第29讲 平面向量的数量积

平面向量的数量积和点积在数学中，向量是用来表示有大小和方向的量的。

而平面向量是指在一个平面内的向量，它由两个实数（或复数）组成。

平面向量的数量积和点积是两个重要的概念，它们在向量运算中起着关键的作用。

一、平面向量的数量积平面向量的数量积，也称为内积或点积，表示了两个向量之间的夹角关系。

设有两个平面向量$\vec{a}=(x_1,y_1)$和$\vec{b}=(x_2,y_2)$，它们的数量积可以用如下公式表示：$$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$$其中，$\cdot$表示数量积的运算符。

从公式中可以看出，数量积的结果是一个标量，即一个实数。

根据数量积的定义，我们可以得到一些重要的性质：1. 交换律：$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$，表示数量积满足交换律，与向量的顺序无关。

2. 分配律：$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c} $，表示数量积满足分配律，可以按照矩阵乘法的性质进行运算。

二、点积与夹角的关系数量积不仅可以表示两个向量之间的夹角关系，还可以通过夹角的余弦值来计算数量积。

根据余弦定理，两个向量$\vec{a}$和$\vec{b}$之间的夹角$\theta$可以用下面的公式表示：$$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$其中，$|\vec{a}|$和$|\vec{b}|$分别表示向量$\vec{a}$和$\vec{b}$的模。

这个公式非常重要，因为它可以帮助我们计算向量的夹角，而不需要直接通过几何图形进行推导。

三、数量积的几何意义数量积还有一个重要的几何意义，它可以帮助我们计算向量之间的投影。

设有向量$\vec{a}$和$\vec{b}$，以及它们之间的夹角$\theta$，那么$\vec{b}$在$\vec{a}$上的投影可以表示为：$$\text{proj}_\vec{a}\vec{b}=|\vec{b}|\cos\theta$$通过数量积的计算，我们可以轻松得到投影的结果。

平面向量数量积公式介绍平面向量是二维空间中具有大小和方向的量。

数量积（又称点积或内积）是平面向量运算的一种形式，用于确定两个向量的相关性以及它们之间的夹角。

数量积公式平面向量数量积公式表示为：A ·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，A和B是平面向量，|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度），θ则表示向量A和B之间的夹角。

公式解释平面向量数量积公式的等式左边A · B表示向量A和B之间的数量积。

数量积可以通过两个向量的模和它们之间的夹角来计算。

公式右边的|A|和|B|分别代表向量A和B的模（长度）。

向量的模可以通过求平方根来得到，即|A| = √(A1^2 + A2^2)和|B| = √(B1^2 + B2^2)，其中A1和A2分别为向量A在x轴和y轴上的分量，B1和B2类似地代表向量B在x轴和y轴上的分量。

公式右边的cos(θ)表示向量A和B之间的夹角的余弦值。

夹角的余弦可以通过向量的数量积和向量模之间的关系来计算，即cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|)。

综上所述，平面向量数量积公式说明了如何通过向量的模和夹角来计算两个向量之间的数量积。

数量积应用平面向量数量积在多个数学和物理应用中都有重要作用，例如：1.计算向量的模：通过平面向量数量积公式，可以计算向量的模。

向量的模用于衡量向量的长度和大小。

2.计算向量之间的夹角：通过平面向量数量积公式，可以计算两个向量之间的夹角。

夹角的大小和方向可以帮助我们理解向量之间的关系。

3.判断向量的正交性：如果两个向量的数量积为零，即A · B = 0，则称这两个向量为正交向量。

正交向量的特点是它们之间的夹角为90度。

4.判断向量的平行性：如果两个向量的夹角为0度或180度，即θ =0或θ = π，则称这两个向量为平行向量。

平行向量的特点是它们之间的数量积等于两个向量的模的乘积。

5.导出向量的投影：通过平面向量数量积公式，可以导出向量在另一个向量上的投影。

平面向量的数量积及其性质平面向量是数学中的一个重要概念，数量积则是描述平面向量之间的一种运算。

本文将介绍平面向量的数量积以及它的性质。

1. 数量积的定义及计算方法数量积，也称为点乘或内积，是两个向量之间的一种运算。

对于平面上的向量A和B，它们的数量积记为A·B，计算方法如下：A·B = |A| |B| cosθ其中，|A|和|B|分别是向量A和B的模，θ是A和B之间的夹角。

