5.2(2)任意角的三角比

课题 第五章 三角比 §5.2 任意角的三角比 课时：1教者：浦东新区新场中学 刘彦 设计背景：从锐角三角比引入任意角的三角比，指出两者之间的联系与区别。

后者是前者的推广与延伸，既有相同之处，又有一定的区别。

教学实施： 一 教学目标知识与技能 掌握任意角三角比的计算公式，体会类比及数形结合思想，提高分析研究解决问题的能力。

过程与方法 从特殊到一般的研究方法，类比的方法以及从已知到未知的知识建构。

态度与情感 培养学生研究以及探究的欲望和严谨的学习态度。

二 教学重点 任意角的六个三角比的定义和三角比的符号。

教学难点 坐标系下用坐标比定义三角比的合理性的理解。

三 实施过程 1、新课引入：锐角三角比：弧度制实现了角的实数化，任意角实现了角到任意实数。

今天我们要学任意角的三角比，这与什么知识有联系？锐角的三角比。

QPOsin cos tan cot y r xr yx xyαααα====提问：如果延长斜边，然后换一个点，比值有没有变化？相似的思想。

因此锐角的三角比可以通过终边上的点的坐标来表示。

类似地我们可以得到任意角三角比的定义。

2新课讲授（1）任意角三角比：αsin (cos ()tan (,)2cot (,)sec (,)2csc (,)y r xR r y k k Z x xk k Z y r k k Z x rk k Z yαααααπααπααππααπααπ==∈=≠+∈=≠∈=≠+∈=≠∈取一切角，可得0OP r ==>引导学生得出以下结论：(1)、三角比可能为负值（为三角函数打下基础，函数值可能为负值）(2)、α取值范围（三角函数自变量的定义域）提问：是不是任意角都有三角比？三角比都有意义？看什么？看它的分母！(3)、角α的三角比与点P 在终边的位置 关。

(4)、,,x y r （任意两个量做比值）符号由x,y 决定。

（2）、例题讲解与训练：例1：已知角α终边上一点(2,1)P -，求角α的六个三角比。

视频1：在直角坐标系中角的终边上任意一点的坐标来定义任意角的三角比。

设(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），则P 点到坐标原点O 的距离为r OP ==，定义:①正弦：sin α=；②余弦：cos α=；③正切：tan α=； ④余割：csc α=；⑤正割：sec α=；⑥余切：cot α=；Note ：①任意角的三角比仅与角的终边位置有关，而与终边上所取点P 的位置 。

②当角α的终边落在y 轴时，(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），此时x =，则cos α=，且tan α与sec α ；③当角α的终边落在x 轴时，(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），此时y =，则sin α=，且 与 无意义；④角α的终边无论落在什么位置，(),P x y 是角α终边上的任意一点（不重合于角的顶点），此时0r =>，故sin α与cos α总是存在的。

⑤22sin cos αα+=练习：已知角α的终边上一点()12,5P -，求角α的六个三角比的值。

6分钟视频2：正弦函数在第一象限为 ，第二象限为 ，第三象限为 ，第四象限为 ； 余弦函数在第一象限为 ，第二象限为 ，第三象限为 ，第四象限为 ； 正切函数在第一象限为 ，第二象限为 ，第三象限为 ，第四象限为 。

练习：确定下列三角函数值的符号。

①cos 250︒；②sin 4π⎛⎫-⎪⎝⎭；③()tan 672︒-；④tan 3π 5分钟视频3：练习：根据下列条件确定角θ属于哪个象限： ①sin cos 0θθ>；②sin 0θ<且tan 0θ> 2分钟视频4：从开始--------05:27结束（将开头删掉）。

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(),P x y ，那么 ①正弦：sin α=；②余弦：cos α=；③正切：tan α=； ④余割：csc α=；⑤正割：sec α=；⑥余切：cot α=；Note1：常见的三角函数的定义域与值域①正弦函数sin y x =，定义域为 ，值域为 。

5.2课题：任意角的三角比（2）教案教学目的：1、掌握三角比在各个象限的符号规律以及诱导公式一。

2、会用三角比的定义得到公式一，并能用公式一将任意角的正弦、余弦、正切的三角比分别转化为0°到360°的角的同一三角比。

教学重点：利用三角比的定义得出：三角比在各象限的符号特点及公式一。

教学过程：（一）、引入一、任意角三角比的定义：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x ,y )，P 与原点的距离22y x r +=，则sin α=ry ，cos α=r x ，tan α=x y ，cot α=y x , sec α=x r , sec α=x r 二、三角比的值的号是有什么元素确定的？由三角比的定义知道：三角比的值的符号是有角α的终边确定的。

（二）、新课一、三角比在各象限的符号的确定由三角比的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以得知三角比的值在各象限的符号：y x x r y r xr x r y ======ααααααcot sec csc tan cos sin二、诱导公式一因为角的三角比值是由α的终边位置决定的，所以所有终边相同的角的三角比值是相同的。

诱导公式一：)Z (tan )2tan()Z (cos )2cos()Z (sin )2sin(∈=+∈=+∈=+k k k k k k ααπααπααπ)(cot )2cot(Z k k ∈=+ααπ三、典型例题（3个，基础的或中等难度）例1、确定下列三角比的符号：311tan )4( )672tan()3( )4sin()2( 250cos )1(00ππ-- 解：(1)∵250°角属于第三象限角, ∴cos250°<0(2) ∵4π-角属于第四象限角, ∴ )4sin(π-<0(3) ∵.48tan )360248tan( )672tan(0000=⨯-=-而48°角属于第一象限角,∴)672tan(0->0(4) ∵),3tan()34tan(311tan ππππ-=-=3π-角属于第四象限角，0)3tan(<-π∴311tan π<0例2、求下列三角比：)611tan((2) ;49cos )(1 ππ- （3）sin1485° 解：2241cos )412cos(49cos )(1==+=ππππ。

5.2三角比定义：设角α是一个任意角，将角α角α的顶点与原点O 重合，α的始边与x 在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）, 有点P 到原点的距离 2222+=+=y x yx r 则我们规定：sin ,cos ,()y xR r rααα==∈tan ,(,)2y k k Z x πααπ=≠+∈ ；cot (x y αα=sec ,(,)2r k k Z x πααπ=≠+∈ csc (,)r k k Z yααπ=≠∈。

诱导公式：第一组（2k πα+）：sin(2)sin k παα+=， cos(2)cos k παα+=，tan(2)tan k παα+=；【典型例题】 ［例1］(1)设(,)63ππθ∈，且17θ的终边与θ角的终边相同，则tan θ＝____(2)如果θ是第一象限角，那么①sin02θ>,②tan12θ<,③sincos22θθ>,④sincos22θθ<中恒成立的有_____个。

