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晶体学基础(第三章)

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X射线晶体学(第三章)

X射线晶体学(第三章)

Ee 0
kr
f是k的函数，而 k 4 sin ，所以是 sin
的函数
右图是f与 sin 的
关系曲线，各元素的原 子散射因子可从书后附 录中查出。
.
§3-5 晶胞对X射线的散射
一、系统消光 假设一束单色X射线以θ
角投射到简单立方晶胞的 (001)面上产生衍射时，11′ 和22′之间的光程差为一个 波长的整数倍（假设为1倍）， 所以1′和2′是同位相的， 为干涉加强，如图（a）。
.
二、厄瓦尔德图解 1、衍射矢量三角形
由 衍s射、矢量s 0 方和程的s图解s表0达形g式是三
个矢量构成的等腰矢量三角形， 它表明了入射线方向、衍射线方 向和倒易矢量之间的几何关系。
.
2、厄瓦尔德图解法的依据
当一束X射线以一定的角度投射到晶体上时，可 能会有若干个晶面族满足衍射条件，在若干个方向
第三章 X射线衍射理论
.
当X射线光子投射到试样上，对于被原子核束缚 得较紧的电子而言，将在入射波的电磁场作用下 作受迫振动，并成为新的电磁波源，向四周发射 出与入射线相同频率的电磁波，而且这些电磁波 互相干涉，被称之为相干散射波。
晶体中每个原子都是这样的相干散射波波源。 这些相干波相互干涉的结果，在空间的某些方向 上各波始终是互相加强的，而在另一些方向上各 波互相抵消。这样，一束X射线照射到试样上，不 仅在直射方向有X射线，而在某些特定方向（始终 加强的方向）也可能有X射线，把这种现象称为X 射线在晶体上的衍射现象，特定方向的X射线称为 衍射X射线，简称为衍射线。
si2n4a22 H2K2L2
而四方晶系为 sin242H2a2K2 cL22
可见。对不同晶系，或同一晶系而晶胞大小不同 的晶体，其衍射花样是不同的，所以说，布拉格方 程可以反映出晶体结构中晶胞大小及形状的变化。

晶体学基础第三章-晶体的定向和晶体学符号

晶体学基础第三章-晶体的定向和晶体学符号

晶体定向的几个基本概念：
（1）结晶轴：晶体坐标系中的坐标轴，需满足晶体对称性 特征。用x轴、y轴、z轴或X轴、Y轴、Z轴表示。 （2）轴角：两个结晶轴正向之夹角。用a，b，g 表示。
（3）轴单位：晶体坐标系中结晶轴的长度单位。是相应 晶体点阵中平行于晶轴的行列上相邻节点间距。用a, b, c分 别表示x轴位之连比。用a:b:c 表示。
（5）晶体几何常数：轴率a:b:c和轴角a，b，g的合称。表 示晶体坐标系特征的一组参数，用以区分不同的晶系。
第三章 晶体的定向和晶体学符号
➢ 晶体学坐标系 ➢ 各晶系的定向方法 ➢ 晶胞与原子坐标 ➢ 晶面指数 ➢ 晶向指数 ➢ 晶带指数
3.1 晶体学坐标系
晶体定向的目的：
建立坐标系，简单明确地描述晶体中晶面、晶列的 空间方位。为研究晶体的结构特性提供定量标记。
晶体的定向：
在晶体中设置符合晶体对称特征或与晶体点阵参数 一致的坐标系，并将晶体按相应的空间取向关系进行安 置。

