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4误差传播律习题课

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计算方法-刘师少版第一章课后习题完整答案

计算方法-刘师少版第一章课后习题完整答案

分， 试给出此递推公式误差的传播规律， 计算 I 10 时误差被放大了多少倍？这个算法是数值稳定的 吗？ 解： I =
∫x
0 1 0
1
n
e x −1 dx ， n = 0,1,2,L,10 ，由分部积分法有
1 0
n −1 x −1 I n = ∫ x n e x −1 dx = x n e x −1 1 e dx 0 − n∫ x
er ( x n ) =
e( x n ) nx n −1 ( x − x * ) x − x* = = n = n ⋅ er ( x) = αn% x xn xn
x n 的相对误差为 an%
1.10 设 x＞0，x 的相对误差为 δ ，求 ln x 的误差。 解： e(ln x) ≈
1 ( x − x * ) = er ( x) = δ x
N +1
N
1 dx = arctan( N + 1) − arctan N 1+ x2 1 = arctan 1 + N ( N + 1) 1 2 gt ，假定 g 是准确的，而对 t 的测量有±0.1s 的误差，证明当 t 增加时，s 的绝对误差 2
1.12 设 s =
增加，而相对误差减少。 解：由题意知， e( s ) = s − s = gt (t − t ) = gt ⋅ e(t ) = 0.1gt
5
计算方法
于是
* * * * e( I 10 ) = −10e( I 9 ) = 10 ⋅ 9e( I 8 ) = L = 10!e( I 0 )
计算 I 10 时的误差被扩大了 10 倍，显然算法是数值不稳定的 1.14 设 f ( x) = 8 x − 0.4 x + 4 x − 9 x + 1 ，用秦九韶算法求 f (3)

第一章 误差分析与误差的传播习题及解答

第一章 误差分析与误差的传播习题及解答

四、解答题 1. 设 x>0,x*的相对误差为 δ，求 f(x)=ln x 的误差限。
解：求 lnx 的误差极限就是求 f(x)=lnx 的误差限，由公式有
已知 x*的相对误差 满足
，而
，故
即
2. 下列各数
都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几
位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得
第一章 误差分析与误差的传播
一、判断题： 1.舍入误差是模型准确值与用数值方法求得的准确值产生的误差。 ( )
x2 2. 用 1- 2 近似表示 cosx 产生舍入误差。
( )
3. 任给实数 a 及向量 x ，则 || ax || a || x ||。
()
二、填空题：
1.设
x*
2.40315 是真值
5. 计算下列矩阵的范数：
1）
，求
2）
，求
3)
，求
解：1）
2）
3）
1 0 1
6.
求矩阵
A
0
1
0
的谱半径.
2 0 2
1 0 1
解 I A 0 1 0 1 3
4分
2 0 2
矩阵 A 的特征值为 1 0, 2 1, 3 3
8分
所以谱半径 A max0,1,3 3
7. 证明向量 X 的范数满足不等式
和
。（ 2.7183 和 8.0000）
12. 、
，则 A 的谱半径
＝
，A 的
＝
（ 11.计算
）
取
，利用（ ）式计算误差最小。
四个选项：
解：
三、选择题

测量学课后习题答案完整版

测量学课后习题答案完整版

测量学课后习题答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】《测量学》习题答案一、测量基本知识[题1-1] 测量学研究的对象和任务是什么？答：测量学是研究地球的形状与大小，确定地球表面各种物体的形状、大小和空间位置的科学。

测量学的主要任务是测定和测设。

测定——使用测量仪器和工具，通过测量与计算将地物和地貌的位置按一定比例尺、规定的符号缩小绘制成地形图，供科学研究和工程建设规划设计使用。

测设——将在地形图上设计出的建筑物和构筑物的位置在实地标定出来，作为施工的依据。

[题1-2] 熟悉和理解铅垂线、水准面、大地水准面、参考椭球面、法线的概念。

答：铅垂线——地表任意点万有引力与离心力的合力称重力，重力方向为铅垂线方向。

水准面——处处与铅垂线垂直的连续封闭曲面。

大地水准面——通过平均海水面的水准面。

参考椭球面——为了解决投影计算问题，通常选择一个与大地水准面非常接近的、能用数学方程表示的椭球面作为投影的基准面，这个椭球面是由长半轴为a 、短半轴为b 的椭圆NESW 绕其短轴NS 旋转而成的旋转椭球面，旋转椭球又称为参考椭球，其表面称为参考椭球面。

