黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高二10月月考数学(理)试题

黑龙江省大庆市萨尔图区大庆实验中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}32,A x x n n N ==+∈，{}2,4,6,8,10B =，则AB =（ ） A ．φ B ．{}2C ．{}8D ．{}2,8 2．已知复数z =2+i ，则z z ⋅=A B C ．3 D ．53．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则阅读过《西游记》的学生人数为（ ）A ．60B ．70C ．80D ．90 4．下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）A ．1y x =-B ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．3y x =D ．2log y x =5．已知命题p ：“0a ∃>，有12a a +<成立”，则命题p ⌝为（ ） A ．0a ∀≤，有12a a+≥成立 B ．0a ∀>，有12a a +≥成立 C ．0a ∃>，有12a a +≥成立 D ．0a ∃>，有12a a+>成立 6．若0.33a =，log 3bπ=，0.3log c e =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 7．已知原命题：已知0ab >，若a b >，则11a b<，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为( ) A ．0 B ．2C ．3D ．4 8．已知函数2()4,[,5]f x x x x m =-+∈的值域是[5,4]-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,2]-C ．[1,2]-D ．[2,5] 9．函数()ln f x x x =-的单调递减区间为（ ）A ．(),0-∞或()1+∞， B ．()(),01-∞⋃+∞，C ．()1+∞， D ．()0,1 10．函数3()f x x x =-在[]1,1-上的最大值为（ ）A ．0 BCD ．1311．函数3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ）A ．0a >B ．0a ≥C ．0a <D ．0a ≤ 12．设方程2|lg |x x -= 的两个根为12,x x ，则 （ ）A ．120x x <B ．121=x xC ．121x x >D ．1201x x <<二、填空题13．函数()log (43)(0a f x x a =->且1)a ≠的图象所过定点的坐标是________. 14．已知21()2(2019)2019ln 2f x x xf x =++'，则(1)f '=_______. 15．欧拉在1748年给出的著名公式cos sin i e i θθθ=+(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中,底数e ＝2.71828…，根据欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，任何一个复数()cos sin z r i θθ=+，都可以表示成i z re θ=的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数32122,i i z e z e ππ==，则复数12z z z =在复平面内对应的点在第________象限．16．某同学在研究函数2()()||1x f x x R x =∈+时，给出下列结论：①()()0f x f x -+=对任意x ∈R 成立；②函数()f x 的值域是()2,2-；③若12x x ≠，则一定有()()12f x f x ≠；④函数()()2g x f x x =-在R 上有三个零点．则正确结论的序号是_______.三、解答题17．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2f x x =． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）解不等式()2(1)xf f <． 18．已知命题p ：()22log 31x x -+>.（Ⅰ）若p 为真命题，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）设命题q ：2x <；若“p q ∨”为真命题且“p q ∧”为假命题，求实数x 的取值范围.19．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）经过点(2,1)M 作直线l ，与曲线C 交于,A B 两点.如果点M 恰好为线段,A B 的中点，求直线l 的方程．20．已知函数()x f x e ax b =-+.（Ⅰ）若()f x 在1x =处有极小值1，求实数,a b 的值；（Ⅱ）若()f x 在定义域R 内单调递增，求实数a 的取值范围．21．已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))A f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：()f x '在区间()0,π上存在唯一零点； （Ⅲ）设2()2()g x x x a a R =-+∈，若对任意[]10,x π∈，均存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x >，求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）设点B 为圆C 上一点，且B 点的极坐标为()000,,,36ππρθθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，射线OB 绕O 点逆时针旋转3π后得射线OA ，其中A 也在圆C 上，求OA OB +的最大值．参考答案1．D【解析】【分析】根据交集的基本运算进行求解。

2020-2021学年黑龙江省大庆实验中学实验二部高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知复数z＝﹣1+i3，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．命题“∀x∈R，e x≥x+1”的否定是（）A．∀x∈R，e x＜x+1B．C．∀x∉R，e x＜x+1D．3．设集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|x＜0}，则∁R（A∪B）＝（）A．{x|x≥2}B．{x|x＞2}C．{x|x＜﹣2或0≤x＜2}D．{x|x≤﹣2或0＜x≤2}4．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率是，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x5．复数的共轭复数的虚部为（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i6．在极坐标系中，点到直线的距离为（）A．2B．1C．D．7．某校课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，由实验数据得到右面的散点图．由此散点图，最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+blnx C．y＝a+be x D．y＝a+bx28．已知甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量X是取出球的编号，数学期望为E（X），乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量Y是取出球的编号，数学期望为E（Y），则（）A．P（X＝3）＞P（Y＝3）且E（X）＞E（Y）B．P（X＝3）＞P（Y＝3）且E（X）＜E（Y）C．P（X＝3）＜P（Y＝3）且E（X）＞E（Y）D．P（X＝3）＜P（Y＝3）且E（X）＜E（Y）9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：单价x（元）456789销量y（件）908483807568由表中数据，求得线性回归方程为．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为（）A．B．C．D．10．的展开式中x的系数为（）A．6B．15C．18D．2111．下列五个命题：①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，+∞）内取值的概率为0.8；②集合A＝{x∈Z|x2+2x﹣3≤0}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B的真子集个数为3；③命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”；④若的展开式中各项的二项式系数之和为32，则此展开式中x2项的系数为80；⑤在10道题中有7道理科题和3道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为．其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．512．大庆体育场由于形似国家体育场，被大庆人称为“大庆鸟巢”，国家体育场（鸟巢）是第24届冬季奥林匹克运动会开、闭幕式的场馆．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设随机变量ξ服从二项分布，则P（ξ≤2）等于．14．设命题p：关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+a﹣2＝0的一根大于零，另一根小于零；命题q：∀x∈R，x2﹣8x+a2＞0；若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是．15．大庆实验中学文学社中甲、乙、丙、丁、戊、己这六名即将毕业的高三成员从左到右站成一排拍照留念，其中甲不站在队伍的两端，乙、丙两人不相邻，丁必须站在戊的左面（丁、戊两人可以相邻，也可以不相邻），则满足条件的不同站队方式的站法数为．（用数字作答）16．已知关于x的方程xe x﹣1﹣a（x+lnx）﹣2a＝0在（0，1]上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α是参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C和直线l的普通方程；（2）设点P（0，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．18．作为世界最大棉花消费国、第二大棉花生产国，我国2020﹣2021年度棉花产量约595万吨，总需求量约780万吨，年度缺口约185万吨．其中，新疆棉产量520万吨，占国内产量比重约87%，占国内消费比重约67%．新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，做衣被，暖和、透气、舒适，长年供不应求．评价棉花质量的重要指标之一就是棉花的纤维长度，新疆农科所在土壤环境不同的A、B两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从A、B两地的棉花中各随机抽取40根棉花纤维进行统计，结果如表：（记纤维长度不低于300mm 的为“长纤维”，其余为“短纤维”）．纤维长度（0，100）[100，200）[200，300）[300，400）[400，500] A地（根数）492178B地（根数）2122015（1）由以上统计数据，填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”（K2的观测值精确到0.001）．A地B地总计长纤维短纤维总计附：（1）K2＝；（2）临界值表；P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（2）现从抽取的80根棉花纤维中“短纤维”里任意抽取2根做进一步研究，记B地“短纤维”的根数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（3）根据上述B地关于“长纤维”与“短纤维”的调查，将B地“长纤维”的频率视为概率，现从B地棉花（大量的棉花）中任意抽取3根棉花，记抽取的“长纤维”的根数为X，求X的分布列及数学期望．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADB＝90°，AD＝2，DB＝2，PD⊥底面ABCD．（1）证明：BD⊥PA；（2）若点E为AD的中点，PD＝3，求二面角E﹣PB﹣D的余弦值．20．