(完整版)1《材料科学基础》第一章晶体学基础

(完整版)1《材料科学基础》第一章晶体学基础
一、晶向指数 二、晶面指数 三、六方晶系的晶向指数和晶面指数 四、晶带 五、晶面间距
晶向、晶
钯的PDF卡片-----Pd 89－4897
crystal system,space
图 2 CdS纳米棒的TEM照片（左）和 HRTEM照片（右）
图2 选区电子衍射图
图1. La(Sr)3SrMnO7的低 温电子衍射图
晶向、晶面、晶面间距
晶向：空间点阵中行列的方向代表晶体中原子排 列的方向，称为晶向。
晶面：通过空间点阵中任意一组结点的平面代表 晶体中的原子平面，称为晶面。
L M
P点坐标?
(2,2,2)或222
N
一、晶向指数
1、晶向指数：表示晶体中点阵方向的指数，由晶向上结点的 坐标值决定。
2、求法 1）建立坐标系。 以晶胞中待定晶向上的某一阵点O为原点，
联系：一般情况下，晶胞的几何形状、大小与对应的单胞是 一致的，可由同一组晶格常数来表示。
不区分 图示
晶 胞
空间点阵
单
胞
•NaCl晶体的晶胞，对应的是立方面心格子 •晶格常数a=b=c=0.5628nm，α=β=γ=90°
大晶胞
大晶胞：是相对 于单位晶胞而言 的
例：六方原始格子形式的晶胞就是常见的大晶胞
① 所选取的平行六面体应能反映整个空间点阵的对称性； ② 在上述前提下，平行六面体棱与棱之间的直角应最多； ③ 在遵循上两个条件的前提下，平行六面体的体积应最小。
具有L44P的平面点阵
单胞表
3、单胞的表征
原点：单胞角上的某一阵点 坐标轴：单胞上过原点的三个棱边 x，y，z 点阵参数：a，b，c，α，β，γ
准晶
是一种介于晶体和非晶体之间的固体。准晶具有长程定向有 序，然而又不具有晶体所应有的平移对称性，因而可以具有 晶体所不允许的宏观对称性。

晶体制备 第三章

晶体制备 第三章

相图的作用： 相图的作用：
• 预示不同条件下可能出现的各种组态以及条件 改变时,各种组态可能发生转变的方向和限度； 改变时,各种组态可能发生转变的方向和限度； • 了解体系在不同条件下的相转变及相平衡存在 的状态； 的状态； • 为提高已有材料的性能及设计、 为提高已有材料的性能及设计、开发和研制新 材料提供重要依据； 材料提供重要依据； • 预测材料的性能，为制定材料的制备、 预测材料的性能，为制定材料的制备、合成和 加工工艺提供参考依据。 加工工艺提供参考依据。
相平衡三要素： 相平衡三要素： 三要素
力学平衡 热平衡 化学平衡 合力为零 ∆T = 0 任一组元在各相 相等， 中的 µ 相等，
四个普适定律（ 四个普适定律（理）：
相律: 相律: 对于一个达到相平衡的系统而言，定有： 对于一个达到相平衡的系统而言，定有：
F =C−P+n
杠杆定理: 杠杆定理: 计算两相区内平衡存在的两个相的相 对质量。 对质量。 相平衡定律: 相平衡定律: 体系中各相的数量并不影响这些相 的平衡组成和性质。 的平衡组成和性质。 质量作用定律: 单位时间从相（ 转化到相（ 质量作用定律: 单位时间从相（1）转化到相（2） 的分子数应当与该组分在相（ 的分子数应当与该组分在相（1）中的有效浓度 成正比；反向转化的分子数应当与它在相（ 成正比；反向转化的分子数应当与它在相（2） 中的有效浓度成正比。 中的有效浓度成正比。
1865
G : 3Y2O3 • 5Al2O3 (YAG) M : 2Y2O3 • Al2O3
P : Y2O3 • Al2O3 (YAP)
M +G
Y2O3
M
P
摩尔分数
G
Al2O3
Y2O3 − Al2O3 二元系相图（部分） 二元系相图（部分）