法线——垂直于参考椭球面的直线。

[题1-3] 绝对高程和相对高程的基准面是什么？答：绝对高程的基准面——大地水准面。

相对高程的基准面——水准面。

[题1-4] “1956 年黄海高程系”使用的平均海水面与“1985 国家高程基准”使用的平均海水面有何关系？答：在青岛大港一号码头验潮站，“1985 国家高程基准”使用的平均海水面高出“1956 年黄海高程系”使用的平均海水面0.029m。

[题1-5] 测量中所使用的高斯平面坐标系与数学上使用的笛卡尔坐标系有何区别？答：x 与y 轴的位置互换，第Ⅰ象限位置相同，Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ→Ⅳ象限顺指针编号，这样可以使在数学上使用的三角函数在高斯平面直角坐标系中照常使用。

误差理论与测量平差基础习题集

误差理论与测量平差基础习题集

第一章绪论§1-1观测误差1.1.01为什么说观测值总是带有误差,而且观测误差是不可避免的？1.1.02观测条件是由哪些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？1.1.03测量误差分为哪几类?它们各自是怎样定义的?对观测成果有何影响？试举例说明。

1.1.04用钢尺丈量距离，有下列几种情况使量得的结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号：（1）长不准确；（2）尺尺不水平；（3）估读小数不准确；（4）尺垂曲；（5）尺端偏离直线方向。

1.1.05在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数带有误差，试判别误差的性质及符号：（1）视准轴与水准轴不平行；（2）仪器下沉；（3）读数不准确；（4）水准尺下沆。

§1-2测量平差学科的研究对象1.2.06 何谓多余观测?测量中为什么要进行多余观测？1.2.07 测量平差的基本任务是什么？§1-3测量平差的简史和发展1.3.08 高斯于哪一年提出最小二乘法？其主要是为了解决什么问题？1.3.09 自20世纪五六十年代开始，测量平差得到了很大发展，主要表现在那些方面？§1-4 本课程的任务和内容1.4.10 本课程主要讲述哪些内容？其教学目的是什么？第二章误差分析与精度指标§2-1 正态分布2.1.01 为什么说正态分布是一种重要的分布？试写出一维随机变量X的正态分布概率密度式。

§2-2 偶然误差的规律性2.2.02 观测值的真误差是怎样定义的？三角形的闭合差是什么观测值的真误差？2.2.03 在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现出什么样的规律性？2.2.04 偶然误差*服从什么分布？它的数学期望和方差各是多少？§2-3 衡量精度的指标2.3.05 何谓精度？通常采用哪几种指标来衡量精度？2.3.06 在相同的观测条件下，对同一个量进行若干次观测得到一组观测值，这些观测值的精度是否相同？能否认为误差小的观测值比误差大的观测值精度高？2.3.07 若有两个观测值的中误差相同，那么，是否可以说这两个观测值的真误差一定相同？为什么？2.3.08 为了鉴定经纬度的精度，对已知精确测定的水平角α=45O00’00”作12次观测，结果为：45o00’06” 44o59’55” 44o59’58” 45o00’04”45o00’03” 45o00’04” 45o00’00” 44o59’58”44o59’59” 44o59’59” 45o00’06” 45o00’03”设α没有误差，试求观测值的中误差。

数值分析习题课

数值分析习题课

例1-3 已知f(x) 的五组数据(1,0)、(2,2)、(3,12)、(4,42)、 (5,116),求 N4 (x)。如果再增加一个节点(6,282),求出N5(x)， 并计算 N4(1.5)、N5(1.5). 解：先由前五组数据列差商表 1 0 2 2 2 如果，再增加一点(6, 282), 3 12 10 4 就在上表中增加一行计算差商 4 42 30 10 2 5 116 74 22 4 0.5 0.1 6 282 166 46 8 1
结论：通过四舍五入原则求得的近似数，其有效数 字就是从末尾到第一位非零数字之间的所有数字。
1 mn x x 10 2
*
例1-2 下列近似数是通过四舍五入的方法得到的，试 判定它们各有几位有效数字： x1* =87540，x2*=8754×10, x3*=0.00345, x4*= 0.3450 ×10-2 解：我们可以直接根据近似数来判断有效数字的位数， 1 也可以通过绝对误差限来判断。 x x 10
解: 记f(x)以-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式为 L3(x)．由插值余项定理有
所以
例4．证明由下列插值条件 所确定的拉格朗日插值多项式 是一个二次多项式． x0 x2 x4
该例说明了什么问题?( t8) 解: 以x0，x2，x4为插值节点作f(x)的2次插值多项式p(x)，则
容易验证 因而6个点(xi, yi)，i＝0 1,…,5均在二次曲线p(x)＝x2-1 上． 换句话说，满足所给插值条件的拉格朗日插值多项式 为 p(x)＝x2-1.
f ( ) 1 R( x ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) f ( ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3! 6 1 max f ( ) max ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) x0 x x 2 6 x0 x x 2