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：，曲线C2：y＝4，以直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，射线l：θ＝α与曲线C1、曲线C2分别交于点A、B，将射线l绕极点逆时针旋转后得到射线l'，射线l'与曲线C1、曲线C2分别交于点C、D．（1）求曲线C1与曲线C2的极坐标方程；（2）求的最小值．21．已知F1，F2为椭圆M：）的左、右焦点，椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到F1，F2的距离之和为4．（1）求椭圆M的标准方程；（2）过F1的直线l1，l2分别交椭圆M于A，C和B，D，且l1⊥l2，试求四边形ABCD 的面积S的取值范围．22．已知函数f（x）＝e x﹣x﹣1，g（x）＝e x﹣2x．（1）（ⅰ）证明：f（x）≥0；（ⅱ）证明：g（x）＞0．（2）当x≥0时，f（x）+x（sin x+1）+cos x≥ax+1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知复数z＝﹣1+i3，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：复数z＝﹣1+i3＝﹣1﹣i，则在复平面内z对应的点（﹣1，﹣1）位于第三象限，故选：C．2．命题“∀x∈R，e x≥x+1”的否定是（）A．∀x∈R，e x＜x+1B．C．∀x∉R，e x＜x+1D．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，e x≥x+1”的否定是．故选：D．3．设集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|x＜0}，则∁R（A∪B）＝（）A．{x|x≥2}B．{x|x＞2}C．{x|x＜﹣2或0≤x＜2}D．{x|x≤﹣2或0＜x≤2}解：∵A＝{x|x2≤4}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|x＜0}，∴A∪B＝{x|x≤2}，∴∁R（A∪B）＝{x|x＞2}，故选：B．4．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率是，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x解：双曲线＝1的离心率e＝＝，即c＝a，由b2＝c2﹣a2＝3a2﹣a2＝2a2，即b＝a，则该双曲线的渐近线方程为y＝±x，即为y＝x．故选：B．5．复数的共轭复数的虚部为（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i解：∵＝＝2+i，∴复数的共轭复数为2﹣i，其虚部为﹣1．故选：B．6．在极坐标系中，点到直线的距离为（）A．2B．1C．D．解：点A（3，）根据转换为直角坐标为（），直线根据转换为直角坐标方程为，利用点到直线的距离公式d＝．故选：A．7．某校课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，由实验数据得到右面的散点图．由此散点图，最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+blnx C．y＝a+be x D．y＝a+bx2解：由图知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此最适合作为发芽率y和温度x 的回归方程类型的是y＝a+blnx．故选：B．8．已知甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量X是取出球的编号，数学期望为E（X），乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，记随机变量Y是取出球的编号，数学期望为E（Y），则（）A．P（X＝3）＞P（Y＝3）且E（X）＞E（Y）B．P（X＝3）＞P（Y＝3）且E（X）＜E（Y）C．P（X＝3）＜P（Y＝3）且E（X）＞E（Y）D．P（X＝3）＜P（Y＝3）且E（X）＜E（Y）解：甲盒子有6个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从甲盒子中取出一个球，记随机变量X是取出球的编号，是等可能事件，概率都是，所以，数学期望为E（X）＝＝，乙盒子有5个不同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，从乙盒子中取出一个球，是等可能事件，概率都是，P（Y＝3）＝，数学期望为E（Y）＝＝3，P（X＝3）＞P（Y＝3）∵，E（Y）＝3，∴E（X）＞E（Y）．故选：C．9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如表数据：单价x（元）456789销量y（件）908483807568由表中数据，求得线性回归方程为．若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线右上方的概率为（）A ．B ．C ．D ．解：由表中数据知，＝×（4+5+6+7+8+9）＝6.5，＝×（90+84+83+80+75+68）＝80，因为线性回归方程恒过样本中心点（，），所以80＝×6.5+106，解得＝﹣4，所以＝﹣4x+106，由此得到如下表格：单价x（元）456789销量y（件）908483807568908682787470估计值（件）所以6个点中，在回归直线右上方的点有（6，83），（7，80），（8，75），共3个，所以概率为＝．故选：C．10．的展开式中x的系数为（）A．6B．15C．18D．21解：∵的展开式中x的系数为：1×+1×＝6+15＝21，故选：D．11．下列五个命题：①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），若ξ在（0，2）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，+∞）内取值的概率为0.8；②集合A＝{x∈Z|x2+2x﹣3≤0}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∩B的真子集个数为3；③命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”；④若的展开式中各项的二项式系数之和为32，则此展开式中x2项的系数为80；⑤在10道题中有7道理科题和3道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为．其中正确的个数为（）A．2B．3C．4D．5解：P（0＜ξ＜2）＝0.4，并且测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0），则P（ξ＞0）＝P（0＜ξ＜2）+P（ξ＞2）＝0.4+0.5＝0.9，故①错误；经计算可得A＝{x∈Z|x2+2x﹣3≤0}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，∴A∩B＝{0，1}，则其真子集的个数为2n﹣1＝3，故②正确；原命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0“，故③正确；的展开式中各项的二项式系数之和为32，则2n＝32，可得n＝5，，令，解得r＝2，则展开式中x2项的系数为，故④正确；在10道题中有7道理科题和3道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，在第1次抽到理科题的概率为，第1次和第2次都抽到理科题的概率为，∴在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为，故⑤正确．所以有四个正确的命题．故选：C．12．大庆体育场由于形似国家体育场，被大庆人称为“大庆鸟巢”，国家体育场（鸟巢）是第24届冬季奥林匹克运动会开、闭幕式的场馆．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解：设内层椭圆方程为（a＞b＞0），∵内外椭圆离心率相同，∴外层椭圆可设成（m＞1），设切线AC的方程为y＝k1（x+a），与联立得，，由△＝0，则，同理，∴＝＝，则，因此e＝，故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设随机变量ξ服从二项分布，则P（ξ≤2）等于．解：∵随机变量ξ服从二项分布，∴P（ξ≤2）＝P（ξ＝0）+P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝＝．故答案为：．14．设命题p：关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+a﹣2＝0的一根大于零，另一根小于零；命题q：∀x∈R，x2﹣8x+a2＞0；若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围是[﹣4，2）∪（4，+∞）．解：命题p：关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+a﹣2＝0的一根大于零，另一根小于零；设f（x）＝x2+（a+2）x+a﹣2，满足f（0）＜0，即a﹣2＜0，整理得a＜2．命题q：∀x∈R，x2﹣8x+a2＞0；即64﹣4a2＜0，整理得a＞4或a＜﹣4．由于p∨q为真命题，p∧q为假命题，则①p真q假，即，故a的取值范围为[﹣4，2）．②p假q真，即，故a的取值范围为（4，+∞）．综上所述a的取值范围[﹣4，2）∪（4，+∞）．故答案为：[﹣4，2）∪（4，+∞）．15．大庆实验中学文学社中甲、乙、丙、丁、戊、己这六名即将毕业的高三成员从左到右站成一排拍照留念，其中甲不站在队伍的两端，乙、丙两人不相邻，丁必须站在戊的左面（丁、戊两人可以相邻，也可以不相邻），则满足条件的不同站队方式的站法数为168．（用数字作答）解：根据题意，分2步进行分析：①将丁、戊、己三人排好，要求丁必须站在戊的左面，有A33＝3种排法，②对于甲、乙、丙三人，分2种情况讨论：若三人排在一起，有A22×4＝8种排法，若三人不排在一起，有A42×4＝48种排法，则甲、乙、丙三人有8+48＝56种排法，则有3×56＝168种不同的排法；故答案为：168．16．已知关于x的方程xe x﹣1﹣a（x+lnx）﹣2a＝0在（0，1]上有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是（，]．解：令f（x）＝xe x﹣1﹣a（x+lnx）﹣2a，则，①当a≤0时，f′（x）＞0在（0，1]上恒成立，f（x）在（0，1]上单调递增，最多只有一个零点，不符合题意；②当a＞0时，令f′（x）＝0，则，易知方程在（0，+∞）必有唯一的解，不妨设为x0，则，则x0+lnx0＝1+lna，且当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，∴x＝x0是f（x）的极小值点，要使f（x）在（0，1]上有两个零点，则需，即，解得．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α是参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求曲线C和直线l的普通方程；（2）设点P（0，2），直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．解：（1）曲线C的参数方程为（α是参数），转换为直角坐标方程为：；直线l的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为：y＝x+2．（2）直线l的参数方程为：联立，得，其判别式△＞0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1，t2是方程的两根，则，，所以．18．作为世界最大棉花消费国、第二大棉花生产国，我国2020﹣2021年度棉花产量约595万吨，总需求量约780万吨，年度缺口约185万吨．其中，新疆棉产量520万吨，占国内产量比重约87%，占国内消费比重约67%．新疆地区的棉花是世界上最好的棉花之一，新疆长绒棉，世界顶级，做衣被，暖和、透气、舒适，长年供不应求．评价棉花质量的重要指标之一就是棉花的纤维长度，新疆农科所在土壤环境不同的A、B两块实验地分别种植某品种的棉花，为了评价该品种的棉花质量，在棉花成熟后，分别从A、B两地的棉花中各随机抽取40根棉花纤维进行统计，结果如表：（记纤维长度不低于300mm 的为“长纤维”，其余为“短纤维”）．纤维长度（0，100）[100，200）[200，300）[300，400）[400，500] A地（根数）492178B地（根数）2122015（1）由以上统计数据，填写下面2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”（K2的观测值精确到0.001）．