晶体的定向和晶面符号

晶体的定向和晶面符号

不要弄混淆.
•
每个晶系的国际符号写法见表4－2(此表很重要， 要熟记！).
整理课件
21
表4-3各晶系对称型的国际符号中各序位所代表的方向: 、U
整理课件
22
晶系
选轴原则
等轴晶系 四方晶系
三方晶系 及六方晶系
斜方晶系 单斜晶系
以互相垂直的L4或Li4或相互垂直的L2 分别作为X、Y、Z轴
L4或Li4为Z轴,以垂直Z轴，并互相垂直的 L2或P的法线为X、Y轴，在Li42L22P对称 型中，以两个L2为X、Y轴。
整理课件
12
三斜晶系的定向:
晶体几何常数:
a < > b < > g < > 90 °
a<>b<>c 适当的晶棱为 x, y, z 轴。 大致上 z 轴直立， y 轴 左右， x 轴前后。
整理课件
13
三方和六方晶系的四轴定向：
– 选择唯一的高次轴作为直立结晶轴Z轴，在垂直Z 轴的平面内选择三个相同的、即互成60°交角的L2 或P的法线，或适当的显著晶棱方向作为水平结晶 轴，即x 轴、 y 轴以及 d 轴(U轴)
OA1＝ ma，OB1＝ pb，OC1＝ sc OA2 ＝ na，OB2 ＝ qb，OC2 ＝tc m, n, p, q, s, t都为整数，故m/n:p/q:s/t可化为整数比。
整理课件
39
z unknown face (A2B2C2) 2 reference face (A1B1C1) 1
2
2
整理课件
44
四轴定向时的晶棱符号
[1- 20
• 以[u v m w]的形式表达
• 也有三指数形式: [u v w] • 四指数和三指数

材料科学导论-第一章 晶体学基础3

材料科学导论-第一章 晶体学基础3

3、六方晶系晶面指数标定
根据六方晶系的对称特点，对六方晶系采用a1，a2，a3 及c四个晶轴，a1，a2，a3之间的夹角均为120度，这样， 其晶面指数就以(h k i l）四个指数来表示。 根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多不超过三 个。前三个指数中只有两个是独立的，它们之间存在以 下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
三轴晶面指数(h k l) 四轴晶面指数(h k i l) i=- ( h + k )
立方晶系：
d hkl
a h k l
2 2 2
§ 1.6 晶面指数及晶面间距 范例:
m/l
c
a
m/k
b
m/h
画出晶面 （100），（110），（111），（201），（211），（321）
பைடு நூலகம்
c a
（100）
b
画出晶面 （100），（110），（111），（201），（211），（321）
d V [h b c sin k a c sin l a b sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2hkabc (cos cos cos )
2
2kla bc(cos cos cos )
2
2hlab c(cos cos cos )]
2
2 2 2
1
2
1 2
V abc(1 cos cos cos 2cos cos cos )
单斜晶系：d＝sinβ(h2/a2＋k2sin2β/b2＋l2/c2－2hlcosβ/ac)-1/2 正交晶系：d＝[h2/a2＋k2/b2＋l2/c2]-1/2 四方晶系：d＝[(h2＋k2)/a2＋l2/c2]-1/2 六方晶系：d＝[4(h2＋hk＋k2)/3a2＋l2/c2]-1/2

材料科学基础第三章


注意： 阵点可以是原子或分子的中心， 也可以是彼此等同 阵点可以是原子或分子的中心，
的原子群或分子群的中心， 的原子群或分子群的中心 ，但 各个阵点的周围环境必须相 同。
4
空间点阵： 空间点阵：阵点在三维空间呈周期性规则排列所组成 的阵列。（阵点是构成空间点阵的基本要素） 的阵列。 阵点是构成空间点阵的基本要素） 晶格（空间格子） 为了便于描述空间点阵的图形， 晶格（空间格子）：为了便于描述空间点阵的图形， 可用许多平行的直线把所有阵点连接起来， 可用许多平行的直线把所有阵点连接起来 ， 构成一个 三维的几何格架， 称为晶格或空间格子 。 （ 可以形象 三维的几何格架 ， 称为晶格或空间格子。 描述空间点阵的几何形状，实质仍是空间点阵） 描述空间点阵的几何形状，实质仍是空间点阵） 晶胞：能够代表晶格中原子排列特征的最小单元体。 晶胞：能够代表晶格中原子排列特征的最小单元体。 （将晶胞作三维的重复堆砌就构成了空间点阵） 将晶胞作三维的重复堆砌就构成了空间点阵）
c/a值的范围：1.568（铍， 值的范围： 值的范围 （ Be）～ 1.886（镉，Cd） ）～ （ ）
21
22
3.3.3 晶胞中的原子数 fcc： n = 8 × 1 （顶角） 6 × 1 2 ： 8 + （面心）= 4 bcc： n = 8 × 1 8 ： （顶角） 1(体心) = 2 + hcp： hcp：n = 12 × 1 6 （顶角） 2 × 1 2 + （面心） （中心）＝6 +3
5
c
β
a γ
α b
空间点阵、 空间点阵、晶胞
6
3.2.2 晶
胞
晶胞通常是平行六面体。 晶胞通常是平行六面体。 选取晶胞的原则： 选取晶胞的原则： a. 几何形状与晶体具有同样的对称性； 几何形状与晶体具有同样的对称性； b. 平行六面体内相等的棱和角的数目最多； 平行六面体内相等的棱和角的数目最多； c. 当平行六面体棱间夹角存在直角时，直角数目 当平行六面体棱间夹角存在直角时， 应最多； 应最多； d. 在满足上述条件下，晶胞应具有最小的体积。 在满足上述条件下，晶胞应具有最小的体积。