数字化测图原理与方法(高井祥版)

数字化测图原理与方法(高井祥版)
****科技大学继续教育学院
2010/2011学年第一学期 自学周历表
函授站：科大站
专业班级：2010级地质工程（本科层次）
课程：数字化测图原理与方法 函授学时：以教学计划为准
自学内容
面授主要讲授内容
必做习题
交作业时间
第一章测量基本知识
第一节至第六节
1.测绘学研究的内容
2.地球的形状与大小
3.测量常用坐标系统
9.如何确定用水平面代替水准面的限度？
10.何谓平面图、地图、地形图、专题图？
11.何谓比例尺、比例尺精度？比例尺精度有何作用？
12.何谓直线定向？常用的标准方向有哪几种？何谓磁偏角、子午线收敛角？
13何谓方位角、真方位角、磁方位角、坐标方位角？后三种方位角之间有什么关系？
14何谓象限角？象限角与方位角有什么换算关系？
15.坐标方位角正方位角与反方位角是什么关系？
16.何谓地物、地貌、地形、地形图测绘、施工放样？
17.测量工作必须遵循的两个原则是什么?为什么要遵循这两个原则？
18.何谓控制点、控制网、控制测量？
19.何谓特征点（碎部点）、碎部测量？
20.测量的基本工作有哪些？何谓测量工作外业、内业？
21.何谓水平角、垂直角、天顶距？
61.何谓前方交会、侧方交会、后方交会、测边交会？
62.水准路线有几种布设形式？
63.试述四等及等列水准测量使用双面水质尺时一个测站上的观测程序与记录格式。
64.试述四等及等外水准测量的内业计算工作。
65.试述三角高程观测方法及计算方法。
66.全球定位系统（GPS）有几部分组成？各部分的有何作用。
67.试述GPS测量实施的方法和工作程序。
45.何谓系统误差、偶然误差、真误差、粗差、测量误差？何谓观测条件、等精度观测、非等精度观测？

误差专题知识讲座

误差专题知识讲座
到前面第一种非零数字共 l 位，它与计算成果之差必不大于 该位旳半个单位.我们习惯上说将计算成果保存 l 位有效数
字.
结束
如计算机上得到方程 x3-x-1=0 旳一种正根为 1.32472， 保存4位有效数字旳成果为1.325，保存5位有效数字旳成果为 1.3247.相对误差与有效数位旳关系十分亲密.定性地讲，相 对误差越小，有效数位越多，反之亦正确.定量地讲，有如下 两个定理.
e(A*) f (x1*, x2*, , xn*) f (x1, x2, , xn )
| A* A || f (x1*, x2*, , xn*) f (x1 , x2, , xn ) |
n
f (x1, x2 ,
k 1
xk
, xn ) | xk* xk | O((x*)2 )
其中
x*
max k
e( f (x*)) f (x*) f (x)
用泰勒展式分析 f (x) f (x*) f (x*)(x x*) f ( ) (x x*)2 2 结束
e( f (x*)) f (x*)(x * x) f ( ) (x x*)2
2
| e( f (x*)) || f (x*) | (x*) | f ( ) | 2(x*)
| x1 | 和
| x2 |
将很大，所以 r (x1 x2 )
| x1 x2 |
| x1 x2 |
将比 r (x1) , r (x2 ) 大诸多，即相对误差将明显扩大.
从直观上看，相近数相减会造成有效数位旳降低， 本章例1.7就是一种例子.有时，经过变化算法能够避 免相近数相减.
结束
例8: 解方程 x 2-18 x +1=0，假定用4位浮点计算. 解: 用公式解法

工程测量误差测量理论例题和习题(专题复习)

工程测量误差测量理论例题和习题(专题复习)

测量误差理论一、中误差估值（也称中误差）：Δi (i=1，2，…,n )(6—8）【例】设有两组同精度观测值，其真误差分别为:第一组—3″、+3″、-1″、—3″、+4″、+2″、—1″、—4″； 第二组+1″、—5″、—1″、+6″、-4″、0″、+3″、-1″. 试比较这两组观测值的精度，即求中误差.解：由于m 1〈m 2,可见第一组观测值的精度比第二组高。