A地B地总计长纤维短纤维总计附：（1）K2＝；（2）临界值表；P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（2）现从抽取的80根棉花纤维中“短纤维”里任意抽取2根做进一步研究，记B地“短纤维”的根数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（3）根据上述B地关于“长纤维”与“短纤维”的调查，将B地“长纤维”的频率视为概率，现从B地棉花（大量的棉花）中任意抽取3根棉花，记抽取的“长纤维”的根数为X，求X的分布列及数学期望．解：（1）根据已知数据得到如下2×2列联表：A地B地总计长纤维253560短纤维15520计404080根据2×2列联表中的数据，可得K2＝，因为6.667＞6.635，所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“纤维长度与土壤环境有关系”．（2）由题意可知ξ的可能取值为：0，1，2，，，，可得ξ的分布列为：ξ012P所以．（3）由表中数据可知，抽到的棉花为“长纤维”的概率为，所以X～B，所以，，，．故X的分布列为：X0123P故X的期望为（或）．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADB＝90°，AD＝2，DB ＝2，PD⊥底面ABCD．（1）证明：BD⊥PA；（2）若点E为AD的中点，PD＝3，求二面角E﹣PB﹣D的余弦值．【解答】（1）证明：因为PD⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD，又因为∠ADB＝90°，BD⊥AD．PD∩AD＝D，所以BD⊥平面PAD．又PA⊂平面PAD从而BD⊥PA．（2）解：因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AD，又BD⊥AD，PD⊥BD，所以DA，DB，DP两两垂直，如图，以D为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（2，0，0），，P（0，0，3），E（1，0，0）．，，，设为平面EPB的法向量，则即，可取，又因为AD⊥PD，AD⊥BD，PD∩BD＝D，所以AD⊥平面PBD，所以为平面DPB的法向量，则，故二面角E﹣PB﹣D的余弦值为．20．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：，曲线C2：y＝4，以直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，射线l：θ＝α与曲线C1、曲线C2分别交于点A、B，将射线l绕极点逆时针旋转后得到射线l'，射线l'与曲线C1、曲线C2分别交于点C、D．（1）求曲线C1与曲线C2的极坐标方程；（2）求的最小值．解：（1）曲线C1：，根据，转换为极坐标方程为，曲线C2：y＝4，根据，转换为极坐标方程为ρsinθ＝4．（2）设点A（ρ1，α），B（ρ2，α），C（），D（），将射线l＝，代入曲线C1，所以，将射线l＝，代入曲线C2，所以；将射线l′代入代入曲线C1，所以；将射线l′代入代入曲线C1，所以；所以＝＝＝8×．当且仅当时，等号成立．21．已知F1，F2为椭圆M：）的左、右焦点，椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到F1，F2的距离之和为4．（1）求椭圆M的标准方程；（2）过F1的直线l1，l2分别交椭圆M于A，C和B，D，且l1⊥l2，试求四边形ABCD 的面积S的取值范围．解：（1）由已知得所以椭圆的标准方程为：．（2）①当直线l1的斜率为0时，直线l1的方程为y＝0，则|AC|＝2a＝4，直线l2的方程为，则，或，，此时|BD|＝1，可得．②当直线l1的斜率不存在时，直线l1的方程为，则，或，，此时|AC|＝1，直线l2的方程为y＝0，则|BD|＝2a＝4，可得．③当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的斜率为k（k≠0）．则直线，联立，得，△＝16k2+16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）则，所以＝．同理可得，所以．由于（当k＝±1时取等号），，，，，，所以．综合①②③可知，四边形ABCD面积的取值范围是．22．已知函数f（x）＝e x﹣x﹣1，g（x）＝e x﹣2x．（1）（ⅰ）证明：f（x）≥0；（ⅱ）证明：g（x）＞0．（2）当x≥0时，f（x）+x（sin x+1）+cos x≥ax+1恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）（ⅰ）证明：由f（x）＝e x﹣x﹣1，可知f'（x）＝e x﹣1．当x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x＝0时，函数f（x）有最小值f（0），又f（0）＝0，故f（x）≥0．（ⅱ）证明：由g（x）＝e x﹣2x，可知g'（x）＝e x﹣2．当x∈（﹣∞，ln2）时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减；当x∈（ln2，+∞）时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x＝0时，函数g（x）有最小值g（ln2），又，故g（x）＞0．（2）当x≥0时，f（x）+x（sin x+1）+cos x≥ax+1恒成立，等价于当x≥0时，e x+x sin x+cos x﹣ax﹣2≥0恒成立．设函数F（x）＝e x+x sin x+cos x﹣ax﹣2（x≥0），则F'（x）＝e x+x cos x﹣a，设h（x）＝e x+x cos x﹣a（x≥0），则h'（x）＝e x﹣x sin x+cos x．当x≥0时，cos x≥﹣1，﹣sin x≥﹣1，﹣x sin x≥﹣x，结合（1）（ⅰ）问结论f（x）≥0知，h'（x）＝e x﹣x sin x+cos x≥e x﹣x﹣1≥0，故函数h（x）在[0，+∞）上单调递增．若a≤1，则当x≥0时，h（x）≥h（0）＝1﹣a≥0，F'（x）≥0，函数F（x）在在[0，+∞）上单调递增，又F（0）＝0，故F（x）≥0，满足题意．若a＞1，因为cos a≥﹣1，a cos a≥﹣a，结合（1）（ⅱ）问结论g（x）＞0可知，h（a）＝e a+a cos a﹣a≥e a﹣a﹣a＝e a﹣2a＞0，又h（0）＝1﹣a＜0，函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，故存在x0∈（0，a），使得h（x0）＝0，当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，F'（x）＜0，函数F（x）在（0，x0）上单调递减，此时F（x）＜F（0），又F（0）＝0，即当x∈（0，x0）时，F（x）＜0，不符题意．故a的取值范围是（﹣∞，1]．。

黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题理一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．命题“2000230x x x ∃∈++≤R ,”的否定是（ ）A ．2,230x x x ∀∈++≤RB ．2,230x x x ∀∈++>RC ．2000,230x x x ∃∈++>RD ．2000,230x x x ∃∈++≥R2．用反证法证明命题“若2()0x a b x ab -++≠，则x a ≠且x b ≠”时的假设为（ ） A ．x a =且x b = B ．x a =或x b = C ．x a ≠时x b =，x b ≠时x a = D ．以上都不对 3．函数()2cos f x x x =的图象在点()(),f ππ处的切线方程为（ ）A ．22y x ππ=-+ B ．223y x ππ=- C ．y x π=- D ．22y x ππ=-4．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值512-约为0.618. 这个比例被公认为是最能引起美感的比例，现将底与腰之比或腰与底之比为512-的等腰三角形称为黄金三角形，它是一个顶角为36°或108°的等腰三角形. 如图，△ABC ，BCD △，△ADE 都是黄金三角形，若2AB =，则DE 的大小为（ ） A ．51- B ．512+ C ．2 D ．51+ 5．椭圆C ：2221(0)3x y a a +=>的焦点在x 轴上，其离心率为12，则（ ） A ．椭圆C 的短轴长为3 B ．椭圆C 的长轴长为4 C ．椭圆C 的焦距为4 D ．4a =6．若函数()2ln f x x x a x =++在()0,1上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤B ．3a <C ．3a ≤-D ．3a <-7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为（ ） A ．3B ．3C ．332D ．238．已知函数()21(1)f x x =--则 ()320f x dx =⎰（ ）A ．383π+ B ．343π+ C ．3πD ．142π+9．抛物线24y x =的焦点为F ，(1,0)A -，点P 是抛物线上动点，PFPA值最小时，PF =（ ） A ．1B ．2C ．22D ．410．已知椭圆22143x y +=上一动点P ，圆221(1)9x y -+=上一动点Q ，圆224(1)9x y ++=上一动点R ，则||||PQ PR +的最大值为（ ）A ．3B ．5C ．8D ．911．如图，椭圆C 的方程为22143x y +=，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，点P 、Q 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且12//PF QF ，则12PF QF +的取值范围为（ ）A ．[]3,4B ．[)3,4C ．[)3,5D ．[]3,5 12．已知函数()21ln xf x x -=，若对任意不相等的1221,0,x x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()()()1212221212f x f x m x x x x x x -+>-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(],3-∞B ．7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(],4-∞ D ．9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()sin 2f x x =，()f x '为()f x 的导函数，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭________.14．由曲线1y x=，直线y x =，3x =所围成的封闭平面图形的面积为_________. 15.牛顿迭代法（Newton ´smethod ）是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设r 是()0f x =的根，选取0x 作为r 初始近似值，过点()()00,x f x 作曲线()y f x =的切线l ，l 与x 轴的交点的横坐标()()()()010000f x x x f x f x ''=-≠，称1x 是r 的一次近似值，过点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为()()1211f x x x f x '=-()()10f x '≠，称2x 是r 的二次近似值.重复以上过程，得到r 的近似值序列.（1）请选出r 的1n +次近似值与r 的n 次近似值的关系式______（请填正确的关系式序号）.①()()()12'n n n n f x x x n f x -=-≥； ②()()()1112'n n n n f x x x n f x ---=-≥； ③()()()1112'n n n n f x x x n f x +-+=-≥.（2）若()23f x x =-，取02x =作为r 的初始近似值，试求()0f x =的正根的二次近似值_________（请用分数做答）（此题第一空2分，第二空3分）. 16．已知双曲线C ：22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，过原点O 且斜率为正数的直线MN 分别交双曲线的左、右两支于点N 、M ，记四边形12F NF M 的周长为T 、面积为S .若122F F OM =，且T =C 的离心率为_________.三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18~22每小题12分，共70分） 17．已知:p 1<，:q 2221x x a -<-(0a >) （1）当2a =时，若p q ∧为真命题，求x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围． 18. 已知抛物线()220y px p =>的焦点F 与双曲线2213yx -=的一个顶点重合，过点()4,0M 作倾斜角为60︒的直线l 与抛物线交于A 、B 两点. （1）求抛物线方程；（2）求△AOB 的面积. 19. 