第三章_晶体学基础

简单格子 底心格子 体心格子 面心格子
十四种空间格子（布拉菲格子）
综合考虑单位平行六面体的划分和附加结点的类型，七个晶系空间格 子的基本类型共有十四种。
三斜晶系：三斜简单格子； 单斜晶系：单斜简单格子，单斜底心格子； 斜方晶系：斜方简单格子，斜方底心格子， (正交） 斜方体心格子，斜方面心格子； 四方晶系：四方简单格子，四方体心格子； 三方晶系：三方简单格子(三方菱面体格子)； 六方晶系：六方简单格子； 立方晶系：立方简单格子，立方体心格子， 立方面心格子。
简单P
立方I
立方F
立方晶系：a = b=c
α=β=γ=90°
四方P 四方晶系： a = b≠c
四方I α=β=γ=90°
正交P
正交C 正交晶系：a≠b ≠ c
正交I α=β=γ=90°
正交F
单斜P 单斜晶系：a≠b ≠ c
单斜C α=γ=90° β＞ 90°
六方H
三方R
三斜P
六方晶系： a = b≠c 三方晶系： a = b=c 三斜晶系：a≠b≠c
故确定的步骤为：
● 选定晶轴X、Y、Z和a、b、c为轴单位；
● 平移晶向（棱）直线过原点；
● 在该直线上任取一结点M，将其投影至X、
。
Y、Z轴得截距OX、OY、OZ；
● 作OX/a：OY/b：OZ/c = u：v：w（最小
整数比）；
● 去掉比号，加中括号，[u v w]即为晶
向符号。
某一晶向指数代表一组在
结构基元：组成晶体的离 子、原子或分子。基元内 的原子数等于晶体中原子 的种类数。
晶体结构=空间点阵+结构基元
实际晶体——质点体积忽略——空间点阵——阵点连线——晶格（空间格子）

材料科学基础第三章晶体的范性形变

3
二、研究晶体塑性变形的途径和方法
1、宏观途径（力学、机械学的任务）
运用弹、塑性理论和断裂力学理论，建立应力－应 变关系和断裂准则（本构方程）
2、微观途径
微观模型、机理、显微结构与力学性能的关系
4
三、本章的主要内容
主要讨论单晶体的范性形变方式和规律，并简要 讨论多晶体的范性形变特点。
宏观上看，固体范性形变的基本方式很多，包括 伸长、缩短、弯曲、扭转以及各种复杂形变。
C：钢铁及所有BCC结构的金属 Ferrous metals
l lo
以C类为例，弹性变形－塑性变形－断裂
2
2、弹性变形（Elastic Deformation）
虎克定律（Hook’s law）： 拉伸
E
剪切 G
其中，E：弹性模量， G：剪切模量
特性：可逆的 reversible，通常应变很小（ < 1%）
100
1•10F3 Ī 1Ī
01ī
1ī Ī
10 ī
11Ī
(11ī)[101] + (111)[10ī] + (11ī)[011] + (111)[01ī]
21
作业： 3 －1 3－2 3－3 3－5 3 －7
22
3、表面形貌（morphology）
二者都会在样品表面形成台阶 滑移：滑移带，台阶之间距离大 孪生：孪生台阶之间的距离恰好是孪生面的晶面距 （~0.1nm） ，台阶高度都相等
17
三、Schmid定律的应用
F
• 启动的滑移系统：active slip system
• 如何确定哪个滑移系统首先启动？
F
• 发生滑移的条件：值最大的滑移系统 ＝c/

