利润为706元．二、填空题6．(四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是__________．解析：法一：由题意可知每次试验不成功的概率为14，成功的概率为34，在2次试验中成功次数X 的可能取值为0,1,2，则P (X ＝0)＝116，P (X ＝1)＝C 12×14×34＝38，P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916. 所以在2次试验中成功次数X 的分布列为则在2次试验中成功次数E (X )＝0×116＋1×38＋2×916＝32.法二：此试验满足二项分布，其中p ＝34，所以在2次试验中成功次数X 的均值为E (X )＝np ＝2×34＝32.答案：327．已知随机变量ξ的分布列为若η＝a (ξ)＋3，E (η)＝3，则a ＝________.解析：由分布列的性质，得12＋13＋m ＝1，即m ＝16，所以E (ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.则E (η)＝E (a ξ＋3)＝aE (ξ)＋3＝73，即－13a ＋3＝73，得a ＝2.答案：28．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的均值E (X )＝________.解析：因为P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，所以p ＝12.随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112， P (X ＝1)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×2＝13，P (X ＝2)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×2＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝512， P (X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16，所以E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53. 答案：53三、解答题9．A ，B 两个试验方案在某科学试验中成功的概率相同，已知A ，B 两个方案至少一个成功的概率为0.36.(1)求两个方案均获成功的概率；(2)设试验成功的方案的个数为随机变量X ，求X 的分布列及均值．解：(1)设A 方案、B 方案独立进行科学试验成功的概率均为x ，则A ，B 方案在试验中都未能成功的概率为(1－x )2，则1－(1－x )2＝0.36，x ＝0.2，所以两种方案均获成功的概率为0.22＝0.04. (2)试验成功的方案种数X 的分布列为因此随机变量X 的均值E (X )＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.10．某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、平面几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同(见下表)，且每一门课程是否合格相互独立.(1)(2)记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛资格的人数，求ξ的分布列及均值E (ξ)．解：(1)分别记甲对初等代数、平面几何、初等数论、微积分初步这四门课程考试合格为事件A ，B ，C ，D ，且事件A ，B ，C ，D 相互独立，“甲能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为P (ABCD )＋P (ABC D )＋P (AB C D )＝23×34×23×12＋23×34×23×12＋23×34×13×12＝512. (2)由题设知ξ的所有可能取值为0,1,2,3， ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，512，P (ξ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫7123＝3431 728，P (ξ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫512⎝ ⎛⎭⎪⎫7122＝7351 728， P (ξ＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫5122⎝ ⎛⎭⎪⎫712＝5251 728， P (ξ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫5123＝1251 728， ∴ξ的分布列为∵ξ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，512，∴E (ξ)＝3×12＝4.11．盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P .(2)从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1，x 2，x 3，随机变量X 表示x 1，x 2，x 3中的最大数．求X 的概率分布和均值E (X )．解：(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球， 所以P ＝C 24＋C 23＋C 22C 29＝6＋3＋136＝518. (2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X ＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，故P (X ＝4)＝C 44C 49＝1126；{X ＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球或3个黄球和1个其他颜色的球”，故P (X ＝3)＝C 34C 15＋C 33C 16C 49＝20＋6126＝1363. 于是P (X ＝2)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝1－1363－1126＝1114. 所以随机变量X 的概率分布如下表：因此随机变量X 的均值E (X )＝2×1114＋3×1363＋4×1126＝209.。