(3) .若tan α＝3，则ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-=_______(4)已知扇形的半径为10㎝，圆心角为120°，则扇形的弧长为 ；面积为 ． (5)已知04sin(540),cos(270)5αα+=--=则 ． ［例2］若tan α=1）sin cos cos sin αααα+-的值；（2）222sin sin cos cos αααα-+的值．［例3］若1sin cos ,,,cos sin 842ππθθθθθ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭求的值．［例4］已知sin()cos(2)tan(3)2()tan()sin()2f παπααπαππαα---+=++．（1） 化简()f α；（2） 若α是第三象限的角，且31cos()25πα-=，求()f α的值； （3） 若01860α=-，求()f α的值．1cos(6360300)cos602=--⨯+=-=-【练习】1．34sin ,cos ,255θθθ=-=若则角的终边在第_______象限 ２．已知sin 1,cos 43k k θθ=-=-，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是______. ３．已知1sin 1cos ,cos 2sin 1x xx x +=--那么=_________ ４．设θ是第三象限角，且coscos ,222θθθ=-则是第_______象限的角５．函数()f x 满足14(cos )(0),(sin )23f x x x f ππ=≤≤=则 ． ６．若角α和β的终边关于直线0x y +=对称，且3πα=-，则β角的集合是 ；７．已知 211tan ,32sin cos cos αααα=-=+则．８．已知角θ的终边经过点P ()(0),sin m m θ≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值．９．已知：α是三角形的内角，若1sin cos ,tan 5ααα+=求的值．10．已知关于x 的方程4x 2－2(m +1)x +m =0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m 的值．【课后巩固】１．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是第_______象限２．y =|sin |cos |tan |sin |cos |tan x x x x x x++的值域是________３．若f (cos x )=cos2x ，则f (sin15°)=________４．计算 7231113sin cos()tan()cos 3643ππππ-+-= ． 答：54提示：利用诱导公式 ５．已知角α的终边上一点Ｐ与点Ａ(3,2)-关于ｙ轴对称，角β的终边上一点Ｑ与点Ａ关于原点对称，那么sin sin αβ+的值等于 ．６．已知sin （3π＋θ）＝41，求)cos()cos()2cos()2cos(]1)[cos(cos )cos(θθππθπθθπθθπ-+++-+-++的值．７．如果角α的终边经过点M （1，3），试写出角α的集合A ，并求集合A 中最大的负角和绝对值最小的角.８．已知tan α是方程2210cos x x α+⋅+=的两个根中较小的根，求α的值．参考答案：例1：（1）答：1 提示: 与α角终边相同的角的集合是 }{2,k k Z ββπα=+∈ （2）答：1 提示:利用三角函数线知②总成立.（3）答：75提示:用公式sin tan cos ααα=（4）答：203π㎝ , 1003π㎝2提示:利用弧长公式l r α=及扇形面积公式12S lr =,注意圆心角的单位化为弧度 （5）答：45-提示：利用诱导公式 例2：解（1）cos sin 1tan 3cos sin 1tan αααααα++===----（2）原式2222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++==例3：解：222(cos sin )cos sin 2sin cos θθθθθθ-=+-13144=-=,,cos sin 42cos sin 2ππθθθθθ⎛⎫∈∴< ⎪⎝⎭∴-=-例4、解：（1）cos cos (tan )()cos tan cos f ααααααα-==-（2）3cos()sin 2παα-=-1sin ,5αα∴=-又是第三象限的角()f αα∴===cos （3）0186********α=-=-⨯+ 0()(1860)cos(1860)f f α∴=-=-- 练习：1、答：四. 提示；由24sin 22sin cos 0,25θθθ==-< 227cos 2cos sin 025θθθ=-=>，可得 2、答：85k =. 提示：由22sin 0,cos 0sin cos 1θθθθ><+=及可得． 3、答：12. 提示：221sin sin 1sin 11cos cos cos x x x x x x +--⋅==- 4、答：二. 提示：由设θ是第三象限角知2θ是第二、四象限角，再由cos 02θ≤可得 5、答：512π 提示：455sin sin()cos3266ππππ=+= 6、答：2,6k k Z πββπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭提示：由对称性知，β角的终边与6π-的终边相同7、答：103提示：将分子１写成 221sin cos αα=+ 然后用弦化切可得 8、解：由题意，得0,4r m m ==≠∴=故角θ是第二或第三象限角．当m =,r =P的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======当m =,r =P的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======9、解；由22sin cos 11sin cos 5αααα⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 或3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(0,),sin 0απα∈∴> 所以 4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以 sin 4tan cos 3ααα==-10、解：设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则可得α+β=2π， ∴cos α=sin β∵方程4x 2－2(m +1)x +m =0中，Δ=4（m +1)2－4·4m =4(m －1)2≥0 ∴当m ∈R ，方程恒有两实根.又∵cos α+cos β=sin β+cos β=21+m ，cos α·cos β=sin βcos β=4m∴由以上两式及sin 2β+cos 2β=1，得1+2·4m =(21+m )2解得m =±3当m =3时，cos α+cos β=213+＞0，cos α·cos β=43＞0，满足题意， 当m =－3时，cos α+cos β=231-＜0，这与α、β是锐角矛盾，应舍去. 综上，m =3 课后巩固：1、答：四. 提示：cos 0,sin 22sin cos 0θθθθ>=<且可得2、答：{－1,3} 提示：讨论角ｘ在四个象限的情况3、答：－23 提示：00sin15cos75= 4、答：sin2+cos2.提示：2212sin(2)cos(2)sin 2cos 22sin 2cos 2ππ-++=++2(sin 2cos 2)=+及sin 2cos20+>可得5、答：０ 提示：由题设条件求出点Ｐ、点Ｑ的坐标，从而依正弦函数的定义求sin α、sin β6、解： sin （3π＋θ）＝－sin θ， ∴sin θ＝－41原式＝θθθθθθθcos )cos (cos cos )1cos (cos cos +-+---＝θθcos 11cos 11-++ ＝θθ22sin 2cos 12=-＝32 7、解：在0°到360°范围内，由几何方法可求得α=60°.∴A ={α|α=60°+k ·360°，k ∈Z }其中最大的负角为－300°（当k =－1时） 绝对值最小的角为60°（当k =0时）8、 解：由题意知：22tan tan 10cos ααα+⋅+=，解得1sin 2α=-，故cos 2α=±01 当cos α=240x ++=，解之得12x x ==故tan α=，所以2,3k k Z παπ=+∈02当cos α=240x -+=，解之得12x x ==故tan α=，所以,6k k Z παπ=+∈。