同时，通过第二组观测误差的分布情况可看出其误差值的波动幅度较大，因而也可判断出第二组观测值的稳定性较差，则精度较低。

另外，由以上分析可知，中误差仅代表了一组观测值的精度,并不表示某个观测值的真误差。

二、相对误差：观测值中误差m 的绝对值与相应观测值S 相比，并化为分子为1、分母为整数的形式,即（6—10）三、误差传播定律【例】丈量某段斜距S =106.28m ，斜距的竖角，斜距和竖角的中误差分别为、,求斜距对应的平距D 及其中误差。

解：平距由于是一个非线性函数,所以，对等式两边取全微分,化成线性函数，并用“”代替“d ”得 再根据（6-29)式,可以直接写出平距方差计算公式,并求出平距方差值因此，平距的中误差为：m D =±5 cm.则最终平距可表示为:D =105。

113±0.050 m 。

应用误差传播定律时，由于参与计算的观测值的类型不同，则计算单位也可能不同，如角度单位和长度单位，所以，应注意各项单位要统一。

例如,上例中的角值需要化为弧度。

综上所述，应用误差传播定律求任意函数中误差的步骤如下： 列独立观测值函数式 对函数式进行全微分 写出中误差关系式应用误差传播定律应特别注意两点：正确列出函数式；函数式中的各个观测值必须是独立观测值。

n m ] [∆∆ ±=【例】用长度为l=30m的钢尺丈量了10个尺段，若每尺段的中误差m=±5mm，求全长D及其中误差m D。

解：列独立观测值函数式对函数式进行全微分写出中误差关系式则，全长的中误差为m D=±如果采用下面方法计算该题，考虑错误之处：先列出函数式D=10l，写出全长D的中误差关系式并计算中误差m D=10·m=10·5=±50mm。

《数值分析》习题课

《数值分析》习题课

1 1 1 = 1− + − +L 4 3 5 7
∑ ( −1)
k =1
n
k −1
1 | S n − |≤ 4 2n + 1
π
1 2k − 1
10/18
应用牛顿迭代法于方程 x3 – a = 0, 导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性 并讨论其收敛性。 导出求立方根的迭代公式 并讨论其收敛性。2-6* * Nhomakorabea*
13/18
练习1 练习 将割线法修改为单点迭代公式 f ( xn ) x n+1 = x n − ( x n − x0 ) f ( xn ) − f ( x0 ) 试分析该算法的收敛性. 试分析该算法的收敛性
14/18
练习2 设计多项式乘积(卷积 卷积)算法 练习 设计多项式乘积 卷积 算法 Pn(x)=a1xn + a2xn-1+ ···+ anx + an+1 Pm(x)=b1xm + b2xm-1+ ···+ bmx + bm+1 表示P 用 [a1 a2 ··· an an+1] 表示 n(x) 用 [b1 b2 ··· bm bm+1] 表示 m(x) 表示P 用 [c1 c2 ··· cn+m cn+m+1] 表示 Pn(x)×Pm(x)
2k
1 f ( x) = − a = 0 x
1 − axk = (1 − ax0 )
1 2k x k = [1 − (1 − ax 0 ) ] a
12/18
所以,当 迭代公式收敛。 所以 当| 1 – a x0| < 1 时，迭代公式收敛。
的二重根,分析牛顿迭代法的 例5. 若 x*是f(x)=0的二重根 分析牛顿迭代法的 的二重根 收敛性？ 收敛性？ 解: 由于 f(x)=(x – x*)2g(x)

测量误差基础知识

测量误差基础知识

二、偶然误差的特性
偶然误差表面没有规律性，但对同一量多次观测，表现出 一定的统计规律性。
案例 在相同的观测条件下，观测了358个三角形的全部内角，由 于观测存在误差，每一个三角形内角之和Li 都不等于180°，其 差值为三角形内角和的真误差，即△ = Li - 180° 。 将358个三角形内角和的真误差的大小和正负按一定的区 间统计误差个数，列于下表中。
三、评定精度的标准
（二）相对误差 真误差和中误差：有符号,有与观测值相同的单位,它们被
称为“绝对误差”。 相对误差是指误差的绝对值与相应观测值之比，通常以分
子为1、分母为整数的形式K表示。
即
相对误差K越小，精度越高。
相对误差是没有单位的。相对误差随着所用绝对误差的不同 而有不同的名称 。分子、分母长度单位应统一。
解析：DJ6 数字6指野外“一测回方向中误差”≤6″，即m方=±6″，因为一个角度是 两个方向值之差，由和差函数的中误差计算公式得一测回角值的中误差m=8.5″
误差传播定的几个主要公式：
函数名称
函数式
函数的中误差
倍数函数
z kx
mz kmx
和差函数
z x1 x2 xn
mz m12 m22 mn2
线性函数 z k1x1 k2x2 knxn mz k12m12 k22m22 kn2mn2
一般函数
Z f (x1, x2,xn )
2、设对某角观测一测回的中误差为±3″，要使该角的观测精度达到±1.4″，
需观测（ ）个测回。
A、2
B、3
C、4
D、5
解析：算术平均值的中误差
M
m n
得
n
m2 M2
32 1.4

