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指数函数与对数函数的像分析与计算方法指数函数与对数函数是高中数学中常见的两类函数，它们在数学和实际问题中具有广泛的应用。
本文将从像的分析与计算方法两个方面来介绍指数函数与对数函数。
一、指数函数的像分析与计算方法指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的像分析与计算涉及到以下几个方面：1. 大致图象分析指数函数的图象通常表现为一条曲线，通过观察a的值可以初步判断函数的趋势。
当0 < a < 1时，函数递减；当a > 1时，函数递增；当a = 1时，函数为常数函数。
此外，还可以通过对x的取值情况进行分析，如x趋近于正无穷大时，函数趋近于无穷大。
2. 对称中心与零点指数函数的对称中心为x轴上的点(0,1)。
当a > 1时，函数在对称中心的右侧无零点；当0 < a < 1时，函数在对称中心的左侧无零点；当a = 1时，函数在x轴上始终为1。
3. 极值与拐点指数函数没有极值和拐点，因为其图象没有折点。
4. 定义域与值域对于指数函数f(x) = a^x，定义域为实数集(-∞, +∞)，值域为(0, +∞)。
因为指数函数的底数a大于0且不等于1，所以函数的值域也是大于0的实数集。
5. 计算方法为了准确计算指数函数的值，可以利用指数函数的几个特殊性质和性质的扩展。
例如，a^m * a^n = a^(m + n)，即指数相加等于底数不变的乘法运算；a^m / a^n = a^(m - n)，即指数相减等于底数不变的除法运算。
利用这些性质，可以将指数函数的计算转化为底数相同的指数之间的运算。
二、对数函数的像分析与计算方法对数函数的一般形式为f(x) = logₐx，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的像分析与计算涉及到以下几个方面：1. 大致图象分析对数函数的图象通常表现为一条曲线，通过观察a的值可以初步判断函数的趋势。
当0 < a < 1时，函数递减；当a > 1时，函数递增；当a = 1时，函数为常数函数。
如何利用对数函数解决指数问题指数问题是数学中常见的一类问题，而对数函数则是解决指数问题的重要工具。
在本文中，将介绍如何利用对数函数解决指数问题的方法和步骤。
一、对数函数的定义和性质首先，我们需要了解对数函数的基本定义和性质。
对数函数是指数函数的反函数，用于解决指数方程和指数不等式等问题。
对数函数的定义如下：对于任意的正实数a和b(a≠1)，以a为底b的对数记作log_{a}b。
其中，a被称为“底数”，b被称为“真数”，log_{a}{b}被称为“对数”。
对数函数的性质有以下几点：1. log_{a}{1}=0，其中a≠1；2. log_{a}{a}=1，其中a≠1；3. 对于任意的正实数a、b和正整数n，有log_{a}{(b^n)}=nlog_{a}{b}；4. 对于任意的正实数a、b和c，有log_{a}{(bc)}=log_{a}{b}+log_{a}{c}。
二、利用对数函数解决指数问题的方法在解决指数问题时，可以通过以下步骤利用对数函数来简化计算：1. 可以将指数方程转化为对数方程。
例如，对于方程a^x=b，可以将其转化为log_{a}{b}=x，并通过求解对数方程得到x的值。
2. 可以将复杂的指数式化简为对数形式。
例如，对于表达式a^{x+y}，可以利用对数函数的性质将其化简为log_{a}{(a^x*a^y)}=x+y，从而简化计算。
3. 可以利用对数函数的性质将指数式拆分为多个部分进行计算。
例如，对于表达式a^{x-y}，可以将其拆分为a^{x}*a^{-y}，再利用对数函数的性质进行计算。
4. 可以通过对数图解法解决指数问题。
对数图解法是一种通过绘制对数函数的图像来解决指数问题的方法，通过观察图像的特点可以得到问题的解。
三、实例分析下面通过一个具体的实例来说明如何利用对数函数解决指数问题。
例：已知2^x=8，求x的值。
解：将指数方程2^x=8转化为对数方程log_{2}{8}=x。
对数函数简单解析对数函数是数学中的一种常见函数形式。
它与指数函数相对应，可以解决一些与指数函数相关的问题。
本文将对对数函数进行简单解析，介绍其定义、性质和应用。
一、定义对数函数可以用以下方式表示：y = logₐ(x)，其中a为底数，x为实数。
对于对数函数而言，底数必须大于0且不等于1，被取对数的实数必须大于0。
二、性质1. 对数函数与指数函数的反函数关系。
即对于指数函数y = aˣ ，对应的对数函数为y = logₐ(x) ，其中 a 为底数。
2. 对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
3. 对于底数 a 和正实数 x，有以下性质：- 若 a > 1，则对数函数为递增函数，即随着 x 的增大，对数值logₐ(x) 也增大。
- 若 0 < a < 1，则对数函数为递减函数，即随着 x 的增大，对数值logₐ(x) 减小。
- 当 x = a 时，对数函数值为 1。
- 当 x = 1 时，对数函数值为 0。
- 当 x > 1 时，对数函数值为正数。
- 当 0 < x < 1 时，对数函数值为负数。
- 当 x < 0 或 x = 0 时，对数函数无意义。
三、应用对数函数在各个领域都有广泛的应用，以下是其中几个常见的应用场景：1. 对数函数在数学中的应用- 对数函数可以用于求解指数方程。
例如，通过将指数方程转化为对数方程，可以更方便地求解。
- 对数函数可以用于简化复杂的数学运算。
例如，通过将乘法运算转化为对数函数的加法运算，可以简化计算过程。
2. 对数函数在经济学中的应用- 对数函数可以用于描述财富分布的不平等程度。
例如，洛伦兹曲线和基尼系数等概念可以通过对数函数进行建模。
- 对数函数可以用于计算利息。
例如，复利计算中的利率可以通过对数函数来表示。
3. 对数函数在生物学中的应用- 对数函数可以用于衡量物种数量的增长和减少。