晶体学课后习题参考答案

晶体学课后习题参考答案第⼀章习题1.晶体与⾮晶体最本质的区别是什么?准晶体是⼀种什么物态?答：晶体和⾮晶体均为固体，但它们之间有着本质的区别。

晶体是具有格⼦构造的固体，即晶体的内部质点在三维空间做周期性重复排列。

⽽⾮晶体不具有格⼦构造。

晶体具有远程规律和近程规律，⾮晶体只有近程规律。

准晶态也不具有格⼦构造，即内部质点也没有平移周期，但其内部质点排列具有远程规律。

因此，这种物态介于晶体和⾮晶体之间。

2.在某⼀晶体结构中，同种质点都是相当点吗?为什么?答：晶体结构中的同种质点并不⼀定都是相当点。

因为相当点是满⾜以下两个条件的点：a.点的内容相同；b.点的周围环境相同。

同种质点只满⾜了第⼀个条件，并不⼀定能够满⾜第⼆个条件。

因此，晶体结构中的同种质点并不⼀定都是相当点。

3.从格⼦构造观点出发，说明晶体的基本性质。

答：晶体具有六个宏观的基本性质，这些性质是受其微观世界特点，即格⼦构造所决定的。

现分别变述：a.⾃限性晶体的多⾯体外形是其格⼦构造在外形上的直接反映。

晶⾯、晶棱与⾓顶分别与格⼦构造中的⾯⽹、⾏列和结点相对应。

从⽽导致了晶体在适当的条件下往往⾃发地形成⼏何多⾯体外形的性质。

b.均⼀性因为晶体是具有格⼦构造的固体，在同⼀晶体的各个不同部分，化学成分与晶体结构都是相同的，所以晶体的各个部分的物理性质与化学性质也是相同的。

c.异向性同⼀晶体中，由于内部质点在不同⽅向上的排布⼀般是不同的。

因此，晶体的性质也随⽅向的不同有所差异。

d.对称性晶体的格⼦构造本⾝就是质点周期性重复排列，这本⾝就是⼀种对称性；体现在宏观上就是晶体相同的外形和物理性质在不同的⽅向上能够有规律地重复出现。

e.最⼩内能性晶体的格⼦构造使得其内部质点的排布是质点间引⼒和斥⼒达到平衡的结果。

⽆论质点间的距离增⼤或缩⼩，都将导致质点的相对势能增加。

因此，在相同的温度条件下，晶体⽐⾮晶体的内能要⼩；相对于⽓体和液体来说，晶体的内能更⼩。

f.稳定性内能越⼩越稳定，晶体的稳定性是最⼩内能性的必然结果。

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对称面可以是垂直等分某些晶面的平面， 或是包含某些晶棱的平面。
3.3.ห้องสมุดไป่ตู้ 对称轴 对称轴为一假想的直线，对应的对称变换为围绕此 直线的旋转，每转过一定角度，各等同部分就发生 一次重复。旋转一周重合的次数叫轴次，用n表示； 整个物体复原需要的最小转角则称为基转角。
n
360


