江苏省南菁、泰兴、常州一中、南京二十九中四校2021届高三联考数学试题含答案

2021届江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市高三下学期一模考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)(满分150分，考试时间120分钟)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A＝{x∈N|2<x<6}，B＝{x|log2(x－1)<2}，则A∩B＝( )A. {x|3≤x＜5}B. {x|2＜x＜5}C. {3，4}D. {3，4，5}2. 已知2＋i是关于x的方程x2＋ax＋5＝0的根，则实数a＝( )A. 2－iB. －4C. 2D. 43. 哥隆尺是一种特殊的尺子.图①的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6.图②的哥隆尺不能一次性度量的长度为( )A. 11B. 13C. 15D. 174. 医学家们为了揭示药物在人体内吸收、排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x(单位：mg)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式x＝kk(1－e－kt)，其中k，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：mg/h).经测试发现，当t＝23时，x＝k2k，则该药物的消除速率k的值约为(ln 2≈0.69)( )A.3100B.310C.103D.10035. (1－2x)n的二项展开式中，奇数项的系数和为( )1A. 2nB. 2n －1C. （－1）n ＋3n 2D. （－1）n －3n 26. 函数y ＝sin πx|2x －1|的图象大致为( )7. 已知点P 是△ABC 所在平面内一点，有下列四个等式：甲：PA →＋PB →＋PC →＝0； 乙： PA →·(PA →－PB →)＝PC →·(PA →－PB →)； 丙：|PA →|＝|PB →|＝|PC →|； 丁： PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →. 如果只有一个等式不成立，则该等式为( ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁8. 已知曲线y ＝ln x 在A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点处的切线分别与曲线y ＝e x 相切于C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，则x 1x 2＋y 3y 4的值为( )A. 1B. 2C. 52D. 174二、 多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，不选或有选错的得0分.9. 已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则( ) A. 若m∥α，n ∥α，则m∥n B. 若m∥α，m ⊥β，则α⊥βC. 若α∥β，m ⊥α，n ⊥β，则m∥nD. 若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m⊥n 10. 已知函数f(x)＝sin(2x －π6)，则( ) A. f(x)的最小正周期为πB. 将y ＝sin 2x 的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，可得到f(x)的图象 C. f(x)在(－π6，π3)上单调递增3D. 点(－5π12，0)是f(x)图象的一个对称中心 11. 若函数f(x)＝⎩⎨⎧－x 3－x ＋2＋m ，x ＜1，x ＋1－ln x ，x≥1的值域为[2，＋∞)，则( )A. f(3)＞f(2)B. m ≥2C. f(ln 22)＜f(1e) D. log m (m ＋1)＞log (m ＋1)(m ＋2) 12. 冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热.下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为( )A. 中位数为3，众数为2B. 均值小于1，中位数为1C. 均值为3，众数为4D. 均值为2，标准差为 2 三、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在正项等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7 ＝27，则∑9i ＝1log 3a i ＝ Ｗ. 14. 已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，写出双曲线C 的一个标准方程： Ｗ.15. “康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，△ABC 的三条边长分别为BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c.延长线段CA 至点A 1，使得AA 1＝a ，以此类推得到点A 2，B 1，B 2，C 1和C 2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知a ＝4，b ＝3，c ＝5，则由△ABC 生成的康威圆的半径为 Ｗ.16. 已知在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.过直线O 1O 2的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为8.若P 为圆柱底面圆弧CD ︵的中点，则平面PAB 与球O 的交线长为 Ｗ.四、 解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分10分)已知等差数列{a n }满足a n ＋2a n ＋1＝3n ＋5. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 记数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为S n ，若n ∈N *，S n ＜－λ2＋4λ(λ为偶数)，求λ的值.18.(本小题满分12分)在① (b ＋a －c)(b －a ＋c)＝ac ；② cos(A ＋B)＝sin(A －B)；③ tanA ＋B2＝sin C 这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝22， ， ？(注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.)519. (本小题满分12分)2019年4月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“3＋1＋2”高考新模式，为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级800名学生的选科情况，部分数据如下表：(1) 根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；(2) 该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取5人，组成数学学习小组.一段时间后，从该小组中抽取3人汇报数学学习心得.记3人中男生人数为X ，求X 的分布列和数学期望E(X).参考公式和数据：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d.20. (本小题满分12分)如图，在正六边形ABCDEF 中，将△ABF 沿直线BF 翻折至△A′BF，使得平面A′BF⊥平面BCDEF ，点O ，H 分别为BF 和A′C 的中点.(1) 求证：OH∥平面A′EF；(2) 求平面A′BC与平面A′DE所成锐二面角的余弦值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2ln xx－a.(1) 若f(x)≥0，求实数a的取值范围；(2) 若函数f(x)有两个零点x1，x2，求证：x1x2＜1.22.(本小题满分12分)已知点A，B在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上，点A在第一象限，O为坐标原点，且OA⊥AB.7(1) 若a ＝3，b ＝1，直线OA 的方程为x －3y ＝0，求直线OB 的斜率；(2) 若△OAB 是等腰三角形(点O ，A ，B 按顺时针排列)，求ba的最大值.2021届江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市高三下学期一模考试数学参考答案1. C2. B3. C4. A5. C6. D7. B8. B9. BC 10. ACD 11. ABD 12. BD 13. 9 14. x 2－y 24＝1(答案不唯一) 15. 37 16. 4105π17. 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ， 因为a n ＋2a n ＋1＝3n ＋5，所以⎩⎨⎧a 1＋2a 2＝8，a 2＋2a 3＝11，即⎩⎨⎧3a 1＋2d ＝8，3a 1＋5d ＝11，解得a 1＝2，d ＝1，(2分) 所以a n ＝2＋(n －1)＝n ＋1. 经检验，a n ＝n ＋1符合题设，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1.(4分) (2) 由(1)得1a n a n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，(6分)所以Sn ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n＋1－1n＋2)＝12－1n＋2.(8分)因为n∈N*，Sn＜－λ2＋4λ，所以－λ2＋4λ≥12，即(λ－2)2≤72.因为λ为偶数，所以λ＝2.(10分)18. 解：选择条件①和②.因为(b＋a－c)(b－a＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝ac.(2分)由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝12.因为0＜B＜π，所以B＝π3.(4分)因为cos(A＋B)＝sin(A－B)，所以cos(A＋π3)＝sin(A－π3)，所以cos Acos π3－sin Asinπ3＝sin Acosπ3－cos Asinπ3，所以sin A＝cos A.(6分)因为0＜A＜π，所以A＝π4.(8分)在△ABC中，由正弦定理asin A＝bsin B，得22sinπ4＝bsinπ3，(10分)所以b＝22sinπ3sinπ4＝2 3.(12分)选择条件①和③.因为(b＋a－c)(b－a＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝ac.(2分)由余弦定理，得cos B＝a2＋c2－b22ac＝12.9因为0＜B ＜π，所以B ＝π3.(4分) 因为tan A ＋B 2＝sin C ，且tan A ＋B 2＝tan π－C2＝sinπ－C 2cos π－C 2＝cos C2sinC2，所以cosC2sinC 2＝sin C ＝2sin C 2cos C2.(6分)因为0＜C ＜π，所以cos C 2≠0，所以sin 2C 2＝12.因为0＜C ＜π，所以sin C 2＞0，所以sin C 2＝22，可得C ＝π2.(8分)所以在Rt △ABC 中，b ＝atan π3＝2 6.(12分) 选择条件②和③.因为cos(A ＋B)＝sin(A －B)，所以cos Acos B －sin Asin B ＝sin Acos B －cos Asin B ， 所以(sin A －cos A)(sin B ＋cos B)＝0.(2分) 所以sin A ＝cos A 或sin B ＝－cos B. 因为0＜A ＜π，0＜B ＜π， 所以A ＝π4或B ＝3π4.(4分) 因为tan A ＋B 2＝sin C ，且tan A ＋B 2＝tan π－C2＝sin π－C 2cos π－C 2＝cosC 2sinC2，所以cosC2sinC 2＝sin C ＝2sin C 2cos C2.(6分)因为0＜C＜π，所以cos C2≠0，所以sin2C2＝12.因为0＜C＜π，所以sin C2＞0，所以sinC2＝22，可得C＝π2.(8分)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π4，C＝π2，B＝π4.(10分)所以△ABC为等腰直角三角形，所以b＝a＝2 2.(12分) 19. 解：(1)(2分)因为K2＝800×（300×150－250×100）2550×250×400×400＝（450－250）255×25×2＝16011＞10.828，所以有99.9%的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关.(6分) (2) 按照分层抽样的方法，抽取男生2人，女生3人.(7分)随机变量X的所有可能取值为0，1，2.所以P(X＝0)＝C02C33C35＝110，P(X＝1)＝C12C23C35＝35，P(X＝2)＝C22C13C35＝310.所以X的分布列为(10分)11所以E(X)＝0×110＋1×35＋2×310＝65. 答：X 的数学期望为65.(12分)20. (1) 证明：如图，取A′E 的中点G ，连接FG ，HG ，CE. 因为H 是A′C 的中点， 所以HG∥CE，HG ＝12CE.因为正六边形ABCDEF 中，BF ∥CE ，BF ＝CE ， 所以HG∥BF，HG ＝12BF.(2分)又O 为BF 的中点，所以HG∥OF，HG ＝OF ，所以四边形OFGH 为平行四边形，所以OH∥FG.(4分) 因为FG平面A′EF，OH平面A′EF，所以OH∥平面A′EF.(6分)(2) 解：由条件可知OA′⊥OB，OA ′⊥OD ，OD ⊥OB.分别以OB ，OD ，OA ′所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 设正六边形ABCDEF 的边长为2，则B(3，0，0)，C(3，2，0)，D(0，3，0)，E(－3，2，0)，A ′(0，0，1)， 所以BC →＝(0，2，0)，A′C →＝(3，2，－1)，ED →＝(3，1，0)，A′D →＝(0，3，－1).设平面A′BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BC →＝0，n 1·A ′C →＝0，得⎩⎨⎧2y 1＝0，3x 1＋2y 1－z 1＝0.取x 1＝1，可得n 1＝(1，0，3).(8分) 设平面A′DE 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·ED →＝0，n 2·A ′D →＝0，得⎩⎨⎧3x 2＋y 2＝0，3y 2－z 2＝0.取x 2＝1，可得n 2＝(1，－3，－33).(10分) 设平面A′BC 与平面A′DE 所成锐二面角的大小为θ， 则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1|·|n 2|＝|1×1＋0×（－3）＋3×（－33）|1＋0＋3×1＋3＋27＝43131， 所以平面A′BC 与平面A′DE 所成锐二面角的余弦值为43131.(12分) 21. (1) 解：函数f(x)＝x 2－2ln xx－a 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x)＝2x －2（1－ln x ）x 2＝2（x 3＋ln x －1）x 2.(1分)设r(x)＝x 3＋ln x －1，所以r′(x)＝3x 2＋1x ＞0，所以函数r(x)＝x 3＋ln x －1在(0，＋∞)上单调递增. 又r(1)＝0，列表如下：x (0，1) 1 (1，＋∞)f′(x) －0 －f(x)极小值(3分)所以当x ＝1时，函数f(x)＝x 2－2ln xx－a 取得最小值为f(1)＝1－a.(4分)因为f(x)≥0，即1－a≥0，所以a≤1.所以实数a的取值范围是(－∞，1].(5分)(2) 证明：不妨设x1＜x2.由(1)可得，函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以0＜x1＜1＜x2，0＜1x2＜1.(6分)因为f(x1)＝f(x2)＝0，所以f(x1)－f(1x2)＝f(x2)－f(1x2)＝(x22－2ln x2x2－a)－(1x22－2ln1x21x2－a)＝(x2＋1x2)(x2－1x2－2ln x2).(8分)设函数g(x)＝x－1x－2ln x(x＞1)，则g′(x)＝1＋1x2－2x＝（x－1）2x2＞0(x＞1)，函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增.所以g(x2)＝x2－1x2－2ln x2＞g(1)＝0，(10分)所以f(x1)－f(1x2)＞0，即f(x1)＞f(1x2).又函数f(x)＝x2－2ln xx－a在(0，1)上单调递减，所以0＜x1＜1x2＜1，所以x1x2＜1.(12分)22. 解：(1) 由a＝3，b＝1，得椭圆方程为x23＋y2＝1.13由⎩⎨⎧x 23＋y 2＝1，x －3y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－12.因为点A 在第一象限，所以A(32，12).(2分)又OA⊥AB，所以直线AB 的方程为y －12＝－3(x －32)，即3x ＋y －5＝0.由⎩⎨⎧x 23＋y 2＝1，3x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝127，y ＝－17或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12，所以B(127，－17)，(3分)所以直线OB 的斜率为k OB ＝－17127＝－112.(4分)(2) (解法1)设直线OA 的斜率为k(k ＞0)，则直线AB 的斜率为－1k .因为△OAB 是等腰直角三角形(点O ，A ，B 按顺时针排列)， 所以设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1＞0，y 1＞0，x 1＜x 2).又OA ＝AB ，所以x 21＋y 21＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2， 得1＋1k 2|y 1|＝1＋（－1k）2|x 1－x 2|，所以y 1＝x 2－x 1，即x 2＝x 1＋y 1.又由OA⊥AB，得y 1x 1×y 2－y 1x 2－x 1＝－1，所以y 2＝y 1－x 1.(6分)因为点A(x 1，y 1)，B(x 1＋y 1，y 1－x 1)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，15所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，（x 1＋y 1）2a 2＋（y 1－x 1）2b 2＝1，所以x 21a 2＋y 21b 2＝（x 1＋y 1）2a 2＋（y 1－x 1）2b 2，整理得b 2(y 1x 1)2－2(a 2－b 2)y 1x 1＋a 2＝0.(8分)所以Δ＝4(a 2－b 2)2－4a 2b 2≥0，即(a 2－b 2＋ab)(a 2－b 2－ab)≥0.(10分) 因为a 2－b 2＋ab ＞0，所以a 2－b 2－ab≥0，即(b a )2＋b a －1≤0，所以b a ≤5－12，当k ＝y 1x 1＝2（a 2－b 2）2b 2＝a 2b 2－1＝5＋12时，b a 取最大值5－12.(12分) (解法2)设直线OA 的斜率为k(k ＞0)，倾斜角为θ(0°＜θ＜90°). 因为△OAB 是等腰直角三角形(点O ，A ，B 按顺时针排列)，且OA⊥AB， 所以直线OB 的斜率为k OB ＝tan (θ－45°)或k OB ＝tan (θ＋135°)， 所以k OB ＝k －11＋k.(6分) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1＞0，y 1＞0，x 1＜x 2).由⎩⎨⎧y ＝kx ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得x 21＝a 2b 2b 2＋a 2k 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k －11＋k x ，x 2a 2＋y2b 2＝1，得x 22＝a 2b 2b 2＋a 2（k －11＋k ）2＝a 2b 2（1＋k ）2b 2（1＋k ）2＋a 2（1－k ）2.又OB ＝2OA ，所以2OA 2＝OB 2，得2(1＋k 2)x 21＝[1＋(k －11＋k)2]x 22， 2(1＋k 2)a 2b 2b 2＋a 2k 2＝[1＋(k －11＋k )2]a 2b 2（1＋k ）2b 2（1＋k ）2＋a 2（k －1）2.整理得b 2k 2＋2(b 2－a 2)k ＋a 2＝0，(8分)所以Δ＝4(b 2－a 2)－4a 2b 2≥0，即(a 2－b 2)2－a 2b 2≥0， 所以(a 2－b 2＋ab)(a 2－b 2－ab)≥0.(10分) 因为a 2－b 2＋ab ＞0，所以a 2－b 2－ab≥0，即(b a )2＋ba －1≤0，所以b a ≤5－12，当k ＝－2（b 2－a 2）2b 2＝a 2b 2－1＝5＋12时，b a 取最大值5－12.(12分)2021届江苏省南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江六市高三下学期一模考试数学试卷。

一、选择题．本题共 8 小题，每小题 S 分，共 40 分．在每小题给出的四个选顷中，只有一项是符合题目要求
的．
1．设复数 z 满足 1 + i z = 1，则 z = ( )
A．
1 2
B．
2 2
C． 2
D． 1
2．已知集合 A = 0,1,2,3,4 ，B = xtanx ≥ 0,x ∈ A ，则 A ∩ B 中所有元素的和为 ( )
(2)
在
△ABC
中，角
A ，B ，C
所对的边分别为
a，b，c，f
A 2
=
33 4
，a
=
7，△ABC
的面积为
153 4
，
求 sinB + sinC 的值．
19．如图，E 是以菱形 ABCD 的边 AD 为直径的半圆弧上一点，∠BAD = 60°，AB = BE = 2DE = 2，
且 M 为 AD 的中点．
∴ PB ⊥ 平面 PAC ，∴ PB ⊥ PA，且 PB ⊥ PC
则 PA，PB，PC 两两垂直
如图将 P - ABC 补成一个正方体
AB = AC = BC = 2
∴ PA = PB = PC = 2
外接球半径
r
=
6 2
，S
=
4πt2
=
6π，选
A．
9． ACD 10． BD
11． AC
【解析】
22．设函数 f x = 3sinx - x3，g x = 2ex-23 ． (1) 证明：当 x ∈ -1,0 时，f x ≤ 0； (2) 判断函数 F x = f x - g x 在 -2, + ∞ 上的零点个数．