例如，人口模型中的对数函数可以描述人口数量随时间的变化趋势。
对数与对数函数精讲精析点点突破热门考点01 对数的概念与性质1. 对数式log a N ＝b 是由指数式a b ＝N 变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N 就是指数式中的幂的值，而对数值b 是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log (－3)9＝2，只有a ＞0且a ≠1，N ＞0时，才有a x ＝N ⇔x ＝log a N . 2. 对数性质在计算中的应用(1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0.(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质． 3. 运用对数恒等式时注意事项(1)对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．【典例1】（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）log 2,log 3m m a b ==,则2a b m +的值为（ ） A ．6 B ．7C ．12D ．18【答案】C 【解析】log 2,log 3m m a b ==，2,3a b m m ∴==2222==()2312a b a b a b m m m m m +=⨯=故选：C【典例2】()52016? 1.2b aa b a b log b log a a b 浙江卷已知＞＞若＋＝，＝，则a ＝ ，b ＝ .【答案】4，2. 【解析】设log ,1b a t t =>则，因为21522t t a b t +=⇒=⇒=，因此22222, 4.b a b b a b b b b b b a =⇒=⇒=⇒==【典例3】对数式log (a －2)(5－a )＝b 中，实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，5) B ．(2,5) C ．(2，＋∞) D ．(2,3)∪(3,5)【错解】A由题意，得5－a >0，∴a <5. 【答案】D【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，a －2>0，a －2≠1，∴2<a <3或3<a <5.故选D.【易错提醒】对数的底数和真数都有范围限制，不能只考虑真数范围而忽视底数的范围．热门考点02 对数的化简、求值1.对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．2.应用换底公式应注意的事项(1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用． 3．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．4．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数． 思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．【典例4】（2020·上海高三专题练习）已知2log (2)log log a a a M N M N -=+，则MN的值为（ ） A ．14B ．4C ．1D ．4或1【答案】B 【解析】因为2log (2)log log a a a M N M N -=+，所以2log (2)log a a M N MN -=（）， 2(2)M N MN -=，2540M MN N-+=（）, 解得=1（舍去），=4，故选B.【典例5】（2019·贵州省织金县第二中学高一期中）计算或化简:5log 3333322log 2log log 85;9-+- 【答案】1-. 【解析】原式=33332log 2(log 32log 9)3log 23--+-，3332log 25log 223log 23=-++-1=-.【规律方法】(1)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．(2)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ＝1log b a ；log a a n ＝n ，log am b n ＝nm log a b ；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果． 【易错提醒】(1)对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误． (2)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．热门考点03 对数函数的图象及应用应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 【典例6】（2020·上海高一课时练习）函数y x a =-与函数log ay x =在同一坐标系的图像只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】当1a >时，对数函数log ay x =为增函数，当1x =时函数y x a =-的值为负.无满足条件的图像.当01a <<时，对数函数log a y x =为减函数，当1x =时函数y x a =-的值为正.C 满足.故选：C【典例7】（2019·四川省眉山第一中学高三月考（文））函数与 在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对于A、B 两图，，而ax2+bx=0的两根为0和，且两根之和为，由图知0＜＜1得-1＜＜0，矛盾，对于C、D两图，0＜＜1，在C 图中两根之和＜-1，即＞1矛盾，C错，D正确．