2. 数量积的几何意义数量积具有几何意义，它表示一个向量在另一个向量上的投影长度乘以另一个向量的模。

具体来说，如果向量A的方向与向量B的夹角θ为锐角或直角，则A·B大于0；如果θ为钝角，则A·B小于0；如果θ为180度，则A·B等于0。

3. 数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A数量积满足交换律，即向量的数量积与它们的顺序无关。

（2）分配律：(A + B)·C = A·C + B·C数量积满足分配律，即两个向量之和与另一个向量的数量积等于它们分别与该向量的数量积之和。

（3）数量积与夹角的关系：A·B = 0 当且仅当 A 和 B 垂直当两个向量的数量积为0时，它们相互垂直。

（4）数量积与向量模的关系：A·A = |A|^2向量A的数量积等于它的模的平方。

4. 应用举例（1）判断向量的大小关系根据向量的数量积性质，可以通过比较两个向量的数量积来判断它们的大小关系。

若A·B > 0，则表示向量A的模大于向量B的模；若A·B < 0，则表示向量A的模小于向量B的模。

（2）计算向量的夹角利用数量积的定义，可以通过求解方程cosθ = A·B / (|A| |B|)来计算两个向量的夹角θ。

（3）求解平面向量的模根据数量积的性质，可以利用向量的数量积来求解向量的模。

若已知向量A与另一个向量B垂直，且知道A·B的值，那么可以通过方程A·B = |A| |B| cos90° = 0求解出向量A的模。

平面向量的数量积讲义一、知识梳理1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积3.设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0. (3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.特别地，a ·a ＝|a |2或|a |(4)cos θ＝a ·b |a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)；(3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →| (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |.注意：1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.(2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2.二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( ) (5)两个向量的夹角的范围是]2,0[.( )(6)若a·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) 题组二：教材改编2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝________.3．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________． 题组三：易错自纠4．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于________． 5．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________． 6．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋a·c ＝________.三、典型例题题型一：平面向量数量积的运算1．设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →等于( )A ．20 B. 15 C ．9 D ．62.如图，已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A.－58B.18C.14D.118思维升华：平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)利用数量积的几何意义求解．题型二：平面向量数量积的应用 命题点1：求向量的模典例 (1)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A ．13＋6 2 B ．25 C.30D.34(2)已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________． 命题点2：求向量的夹角典例 (1)已知向量a ，b 满足(2a －b )·(a ＋b )＝6，且|a |＝2，|b |＝1，则a 与b 的夹角为______．(2)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 思维升华：(1)求解平面向量模的方法①写出有关向量的坐标，利用公式|a |＝x 2＋y 2即可．②当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a |＝a 2. (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a||b |，注意θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.③解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解．跟踪训练 (1)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.(2)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 题型三：平面向量与三角函数典例 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影． 思维升华：平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．四、反馈练习1．设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |2．已知向量a ，b 满足a·(a －b )＝2，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π2 C.5π6D.2π33．已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则|2a －b |a·(a ＋b )等于( )A ．－53B ．1C ．2D.544．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC →等于( ) A.－32B ．－23C.23D.325．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( ) A.89 B.109 C.259D.2696．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 8．已知向量a ，b 的夹角为3π4，|a |＝2，|b |＝2，则a·(a －2b )＝________.9．已知非零向量a ，b 满足：2a·(2a －b )＝b·(b －2a )，|a －2b |＝3|a |，则a 与b 的夹角为________． 10．已知a ＝(λ，2λ)，b ＝(3λ，2)，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______________． 11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．12．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值．13．已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →方向上的投影为________．14．在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N 为AC 边上的两个动点(M ，N 不与A ，C 重合)，且满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为________．15．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ⊥(a －2b )，(c －2a )·(c －b )＝0，则|c |的最大值与最小值的和为( ) A ．0 B.3 C. 2D.716．已知在△ABC 所在平面内有两点P ，Q ，满足P A →＋PC →＝0，QA →＋QB →＋QC →＝BC →，若|AB →|＝4，|AC →|＝2，S △APQ ＝23，则AB →·AC →的值为______．。