已知函数()ln f x x =.(1)若()f x 在x t =处的切线l 过原点，求切线l 的方程； (2)令()()fx g x x=，求()g x 在4e ⎤⎦上的最大值和最小值. 20. 如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为梯形，CD AD ⊥，//BC AD ，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD CD ===，3BC =.（1）E 为PD 的中点，证明AE 与平面PCD 垂直；（2）点F 在PC 上，且13PF PC =，求二面角F AE P --的正弦值. 21．已知椭圆()2222:10y xC a b a b +=>>过点1,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点A 是椭圆C 与x 轴正半轴的交点，点M ，N 在椭圆C 上且不同于点A ，若直线AM 、AN的斜率分别是AM k 、AN k ，且9AM AN k k ⋅=，试判断直线MN 是否过定点，若过定点，求出定点坐标，若不过定点，请说明理由.22．已知函数()xe f x e=.（1）k 为正实数，若()f x kx ≥在()0,+∞上恒成立，求k 的取值范围； （2）证明：当0x >时，有()35ln 2f x x x +>成立.大庆实验中学2020-2021学年度第一学期期末考试高二理数试题参考答案1~12：BBACBC DABBBB 13.1 14.4-ln3 15.②；975617. 对于命题:p1<，所以20log (1)1x ≤-<，解得23x ≤<， 对于命题:q 因为2221x x a -<-，所以22210x x a -+-<解得11a x a -<<+， （1）当2a =时，:13q x -<<因为p 和q 均为真命题，所以2313x x ≤<⎧⎨-<<⎩，解得23x ≤<，故x 的取值范围为[2,3)； （2）因为p 是q 的充分不必要条件，所以[2,3) (1,1)a a -+，即1213a a -<⎧⎨+≥⎩，解得2a ≥，故a 的取值范围为[2,)+∞.18. （1）由双曲线2213y x -=的右顶点为()1,0，即可得抛物线()220y px p =>的焦点F ()1,0，所以抛物线的方程为24y x =.（2）由题意可得直线l0y --=，将直线与抛物线联立204y y x--==⎪⎩，整理可得2328480x x -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 所以12283x x +=，1216x x =，AB ∴==， 原点到直线l的距离d ==所以12AOBS ==19. (1)设切线的方程为y kx = 1()f x x '=，则1()k f t t'== x t =，则()ln f t t =切线方程为1ln ()y t x t t-=-1ln 1y x t t=+-ln 10t -=则t e =∴切线l 的方程为1y x e=. (2)21ln ()xg x x-'=，x e <<时，()0g x '>；4e x e <<时，()0g x '<， 所以最大值1(e)g e=∵g=，444()g e e=，因为44414e e e <<< 所以最小值444()g e e=. 20.（1）∵AP=AD=2，E 为PD 的中点 ∴△APD 为等腰三角形，∴AE ⊥PD ，又∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥CD ，∵CD ⊥AD ，CD ⊥PA ，∴CD ⊥平面PAD ，CD ⊥AE ，∵AE ⊥PD ， AE ⊥CD ，PD ∩ CD=D ，PD ⊂平面PDC ，AD ⊂平面PDC ， ∴AE ⊥平面PCD .（2）因为PA ⊥底面ABCD ，CD AD ⊥，//BC AD ， 所以PA AD CD 、、两两垂直，以A 点为原点，AD 为y 轴，AP 为z 轴，过A 做平面ABCD 内CD 的平行线，交BC 于点H ，AH 为x 轴，建立如图所示空间直角坐标系. 因为2PA AD CD ===，3BC =， 所以()0,0,0A ，()2,1,0B -，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,.因为E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且13PF PC =，所以()0,1,1E ，224,,333F ⎛⎫⎪⎝⎭. 设平面AEF 的一个法向量为(),,m a b c =，则00m AE m AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即02240333b c a b c +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取1b =，则1a =，1c =-，得()1,1,1m =-. 又平面AEP 的一个法向量为()1,0,0n =，所以13cos ,331m n m n m n⋅===⨯⋅. 所以二面角F AE P --的正弦值为63.21. 解：（1）由题意知：63c e a ==， 即2223c a =，又2222222133b ac a a a =-=-=，∴椭圆方程可化为：222231y x a a+=， 又椭圆过点126,33M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2222261331a a⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯ ⎪⎝⎭⎝⎭∴+= ， 解得：23a =，∴椭圆C 的标准方程为：2213y x +=； （2）如图所示：:直线AM ，AN 的斜率一定存在且不为0，设AM l ：()1y k x =-， 又6AM AN k k ⋅=，AN l ∴：()91y x k=-， 联立()22113y k x y x ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ ， 即()22223230k x k x k +-+-=，()()()22222433360k k k ∆=--+-=>，2233M A k x x k -∴⋅=+， 又1A x =，2233M k x k -∴=+，代入()1y k x =-， 得：263M ky k =-+， 22236,33k k M k k ⎛⎫-∴- ⎪++⎝⎭，用9k 代换k ，即得2222718,2727k k N kk ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 222222261863279327327MN k k k k k k k k k k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭∴==+⎛⎫--- ⎪++⎝⎭， MN l ∴：2222636933k k ky x k k k ⎛⎫-=-- ⎪+++⎝⎭， 即()2326ky x k =-+，∴ 直线MN 恒过定点()2,0.方法二：（也可以设直线MN 的方程与椭圆联立来做） 过MN 两点做直线MN直线MN 的斜率不存在时，0AM AN k k ⋅<， 直线MN 的斜率为0时，3AM AN k k ⋅= 故直线MN 的斜率存在且不为0 设直线MN 为y=kx+m 联立直线MN 和椭圆方程得2213y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 即()2223230k x kmx m +-+-=， 得：22232,33M N M N m km x x x x k k --=+=++所以222333M N m k y y k -=+又9AM AN k k ⋅=，222222339112320N M M N y y m k x x m km k m mk k -∴⨯==--++∴++=2 1,0 2 2,0 2,0m k m km k MN y kx m A m k MN y kx m MN =-=-=-=+=-=+得或时，直线：过（）为点，舍；时，直线：过（），所以直线过定点（）22. （1）()()()()()()()()11min 0,ln 10ln 1,0;ln 1,0,ln 1ln ln 00,ln 0,1x x F x f x kx e kx F x e k F x x k x k F x k x F x F x F k k k k k k k k k k --=-=-'=-'==+''<<+<+<>=+=--=-≥>≤≤，，是增函数，时，时时故，所以，所以k 的取值范围为(]0,1.（2）证明：对x 的取值范围分类讨论：①01x <<时，111x e e --<<，ln 0x <，所以1ln ln x e x x -⋅>，有()1333ln ln ln x f x x e x x x x x -+=+>+， 令()3ln g x x x =+，则()221330x g x x x x-'=-=<，所以()g x 在()0,1上单调递减，所以()()5132g x g >=>， 即()13335ln ln ln 32x f x x e x x x x x -+=+>+>>，故01x <<时，不等式成立.②1≥x 时，由（1）中结论，1x e x -≥在[)1,x ∈+∞上恒成立， 而此时ln 0x ≥，于是有()1333ln ln ln x f x x e x x x x x x-+=+≥+，要证()35ln 2f x x x +>成立，可证其加强条件：35ln 2x x x +>， 即证235ln 02x x x+->在1≥x 时成立， 令()()235ln 12m x x x x x=+-≥，则()()()232332341652512222x x x x m x x x x x x-++-'=-+==， 所以()m x 在31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以()331ln 223m x m ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭， 由于27338>>，因此1332e >，所以31ln 23>，所以()331ln 0223m x m ⎛⎫≥=->⎪⎝⎭， 即()235ln 02m x x x x =+->，即35ln 2x x +>， 所以()13335ln ln ln 2x f x x e x x x x x x -+=+≥+>，故1≥x 时，命题成立.综上，当0x >时，有()35ln 2f x x x +>成立.。

黑龙江省大庆实验中学（实验三部）2020-2021学年高二3月月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数z 231i i +=-，则z 的虚部为（ ） A ．12- B ．52i C ．52- D ．522．我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）A ．128右B ．64石C ．256石D ．32石 3．设函数2()log f x x =，则“a b >”是“()()f a f b >”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球32个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为（ ）A ．0.32B ．0.45C ．0.64D ．0.675．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.若以射线Ox 为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为（ ）A ．ρ＝sinθB ．ρ＝2sinθC ．ρ＝cosθD ．ρ＝2cosθ 6．下列说法中错误的个数是（ ）①从某社区65户高收入家庭，280户中等收入家庭，105户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某一项指标，应采用的最佳抽样方法是分层抽样②线性回归直线y bx a =+一定过样本中心点(,)x y③对于一组数据1,2,3,4,5，如果将它们改变为11,12,13,14,15，则平均数与方差均发生变化④若一组数据1、a 、2、3的众数是2，则这组数据的中位数是2⑤用系统抽样方法从编号为1，2，3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，按照等间隔抽取的方法，则第5段中被抽中的学生编号为76 A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．在正项等比数列{}n a 中，若657,3,a a a 依次成等差数列，则{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．12 C ．3 D ．138．已知关于某设各的使用年限x （单位：年）和所支出的维修费用y （单位：万元）有如下的统计资料，由上表可得线性回归方程0.08y bx =+，若规定当维修费用y ＞12时该设各必须报废，据此模型预报该设各使用年限的最大值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10 9．