【终稿】(试题)2020届福州市高中毕业班第三次质量检查(理科数学)

2020届福州市高中毕业班第三次质量检查数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．满分150分． 注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知纯虚数z 满足(1i)2i z a -=+，则实数a 等于A ．2B ．1C ．1-D ．2-2. 已知集合{}(){}2220,log 2A x x x B x y x =+-==-＜，则()AB =RA ．∅B ．(]2,2-C ．()1,2D ．()2,1-3. 执行右面的程序框图，则输出的m =A ．1B ．2C ．3D ．44. 某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 A ．0.495%B ．0.940 5%C ．0.999 5%D ．0.99%5. 函数()2e 2x f x x x =--的图象大致为ABCD6. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成绩对应的条形图如下：以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确．．．的是 A ．平均数相同B ．中位数相同C ．众数不完全相同D ．丁的方差最大 7. 已知角θ的终边在直线3y x =-上，则2sin 21cos θθ=+A ．611-B ．311-C ．311D ．6118. 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1,2,3（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有 A ．12种B ．24种Ox y 11O x y 11y1O 1xO x y11C ．72种D ．216种9. 已知函数()()sin 06f x x ωωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞图象上相邻两条对称轴的距离为2π，把()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移35π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则 A ．()cos 4g x x =- B ．()cos 4g x x =C ．()cos g x x =-D ．()cos g x x =10. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b ＞＞）的焦距为2，右顶点为A ．过原点与x 轴不重合的直线交C 于,M N 两点，线段AM 的中点为B ，若直线BN 经过C 的右焦点，则C 的方程为A ．22143x y +=B ．22165x y +=C ．22198x y +=D ．2213632x y +=11. 已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论： ①曲线()y f x =在1x =处的切线方程为10x y +-=； ②()f x 恰有2个零点；③()f x 既有最大值，又有最小值；④若120x x ＞且()()120f x f x +=，则121x x =． 其中所有正确结论的序号是 A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．③④12. 三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面ABC 的投影为ABC △的内心，三个侧面的面积分别为12,16,20，且底面面积为24，则三棱锥P ABC -的内切球的表面积为 A ．43π B ．12πC ．163πD ．16π第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 已知向量()1,2AB =，()2,5CB =，(),1t MN =．若AC MN ∥，则实数t = ． 14. 正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1BC 中点，Q 为1A D 中点，则异面直线DP 与1C Q 所成角的余弦值为 ．15. 在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22sin cos 1A B +=，则cb a-的取值范围为 ．16. 已知梯形ABCD 满足,45AB CD BAD ∠=︒∥，以,A D 为焦点的双曲线Γ经过,B C 两点．若7CD AB =，则Γ的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ，12a =，11b =，且112n n a a T +=+．（1）若数列{}n a 为等差数列，求n S ；（2）若112n n b b S +=+，证明：数列{}n n a b +和{}n n a b -均为等比数列． 18. （本小题满分12分）如图，在多面体PABCD 中，平面ABCD ⊥平面PAD ，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，120PAD ∠=︒，1BC =，2AB AD PA ===．（1）求平面PBC 与平面PAD 所成二面角的正弦值； （2）若E 是棱PB 的中点，求证：对于棱CD 上任意一点F ，EF 与PD 都不平行．19. （本小题满分12分）已知抛物线2:4C y x =，直线:2l x my =+（0m ＞）与C 交于,A B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点．（1）求直线OM 斜率的最大值；ADCBP（2）若点P 在直线2x =-上，且PAB △为等边三角形，求点P 的坐标． 20. （本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x ax x =-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 有两个极值点12,x x （12x x ＜），若()12f x mx ＞恒成立，求实数m 的取值范围．21. （本小题满分12分）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A ,B ,C ,D ,E 共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得A 等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：现从这10X ，求X 的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y 服从正态分布(75.836)N ，．若2~(,)Y N μσ，令Y μησ-=，则~(0,1)N η，请解决下列问题：①若以此次高一学生生物学科原始分C 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求()P k ξ=取得最大值时k 的值．附：若~(0,1)N η，则(0.8)0.788P η≈,( 1.04)0.85P η≈.2020年福州市高中毕业班质量检测数学（理科）参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

高中毕业班第三次教学质量检测理科数学试题本试卷共 6 页。

满分 150 分。

考生注意：1. 答题前， 考生务必将自己的准考证号、 姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、 姓名、 考试科目” 与考生本人准考证号、 姓名是否一致.2. 第I 卷每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号. 第II 卷用0. 5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答. 若在试题卷上作答， 答案无效.3. 考试结束， 考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、 选择题： 本大题共 12 小题， 每小题 5 分， 共 60 分。