平面向量的数量积平面向量的数量积是向量运算中的一种，它是两个向量之间的一种乘法运算，也称为点积或内积。

在数学中，平面向量通常用有序对 $(x, y)$ 表示，其中 $x$ 和 $y$ 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

平面向量的数量积可以通过两个向量的坐标和一些简单的数学运算来计算。

数量积的定义设有两个平面向量 $\mathbf{a} = (x_1, y_1)$ 和$\mathbf{b} = (x_2, y_2)$，其数量积定义为：$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = x_1 \cdot x_2 + y_1\cdot y_2$$求平面向量的数量积要求两个平面向量的数量积，只需将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加即可。

例如，设有向量 $\mathbf{a} = (2,3)$ 和 $\mathbf{b} = (4, -1)$，我们可以计算它们的数量积：$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) = 8 - 3 = 5$$性质平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b}\cdot \mathbf{a}$2. 结合律：$(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{b} \cdot\mathbf{c}$3. 数量积的分配律：$\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} +\mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$4. 数量积与数乘的结合律：$(k\mathbf{a}) \cdot\mathbf{b} = k (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) =\mathbf{a} \cdot (k\mathbf{b})$应用平面向量的数量积在几何学和物理学中有广泛的应用。

平面向量的数量积平面向量的数量积，也叫点积或内积，是向量运算中的一种重要操作。

它与向量的夹角以及向量的长度有着密切的关系。

在本文中，我们将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方法以及一些应用。

一、概念平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘，并将所得乘积相加而得到的数值。

设有两个平面向量A和A，它们的数量积记作A·A，计算公式为：A·A = AAAA + AAAA其中，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量，AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量。

二、计算方法要计算平面向量的数量积，需要先求出两个向量在A轴和A轴上的分量，然后按照数量积的计算公式进行计算。

假设有两个向量A = (A, A)和A = (A, A)，它们的数量积为A·A，计算步骤如下：1. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；2. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA，分别为A和A；3. 将AA和AA、AA和AA进行相乘得到AA和AA；4. 将AA和AA相加，得到平面向量的数量积A·A。

三、性质平面向量的数量积具有以下性质：1. 交换律：A·A = A·A2. 数乘结合律：(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)3. 分配律：(A + A)·A = A·A + A·A其中，A为任意实数，A、A和A为任意向量。

四、夹角与数量积的关系两个非零向量A和A的数量积A·A与它们夹角A的余弦函数之间存在着如下关系：A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中，‖A‖和‖A‖分别为向量A和A的长度。

五、应用平面向量的数量积在几何和物理学中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用：1. 判断两个向量是否垂直：如果两个向量的数量积为零，即A·A = 0，那么它们是垂直的。

2. 计算向量的模：根据数量积的性质，向量的模可以通过向量与自身的数量积来计算。

平面向量的数量积和向量积在数学中，向量是一种具有大小和方向的量。

平面向量是指在平面内表示的向量。

平面向量具有一些重要的运算，其中包括数量积和向量积。

一、数量积数量积又称为点积或内积，表示为A·B，其中A和B为平面向量。

数量积的定义如下：A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角。

数量积的性质如下：1. 交换律：A·B = B·A2. 分配律：A·(B+C) = A·B + A·C3. 结合律：k(A·B) = (kA)·B = A·(kB)，其中k为常数4. 垂直性质：向量A和向量B垂直，当且仅当A·B = 05. 平行性质：向量A和向量B平行，当且仅当A·B = |A||B|数量积的计算方法：设向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx, By)，则A·B = Ax·Bx + Ay·By。

二、向量积向量积又称为外积或叉积，表示为A×B，其中A和B为平面向量。

向量积的定义如下：A×B = |A||B|sinθn，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模，θ表示A和B之间的夹角，n为垂直于平面的单位向量。

向量积的性质如下：1. 反交换律：A×B = -B×A2. 分配律：A×(B+C) = A×B + A×C3. 结合律：k(A×B) = (kA)×B = A×(kB)，其中k为常数4. 零向量性质：向量A和向量B平行，当且仅当A×B = 05. 平面性质：向量A和向量B所确定的平面与向量A×B垂直向量积的计算方法：设向量A的坐标为(Ax, Ay)，向量B的坐标为(Bx, By)，则A×B = (0, 0, Ax·By - Ay·Bx)。