如图，设不等式组1101x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为长方形ABCD ，长方形ABCD 内的曲线为抛物线2yx 的一部分，若在长方形ABCD 内随机取一个点，则此点取自阴影部分的概率等于A ．23 B ．13 C ．12D ．1410．已知直线1y kx =+与圆()()22214x y -+-=相交于P ，Q 两点，且PQ ≥，则k 的取值范围是（ ）A ．3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．[]1,1-C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．⎡⎣ 11．将数列{}n a 中的所有项排成如下数阵:其中每一行项数是上一行项数的2倍，且从第二行起每-行均构成公比为2的等比数列，1a23,a a4567,,,a a a a89101112131415,,,,,,,a a a a a a a a⋅⋅⋅⋅⋅⋅记数阵中的第1列数124,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，构成的数列为{}n b ，T 为数列{}n b 的前n 项和，若253n T n n =+，则1025a 等于( )A ．176B ．196C ．216D ．23612．已知函数ln ()x f x kx x=-在区间14[,]e e 上有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．1)2e B ．1)2e C ．21[e D ．211[,]e e二、填空题13．若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是_________．14．函数()()222f x sin x ππϕϕ⎛⎫-<< ⎪⎝=⎭+的一条对称轴方程是4x π=，则ϕ的值为__________.15．如图，已知正三棱锥ABCD ，BC CD BD ===，2AB AC AD ===，点Q 是CD 的中点，点P 是BC 上的动点，则直线AP ，BQ 所成角的最小值为_________.16．设椭圆C ：22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对称，且满足FA ·FB ＝0，|FB |≤|FA |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是_______________.三、解答题17．大庆实验中学在高二年级举办线上数学知识竞赛，在已报名的400名学生中，根据文理学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）估算一下本次参加考试的同学成绩的中位数和众数；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半理科生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的文理科生人数相等.试估计总体中理科生和文科生人数的比例.18．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点P 的极坐标为4π⎫⎪⎭，直线l 的极坐标方程为ρcos 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝a ，且点P 在直线l 上. （1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（2）曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=.若1C 与2C 交于,A B 两点，求11PA PB+的值. 19．已知在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且sin sin sin sin C A b B A a c -=-+. （1）求角C 的大小;（2）若3c =,求+a b 的取值范围.20．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，AC与BD 相交于点E ，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，1AD =，AB =3BC =.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角A PC D --的余弦值.21．已知中心在原点O ，焦点在x 2（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P Q ，两点，满足直线OP PQ OQ 、、的斜率依次成等比数列，求OPQ ∆面积的取值范围．22．已知函数(1)()ln ,1a x f x x x R x -=-∈+ ． （1）若x=2是函数f （x ）的极值点，求曲线y=f （x ）在点（1,f （1））处的切线方程；（2）若函数f （x ）在(0,)+∞ 上为单调增函数，求a 的取值范围；（3）设m ，n 为正实数，且m>n ，求证：ln ln 2m n m n m n -+<- ．参考答案1．C【解析】【分析】先化简复数z ()()()()231231511122i i i i i i i +++===-+--+，得到共轭复数即可. 【详解】 因为复数z ()()()()231231511122i i i i i i i +++===-+--+， 所以1522z i =--， 所以z 的虚部为52-. 故选：C【点睛】本题主要考查了复数的概念和复数的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．B【分析】根据216粒内夹谷27粒，可得比例，即可得出结论．【详解】由题意，抽得样本中含谷27 粒，占样本的比例为2712168=， 则由此估计总体中谷的含量约为1512648⨯=石． 故选：B ．【点睛】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．3．B【解析】∵函数()2log f x x =在0x >上单调递增,()()f a f b >， ∴a b >，反之不成立,例如0a b >>,但是()(),f a f b 无意义．∴则“a b >”是“()()f a f b >”的必要不充分条件．故选B.4．B【分析】根据白球的概率可求得白球数，用总数减去红球与白球数即可求出对应的概率【详解】由题可知，白球数为：1000.2323⨯=个，则黑球数为100-32-23=45个，对应黑球概率为：450.45100P == 故选：B【点睛】本题考查概率公式的应用，属于基础题5．D【解析】由1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）得曲线C 普通方程为22(1)1x y -+=， 又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=，故选D ． 6．C【分析】①应该采用分层抽样满足抽样合理性；②线性回归直线y bx a =+一定过样本中心点(),x y ；③平均数肯定变化，方差指数据和平均数的离散程度，不变；④由众数算出a 即可求中位数；⑤用系统抽样，700个抽样50每隔14人抽一次，根据第二次抽中编号为20可推知第五次被抽中的编号。

大庆实验中学2019-2020学年度上学期第一次月考高二数学（理）试题一．选择题（本题共12小题，每小题5分） 1.抛物线24y x =-的准线方程为（ ） A. 1y =- B. 1y =C. 1x =-D. 1x =【答案】D 【解析】试题分析：24p =，2p =，焦点在x 轴负半轴上，准线方程为1x =． 考点：抛物线的性质．2.以221412x y -=-的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )A. 221? 1216x y +=B. 221416x y +=C. 221164x y +=D.2211612x y += 【答案】B 【解析】 【分析】由原方程可得221124y x -=，其焦点为()0,4±，顶点为(0,23±，据此可写出所求椭圆方程. 【详解】由原方程可得221124y x -=，所以双曲线的焦点为()0,4±，顶点为(0,23± 椭圆的顶点为()0,4±，焦点为(0,23±， 即23,4c a ==，所以2224b a c =-=所求椭圆方程为221164y x +=，故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的方程，简单几何性质，椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，属于中档题.3.以原点为中心，焦点在y 轴上的双曲线C 的一个焦点为(0,F ，一个顶点为(0,2)A -，则双曲线C 的方程为（ ）A. 22122y x -=B. 221412y x -=C. 22144y x -=D.22142y x -= 【答案】C 【解析】试题分析：∵双曲线C 的一个焦点为(0,F ，一个顶点为(0,2)A -，∴2,a c ==∴2b ==，∴双曲线C 的方程为22144y x-=.考点：1.双曲线的标准方程；2.双曲线的焦点、顶点.4.已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）A. B. 6C. D. 12【答案】C 【解析】 【分析】椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a ，进而可得△ABC 的周长【详解】椭圆2213x y += ，2a=设直线BC 过椭圆的右焦点F 2，根据椭圆的定义可知：|AB|+|BF 2|=2a=23，|AC|+|F 2C|=2a=23．∴三角形的周长为：|AB|+|BF 2|+|AC|+|F 2C|=4a=43 ．故选：C【点睛】椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1,F 2组成的三角形称为“焦点三角形”，椭圆中焦点三角形的常用结论有：①|PF 1|+|PF 2|=2a ；②当点P 为短轴端点时，∠F 1PF 2最大；③焦点三角形的周长为2（a+c ）.5.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，焦点F 到一条渐近线的距离为d ，若3FB d ≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. 2]B. 2,)+∞C. (1,3]D.[3,)+∞【答案】A 【解析】试题分析：设(c,0)F ，(0,)B b ，一条渐近线的方程为0bx ay +=，则22d b b a==+，22FB b c =+因为3FB d 223b c b +≥，所以22222c c a ≥-，所以222a c ≥，所以12e <≤A ．考点：双曲线的简单性质．6.椭圆221259x y +=上一点P 到两焦点距离之积为m ，则当m 取最大值时，P 点是()A. ()5,0和()5,0-B. 5,22⎛ ⎝⎭和5,22⎛- ⎝⎭C. 322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭和3,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D. ()0,3和()0,3-【答案】D 【解析】 【分析】设()5cos ,3sin P θθ，利用两点间距离公式表示出到两焦点的距离，将距离之积的最大值转化为关于2cos θ的二次函数的最大值的求解问题，通过确定二次函数取最大值时2cos θ的取值可进一步求得P 点坐标.【详解】由标准方程可知两焦点为：()14,0F -，()24,0F 设()5cos ,3sin P θθ1PF ∴=2PF =12PF PF ∴====[]2cos 0,1θ∈Q ∴当2cos 0θ=时，12PF PF 取最大值m此时sin 1θ=± ()0,3P ∴或()0,3- 本题正确选项：D【点睛】本题考查利用椭圆的参数方程求解距离之积的最值的问题，关键是能够将问题转化为二次函数的最值求解问题，易错点是忽略了余弦函数的范围，造成最值求解错误.7.设点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上的一点，12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，已知12PF PF ⊥，且122PF PF =，则双曲线的一条渐近线方程是（ ）A. y =B. y =C. 2y x =D. 4y x =【解析】试题分析：根据题意，三角形F 1F 2P 是以F 1F 2为斜边的直角三角形，设|F 2P|=m ，|F 1P|=2m ，则由双曲线定义可得m=2a ，所以222(2)(4)(2)a a c +=，即225a c =，则2222212b c a c a a a -==-=，故一条渐近线方程是2b y x x a ==． 考点：双曲线的几何性质．