任意角的三角比教案
三角比是指三角形中各边的比值，通常包括正弦、余弦和正切。

在教学这个概念时，可以从以下几个角度进行教案设计：
1. 概念介绍，首先，要介绍三角形的基本概念，包括顶点、边、角度等，并引入三角比的概念。

可以通过图示和实际示例来让学生
直观理解三角比的含义和作用。

2. 正弦、余弦和正切的定义，分别介绍正弦、余弦和正切的定义，以及它们在直角三角形和任意角三角形中的计算方法。

可以通
过几何图形和实际问题来说明三角比的定义和计算方法。

3. 三角比的性质，介绍三角比的基本性质，如正弦、余弦和正
切的周期性、奇偶性等，以及它们之间的关系。

通过数学推导和实
例演示来让学生理解三角比的性质。

4. 三角比的应用，介绍三角比在实际生活和工程中的应用，如
测量高度、距离、角度等。

可以通过实际案例和问题让学生体会三
角比在实际中的重要性和作用。

5. 综合练习，设计一些综合性的练习题，包括计算三角比、证明三角比的性质、解决实际问题等，以帮助学生巩固所学的知识和技能。

在教学过程中，可以结合多媒体教学、小组讨论、实验演示等多种教学方法，让学生在实践中感受三角比的奥妙，提高他们的学习兴趣和能力。

同时，教师应该注重引导学生思考，培养他们的数学思维和解决问题的能力，使他们能够灵活运用三角比解决实际问题。

第五章 三角比5.1 任意角及其度量1．把下列各角的度数化为弧度数：（1）70︒． （2）-135︒． （3）315︒． （4）1235︒．． 解：（1）7π18．（2）3π4-．（3）7π4．（4）247π360．2．把下列各角的弧度数化成度数： （1）4π3-． （2）-3． （3）π15．解：（1）240-︒． （2）1719-︒．． （3）12︒． 3．设集合{A =|αα为锐角}，B ={|αα为第一象限角}，{|C αα=为小于90︒的角}，则（ ）．A ．A CB ⊂⊂ B ．A BC B ⊂⊂，C ．A B C ==D ．A B A C ⊂⊂， 解：D ．4．已知扇形弧长为30cm ，半径为20cm ，求扇形的面积．解：213020300cm 2S =⋅⋅=．5．已知地球半径为6400km ，地面上一段弧所对的球心角为1′，求该弧的弧长．解：59267cm ．． 6．下列命题中，正确的是（ ）A ．终边相同的角是相等的角B ．终边在第二象限的角是钝角C ．若角α的终边在第一象限，则2α的终边也一定在第一象限D ．终边落在坐标轴上的所有角可表示为π2k ，k ∈Z 解：D ．7．写出于下列各角终边相同的最小正角与最大负角： （1）1140︒．（2）1290-︒．（3）2002︒． 解：（1）60︒，300-︒．（2）150︒，210-︒．（3）202︒，158-︒． 8．在弧度制下，写出下面处在标准位置的终边相同的角的集合：（1）π7-（2）第二象限的角．（3）角α的终边落在直角坐标系的左半平面上．解：（1）π|2π7k k αα⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，．（2）π|2π2π2k k k αα⎧⎫+<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，．（3）π3π|2π2π+22k k k αα⎧⎫+<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，．9．已知α为第三象限的角，确定角2α所在的象限，并画出其变化区域．解：3|2ππ2π+π2k k k αα⎧⎫+<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，则π3|ππ+π2224k k k αα⎧⎫+<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，故2α在第二或第四象限．10．已知扇形的圆心角为π3，半径为R ，圆C 与扇形的两条半径及扇形的弧都相切，求圆C 中圆心角为π3的扇形与原扇形的面积之比． 解：219R r -=⇒∶． 5.2 任意角的三角比1．若π02α-<<，则点（cot cos αα，）必在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解：B ．2．确定下列各角的正弦、余弦、正切的符号： （1）850︒．（2）380-︒．（3）55π6． 解：（1）+--． （2）-+-． （3）--+．3．如果（1）cos 0sin x x <． （2）cot 0csc xx<． （3）sin cos 0x x <，试分别确定角x 的终边所在的象限．解：（1）第三或第四象限． （2）第二或第三象限． （3）第二或第四象限． 4．若P 点的坐标为（3y -，），5OP =（指OP 的长度），试求出y 值，并写出终边都过P 的角的三角函数值．解：4y =或4y =-．当4343554sin cos tan cot sec csc 555434y x x αααα===-=-=-=-=，，，，，，．当4343554sin cos tan cot sec csc 553434y x x αααα=-=-=-===-=-，，，，，，．5．（1）23π13π13πsin costan 4πcos 673⎛⎫-+⋅- ⎪⎝⎭的值为__________． （2）sin 780tan 405tan(330)cot(690)cos390cos(300)︒+︒-︒=-︒-︒-︒__________．解：（1）0． （2）109． 6．角α为何值时，下面式子无意义： （1）1cos sin αα+． （2）cos sec αα+． （3）tan cot αα+．（4）1sin cos αα．解：（1）π()k k ∈Z ．（2）ππ()2k k +∈Z ．（3）π()2k k ∈Z ．（4）π()2k k ∈Z ．7221+=表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 解：C ．π，则πππ0222<<，则ππcos cos 22⎛⎫> ⎪⎝⎭，即>又由于ππ0π22<，，则00，，则0>，方程表示的曲线是椭圆．由于π4⎫-=+⎪⎪⎝⎭…（*）π02-<<，则0<，π3π24<<，则3πππ44<+<．则πsin 04⎫+>⎪⎪⎝⎭，则（*）或<0．即 则曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，故选C ． 8．已知cos cot sin tan ()sin cos tan cot f ααααααααα=+++，求()f α的值的集合． 解：分四个象限讨论，α为第1象限，()4f α=， α为第2象限，()2f α=-， α为第3象限，()0f α=， α为第4象限，()2f α=-，得到()f α的值的集合为{4，-2，0}．9．已知实数α，满足cos cos cos cos αβαβ-=+，且ππ2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解：由题设可知，cos α和cos β异号，又由于cos 0α<，则cos cos 0cos cos αββα-<-．10．已知角α的终边经过（m n -，（0n m >>），问α是第几象限的角?并求α的六个三角比的值．解：第二象限．sin cos tan cot sec cscm n m n m n m n αααααα-+=====+-，，．11．用三角比的定义证明：(sin tan )(cos cot )(1sin )(1cos )αααααα++=++． 证：1cos 1sin (sin tan )(cos cot )sin cos (1sin )(1cos )cos sin αααααααααααα++++=⋅⋅=++． 5.3 同角三角比的关系和诱导公式 1．已知9cos 41α=-，90180α︒<<︒，计算：sin tan cot sec csc ααααα，，，，． 解：404094141sin tan cot sec csc 41940940x αααα==-=-=-=，，，，． 2．求下列各三角比的值： （1）sin1110︒．（2）11secπ6． （3）cot(75)-︒．解：（1）12．（2．（3）2-+3．已知tan 2β=-，求值： （1）3sin 2cos 2sin cos ββββ-+．（2）3323sin cos 3cos sin cos βββββ+-．解：（1）3sin 2cos 3tan 282sin cos 2tan 13ββββββ--==++．（2）无意义．4．求证恒等式：2212sin 2cos21tan 2cos 2sin 21tan 2x x xx x x--=-+． 证明：2222212sin 2cos2(sin 2cos2)cos2sin 21tan 2cos 2sin 2cos 2sin 2cos2sin 21tan 2x x x x x x xx x x x x x x----===--++． 5．计算：（1）22sin (42)cot(25)cot(65)sin (48)αββα︒++︒+⋅-︒+︒-=__________．（2）π2π3π4πtantan tan tan 5555+++=__________． 解：（1）0． （2）0． 6．证明下列三角恒等式： （1）6622csc cot 13csc cot αααα-=+． （2）tan sin tan sin tan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅． （3）1sec tan 1sin 1sec tan cos αααααα+++=+-（4）cos sin 2(cos sin )1sin 1cos 1sin cos αααααααα--=++++． 证明：（1）66224224csc cot (csc cot )(csc csc cot cot )αααααααα-=-+⋅+ 42241(csc csc cot cot )αααα=⋅-⋅+ 22222(csc cot )3csc cot αααα=--⋅⋅ 2213csc cot αα=-⋅⋅．（2）左边sin sin sin cos sin 1cos sin cos αααααααα⋅==--，右边=sin sin 1cos cos sin sin sin cos αααααααα++==⋅ 因为sin 1cos 1cos sin αααα+=-， 所以左边=右边，得证． （3）1sec tan 1sec tan αααα+++-=sec sec tan tan tan sec 1sec tan αααααααα⋅-⋅+++-=(1sec tan )(tan sec )1sec tan αααααα+-⋅++-tan sec αα=+（4）cos (1cos )sin (1sin )(1sin )(1cos )αααααα⋅+-⋅++⋅+=22cos sin cos sin 1sin cos cos sin αααααααα-+-+++ (cos sin )(cos sin )(cos sin )1sin cos sin cos αααααααααα-++-=+++ =2(cos sin )(cos sin 1)1(cos sin 1)2αααααα-++++2(cos sin )cos sin 1αααα-=++．