江苏省G4（苏州中学、扬州中学、盐城中学、常州中学）2021-2022学年高三上学期12月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知复数z 满足()12i z i -=（其中i 为虚数单位），则z =（ ）A B ．2C ．1D ．42．若集合{}2370,A x x x x Z =+≤∈，且B A ⊆，则满足条件的集合B 的个数是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．83．若{}n a 为等比数列，则“s t p q a a a a =”是“s t p q +=+（s ，t ，p ，*N q ∈）”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件4．若()*12nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中只有第三项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ） A ．6B ．12C ．24D ．485．已知平面向量a ，b 满足2a =，2b =，a 与b 的夹角为45°，()b a a λ-⊥，则实数λ的值为（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-6．已知cos()sin()6παπα-+-=cos()3πα-的值（ ）A ．B ．15-C ．15D 7．已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A．B ．C ．5+D ．3+8．若不等式()()2e 2ln 12xa x a x ->-+++对()0,x ∈+∞恒成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()2,+∞D ．[)2,+∞二、多选题9．已知定义在R 上的函数()4,Z4,Z x f x x -∈⎧=⎨∉⎩，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是偶函数C ．对任意R x ∈，()()4f f x =-D ．()f x 的图象关于直线12x =对称10．已知函数()sin 2f x x x =，则下列说法正确的有（ ） A ．点,03π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的图象的一个对称中心B ．对任意x ∈R ，函数()f x 满足66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．函数()f x 在区间()0,π上有且仅有1个零点D ．存在512πθ>-，使得()f x 在()5,Z 12k k k πππθ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上单调递增 11．已知两个变量y 与x 线性相关，为研究其具体的线性关系进行了10次实验．实验中不慎丢失2个数据点，根据剩余的8个数据点求得的线性回归方程为3 4.5y x =+，且4x =，又增加了2次实验，得到2个数据点()2,11，()6,22，根据这10个数据点重新求得线性回归方程为y mx n =+（其中m ，R n ∈），则（ ） A ．变量y 与x 正相关 B ．3m <C ． 4.5n <D ．回归直线y mx n =+经过点()4,16.512．已知实数a ，b 满足等式()2e e 22a bb a -=-，则下列不等式中可能成立的有（ ） A ．0a b << B ．0b a << C ．0a b << D ．0b a <<三、填空题13．双曲线22194x y -=的焦点到渐近线的距离为_____________．14．若数列{}n a 满足12a =，23a =，()*21n n n a a a n +++=∈N ，则2021a 的值为__________．15．在如图所示的四边形区域ABCD 中，1AB BC ==，2CD =，120B C ∠=∠=︒，现园林绿化师计划在区域外以AD 为边增加景观区域ADM ，当135AMD ∠=︒时，景观区域ADM 面积的最大值为__________．四、双空题16．已知在四棱锥S -ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是等腰梯形，//BC AD ，若8SD AD ==，6BC =，AB CD ==S -ABCD 的体积为__________；它的外接球的半径为__________五、解答题17．设数列{}n a 的前n 项和为n s ，且满足()12n n n s s a n N *+=++∈，()54623s a a =+．(1)求数列的通{}n a 项公式：(2)若12na n nb a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点．(1)求证：1BD ∥平面EAC ；(2)求直线1AB 与平面EAC 所成角的正弦值．19．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin cos sin B A C >． (1)求证：B 为钝角；(2)若△ABC 同时满足下列4个条件中的3个：△cos A △sin C =△2a =；△c =△ABC 存在的这3个条件仅有一组，写出这组条件并求b 的值． 20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且过点()2,3．(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，过点()3,0R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连接AP ，AQ 分别交直线163x =于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为1k ，2k ，试问12k k 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 21．AMC 是美国数学竞赛（American Mathematics Competitions ）的简称，其中AMC10是面向世界范围内10年级（相当于高一年级）及以下的学生的数学竞赛，AMC10试卷由25道选择题构成，每道选择题均有5个选项，只有1个是正确的，试卷满分150分，每道题答对得6分，未作答得1.5分，答错得0分．考生甲、乙都已答对前20道题，对后5道题（依次记为1T ，2T ，3T ，4T ，5T ）均没有把握确定正确选项．两人在这5道题中选择若干道作答，作答时，若能排除某些错误选项，则在剩余的选项中随机地选择1个，否则就在5个选项中随机地选择1个．(1)已知甲只能排除1T ，2T ，3T 中每道题的1个错误选项，若甲决定作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ，求甲的总分不低于135的概率；(2)已知乙能排除1T ，2T ，3T 中每道题的2个错误选项，但无法排除剩余2道题中的任一错误选项．△问乙采用怎样的作答策略（即依次确定后5道题是否作答）可使其总分的数学期望最大，并说明理由；△在△的作答策略下，求乙的总分的概率分布列．22．已知函数()cos xf x e ax x =--，()()g x f x x =-，a R ∈．(1)若()f x 在[)0,∞+上单调递增，求a 的最大值；(2)当a 取（1）中所求的最大值时，讨论()g x 在R 上的零点个数，并证明()g x >参考答案：1．A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得复数1z i =-+，再根据复数的模长公式可得结果. 【详解】由()12i z i -=得2i2i(1i)22i1i 1i (1i)(1i)2z +-+====-+--+，所以|||1|z i =-+= 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求集合A ，并列举出A 中元素，再由包含关系求集合B 的个数. 【详解】由题设，{}70,2,1,03A x x x Z ⎧⎫=-≤≤∈=--⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，所以集合B 有328=个. 故选：D ． 3．C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质，分别从充分性、必要性两方面判断题设条件间的推出关系，进而确定它们充分、必要关系. 【详解】充分性：若s t p q a a a a =，当1q =时，21s t a a a =，21p q a a a =，此时s t +与p q +不一定相等，不充分．必要性：若s t p q +=+，则2112211s t s t s t a a a qa q -+-+-==，2112211p q p q p q a a a q a q -+-+-==，所以s t p q a a a a =，综上，“s t p q a a a a =”是“s t p q +=+”的必要不充分条件． 故选：C 4．C 【解析】 【分析】由题知4n =，进而得其展开式的通项公式44214C 2rrr r T x --+=，进而2r =时324T =为常数项.【详解】解：△二项式系数最大的项只有第三项， △展开式中共有5项，△4n =．△41122n x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式第1r +项为()44421441C 2C 2rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，△当2r =时，2234C 26424T ==⨯=为常数项.故选：C ． 5．A 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，化简求得λ的值. 【详解】()0b a a λ-=⊥，20ab a λ⋅-=，40λ⋅=，△2λ=. 故选：A 6．C 【解析】 【分析】利用差角公式和诱导公式将题中所给的条件化简，求得11cos 25αα=，利用辅助角公式得到结果. 【详解】cos()sin()6παπα-+-=3sin 2αα+=，即11cos 25αα=1cos()35πα∴-= 1cos()35πα∴-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关三角变换的问题，涉及到的知识点有余弦差角公式、诱导公式和辅助角公式，属于基础题目. 7．C 【解析】求出点A 的轨迹方程，确定A 点轨迹，然后通过几何意义求得最大值． 【详解】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --5CD ，△AB 的最大值为5CD =+ 故选：C. 【点睛】本题考查交轨法求轨迹方程，考查两点间的距离公式．由圆的性质知某点到圆上的点间距离的最大值可以转化为到圆心的距离与半径的和． 8．B 【解析】 【分析】根据题意，构造函数()()2e 22ln 1xg x x a x x =--++-⎡⎤⎣⎦，0x ≥，在利用导数研究函数单调性得当2a ≤时，()g x 在[)0,∞+单调递增，()()00g x g >=满足条件；当2a >时，存在0x ，使得()g x 在[)00,x 上单调递减，进而()()00g x g <=得矛盾，进而得答案.【详解】解： 因为()2e 2ln 12xa x ax x ->-+++对()0,x ∀∈+∞恒成立，所以()2e 22ln 10xx a x x --++->⎡⎤⎣⎦对()0,x ∀∈+∞恒成立， 故令()()2e 22ln 1xg x x a x x =--++-⎡⎤⎣⎦，0x ≥，()00g =，()'12e 212e 211x x x g a a x x x -⎛⎫=-+-=-+ ⎪++⎝⎭2e 21x ax x =--+，()'00g =，()()''2e 12x g x ax -+=，()''02g a =-，()()()2''212e 11x g x a x x ⎡⎤=+-⎣⎦+， 当20a -≥时，即2a ≤时，()''0g x ≥，则()'g x 在[)0,∞+单调递增，()()''00g g x ≥=，△()g x 在[)0,∞+单调递增，△()()0g x g ≥.0x >时，()()00g x g >=，满足条件．2a >时，()''00g =，x 趋近于+∞时，()''g x 趋近于+∞， △()''g x 在[)0,∞+有解，设为0x ．[)00,x x ∈时，()''0g x <，()'g x 在[)00,x 上单调递减，()()''00g x g <=，△()g x 在[)00,x 上单调递减，△()()00g x g <=，矛盾 综上：2a ≤， 故选：B ． 9．BCD 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断选项A ，B ，根据对称性的定义判断D ，由解析式判断C. 【详解】解：x ∈Z 时，x -∈Z ，()()4f x f x -=-=．x ∉Z 时，x -∉Z ，()()4f x f x -==．△()()f x f x -=，即()f x 为偶函数，A 错，B 对． x ∈Z 时，()4f x =-，4-∈Z ，()()()44f f x f =-=-．x ∉Z 时，()4f x =，4∈Z ，()()()44f f x f ==-．△()()4f f x =-，C 对．x ∈Z 时，1x -∈Z ，此时()()1f x f x =-．x ∉Z 时，1x -∉Z ，此时()()1f x f x =-．综上：()()1f x f x =-，则()f x 关于12x =对称，D 对． 故选：BCD ． 10．AD 【解析】 【分析】化简函数解析式为()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的对称性可判断AB 选项；在()0,x π∈时，解方程()0f x =，可判断C 选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误. 【详解】解：()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()2Z 3x k k ππ+=∈，则()26k x k ππ=-∈Z ， 当1k =时，3x π=，所以，()f x 关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，A 对；由()2Z 32x k k πππ+=+∈得1226k x πππ=+=，则16k =∉Z ．所以，直线6x π=不是()f x 的对称轴，B 错； 当0πx <<时，72333x πππ<+<，由()2sin 203f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得23x ππ+=或2π，解得3x π=或56π，所以，函数()f x 在区间()0,π上有且仅有2个零点，C 错； 对于D 选项，由()222Z 232k x k k πππππ-+<+<+∈，则()5Z 1212k x k k ππππ-+<<+∈，所以，当51212ππθ-<≤时，()f x 在5,12k k πππθ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，D 对．故选：AD. 11．ABD 【解析】 【分析】结合回归直线方程、样本中心点等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】设()2,11A ，()6,22B ，由1134AB k =<， 而8个数据点的回归方程3b =，△03m <<，A ，B 正确． 而10个数据点的4826410x ⨯++==，16.58112216.510y ⨯++==，样品中心()4,16.5，则16.54,16.54m n n m =+=-，03,0412,1240,4.516.5416.5m m m m <<<<-<-<<-<，即4.516.5n <<△D 正确，C 错． 故选：ABD 12．ACD 【解析】 【分析】将已知条件转化为2e 2e 4a b a b +=+，通过构造函数法，结合导数判断出当0b <时，0a b <<，由此判断AB 选项的正确性.当0b >时，对b 取特殊值来判断CD 选项的正确性.【详解】()2e e 22a b b a -=-，2e 42e a b b a -=-，2e 2e 4a b a b +=+，构造()22e 2e 4e e 2b b b bf b b b b =+--=--，()'22e e 2b b f b =--，当0b <时，()'0f b <，f b 在(),0∞-上递减， ()()00f b f >=，此时2e 2e 4b b b b +>+，△22e 2e 2b a b a +>+，构造()2e 2xg x x =+，()g x 在R 上递增，△()()0g b g a a b >⇒<<，A 正确，B 错．当0b >时，()'f b 先负后正，△f b 先减后增，f b 有正有负，取21e 2e 4a b a =⇒+=+，此时()()21e 2e 41g g a a b =+>+=⇒<=，△0a b <<有可能，C 正确．取14b =，124e 2e 1a a +=+，()1124111e e 1424g g a a b ⎛⎫=+<+=⇒>= ⎪⎝⎭，△0a b >>也有可能，D 正确． 故选：ACD 13．2 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，双曲线的右焦点0)F ，其中一条渐近线的方程为22303y x x y =⇒-=，所以焦点到渐近线的距离为2d ==． 考点：点到直线的距离公式及双曲线的性质． 14．3- 【解析】 【分析】由递推式求数列的前几项，确定数列的项的规律，由规律确定2021a . 【详解】 解：132a a a +=，则3211a a a =-=，243a a a +=，则4322a a a =-=-， 354a a a +=，则5433a a a =-=-，6541a a a =-=-， 7652a a a =-=，8763a a a =-=，⋅⋅⋅⋅⋅⋅△数列{}n a 为周期数列，且周期6T =， 又202163365=⨯+，△202153a a ==-． 故答案为：-3.15．)714【解析】 【分析】连AC ，根据已知条件可得90ACD ∠=︒、AC =AD ，再由余弦定理、基本不等式求MA MD ⋅的范围，最后应用面积公式求区域ADM 面积的最大值. 【详解】连AC ，BA BC =，120B ∠=︒，△30ACB ∠=︒，则90ACD ∠=︒，AC =△AD =在△ADM 中，2227MA MD MA MD ⎛+-⋅⋅= ⎝⎭，△2272MA MD MD MAMD MD =+⋅⋅≥△(722MA MD ⋅≤=，当且仅当MA MD =时等号成立， (())727271122284MADS≤⋅⨯==．故答案为：)714.16． 563【解析】 【分析】根据锥体体积公式即可计算第一空；结合几何关系得底面ABCD 的外接圆的半径为5，进而根据空间几何体的外接球问题求解即可． 【详解】 解： ()168172ABCD S =+⨯=， 115678333S ABCD ABCD V S SD -=⋅=⨯⨯=，AC =△BCD 外接圆半径为r 圆为设为M ，则2r =，△=5r ， 设外接球的球心为O ，半径为R ，则()222225825OM R OM R ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，△221641OM R ⎧=⎨=⎩，△R = 17．(1)2n a n = (2)211334nn n ++-⋅【解析】 【分析】（1）根据11n n n a S S ++=-化简条件可得数列为等差数列，再由()54623s a a =+求出首项即可得出等差数列的通项公式；（2）根据等差、等比数列的求和公式利用分组求和即可求解. (1)()12n n n s s a n N *+=++∈ 12n n a a +∴-=，{}n a ∴是以2为公差的等差数列，()54623s a a =+352532a a ∴⨯=⨯，即1110(4)6(8)a a +=+， 解得12a =，2(1)22n a n n ∴=+-⨯=(2)11224na nn n b a n ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2231111111442(123)++++1444414n n n T n n n⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭∴=+++++=++ ⎪⎝⎭-211334nn n ++-⋅=.18．(1)证明见解析 【解析】 【分析】小问1：连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，推导出1//OE BD ，由此能证明1//BD 平面EAC . 小问2：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线1AB 与平面EAC 所成角的大小． (1)证明：连接BD ，交AC 于O ，连接OE ，△在正方体1111ABCD A B C D -中，ABCD 是正方形，△O 是BD 中点， △E 为棱1DD 的中点，△1//OE BD ， △1BD ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ， △1//BD 平面EAC . (2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则()2,0,0A ，()12,2,2B ，()0,2,0C ，()0,0,1E ，()10,2,2AB =，()2,0,1AE =-，()2,2,0AC =-， 设平面EAC 的法向量(),,n x y z =，则20220n AE x z n AC x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，取1x =，得()1,1,2n =， 设直线1AB 与平面EAC 所成角的大小为θ，则116sin 8AB n AB nθ⋅===⋅⋅， △直线1AB 与平面EAC19．(1)证明见解析(2)证明见解析，△△△，1b = 【解析】 【分析】（1）变形()sin cos sin B A A B >+，整理可得cos 0B <，则可得答案；（2）分析可得△△不可能都成立，则△△均成立，再根据条件利用余弦定理计算可得答案. (1)△sin cos sin B A C >，△()sin cos sin sin cos cos sin B A A B A B A B >+=+， △sin cos 0A B <，即cos 0B <， △B 为钝角； (2)△B 为钝角，△2A C π+<，即A ，C 均为锐角，则4A π=，3C π=，若△△均成立，则4A π=，3C π=，此时5122B ππ=<与B 为钝角矛盾， △△△不可能都成立，△△△均成立，△a c >，△A C >，只能选△△△．在△ABC 中，由余弦定理得2224b b +-=由0b >，解得1b =． 20．(1)2211612x y +=(2)是定值，定值为127- 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得,a b ，由此求得椭圆方程.（2）设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得,M N 两点的坐标，由此计算出12127k k =-为定值. (1)由题意知22222124491c a a a b b a b c ⎧=⎪⎪=⎧⎪⎪+=⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=+⎪⎪⎩△椭圆C 的方程为：2211612x y +=.