8.若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是A. [0,6]B. [0,4]C. [6, +∞）D. [4, +∞）【答案】D 【解析】解：x 、y 满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z=x+2y 经过C 点时，函数取得最小值， 由解得C （2，1），目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 故选：D ．9.过双曲线的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若|AB|＝4，则满足条件的A. 4条B. 3条C. 2条D. 无数条【答案】B 【解析】试题分析：∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4， ∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，有2312y -=，∴2y =±，∴直线AB 的长度是4，综上可知有三条直线满足|AB|=4， 故选B ．考点：圆锥曲线综合应用.10.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）C.6332D.94【答案】D 【解析】由题意可知：直线AB 的方程为3()34y x =-，代入抛物线的方程可得：2490y --=，设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ，则所求三角形的面积为1324⨯94，故选D.考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.11.下列三图中的多边形均为正多边形，M 、N 是所在边上的中点，双曲线均以图中的F 1、F 2为焦点，设图①②③中的双曲线的离心率分别为e 1、e 2、e 3，则（）A. e 1＞e 2＞e 3B. e 1＜e 2＜e 3C. e 1=e 3＜e 2D. e 1=e 3＞e 2【答案】D 【解析】 【分析】根据正三角形、正方形、正六边形的边长和角度关系可求解出12,MF MF ，根据双曲线定义可求解出离心率，再比较出大小关系.【详解】在①中，连接2MF ，设12122F F MF c ==123MF F π∠=Q 23MF c ∴= ()212331MF MF a c c c ∴-==-=-13131c e a ∴===+- 在②中，连接2MF ，12F F ，设122F F c =()()22221112224MF MF F F c ∴+==，解得：12MF c =又124MF F π∠=Q2222112112122cos MF MF F F MF F F MF F ∴=+-⋅∠，解得：210MF c =211021022222MF MF a c c c -∴-==-= 21022102c e a +∴===- 在③中，连接2MF ，12F F ，设12122F F MF c ==123MF F π∠=Q 23MF c ∴ )212331MF MF a c c c ∴-==-=33131c e a ∴===- 132e e e ∴=>本题正确选项：D【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，关键是能够熟练应用双曲线的定义构造关于,a c 的齐次方程.12.已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点F 1,F 2,点P 是两曲线的一个公共点,12,e e 又分别是两曲线的离心率,若PF 1⊥PF 2,则22124e e +的最小值为()A.52B. 4C.92D. 9【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线和椭圆的定义，结合勾股定理可整理得到222122a a c +=，代入22124e e +可整理得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得最小值.【详解】由双曲线和椭圆定义可得：1212+=PF PF a ，1222PF PF a -=12PF PF ⊥Q 222124PF PF c ∴+=又()22221212244PF PF aa +=+ 22212224a a c ∴+=，即222122a a c +=2222222222121221122222221212122224559422222a a a a a a c c e e a a a a a a ++∴+=+=+=++≥+= 当且仅当2221221222a a a a =，即12a 时取等号22124e e ∴+的最小值为92本题正确选项：C【点睛】本题考查与椭圆和双曲线离心率相关的最值问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义得到等量关系，从而将所求项化为符号基本不等式的形式.二．填空题（本题共4小题，每小题5分）13.椭圆22194x y +=(x ≥0,y ≥0)与直线x-y-5=0的距离的最小值为__________．【解析】 【分析】画出椭圆的图形以及直线的方程，找出曲线上的点与直线x ﹣y ﹣5=0的距离的最小值即可.【详解】在坐标系中画出椭圆22194x y +=（x≥0，y≥0）与直线x ﹣y ﹣5=0的图形，如图：可知（3，0）到直线x ﹣y+5=0的距离最小，d=3-5=22．故答案为：2 ．【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，注意x ，y 的范围，利用数形结合找出点的位置，再利用点到直线的距离公式解出即可．14.若直线2y kx =+与双曲线226x y -=的右支交于不同的两点，则k 的取值范围__________【答案】15,13⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】联立直线与双曲线方程，可知二次项系数不为零、判别式大于零、两根之和与两根之积均大于零，据此构造不等式组，解不等式组求得结果.【详解】将2y kx =+代入双曲线方程整理可得：()2214100k x kx ---=设直线与双曲线右支交于两点()()1122,,,x y x y()222122122101640104011001k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪∆=+->⎪⎪∴⎨+=>⎪-⎪⎪=->-⎩，解得：1k ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭本题正确结果：1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查根据直线与双曲线位置关系求解参数范围的问题，属于基础题.15.过椭圆22221x y a b+=(a >b >0)上的点P 作PM ⊥x 轴于M (M 、P 不重合)，A 1A 2是椭圆的长轴，则122MA MA MP⋅的值是___________.【答案】22a b【解析】 【分析】设(),P x y ，则(),0M x ，分别表示出12MA MA ⋅和2MP ，利用P 满足椭圆方程代入整理消元可得结果.【详解】设(),P x y ，则(),0M x()()2212MA MA x a a x a x ∴⋅=+-=-，22MP y =22222122222222MA MA a x a x a b y b MPb x a⋅--∴===- 本题正确结果：22a b【点睛】本题考查椭圆中的定值求解问题，关键是能够准确表示出所需的线段长度，利用点在椭圆上这一位置关系来进行化简.16.已知P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，B 为椭圆右顶点，若12PF F ∠平分线与2PF B ∠的平分线交于点(6,6)Q ，则12F BQ F BQ S S ∆∆+= .【答案】36 【解析】试题分析：由题意可知，(6,6)Q 是三角形的旁心，可以判断出(6,6)Q 点在直线x a =上，故6a =，1212111126266362222F BQ F BQ Q Q S S F B y F B y a ∆∆+=+=⨯⨯=⨯⨯⨯=.考点：椭圆焦三角的性质.三．解答题（本大题共6题,解答过程需要写出必要的推理过程）17.已知椭圆方程22143x y +=,左右焦点分别为12,F F(1)求椭圆焦点坐标及离心率;(2)过2F 的直线与椭圆交于两点,A B ,若223AF F B =u u u u r u u u u r，求直线AB 方程.【答案】（1）()11,0F -，()21,0F ；离心率12e =；（2）0y = 【解析】 【分析】（1）根据椭圆标准方程可得,,a b c ，进而得到焦点和离心率；（2）当直线AB 斜率0k =时，易知满足题意；设直线AB 方程：1x my =+，代入椭圆方程整理可得韦达定理形式；将向量的比例关系转化为两点纵坐标的关系，从而构造方程求得结果. 【详解】（1）由椭圆方程知：2a =，3b =221c a b =-∴焦点坐标()11,0F -，()21,0F ；离心率12c e a == （2）①当直线AB 斜率0k =时，23AF =u u u u r ，21F B =u u u u r，满足题意，此时直线为：0y =②设直线AB 方程：1x my =+将1x my =+代入椭圆方程可得：()2234690m y my ++-=设()11,A x y ，()22,B x y ，则122122634934m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩又223AF F B =u u u u r u u u u r 123y y ∴=- ()212121221423y y y y y y y y +∴=++=-即：22264349334m m m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=--+，方程无解 综上所述：直线AB的方程为：0y =【点睛】本题考查椭圆焦点、离心率等定义、焦点分弦成比例的问题的求解，关键是能够根据将向量之间的比例关系转化为交点纵坐标之间的比例关系，从而结合韦达定理构造出方程，解方程求得结果.18.已知双曲线两个焦点分别是())12,F F ，点)P在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程;（2）过双曲线的右焦点2F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线交于,A B 两点，求1F AB ∆的周长. 【答案】（1）221x y -=；（2）12 【解析】 【分析】（1）由2PF x ⊥轴可得21b a=，结合焦点坐标可得c =,a b 的值，得到所求标准方程；（2）根据双曲线渐近线倾斜角可知,A B 均在双曲线右支上，根据双曲线定义可知所求周长等于42AB +，将直线方程代入双曲线方程，利用弦长公式求得AB ，代入得到结果. 【详解】（1）)2F Q，)P2PF x ∴⊥轴 221b PF a∴==且c =又222c a b =+，即220a a +-=，解得：1a = 21b ∴=∴双曲线的标准方程为：221x y -=（2）由（1）知，双曲线渐近线为y x =，倾斜角为45oQ 直线AB 过2F 且倾斜角为60o ,A B ∴均在双曲线的右支上122BF BF ∴-=，122AF AF -= 112244AF BF AF BF AB ∴+=++=+设直线AB方程为：y x =代入双曲线方程得：2270x -+=4AB ∴== 1F AB ∴∆的周长为：114212AF BF AB AB ++=+=【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解、双曲线中的三角形周长的求解问题；关键是能够利用双曲线的定义将问题转化为弦长的求解，利用弦长公式求得结果.19.已知两点()()5,0,5,0A B -，直线AM 和直线BM 相交于点M ,且它们的斜率之积是49- (1)求动点M 的轨迹方程; (2)求AMB ∠最大值时的正切值.【答案】（1）()2291525100x y x +=≠±；（2）125- 【解析】 【分析】（1）设动点(),M x y ，利用斜率乘积为定值可构造出方程，整理可得轨迹方程；（2）利用倾斜角与斜率关系、两角和差正切公式可得94tan 159AM BM AM AM BM AMk k AMB k k k k ⎛⎫-∠=-=-⨯+ ⎪+⎝⎭，利用基本不等式可得到所求正切值.