误差理论与测量平差基础习题集Word版

误差理论与测量平差基础习题集Word版

误差理论与测量平差基础习题集Word版第⼀章绪论§1-1观测误差1.1.01为什么说观测值总是带有误差,⽽且观测误差是不可避免的？1.1.02观测条件是由哪些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？1.1.03测量误差分为哪⼏类?它们各⾃是怎样定义的?对观测成果有何影响？试举例说明。

1.1.04⽤钢尺丈量距离，有下列⼏种情况使量得的结果产⽣误差，试分别判定误差的性质及符号：（1）长不准确；（2）尺尺不⽔平；（3）估读⼩数不准确；（4）尺垂曲；（5）尺端偏离直线⽅向。

1.1.05在⽔准测量中，有下列⼏种情况使⽔准尺读数带有误差，试判别误差的性质及符号：（1）视准轴与⽔准轴不平⾏；（2）仪器下沉；（3）读数不准确；（4）⽔准尺下沆。

§1-2测量平差学科的研究对象1.2.06 何谓多余观测?测量中为什么要进⾏多余观测？1.2.07 测量平差的基本任务是什么？§1-3测量平差的简史和发展1.3.08 ⾼斯于哪⼀年提出最⼩⼆乘法？其主要是为了解决什么问题？1.3.09 ⾃20世纪五六⼗年代开始，测量平差得到了很⼤发展，主要表现在那些⽅⾯？§1-4 本课程的任务和内容1.4.10 本课程主要讲述哪些内容？其教学⽬的是什么？第⼆章误差分析与精度指标§2-1 正态分布2.1.01 为什么说正态分布是⼀种重要的分布？试写出⼀维随机变量X的正态分布概率密度式。

§2-2 偶然误差的规律性2.2.02 观测值的真误差是怎样定义的？三⾓形的闭合差是什么观测值的真误差？2.2.03 在相同的观测条件下，⼤量的偶然误差呈现出什么样的规律性？2.2.04 偶然误差*服从什么分布？它的数学期望和⽅差各是多少？§2-3 衡量精度的指标测值⽐误差⼤的观测值精度⾼？2.3.07 若有两个观测值的中误差相同，那么，是否可以说这两个观测值的真误差⼀定相同？为什么？2.3.08 为了鉴定经纬度的精度，对已知精确测定的⽔平⾓α=45O00’00”作12次观测，结果为：45o00’06” 44o59’55” 44o59’58” 45o00’04”45o00’03” 45o00’04” 45o00’00” 44o59’58”44o59’59” 44o59’59” 45o00’06” 45o00’03”设α没有误差，试求观测值的中误差。

测量学课后习题参考答案

测量学课后习题参考答案
角
[题7-8]某附合导线如图7-21所示，已知B，C两点的平面坐标和AB，CD边的坐标方位角，观测了图中5个水平角和4条水平距离，试使用fx-5800P程序PM3-1计算1，2，3，4点的平面坐标。
答：我国领土所处的概略经度范围为东经73°27′~东经135°09′，位于统一6°带投影的13~23号带内，位于统一3°带投影的24~45号带内，投影带号不重叠，因此，A点应位于统一6°带的19号带内。
中央子午线的经度为0L=6×19-3=111°。
去掉带号与500km后的A y=210154.33m，A点位于111°子午线以东约210km。
五、全站仪及其使用
[题5-1]全站仪主要由哪些部件组成？
答：全站仪是由电子测角、光电测距、微处理器与机载软件组合而成的智能光电测量仪器，它的基本功能是测量水平角、竖直角和斜距，借助于机载程序，可以组成多种测量功能，如计算并显示平距、高差及镜站点的三维坐标，进行偏心测量、悬高测量、对边测量、后方交会测量、面积计算等。
[题4-1]直线定线的目的是什么？有哪些方法？如何进行？
答：用钢尺分段丈量直线长度时，使分段点位于待丈量直线上，有目测法与经纬仪法。
目估法——通过人眼目估，使分段点位于直线起点与终点的连线上。
经纬仪法——在直线起点安置经纬仪，照准直线终点，仰或俯望远镜，照准分段点附近，指挥分段点位于视准轴上。
[题4-6]直线定向的目的是什么？它与直线定线有何区别？
取地球平均曲率半径R=6371km，则210.154km对应的经度差约为(180×210.154)÷(6371π)=1.88996°=1°53′，则A点的概略经度为111°+1.88996°=112.88996°。
[题1-7]天文经纬度的基准是大地水准面，大地经纬度的基准是参考椭球面。在大地原点处，大地水准面与参考椭球面相切，其天文经纬度分别等于其大地经纬度。“1954北京坐标系”的大地原点在哪里？“1980西安坐标系”的大地原点在哪里？