(2)设直线l 的方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，()4,0A -，()22223334483448x my my y x y =+⎧⇒++=⎨+=⎩， △()223418210m y my ++-=，1212221821,3434m y y y y m m --+=⋅=++， 直线AP 方程为：()1144y y x x =++， 令163x =得()112834y y x =+，△()112816,334y M x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭，同理()222816,334y N x ⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭， △()()()()()()121212121212122828161633347374477y y y y y y k k x x y x x my my =⋅⋅==++++++()2221212222116213421187497493434m m m y y m y y m m m m -⋅-+==--+++⋅+⋅+++()22248127318734m m m -==---++为定值．21．(1)532(2)△选择作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ，理由见解析；△答案见解析 【解析】 【分析】（1）依题意得甲至少要答对1T ，2T ，3T 中的两题，分类讨论即可求解结果；（2）△1T ，2T ，3T 每道题作答的话，每题得分期望162 1.53⨯=>，4T ，5T 每道题作答的话，每题得分期望166 1.555⨯=<，即可采用策略作答；△结合二项分布求解即可．(1)前20道题和最后两道共可得分1203123+=分， 故1T ，2T ，3T 得分不低于13512312-=分． △甲至少要答对1T ，2T ，3T 中的两题．△若甲只答两题，2213139C 4464P ⎛⎫=⋅⨯= ⎪⎝⎭． △若甲答对三题，3211464P ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故甲的总分不低于135分的概率915646432P =+=． (2)△△1T ，2T ，3T 每道题作答的话，每题得分期望162 1.53⨯=>4T ，5T 每道题作答的话，每题得分期望166 1.555⨯=<故要使乙总分的数学期望最大，应选择作答1T ，2T ，3T ，放弃作答4T ，5T ． △前20道题和最后两道乙共可得分：1203123+=分． △乙的总分的所有可能取值为123，129，135，141 ()328123327P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()213124129C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭ ()223122135C 339P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭，()311141327P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， △乙总分的概率分布列为22．(1)1；(2)2个，证明见解析.【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，转化为导函数()sin 0x f x e a x '=-+≥在[0,)+∞上恒成立，再求导求其最小值即可；（2）利用导数分析函数在0,0x x ≤>上的单调性，根据两点的存在性定理可确定出2个零点，再由导数求出函数的最小值，求出最小值的范围即可得证. (1)由题意可知，()sin 0x f x e a x '=-+≥在[0,)+∞上恒成立， 因为()cos 1cos 0x f x e x x ''=+≥+≥，所以()'f x 单调递增， 所以(0)10'=-≥f a ，解得a ≤1，所以a 的最大值为1. (2)易知a =1，所以()2cos x g x e x x =--,当x ≤0时，()2sin 1sin 0x g x e x x '=-+≤-+≤，所以g (x )单调递减，当x >0时，()2sin x g x e x '=-+，则()cos 1cos 0x g x e x x ''=+≥+≥，所以()g x '单调递增, 因为(0)10,(1)2sin10g g e ''=-<=-+>，所以存在0(0,1)x ∈，使得00()g x '=，()g x 在0(,)x -∞上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，又(0)0g =，所以0()0g x ,因为2(2)4cos 20g e =-->，所以存在10(,2)x x ∈，使得1()0g x =， 所以()g x 有两个零点，又因为002sin 0xe x -+=，所以00000m 0in 0()()2cos 22sin cos xg x g x e x x x x x ==--=---，因为01x <，所以0000()sin cos )4g x x x x >--=+≥π故()g x >. 【点睛】关键点点睛：求函数零点时，注意利用导数研究出函数的单调性后，根据零点存在性定理可确定出函数的隐零点，求最小值时，要注意对隐零点的使用，才能化简求值，属于难题.答案第16页，共16页。

2021年年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.若1+ai2−i为实数，其中i为虚数单位，则实数a的值为()A. 2B. −12C. 12D. −22.已知函数y=lg(−x2−x+2)的定义域为集合M，函数y=sinx的值域为N，则M∩N=()A. ⌀B. (−2,1]C. [−1,1)D. [−1,1]3.函数f(x)=2x 5 3ln|x|在其定义域上的图象大致为()A. B.C. D.4.一次竞赛考试，老师让学生甲、乙、丙、丁预测他们的名次.学生甲说：丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第二.若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁5.化简sin2(π6−α)−sin2(π3+α)可得()A. cos(2α+π3) B. −sin(2α+π6) C. cos(2α−π3) D. sin(2α−π6)6.某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的2×2列联表.则根据列联表可知()年轻人非年轻人总计经常用流行用语12525150不经常用流行用语351550总计16040200参考公式：独立性检验统计量χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．下面的临界值表供参考：A. 有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系B. 没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系C. 有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系D. 有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系7.设F1，F2分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，圆F1与双曲线的渐近线相切，过F2与圆F1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角α的正切值为()A. 815B. √3 C. 43D. 18.已知点A，B，C，D在球O的表面上，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB=2，BC=4，AC与平面ABD所成角的正弦值为√105，则球O表面上的动点P到平面ACD距离的最大值为()A. 2B. 3C. 4D. 5二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列关于向量a⃗，b⃗ ，c⃗的运算，一定成立的有()A. (a⃗+b⃗ )⋅c⃗=a⃗⋅c⃗+b⃗ ⋅c⃗B. (a⃗⋅b⃗ )⋅c⃗=a⃗⋅(b⃗ ⋅c⃗ )C. a⃗⋅b⃗ ≤|a⃗|⋅|b⃗ |D. |a⃗−b⃗ |≤|a⃗|+|b⃗ |10.下列选项中，关于x的不等式ax2+(a−1)x−2>0有实数解的充分不必要条件的有()A. a=0B. a≥−3+2√2C. a>0D. a≤−3−2√211.已知函数f(x)=log2(1+4x)−x，则下列说法正确的是()A. 函数f(x)是偶函数B. 函数f(x)是奇函数C. 函数f(x)在(−∞,0]上为增函数D. 函数f(x)的值域为[1,+∞)12.回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221，15351等都是回文数.若正整数i与n满足2≤i≤n且n≥4，在[10i−1,10i+1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为P i，在[10,10n−1]上任取一个正整数取得回文数的概率记为Q n，则()A. P i <P i+1(2≤i ≤n −1)B. Q n <1n−1∑P i n i=2 C. Q n >1n−1∑P i n i=2D. ∑P i n i=2<1三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若函数f(x)=sin(2x +φ)为偶函数，则φ的一个值为______ .(写出一个即可) 14. (1+√2x 3)100的展开式中有理项的个数为______ ．15. 在平面直角坐标系xOy 中，设抛物线y 2=2p 1x 与x 2=2p 2y 在第一象限的交点为A ，若OA 的斜率为2，则p 2p 1= ______ ．16. 罗默、伯努利家族、莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线C ：x 23+y 23=1的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计.曲线C 围成的图形的面积S ______ 2(选填“>”、“<”或“=”)，曲线C 上的动点到原点的距离的取值范围是______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，2S n =a n 2+a n ．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：∑1a i2+a i+12−1ni=1<12．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A =B +3C ．(1)求sin C 的取值范围； (2)若c =6b ，求sin C 的值．19.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD//EF，DF⊥EF，EF=2CD=2．(1)若DF=2，求二面角A−CE−F的正弦值；(2)若平面ACF⊥平面BCE，求DF的长．20.某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀.竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81.假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布N(71,81)．(1)估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人？(2)该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次.抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数(10,11，…，99)，若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费.假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元？参考数据：若Z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)≈0.68．21.设F为椭圆C：x2+y2=1的右焦点，过点(2,0)的直线与椭圆C交于A，B两点．2(1)若点B为椭圆C的上顶点，求直线AF的方程；(2)设直线AF，BF的斜率分别为k1，k2(k2≠0)，求证：k1为定值．k222.设函数f(x)=a x+e−x(a>1)．(1)求证：f(x)有极值点；(2)设f(x)的极值点为x0，若对任意正整数a都有x0∈(m,n)，其中m，n∈Z，求n−m的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵1+ai2−i =2−a5+2a+15i，要使原式是实数，则2a+15=0，a=−12，故选：B．利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵函数y=lg(−x2−x+2)的定义域为集合M，函数y=sinx的值域为N，∴M={x|−x2−x+2>0}={−2<x<1}，N={y|−1≤y≤1}，∴M∩N=[−1,1)．故选：C．求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．本题考查了对数函数的定义域，正弦函数的值域，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：根据题意，f(x)=2x 5 3ln|x|，有{|x|>0ln|x|≠0，则有{x|x≠0且x≠1}，f(−x)=−f(x)，则f(x)为奇函数，排除AB，又由当x>1时，f(x)>0，排除C，故选：D．根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AB，再在区间(1,+∞)上，分析f(x)的符号，排除C，即可得答案．本题考查函数图象的分析，关键是分析函数的奇偶性和函数值的符号，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：可知丙与丁所说矛盾，故在丙、丁中有一人错误，若丙错，则甲不是第一，故丁第一，乙不是第一，甲第二，不矛盾，故正确；若丁错，则甲第一，与丁第一有矛盾，故不正确．故丁为第一，乙不是第一，甲第二的结论正确，所以丙预测错误．故选：C．由已知，丙、丁中有一人错误，然后分别分析若丙错和若丁错两种情况，即可得到答案．本题考查了简单的合情推理的应用，解题的关键是得到丙、丁中有一人错误，考查了逻辑推理能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为(π6−α)+(π3+α)=π2，所以sin(π6−α)=cos(π3+α)，所以sin2(π6−α)−sin2(π3+α)=cos2(π3+α)−sin2(π3+α)=cos[2(π3+α)]=cos(π2+π6+2α)=−sin(2α+π6)，故选：B．因为(π6−α)+(π3+α)=π2，所以sin(π6−α)=cos(π3+α)，然后利用余弦的倍角公式以及诱导公式化简即可求解．本题考查了两角互余的性质以及倍角公式和诱导公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：根据独立性检验计算观测值X2，即验统计量χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(125×15−25×35)2160×40×50×150≈4.167>3.841．根据临界值知有95%的把握认为经常用流行语与年轻人有关系，故选：A．根据独立性检验计算观测值X2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．7.【答案】C【解析】解：根据题意作图，垂足分别为N，M，H，由圆F1与双曲线的渐近线相切，可知|F1M|=b，过F2与圆F1相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，可知|F1N|=b，cos∠HF1F2=cos∠MOF1，b2c =ac，所以ba=2，所以双曲线的两条渐近线所成的锐角α的正切值，tanα=|2−(−2)1+2×(−2)|=43，故选：C．画出图形，利用双曲线的定义，结合渐近线的斜率，转化求解两条渐近线所成的锐角α的正切值即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：因为AB⊥平面BCD，BC⊥CD，所以球心O为AD中点，其在面BCD投影为E，则OE=1，作CF⊥BD，所以sin∠CAF=√105=√CD2+16√22+42⇒CD=4，所以R=√OE2+CE2=√12+(2√2)2=3，所以P到平面ACD距离的最大值为3．故选：B．画出截面图，说明球心O为AD中点，其在面BCD投影为E，则OE=1，作CF⊥BD，转化求解P到平面ACD距离的最大值即可．本题考查空间点、线、面距离的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．9.【答案】ACD【解析】解：对于A，由向量数量积对加法满足分配律知等式成立，所以A对；对于B，左边为c⃗的共线向量，右边为a⃗的共线向量，所以等式未必成立，所以B错；对于C，由向量数量积定义知不等式成立，所以C对；对于D，由向量三角不等式知，不等式成立，所以D对；故选：ACD．根据向量基本概念和基本性质判断即可．本题考查向量的模及其运算基本性质，属于基础题．10.【答案】AC【解析】解：设函数y=ax2+(a−1)x−2，当a>0时，若y>0，则△>0，△=(a−1)2+8a=a2+6a+1>0．当a=0时，若y>0，则−x−2>0，解得x<−2，当a<0时，若y>0，则△>0，△=(a−1)2+8a=a2+6a+1，由a2+6a+1>0，解得a<−3−2√2或−3+2√2<a<0，综上所述，当a≥0时，不等式ax2+(a−1)x−2>0一定有实数解，不等式ax2+(a−1)x−2>0有实数解，不一定a≥0，故a≥0是不等式ax2+(a−1)x−2>0有实数解的充分不必要条件．故选：AC．讨论a的取值，利用判别式可得出关于x的不等式ax2+(a−1)x−2>0有实数解的充分不必要条件．本题考查了不等式的解法性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.【答案】AD【解析】解：根据题意，函数f(x)=log2(1+4x)−x，其定义域为R，)+x=log2(1+4x)−x=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，则A 有f(−x)=log2(1+14x正确，B错误，>1=f(0)，f(x)不是增函数，C错误，对于C，f(−1)=log252+2x)，对于D，f(x)=log2(1+4x)−x=log2(12+2x≥2，当且仅当x=0时等号成立，则t的最小值为2，故f(x)≥log22=1，设t=12x即函数的值域为[1,+∞)，D正确，故选：AD ．根据题意，先分析函数的奇偶性可得A 正确，B 错误，对于C ，验证f(−1)与f(0)的值，可得C 错误，对于D ，利用换元法求出f(x)的值域，可得D 正确，综合可得答案． 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的值域计算，属于基础题．12.【答案】BD【解析】解：i 为奇数，P i =9×10i−1210i −1−10i−1+1=110i−12，i 为偶数，P i =9×10i 2−110−1−10+1=110i 2，所以P 2k =P 2k+1=110k ，A 错； 当n =4时，Q 4=9+90+909990=1899990，∑P i 4i=2=110+110+1100=21100，1899990<21100， 所以C 错；由多选题至少有两个正确选项，利用排除法得BD 正确． 故选：BD ．由已知对i 进行分类讨论，然后结合古典概率公式分别检验各选项即可判断． 本题主要考查了古典概率公式的应用，体现了分类讨论思想，属于中档题．13.【答案】π2【解析】解：∵函数y =sin(2x +φ)为偶函数，∴φ=kπ+π2，k ∈Z ， 故可取φ=π2， 故答案为：π2．由条件根据正弦函数、余弦函数的奇偶性可得φ=kπ+π2，k ∈Z ，从而得出结论． 本题主要考查正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．14.【答案】34【解析】解：T r+1=C 100r (2x)13r ，所以r =0，3，6，…，99时为有理项，共34个．故答案为：34利用二项式定理的展开式，即可判断．本题考查了二项式定理，二项式展开式，属于基础题．15.【答案】18【解析】解：设A(x,y)，则k OA =2=2p 1y=x2p 2⇒{x =4p 2y =p 1，代入抛物线得p 12=2p 1⋅4p 2⇒p2p 1=18． 故答案为：18．设出A 的坐标，求出直线的斜率，结合抛物线方程转化求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】< [12,1]【解析】解：由题意知x ，y ∈[−1,1]，且曲线既关于原点对称又关于y 轴对称， 当x ，y ∈(0,1)时，x 23>x ，y 23>y ，所以x +y <1，同理可得曲线在y =x +1，y =x −1，y =−x +1，y =−x −1四条直线内部， 所以S <12×2×2=2，所以d 2=x 2+y 2=x 2+(1−x 23)3=3x 43−3x 23+1=3(x 23−12)2+14，所以当x 23=12时，(d 2)min =14min =14， 当x 23=0时，(d 2)max =1， 所以d 2∈[14,1]，则d ∈[12,1]， 故答案为：<，[12,1].由已知可得x ，y ∈[−1,1]，且曲线既关于原点对称又关于y 轴对称，且曲线在y =x +1，y =x −1，y =−x +1，y =−x −1四条直线内部，则可求出面积S 与2的关系；再写出d 2的关系式，利用二次函数的性质即可求解．本题考查了曲线的方程与性质，涉及到二次函数求最值的问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)当n =1时，a 1=S 1，由2S n =a n2+a n ，得a 1 (a 1−1)=0． 因为数列{a n }为正项数列，所以a 1>0，所以a 1=1．因为当n ≥1时，2S n =a n 2+a n ，…………………………①①−②，得2S n −2S n−1=a n 2−a n−12+a n −a n−1， 即2a n =a n 2−a n−12+a n −a n−1，所以a n +a n−1=(a n +a n−1)(a n −a n−1)， 因为数列{a n }的各项均正，所以a n +a n−1>0， 所以当n ≥2时，a n −a n−1=1， 故数列{a n }是公差为1的等差数列， 故数列{a n }的通项公式为a n =n ； (2)证明：1a i2+a i+12−1=1i 2+(i+1)2−1=12i(i+1)=12(1i −1i+1)，则∑1a i2+a i+12−1ni=1=12[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)] =12(1−1n+1)<12．