【详解】（1）设(),M x y ，则5AM y k x =+，5BM yk x =- 22455259AM BMy y y k k x x x ∴⋅=⋅==-+--，整理得：229125100x y += 又M 与,A B 不重合 5x ∴≠±∴点M 的轨迹方程为：()2291525100x y x +=≠±（2）在AMB ∆中，AMB MAB MBA π∠=-∠-∠则tan AM MAB k ∠=，tan BM MBA k ∠=-且49AM BM k k ⋅=- 设0AM k >，则409BM AMk k =-< ()tan tan tan tan 1tan tan 1AM BM AM BMk k MAB MBAAMB MAB MBA MAB MBA k k -∠+∠∴∠=-∠+∠=-=--∠⋅∠+949412259595AM AM AMAM k k k k ⎛⎫=-⨯+≤-⨯⋅=- ⎪⎝⎭（当且仅当49AM AM k k =，即23AM k =时等号成立） tan AMB ∴∠最大值为125- ()0,AMB π∠∈Q 且正切函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增AMB ∴∠取最大值时的正切值为125-由椭圆对称性可知，当0AM k <时，结论依然成立 综上所述，AMB ∠取最大值时的正切值为125-【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解、椭圆中的最值问题的求解；求解椭圆中最值问题的关键是能够用某一个变量表示出所求量，从而配凑出关于该变量的函数的形式，利用函数值域或基本不等式的方式求得最值.20.(2017安徽蚌埠一模)已知椭圆C:2222x ya b+=1(a>b>0)的离心率为154,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+215.(1)求椭圆C的方程;(2)设圆T:(x-2)2+y2=49,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.【答案】(1)216x+y2=1. (2)34.【解析】试题分析：（115可得a=4b，15，然后根据△PF1F2的周长可得b=1，a=4，从而可得椭圆的方程．（2）由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率，设其方程为y=kx+1，由直线与圆相切可得32k2+36k+5=0，从而得到129 8k k+=-，125 32k k=．然后分别求出两切线与椭圆交点的横坐标E x和F x，最后根据斜率公式求解即可．试题解析：(1)由题意得e=22154c a ba a-==，∴a=4b，∴15．∵△PF1F2的周长是8+15∴2a+2c=(24b=8+∴b=1,∴a=4．∴椭圆C的方程为216x+y2=1．(2)由（1）得椭圆的上顶点为M(0,1)，又由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率，设其方程为l：y=kx+1，∵直线y=kx+1与圆T相切，23=，整理得32k2+36k+5=0，∴121295,832k k k k+=-=由1221116y k xxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y整理得(1+1621k)x2+32k1x=0，∴12132116Ekxk-=+．同理可得22232116Fkxk-=+,∴1212129385116411632E F E FEFE F E Fy y k x k x k kkx x x x k k---+=====----⨯．故直线EF的斜率为34．21.已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左．右焦点为12,F F，离心率为e.直线:l y ex a=+与x轴，y轴分别交于点,A B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点1F关于直线l的对称点，设AM ABλ=u u u u v u u u v.（1）证明：21e λ=-； （2）若34λ=，12MF F ∆的周长为6；写出椭圆C 的方程； （3）确定λ的值，使得12PF F ∆是等腰三角形.【答案】（1）证明见解析；（2）22143x y +=；（3）当23λ=时，12PF F ∆是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）分别求出,,A B M 坐标，利用向量共线的坐标运算可构造关于λ的方程，整理即可证得结果；（2）利用（1）的结论求得e ，根据焦点三角形周长为22a c +可得到关于,a c 方程，求得,a c 后，根据222b a c =-求得2b ，进而得到椭圆方程；（3）根据1PF l ⊥可知若12PF F ∆为等腰三角形，则需1122PF F F c ==，即点1F 到直线l 距离d c =，利用点到直线距离公式构造方程可求得2e ，根据（1）的结论得到结果.【详解】（1）,A B Q 为l 与,x y 轴的交点 ,0a A e ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，()0,B a由22221y ex a x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2x c b y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即2,b M c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2,a b AM c e a ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭u u u u v ，,a AB a e ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u uvAM AB λ=u u u u v u u u v Q 2a a c e eb a aλλ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，整理可得：21e λ=- （2）由（1）得：2314e -=，解得：12c e a ==，即2a c = 12MF F ∆Q 周长为226a c +=，即3a c += 2a ∴=，1c = 2223b a c ∴=-=∴椭圆C 的方程为：22143x y +=（3）1PF l ⊥Q 12190PF F BAF ∴∠=+∠o为钝角若12PF F ∆是等腰三角形，则1122PF F F c == 设()1,0F c -到直线l 距离为d ，则需d c =21ec a d e -+=+Q 21ec a c e -+∴=+，即2211e e e -=+，解得：213e =由（1）得：2213e λ=-=∴当23λ=时，12PF F ∆是等腰三角形 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，涉及到椭圆中的证明问题、椭圆标准方程的求解、存在性问题的求解；解决存在性问题的基本步骤是假定存在，进而得到所需的等量关系，利用等量关系建立方程求得结果即可.22.定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的，如图，椭圆1C 与椭圆2C 是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的长轴长是4，椭圆()22222:10y x C m n m n+=>>，短轴长是1，点1F ，2F 分别是椭圆1C 的左焦点与右焦点.（1）求椭圆1C ，2C 的方程；（2）过1F 的直线交椭圆2C 于点M ，N ，求2F MN V 面积的最大值.【答案】（1）22114x y +=（2）12【解析】 试题分析：(1)利用题意结合“相似”的定义设椭圆1C 的半焦距为c ，椭圆2C 的半焦距为c'，由a,b,c的关系可得：椭圆1C 的方程为22x y 14+=，椭圆2C 的方程是22x y 114+=； (2)由题意可得三角形面积的表达式1S MN h 122==，结合均值不等式的结论可得2F MN V 的面积的最大值为12. 试题解析：解：（1）设椭圆1C 的半焦距为c ，椭圆2C 的半焦距为'c ，由已知2a =，b m =，12n =， ∵椭圆1C 与椭圆2C 的离心率相等，即'c c a m=，== ∴b na m=，即21bm b an ===，∴1b m ==， ∴椭圆1C 的方程为2214x y +=，椭圆2C 的方程是22114x y +=； （2）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为x my =联立：22{41x my y x =+=，得(22410y my +-=，即()2214110m y +-+=，∴()222192441416440m mm∆=-+=->，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12y y +=1221114y y m =+，∴MN =， 2F MNV 高即为点2F 到直线l：0x my -=的距离h ==∴2F MN V的面积1122S MN h ===，≥==，即m =时，∴12S ≤=，即2F MN V 的面积的最大值为12.。

2020-2021学年黑龙江大庆实验中学高二上期末理科数学卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题“若0,00ab a b ===则或”的逆否命题是（ ）A ．若0,00ab a b ≠≠≠则或B ．00,0a b ab ≠≠≠若或则C ．若0,00ab a b ≠≠≠则且D ．00,0a b ab ≠≠≠若且则2．命题01,:2>++∈∀ax ax R x p ，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(]0,4B ．[]0,4C ．),4[)0,(+∞⋃-∞D ．()(),04,-∞⋃+∞3．下列各数中最大的数为（ ）A ．101111（2）B ．1210（3）C ．112（8）D ．69（12） 4．如图所示的程序框图，若输出的S=31，则判断框内填入的条件是（ ）A ．4?i >B ．5?i >C ．4?i ≤D ．5?i ≤5．从某小学随机抽取200名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取36人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为（ ）．A ．3B ．6C ．9D ．126．袋内分别有红､白､黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球D ．至少有一个白球；红､黑球各一个7．利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第4列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据下图，读出的第3个数是（ ）A ．584B ．114C ．311D ．1608．{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，p 在基底{},,a b c 下的坐标为(2,1,5)，则p 在基底{},,a b b c a c +++下的坐标为（ ）A ．(1,2,3)-B ．(1,2,3)-C ．(1,2,3)-D ．(3,2,1)-9．假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进入同一部手机，若这两条短信进入手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为（ ）A ．425B ．259C ．1625D ．2425 10．如图，12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点A 、B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．C ．D ． 11．已知F 是抛物线24x y =的焦点，直线1y kx =-与该抛物线交于第一象限内的两点A ，B ，若FB AF 4=，则k 的值是（ ）A ．45B ．243C ．417 D二、填空题12．由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 ．13．椭圆221(0,0,)ax by a b a b +=>>≠与直线12y x =-交于,A B 两点，过原点与线段AB a b 的值为 ． 14．下列命题： △命题“21,1x x ==若则”的否命题为“21,1x x =≠若则”；△命题“20,10x x x ∀≥++<”的否定是“20,10x x x ∃<++≥”△对于常数,m n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=表示的曲线是双曲线”的充要条件； △“1x >”是“0x >”的必要不充分条件；△已知向量,,OA OB OC 不共面，则向量OA 可以与向量和向量构成空间向量的一个基底．其中说法正确的有 （写出所有真命题的编号）．15．设定义域为()+∞,0的单调函数)(x f ，对任意的()+∞∈,0x ，都有4]log )([3=-x x f f ，若0x 是方程3)(2)(='-x f x f 的一个解，且*0),1,(N a a a x ∈+∈，则实数=a ．三、解答题16．设关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（1）若a 是从1,2,3,4四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有两个不等实根的概率．