7．设tan 1)a θ=<<，化得22sin sin cos cos a a θθθθ++-． 解：22222sin sin 2sin 2cos cos cos a a a a θθθθθθ+==-+--． 8．化简π3πsin(5π)cos tan tan(2π)22αααα⎛⎫⎛⎫--⋅---⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解：原式=2πsin()sin()tan tan()cos 2ααααα⎛⎫⋅+-⋅=- ⎪⎝⎭．9．（1）已知关于x 的一元二次方程2(tan cot )10x x αα-++=的一个实根是2，求sin cos αα⋅． （2）是否存在π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，使得关于x 的方程24cos 20x x α-+=和24sin 20x x α--=有一个实数解相等？如果存在求出α；如果不存在，说明理由．解：（1）两根分别为2+，21tan cot 4sin cos 4αααα+=⋅=，． （2）存在且π6α=． 10．已知函数sin cos tan cot sec csc y x x x x x x =++++++，求函数的最小值． 解：运用换元法和基本不等式得：设1cos sin ()sin cos sin cos x xf x x x x x++=++，记πsin cos 4t x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 222sin cos (sin cos )11x x x x t =+-=-，得21sin cos 2t x x -=． 于是，1cos sin ()sin cos sin cos x xf x x x x x++=++，2122()111112t f x u t t t t t t +==+=+=-++---．则1u ≥，等号不成立．或1u ≤，则1u ≥-．所以最小值为1． 5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切 1．不查表，求下列三角比的值： （1）sin105︒． （2）12sin π5⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）cos165︒（4）tan105︒解：（1．（2）．（3）．（2）2- 2．在ABC △中，若ππsin cos 1sin cos 22A B A B ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解：D ．3．不查表，求下列各式的值：（1）sin10cos 20sin 20cos10︒︒+︒︒． （2）cos110cos50sin110sin 50︒︒+︒︒． （3）tan 22tan 231tan 22tan 23︒+︒-︒︒．（4tan15︒+解：（1）1sin10cos20sin 20cos10sin302︒︒+︒︒=︒=． （2）1cos110cos50sin110sin50cos602︒︒+︒︒=︒=． （3）tan 22tan 23tan 4511tan 22tan 23︒+︒=︒=-︒︒．（4tan15tan15tan 30tan 4511tan15tan 30︒+︒+︒==︒=-︒︒．4．已知tan 2α=，tan 3β=，且α，β都是锐角，求证：3π4αβ+=． 证明：tan tan tan()11tan tan αβαβαβ++==--，由于tan tan 1αβ>，则ππππ422αβαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，+，， 则3π4αβ+=． 5．已知5sin sin(2)βαβ=+，求tan()tanαβ+的值． 解：5sin()sin()αβααβα+-=++ 5sin()cos 5cos()sin αβααβα⇒+-+ sin()cos cos()sin αβααβα=+++， 则tan()3tan 2αβα+=．6．求tan 20tan 4020tan 40︒+︒︒⋅︒的值．解：原式=πtan60(1tan 40tan 20)20tan 40tan 3︒-︒︒︒⋅︒= 7．求证：sin(2)2cos()sin csc sin αβαββαα---=-⋅．证明：sin(2)sin()2cos()sin 2cos()sin sin αβαβααβααβαα--+----=sin()sin cos sin αβαβαα--==-⋅．8．（1）求函数sin cos 1sin cos x xy x x=++的最大值．（2）求函数sin cos sin cos y x x x x =++的值域． （3）a ∈R ，求()(sin )cos y x a x a =++的最小值． 解：（1）令sin cos ([1)(1t x x t =+∈-- ，换元可得：2max 11212t t y y t --==→=+（2）换元sin cos ()t x x t ⎡=+∈⎣，211122t y t -⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦．（3）当2min 12a y a =+．当2min 12a a y -=；当2min 12a y a <=+．9．证明不等式：3412．22sin cos 1x x +=，342=．10．（1）已知tan α，tan β是关于x 的方程20x px q ++=的两个实根，求sin()cos()αβαβ+-．（2）已知tan tan αβ，是关于x的方程2220mx m -=的两个实根，求tan()αβ+的取值范围．解：（1）sin()sin cos cos sin tan tan cos()cos cos sin sin 1tan tan 1pqαβαβαβαβαβαβαβαβ+++-===-+++．（2）tan tan tan()1tan tan 12m αβαβαβ⎡++===-⎢--⎣． 11．π63)cos 2sin 2364sin cos a a θθθθ⎛⎫+-+-<+ ⎪+⎝⎭对于π2θ⎡⎤∈0⎢⎥⎣⎦，恒成立，求a 的取值范围．解：设sin cos x θθ+=，则2πcos sin 2114x x θθ⎛⎫⎡-==-∈ ⎪⎣⎝⎭，，， 从而原不等式可化为：26(23)2(1)36a x x a x++--<+， 即26223340x ax x a x ---++>，22230x x a x a x x ⎛⎫⎛⎫+--+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2(23)0(1)x x a x x ⎛⎫⎡-+->∈ ⎪⎣⎝⎭有 ①由于原不等式等价于不等式①，则1x ⎡∈⎣，则230x -<①不等式恒成立等价于20(1)x a x x⎡+-<∈⎣恒成立．从而只要max2(1)a x x x ⎛⎫⎡>+∈ ⎪⎣⎝⎭． 又容易知道2()f x x x =+在1⎡⎣上递减，则max23(1)x x x ⎛⎫⎡+=∈ ⎪⎣⎝⎭． 所以3a >．12．求出使方程(1)cos2(12)sin 2(12)cos (1)sin 0a x a x a x a x -+--+--+-=在(ππ)-，上有奇数个解的一切a 的值．解：首先，1a ≠，不然的话会有无穷多组解．令121cos sin [02π)a a M M ϕϕϕ---==∈，，，，其中0M =．于是原方程化为：πsin(2)cos()sin 2x x x ϕϕϕ⎛⎫+=-+=-+ ⎪⎝⎭，即π22π2π22π+π2x x k k x x k ϕϕϕϕ⎧+=+-+⎪⎪∈⎨⎪+++-=⎪⎩Z ，． 第一个式子得：π2π2x k =-+，又由于(ππ)x ∈-，，则π2x =-．第二个式子得：2π2π32k x ϕ-=+．令[02)πϕϕ=∈，′，则由于(ππ)x ∈-，，则2π2π(ππ)32k ϕ-+∈-，，所以9344k ϕ-<-<′． 又π322x k ϕ=-⇔=-′． （1）130210and 42k k ϕϕ⎡⎫∈⇒=--≠-⎪⎢⎣⎭，，，，′′，既有偶数个解，不满足． （2）1310and 42k k ϕϕ=⇒=-≠-，，′′，有奇数个解，满足． （3）1531101and 4422k k ϕϕϕ⎛⎫∈⇒=-=-⇒= ⎪⎝⎭，，，，′′′满足． （4）5301and 42k k ϕϕ∈⇒==-，，′′，有奇数个解，满足．（5）5332012and 422k k ϕϕϕ⎛⎫∈⇒==-⇒= ⎪⎝⎭，，，，′′′满足． 综上所述，满足条件的ϕ′的值为11534242，，，，此时{}[01)(12]3a ∈ ，，．5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切1．已知5πsin π132αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，求sin 2cos 2tan 2ααα，，． 解：120119120sin 2cos2tan 2169169119ααα=-==-，，． 2．求证：[][]sin (1sin )cos (1cos )sin (1sin )cos (1cos )sin 2θθθθθθθθθ+++⋅-+-=． 证明：[][]sin (1sin )cos (1cos )sin (1sin )cos (1cos )θθθθθθθθ+++⋅-+- 2(sin cos 1)(sin cos 1)(sin cos )1sin 2θθθθθθθ=+++-=+-=．3．求下列各式的值：（1）21cos 152︒-．（2）221tan 751tan 75-︒+︒．（3）22ππcos sin 88-．（4）2πtan8π1tan 8-．（5）sin15cos15︒⋅︒． 解：（1（2）．（3．（4）12．（5）14．4．若3π2π2α<<__________．cos 2α=-． 5．设n 为正整数，求证：sin cos cos cos 2422sin 2n nx x x xx ⋅⋅⋅= ．证明：提示：等式左右两边同时乘以2sin2n nx ． 6．求证三倍角公式：3cos34cos 3cos ααα=-．证明：cos3cos(2)cos2cos sin 2sin ααααααα=+=- =22(2cos 1)cos 2(1cos )cos αααα--- 34cos 3cos αα=-．7．试用万能公式求函数sin 1cos 2x y x +=+的值域．解：设tan 2x t =，则22221sin cos 11t t x x t t -==++，．22222212111321tt t t y t t t ++++==-+++． 