故选：D．【典例8】（2019·江西高三高考模拟（文））已知函数lg,0 ()1lg,0x xf xxx>⎧⎪=⎨⎛⎫-<⎪⎪⎝⎭⎩，若()()f m f m>-，则实数m的取值范围是（）A．(1,0)(1,)-⋃+∞B．(,1)(1,)-∞-+∞C．(1,0)(0,1)-D．(,1)(0,1)-∞-【答案】A【解析】由函数的解析式可得函数为奇函数，绘制函数图像如图所示，则不等式()()f m f m>-即()()f m f m>-，即()0f m>，观察函数图像可得实数m的取值范围是()()1,01,-⋃+∞.故选：A.【总结提升】logay x=的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线1x=的右侧，1a>时，底大图低（靠近x 轴）；01a <<时，底大图高（靠近x 轴）．（2）左右比较（比较图象与1y =的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.【特别提醒】对于对数概念要注意以下两点： (1)在函数的定义中，a >0且a ≠1.(2)在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须为1，真数必须为x ，底数a 必须是大于0且不等于1的常数．热门考点04 对数函数的性质及应用1.对数值log a x 的符号(x >0，a >0且a ≠1)规律：“同正异负”．(1)当0<x <1,0<a <1或x >1，a >1时，log a x >0，即当真数x 和底数a 同大于(或小于)1时，对数log a x >0，即对数值为正数，简称为“同正”；(2)当0<x <1，a >1或x >1,0<a <1时，log a x <0，即当真数x 和底数a 中一个大于1，而另一个小于1时，也就是说真数x 和底数a 的取值范围“相异”时，对数log a x <0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对数的符号简称为“同正异负”．2.比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3)若底数与真数都不同，则常借助1,0,-1等中间量进行比较． 3. 解对数不等式的类型及方法（1）形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．（2）形如log a x ＞b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式． 【典例9】（2018·全国高考真题（理））设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ） A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+【答案】B 【解析】 求出0.2211log0.3,0.3log a b ==，得到11a b+的范围，进而可得结果. 详解：.0.30.3log0.2,2a b log ==0.2211log0.3,0.3log a b ∴== 0.3110.4log a b ∴+= 1101a b ∴<+<,即01a b ab+<<又a 0,b 0><ab 0∴<即ab a b 0<+<故选B.【典例10】（2019·山东高考模拟（文））已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14a f <，则a 的取值范围为（ ） A ．34a >B ．304a <<或43a > C ．304a <<或1a > D ．1a >【答案】C 【解析】 因为1x y e -=与44y x =-都是R 上的增函数，所以1()44x f x x -=+-e 是R 上的增函数，又因为11(1)441f e -=+-=所以()3(log )114af f <=等价于3log 14a <，由1log a a =，知3log log 4aa a <, 当01a <<时，log a y x =在()0,∞+上单调递减，故34a <，从而304a <<；当1a >时，log a y x =在()0,∞+上单调递增，故34a >，从而1a >， 综上所述， a 的取值范围是304a <<或1a >，故选C. 【典例11】27．（2020·上海高三专题练习）函数20.5log (43)y x x =-的定义域为 ．【答案】【解析】由题意可知20431x x <-≤，解得x ∈．【易错提醒】利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．热门考点05 对数函数、指数函数图象和性质的综合运用1. 对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)和指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x 对称．2．复合函数y ＝f [g (x )]及其里层函数μ＝g (x )与外层函数y ＝f (μ)的单调性之间的关系(见下表).