【解析】(1)可令n =1，求得首项，再将n 换为n −1，相减可得当n ≥2时，a n −a n−1=1，由等差数列的定义和通项公式，可得所求； (2)求得1a i2+a i+12−1=1i 2+(i+1)2−1=12i(i+1)=12(1i−1i+1)，再由数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．本题考查数列的递推式的运用，以及数列的裂项相消求和和不等式的证明，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)由A =B +3C 及A +B +C =π，得2B +4C =π，所以B =π2−2C ，所以A =π2+C ．由{0<A <π,0<B <π,0<C <π,得{0<π2+C <π,0<π2−2C <π,0<C <π,得0<C <π4，故sin C 的取值范围为(0,√22).(2)若c =6b ，由正弦定理有sinC =6sinB ，① 由(1)知B =π2−2C ，则sinB =sin(π2−2C)=cos2C.②由①②得16sinC =cos2C =1−2sin 2C ，所以12sin 2C +sinC −6=0， 解得sinC =23或sinC =−34，所以sinC=23．【解析】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和，诱导公式及二倍角公式在求解三角形中的应用，属于基础题．(1)由已知结合三角形内角和可得A，C的关系，结合三角形内角范围可求C的范围，进而可求；(2)由已知结合正弦定理及诱导公式，二倍角公式进行化简可求sin C．19.【答案】解：(1)因为平面ABEF⊥平面CDFE，平面ABEF∩平面CDFE=EF，DF⊥EF，DF⊂平面CDFE，所以DF⊥平面ABEF，所以DF⊥AF．又因为AF⊥EF，DF⊂平面CDFE，EF⊂平面CDFE，DF∩EF=F．所以AF⊥平面CDFE．在平面CEF内过点F作FG⊥CE于G，连结AG，则AG⊥CE．所以∠AGF为二面角A−CE−F的平面角．ABCDFEGl在△CEF中，CE=CF=√5，EF=2，由S△CEF=12×EF×DF=12×CE×FG，得FG=4√55．在△AFG中，AG=√AF2+FG2=6√55，所以sin∠AGF=AFAG =√53，所以二面角A−CE−F的正弦值为√53．(2)设平面ACF∩平面BCF=l．因为四边形ABEF为正方形，所以AF//BE.又AF⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，所以AF//平面BCE．又AF⊂平面ACF，平面ACF∩平面BCE=l，所以AF//l．因为AF⊥平面CDFE，CF⊂平面CDFE，所以AF⊥CF，所以CF⊥l．又平面ACF ⊥平面BCE ，平面ACF ∩平面BCE =l ，CF ⊂平面ACF ， 所以CF ⊥平面BCE ．又CE ⊂平面BCE ，所以CF ⊥CE ，所以CF 2+CE 2=EF 2．设DF =t(t >0)，则CF =√t 2+1，CE =√t 2+1，所以(t 2+1)+(t 2+1)=22， 解得t =1，即DF =1．【解析】(1)证明DF ⊥AF.AF ⊥平面CDFE.在平面CEF 内过点F 作FG ⊥CE 于G ，连结AG ，则AG ⊥CE.说明∠AGF 为二面角A −CE −F 的平面角．通过求解三角形推出二面角A −CE −F 的正弦值即可．(2)设平面ACF ∩平面BCF =l.推出AF//平面BCE.AF//l.证明CF ⊥l.CF ⊥平面BCE.得到CF ⊥CE ，设DF =t(t >0)，然后利用勾股定理求解即可．本题考查二面角的平面角的求法，空间点、线、面距离的求法，是中档题．20.【答案】解：(1)因得分Z ～N(71,81)，所以标准差σ=9，所以优秀者得分Z ≥μ+σ， 由P(μ−σ<Z <μ+σ)≈0.68得，P(Z ≥μ+σ)≈0.16．因此，估计这次参加竞赛活动得分优秀者的人数为10×0.16=1.6(万人)． (2)方法一：设抽奖一次获得的话费为X 元， 则P(X =40)=990=110，P(X =10)=910，所以抽奖一次获得电话费的期望值为E(X)=110×40+910×10=13． 又由于10万人均参加抽奖，且优秀者参加两次， 所以抽奖总次数为10+10×0.16=11.6万次，因此，估计这次活动所需电话费为11.6×13=150.8万元．方法二：设每位参加活动者获得的电话费为X 元，则X 的值为10，20，40，50，80． 且P(X =10)=(1−0.16)×8190=7561000， P(X =20)=0.16×(8190)2=129610000，P(X =40)=(1−0.16)×990=841000， P(X =50)=0.16×(8190)×(990)×2=28810000， P(X =80)=0.16×(990)2=1610000．所以E(X)=10×7561000+20×129610000+40×841000+50×28810000+80×1610000=15.08．因此，估计这次活动所需电话费为10×15.08=150.8(万元)．【解析】(1)Z ～N(71,81)，由此能求出P(Z ≥μ+σ)≈0.16的值，即可求出对应的人数； (2)方法一：根据设抽奖一次获得的话费为X 元，求出数学期望，即可求出电话费总额； 方法二：设每位参加活动者获得的电话费为X 元，则X 的值为10，20，40，50，80，得到分布列，即可求出数学期望可得答案．本题考查均值、概率、离散型随机变量、分布列的求法，考查正态分布、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)若B 为椭圆的上顶点，则B(0,1)，又AB 过点(2,0)，故直线AB ：x +2y −2=0， 代入椭圆C ：x 22+y 2=1，可得3y 2−4y +1=0，解得y 1=1，y 2=13，即点A(43,13)，从而直线AF ：y =x −1；(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线AB ：x =ty +2， 代入椭圆方程可得：(2+t 2)y 2+4ty +2=0，△>0， 所以y 1+y 2=−4tt 2+2，y 1y 2=2t 2+2， 故k 1+k 2=y 1x 1−1+y 2x 2−1=y 1ty 1+1+y 2ty 2+1=2ty 1y 2+(y 1+y 2)(ty 1+1)(ty 2+1)=2t2t 2+2+−4tt 2+2(ty 1+1)(ty 2+1)=0，又k 1，k 2均不为0，故k1k 2=−1，即k1k 2为定值−1．【解析】(1)先求出直线AB 的方程，然后代入椭圆方程消去x ，从而可求出点A 的坐标，从而可求出直线AF 的方程；(2)设出直线AB 的方程，代入椭圆方程消去x ，利用韦达定理表示出y 1+y 2，y 1y 2，表示出k 1+k 2，从而可得结论．本题主要考查了直线方程的求解，以及韦达定理的应用，同时考查了转化能力和运算求解的能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)证明：由题意得f′(x)=a x lna −e −x ，所以f′′(x)=a x (lna)2+e −x >0，所以函数f′(x)单调递增， 由f′(x)=0，得(ae)x lna =1，(ae)x =1lna ，当x >log ae 1lna 时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x <log ae 1lna 时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 因此，当x =log ae 1lna 时函数f(x)有极值． (2)方法一由(1)知，函数f(x)的极值点x 0(即函数f′(x)的零点)唯一， 因为f′(−1)=lna a−e ，令g(a)=lna a，则g′(a)=1−lna a2=0，得a =e ，当a >e 时，g′(a)<0，g(a)单调递减， 当0<a <e 时，g′(a)>0，g(a)单调递增， 所以g(a)≤g(e)=1e ，所以f′(−1)=lna a−e <0，而f′(0)=lna −1，当a =2时，f′(0)<0， 当a ≥3时，f′(0)>0，又f′(1)=alna −1e ，因为a 为正整数且a ≥2时，所以alna ≥2ln2>1>1e ， 当a ≥2时，f′(1)>0，即对任意正整数a >1，都有f′(−1)<0，f′(1)>0，所以x 0∈(−1,1)恒成立， 且存在a =2，使x 0∈(0,1)，也存在a =3，使x 0∈(−1,0)， 所以n −m 的最小值为2． 方法二由(1)知x 0=log ae1lna=−ln(lna)lna+1，令lna =k ，k =ln2，ln3，…，则x 0=−lnkk+1=0，得k =1， 先证：lnk ≤k −1，令g(k)=lnk −k +1，则g′(k)=1−k k，当k >1时，g′(k)<0，当k <1时，g′(k)>0， 所以g(k)≤g(1)=0，即lnk ≤k −1成立， 所以x 0=−lnkk+1>−1，又当k ≥ln3时，x 0=−lnkk+1<0，当k=ln2时，x0=ln(ln2)ln2+1>0，且x0=ln(ln2)−1ln2+1<lneln2+1<1，所以x0∈(−1,1)恒成立，且存在a=2，使x0∈(0,1)，也存在a=3，使x0∈(−1,0)．所以n−m的最小值为2．【解析】(1)求出函数的导数，求出函数的单调区间，求出函数的极值点，从而证明结论成立；(2)法一：求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出n−m的最小值即可；法二：根据lnk≤k−1，得到x0=−lnkk+1>−1，求出x0<1，得到x0∈(−1,1)恒成立，且存在a=2，使x0∈(0,1)，也存在a=3，使x0∈(−1,0)，得到n−m的最小值．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是难题．。

2
2
6
0 由 0
0
A B C
，得
0 0 0
2
2 C
C 2C
，得 0
C
4
，故
sin
C
的取值范围为
0， 2 2
；
（2）若 c 6b ，由正弦定理有 sin C 6 sin B ……①
由（1）知 B 2C ，则 sin B sin 2C cos 2C ……②
数的概率记为 Qn ，则（ ）
A . Pi＜Pi1 2 i n 1
B
. Qn＜
1 n 1
n i2
Pi
C
.
Qn＞
n
1
1
n i2
Pi
n
D . Pi＜1 i2
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）
13. 若函数 f x sin2x 为偶函数，则 的一个值为
14.
s
FA
，
s
FC
，得
2 q
p
0 rt
0
不妨设
r
1 ，则 q
t
，得
s
0,t ,1 .
∵平面
ACF
平面BCE
，∴
n
s
0
，即 t 2
EB 2，0,0， EC 0，1,t ， FA 2，0,0 ， FC 0，1,t ，
设平面
BCE
的一个法向量为
n
a, b,
c，则
n
EB
，
n
EC
.
n n
EB EC
0 0
，即
2a b
0 ct
0
.不妨设

高三数学联考试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．．1.已知集合，，，则____．【答案】【解析】【分析】根据并集和补集的定义，直接计算得结果.【详解】由题意得：则本题正确结果：【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题.2.已知复数（i为虚数单位），若为纯虚数，则实数a的值为__．【答案】2【解析】【分析】将化简的形式，为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，由此可求得结果.【详解】为纯虚数本题正确结果：【点睛】本题考查复数的基本运算和纯虚数的定义，属于基础题.3.对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示．根据此图可知这批样本中寿命不低于300 h的电子元件的个数为____．【答案】800【解析】【分析】根据频率分布直方图求出的频率，利用得到不低于的概率，利用得到结果.【详解】使用寿命在的概率为：使用寿命在的概率为：使用寿命在的概率使用寿命不低于的概率使用寿命不低于的电子元件个数为：（个）本题正确结果：【点睛】本题考查利用频率分布直方图估计总体的问题，属于基础题.4.运行如图所示的流程图，若输入的，则输出的x的值为____．【答案】0【解析】【分析】按照程序框图依次运算，不满足判断框中条件时输出结果即可.【详解】由，得：，循环后：，由，得：，循环后：，由，得：，循环后：，由，得：，输出结果：本题正确结果：【点睛】本题考查程序框图中的条件结构和循环结构，属于基础题.5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和为偶数的概率为____．【答案】【解析】【分析】所有可能的结果共种，通过两次数字之和为偶数说明两次均为奇数或者均为偶数，共种，由此得到概率为.【详解】骰子扔两次所有可能的结果有：种两次数字之和为偶数，说明两次均为奇数或均为偶数，则有：种两次数字之和为偶数的概率本题正确结果：【点睛】本题考查古典概型的应用，可通过排列组合来解决，由于此题基本事件个数较少，也可采用列举法来求解.6.已知双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为3a，则该双曲线的渐近线方程为____．【答案】【解析】【分析】由标准方程可得渐近线方程，利用点到直线的距离构造方程，求得的值，从而得到渐近线方程.【详解】渐近线方程为：由双曲线对称性可知，两焦点到两渐近线的距离均相等取渐近线，焦点渐近线方程为：本题正确结果：【点睛】本题考查双曲线的几何性质、点到直线距离公式，关键在于利用点到直线距离公式建立的等量关系，求解得到结果.7.已知正四棱柱中，AB=3，AA1=2，P，M分别为BD1，B1C1上的点．若，则三棱锥M PBC的体积为____．【答案】1【解析】【分析】三棱锥体积与三棱锥体积一样，为上动点，可知面积为侧面面积的一半；到面的距离等于到面的距离的，由此可根据三棱锥体积公式求得体积.【详解】由题意可知原图如下：又，即到面的距离等于到面的距离即本题正确结果：【点睛】本题考查三棱锥体积的求解，关键在于能够通过体积桥的方式将原三棱锥进行体积变换，找到易求解的底面积和高.8.已知函数是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m(m为常数)，则的值为____．【答案】【解析】【分析】根据奇函数求得；将变成，代入，求得结果. 【详解】为上的奇函数又本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数值的问题，属于基础题.9.已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为____．【答案】【解析】【分析】根据对称轴之间距离求出最小正周期，从而求得；利用的终边所过点，得到、；将利用两角和差公式展开求得结果.【详解】角终边经过点，两条相邻对称轴之间距离为即本题正确结果：【点睛】本题考查利用三角函数图像特点求解解析式、三角函数定义、两角和差公式的应用，关键在于能够通过对称轴之间距离求出解析式，能够利用三角函数定义解出的正余弦值.10.如图，在平面直角坐标系中，点在以原点为圆心的圆上．已知圆O与y轴正半轴的交点为P，延长AP至点B，使得，则____．【答案】2【解析】【分析】根据点求出，从而得到直线；假设点坐标，利用可求得，由此可用坐标求解.【详解】圆半径则所在直线为：，即：设，则，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，关键在于能够利用向量垂直求得点的坐标，从而得到所求向量的坐标，最终求得结果.11.已知函数的单调减区间为，则的值为____．【答案】e【解析】【分析】通过单调递减区间可确定，，利用韦达定理得到关于的方程，求解出结果.【详解】单调递减区间为且为方程的两根由韦达定理可知：当，即时，当，即时，，即此时，，即无解综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查利用单调区间求解参数值的问题，解题关键是要明确此函数单调区间的端点值恰为导函数值为零的点，通过构建方程求得结果.12.已知函数有三个不同的零点，则实数m的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】通过时函数的单调性和值域，可判断出此时有且仅有一个零点，由此可知当时，有两个零点；通过求导运算，得到单调性，通过图像可知要想有两个零点，只需，求解得范围.【详解】当时，且在上单调递增有且仅有一个零点当时，需要有两个零点当时，当时，恒成立，即单调递增，不合题意；当时，令，解得：当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，本题正确结果：【点睛】本题考查利用导数研究函数图像和零点个数的问题，关键在于能够通过导数得到图像情况，然后找到临界情况，从而列出关于的不等关系，求得范围.13.在平面直角坐标系中，已知圆O：和点M(1，0) ．若在圆O上存在点A，在圆C：上存在点B，使得△MAB为等边三角形，则r的最大值为____．【答案】8【解析】【分析】通过分析图像可知：取最大值时，且在圆内部，由此可确定点的坐标，再利用方程组求解得到坐标为，由此可求得.【详解】圆由题意可知：，又且若最大，则需取最大值，且在圆内部可得，又与成角为设，则直线所在直线方程为：又解得：或（舍）时取最大值本题正确结果：【点睛】本题考查点与圆上点连线的最值、圆的最值类问题，关键在于能够通过图像分析出取得最值时点的位置，然后根据等量关系求解出坐标，进而求得结果.14.已知等差数列的前n项和S n>0，且，其中且．若（），则实数t的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】首先根据可得恒成立，通过分析可求得；利用已知条件得到时，，根据等差数列通项公式和求和公式可化为，将右侧看做函数，即，通过的范围求得的范围，再结合变量和，分析求出的取值范围.【详解】设等差数列首项为，公差为由得：且即：对恒成立若，不恒成立，舍去若即，此时满足题意若即时，需时，，满足题意，又，所以由得：两式作商可得：，又整理可得：设，①当时，即当时，当时，此时，即，无法取得②当时，即当时，当时，综上所述：【点睛】本题考查数列的综合应用问题，在求解过程中结合了函数、不等式、恒成立等问题的求解方法和思路，整体难度较大.关键在于能够将范围的求解转化为函数值域的求解，在求解最值过程中，因为变量较多，需要不断进行变量迁移，从而能够在最值集合中找到满足题意的临界值，对学生的综合分析和应用能力要求较高.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在三棱柱中，，．求证：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）通过，证得结论；（2）通过四边形为菱形，得到，又，可得到平面，从而证得结论.【详解】（1）在三棱柱中，又平面，平面所以平面（2）在三棱柱中，四边形为平行四边形因为，所以四边形为菱形，所以又，，平面，平面所以平面而平面所以平面平面【点睛】本题考查线面平行、面面垂直的证明，题目中的位置关系较为简单，属于基础题.16.在中，角所对的边分别为．向量，，且（1）若，求角的值；（2）求角的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量平行得到，再利用正弦定理化简，可求得，从而求得；（2）方法一：利用正弦定理将边都化成角的关系，化简求得，再利用，结合基本不等式求得的最值，从而得到的最大值；方法二：利用余弦定理将角化成边的关系，再利用和基本不等式得到的最小值，从而得到的最大值.【详解】（1）因为，，且所以，即由正弦定理，得……①所以整理，得……②将代入上式得又，所以（2）方法一：由①式，因为，，所以②式两边同时除以，得又当且仅当，即时取等号又，所以的最大值为方法二：由（1）知，由余弦定理代入上式并化简得所以又当且仅当，即时取等号又，所以的最大值为【点睛】本题主要考查解三角形边角关系式的化简，以及通过边角关系式求解角的范围的问题.解决边角关系式的关键是能够通过正余弦定理将边化成角或者将角化成边，然后再进行处理.17.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且左焦点F1到左准线的距离为4．（1）求椭圆的方程；（2）若与原点距离为1的直线l1：与椭圆相交于A，B两点，直线l2与l1平行，且与椭圆相切于点M（O，M位于直线l1的两侧）．记△MAB，△OAB的面积分别为S1，S2，若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质得到关系，求解得到标准方程；（2）设，根据可知，，又与原点距离为，即，可把化简为：，根据与椭圆相切，联立可得，由此代入化简可得的范围，再进一步求解出的范围.【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以又椭圆的左焦点到左准线的距离为所以所以，，所以椭圆的方程为（2）因为原点与直线的距离为所以，即设直线由得因为直线与椭圆相切所以整理得因为直线与直线之间的距离所以，所以又因为，所以又位于直线的两侧，所以同号，所以所以故实数的取值范围为【点睛】本题考查椭圆几何性质、直线与椭圆中的参数范围问题求解.求解参数范围问题，关键是构造出满足题意的函数关系式，然后通过函数求值域的方法，求解出函数的范围，从而可以推导出参数的范围.18.某鲜花小镇圈定一块半径为1百米的圆形荒地，准备建成各种不同鲜花景观带．为了便于游客观赏，准备修建三条道路AB，BC，CA，其中A，B，C分别为圆上的三个进出口，且A，B 分别在圆心O的正东方向与正北方向上，C在圆心O南偏西某一方向上．在道路AC与BC之间修建一条直线型水渠MN种植水生观赏植物黄鸢尾（其中点M，N分别在BC和CA上，且M在圆心O的正西方向上，N在圆心O的正南方向上），并在区域MNC内种植柳叶马鞭草．（1）求水渠MN长度的最小值；（2）求种植柳叶马鞭草区域MNC面积的最大值（水渠宽度忽略不计）．【答案】（1）百米；（2）平方米.【解析】【分析】（1）设，可表示出直线的方程，从而求得两点坐标，进而将表示为关于的函数，利用导数求得最值；（2）方法一：将表示为，利用将面积表示出来，利用进行换元，从而化简得：，再根据的范围求得面积最大值；方法二：利用三角形面积公式，直接用表示出，再利用换元，也可得到，从而与方法一采用相同的求最大值方法求值. 【详解】【解】（1）以圆心为原点，建立平面直角坐标系，则圆的方程为设点，直线的方程为，令，得直线的方程为，令，得所以令，即，则令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以当时，所以水渠长度的最小值为百米（2）由（1）可知，，，且则设，因为，所以所以，所以当时，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米另法：（2）因为，所以由所以设，因为，所以所以，所以当时，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米【点睛】本题考查函数导数的实际应用问题，属于中档题.解题关键在于能够将所求量表示为某一变量的函数关系，然后利用函数最值的求解方式求得对应的结果.19.已知数列的各项均不为0，其前n项和为．若，，，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足，，求证：数列是等差数列．【答案】（1）81；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）将代入，可求得；（2）由可求得，进而，两式作差可得，进而推得，可得数列及数列均为等差数列，进而求得通项；（3）由与关系可得：，即，两式作差可得：，进而推得，即，则证明结束.