2224(1)213024(1)(13)1612003y t t y y y y y y ⎡⎤-++-=∆=---=-∈⎢⎥⎣⎦，，，≥．8．设44()sin sin cos cos f x x x x x =-+，求()f x 的值域．解：44211()sin sin cos cos 1sin 2sin 222f x x x x x x x =-+=--．令sin 2t x =，则2211911()()122822f x g t t t t ⎛⎫==--=-+ ⎪⎝⎭．因此11919min ()(1)0824t g t g -==-⨯=≤≤，111919max ()02828t g t g -⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭≤≤．即得90()8f x ≤≤．9．已知sin cos 0sin 2cos2a x b x A x B x C +=+=，（a b ，是不同时为0的实数），求证：22222()()0a b A b a B a b C +-++=．证明：若0a =，则0b ≠，由已知第一式得cos 0x =，代入第二式又得B C =-；若0a ≠，则由第一式得tan bx a=-，代入第二式即可证得． 10．设0πθ<<，求sin (1cos )2θθ+的最大值．解：因为0πθ<<，所以π022θ<<，即sin 0cos 022θθ>>，．所以2sin (1cos )2sin cos 222θθθθ+=⋅=== 当且仅当222sin cos 22θθ=，即tan2θθ==时，sin (1cos )2θθ+． 11．在ABC △中，（1）若4sin 25C B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()cos A B -的值．（2）若2sin sin cos 2CA B =，判别ABC △的形状． 解：（1）cos()cos(π)A B B C B -=--- cos(π2)cos(π2)B C B C =--=-++ 2cos(2)12sin 2C B C B ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭725=． （2）cos 1sin sin 2sin sin cos()1cos()12C A B A B A B A B +=⇒=-++⇒-=，等腰三角形． 12．已知tan tan αβ⋅=(2cos 2)(2cos 2)αβ--的值． 解：22221tan 1tan (2cos 2)(2cos 2)221tan 1tan αβαβαβ⎛⎫⎛⎫----=-- ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭ 22222222222213tan 13tan 19tan tan 3tan 3tan 31tan 1tan 1tan tan tan tan αβαβαβαβαβαβ+++++=⋅==+++++． 13．当[]02πθ∈，时，求{}23331sin sin (2)sin (4)sin (2)sin(2)n n f θθθθθ-=⋅ 的最大值． 解：22422(sin sin 2)sin 4sin (1sin )θθθθθ⋅=⋅⋅- 4222244327sin sin sin (33sin )33464θθθθ⎛⎫=⋅⋅⋅-⋅= ⎪⎝⎭≤，2sin sin 2θθ∴⋅同理可证：21sin 2sin 2n n θθ-⋅．（123n = ，，）故：nf ⎝⎭≤，当π2π3k θ=+时等号成立． 5.6 三角比的积化和差与和差化积1．求证：（1）cos34cos cos(60)cos(60)θθθθ=⋅︒-⋅︒+． （2）tan34tan tan(60)tan(60)θθθθ=⋅︒-⋅︒+ 证明：（1）4cos cos(60)cos(60)θθθ⋅︒-⋅︒+ []2cos cos120cos(2)θθ=︒+ 232cos 2cos 2θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭34cos 3cos θθ=-cos3θ=（2）由（1）得sin34sin sin(60)sin(60)θθθθ=⋅︒-⋅︒+， cos34cos cos(60)cos(60)θθθθ=⋅︒-⋅︒+，两式相除，可证．2．求22sin 20cos 8020cos80︒+︒+︒⋅︒的值．解：22sin 20cos 8020cos80︒+︒+︒⋅︒1cos 40cos1601sin 60)22-︒︒+=+︒-︒11(cos160cos 40)sin 60)2=+︒-︒+︒-︒11(2)sin100sin 60sin 60)2=+-︒︒+︒-︒=11604-︒=． 3．求证：312sin tan tan 22cos cos2x x x x x-=+．证：31sin sin 31sin 2sin 22tan tan 313122cos cos2cos cos cos cos 2222x xx x x x x x x x x x -=-==+． 4．已知3sin sin 5αβ+=，4cos sin 5αβ+=，求cos sin αβ⋅的值．解：两式平方求和，可得：1sin()2αβ+=-，两式平方作差，可得：7cos2cos22sin()25βααβ-+-=-， 化简：72sin()sin()2sin )25αβαβαβ+⋅-+(-=-， 则7sin()25αβ-=-． 利用积化和差，可得：[]1cos sin sin()sin()2αβαβαβ⋅=+-- 117112225100⎛⎫=⨯-+=- ⎪⎝⎭．5．求值sin 7sin8cos15cos7sin8sin15︒+︒⋅︒︒-︒⋅︒．解：sin 7sin 8cos15sin(158)sin 8cos15sin15cos8tan152cos7sin 8sin15cos(158)sin 8sin15cos15cos8︒+︒⋅︒︒-︒+︒⋅︒︒⋅︒===︒=-︒-︒⋅︒︒-︒-︒⋅︒︒︒． 6．已知函数π()t a n 02f x x θ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，若12π02x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且12x x ≠，求证：[]12121()()22x x f x f x f +⎛⎫+> ⎪⎝⎭． 证明：[]121212sin sin 11()()22cos cos x x f x f x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭1212sin()12cos cos x x x x +=121212sin()cos()cos()x x x x x x +=++-．121212121212121212sinsin 2cos sin()22221cos()cos cos 2cos 222x x x x x xx x x x f x x x x x x x x +++++⎛⎫=== ⎪+++++⎝⎭． 显然不等式成立．7．在ABC △中，（1）求证：sin sin sin 4cos cos cos 222A B CA B C ++=． （2）求证：cos cos cos 14sin sin sin 222A B CA B C ++=+． （3）求证：cotcot cot cot cot cot 222222A B C A B C++=⋅⋅． 证明：（提示：由于A B C ，，是三角形内角，故πA B C ++=，()sin sin C A B =+，cos cos()C A B =-+用倍角公式和和差化积证明．） （1）sin sin sin 2sincos sin()22A B A BA B C A B +-++=++ 2sin cos cos 222A B A B A B +-+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4cos cos sin222A B A B+= 4coscos cos 222A B C =； （2）左边=2cos cos cos()22A B A BA B +--+ =22coscos 2cos 1222A B A B A B +-+-+ 2cos cos cos 1222A B A B A B +-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2sin2sin sin 1222C A B=⋅⋅+，获证．（3）从略．8．在非直角ABC △中，求证：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=． 证明：tan tan tan tan(π())tan()1tan tan A BC A B A B A B+=-+=-+=--tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⇒++=．9．在ABC △中，求证下列恒等式：（1）222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C ++=-．（2）222sin sin sin 12sin sin sin 222222A B C A B C++=-．证明：（1）即证cos21cos21cos2112cos cos cos 122A B C A B C +++++=-， 即证cos 2cos 2cos 214cos cos cos A B C A B C +++=-． 左边2cos()cos()cos(22)1A B A B A B =+-+++ []2cos()cos()cos()A B A B A B =+-++ 4cos cos cos A B C =-，得证．（2）即证11(cos cos cos )2sin sin sin 22222A B CA B C -++=- 下面参考题7第（2）小题，可证．10．求sin6︒·sin42︒·sin66︒·sin78︒的值． 解：原式=1sin12cos12cos24cos48sin6cos12cos24cos482cos6︒︒︒︒︒︒︒︒=⋅︒1sin 24cos24cos484cos6︒︒︒=⋅︒ 1sin 48cos488cos6︒︒=⋅︒ 1sin8416cos6︒=⋅︒ 1cos616cos6︒=⋅︒=116． 11．已知1cos()sin()sin cos 02αβαβαα+-+=，且22π3sin 2sin 102αβαβ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，，，，求()sin αβ+的值．解：由条件得23sin 2sin 23sin cos22αβαβ==，，平方相加，得29sin 1α=，于是1sin 3α=，cos α=，代入第二个已知条件得到sin β=，cos β=，于是sin()αβ+．5.7 正弦定理、余弦定理和解斜三角形 1．