高中新课标选修（2-3）第二章随机变量及其分布测试题一、选择题1．将一枚均匀骰子掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是（）Ａ．第一次出现的点数Ｂ．第二次出现的点数Ｃ．两次出现点数之和Ｄ．两次出现相同点的种数答案：C2．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么310为（）Ａ．恰有1只坏的概率Ｂ．恰有2只好的概率Ｃ．4只全是好的概率Ｄ．至多2只坏的概率答案：BX表示击中目标的次数，则(2)P X≥等于（）Ａ．81125Ｂ．54125Ｃ．36125Ｄ．27125答案：A4．采用简单随机抽样从个体为6的总体中抽取一个容量为3的样本，则对于总体中指定的个体a，前两次没被抽到，第三次恰好被抽到的概率为（）Ａ．12Ｂ．13Ｃ．15Ｄ．16答案：D5．设~(100.8)X B，，则(21)D X+等于（）答案：Ｃ6．在一次反恐）答案：Ｄ7．设1~24X N⎛⎫-⎪⎝⎭，，则X落在(][)3.50.5---+，，∞∞内的概率是（）Ａ．95.4%Ｂ．99.7%Ｃ．4.6%Ｄ．0.3%答案：Ｄ8．设随机变量X0 1 2 30．1 0．10.2-0.4-答案：Ｃ9．任意确定四个日期，设X表示取到四个日期中星期天的个数，则DX等于（）Ａ．67Ｂ．2449Ｃ．3649Ｄ．4849答案：Ｂ10．有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X表示取出竹签的最大号码，则EX 的值为（ ）Ａ．4 Ｄ．5 答案：Ｂ11．袋子里装有大小相同的黑白两色的手套，黑色手套15支，白色手套10只，现从中随机地取出2只手套，如果2只是同色手套则甲获胜，2只手套颜色不同则乙获胜．试问：甲、乙获胜的机会是（ ）Ａ．甲多 Ｂ．乙多 Ｃ．一样多 Ｄ．不确定 答案：Ｃ，节日期间这种鲜花的需求量X 服从如下表所示的分布：200 300 400 5000．200．350．30 0．15若进这种鲜花500束，则利润的均值为（ ）Ａ．706元 Ｂ．690元 Ｃ．754元 Ｄ．720元答案：Ａ 二、填空题13．事件A B C ，，相互独立，若111()()()688P A B P B C P A B C ===，，····，则()P B = ．答案：1214．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若(4)0.3P X <=，则EX 等于 ． 15．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率P 的取值范围是 ．答案：215⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 16．某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%．下表是过去200例类似项目开发的实施结果． 则该公司一年后估计可获收益的均值是 元． 答案：4760 三、解答题17．掷3枚均匀硬币一次，求正面个数与反面个数之差X 的分布列，并求其均值和方差．解：3X =-，1-，1，3，且1111(3)2228P X =-=⨯⨯=；213113(1)228P X C ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭，213113(1)228P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；1111(3)222P X ==⨯⨯=，1303EX DX ==，∴18．甲、乙两人独立地破译1个密码，他们能译出密码的概率分别为13和14，求（1）恰有1人译出密码的概率；（2）若达到译出密码的概率为99100，至少需要多少乙这样的人． 解：设“甲译出密码”为事件A ；“乙译出密码”为事件B ， 则11()()34P A P B ==，．（1）13215()()343412P P A B P A B =+=⨯+⨯=··．（2）n 个乙这样的人都译不出密码的概率为114n⎛⎫- ⎪⎝⎭．199114100n⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴≥．解得17n ≥．达到译出密码的概率为99100，至少需要17人. 19．生产工艺工程中产品的尺寸偏差2(mm)~(02)X N ，，如果产品的尺寸与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4mm 的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率． 解：由题意2~(02)X N ，，求得(4)(44)0.9544P X P X =-=≤≤≤． 设Y 表示5件产品中合格品个数，则~(50.9544)Y B ，．0.18920.79190.981≈+≈．20．甲、乙、丙三名射击选手，各射击一次，击中目标的概率如下表所示(01)p <<：选手甲乙丙概率若三人各射击一次，恰有k 名选手击中目标的概率记为()0123k P P X k k ===，，，，． (1) 求X 的分布列；（2）若击中目标人数的均值是2，求P 的值．解：（1）201(1)2P p =-；2211111(1)2(1)2222P P p p p =-+-=-+·， 2221112(1)222P p p p p p =-+=-+··，2312P p =， X ∴的分布列为 0123（2）22221111110(1)1232222222EX p p p p p p ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-++⨯-++⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1222p +=∴，34p =∴．21．张华同学上学途中必须经过A B C D ，，，四个交通岗，其中在A B ，岗遇到红灯的概率均为12，在C D ，岗遇到红灯的概率均为13．假设他在4个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，X 表示他遇到红灯的次数．（1）若3x ≥，就会迟到，求张华不迟到的概率；（2）求EX ． 解：（1）2221122111121(3)232336P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭·····； 22111(4)2336P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·．故张华不迟到的概率为29(2)1(3)(4)36P X P X P X =-=-==≤． （2）X 的分布列为123411131150123493366363EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴.22．某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m 处射击，如果命中记3分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m 处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分．