函数 单调性 y ＝f (μ) 增函数 增函数 减函数 减函数 μ＝g (x ) 增函数 减函数 增函数 减函数 y ＝f [g (x )]增函数减函数减函数增函数【典例12】（2019·浙江高考真题）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D 选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【典例13】满足()()0f x f x --=，且在0,单调递减，若1479a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1597b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 9c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a <<【答案】C 【解析】()()0()()f x f x f x f x --=∴=-∴()f x 为偶函数.21log 09c =<22211()(log )(log )(log 9)99f c f f f ∴==-=， 22log 9log 42>=，11114459799207977a b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>==>=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2log 9a b ∴>>. ()f x 在0,单调递减，∴()()()2log 9f f a f b <<，即()()()f c f a f b <<.故选：C .【典例14】（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________. 【答案】-3 【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()axf x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e -=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．【典例15】（2020·河北新乐市第一中学高二月考）函数()213()log 23f x x x =-++的单调递增区间是________．【答案】[1,3)或(1)3， 【解析】由题意，令223u x x =-++，由0>u ， 解得13x，即函数()f x 的定义域为(1,3)-又根据二次函数的图象与性质可知，函数223u x x =-++在区间(]1,1-上单调递增， 在区间[1,3)上单调递减，又由函数()12log f x u =为单调递减函数，根据复合函数同增异减可得，函数()f x 的单调递增区间为[1,3).故答案为：[1,3)或(1)3， 【易错提醒】解答对数函数型问题，易忽视函数的定义域而导致错误. 【总结提升】(1)已知某函数是奇函数或偶函数，求其中某参数值时，常用方法有两种： ①由f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )直接列关于参数的方程(组)，解之得结果．②由f (－a )＝f (a )或f (－a )＝－f (a )(其中a 是某具体数)得关于参数的方程(组)，解之得结果，但此时需检验．(2)用定义证明形如y ＝log a f (x )函数的单调性时，应先比较与x 1，x 2对应的两真数间的大小关系，再利用对数函数的单调性，比较出两函数值之间的大小关系．巩固提升1.（2019·北京高考真题（文））下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是( ) A.B.y =C.D.【答案】A 【解析】 函数，在区间 上单调递减，函数在区间上单调递增，故选A .2．已知a ，b 均为不等于1的正数，且满足lg lg 0a b +=，则函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】lg lg 0a b +=，1ab ∴=，即1b a=， 1()log log a ag x x x ∴=-=，∴()f x 与()g x 互为反函数，图象关于y x =对称.故选B.3．（2010·全国高考真题（文））已知函数()lg f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则+a b 的取值范围是 （ ） A ．(1,)+∞ B ．[1,)+∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞【答案】C 【解析】因为函数()lg f x x =，且由()()lg lg 1f a f b a b ab =⇔-=⇔=，（假设a<b ，）因此a+b 2ab ≥=2,但是等号取不到，因此选C4．（2018·全国高考真题（文））下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是( ) A ．ln(1)y x =- B ．ln(2)y x =- C ．ln(1)y x =+ D ．ln(2)y x =+【答案】B 【解析】函数y lnx =过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有()y ln 2x =-过此点. 故选项B 正确5．（2020·内蒙古自治区高三二模（文））已知函数()log a y x b =-的大致图象如下图，则幂函数ba y x =在第一象限的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由()log a y x b =-的图象可知，1log (1)0log (2)0a a a b b >⎧⎪-<⎨⎪->⎩，所以101121a b b >⎧⎪<-<⎨⎪->⎩，得1a >，01b <<，所以01ba<<，所以幂函数b a y x =在第一象限的图象可能为B . 故选：B.6．（2020·北京高三二模）已知函数f （x ）=log a x +b 的图象如图所示，那么函数g （x ）=a x +b 的图象可能为( )A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】结合已知函数的图象可知，(1)1f b =<-,1a >，则()g x 递增，且(0)10g b =+<，故D 符合题意. 故选：D.7．