【详解】（1）时，由得解得（2）时，由，得则因为，所以……①所以……②②①得所以，两式相减得即数列及数列都成公差为的等差数列由，得，可求得所以数列的通项公式为（3）由，，得所以因为，所以所以两式相减得，即所以两式相减得所以因为，可得所以所以数列是等差数列【点睛】本题考查由数列递推关系式求解通项公式以及证明类问题.关键在于能够适当代入和，从而得到数列前后项之间的关系，灵活运用递推关系式.证明数列为等差数列问题，基本思路为说明或，符合定义式即可证得结论.20.已知函数，，其中且，．（1）若函数f(x)与g(x)有相同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），求k的值；（2）当m>0，k = 0时，求证：函数有两个不同的零点；（3）若，记函数，若，使，求k的取值范围．【答案】（1）0；（2）详见解析；（3）或．【解析】【分析】（1）分别求得与的极值点，利用极值点相同构造方程，求得；（2）首先求得在上单调递减，在上单调递增；再通过零点存在定理，分别在两段区间找到零点所在大致区间，根据单调性可知仅有这两个不同零点；（3）根据已知关系，将问题变为：，又，则可分别在，，三个范围内去求解最值，从而求解出的范围.【详解】（1）因为，所以令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以为的极值点因为，，所以函数的极值点为因为函数与有相同的极值点，所以所以（2）由题意，所以因为，所以令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以为的极值点因为，，又在上连续且单调所以在上有唯一零点取满足且则因为且，所以所以，又在上连续且单调所以在上有唯一零点综上，函数有两个不同的零点（3）时，由，使，则有由于①当时，，在上单调递减所以即，得②当时，，在上单调递增所以即，得③当时，在上，，在上单调递减；在上，，在上单调递增；所以即（*）易知在上单调递减故，而，所以不等式（*）无解综上，实数的取值范围为或【点睛】本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，包括了单调性的求解、极值和极值点、最值问题，综合性较强.证明零点个数问题重点在于能够通过单调性将零点个数的最大值确定，进而再通过零点存在定理来确定零点个数；而能够将存在性问题转化为恒成立问题，通过最值来求解参数范围，也是解决此题的关键.数学Ⅱ（附加题）第21、22、23题，每小题10分，共计30分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.已知二阶矩阵有特征值，其对应的一个特征向量为，并且矩阵对应的变换将点（1，2）变换成点（8，4），求矩阵．【答案】【解析】【分析】设二阶矩阵为，根据特征值、特征向量可列出关于的方程组，求解即可得到结果.【详解】设所求二阶矩阵因为有特征值，其对应的一个特征向量为所以，且所以，解得所以【点睛】本题考查二阶矩阵以及特征值与特征向量的计算问题，属于基础题.22.如图，四棱锥P ABCD中，底面四边形ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，，F为BC的中点，．（1）若，求异面直线PD与EF所成角的余弦值；（2）若，求二面角E AF C的余弦值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据求得点坐标，从而表示出，通过夹角公式求得结果；（2）通过求得得点坐标，再进一步求出平面法向量，又面的一个法向量为，求出即可求得所求余弦值.【详解】以为原点，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系则，，，，，（1）当时，由得所以，又所以所以异面直线与所成角的余弦值为（2）当时，由，得设平面的一个法向量为，又，则，得又平面的一个法向量为所以所以二面角的余弦值为【点睛】本题考查利用空间向量法求解异面直线所成角和二面角的问题，关键在于能够准确地建立坐标系，并用坐标表示点、求解法向量；需要注意的问题是：平面法向量有无数条，方向不同会造成的符号不同，要判断好所求二面角与法向量夹角是等角关系还是补角关系，从而准确求得结果.23.设整数数列{a n}共有2n（）项，满足，，且（）．（1）当时，写出满足条件的数列的个数；（2）当时，求满足条件的数列的个数．【答案】（1）8；（2）.【解析】【分析】（1）当确定时，可确定，再逆推可知有种取法；再依据可知各有种取法；由于与有关，当确定时，必然随之确定，故根据分步乘法计数原理，可得数列个数为；（2）设，且，可推得：；又，可推得：；用表示中值为的项数可知的取法数为，再任意指定的值，有种，可知数列有个；再化简，可得最终结果.【详解】（1）时，，且则确定时，有唯一确定解又，可知有种取法若，则，则有种取法此时，也有种取法又，当确定时，随之确定故所有满足条件的数列共有：个满足条件的所有的数列的个数为（2）设，则由得①由得，则：即②用表示中值为的项数由②可知也是中值为的项数，其中所以的取法数为确定后，任意指定的值，有种由①式可知，应取，使得为偶数这样的的取法是唯一的，且确定了的值从而数列唯一地对应着一个满足条件的所以满足条件的数列共有个下面化简设两展开式右边乘积中的常数项恰好为因为，又中的系数为所以所以满足条件的数列共有个【点睛】本题考查新定义、排列组合、二项式定理问题，对学生分析解决问题能力要求较高；如何正确理解定义，同时找到定义式的切入点是解决问题的关键；题目对于排列组合、二项式定理知识的应用能力要求比较高，难度较大.。

二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。 9．A C 10．ABD 11．BCD 12．ACD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．0.4 14．答案不唯一，只要形如 a ，2 或 a ，2 ，其中 0 ≤ a 1 的均正确．
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四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10 分）
在 ΔABC 中，角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,b= 5 c,csinA=1.点 D 是 AC 的中点，BD⊥AB,
求 c 和∠ABC.
18.(12 分）
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn+1=4an,n∈N*,且 a1=4.
数学试卷 第 1 页（共 12 页）
因为 Tn 4 21 5 22 6 23 n 3 2n ，
所以 2Tn 4 22 5 23 6 24 n 3 2n1 ．
两式相减得， Tn 4 21 22 23 2n n 3 2n1
……10 分
C.在第 n 条斜线上，共有 2n +1− (−1)n 4
D.在第 11 条斜线上，最大的数是 C73
12.如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔 AB(A 为塔顶，B 为塔底）的高度，选取与 B 在 同一水平面内的两点 C 与 D(B,C,D 不在同一直线上），测得 CD=s.测绘兴趣小组利用测角仪可
江苏省七市 2021 届高三第二次调研考试
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷

2021届江苏省南京市高三第一学期期初联考数学试题一、填空题1．已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}0x x ≤，则A B ＝_______． 【答案】{}10x x -<≤【解析】根据交集定义直接求得结果. 【详解】由交集定义可得：{}10A B x x ⋂=-<≤ 本题正确结果：{}10x x -<≤ 【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题. 2．已知复数z 31ii-=+（i 是虚数单位），则z 的虚部是 . 【答案】-2【解析】直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数z 的虚部可求． 【详解】 ∵z ()()()()31324121112i i i ii i i i ----====-++-， ∴z 的虚部是﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为_______．【答案】200.【解析】根据频率分布直方图求得三等品对应频率，根据频数等于频率乘以总数求得结果. 【详解】由题意可知，单间产品质量在[)10,15和[)35,40的为三等品∴三等品对应的频率为：0.0125250.125⨯⨯= ∴三等品件数为：16000.125200⨯=本题正确结果：200 【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算频数的问题，属于基础题.4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是_______． 【答案】13. 【解析】计算出三位数个数和其中偶数个数，根据古典概型概率公式求得结果. 【详解】三张卡片随机排序组成一个三位数，共有：336A =个，其中偶数有：222A =个∴该三位数是偶数的概率：2163p == 本题正确结果：13【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题. 5．函数21log y x =+______． 【答案】1[,)2+∞【解析】直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案. 【详解】由201log 0x x >⎧⎨+≥⎩，得12x ≥，∴函数21log y x =+的定义域为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题. 6．运行如图所示的伪代码，其结果为 ．【答案】17【解析】试题分析：第一次循环，I=1，S=1+1=2；第二次循环，I=3，S=2+3=5；第三次循环，I=5，S=5+5=10；第四次循环，I=7，S=10+7=17，结束循环输出S=17 【考点】循环结构流程图7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：222116x y a -=(a ＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为453，则双曲线C 的方程为_______．【答案】2212016x y -=.【解析】由方程得到顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式构造方程求得2a ，从而得到所求方程. 【详解】由双曲线方程知，右顶点为(),0a ，渐近线方程为：4y x a=±，即40x ay ±-= ∴右顶点到双曲线渐近线距离2445316ad a ±=+220a =∴双曲线C 的方程为：2212016x y -=本题正确结果：2212016x y -=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，关键是能够利用点到直线距离公式构造方程求得未知量.8．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】32. 【解析】设球的半径为R ，可知圆柱高为2R ；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果. 【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R∴圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积224S R π=∴圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342S R S R ππ==本题正确结果：32【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.9．函数()Asin()f x x ωϕ=+(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示．若函数()y f x =在区间[m ，n ]上的值域为[2-2]，则n ﹣m 的最小值是_______．【答案】3.【解析】根据三角函数图象求得函数解析式()2sin 4f x x π=；利用()2f x =-()2f x =求得x 的取值，可知当12k k =时取最小值，从而得到结果. 【详解】由图象知：()max 2f x = 2A ∴=，又()22628T πω==⨯-= 4πω∴=()22sin 22f πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2k ϕπ∴=，k Z ∈()2sin 22sin 44f x x k x πππ⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭当()2f x =-1244x k πππ=-+或15244x k πππ=+，1k Z ∈ 181x k ∴=-或185x k =+，1k Z ∈当()2f x =时，2242x k πππ=+，2k Z ∈ 282x k ∴=+若n m -最小，则12k k = ()min 3n m ∴-= 本题正确结果：3 【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、根据值域求解定义域的问题；关键是能够通过特殊角三角函数值确定角的取值.10．在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和．若121a q =，且527S S =+，则首项1a 的值为_______． 【答案】14. 【解析】首先验证1q =时，不符合题意，可知1q ≠；利用()252317S S a q q-=++=和2311aa q ==可构造方程求得q ，代入求得结果. 【详解】当1q =时，由527S S =+得：11527a a =+，解得：173a = 与11a =矛盾，可知1q ≠()252345317S S a a a a q q -=++=++=，2311a a q ==260q q ∴+-=，又0q >，解得：2q114a ∴=本题正确结果：14【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，关键是能够利用已知等式构造出关于公比的方程.11．已知()f x 是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x ＜0时，()(1)f x x x =-．已知m 满足不等式2(1)(1)0f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为_______．【答案】(0，1).【解析】根据二次函数性质和奇偶性可知()f x 在()1,1-上单调递减；将不等式变为()()211f m f m -<-，根据单调性和定义域可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】()f x 为定义在()1,1-上的奇函数 ()00f ∴=(]1,0x ∴∈-时，()221124f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ()f x ∴在(]1,0-上单调递减()f x 为奇函数 ()f x ∴在[)0,1上单调递减 ()f x ∴在()1,1-上单调递减由()()2110f m f m-+-<得：()()()22111f m f m f m-<--=-2211111111m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩，解得：01m <<，即m 的取值范围为：()0,1 本题正确结果：()0,1 【点睛】本题考查利用单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，关键是能够将问题转化为函数值之间的比较，根据单调性将函数值的比较变为自变量的比较；易错点是忽略定义域的要求，造成求解错误.12．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆O 外一点P(0x ，0y )，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，且∠AOB ＝120°．若点C(8，0)和点P 满足PO ＝λPC ，则λ的范围是_______． 【答案】1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】根据4PO =可知220016x y +=，利用PO PC λ=构造方程可求得0215x λ=-；根据044x -≤≤且0λ>可解不等式求得结果.【详解】120AOB ∠=，2OA OB == 4cos60AO PO ∴==，即22016x y += 又()22008PC x y =-+且PO PC λ= ()22200816x y λ⎡⎤∴-+=⎣⎦且0λ> 解得：20225115x λλλ-==-220016x y += 044x ∴-≤≤ 21454λ∴-≤-≤，解得：1,13λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到两点间距离公式的应用、点的轨迹方程的求解；关键是能够利用λ表示出动点的横坐标，从而根据横坐标范围构造不等式. 13．如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，23BC AD =，取BD 中点E ，连接AE 并延长交CD 于F ，若2AB AD FA CD ⋅=⋅，则ABAD=_______．【答案】33. 【解析】作//FG AD ，根据三角形相似得到比例关系证得34DF DC =；利用平面向量线性运算可用AD ，AB表示出CD，FA ，根据数量积的运算律可整理得到223122AB AD=，从而得到结果.【详解】作//FG AD，交BD于点GAED FEG∆∆GF EGAD DE∴=，又2FG GD DE EGBC BD DE+==又23BCAD=，可得：2DE EG=3344DF DG EGDC DB EG∴===2133CD CB BA AD DA BA AD AD AB=++=++=-()3313344344FA AD DF AD DC AD AD AB AD AB⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-+=-+=-+-+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22133312234422FA CD AD AB AD AB AB AD AB AD⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅--=+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又2AB AD FA CD⋅=⋅223122AB AD∴=，即223122AB AD=3ABABAD AD∴==本题正确结果：33【点睛】本题考查平面向量的综合应用问题，涉及到向量的线性运算、向量数量积的运算律等知识；关键是能够用基底准确的表示向量，将数量积运算转化为模长之间的关系，属于较难题.14．已知函数()1ln,111,122x xf xx x+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若12x x≠，且()()122f x f x+=，则12x x+的取值范围是________.【答案】[32ln2,)-+∞【解析】首先可根据题意得出12x x、不可能同时大于1，然后令121x x，根据122f x f x即可得出122212ln x x x x ，最后通过构造函数12ln 1g xx x x 以及对函数12ln 1g x x x x 的性质进行分析即可得出结果。