（2）若a 是从区间[]1,4任取的一个数，b 是从区间[]0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率．17．某厂采用新技术改造后生产甲产品的产量x （吨）与相应的生产成本y （万元）的几组对照数据． x 3 4 56 y3 3．5 4．5 5（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b x+a ；（3）已知该厂技改前生产50吨甲产品的生产成本为40万元．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产50吨甲产品的生产成本比技改前降低多少万元？ （参考数据：42186i i x==∑ 42166.5i i y ==∑ 4175.5i i i x y ==∑，1221n i i i n i i x y nx y b xnx ∧==-=-∑∑）18．如图：四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是平行四边形，且BD AC =，ABCD PA 底面⊥，1==AB PA ，3=BC ，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．（1）证明：当点E 在边BC 上移动时，总有PE AF ⊥；（2）当CE 等于何值时，PA 与平面PDE 所成角的大小为45°．19．已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈，6225)(23-++-=x x x x g （1）若)(x f 的一个极值点为1，求a 的值；（2）设)(x g 在]4,1[上的最大值为b ，当[)1,x ∈+∞时，b x f ≥)(恒成立，求a 的取值范围．20．已知中心在原点，焦点在轴的椭圆过点，且焦距为2，过点(1,1)P 分别作斜率为12,k k 的椭圆的动弦,AB CD ，设,M N 分别为线段,AB CD 的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）当121k k +=，直线MN 是否恒过定点？如果是，求出定点坐标．如果不是，说明理由．21．设函数x x x f ln )(=（1）求函数)(x f 的最小值；（2）设x x f x a x x F 2)]([)(2+'+-=，讨论函数)(x F 的单调性；（3）在第二问的基础上，若方程m x F =)(，（R m ∈）有两个不相等的实数根21,x x ，求证：a x x >+21．参考答案1．D【解析】试题分析：一个命题的逆否命题是把原命题的假设和结论否定并且交换位置，所以命题“若0,00ab a b ===则或”的逆否命题是00,0a b ab ≠≠≠若且则，故选D ．考点：四种命题2．C【解析】试题分析：由p ⌝是真命题，可得p 是假命题，当0a =时，10>，为真命题，舍去；当0a ≠时，只需24040a a a a =-≥∴≥≤或；综上，40a a ≥<或，故选C ．考点：逻辑连接词3．D【解析】试题分析：101111(2)=1×20+0×21+1×22+1×23+1×24+1×25=61，1210(3)=0×30+1×31+2×33+1×34=48，112(8)=2×80+1×81+1×82=74 69(12)=9×120+6×121=81，故选D ．考点：进位制4．A【解析】试题分析：当1,1s i ==，不满足输出条件，执行循环体后，3,2s i == 当3,2s i ==，不满足输出条件，执行循环体后，7,3s i ==当7,3s i ==，不满足输出条件，执行循环体后，15,4s i == 当15,4s i ==，不满足输出条件，执行循环体后，31,5s i ==当31,5s i ==，满足输出条件 故条件应为4?i >，故选A ． 考点：程序框图5．B【解析】试题分析：由频率分布直方图知，10.050.10.20.350.3a =----=身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组内的学生分别是0.320060,0.220040,0.120020⨯=⨯=⨯=所以这三组共有604020120++=，因为用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，所以每个个体被抽到的概率是12112010=，所以从身高[]130,150内的学生中选取的人数应为160610⨯=，故选B ． 考点：（1）频率分布直方图（2）分层抽样6．D【分析】利用互斥事件、对立事件的定义直接求解【详解】解：对于A ，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A 不是互斥的；对于B ，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；对于C ，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥； 对于D ，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立， 故选：D【点睛】此题考查了互斥事件和对立事件，属于基础题.7．C【解析】试题分析：最先读到的1个的编号数是238，向右读下一个数是977,977大于499，故舍去，再下一个数是584，舍去，再下一个数是160，再下一个数是744，舍去，再下一个数是998，舍去，再下一个数是311．读出的第3个数是311．故选C ．考点：简单随机抽样8．A【解析】试题分析：由题意向量25p a b c =++，设向量p 在基底{},,a b b c a c +++下的坐标为{},,x y z()()()p x a b y b c z a c ∴=+++++，()()()25a b c x a b y b c z a c ∴++=+++++ 211253x z x x y y y z z +==-⎧⎧⎪⎪∴+=∴=⎨⎨⎪⎪+==⎩⎩，所以向量p 在基底{},,a b b c a c +++下的坐标为{}1,2,3-，故选A ．考点：空间向量基本定理9．C【解析】试题分析：分别设两个互相独立的短信收到的事件为,x y ，则所有事件集可表示为05,05x y ≤≤≤≤，由题意得，如果手机受到干扰的事件发生，则必有2x y -≤。

2020-2021学年黑龙江省大庆实验中学高二下学期期中数学复习卷(2)一、单选题（本大题共21小题，共60.0分）1.已知集合M={0,1，2，3，4}，N={1,3，5}，P=M∩N，则P的真子集有()A. 3个B. 4个C. 6个D. 8个2.已知i为虚数单位，复数z=2i(2−i)的实部为a，虚部为b，则log a b等于()A. 0B. 1C. 2D. 33.θ=π4(ρ≥0)表示的图形是()A. 一条直线B. 一条射线C. 一条线段D. 圆4.集合，，给出下列四个图形，其中能表示以为定义域，为值域的函数关系的是()．A.B.C.D．A. AB. BC. CD. D5.如图，若图中直线 1， 2， 3的斜率分别为k1，k2，k3，则A. k1<k2<k3B. k3<k1<k2C. k3<k2<k1D. k1<k3<k26.命题“∀x∈[0,+∞)，e x≥1+sinx”的否定是()A. ∀x∈[0,+∞)，e x<1+sinxB. ∀x∉[0,+∞)，e x≥1+sinxC. ∃x∈[0,+∞)，e x<1+sinxD. ∃x∉[0,+∞)，e x<1+sinx7.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为2√55，以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=2x+1相切，则a=()A. 2B. √5C. √3D. 18.若f(x)在R上是奇函数，且有f(x+4)=f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)=2x2，则f(11)=()A. 242B. −242C. 2D. −29. 设命题p ：lg(2x −1)≤0，命题q ：x−(a+1)x−a≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. [0,12]B. (0,12)C. [0,12)D. ⌀10. 在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换{x′=7xy′=4y后，曲线C 变为曲线x′2+8y′2=1，则曲线C 的方程为( )A. 49x 2+128y 2=1B. 49x 2+64y 2=1C. 49x 2+32y 2=1D. 249x 2+12y 2=111. 对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d)，规定(a,b)=(c,d)当且仅当a =c ，b =d ；运算“⊗”为：(a,b)⊗(c,d)=(ac −bd,bc +ad)， 运算“⊕”为：(a,b)⊕(c,d)=(a +c,b +d)，设p ，q ∈R ，若(1,2)⊗(p,q)=(5,0)，则(1,2)⊕(p,q)=( )A. (0,−4)B. (4,0)C. (0,2)D. (2,0)12. 1.设椭圆(m >0,n >0)的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为( )A. B. C.D.13. 2.下列结论错误的是A. 若“p 且q ”与“﹁p 或q ”均为假命题，则p 真q 假．B. 若一个命题的逆命题为真，则它的否命题也一定为真；C. “x =1”是“x 2−3x +2=0”的充分不必要条件．D. “若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真．14. 3.是成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件15. 4.若椭圆的离心率，则m 值A. 3B. 3或C.D. 或16. 5.函数f(x)=ax 3−x在R上为减函数，则()A. a≤0B. a<1C. a<2D.17. 6.设，则方程不能表示的曲线为A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 圆18.7.在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=1，PA=2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为()A. B. C. D.19.8.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是A. B. C. D.20.9.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若;则的面积为()A. B. C. D.21.10.直线L经过双曲(a>0,b>0)右焦点F与其一条渐近线垂直且垂足为A，与另一条渐近线交于B点，=，则双曲线的离心率为()A. B. C. D. 2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）22.i是虚数单位，则|i1+i|的值为______．23.在平面上取定一点O，从O出发引一条射线Ox，再取定一个长度单位及计算角度的正方向(取逆时针方向为正)，就称建立了一个极坐标系，这样，平面上任一点P的位置可用有序数对(ρ,θ)确定，其中ρ表示线段OP的长度，θ表示从Ox到OP的角度．在极坐标系下，给出下列命题：(1)平面上的点A(2,−π6)与B(2,2kπ+11π6)(k∈Z)重合；(2)方程θ=π3和方程ρsinθ=2分别都表示一条直线；(3)动点A在曲线ρ(cos2θ2−12)=2上，则点A与点O的最短距离为2；(4)已知两点A(4,2π3)，B(4√33,π6)，动点C在曲线ρ=8上，则△ABC面积的最大值为40√33．其中正确命题的序号为______ (填上所有正确命题的序号)．24.观察如图，则第______行的各数之和等于20172．12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…25.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，若x1+x2=10，则弦AB的长度为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）26.已知命题p：关于x的方程x2+2x+a=0有实数解，命题q：关于x的不等式x2+ax+a>0的解集为R，若(¬p)∧q是真命题，求实数a的取值范围．27.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A(3√3,π2)，B(3,π3)，圆C的方程为ρ=2cosθ．(1)求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；(2)已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．28.已知函数f(x)=x2+2ax，x∈[−5,5]．(1)若y=f(x)−2x是偶函数，求f(x)的最大值和最小值；(2)如果f(x)在[−5,5]上是单调函数，求实数a的取值范围。