（2019·河北高三月考（理））已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（ ）A.43- B.2332 C.34D.38-【答案】A 【解析】由题意()(4)f x f x =+，故函数()f x 是周期为4的函数，由23log 124<<，则21log 1240-<-<，即204log 121<-<， 又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()2244log 12222log 1224log 12log 1244log 12223f f f -=-=--=-=-=-，故选：A.8．（2020·浙江省浙江邵外高二期中）函数()2log f x x =的定义域是（ ） A ．(]0,2 B ．[)0,2C ．[0，2]D ．（2，2）【答案】A 【解析】 由题意可得，020x x >⎧⎨-≥⎩,解得02x <≤.所以函数的定义域为(]0,2， 故选：A9.（2019·北京高考真题（文））在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A ．1010.1 B ．10.1C ．lg10.1D ．10–10.1【答案】A 【解析】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -=,令211.45,26.7m m =-=-, ()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==. 故选：A.10.（2019·天津高考真题（文））已知，，，则的大小关系为（ ）A. B. C.D.【答案】A 【解析】； ；.故. 故选A.11.（2018·天津高考真题（文））已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，13111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即01b <<， 133317552log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 12.（2018·上海市大同中学高一期末）函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则实数a 的取值范围是______． 【答案】()1,2 【解析】函数()()log 2a f x ax =-，所以真数位置上的20ax ->在[]0,1x ∈上恒成立， 由一次函数保号性可知，2a <，当01a <<时，外层函数log a y t =为减函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为增函数， 所以0a ->，即0a <，所以a ∈∅， 当1a >时，外层函数log a y t =为增函数，要使()()log 2a f x ax =-为减函数，则2t ax =-为减函数， 所以0a -<，即0a >，所以1a >， 综上可得a 的范围为()1,2. 故答案为：()1,2.13.（2019·上海市高桥中学高一期末）式子()2log 3y x =-的定义域为_________. 【答案】(),3-∞ 【解析】要使函数表达式有意义，需满足：30x -＞，即：x <3，∴()2log 3y x =-的定义域为(),3-∞ 故答案为：(),3-∞14.函数log ()a y x k =+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()0,0，则函数1log ()ay x k =-的图象恒过点______. 【答案】(2,0)【解析】由题意，得log 0a k =，1k ∴=，11log ()log (1)aay x k x ∴=-=-的图象恒过点(2,0)．故答案为：(2,0)15.（2019·上海市行知中学高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2xf x =，则()4log 9f 的值为______. 【答案】13- 【解析】224222log 9log 3log 3log 10==>=，由题意得()221log log 3321log 3223f --===， 由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数， 因此，()()()4221log 9log 3log 33f f f ==--=-. 故答案为：13-.16．（2020·河北新乐市第一中学高二月考）已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()13log 2f x x =．（1）求当0x <时，函数()f x 的表达式； （2）解不等式()3f x ≤．【答案】（1）()()1313log 20log 20x x f x x x >⎧⎪=⎨--<⎪⎩，，（2）27{02x x -≤<或1}54x ≥ 【解析】（1）解：函数()f x 为奇函数， 当0x >时，()13log 2f x x =，所以，当0x <时，0x >-，()()()()1133log 2log 2f x f x x x =--=--=--，所以()()1313log 20log 20x x f x x x >⎧⎪=⎨--<⎪⎩，，，（2）解：由题意：当0x >时有13log 23x ≤，解得154x ≥；当0x <时有()13log 23x --≤，即()13log 23x -≥-，解得2702x -≤<；综上，原不等式的解集为27{02x x -≤<或1}54x ≥。
高一数学对数函数题型及解题技巧
随着高一数学的学习深入，对数函数也成为了学习的重点内容之一。
下面我们来了解一下对数函数的题型和解题技巧。
一、对数函数的定义和性质
对数函数是指形如y=loga(x)的函数，其中a称为底数，x称为真数，y称为对数。
对数函数有以下性质：
1. 底数a必须大于0且不等于1.