辨别下列ABC △的形状：（1）sin sin sin 234A B C =∶∶∶∶． （2）cos cos a A b B =．（3）sin sin(90)(90)b a C c a B B ==︒-<︒，． （4）6012A a b c =︒=+=，，．解：（1）sin sin sin 234AB C a b c ==∶∶∶∶∶∶，利用余弦定理可得：钝角三角形． （2）cos cos sin cos sin cos sin 2sin 2a A b B A A B B A B =⇒=⇒=， 等腰或直角三角形．（3）πsin sin cos sin()sin cos cos sin 02C A B A B A B A B A =⇒+=⇒=⇒=， sin sin sin sin sin B A C B C B C =⇒=⇒=，等腰直角三角形．（4）利用余弦定理可得，等边三角形． 2．在ABC △中，求证：（1）(sin sin )(sin sin )(sin sin )0a B C b C A c A B -+-+-=． （2）222sin sin cos 2sin sin cos()1A B C A B A B ++++=． （3）222222()tan ()tan 0a b c A a b c B --+-+=．（4）cos sin cos sin a c B Bb c A A -=-． 提示：（1）利用正弦定理证明．（2）利用倍角公式，和差化积公式证明． （3）利用正余弦定理证明． （4）利用正余弦定理证明．3．在ABC △中，a 、b 、c 为三边，判别下列命题的真假． （1）a b >的充要条件是sin sin A B >． （2）a b >的充要条件是cos cos A B <． （3）a b >的充要条件是tan tan A B >． （4）a b >的充要条件是cot cot A B <． （5）a b >的充要条件是cos 2cos 2A B <． 解：真；真；假；真；真． 4．在锐角ABC △中，已知60B ∠=︒=A C ∠∠，的值． 解：75︒和45︒．5．某货轮在A 处看灯塔S 在北偏东30︒方向，它以每小时36海里的速度向正北方向航行，经过40分钟航行到B 处，看灯塔S 在北偏东75︒方向．求此时货轮到灯塔S 的距离． 解：由正弦定理可得6．已知ABC △的三个内角A B C ，，成等差数列，且11cos cos A C +=cos 2A C-的值． 解：因为120A C =︒-，所以cos cos(60)2A CC -=︒-， 又由于1111cos(120)cos cos cos cos(120)cos cos cos(120)C CA C C C C C ︒-++=+=︒-︒- []2cos60cos(60)1cos120cos(1202)2C C ︒︒-=︒+︒-2cos(60)1cos(1202)2C C ︒-==-︒--所以22cos 022A C A C--+-．解得cos 2A C -=cos 2A C -=． 又cos02A C->，所以cos 2A C -= 7．在ABC △中，如果2226a b c +=，求(cot cot )tan A B C +的值．解：原式=sin()sin sin 1sin sin cos sin sin cos A B C C A B C A B C +⋅=⋅⋅⋅22222222c ab c ab a b c a b c 22=⋅=+-+-2222265c c c ==-． 8．已知在ABC △中，A B C <<，cos cos sin a B b A c C ===，，． （1）求ABC △的外接圆半径和角C 的值．（2）求a b c ++的取值范围． 解：（1）sin cos sin cos A B B A =，且1π21sin 22c R R C C ==⇒==，．（2）2(sin sin sin )(21)C R A B C =++∈．9．已知锐角ABC △中，31sin()sin()55A B A B +=-=，，若12AB =，求ABC △的面积．解：3sin()sin cos cos sin 25sin cos 15sin()sin cos cos sin 5A B A B A B A B A B A B A B ⎧+=+=⎪⎪⇒=⎨⎪-=-=⎪⎩， 1cos sin 5A B =，tan 2tan A B =．23tan tan 3tan tan()41tan tan 12tan A B BA B A B B ++=-==--．tan B =，tan 2A = 过点C 作边AB 的高，垂足为D ．则4tan 4(2AD h AD A ===，，24(2ABC S =△． 5.8 三角比的应用1．已知a 为实数，函数3(1)()sin 3()()sin 1a f a g θθθθθ-=++=∈+R ，．（1）若()cos f θθ=，试求a 的取值范围． （2）若1a >，求函数()()f g θθ+的最小值． 解：（1）()cos f θθ=，即si n c o s 3a θθ-=--，又πsi n c o s 4θθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以3a +从而a的取值范围是33⎡--+⎣．（2）3(1)()()(sin 1)2sin 1a f g a θθθθ-+=+++++，令s i n1x θ+=，则02x <≤，因为1a >，所以3(1)a x x -+≥，当且仅当x2解得73a ≤，所以当713a <≤时，函数()()f g θθ+的最小值是2a +．下面求当73a >时，函数()()f g θθ+的最小值． 当73a >2，函数3(1)()a h x x x -=+在（0，2]上为减函数，所以函数()()f g θθ+的最小值为3(1)5(1)2222a a a -++++=． 由于当73a >时，函数3(1)()a h x x x +=+在（0，2]上为减函数的证明：任取122121213(1)02()()()1a x x h x h x x x x x ⎡⎤-<<-=--⎢⎥⎣⎦，≤，因为21043(1)4x x a <->，≤，所以21213(1)10()()0a h x h x x x --<-<，，由单调性的定义函数3(1)()a h x x x-=+在（0，2]上为减函数． 于是，当7l 3a <≤时，函数()()f g θθ+的最小值是2a +；当73a >时，函数()()f g θθ+的最小值5(1)2a +． 2．已知数列{}n a，满足1n a a ==(23)n = ，，，求： （1）数列的通项．（2）设212n n n b a n == ，，，， 求证：4n b <．解：（1）设[]2sin 02π12n n n a n αα=∈= ，，，，，，则1π4α=．由递推，n a =12sin2n α-==，故12sin 2sin 2n n n a αα-==，即12n n αα-=，（23n = ，，）．得到：111π(123)22n n n n αα-+=== ，，，，． 故通项公式为：1π2sin 2n n a +=． （2）1111ππ22sin2π422n n n n n n n b a ++++==<⋅=<．获证．3．已知*011)n n a a n -=∈N ，，求证：2π2n n a +>．证明：由题设0n a >，令πtan 02n n n a a a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，则111111sec 11cos tan tan tan sin 2n n n n n n n n a a aa a a a --------=====．因为12n a -，π02n a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以112n n a a -=，所以012nn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又因为00tan 1a a ==，且0π02a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以0π4a =，所以1π24nn a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭．又因为当π02x <<时，tan x x >，所以22ππtan 22n n n a ++=>．4．已知锐角ABC △，角A B 、满足2A B =． （1）三边长为连续整数时，求ABC △三边的长． （2）三边长为连续整数时，求ABC △的面积S ．解：（1）设ABC △的三边为11(3)n n n n n -+∈N ，，，≥，由题设π3C B =-， 由题意ππ0022A C A C <<<<≠，，，即ππ020π32π322B B B B <<<-<≠-，，， 得ππππ6554B ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，．①当ππ65B <<时，π2π2ππ2π33552B B <<<-<，，得C A B >>，故角B 所对的边为1n -，角A 所对的边为n ，于是有1sin sin 2n nB B-=，得cos 2(1)n B n =-，又222(1)(1)cos 2(1)n n n B n n ++--=⋅+， 得222(1)(1)2(1)2(1)n n n n n n n ++--=-⋅+，解得2n =，舍去；②当ππ54B <<时，2πππ2π2π35245B B <<<-<，，得A C B >>，故角B 所对的边为1n -，角A 所对的边为1n +，于是有11sin sin 2n n B B -+=，得1cos 2(1)n B n +=-，又222(1)(1)cos 2(1)n n n B n n ++--=⋅+， 得2221(1)(1)2(1)2(1)n n n n n n n +++--=-⋅+，解得5n =，故ABC △的三边长为456，，． （2）由（1）中的②得3cos 4B =，故sin B =，因此1sin 2S ac B ==5．一个圆锥的外接球体积为972π，且内切球表面积为圆锥的侧面积和底面面积的等差中项，求这个圆锥的体积．（提示：可设圆锥的顶角为2α．）解：2ππ5129π23r rl S r r V +===⇒=外接切切，内内．6．已知ABC △的A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，且4442222()a b c c a b ++=+． （1）求C ∠． （2）若c 为最小边，求ba的取值范围． （3）若c 为最大边，求a bc+的取值范围． 解：（1）2222444222222222222cos 24a b c a b c a b a c b c C ab a b ⎛⎫+-+++--== ⎪⎝⎭． 4442222()a b c c a b ++=+，cos C ∴=45C =︒或135C =︒． （2）若c为最小边，则222245C c a b a =︒=+<，，ba ∴2222c a b b =+<．