已知射手甲在100m 处击中目标的概率为12，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的． （1）求这位射手在三次射击中命中目标的概率； （2）求这位射手在这次射击比赛中得分的均值． 解：记第一、二、三次射击命中目标分别为事件A B C ，，，三次都未击中目标为事件D ，依题意1()2P A =，设在x m 处击中目标的概率为()P x ，则2()k P x x =，且212100k=， 5000k =∴，即25000()P x x =， 250002()1509P B ==∴，250001()2008P C ==，17749()298144P D =⨯⨯=． （1） 由于各次射击都是相互独立的，∴该射手在三次射击中击中目标的概率()()()P P A P AB P A B C =++ (11212195)111229298144⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭···． （2）依题意，设射手甲得分为X ，则1(3)2P X ==， 121(2)299P X ==⨯=，1717(1)298144P X ==⨯⨯=，49(0)144P X ==， 117492558532102914414414448EX =⨯+⨯+⨯+⨯==∴．。

选修第二章一、选择题．(·烟台高二检测)从中任取个不同的数，事件＝“取到的个数之和为偶数”，事件＝“取到的个数均为偶数”，则()＝( )．．．．[答案][解析]()＝＝，()＝＝.由条件概率公式得()＝＝.故选．．一个盒子里有个大小形状相同的小球，其中个红的，个黄的，个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )．．．．[答案][解析]在已知取出的小球不是红球的条件下，问题相当于从黄绿共个小球中任取一个，求它是绿球的概率，∴＝＝.．一个口袋中装有个白球和个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是( )．．．．[答案][解析]设表示第次(＝、)取到白球的事件，因为()＝，()＝×＝，在放回取球的情况下：()＝＝.．(·大连高二检测)一个家庭中有两个小孩，已知其中有一个是女孩，则另一个也是女孩的概率为( )．．．．[答案][解析]有一个是女孩记为事件，另一个是女孩记为事件，则所求概率为()＝＝.．(·辽阳高二检测)在道题中有道数学题和道物理题．如果不放回地依次抽取道题，则在第次抽到数学题的条件下，第次抽到数学题的概率是( )．．．．[答案][解析]设第一次抽到数学题为事件，第二次抽到数学题为事件，由已知()＝，()＝，所以()＝＝.．电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关．某品牌的电视机的显像管开关了次后还能继续使用的概率是，开关了次后还能继续使用的概率是，则已经开关了次的电视机显像管还能继续使用到次的概率是( )．．．．[答案][解析]记“开关了次后还能继续使用”为事件，记“开关了次后还能继续使用”为事件，根据题意，易得()＝，()＝，则(∩)＝，由条件概率的计算方法，可得＝＝＝.二、填空题．甲、乙两地都处于长江下游，根据历史记载，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为与，两地同时下雨的比例为()乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为．()甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为．[答案]() ()[解析]设＝“甲地为雨天”，＝“乙地为雨天”，则()＝＝，()＝＝，()＝＝.()()＝＝＝.()()＝＝＝.．件产品中有件次品，不放回地抽取两次，每次抽件，已知第一次抽出的是次品，则第次抽出正品的概率为[答案][解析]设“第一次抽到次品”为事件，“第二次抽到正品”为事件，则()＝＝，()＝＝，所以()＝＝.．设()＝()＝，()＝，则()等于[答案][解析]∵()＝，∴(∩)＝()·()＝×＝，∴()＝＝＝.三、解答题．一个盒子中有只好晶体管，只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率。

第二章概率§2、1、1离散型随机变量一、预习检测1、一个口袋装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸出一个球，得到白球”这个现象是（）A、必然现象B、随机现象C、不可能发生D、不能确定是哪种现象2、以下四个随机变量中，是离散型随机变量的是（）⑴某电话亭内的一部电话使用的次数X；⑵黄河某水位监测站所测水位记为X；⑶一个数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置X⑷某人射击一次，击中目标的环数记为X；A、⑴⑵⑷ B ⑶⑷ C ⑴⑷ D ⑴⑶3、下列随机变量中不是离散型随机变量的是（）A、从n只编号（0号到n-1号）的球中任取一只，被抽出的球的号码X；B、量一批电阻的阻值在950欧~1050欧之间；C、掷5枚硬币，正面向上的硬币个数；D、电信局在某日内接到电话呼叫次数；4、6件产品在有2件次品，从中任取一件，则下列是随机变量的是（）A、取到产品的个数B、取到正的品个数C、取到正品的概率D、取到次品的概率5、如果随机变量X的所有可能的则称X为离散型随机变量。

6、下列描述正确的是⑴用随机变量所表示的随机试验的结果一定是一个数；⑵用随机变量的取值只能有有限个⑶随机变量的取值只能是自然数⑷随机变量的取值可以是全体实数7、下列随机试验结果可以用离散型随机变量表示的是⑴某篮球运动员在某场比赛中的得分⑵某中学学生的体重⑶一名同学的高考分数8、50件产品中有3件次品，从中任取3件，次品件数的取值集合是二、双基落实1、抛掷的均匀硬币一次，随机变量为（）A、出现正面的次数B、出现正面或反面的次数C、掷硬币的次数D、出现正反面次数之和2、如果抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X=4表示的随机实验结果是（）A、两颗都是4点B、1颗是1点，另一颗是3点C、两颗都是2点D、1颗是1点，另一颗是3点或2颗都是2点3、一个代中装有5个白球和3个红球，从中任取3个，则随机变量为（）A、所取球的个数B、其中含白球的个数C、所取白球和红球的总数D、袋中球的总数4、将一颗均匀骰子掷两次，随机变量为（）A、第一次出现的点数B、第二次出现的点数C、两次出现点数之和D、两次出现相同点的种数5、某人投篮4次，投中次数记为X，则X所有可能取值是6、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数。