第1章+测量误差及其传播律

第1章+测量误差及其传播律

1.1 测量误差及分类1、（判断对错）观测数据可以是直接观测的结果，也可以是经过某种变换后的结果。

2、测量平差的两个任务是什么？它是怎样定义的？3、观测值的真误差是怎样定义的？4 、观测（测量）误差分为哪三类，它们是如何定义的，对观测结果的影响有何不同，试举例说明？5、在经典测量平差中，认为观测数据中主要含有的误差成分是（ ）。

A、系统误差；B、偶然误差；C、粗差；D、系统误差和偶然误差。

1.2 偶然误差的概率特性1、在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现出什么样的规律性？2、偶然误差服从什么分布？它的概率密度如何表示？ 1.3 精度及其衡量指标1、何谓精度？通常采用哪几种指标来衡量精度？它们各自是怎样定义的？2、（判断对错）在相同的观测条件下，对同一个量进行若干次观测得到一组观测值，这组观测值中，误差小的观测值比误差大的观测值的精度高。

3、（判断对错）若两个观测值的中误差相同，这两个观测值的真误差也一定相同。

4、有一段距离，其观测值及其中误差为mm m 15300 ，试估计这个观测值的真误差的实际可能范围是多少？并求出该观测值的相对中误差？5、为了鉴定经纬仪的精度，对已知水平角 （3000450 ），观测了6次，观测结果如下。

求观测值的中误差、平均误差、或然误差和极限误差。

6、已知两种测量条件下的真误差分别如下：Ⅰ1,0,2,-2,-1；Ⅱ-2,3,-2,2,-3。

试比较两组观测结果的精度。

1.4 协方差传播律 1、设有观测向量 TL L X 211,2 ，已知3ˆ1 L，5ˆ2 L ，2)'('4ˆ21 L L ，试写出其协方差阵XX D 。

7000450 5595440 8595440 4000450 9595440 75954402、设有观测向量 TL L L L 3211,3 ，其协方差阵为1630392024LLD ，试写出观测值1L ，2L ，3L 的中误差及其协方差21L L 、31L L 、32L L 。

《误差理论与测量平差基础教学课件》第一章练习

《误差理论与测量平差基础教学课件》第一章练习

02
测量平差基础
平差的定义与目的
总结词
理解平差的定义和目的对于掌握测量平差基础至关重要。
详细描述
平差是指在测量数据处理过程中，通过对各种误差的消除、 削弱或合并，以提高测量数据的精度和可靠性。平差的目的 是通过对测量数据的处理，得到更为准确可靠的结果，以满 足各种工程或科学研究的需求。
平差的基本原理与方法
测量平差是误差理论的具体应用，通过对测 量数据的处理，可以消除或减小误差对测量 结果的影响，提高测量精度和可靠性。
在实际应用中，误差理论与测量平差是不可 或缺的，它们广泛应用于大地测量、工程测 量、海洋测量等领域，为各种测量数据的处 理和分析提供了重要的技术支持。
未来研究方向与展望
随着科技的发展和测量技术的不断进步，误差理论与测量平差的研究也在不断深入。
总结词
对平差结果的精度进行评估是确保测量数据可靠性的重要步骤。
详细描述
精度评估是通过对平差结果的方差、中误差、协方差等统计量的计算和分析来进行的。方差用于描述测量数据 的离散程度，中误差则表示测量数据的标准误差，协方差则用于描述不同测量数据之间的相关性。通过对这些 统计量的分析和比较，可以评估出平差结果的精度和可靠性，从而为后续的工程或科学研究提供更为准确的数 据支持。
测量误差的来源与控制
总结词
测量误差的来源主要包括测量工具、测量方法、环境条 件和人为因素等，控制误差的方法包括提高测量工具的 精度、改进测量方法、合理选择环境条件和加强人员培 训等。
详细描述
测量误差的来源主要包括测量工具、测量方法、环境条 件和人为因素等，控制误差的方法包括提高测量工具的 精度、改进测量方法、合理选择环境条件和加强人员培 训等。
案例分析：高程测量数据处理