b ab a （3）若c 为最大边，则135C =︒，222222()(2())c a b a b ab a b a b =++=+--++≥，2a b a b c c ++⎛⎫⎪⎝⎭，a b c +>，所以1a b c +< 7．已知ABC △的三边a b c ，，和三内角A B C ，，满足条件cot cot cos2c a B b A =+，判断三角形形状．解：a b ABC =，△为等腰三角形． 8．已知函数()sin sin cos cos cos 2k k k f x kx x kx x x =+-，（其中k 为常数，R x ∈） （1）当1k =时，求函数()f x 的单调递增区间． （2）当1k =时，求函数2()()()f x g x a f x =+在π03⎛⎤ ⎥⎝⎦，上的最大值（其中常数0a >）． （3）是否存在*k ∈N ，使得函数()f x 为一常函数，若存在，求出k 的值，并加以证明，若不存在，请说明理由．解：（1）2()sin sin cos cos cos21cos22sin f x x x x x x x x =+-=-=． 由ππππππ22k x k x k k k ⎡⎤+⇒∈+∈⎢⎥⎣⎦Z ，，≤≤． （2）224()2sin ()()4sin f x x g x a f x a x ==++，令232sin 02t x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，，于是，原函数等于1a tt +． 当904a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，时，则当t；当94a >时，则当32t =时，最大值为649a +．（3）假设函数()f x 为常函数，令0x =，则原式=0， 令π2x =，则原式=πsin (1)0412k k k n --=⇒=-（n 为正整数）；令πx k=，则原式π2ππ2π33cos cos 0cos cos 21()21k k m k m k k k k k m =--=⇒=-⇒=+⇒=∈+Z ．综上3k =．当3k =时，原式为333sin3sin cos3cos cos 2x x x x x +-223sin3sin sin cos3cos cos cos 2x x x x x x x =+-=223sin3sin (1cos )cos3cos (1sin )cos 2x x x x x x x -+--223sin3sin cos3cos sin3sin cos cos3cos sin cos 2x x x x x x x x x x x =+---3cos2sin cos (sin3cos cos3sin )cos 2x x x x x x x x =-+- 3cos 2sin cos sin 4cos 2x x x x x =-- 23cos 2sin 2cos 2cos 2x x x x =--23cos2(1sin 2)cos 2x x x =--=33cos 2cos 20x x -=．第六章 三角函数6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像1．判断下列函数的奇偶性，并求最小正周期： （1）()sin sin 2f x x x =+． （2）()sin f x x x =． （3）()πsin πf x x =． （4）2()sin sin 2f x x x =+． （5）ππ()cos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （6）22()sin 2sin cos 3cos f x x x x x =++． （7）66()sin cos f x x x =+．（8）2222()sin cos (0)f x a x b x a b =++≠． 解：（1）奇函数，最小正周期是π．（2）奇函数，不是周期函数． （3）奇函数，最小正周期是2．（4）非奇非偶函数，最小正周期是π． （5）偶函数，最小正周期是2π．（6）非奇非偶函数，最小正周期是π． （7）偶函数，最小正周期是π2．（8）偶函数，最小正周期是π．2．用五点法分别作出下列各函数的图像，并说明这些函数的图像和siny x=图像的区别：题2(1)解析图（1）2sin1y x=-．12sin2y x =．解：（1）将siny x=的纵坐标扩大2倍，然后向下平移1个单位，得到2sin1y x=-．（2）将siny x=的横坐标扩大2倍，然后再将纵坐标扩大2倍，得到12sin2y x =．题2(2)解析图3．观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的区间：（1）sin0x>．（2）cos0x<．（3）1 sin2x>．（4）cos x<．解：（1）(2π(21)π)()k k k+∈Z，（2）π32π2ππ()22k k k⎛⎫++∈⎪⎝⎭Z，．（3）π52π2ππ()66k k k⎛⎫++∈⎪⎝⎭Z，．（4）3π5π2π2π()44k k k⎛⎫++∈⎪⎝⎭Z，．4．求下列函数的单调区间：（1）π3cos27y x⎛⎫=--⎪⎝⎭．（2）π2sin34y x⎛⎫=--⎪⎝⎭．（3）lg cos 13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭．解：（1）π4πππ()147k k k ⎛⎤++∈ ⎥⎝⎦Z ，．（2）2ππ2ππ()31234k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ，． （3）π2π2π()2k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，．5．求下列函数的最值，及取得相应最值的x 值：（1）π32sin 3y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． （2）23cos 4sin 2y x x =--．（3）2π2π2sin 3sin 133y x x x ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦，，．解：（1）max min 51y y ==，；x 的值分别为π2π6k -及5π2π+()6k k ∈Z ． （2）763y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，．（3）0y ⎤∈⎥⎣⎦．6．确定函数131log 4y x ⎤⎛⎫=- ⎪⎥⎝⎭⎦的定义域、值域、单调区间、奇偶性、周期性．解：定义域π5π2π2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ，，；值域13[log )+∞；单调区间：递增：π3π2π2π44k k ⎛⎤++ ⎥⎝⎦，，递减：3π5π2π2π44k k ⎛⎤++ ⎥⎝⎦，；非奇非偶，2πT =．7．设π02αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，，满足：cos cos(sin )sin(cos )ααββγγ===，，，则αβγ，，的大小关系为__________．解：γαβ<<． 8．求下列函数的周期： （1）sin3cos y x x =+．（2）1sin cos 1sin cos 1sin cos 1sin cos x x x xy x x x x+++-=++-++． （3）2cos(32)5y x =-+y ． 解：（1）2π．（2）2π．（3）2π39．求5sin 2π2y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像的对称轴方程．解：ππ2k x k =-∈Z ，． 10．（1）求函数2()sin sin f x a x x =-的最大值()g a ，并画出()g a 的图像．（2）若函数2()cos sin f x x a x b =-+的最大值为0，最小值为-4，实数0a >，求a b ，的值． 解：（1）当2()1a g a a <-=--，；当2122()4a g a a -=，≤≤；当2()1a g a a >=-，．（2）22a b ==-，． 6.2 正切函数的性质与图像1．有人说：“正切函数在整个定义域内是单调递增的函数．”这句话对吗?为什么? 解析：不对，应该说在各自区间是单调递增函数． 2．求下列函数的周期： （1）tan()(0)y ax b a =+≠ （2）tan cot y x x =-．解：（1）πa ．（2）π2．3．求函数11tan 2y x=+的定义域．解：ππππ()8224k k x x x k ∈≠-+≠+∈R Z ，，．4．求函数22tan tan 1tan tan 1x x y x x -+=++的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x 的集合．解：用分离常数法或用判别式法解题，max min 133y y x ==，，取值分别为ππ4k +及ππ()4k k -+∈Z ．5．求下列函数的最大值和最小值：（1）sin 2()sin 3x y x x -=∈-R ．（2）sin 2()cos 3x y x x -=∈-R ．解：（1）换元法解题，min max 1324y y ==，．（2）万能公式，或者利用几何意义解题，max min y y ==． 6．求函数sin cos π0sin cos 2x x y x x x ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭，的最值．解：换元法解题，sin cos 1t x x ⎡=+∈⎣．21(1)112()2t y t t t -==-，单调递增，所以0y ⎡∈⎢⎣⎦． 7．根据条件比较下列各组数的大小： （1）已知ππ32θ<<，比较sin θ，cot θ，cos θ的大小．（2）已知π04θ<<，比较sin θ，()sin sin •θ，()sin tan θ的大小． （3）已知π02θ<<，比较cos θ，()cos sin θ，()sin cos θ的大小． 解：（1）cos cot sin θθθ<<．（2）sin(sin )sin sin(tan )θθθ<<． （3）sin(cos )cos cos(tan )θθθ<<6.3 函数sin()y A x d ωϕ=++的图像与性质1．经过怎样的图形变换，函数sin y x =的图像可以变换成为函数2sin(26)2y x =++的图像?反之，函数()2sin 262y x =++的图像经过怎样的变换可以成为函数sin y x =的图像?解：将sin y x =的图像向x 轴负方向平移6个单位长度，然后将所得各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将纵坐标变为原来的2倍。