n=1，为一次轴，国际符号为1。
3.3.2 对称面 对称面为假想的平面，相 应的对称操作为对此平面 的反映。习惯符号为P，国 际符号为m。 如果m和xy平面一致，那么 对称变化矩阵为：
1 0 0 0 1 0 0 0 1
3.3.2 对称面
如果m和xz以及yz平面一致，那么相应的对 称转换矩阵则可分别表示为：
3.3.4 倒转轴
3.3.4 倒转轴
3.3.4 倒转轴 我们可以得出各次倒转轴与其它对称要素（或 对称要素的联合）间的等效关系如下： Li1=L1+C=C Li2=L2+P=P (P Li2)
Li3=L3+C
Li6=L3+P
(L3 Li3)
(L3 Li6, P L3)
只有Li4是一个独立的对称要素，不能由其 他简单或它们的联合来等效代替。
二、三、四、六次轴，国际符号分别记为2，3， 4，6。对称轴的习惯符号用Ln表示。
3.3.3 对称轴
晶体对称定律（law of crystal
symmetry）：在晶体中，只可能出现轴
次为一次、二次、三次、四次和六次的
对称轴，而不存在五次及高于六次的对 称轴。
3.3.3 对称轴
a 2a cos ma cos ( m 1) / 2
1 0 0 4[001]2 0 1 0 0 0 1
4
3
[001]
0 1 0 1 0 0 0 0 1
3.3.3 对称轴
六次轴的变换矩阵:
6[001] 1 2 3 2 0 3 2 1 2 0 0 0 1 1 2 3 2 6[001] 2 0
3.3.3 对称轴 因此，r到r'变换的解析式是∶
又可写成r'=Rr ，式中R是变换矩阵
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
教材P.26
3.3.3 对称轴
更一般的情况，r绕任意方向的单位矢量 S=uX1+vX2+wX3（把S记作[uvw]）转动角到达r 的变换矩阵是:
1 0 0 0 1 0 0 0 1
3.3.1 对称心
如果通过对称中心作任意一直线，则此直 线上距对称直线等距离的两端，必为可找 到的对应点。 一个具有对称心的图形，其相对应的面、 棱、角都体现为反向平行。 可以推论出，晶体中若存在对称心，其晶 面必然两两平行而且相等。这一点可以用 作判别晶体或晶体模型有无对称心的依据。
3.3.4 倒转轴
对于倒转轴，通常只考虑其中的Li4和Li6两者， Li4作为一种独立的对称要素，自然是必须考虑 的。Li6虽与L3+P的联合等效，但它在对称分类中 有特定的意义（属六方晶系），所以我们采用 Li6代替L3+P的联合。
在晶体中，独立的Li4和Li6出现的可能情况是：一 个晶体，如没有C，但有一L3，且垂直此L3还有一 个P时，则在此L3的方向上肯定有一个Li6存在； 一个晶体，如没有C，但有L2时，则此L2可能就是 一个Li4，但并非必定就是一个Li4；若确为Li4时， 则此L2将被包含在Li4之间而不再独立存在。
a11 a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
称为对称变换矩阵。对任一对称操作，都有惟 一的对称变换矩阵与之对应。
3.3.1 对称心 对称心为一假想的几何 点，相应的对称操作是 对于这个点的反伸。这 个对称操作的习惯符号 为C，国际符号记为 1
3.3.3 对称轴
二次轴的变换矩阵：
1 0 0 2[001] 0 1 0 0 0 1
3.3.3 对称轴
三次轴的变换矩阵:
3.3.3 对称轴 因为三次旋转轴也常选用 仿射坐标系：a1、a2轴的 单位矢量长度相同夹角为 120o，a1、a2轴都垂直于c 轴。
3.1 对称的概念
3.1 对称的概念
对称（symmetry）:物体（或图形）中相同部分之 间有规律的重复。对称的定义说明，对称的物体或 图形，至少由两个或两个以上的等同部分组成，对 称的物体通过一定的对称操作(即所谓的“有规 律”)后，各等同部分调换位置，整个物体恢复原 状，分辨不出操作前后的差别。例如建筑物的左右 两边可以通过中平面反映彼此重合。
3.3.4 倒转轴 倒转轴同样遵守晶体对称定律，只有一次、 二次、三次、四次和六次，国际符号分别 记为 1 ， 2 ， 3 ， 和 6 。习惯符 4 号为Lin，n为轴次。 变换矩阵
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