江苏省（南京市、盐城市、镇江市）2021届高三第二次大联考数学2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小是，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集为R，集合A＝{x|2＜x＜5}，B＝{x|2x＞16}，则A∩( R B)＝A．{x|4＜x≤5} B．{x|4＜x＜5} C．{x|2＜x≤4} D．{x|2＜x＜4}2．某校组建了甲、乙、丙3支羽毛球球队参加男女混合双打比赛，其中男队员有小王、小张、小李，女队员有小红、小芳、小丽．若小王和小红不是搭档，小张和小丽不是搭档，小李和小芳不是搭档，则A．小王的搭档一定是小芳B．小芳的搭档不可能是小张C．小张的搭档不可能是小红D．小李的搭档可能是小丽3．根据2010~2019年我国16~59岁人口比重统计数据y(%)，拟合了y与年份x的回归方程为ŷ＝－0.74x ＋1551，试据此估计我国约从哪一年开始16~59岁人口比重低于50%A．2023 B．2026 C．2029 D．20324．碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为A．3：1 B．3：2C．1：3 D．2：35．若存在复数z同时满足|z－i|＝1，|z－3＋3i|＝t，则实数t的取值范围是A．[0，4] B．(4，6) C．[4，6] D．(6，＋∞)6．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C＝B log2(1＋SN)来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道的带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W)．已知平均信号功率为1000W ，平均噪声功率为10W ，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为A ．0.1WB ．1.0WC ．3.2WD ．5.0W7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2c (c ＞0)，右焦点为F ，过C 上一点P 作直线x ＝32c 的垂线，垂足为Q ．若四边形OPQF 为菱形，则C 的离心率为A ．23B ．63C ．4－2 3D ．3－18．已知函数f (x )＝x －a ex ，且e a＝ln b ＝c ，则A ．f (a )＜f (b )＜f (c )B ．f (b )＜f (c )＜f (a )C ．f (a )＜f (c )＜f (b )D ．f (c )＜f (b )＜f (a )二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞0，d ＜0，则A ．数列{a n }单调递减B ．数列{a n }没有最小值C ．数列{S n }单调递减D ．数列{S n }有最大值10．已知a ，b 均为正数，且a －b ＝1，则A ．2a －2b ＞1B ．a 3－b 3＜1C ．4a －1b≤1 D ．2log 2a －log 2b <211．已知函数f (x )＝sin 3xx 2＋1，x ∈(－π，π)，则A ．∀x ∈(－π，π)，f (x )f (－x )≥0B ．∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤1C ．∃x 1，x 2∈(－π，π)，x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)D ．∃x 0∈(－π，π)，∀x ∈(－π，π)，|f (x )|≤f (x 0)12．由倍角公式3cos2x ＝2cos 2x －1，可知cos2x 可以表示为cos x 的二次多项式．一般地，存在一个n (n ∈N *)次多项式P n (t )＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋…＋a n t n (a 0，a 1，a 2，…，a n ∈R )，使得cos nx ＝P n (cos x )，这些多项式P n (t )称为切比雪夫(P ．L ．T s chebyscheff )多项式．则 A ．P 3(t )＝4t 3－3t B ．当n ≥3时，a 0＝0 C ．|a 1＋a 2＋a 2＋…＋a n |≤2D ．sin18°＝5－14二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某志愿者服务大队计划在今年“五一”小长假这5天中安排3天到社区进行劳动法宣讲，则这3天中恰有2天连排的概率为_______．14．已知正方形ABCD 的边长为2，当点P 满足_______时，→AP ·→AC ＝4．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况) 15．设(x －1x )( x ＋1x)6＝1470ii i a x−=∑，则(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 7＋a 9＋a 11＋a 13)＝_______．16．已知等边三角形ABC 的边长为2，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，且DE //AB ，将△CDE 沿DE 折起，则四棱锥C －DABE 的体积的最大值为_______，此时四棱锥C －DABE 的外接球的表面积为_______． 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在①4a sin B cos A ＝3b ，②b sin 2B ＋c sin 2C ＝(b ＋c ) sin 2A ，③3sin A ＋cos A ＝b a ＋ab．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出cos B 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＝13， ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋2)a n ＝3(n ＋1)a n ＋1． (1)求数列{a n }的通项公式(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证S n ＜154．19．(12分)阳澄湖大闸蟹又名金爪蟹，产于江苏苏州，蟹身青壳白肚，体大膘肥，肉质膏腻，营养丰富，深受消费者喜爱．某水产品超市购进一批重量为100千克的阳澄湖大闸蟹，随机抽取了50只统计其重量，得到的结果如下表所示：(1)试用组中值来估计该批大闸蟹的有名少只?(所得结果四舍五入保留整数)(2)某顾客从抽取的10只特大蟹中随机购买了4只，记重量在区间[260，280]上的大闸蟹数量为X ，求X 的概率分布和数学期望．20．(12分)已知AB 是圆O 的直径，且长为4，C 是圆O 上异于A 、B 的一点，点P 到A ，B ，C 的距离均为2 3.设二面角P －AC －B 与二面角P －BC －A 的大小分别为α，β． (1)求1tan 2a ＋1tan 2β的值；(2)若tan β＝3tan α，求二面角A －PC －B 的余弦值．21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，过点M (0，－1)的直线交抛物y 2＝4x 于A ，B 两点． (1)设OA ，OB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)过点A ，B 分别作直线x ＝－4的垂线，垂足为C 、D ，试探究∠AOB 和∠COD 的关系，并说明理由．22．(12分)已知函数f (x )＝－32x 2＋6x ＋3log a x (a ＞0，且a ≠1)为单调减函数，f (x )的导函数f′(x )的最大值不小于0．(1) 求a 的值；(2)若f (x 1)＋f (x 2)＝9，求证：x 1＋x 2≥2．江苏省（南京市、盐城市、镇江市）2021届高三第二次大联考数学2021年4月注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2021—2022学年第一学期12月六校联合调研试题高三数学参考答案2021.12一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的．1．A2．B3．A4．C5．D6．B7．A8．D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题意．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．A C10．B C11．A B D12．A D三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．214．415．2n＋1或3n－1(形如kn－(k－2)(k为不小于3的正整数)答案不唯一16．3，46四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）解:(1)由图象知，A＝2．又T 4＝5π6－π3＝π2，ω＞0，所以T＝2π＝2πω，得ω＝1．…………2分所以f(x)＝2sin(x＋φ)，将点(π3，2)代入，得π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，即φ＝π6＋2kπ(k∈Z)．又－π2＜φ＜π2，所以φ＝π6．……………4分所以f(x)＝2sin(x＋π6)．………………5分(2)g(x)＝2sin(1t x＋π6)，…………7分所以1t .π4＋π6＝kπ，k∈Z．所以t＝312k-2,k∈Z………………9分故时k＝1，t的最大值为310………………10分18．（本题满分12分）解：(1)由题意知：∴X的所有可能取值为：27000，36000，48000，………………………………1分设A表示事件“作物亩产量为900kg”，则P(A)＝0.5，B表示事件“作物市场价格为30元/kg”，则P(B)＝0.4，则P(X＝27000)＝0.5×0.4=0.2，P(X＝36000)＝0.5×0.4+0.5×0.6=0.5，P(X＝48000)＝0.5×0.6=0.3，………………………………5分∴X的分布列为：X 270003600048000P0.20.50.3………………………………………………………………6分(2)设C 表示事件“种植该农作物一亩一年的收人不少于30000元”，则P (C )=P (X ≥30000)=P (X ＝36000)+P (X ＝48000)=0.8，………………8分设这三年中有Y 年有收入不少于30000元，则有()3,0.8Y B ~，……………10分∴这三年中该农户种植该农作物一亩至少两年收入超过30000元的概率为：P (Y ≥2)=0.896．……………………………………12分19.（本题满分12分）解解(1)选①，令n=1,则6S 1=a 12+3a 1－4，所以a 1=4(负值舍去）……………1分令n=2,则6S 2=a 22+3a 2－4，则a 2=7(负值舍去）……………2分所以a n =3n+1……………3分又a 2＝2b 2－1．a 3=b 3＋2，所以b 2=4，b 3=8所以b n =2n……………6分选②，令n=2,则a 2=2a 1－1;设数列{a n }是公差为d 的等差数列所以a 1=d+1……………1分令n=2,则a 3=2a 2－4;，则d =3，a 1=4……………2分所以a n =3n+1……………3分又a 2＝2b 2－1．a 3=b 3＋2，所以b 2=4，b 3=8所以b n =2n……………6分（2）当{}n c 的前70项中含有{}n b 的前6项时，令71273121283n n +<=⇒<，此时至多有41748+=项（不符）.当{}n c 的前70项中含有{}n b 的前7项时，令831225685n n +<=⇒<，………9分且22，42，62是{}n a 和{}n b 的公共项，则{}n c 的前70项中含有{}n b 的前7项且含有{}n a 的前66项，再减去公共的三项.∴S 70=(66×4+66×652×3)+2+23+25+27=6869………12分(注其他方法正确，酌情给分)20．（本题满分12分）解：（1）证明：∵四边形ABCD 是直角梯形，AD ＝CD ＝2，BC ＝4，∴AC ＝22，AB ＝＝22，∴△ABC 是等腰直角三角形，即AB ⊥AC ，……………………………………2分∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又PA ∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面PAC ，……………………………………4分又PC ⊂平面PAC ，∴AB ⊥PC ．……………………………………6分（2）过点M 作MN ⊥AD 于N ，则MN ∥PA ，∴MN ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥AC ．过点M 作MG ⊥AC 于G ，连接NG ，则AC ⊥NG ，∴∠MGN 是二面角M ﹣AC ﹣D 的平面角．……………………………………8分若cos ∠MGN ＝33，则2NG ＝MN ，又AN ＝2NG ＝MN ，设MN ＝x ，则AN ＝x ，ND ＝2﹣x ，∵△MND 是等腰直角三角形，解得x ＝2﹣x ，∴MN ＝1……………………………………10分在三棱锥M ﹣ABC 中，V M ﹣ABC ＝13S △ABC •MN ＝13×12×4×2×1＝43………………12分（2）另解：过点A 作AE ⊥BC 于E ，以A 点为原点，AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y轴，z 轴建立平面直角坐标系取平面DAC 的法向量AP →＝(0，0，2)．……………………………………8分设M (0，a ，2－a )(0＜a ≤2)，AM →＝(0，a ，2－a )，AC →＝(2，2，0)，设平面CAM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．由AC →·n ＝0，AM →·n ＝02x ＋2y ＝0ay ＋(2－a)z ＝0，可取n ＝(a －2，2－a ，－a )，所以cos θ<AP →，n >=33．得a ＝1………10分故V M ﹣ABC ＝13S △ABC •a ＝13×12×4×2×1＝43………………12分21．(本小题满分12分)解：（1）直线l ：y ＝2x －4由⎩⎨⎧=-=x y x y 4422得⎩⎨⎧==44y x 或⎩⎨⎧-==21y x ．…………2分所以A (4，4)，B(1，－2)，故AB=35．…………4分（2）存在x 轴上的点N (－a ，0)满足题意，证明如下：…………5分设直线l ：x ＝my ＋a 由⎩⎨⎧=+=xy amy x 42得y 2－4my －4a ＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4a ．…………………………7分))(()()(2112212211a x a x a x y a x y a x y a x y k k BN AN +++++=+++=+))(()(22))(()2()2(212121211221a x a x y y a y my a x a x a my y a my y ++++=+++++=))((42)4(221=++⋅+-⋅=a x a x ma a m ……………………10分所以k AN +k BN =0，可知AN ，BN 的倾斜角互补，所以AMN ANM ∠=∠．所以NM 为△ABN 的角平分线，由正弦定理:BMNBNBNM BM ∠=∠sin sin ，AMNANANM AM ∠=∠sin sin 两式相除得BMAMBN AN =综上，存在x 轴上的点N (－a ，0)满足题意……………………12分22．(本小题满分12分)解：（1）已知函数f (x )＝e x +a +b sin x －1的图象在原点处的切线方程为y =2x 则f ′(0)=2，f (0)=0…………2分解得a=0,b =1,则f (x )＝e x ＋sin x －1．…………4分（2）证f (x )≥2x ，即证e x ＋sin x －2x －1≥0，令g (x )＝e x ＋sin x －2x －1，则g (0)＝0，…5分g ′(x )＝e x ＋cos x －2.则g ′(0)＝0，令h (x )=e x ＋cos x －2，则h (0)=0，h ′(x )=e x －sin x .当x ＞0时，h ′(x )＝e x －sin x ＞0，则h (x )在(0，＋∞)上是增函数，h (x )＞h (0)＝0，即g ′(x )＞0.则g (x )在(0，＋∞)上是增函数，则g (x )＞g (0)＝0.……………………7分当－π＜x ＜0时，e x ＞0，－sin x ＞0，所以h ′(x )＞0，h (x )在(－π，0)上的增函数，h (x )＜h (0)＝0.即g ′(x )＜0，函数g (x )在区间(－π，0)单调递减，在区间(－π，0)上，g (x )＞g (0)=0.…………………………10分又当x ≤－π时，g (x )＝e x ＋sin x －2x －1＞2π－2＞0.综上所述g (x )≥0，即f (x )≥2x…………………12分。

2021届江苏省南菁、泰兴、常州一中、南京二十九中四校高三上学期11月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}12M x x =-≤≤，{}2xN y y ==，则MN =（ ）A ．()0,2B ．(]0,2C ．[]0,2D ．[)2,+∞【答案】B【分析】化简集合N ，再根据交集的概念进行运算可得解.【详解】{}12M x x =-≤≤[1,2]=-,{}2xN y y ==(0,)=+∞,MN =(]0,2.故选：B 2．已知复数52iz i=-，则共轭复数z 在复平面对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】化简z ，求出z ，找到对应的坐标即可. 【详解】()()()52512222i i i z i i i i +===-+--+ 12z i =--对应的点的坐标为()1,2--，在第三象限 故选：C3．已知向量(cos ,2)a α=-， ()sin ,1b α=，且//a b ，则 2sin cos αα等于（ ） A ．45-B ．-3C ．3D ．45【答案】A【解析】试题分析：由已知，，又，故，所以2sin cos αα.【解析】向量平行等价条件、三角函数同角关系式．4．已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则11a b< B ．若a b >，c d >，则a c b d ->- C ．若a b >，则22ac bc > D ．若a b >，则||a b >【答案】D【分析】ABC 采用特殊值法判断；D 根据a b >，分0a ≥和0a <判断. 【详解】A. 当1,1a b ==-时，则11a b>，故错误； B. 当1,2a b ==-，3,1c d ==时，则a c b d -<-，故错误； C. 当,0a b c >=时，则22ac bc =，故错误；D. 当a b >时，若0a ≥，则||a b >，若0a <，则0b <，则||a b >，故正确； 故选：D5．已知函数()cos f x x x =+，R x ∈，设()10.3a f -=，()0.32b f -=，()2log 0.2c f =，则（ ）A ．b c a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】D【分析】根据导数求得函数y f x =（）在R x ∈上单调递增，结合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数()cos f x x x =+，可得()1sin 0f x x '=-≥，所以y f x =（）在R x ∈上单调递增，又由10.320.32log 0.2-->>，可得()()()10.320.32log 0.2f f f -->>，所以c b a <<. 故选：D.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性比较函数值的大小，其中解答中熟练利用导数求得函数的单调性是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6．函数()sin 2x xy e ex -=-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】因为()sin 2x xy e e x -=-，先判断其奇偶性，在用特殊值法检验，即可求得答案. 【详解】()()sin 2x x y f x e e x -==-其定义域为R()()()()sin 2sin 2x x x x f x e e x e e x f x ---=--=-=-根据奇函数性质()()f x f x -=-可得，()sin 2xxy e ex -=-是奇函数故排除B ，C.当6x π=，66666663sin 2si 36n f e e e e e e πππππππππ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 根据指数函数xy e =是单调增函数，可得66e e ππ->∴66063f e e πππ-⎛⎫⎛⎫=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当2x π=，2222222sin 2sin 002f e e e e e e πππππππππ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=-=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故只有A 符合题意 故选：A.【点睛】本题主要考查了根据函数解析式判断函数图象问题，解题关键是掌握函数奇偶性的定义和图象特征，及其特殊值法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 7．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱32EF =，EF //平面ABCD ，EF 与平面ABCD 的距离为2，该刍甍的体积为（ ）A ．6B ．113C ．314D ．12【答案】B【分析】在几何体中，作FN //AE ，FM //ED ，将多面体被分割为三棱柱与四棱锥两部分求解.【详解】如图，作FN //AE ，FM //ED ，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，因为EF 与平面ABCD 的距离为2， 所以四棱锥F -NBCM 的高为2， 所以V 四棱锥F -NBCM =13S NBCM 1322222323⎛⎫⨯=⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭V 棱柱ADE -NMF =S 直截面313223222⨯=⨯⨯⨯= 所以该刍甍的体积为V=V 四棱锥F -NBCM +V 棱柱ADE -NMF =211+3=33. 故选：B【点睛】本题考查空间几何体的体积，考查空间想象能力和运算求解能力，属于基础题. 8．在平面直角坐标系xOy 中，已知,A B 为圆22:()(2)4C x m y -+-=上两个动点，且||3AB =，若直线:2l y x =-上存在唯一的一个点P ，使得=+OC PA PB ，则实数m 的值为（ ） A 51或15B ．15-+或15- C 51或15 D ．51-或15-【答案】B【分析】取AB 的中点Q ，连接CQ ，可得CQ AB ⊥，从而可求得点Q 在圆22(x m)(y 2)1-+-=上，由2OC PA PB PQ =+=，设点P 的坐标为(t,2t)-，点Q的坐标为(,)x y ，由向量的坐标运算求出点Q ，再代入点Q 的方程可225(4m)t 04m t +-+=从而根据题意0∆=即可求解.【详解】取AB 的中点Q ，连接CQ ，有CQ AB ⊥，||1CQ ===，故点Q 在圆22(x m)(y 2)1-+-=上，由2OC PA PB PQ =+=，设点P 的坐标为(t,2t)-，点Q 的坐标为(,)x y ， 有(m,2)2(x t,y 2)t =-+，可得2mx t =+，12y t =-， 有22(t m)(12t 2)12m +-+--=，得22(t )(2t 1)12m-++=， 整理为225(4m)t 04m t +-+=，因为直线:2l y x =-上存在唯一的一个点P ， 则22(4)50m m ∆=--=，得1m =-+1m =-- 故选：B .【点睛】本题主要考查平面解析几何中直线与圆的位置关系、考查了向量的坐标运算，综合性比较强，属于中档题.二、多选题9．对于函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，叙述正确是（ ） A ．图象C 关于直线11π12x =对称B ．函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数C ．由3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C D ．图象C 关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】AB 【分析】将11π12x =代入函数中，若取到了最值，则图像C 关于直线11π12x =对称，否则不对称；先求出()f x 的递增区间，然后判断；利用正弦函数图像平移变化规律判断；()f x 图像的对称中心是其图像与x 轴的交点，所以将点坐标代入验证即可.【详解】解：对于A ，将11π12x =代入函数中得，11113()3sin(2)3sin 3121232f ππππ=⨯-==-，所以直线 11π12x =是图像C 的一条对称轴，故A 正确； 对于B ，由22k ππ-+≤π23x -≤22k ππ+，得12k ππ-+≤x ≤512k ππ+()k ∈Z ，所以函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数是正确的； 对于C ，由于()π3sin 23sin 236f x x x π⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像是由3sin 2y x =的图像向右平移π6个单位长度可以得到，故C 不正确；对于D ，当π3x =时，ππππ3sin 23sin 03333f ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以图像C 不关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 不正确；故选：AB【点睛】此题考查了正弦函数的图像与性质，考查了正弦函数的图像平移变换规律，属于基础题.10．