第五章 误差传播规律题库

第五章 误差传播规律题库

例1：在1:500地形图上量得某两点间的距离d =，其中误差m d =±，求该两点间的地面水平距离D 的值及其中误差m D 。

解：实距=比例尺×图距（属于倍数函数）；D=500d=； m D =±500m d =±例2：设对某一个三角形观测了其中α、β两个角，测角中误差分别为m α =±˝，m β=±˝，试求γ角的中误差m γ。

解：γ=A-α-β（属于和差数函数），γ=180˚-α-β ；1726532222''±=+±=+±=.).().(βαγm m m例3：试推导出算术平均值中误差的公式： 算术平均值：n l nl n l n n l x 11121+++==][ 设k n=1，则n kl kl kl x +++= 21（属于和差数函数）。

因为等精度观测，各观测值的中误差相同，即n m m m === 21 得算术平均值的中误差为：12222222222212nm m m m nm k m k m k M n±=+++±=+++±= (所以：nmM ±= （说明：在相同的观测条件下，算术均值的中误差与观测次数的平方根成反比。

设观测值的中误差m=1，则算术平均值的中误差M 与观测次数n 的关系如图所示。

随着观测次数的增加，算术平均值的精度固然随之提高，但是，当观测次数增加到一定数值后（例如n=10）算术平均值精度的提高是很微小的。

因此，不能单以增加观测次数来提高观测成果的精度，还应设法提高观测本身的精度。

例如，采用精度较高的仪器，提高观测技能，在良好的外界条件下进行观测等。

） 例4：推导用三角形闭合差计算测角中误差公式。

设等精度观测了n 个三角形的内角，其测角中误差为m β。

各三角形闭合差为：︒-++=180i i i c b a f iβ（属于和差数函数）。

第二章 误差传播律

第二章 误差传播律

z x x ...... x
2 2 2
1 2
2
n
即：多个独立观测值代数和的方差，等于多个独立观测值方差 之和。例2-3P12，2-4P13；
二、误差传播律
误差传播律的特例 （3）线性函数
z k1 x1 k 2 x2 ..... k n xn
写成矩阵的形式： Z KX
二、误差传播律
4、观测值非线性函数方差
f 因此，设ki , 代人公式可得 xi
Z k1 x1 k 2 x2 ...... k n xn
例 2-6 P15 习题2-13 P32
二、误差传播律
根据误差传播律的一般性质，可得出应用误差传播律的实际步骤: （1）根据具体测量问题，分析写出函数表达式 （2）根据函数表达式写成真误差关系式 （3）按误差传播律计算函数的方差和中误差
Z 1 2 ...... n
z 1 2 ...... n
2 2 2 2
第五节 误差传播律在测量中应用
5、根据实际要求确定部分观测值的精度 在测量实际工作中，经常会出现为了使观测值函数的精度 达到某一预定值的要求，反推观测值应有的精度，即已知 观测值函数的精度，求部分观测值的精度。 例2-7P18 习题2-9，2-12P32
n
[ i j ] n
衡量观测向量之精度的指标是方差—协方差矩阵。 一般地，设n维观测向量为
则其方差—协方差矩阵定义为：
4.当该组观测值是一组独立观测值时，则 li l j 0(i j ) 此时方差阵变为对角阵，即
5.当该组观测值是一组同精度独立观测值时，则
l l l ...... l ，此时方差阵变为数量矩阵
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x2

y1
x2 y2



x2 ym


xn y1 xn y2 xn ym

2 i
02Qii
ji 02Qij

2 j
02Q jj
观测值向量 L 的协因数阵 n1
Q11 Q12 Q1n
QXX
n,n
Q21 Qn1
• 单个误差在大小和符号上都没有任 何规律，表现出随机性，每个误差对 总体的影响很小，没有哪个误差在整 个误差中占优势，
• 但大量误差的总体却呈现出一定的 统计规律。
偶然误差的统计规律性
1、在一定的观测条件下，误差的绝对值 有一定的限值（界限性 ）；
2、绝对值较小的误差比绝对值较大的误 差出现的概率大（聚中性 ）；
f ()