早春寒谷寒春早 林木香茶香木林 叠叠青山青叠叠 森森暮竹暮森森 美兰雨舍雨兰美 金果田中田果金 燕喜天霄天喜燕 音回一曲一回音
3.2 晶体的对称 晶体的对称具有如下特点： 晶体的对称不仅仅体现在外形上，同时也体现在其物 理性质上（如光学、力学和电学性质等）。其对称不 仅包含几何意义，也包含了物理意义。 晶体的对称性主要特征在于，晶体是由在三维空间规 则排列的原子或原子基团组成的。通过平移，可使之 重复。这种规则的重复就是平移对称的一种形式。所 以说，从微观角度，所有的晶体都是对称的。 晶体的对称性同时受到格子构造的限制，只有符合格 子构造规律的对称才能在晶体上出现，因此，晶体的 对称是有一定限制的。
1 2 3 5 6[001] 2 0
3 2 1 2 0
0 0 1
3.3.3 对称轴 选用仿射坐标系
1 1 0 6[001] 1 0 0 0 0 1 0 1 0 6[001]2 1 1 0 0 0 1 1 0 0 6[001]3 0 1 0 0 0 1
3.3 晶体的宏观对称元素和对称操作
晶体的宏观对称主要表现在外部形态上，如晶体的 晶面、晶棱和角顶作有规律的重复。 要使对称图形中等同部分重复，就必须通过一定的 操作，这种操作就称为对称操作（symmetry operation），或者说对称操作使能够使对称物体 （或图形）中等同部分作有规律重复的变换动作。 在进行对称操作中所凭借的辅助几何要素（点、线、 面）称为对称元素（symmetry element）。
0 1 0 1 1 0 3[001] 0 0 1
1 1 0 1 0 0 2 3[001] 0 0 1
3.3.3 对称轴 四次轴的变换矩阵:
0 1 0 4[001] 1 0 0 0 0 1
3.3 晶体的宏观对称元素和对称操作 对称操作和对称元素共五类:
反伸操作和对称心（center of symmetry）
反映操作和对称面（symmetry plane）
旋转操作和对称轴（symmetry axis） 旋转反伸操作和倒转轴（rotoinversion axis） 旋转反映操作和映转轴（rotoreflection axis）
1 1 0 4 6[001] 1 0 0 0 0 1
0 1 0 5 6[001] 1 1 0 0 0 1
3.3.3 对称轴
一个晶体可以没有对称轴，也可以有一个和若 干个对称轴，且对称轴的数目也可以不同。如 果在对称轴的方向上有不同轴次的对称轴，那 么只取轴次最高的那一个。
3.3.3 对称轴
3.3.3 对称轴 物体绕某个轴转动的变换 在X坐标系有一点r(x1, x2, x3)，它也是从原点到此 点的矢量。 如果这一矢量绕X3轴转动 角，点到达的新位置为 r(x'1, x'2,, x'3)。 新位置的坐标为： x'1 = -r sin( -) = -r(sincos-cos sin) x'2 = rcos( -) = r(coscos +sin sin ) cos = x2/r 及sin = x1/r ，即 x'1=x1cos -x2sin x'2=x1sin+x2cos
在晶体中如有对称轴存在，其可能的位置是， 通过晶体的几何中心，并且为某两顶角的连线， 或两平行晶面中心的连线，或某两晶棱中心的 连线；如晶体无对称中心时，则还可能是某一 晶面的中心、晶棱的中点及顶角三者任意两者 之间的连线。
3.3.3 对称轴
3.3.4 倒转轴 倒转轴亦称旋转反伸轴，又称反轴或反演轴。 辅助的几何要素有两个：一根假想的直线和此直线 上的一个定点。相应的对称操作就是围绕此直线旋 转一定的角度及对于此定点的倒反（反伸）。 倒转轴的两个变换动作是构成整个对称变换的不 可分割的两个组成部分，无论是先旋转后倒反， 或是先倒反后旋转，两者的效果完全相同，但都 是在两个变换动作连续完成以后而使晶体复原。
上述对称概念只是朴素的定义。实际上，对称不仅 是自然科学最普遍和最基本的概念之一，它也是建 造大自然的一种神秘的密码，同时也是人类文明史 上永恒的审美要素。
3.1 对称的概念
形象对称
七律－早春〔对称回文〕
m1 m2 F G r0 2 r
q1q2 F K 2 r0 r
万有引力公式 库伦公式
1 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1