5.2任意角的三角比(1)一、教学内容将角放入平面直角坐标系中，定义任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个三角比，探求比值中各字母的取值范围，研究正弦、余弦、正切、余切、正割、余割这六个三角比存在的条件；并根据三角比的定义，得出“终边重合的角的同一三角比的值相等”的结论及把此结论表示成为第一组诱导公式。

学会用定义求任意角的三角比；在解题中应用分类讨论的思想。

二、教学目标1、知识与技能掌握任意角的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割的定义；通过任意三角比的定义学会对给定的角进行求三角比的值；领会三角比的大小只与角度的大小相关，学会用分类讨论的思想解决问题。

2、过程与方法通过回忆锐角三角比，感悟任意三角比的定义及相关要点；体会同一角三角比的值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示在研究问题时，要能在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑．通过三角比定义的建立，是学生初步领会用代数方法解决几何问题的数形结合思想。

3、情感态度与价值观在整个教学过程中用运动变化的观点审视事物，用对立统一的规律揭示生活中的空间形式和数量关系。

培养学生的辩证唯物主义观点。

三、教学重点及难点重点：任意角的三角比的定义．难点：求含有字母的三角比的值，分类讨论思想方法运用。

四、教学流程五、教学过程一、情景引入回顾：初中学习了锐角的三角比，它是在直角三角形的条件下，通过角α的对边、邻边与斜边之间两两的比值来定义的.例如：sin MP OP α= cos OMOP α= tan MP OM α=cot OMMPα= 引入：前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角比.把锐角α置于平面直角坐标系xOy 中，锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.易知P 在角α的终边上，设它的坐标为(,)x y，它与原点的距离0r =>，可发现作为锐角α的三角比能用其终边上的点的坐标来定义，而这种定义方法可用于定义任意角的三角比.二、学习新课1、概念形成任意角的三角比定义设α是一个任意角，在α的终边上任取一点(,)P x y （除原点）， 则P与原点的距离0r =>，PM(P α角比值ry叫做α的正弦 记作： r y =αsin比值r x叫做α的余弦 记作： rx =αcos比值xy叫做α的正切 记作： x y =αtan （,2k k z παπ≠+∈）比值y x 叫做α的余切 记作： y x=αcot （,k k z απ≠∈） 比值xr叫做α的正割 记作： xr =αsec （,2k k z παπ≠+∈）比值y r叫做α的余割 记作： yr =αcsc （,k k z απ≠∈）设问1：对于确定的角α，这六个三角比的大小与P 点在角α终边上的位置是否有关？（要求学生回答并说明理由）（利用相似三角形的知识，可以得出对于确定的角α，这六个三角比值的大小与P 点在角α的终边上的位置无关．）sin(2)sin k παα+=, cos(2)cos k παα+=tan(2)tan k παα+=, cot(2)cot k παα+=设问2：六个三角比中各个字母（x 、y 、r ）的取值有什么限制？ 设问3：根据这六个三角比的定义，是否对于任意的一个角α，它的六个三角比都存在呢？（学生探讨，给出结论）[(1) 当角α的终边在纵轴上时，即()2k k Z παπ=+∈时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan α、sec α无意义；(2) 当角α的终边在横轴上时，即()k k Z απ=∈时，终边上任意一点P 的纵坐标y 都为0，所以cot α、csc α无意义.从而有：sincostanααα)(2ZkkRR∈+≠ππαcot sec csc ααα)()(2)(ZkkZkkZkk∈≠∈+≠∈≠παππαπα][说明](1) 以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2) OP是角α的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转都没有要求，也只有这样，才能说明角α是任意的.(3) sinα是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积，其余五个符号也是这样.(4) 三角比值只与角的大小有关.设问4、任意角三角比的定义与锐角三角比的定义的联系与区别。

三角比的所有公式三角比是数学中一个重要的概念，用于研究三角形的各种性质。

在三角比中，我们常用的有正弦、余弦、正切以及它们的倒数，即余弦、正切和余切。

下面我们来逐一介绍这些三角比的定义和相关公式。

1. 正弦（Sine）：在一个直角三角形中，正弦是指对边长度与斜边长度的比值。

正弦用sin表示，公式为sinθ = 对边/斜边。

2. 余弦（Cosine）：在一个直角三角形中，余弦是指邻边长度与斜边长度的比值。

余弦用cos表示，公式为cosθ = 邻边/斜边。

3. 正切（Tangent）：在一个直角三角形中，正切是指对边长度与邻边长度的比值。

正切用tan表示，公式为tanθ = 对边/邻边。

以上三个三角比的定义是基于直角三角形的，但它们也可以应用到一般三角形中，通过扩展定义将它们应用到各种角度。

接下来，我们来介绍一些重要的三角比的性质和公式。

1.与角度θ相关的三角比都可以通过一个周期的方式表示，周期为360度或2π弧度。

2. 正弦的周期性质：sin(θ + 2π) = sinθ3. 余弦的周期性质：cos(θ + 2π) = cosθ4. 正切的周期性质：tan(θ + π) = tanθ5. 任意角θ的正弦、余弦和正切的平方和等于1：sin^2θ +cos^2θ = 1，tan^2θ + 1 = sec^2θ = 1/cos^2θ，1 + cot^2θ = cosec^2θ = 1/sin^2θ6.三角比的和差公式：- 正弦的和差公式：sin(A ± B) = sinA*cosB ± cosA*sinB- 余弦的和差公式：cos(A ± B) = cosA*cosB ∓ sinA*sinB- 正切的和差公式：tan(A ± B) = (tanA± tanB)/(1 ∓tanA*tanB)7.三角比的倍角公式：- 正弦的倍角公式：sin2θ = 2*sinθ*cosθ- 余弦的倍角公式：cos2θ = cos^2θ - sin^2θ = 2*cos^2θ - 1 = 1 - 2*sin^2θ- 正切的倍角公式：tan2θ = (2*tanθ)/(1 - tan^2θ)8.三角比的半角公式：- 正弦的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]- 余弦的半角公式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]- 正切的半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]9.三角比的和差化积公式：- 正弦的和差化积公式：sinA + sinB = 2*sin((A + B)/2)*cos((A - B)/2)- 正弦的差化积公式：sinA - sinB = 2*cos((A + B)/2)*sin((A - B)/2)- 余弦的和差化积公式：cosA + cosB = 2*cos((A + B)/2)*cos((A - B)/2)- 余弦的差化积公式：cosA - cosB = -2*sin((A + B)/2)*sin((A -B)/2)10.三角比的和差化角公式：- 正弦的和差化角公式：sinA + sinB = 2*sin[(A + B)/2]*cos[(A - B)/2]- 正弦的差化角公式：sinA - sinB = 2*sin[(A - B)/2]*cos[(A + B)/2]- 余弦的和差化角公式：cosA + cosB = 2*cos[(A + B)/2]*cos[(A - B)/2]- 余弦的差化角公式：cosA - cosB = -2*sin[(A + B)/2]*sin[(A - B)/2]以上是一些三角比的重要性质和公式，它们在解决三角形相关问题以及在物理学、工程学等领域的应用中起到了重要作用。