2. 若a>1，则y随着x的增大而增大；若0<a<1，则y随着x的增大而减小。
3. 对于任何正数x，loga(a^x)=x，a^loga(x)=x。
二、对数函数的题型及解题技巧
1. 求解对数方程
对数方程通常形如loga(x)=b，其解法为将等式两边用底数a进行指数运算，得到x=a^b。
2. 求解不等式
求解不等式的关键是找到等式左右两边的交点。
对于对数函数的不等式，需要注意底数的大小关系。
3. 求解复合函数
复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，形如
f(x)=g(loga(x))。
解题时需要根据函数的定义和性质进行推导。
4. 求解导数和极值
对数函数的导数可以通过链式法则求解，即f'(x)=g'(u)*u'(x)，
其中g(u)=loga(u)，u(x)为x的函数。
极值的求解需要将导数等于0，并根据函数的定义和性质进行判断。
总之，对数函数的掌握需要不断的练习和思考，希望以上内容对你有所启发。
标题：LOG模式：深入解析与应用导语：在计算机科学领域，LOG模式是一种常见且重要的概念，被广泛应用于软件开发、数据分析和系统管理等领域。
本文将详细解释LOG模式的定义、特点以及实际应用，并展示其在不同领域中的重要性。
一、定义：LOG模式（Logarithmic pattern）是指一种具有对数增长或减少特征的模式。
在计算机科学中，LOG模式通常指的是在连续时间间隔内，某个变量的取值按照对数函数的方式进行增长或减少。
二、特点：1. 对数增长/减少：LOG模式的最显著特征是变量的取值按照对数函数进行增长或减少。
这意味着变量的增长速度随着其当前值的增加而减缓，或者随着当前值的减少而加速。
2. 渐进性：LOG模式可以持续延伸，即使在值非常大或非常小的情况下仍然有效。
这使得LOG模式在处理大规模数据、高负载系统或者极端情况下具备优势。
3. 反应真实情况：LOG模式在某些应用场景中能更准确地反映真实情况。
例如，在测量地震、病例增长率等方面，LOG模式可以更好地表示事件的实际发展情况。
三、应用场景：1. 算法分析：LOG模式在算法分析中具有重要意义。
通过研究算法的LOG复杂度，可以更好地理解算法在不同输入规模下的性能表现，并进行合理的优化。
2. 数据分析：LOG模式在数据分析领域中广泛应用。
例如，在处理大规模数据集时，采用LOG模式可以更好地管理和分析数据，提高效率和准确性。
3. 系统管理：LOG模式在系统管理中也发挥着重要作用。
例如，在监控系统性能时，采用LOG模式可以更好地捕捉异常情况，并进行相应的调整和优化。
四、LOG模式的重要性：LOG模式作为一种重要的数学模式，在计算机科学领域具有广泛的应用。
它不仅可以帮助我们更好地理解和分析数据，还可以指导我们设计和优化系统，提高性能和效率。
同时，对于算法分析、数据分析和系统管理等专业人士来说，理解和应用LOG模式也是提高工作效率和解决问题的关键。
总结：LOG模式作为一种具有对数增长/减少特征的模式，在计算机科学领域扮演着重要角色。
高中数学对数函数的图像与性质分析对数函数是高中数学中的重要内容之一，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将从图像和性质两个方面对对数函数进行详细的分析，以帮助高中学生更好地理解和掌握对数函数。
一、对数函数的图像对数函数的图像是一条曲线，具有一些特殊的性质。
我们以y=logx为例进行分析。
1. 定义域和值域对数函数的定义域为x>0，值域为R（实数集）。
这意味着对数函数的自变量必须大于0，并且函数值可以是任意实数。
2. 对数函数的基本性质对数函数的图像在直角坐标系中呈现出一些特殊的性质：- 当x=1时，对数函数的值为0，即log1=0。
这是因为任何数的0次幂都等于1，所以log1=0。
- 当x>1时，对数函数的值为正数。
这是因为对数函数是指数函数的反函数，指数函数在x>1时是递增的，所以对数函数在这个区间内是递增的。
- 当0<x<1时，对数函数的值为负数。
这是因为对数函数是指数函数的反函数，指数函数在0<x<1时是递减的，所以对数函数在这个区间内是递减的。
3. 对数函数的图像特点对数函数的图像呈现出以下特点：- 对数函数的图像在y轴上有一个渐近线y=0，即对数函数的值趋近于无穷小时，其自变量趋近于0。
- 对数函数的图像关于直线y=x对称，即对数函数的自变量和函数值互换后，图像不变。
- 对数函数的图像在x轴上有一个特殊点(1,0)，即对数函数的自变量为1时，函数值为0。
- 对数函数的图像在x>1时递增，在0<x<1时递减。