在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 A ＝{}23x x -≤≤ ， 集合 B 满足 A ∩ B ＝ A ， 则 B 可能为 A. {}13x x -<≤ B. {}23x x -<< C. {}32x x -≤≤ D. {}33x x -≤≤2.已知复平面内点 M ， N 分别对应复数12z i =+ 和21z i =-， 则向量MN 的模长为A.1B.C.D. 33.等比数列{}n a 的前 n 项和为Sn ， 且1234,2,a a a 成等差数列， 若 a 1＝1， 则 S 4＝A.7B.8C.15D.164.已知40.40.40.3log ,0.2,0.3a b c ===， 则A. a < b < cB. a< c < bC. b< c< aD. b< a< c5.已知角 α 的终边过点 P (-2m ，8) 且 cos α ＝35， 则tan α 的值为 A. 34 B. 43 C. 43- D. 43±6.甲、 乙等 4 人排成一列， 则甲乙两人不相邻的排法种数为A. 24B.12C.6D.47.函数1()()sin f x x x x =-在[,0)(0,]ππ-的图象大致为8. 如图， 网格纸的小正方形的边长是 1， 在其上用粗实线和粗虚线画出了某三棱锥的三视图， 则该三棱锥的内切球表面积为A. 323B. 163π C. 48π D. 39.中国是茶的故乡，也是茶文化的发源地 中国茶的发现和利用已有四千七百多年的历史， 且长盛不衰， 传遍全球 为了弘扬中国茶文化， 某酒店推出特色茶食品“金萱排骨茶”， 为了解每壶“金萱排骨茶” 中所放茶叶量x 克与食客的满意率y 的关系， 通过试验调查研究，发现可选择函数模型bx c y ae +=来拟合y 与 x 的关系， 根据以下数据：可求得y最新x 的回归方程为A. 0.043 4.291x y e-= B. 0.043 4.291x y e += C. 0.043 4.2911100x y e -= D. 0.043 4.2911100x y e += 10.已知点Q 在椭圆22184x y +=上运动， 过点 Q 作圆22(1)1x y -+=的两条切线， 切点分别为 A ， B ， 则AB 的最小值为 A. 25 B. 6 C. 6 D. 26 11. 如图， 大摆锤是一种大型游乐设备， 常见于各大游乐园.游客坐在圆形的座舱中， 面向外.通常大摆锤以压肩作为安全束缚， 配以安全带作为二次保险,座舱旋转的同时， 悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.今年五一， 小明去某游乐园玩“大摆锤”， 他坐在点 A 处， “大摆锤” 启动后， 主轴OB 在平面α 内绕点O 左右摆动， 平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中， 点A 在平面β 内绕点B 作圆周运动， 并且始终保持OB ⊥ β， B ∈β.已知 OB ＝6AB ， 在“大摆锤” 启动后， 给出下列结论：① 点 A 在某个定球面上运动；② 线段 AB 在水平地面上的正投影的长度为定值；③ 直线 OA 与平面 α 所成角的正弦值的最大值为3737④ β 与水平地面所成角记为 θ，直线OB 与水平地面所成角记为δ，当 0 < θ <2π时， θ ＋ δ 为定值.其中正确结论的个数为A. 1B.2C. 3D. 412. 已知函数()2sin()f x x h ωϕ=++的最小正周期为π， 若()f x 在[0,]4π 上的最大值为 M ， 则 M 的最小值为A. B. C. 1 D. 二、 填空题： 本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共 20 分。

2020届福建省高三下学期3月质量检测数学（理）试卷★祝考试顺利★本试卷共5页。

满分150分。

注意事项：1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡,上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{x|x≥1},B＝{x|(x－4)(x＋2)≥0},则Rð(AUB)＝A.{x|－2≤x≤1}B.{x|1≤x≤4}C.{x|－2<x<1}D.{x|x<4}2.等差数列{an }的前n项和为Sn,若a4＝4,S13＝104,则a10＝A.10B.12C.16D.203.设x,y满足约束条件2010x yx yy-≥-≤-≤⎧⎪⎨⎪⎩,则z＝2x＋y的最大值是A.0B.3C.4D.54.(2x－1)(x＋2)5的展开式中,x3的系数是A.200B.120C.80D.405.某市为了解居民用水情况,通过抽样得到部分家庭月均用水量的数据,制得频率分布直方图(如图)。

若以频率代替概率,从该市随机抽取5个家庭,则月均用水量在8～12吨的家庭个数X的数学期望是A.3.6B.3C.1.6D.1.56.在△ABC 中,2DC BD =u u u r u u u r ,且E 为AC 的中点,则DE u u u r ＝ A.2136AB AC +u u u r u u u r - B.2136AB AC -u u u r u u u r C.1136AB AC -u u u r u u u r - D.2536AB AC +u u u r u u u r 7.若双曲线上存在四点,使得以这四点为顶点的四边形是菱形,则该双曲线的离心率的取值范围是 232,＋∞3＋∞)8.某学生到工厂实践,欲将一个底面半径为2,高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体,并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内。