1
2
exp

E()2
2 2



1
2
exp
2
2 2


频数/d
0.630
频数/d
0.475
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
提示：观测值定了其 分布也就确定了，因 此一组观测值对应相 同的分布。不同的观 测序列，分布不同。 但其极限分布均是正 态分布。


x1xn

x2 xn




xn
x1
xn x2


2 xn

DXX特点：
对称可逆方阵
主对角线上元素为对应观测值的方差; 非主对角线上元素为对应两个观测值的协方差
观测值向量间的 互协方差阵
x1y1 x1y2 x1ym
DXY
n,m
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
频数/d
f ()
1
e
2 2 2
2
-0.8-0.6-0.4 0 0.4 0.6 0.8
闭合差
精度：误差分布的密集或离散 程度。
精度评定指标：中误差（方差） 相关性评定指标：协方差
一、单个观测值的方差/中误差
方差：
2 lim [] D() E(2 )
单个观测值的权和协因数
pi


2 0

2 i
Qii

1 pi


2 i

2 0
Qij

ji

2 0
称pi为观测值Li的权。 Qii为观测值Li的协因数， Qij为观测值Li关于Lj的互协因数。
二、观测值向量的 自协方差阵


2 x1
DXX
n,n



x2

x1
x1x2

2 x2
3、绝对值相等的正负误差出现的概率相 同（对称性 ）；
4、偶然误差的数学期望为零
偶然误差的统计规律性
偶然误差 ，服从正态分布N(0, 2 )
f ()
σ不同，曲线的位置不变，形 状却变化:σ愈小，曲线顶点愈 高，形状愈陡峭，误差分布 密集于随机变量的数学期望 附近。

0
偶然误差的概率密度函数是图：2.2.1
1
2
n
( f ) ( X X 0 ) ( f ) ( X X 0 ) ( f ) ( X X 0 )
X 0 1
1
X 0 2
2
X 0 n
n
1
2
n
(略去二次以上项）
四、观测值函数的误差D 传02Q播
Z K X K0
t ,1
t , n n,1
t ,1
Y
r ,1
F X
r , n n,1
F0
r ,1
协方差传播律
协因数传播律
DZZ K DXX KT t,t t,n n,n n,t
DZY K DXX FT
t,r t,n n,n n,r
QZZ
tt

K
tn
QXX
nn
KT
nt
QZY K QXX FT
tr tn nn nr
五、误差传播律在测量中的应用
Q22
Qn2

Q2n



Qnn

DXX


Q 2
0 XX
三、二观、观测测值值函线性数函的数误的方差差传播
1、线性函数 ：
X
n,1

[
X1,
X
2
,...X
n
]T
,
DXX
Z K X K0
t ,1
t , n n,1
t ,1
Y F X F0
r ,线性化：
X
n,1

[X1,
X
2 ,...X
n ]T
,
DXX
Z f (X ) f (X1, X2, Xn )
X 0 [ X 0 , X 0 ,...X ]0 T 近似值
n ,1
1
2
n
将Z=f(X)按台劳级数在X0处展开：
Z f ( X 0 , X 0, X 0 )
误差理论习题课
误差理论基础
L~ L L~ L
• 受观测条件的限制，观测值不可避免
地存在观测误差
•观测条件：
• • 观测仪器、观测者、观测环境
• 观测条件的好坏将直接影响测量成果 的质量
根据观测误差对测量结果的影响性 质，观测误差可分为：
偶然误差、系统误差、粗差
同时产生于观测过程中，同时综合 影响着观测值。
1、由三角形闭合差计算测角中误差的 菲列罗公式：
ˆ 2 WW
3n

2 w

3
2
ˆ WW
3n
w 3
2、独立等精度观测量算术平均值的中 误差公式：
Lˆ

1
2

n
2

n
1
n
3、等精度独立观测两水准点间观测高 差的中误差公式：
h n
n n
2 f ()d
中误差：
2 lim []
n n
两个观测值之间的协方差
xy

lim [ x y ] n n

DXY
E{( X E( X ))(Y E(Y ))}
E{ x y }
方差反映了X的误差分布的离散程度; 协方差反映了X和Y之间的相关关系.
h
S
1
s

S
4、独立等精度观测量算术平均值的权：
P n Lc
5、等精度独立观测两水准点间观测高 差的权：
p c hs
h
pc hN
h
6、等精度观测数据均值中误差 （白赛三尔、公协式方）差传播率的应用
• 经典平差的前提条件之一： 观测值中只含偶然误差，或偶然误差占
主导地位
• 经典平差的前提条件之二： 观测值互不相关(任意两个观测值之间
的协方差为零）
• 经典平差的前提条件之三： • 平差前，观测值的先验统计信息已知
（观测值的中误差或权已知）
偶然误差表现：
• 在相同的观测条件下进行一系列观 测，