二、对数函数的性质对数函数具有一些特殊的性质，我们以解决实际问题的方式来说明。
1. 对数函数的应用举例对数函数在实际问题中有广泛的应用，例如：- pH值的计算：pH=-log[H+]，其中[H+]表示溶液中的氢离子浓度。
通过对数函数的计算，我们可以得到溶液的酸碱性。
- 放射性元素的衰变：放射性元素的衰变速率可以用对数函数来描述。
第13讲：对数函数一、课程标准1、通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，理解对数函数的概念。
2、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象。
3、探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
4、知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a＞0，a≠1)。
二、基础知识回顾1、对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质2、反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数的图象与底数大小的比较3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．三、自主热身、归纳总结1、函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为(B ) A . ⎝⎛⎭⎫－∞，32 B . ⎝⎛⎦⎤－∞，32C . ⎝⎛⎭⎫32，＋∞D . ⎣⎡⎭⎫32，＋∞【答案】B【解析】 由题意可得－x 2＋22>0，即－x 2＋22∈(0，22]，得所求函数值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32.故选B .2、若log a 2＜log b 2＜0，则下列结论正确的是(B ) A . 0＜a ＜b ＜1 B . 0＜b ＜a ＜1 C . a ＞b ＞1 D . b ＞a ＞1 【答案】B【解析】(方法1)由log a 2＜log b 2＜0，得 0＜a 、b ＜1，且1log 2a <1log 2b ，即log 2b －log 2a log 2a·log 2b <0. 又log 2a ＜0，log 2b ＜0，得log 2a·log 2b ＞0， 从而log 2b －log 2a ＜0，即log 2b ＜log 2a. 又函数y ＝log 2x 是增函数，从而b ＜a.故选B .(方法2)在同一直角坐标系xOy 中作出满足条件的函数 y ＝log a x 与y ＝log b x 的图像，如图所示．B 正确，故选B .3、函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ）A ．(,1)-∞-B ．3(,)2-∞-C ．3(,)2+∞D ．(4,)+∞【答案】A【解析】函数()()22log 34f x x x =--,所以 2340(4)(1)04x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-，所以函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，234y x x =--当3(,)2-∞时，函数是单调递减，而1x <-，所以函数()()22log 34f x x x =--的单调减区间为(),1-∞-，故本题选A 。
高考数学中的对数函数解析技巧在高考数学中，对数函数是一种非常重要且常见的函数类型，其解析技巧对于高考数学的学习和考试都有着至关重要的作用。
本文将从对数函数的定义、性质、解析技巧等多个方面来探讨高考数学中对数函数的解析技巧，希望对广大高中学生有所帮助。
一、对数函数的定义对数函数，又称为对数曲线，是指y=loga(x)形式的函数。
在此函数中，a是底数，x是自变量，y是因变量。
其中，a为正实数，且a≠1.该函数有一个比较重要的性质：当底数为e时，即 y =ln(x) ，则称为自然对数函数。
二、对数函数的性质1. 定义域和值域对数函数的定义域为(0,+∞)，值域为(-∞,+∞)。
2. 对数函数的基本关系对数函数中最常用的关系是换底公式，即loga(b) =logc(b)/logc(a)。
换底公式可以方便地将不同底数的对数转化为同一个底数的对数，从而进行运算。