准考证号 姓名 .（在此卷上答题无效）秘密★启用前2020届福州市高中毕业班第三次质量检查数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．满分150分． 注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知纯虚数z 满足(1i)2i z a -=+，则实数a 等于A ．2B ．1C ．1-D ．2-2. 已知集合{}(){}2220,log 2A x x x B x y x =+-==-＜，则()A B =R I ðA ．∅B ．(]2,2-C ．()1,2D ．()2,1-3. 执行右面的程序框图，则输出的m =A ．1B ．2C ．3D ．44. 某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为 A ．0.495%B ．0.9405%C ．0.9995%D ．0.99%5. 函数()2e 2x f x x x =--的图象大致为ABCD6. 甲、乙、丙、丁四名同学在某次军训射击测试中，各射击10次．四人测试成绩对应的条形图如下：以下关于四名同学射击成绩的数字特征判断不正确．．．的是 A ．平均数相同B ．中位数相同C ．众数不完全相同D ．丁的方差最大 7. 已知角θ的终边在直线3y x =-上，则2sin 21cos θθ=+A ．611-B ．311-C ．311D ．6118. 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏．如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成．玩该游戏时，需要将数字1,2,3（各3个）全部填入单元格，每个单元格填一个数字，要求每一行、每一列均有1,2,3这三个数字，则不同的填法有 A ．12种 B ．24种 C ．72种D ．216种Ox y 11O x y 11y1O 1xO x y119. 已知函数()()sin 06f x x ωωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞图象上相邻两条对称轴的距离为2π，把()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移35π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则 A ．()cos 4g x x =- B ．()cos 4g x x =C ．()cos g x x =-D ．()cos g x x =10. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b ＞＞）的焦距为2，右顶点为A ．过原点与x 轴不重合的直线交C 于,M N 两点，线段AM 的中点为B ，若直线BN 经过C 的右焦点，则C 的方程为A ．22143x y +=B ．22165x y +=C ．22198x y +=D ．2213632x y +=11. 已知函数()1ln f x x x x=-+，给出下列四个结论： ①曲线()y f x =在1x =处的切线方程为10x y +-=； ②()f x 恰有2个零点；③()f x 既有最大值，又有最小值；④若120x x ＞且()()120f x f x +=，则121x x =． 其中所有正确结论的序号是 A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．③④12. 三棱锥P ABC -中，顶点P 在底面ABC 的投影为ABC △的内心，三个侧面的面积分别为12,16,20，且底面面积为24，则三棱锥P ABC -的内切球的表面积为 A ．43π B ．12πC ．163πD ．16π第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13. 已知向量()1,2AB =u u u r ，()2,5CB =u u u r ，(),1t MN =u u u u r．若AC MN u u u r u u u u r ∥，则实数t = ． 14. 正方体1111ABCD A B C D -中，P 为1BC 中点，Q 为1A D 中点，则异面直线DP 与1C Q 所成角的余弦值为 ．15. 在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22sin cos 1A B +=，则cb a-的取值范围为 ．16. 已知梯形ABCD 满足,45AB CD BAD ∠=︒∥，以,A D 为焦点的双曲线Γ经过,B C 两点．若7CD AB =，则Γ的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17. （本小题满分12分）已知数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ，12a =，11b =，且112n n a a T +=+．（1）若数列{}n a 为等差数列，求n S ；（2）若112n n b b S +=+，证明：数列{}n n a b +和{}n n a b -均为等比数列． 18. （本小题满分12分）如图，在多面体PABCD 中，平面ABCD ⊥平面PAD ，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，120PAD ∠=︒，1BC =，2AB AD PA ===．（1）求平面PBC 与平面PAD 所成二面角的正弦值； （2）若E 是棱PB 的中点，求证：对于棱CD 上任意一点F ，EF 与PD 都不平行．19. （本小题满分12分）已知抛物线2:4C y x =，直线:2l x my =+（0m ＞）与C 交于,A B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点．（1）求直线OM 斜率的最大值；ADCB P（2）若点P 在直线2x =-上，且PAB △为等边三角形，求点P 的坐标． 20. （本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x ax x =-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()f x 有两个极值点12,x x （12x x ＜），若()12f x mx ＞恒成立，求实数m 的取值范围．21. （本小题满分12分）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A ,B ,C ,D ,E 共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．（1）某校生物学科获得A 等级的共有10名学生，其原始分及转换分如下表：现从这10X ，求X 的分布列和数学期望；（2）假设该省此次高一学生生物学科原始分Y 服从正态分布(75.836)N ，．若2~(,)Y N μσ，令Y μησ-=，则~(0,1)N η，请解决下列问题：①若以此次高一学生生物学科原始分C 等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少分？（结果保留为整数）②现随机抽取了该省800名高一学生的此次生物学科的原始分，若这些学生的原始分相互独立，记ξ为被抽到的原始分不低于71分的学生人数，求()P k ξ=取得最大值时k 的值．附：若~(0,1)N η，则(0.8)0.788P η≈…,( 1.04)0.85P η≈….（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为33,x kt y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为33,x m y km =-⎧⎨=⎩（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线1C ．（1）求1C 的普通方程；（2）设Q 为圆()222:43C x y +-=上任意一点，求PQ 的最大值．23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知0,0a b ＞＞，2224a b c ++=．（1）当1c =时，求证：()()339a b a b ++≥； （2）求2224411a b c +++的最小值． 2020年福州市高中毕业班质量检测数学（理科）参考答案及评分细则评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。