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1418a a +=，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2qB ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列C ．8254S =D ．数列{}2n S +是等比数列【答案】AD【分析】利用等比数列通项公式求解1a ，q ，进而求得lg n a ，n S ，2n S +，从而判断各选项.【详解】由等比数列通项公式得14223311(1)18()12a a a a a q q a q ⎧+=⎪⎨+=⋅+=⋅+=⎪⎩， 解得122a q =⎧⎨=⎩，或11612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，又公比q 为整数，故122a q =⎧⎨=⎩，112n nn a q a -=⋅=，故A 选项正确；lg lg 2lg 2n n a n ==，故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故B 选项错误；11(1)221n n n a q S q +-==--，故9822510S =-=，故C 选项错误；122n n S ++=，故{}2n S +为等比数列，即D 选项正确；故选：AD.11．已知点(2,0)A -，圆22:(4)16C x y ++=，点P 在圆C 上运动，给出下列命题，其中正确的有（ ）A ．PA PC ⋅的取值范围是[8，25]B ．在x 轴上存在定点(4,0)B ，使||:||PA PB 为定值C ．设线段PA 的中点为Q ，则点Q 到直线30x y +-=的距离的取值范围1⎡⎤⎣⎦D ．过直线40x y +-=上一点T 引圆C 的两条切线，切点分别为M ，N ，则CM CN ⋅的取值范围是(-16，0] 【答案】BD【分析】多项选择题，一个一个选项验证： 向量坐标化，把有关向量用坐标表示出来.(1)把PA PC ⋅用坐标表示出来，利用三角函数求最值；(2)用坐标把||:||PA PB 表示，整理化简即可；(3)点Q 到直线30x y +-=的距离用坐标表示出来，三角函数求最值； (4)把CM CN ⋅用坐标表示出来，利用三角函数求最值．【详解】对于A ，设(4cos 4,4sin )P αα-，∵(2,0)A -，(4,0)C -，则[]22=(24cos 4sin )(4cos ,4sin )16cos 8cos 16sin 168cos 8,24PA PC αααααααα⋅---=-+=-∈，故A 错误；对于B ，设(4cos 4,4sin )P αα-，则22224cos 24sin 2016cos 1:===28064cos 4cos 84sin PA PB αααααα-+---+（）（）（）（），故B 正确；对于C ，设(4cos 4,4sin )P αα-，则点Q 到直线30x y +-=的距离|22sin()6|4322,32222d πα+-⎡⎤==∈-+⎣⎦， 故C 错误； 对于D ，如图示：min 422CT ==CM TM CN TN ⊥ ,⊥， ∴2cos022242MCN CM MCNCT =≤=>∠∠ ∴))°°°°45,9090,1802MCN MCN ⎡⎡∈∈⎣⎣∠，∴∠，∴(]=||||cos MCN 16,0CM CN CM CN ⋅∈-∠ 故D 正确． 故选：BD ．【点睛】解析几何问题常见处理方法：(1)正确画出图形，利用平面几何知识简化运算； (2)坐标化，把几何关系转化为坐标运算． 12．已知函数42,?2()2(4),?2x x f x f x x ⎧+-<-=⎨-≥-⎩，给出下列命题，其中正确的有（ ）A ．507(2020)2f =B ．方程1()14f x x =-有四个实根 C ．当[6,10)x ∈时，()8816f x x =--D ．若函数()y f x t =-在(,10)-∞上有8个零点(1,2,3,,8)i x i =，则81()i i i x f x =∑的取值范围为(-16，0) 【答案】BC【分析】根据()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩的图像和性质，逐个判断即可得解.【详解】对于A ，()()()()50550650720202201620242f f f f ====-=-.故A错误.对于B ，画出()()42,224,2x x f x f x x ⎧+-<-⎪=⎨-≥-⎪⎩图像知，()114f x x =-有四个根.故B 正确.对于C ，当[)6,10x ∈时，()()()()()2448812812428816f x f x f x f x x x =-=-=-=-+-=--.故C正确.对于D ，画出图像，()y f x t =-有8个零点，即()y f x =与y t =有8个交点.此时()81iii x f x t ==∑，()814202428216ii xt t ==-⨯+⨯+⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦∑.又()2,0t ∈-.若函数()y f x t =-在(),10-∞上有8个零点()1,2,3,,8i x i =，则()81i i i x f x =∑的取值范围为()32,0-，故D 错误. 故选：BC.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．三、填空题 13．已知2(())2R x f x x x +∈+=，则不等式2(3)(38)f x x f x -<-的解集为________. 【答案】()2,3【分析】根据题意得1,0 ()2,02xf x xxx≥⎧⎪=+⎨<⎪-⎩，进而根据函数单调性得函数图象如图，再根据函数图象得2(3)(38)f x x f x-<-等价于23380x x x-<-≤或230380x xx⎧-<⎨-≥⎩，解不等式即可得答案.【详解】解：根据题意得1,02()22,02xxf x xx xx≥⎧+⎪==+⎨+<⎪-⎩，因为当0x<时，()()24'02f xx=>-，故函数()f x在(),0-∞上单调递减，由因为()20f-=，故函数图象如图所示，所以2(3)(38)f x x f x-<-等价于23380x x x-<-≤或230380x xx⎧-<⎨-≥⎩，解不等式得：823x<≤或833x≤<.故不等式2(3)(38)f x x f x-<-的解集为()2,3故答案为：()2,3【点睛】本题解题的关键在于取绝对值得1,0()2,02xf x xxx≥⎧⎪=+⎨<⎪-⎩，进而研究单调性得函数图象，再根据函数单调性将函数值得大小转化为自变量的大小，即：23380x x x-<-≤或230380x xx⎧-<⎨-≥⎩.考查运算求解能力，回归转化思想，是中档题.14．已知函数2()1xf xx-=-与()1g x mx m=+-的图象相交于A、B两点.若动点P满足2PA PB +=，则P 的轨迹方程为___________. 【答案】22(1)(1)1x y -+-=【分析】分析函数()f x 的性质得出其图象的对称中心是()1,1Q ，而()1g x mx m =+-的图象是一条直线，它也过()1,1Q ，从而知,A B 关于Q 对称，再由向量的加法运算知2PA PB PQ +=，因此有1PQ =，从而知P 点的轨迹是圆，由此易得其轨迹方程．【详解】21()111x f x x x -==---，∴函数()f x 的图象关于点()1,1Q 对称， 函数()1(1)1g x mx m m x =+-=-+，它的图象是直线，且此直线过定点()1,1Q ， ∴Q 是AB 的中点，∴2PA PB PQ +=，即22PA PB PQ +==，1PQ =， ∴P 点轨迹是以Q 为圆心，1为半径的圆，其方程为22(1)(1)1x y -+-=． 故答案为：22(1)(1)1x y -+-=【点睛】本题考查求动点轨迹方程，解题关键有三个：一是确定函数()f x 的图象关于点()1,1Q 对称，二是确定函数()g x 的图象是过定点()1,1Q 的直线，三是由向量的加法法则得2PA PB PQ +=，从而得结论1PQ =，得出P 点的轨迹是圆．15．已知四面体ABCD 的所有顶点在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，AB =CD =，45CBD ∠=︒，则球O 的表面积为________.【答案】28π【分析】将四面体补成直三棱柱11AC D BCD -，根据题意画出图象，设11AC D △，BCD △的外心分别为P ，Q ，则点O 为线段PQ 的中点，求出OQ ，在BCD △根据正弦定理，求出BQ ，根据勾股定理和球的表面积公式，即可求得答案. 【详解】四面体ABCD 的所有顶点在球O 的表面上，且AB ⊥平面BCD ，∴将四面体补成直三棱柱11AC D BCD -，设11AC D △，BCD △的外心分别为P ，Q ，则点O 为线段PQ 的中点， 根据直棱柱特征可得：PQ ⊥面BCD 根据题意画出图象，如图：可得：132OQ AB == 在BCD △根据正弦定理：n 2si CDCBDR =∠(R 为三角形外接圆半径)根据Q 为BCD △的外心，可得BQ 为BCD △外接圆半径即122sin CD BQ CBD=⨯=∠， PQ ⊥面BCD ，BQ ⊂面BCD∴PQ BQ ⊥故BOQ △为直角三角形在Rt BOQ △中，根据勾股定理可得：2227OB OQ BQ =+=，2428O S OB ππ=⨯=球.故答案为：28π.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了求四面体外接球表面积问题，解题关键是掌握将四面体补成直三棱柱求外接球半径的方法和球的表面积公式，数形结合，考查了分析能力和空间想象能力.16．在锐角ABC 中，22a b bc -=，则112sin tan tan A B A-+的取值范围为________. 【答案】53⎫⎪⎪⎝⎭【分析】由已知结合余弦定理与正弦定理可得2A B =，再由锐角三角形可求出32A ππ<<，化简整理1112sin 2sin tan tan sin A A B A A-+=+，利用换元法结合对勾函数性质可求得结果. 【详解】22a b bc -=，利用余弦定理可得：2222cos b c bc A b bc +--=，即22cos c bc A bc -=，2cos c b A b ∴-=由正弦定理可得：sin 2sin cos sin C B A B -=，sin()2sin cos sin A B B A B ∴+-=， 即sin cos sin cos sin A B B A B -=，即sin()sin A B B -= 又ABC 为锐角三角形，A B B ∴-=，即2A B =022032B B πππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，64B ππ∴<<，32A ππ<<11sin()sin(2)12sin 2sin 2sin 2sin tan tan sin sin sin sin sinA B B B A A A A B A B A B A A---+=+=+=+ 又32A ππ<<，sin 1A << 令sin 1t A t ⎫=<<⎪⎪⎝⎭，则1()21f t t t t ⎫=+<<⎪⎪⎝⎭由对勾函数性质知，1()2f tt t =+在2t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增， 又2223f ⎛=+⨯= ⎝⎭，()112131f =+⨯=，12sin i n 3s A A ∴⎫⎪∈⎝⎭+⎪故答案为：3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【点睛】易错点睛：本题考查利用正弦定理余弦定理求范围，解本题时要注意的事项：求角A 的范围时，是在ABC 为锐角三角形的前提下，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.四、解答题17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.①6AB AC ⋅=-，②||b ci +=i 为虚数单位，③ABC 的面积为在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2b c -=，1cos 4A =-，__________.（1）求a ； （2）求sin 6C π⎛⎫-⎪⎝⎭的值. 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）8a =；（2【分析】（1）通过方案①，②，③都是求出b c ，的值，进一步利用余弦定理求出答案; （2）根据（1）求出sin C ，利用正弦和差公式化简sin 6C π⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而求出答案. 【详解】方案一：选择条件①：（1）∵cos 6AB AC bc A ⋅==-，1cos 4A =-；∴24bc =由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍去），∴22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ∴8a =.（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin C ==，∴7sin sin cos cos sin 66616C C C πππ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭. 方案二：选择条件②：（1）由22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍去），∴22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ∴8a =. （2）同方案一 方案三：选择条件③：（1）∵1cos 4A =-，∴sin A =又∵1sin 28ABC S bc A ===△∴24bc =， 由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩或46b c =-⎧⎨=-⎩（舍），∴22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，∴8a =. （2）同方案一注意：方案二、方案三评分标准参照方案一.【点睛】本题考查三角函数的余弦定理和三角形的面积，涉及到向量的数量积和复数的模，属于基础题型.18．已知函数32(R ()2(11)2)f x ax a a x -+∈=-. （1）若0a >，讨论()f x 的单调性；（2）当2a =时，若α∀、R β∈，(sin )(sin )f f m αβ-<恒成立，求m 的取值范围.【答案】（1）当102a <<时，函数()f x 的单调递减区间为21,03a a -⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增区间为21,3a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(0,)+∞；当12a =时，函数()f x 在R 上单调递增；当12a >时，函数()f x 的单调递减区间为210,3a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为(,0)-∞，21,3a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）(8,)+∞.【分析】（1）求导，将导数分解因式，根据()0f x '=的解确定分类标准，对a 分三类102a <<，12a =，12a >求单调区间. （2）根据条件可得()f x 在[-1，1]上的最大值与最小值的差小于m ，根据（1）中的单调性结论求出()f x 的最大最小值，再得到m 的取值范围. 【详解】（1）221()62(21)63a f x ax a x ax x a -⎛⎫'=--=-⎪⎝⎭. ①当102a <<时，2103a a -<，由()0f x '<，可得2103a x a-<<；由()0f x '>，可得213a x a-<或0x > ()f x 在21,03a a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在21,3a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(0,)+∞上单调递增； ②当12a =时，2()30f x x '=≥，()f x 在R 上单调递增； ③当12a >，2103a a ->，由()0f x '<可得2103a x a -<<；由()0f x '>可得0x <或213a x a->.()f x 在210,3a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在(,0)-∞，21,3a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上所述，当102a <<时，函数()f x 的单调递减区间为21,03a a -⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增区间为21,3a a -⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(0,)+∞；当12a =时，函数()f x 在R 上单调递增；当12a >时，函数()f x 的单调递减区间为210,3a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为(,0)-∞，21,3a a -⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （2）因为sin [1,1]x ∈-，所以α∀、R β∈，|(sin )(sin )|f f m αβ-<等价于()f x 在[-1，1]上的最大值与最小值的差小于m ，即max min ()()m f x f x >-. 当2a =时，32()431f x x x =-+， 由（1）知，()f x 在[-1，0)，1,12⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.因为(1)6f -=-，(0)1f =，1324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)2f =，所以min ()6f x =-，max ()2f x =， 所以2(6)8m >--=，即m 的取值范围为(8,)+∞.【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值是63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）23【分析】（1）先证明AC ⊥平面PBC ，然后可得平面EAC ⊥平面PBC ； （2）建立坐标系，根据二面角P AC E --的余弦值是6可得PC 的长度，然后可求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.【详解】（1）PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得AC PC ⊥. 又1AD CD ==，在Rt ADC ∆中，得2AC =，设AB 中点为G ，连接CG ，则四边形ADCG 为边长为1的正方形，所以CG AB ⊥，且2BC =因为222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥， 又因为BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ， 又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .（2）以C 为坐标原点，分别以射线CD ､射线CP 为y 轴和z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B -. 又设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫-⎪⎝⎭，()1,1,0CA =，()0,0,CP a =， 11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,PA a =-.由BC AC ⊥且BC PC ⊥知，()1,1,0m CB ==-为平面PAC 的一个法向量. 设(),,n x y z =为平面EAC 的一个法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=， 即0x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，则(),,2n a a =--，有26cos ,32m n m n m na ⋅===⋅+，得2a =，从而()2,2,2n =--，()1,1,2PA =-. 设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则sin cos ,n PA n PA n PAθ⋅==⋅22423612-+==⨯. 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23. 【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.20．已知数列{}n a 是一个公差大于零的等差数列，且3655a a =，2716a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22=-n n S b .（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ； （3）设43n n c b n =+-，是否存在正整数i ，(2)j i j <<，使2c ，i c ，j c 成等差数列，若存在，求出所有的正整数i ，j ，若不存在，请说明理由.【答案】（1）21n a n =-，2nn b =；（2）2332n nn T +=-；（3）存在，4i =，5j =. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，由题意建立方程组，解之可得出数列{}n a 的通项公式，再由1n =时，可求得120b =≠，由2n ≥时， 120nn b b -=≠，得出数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，可得其通项公式.（2）由（1）得212n n n a n b -=，由错位相减法可求得数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ； （3）假设存在正整数i ，(2)j i j <<，使2c ，i c ，j c ，成等差数列.分1j i =+，2j i ≥+分别求得其解，可得结论．【详解】（1）依题意，设等差数列{}n a 的公差为(0)d d >，则有()()1112555,2716,a d a d a d ⎧++=⎨+=⎩. 将②代入①得(163)(163)220d d -+=，即24d =，∵0d >，∴2d =，11a =.∴21n a n =-.当1n =时，1122S b =-，120b =≠，当2n ≥时，()()111222222---=-=---=-n n n n n n n b S S b b b b ，∴120nn b b -=≠， ∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列，2nn b =.