3. 对数函数的几何意义对数函数y=loga(x)的图像在对数坐标系中为一条直线，其斜率为1/loga(e)。
直线在第一象限内单调递增，一阶导数f'(x) =1/(x*loga(e))，即其为单调递增的函数。
该函数可以解决乘除，幂运算等复杂无法用加减乘除及简单函数表示的问题，因此在很多实际问题中也被广泛地应用。
三、对数函数的解析技巧1. 转化为指数形式如果一个问题中给出的是对数形式，可以将其转化为指数形式来更好地理解并解决问题。
例如：log2(8)=3，可以转化为2的几次方等于8，即2^3=8。
2. 应用对数函数的性质对数函数具有多种性质，例如换底公式、对数的积等于幂、对数的商等于差等。
将这些性质应用到问题中可以简化计算，加快解题速度。
3. 求函数值对于给定的自变量x，可以通过对数函数的定义求出其对应的因变量y，即函数值。
例如：若y=log2(x)，求x=32时的y值，可知当x=32时，y=log2(32)=5。
4. 拆分式子对数函数有时会出现复杂的式子，而在解题时可以使用拆分式子的方法来化简。
对数函数考点分析及经典例题讲解1． 对数函数的定义：函数 x y log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域是 (0,)+∞a 的取值 0＜a ＜1a ＞1定义域(0,)+∞图 象图像特征在y 轴的右侧，过定点（1，0）即x =1时，y =0当x>0且x →0时,图象趋近于 y 轴正半轴. 当x>0且x →0时，图象趋近于 y 轴负半轴.值域 R性 质 过定点（1，0），在（0，+∞）上是减函数在（0，+∞）上是增函数 函数值的变化规律当0<x<1时，y ∈(0,+∞)当x=1 时，y=0; 当x>1 时, y<0.当0<x<1时，y<0; 当x=1时， y=0 ; 当x>1时， y>0 .3.对数函数y=log a x(a>0,且a ≠1)与指数函数y=a x(a>0,且a ≠1)互为反函数 .它们的图象关于x y =对称.案例分析： 考点一、比较大小例1、比较下列各组数中两个值的大小：（1）log 23.4，log 23.8； （2）log 0.51.8，log 0.52.1；（3）log a 5.1，log a 5.9； （4）log 75，log 67.(5)； (6)6log ,7log 768.0log ,log 23π变式训练：1、已知函数x y 2log =，则当1>x 时，∈y ；当10<<x 时，∈y .考点二、求定义域例2、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-； （2）log ay =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）y =例3、选择题：若03log 3log <<n m 则m 、n 满足的条件是（ ）A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<m<n<1D 、0<n<m<1例4 、函数)352(log 221++-=x x y 在什么区间上是增函数？在什么区间上是减函数？1、函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增 2、方程)13lg()3lg(222+-=x x 的解集是 ．3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1x ≤0log 2x x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．4、若0<)12(log )1(log 22-<+a a ，则实数a 的取值范围是 .5、方程()lg 3x +-()lg 3x -＝()lg 1x -的解是 ．考点三、求值域例1、（1）、12);4x -(-x log y 221+=（2）、3);-2x -(x log y 221=（3）y=log a (a-a x)(a>1).1、求下列函数的定义域、值域：⑴ ⑵⑶⑷41212-=--x y )52(log 22++=x x y )54(log 231++-=x x y )(log 2x x y a --=)10(<<a2、求函数y ＝log 2(x 2－6x ＋5)的定义域和值域．3、已知x 满足条件09log 9)(log 221221≤++x x ，求函数)4(log )3(log )(22xx x f ⋅=的最大值．4、已知)23lg(lg )23lg(2++=-x x x ，求222log x 的值。