（2）∵212n n n a n b -=， 21321222n n n T -=++⋯+①， 231113232122222n n n n n T +--=++⋯++②， ①-②，得231211112222111112122222222222n n n n n n n T --+--=+++⋯+-=+++⋯+-，111111121323221222212n n n n n -++⎛⎫- ⎪-+⎝⎭=+-=--，∴2332nn n T +=-. （3）假设存在正整数i ，(2)j i j <<，使2c ，i c ，j c ，成等差数列.∵243nn c n =+-，∴()()22439243iji j +-=++-，∴122223i j i j --+=++且2i j <<，当1j i =+时，112224i i i i --+=++，解得4i =，5j =； 当2j i ≥+时，()()()()21112322252225j i i i i j i i i i ----++-+≥++-+=-+，令1()25(3)n f n n n -=-+≥，则1(1)()210n f n f n -+-=->，∴当3n ≥时，()f n 单调递增，∴()(3)60f n f ≥=>，∴122223i j i j --+<++，即122223i j i j --+=++无解， 综上：存在正整数4i =，5j =，使2c ，i c ，j c 成等差数列.【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.21．如图，过点(1,0)E 的直线与圆22:4O x y +=相交于A ，B 两点，过点C(2,0)且与AB 垂直的直线与圆O 的另一交点为D .（1）当点B 坐标为(0，-2)时，求直线CD 的方程；（2）记点A 关于x 轴的对称点为F （异于点A ，B ），求证：直线BF 恒过定点； （3）求四边形ACBD 面积S 的取值范围.【答案】（1）220x y +-=；（2）直线BF 恒过定点(4,0)T ；（3）(0,. 【分析】（1）当(0,2)B -时，直线AB 的斜率为2，由CD 与AB 垂直，直线CD 的斜率为12-，由此能求出直线CD 的方程； （2）由对称性可知直线BF 恒过的定点必在x 轴上，记为(,0)T t ，设AB 方程为1x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，然后联立直线AB 的方程与圆的方程消元，求出12y y +，12y y ⋅，然后利用1221122112121212121212(1)(1)2()21x y x y my y my y my y y y my y t y y y y y y y y ++++++====+++++算出答案即可；（3）当直线AB 与x 轴垂直时，求出四边形ACBD 的面积，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 方程为kx y k 0--=，则直线CD 方程为20x ky +-=，求出点O 到直线AB 的距离，从而得到弦长AB 和CD ，然后表示出面积，然后用换元法能求出四边形ACBD 面积的范围．【详解】（1）当点B 坐标为()0,2-时，直线AB 的斜率为()02210--=-，因为CD 与AB 垂直，所以直线CD 的斜率为12-， 所以直线CD 的方程为()122y x =--，即220x y +-=． （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)F x y -，由对称性可知直线BF 恒过的定点必在x 轴上，记为(,0)T t设由题意直线AB 斜率存在且不为0，设AB 方程为1x my =+，代入圆O 可得：22(1)230m y my ++-=，∴0∆>，12221m y y m +=-+，12231y y m -⋅=+ ∵,,B F T 三点共线 ∴1211210y y y t x x x ++=--，解得121122112112()y x x x y x y t x y y y y -+=+=++ ∴1221122112121212121212(1)(1)2()2312142x y x y my y my y my y y y my y t m y y y y y y y y m++++++-====+=⋅+=++++-∴直线BF 恒过定点(4,0)T（3）当直线AB与x轴垂直时，4AB CD==，所以四边形ACBD面积1·2S AB CD==当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB方程为()1y k x=-(0)k≠，即kx y k0--=，则直线CD方程为()12y xk=--，即20x ky+-=点O到直线AB，所以AB==，点O到直线CD，所以CD==，则四边形ACBD 面积11··22S AB CD===令211k t+=>（当0k=时四边形ACBD不存在），所以S=(0,=，综上：四边形ACBD面积S的取值范围为(0,．【点睛】结论点睛：（1）圆中的弦长要用几何法计算，较代数法简单；（2）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长度相乘的一半.22．已知函数()ln,0f x x ax a=->．（1）若()f x a≤-对0x∀>恒成立，求实数a的取值集合；（2）在函数()f x的图象上取定点()()()()()112212,,,A x f xB x f x x x<，记直线AB的斜率为k，证明：存在()012x x x∈，，使()0k f x'=成立；（3）当*n N∈时，证明：()22231ln2ln ln224n nn n+⎛⎫⎛⎫+++>⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）{}1；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【分析】（1）()f x a≤-对0x∀>恒成立，转化为()maxf x a≤-，利用求导数方法求出()f x极值，进而求出最值，即可求解；（2）设()12(),g x f x k x x x'=-<<，通过构造函数证明12(),()g x g x异号，根据零点存在性定理，即可得证；（3）构造函数()ln 1h x x x x =-+，证明()ln 10h x x x x =-+>在(1,)+∞恒成立，1ln 1x x>-，令221111111,ln ,(ln )1(1)(2)(1)n n n x n n n n n n n +++=>>>>++++1112n n =-++，然后相加，即可求证结论.【详解】（1）11()ln ,()axf x x ax f x a x x-'=-=-=， 令1()0,f x x a '==，当1()0,0f x x a '><<，当11()0,,f x x x a a'<>=时，()f x 取得极大值，亦为最大值，max 1()ln 1ln 1f x a a a=-=--≤-，ln 10a a --≤，设11()ln 1,()1a a a a a a aϕϕ-'=--=-=， 令()0,1,()0,01;()0,0,1a a a a a a ϕϕϕ'''==<<<>>.min ()(1)0,()0a a ϕϕϕ∴==∴≥，又()ln 10a a a ϕ=--≤，()ln 10,1a a a a ϕ=--==；（2）()121212ln1(),x x g x f x k x x x x x x '=-=-<<-，122211121211ln11()(1ln )x x x x g x x x x x x x x =-=-+--， 121122121222ln11()(1ln )x x x x g x x x x x x x x =-=--+--， 令11()1ln ,()1tu t t t u t t t-'=-+=-+=，()0,01,()0,1u t t u t t ''><<<>，当1,()0,1ln 0t u t t t ≠<∴-+<，22121111ln 0,0,()0x xx x g x x x ∴-+<-<∴>，同理2()0g x <，函数12(),(,)g x x x x ∈连续不断， 故存在012(,)x x x ∈，使得0()0g x =， 即存在()012x x x ∈，，使()0k f x '=成立； （3）设()ln 1,()ln ,h x x x x h x x '=-+=， 当()0h x '>时，1,()x h x >∴在(1,)+∞递增，11,()0,ln 1x h x x x >∴>∴>-，令11n x n+=> 2211111ln,(ln )1(1)(2)(1)n n n n n n n n ++>>>++++， 2223111ln 2ln ln .22224n nn n n +∴+++>-=++ 【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及不等式恒成立最值问题、函数零点、数列不等式的证明，解题的关键是构造函数，导数性质的合理运用，属于难题.。

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．三棱锥S ABC -中，侧棱SA ⊥底面ABC ，5AB =，8BC =，60B ∠=︒，SA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．643π B ．2563π C ．4363π D2．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦3． “十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC．D．4．已知函数()222ln 02x x e f x e x x e ⎧<≤=⎨+->⎩，，，存在实数123x x x <<，使得()()()123f x f x f x ==，则()12f x x 的最大值为（ ） A ．1eBCD ．21e 5．已知函数()ln ln(3)f x x x =+-，则（ ） A ．函数()f x 在()0,3上单调递增 B ．函数()f x 在()0,3上单调递减 C ．函数()f x 图像关于32x =对称 D ．函数()f x 图像关于3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称 6．执行如图所示的程序框图若输入12n =，则输出的n 的值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．37．设ln3a =，则lg3b =，则（ ）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b ->>+8．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+等于（ ） A ．49B ．49-C ．43D ．43-9．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．324B ．33C ．305D ．5210．已知双曲线221x y a+=的一条渐近线倾斜角为56π，则a =（ ）A ．3B ．3-C ．3D ．3-11．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan21tan 2αα-=+（ ） A ．12-B ．2-C ．12D ．212．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．50,6⎛⎤⎥ ⎝⎦B ．5,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C ．250,5⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．25,15⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省泰州中学、扬州中学、靖江中学xx届高三下学期期初联考2021年高三下学期期初联考数学试题 Word版含答案注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1．已知集合，，则▲ ．2．复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为▲ ．3．右图是一个算法的流程图，则最后输出的▲ ．4．从1,3,5,7这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和小于9的概率是▲ ．5．已知样本的平均数是5,则此样本的方差为▲ ．6．已知函数的最小正周期为π，则f(x)在上的单调递增区间为，，则实数▲ ．7．已知体积相等的正方体和球的表面积分别为，，则的值是▲ ．8. 抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等于▲ ．9．已知，则的最小值为▲ ．10．在平面直角坐标系中，若曲线(为常数)在点处的切线与直线垂直，则的值为▲ ．11．设等差数列的前项和为，且满足（）则=___▲___．12．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．若关于的方程恰有10个不同实数解，则的取值范围为___▲ ．13．在直角中，，斜边上有异于端点两点的两点，且，则的取值范围是▲ ．14．已知三个正数满足，，则的最小值是▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15（本小题满分14分）设平面向量＝，，，．（1）若，求的值；（2）若，求函数的最大值，并求出相应的值．16（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，为棱的中点，，.求证：(1) 平面；(2)∥平面.17（本小题满分14分）如图，椭圆和圆，已知椭圆过点，焦距为2.(1)求椭圆的方程；(2) 椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点，直线与椭圆的另一个交点分别是点.设的斜率为，直线斜率为，求的值.18（本小题满分16分）在距A城市45千米的B地发现金属矿，过A有一直线铁路AD．欲运物资于A，B之间，拟在铁路线AD间的某一点C处筑一公路到B．现测得千米，（如A 图）．已知公路运费是铁路运费的2倍，设铁路运费为每千米1B个单位，总运费为．为了求总运费的最小值，现提供两种方案：方案一：设千米；方案二设．（1）试将分别表示为、的函数关系式、；（2）请选择一种方案，求出总运费的最小值，并指出C点的位置．19（本小题满分16分）已知数列、满足，，其中，则称为的“生成数列”．（1）若数列的“生成数列”是，求；（2）若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；（3）若为奇数，且的“生成数列”是，的“生成数列”是，…，依次将数列，，，…的第项取出，构成数列．探究：数列是否为等比数列，并说明理由．20（本小题满分16分）已知函数，．（1）记,求在的最大值；（2）记，令，，当时，若函数的3个极值点为，（ⅰ）求证：；（ⅱ）讨论函数的单调区间（用表示单调区间）．高三第二学期期初联考数学附加题(考试时间：30分钟总分：40分)21.（［选做题］请考生在A、B、C、D四小题中任选两题作答，如果多做，则按所做的前两题记分．A．（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E. 证明：AD·DE＝2PB2.B．（本小题满分10分，矩阵与变换）设矩阵，，若，求矩阵M的特征值．C．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为：(t为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．直线与圆相交于A，B两点，求线段AB的长．D．（本小题满分10分，不等式选讲）已知实数满足，求的最小值.［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（本小题满分10分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝1，AD ＝，E 为线段PD 上一点，记． 当时，二面角的平面角的余弦值为．（1）求AB 的长；（2）当时，求直线BP 与直线CE 所成角的余弦值．23.（本小题满分10分)已知数列通项公式为，其中为常数，且，．等式()()()()1022020122022111xx b b x b x b x ++=+++++⋅⋅⋅++，其中为实常数．（1）若，求的值；（2）若，且，求实数的值．D一、填空题1．； 2．4； 3．9； 4．； 5．2； 6．； 7．； 8．； 9．； 10．； 11．3； 12．； 13．； 14．．二、解答题15．解：（1）若，则， ………2分即()cos sin sin cos 0,sin 0x x x ααα+=+= ………4分 所以. ………6分 （16．证明：（1）因为1111,,,AB BC BC BB ABBB B AB BB ABB ⊥⊥=⊂、平面，所以，所以； ………3分 又因为，得，所以.………6分 又，所以平面； ………8分（2）连接交与点，连接，在中，分别为的中点，所以，又，所以∥平面．………14分17．解：（1）解法一：将点代入椭圆方程，解方程组，求得，所以椭圆的方程为．………4分解法二：由椭圆的定义求得，所以椭圆的方程为．………4分由得或. ………6分用去代，得，………8分则………10分由得或. ………12分则，所以．………14分222272222+-==x⋅xBC+xxAx-72(36=45)-cos45+2452272∴x+=xf………5分=xACBC(236)+2-(+)方案二：在中，，θθθθθsin )cos (sin 27)45sin(sin 227+=+=CD ， θθθθθθθsin cos 22736)sin cos sin sin 2(2763221)(-+=+-+=+-=⋅+⋅=BC CD AD BC AC g ………9分 (2)若用方案一，则8100)144(23)4572(4)(457222222222=+--+⇒+-=-⇒+-+=y x y x x x x y x x x y………11分由得327360891720)8100(3)144(222+≥⇒≥--⇒≥-+-y y y y y………14分 ，这时，C 距A 地千米………16分若用方案二，则θθθθθ222sin cos 2127sin cos )cos 2(sin 27-=--='y ………11分在，在………14分这时，C 距A 地千米 ………16分19．（1）解：，同理，. ………4分 （写对一个得1分，总分4分） （2）证明：1212232311n n n nb b a a b b a a b b a a --=== ………7分∵为偶数，将上述个等式中第2，4，6，…，这个式子两边取倒数，再将这个式子相乘得：1234523451234112341111111n n n n nb b b b b a a a a a b b b b b b a a a a a a --⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅∴ ………9分因为，所以根据“生成数列”的定义，数列是数列的“生成数列”. ………10分 （3）证明：因为 ，所以.所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可. ………12分 对于数列及其“生成数列”1212232311n n n nb b a a b b a a b b a a --===∵为奇数，将上述个等式中第2，4，6，…，这个式子两边取倒数，再将这个式子相乘得：12345123451123421123421111111n n n n nn n n n b b b b b b b a a a a a a a b b b b b b a a a a a a ------⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ ∴ 因为，数列的“生成数列”为，因为所以成对比数列. 同理可证，也成等比数列. 即 是等比数列.所以 成等差数列. ………16分－ 0 ＋ 递减 极小值 递增易知而()()()()32ln 2ln 42121-+-=-++-++=-a b a b a F F所以当时，当时， ………5分 （2）（ⅰ）， 令，又在上单调减，在上单调增，所以因为函数有3个极值点，所以所以 ………7分 所以当时，()04ln 121ln211ln 2<-=+<+=m m h ， 从而函数的3个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1………9分 又，所以，，即，，故 ………11分 （ⅱ）当时，，，则，故函数单调减；当时，，，则，故函数单调增；注意：各题如有其他不同的解法，请对照以上答案相应给分．21. ［选做题］B ．（本小题满分10分，矩阵与变换）解：； ………5分矩阵M 的特征值为或5. ………10分C ．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）解：直线的普通方程为：； ………2分圆C 的普通方程为：； ………4分圆心C 到直线的距离为：； ………7分所以AB =. ………10分D ．（本小题满分10分，不等式选讲） 解：由柯西不等式，2222222()2)3)3(2)((32)13x z x y z ⎡⎤⎡⎤++⋅++≥++=⎢⎥⎣⎦⎣⎦， ………4分所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为． ………10分［必做题］22.（本小题满分10分)解：(1)因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A -xyz ，则D (0，2，0)，E ，.设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，2，0)，AC →＝(m ，2，0)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即可取n 1＝． ………3分又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量， ………4分 由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝，即，解得m ＝1.即AB =1. ………6分（2）易得，所以直线BP 与直线CE 所成角的余弦值为.………10分23.（本小题满分10分)23．（1）()()()24200121010101010111C C x C x C x ++++⋅⋅⋅++ ()()()22001220111b b x b x b x =+++++⋅⋅⋅++比较可知； ………2分而时, ………3分所以()10101010210101011111n n n n n n n n n a bn C nC C =====+=+∑∑∑∑， 设10012101010101010101210nn nCC C C C ==⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅∑，也可以写成，相加得即，所以10101010102101011152216143n n n n n n n a bnC C ====+=⋅+-=∑∑∑． ………5分因为②为关于的递增的式子，所以关于的方程最多只有一解，而观察③可知，有一解，综上可知：．………10分20500 5014 倔Cy38275 9583 閃O 24965 6185 憅29876 74B4 璴37829 93C5 鏅35596 8B0C 謌36405 8E35 踵21477 53E5 句uQ21393 5391 厑。