福建省福州市2018届高三上学期期末质检数学理试题

2017-2018学年高中三年级第三次统一考试**数学试卷（理） 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|||2}A x Z x =∈≤，2{|1}B y y x ==-，则A B 的子集个数为（ ）A ．4B ． 8C ． 16D ．32 2.已知复数534iz i=+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 对应的点在（ ） A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限3.“lg lg m n >”是“11()()22m n<”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件 4.设随机变量(1,1)XN ，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ） 注：若2(,)XN μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈.A ．6038B ．6587 C.7028 D ．75395.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1,3,9节，则这3节的容积之和为（ ） A ．133升 B ．176升 C.199 升 D ．2512升 6.将函数()cos(2)4f x x π=-的图像向平移8π个单位，得到函数()g x 的图像，则下列说法不正确．．．的是（ ） A ．1()62g π=B ．()g x 在区间57(,)88ππ上是增函数 C.2x π=是()g x 图像的一条对称轴 D ．(,0)8π-是()g x 图像的一个对称中心7.设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作倾斜角为3π的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于点A 、B ，若11()2OA OB OF =+，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B 28.在ABC △中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM mAB =，(0,0)AN nAC m n =>>，则2m n +的最小值为（ ）A ．3B ．4 C.83 D ．1039.若2017(12018)x -=220170122017a a x a x a x +++()x R ∈，则2017122017201820182018a a a+++的值为（ ）A ．20172018B ．1 C. 0 D ．1-10.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，23BAC π∠=，3AP =，AB =Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．45π B ．57π C. 63π D ．84π11.记数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =，1()2()n n n n S S a n N *+-=∈，则2018S =（ ） A ．10093(21)- B ．10093(21)2- C.20183(21)- D ．20183(21)2-12.已知函数2()22ln x f x x e x=-与()2ln g x e x mx =+的图像有4个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(4,0)-B ．1(,2)2 C. 1(0,)2D ．(0,2)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.阅读下面程序框图，运行相应程序，则输出i 的值为 ．14.设x ，y 满足约束条件1020330x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则||3y z x =+的最大值为 ． 15.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．16.已知椭圆的焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c，其中40cos c xdx π=，直线l 与椭圆相切于第一象限的点P ，且与x ，y 轴分别交于点A ，B ，设O 为坐标原点，当AOB △的面积最小时，1260F PF ∠=︒，则此椭圆的方程为 ．三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且sin ()sin sin b B c b C a A +-=. （1）求角A 的大小； （2）若3sin sin 8B C =，且ABC △的面积为a . 18. 如图，四边形ABCD 是矩形，沿对角线AC 将ACD △折起，使得点D 在平面ABC 内的摄影恰好落在边AB 上.（1）求证：平面ACD ⊥平面BCD ； （2）当2ABAD=时，求二面角D AC B --的余弦值.19. 某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的.（1）求甲、乙两位同学总共正确作答3个题目的概率；（2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，由于甲所在班级少一名学生参赛，故甲答对一题得15分，乙答对一题得10分，求甲乙两人得分之和X 的期望. 20. 已知抛物线2:C y x =-，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为12-，32，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间（不包括点A ，点B ），过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .（1）求直线AP 斜率k 的取值范围； （2）求|||PA PQ ⋅的最大值.21. 已知函数2()(1)2x t f x x e x =--，其中t R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当3t =时，证明：不等式1122()()2t f x x f x x x +-->-恒成立（其中1x R ∈，10x >）. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=O 为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线1C 的参数方程为12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩（ϕ为参数）.（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线1C 的普通方程；（2）若曲线2C 为曲线1C 关于直线l 的对称曲线，点A ，B 分别为曲线1C 、曲线2C 上的动点，点P 坐标为(2,2)，求||||AP BP +的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()3|||31|f x x a x =-++，g()|41||2|x x x =--+. （1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在1x ，2x R ∈，使得1()f x 和2()g x 互为相反数，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CACBB 6-10: DCADB 11、12：AC二、填空题13. 4 14. 1 15.1123π+ 16.221159x y+=三、解答题17.（1）由sin ()sin sin b B c b C a A +-=，由正弦定理得22()b c b c a +-=，即222b c bc a +-=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，∴3A π=. （2）由正弦定理simA sin sin a b c B C ==，可得sin sin a B b A =，sin sin a Cc A=， 所以1sin 2ABCS bc A =△1sin sin sin 2sin sin a B a C A A A =⋅⋅2sin sin 2sin a B C A==又3sin sin 8B C =，sin A =2=4a =. 18.（1）设点D 在平面ABC 上的射影为点E ，连接DE ，则DE ⊥平面ABC ，∴DE BC ⊥.∵四边形ABCD 是矩形，∴A B B C ⊥，∴BC ⊥平面ABD ，∴B C A D ⊥.又AD CD ⊥，所以AD ⊥平面BCD ，而AD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面BCD .（2）以点B 为原点，线段BC 所在的直线为x 轴，线段AB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设AD a =，则2AB a =，∴(0,2,0)A a ，(,0,0)C a . 由（1）知AD BD ⊥，又2ABAD=，∴30DBA ∠=︒，60DAB ∠=︒， ∴cos AE AD DAB =⋅∠12a =，32BE AB AE a =-=，sin DE AD DAB =⋅∠=，∴3(0,)2D a，∴1(0,)2AD a =-，(,2,0)AC a a =-. 设平面ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =，则00m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102220ay az ax ay ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩， 不妨取1z =，则y =x =(23,m =. 而平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n =， ∴cos ,m n ||||m nm n ⋅==14=.故二面角D AC B --的余弦值为14.19.（1）由题意可知共答对3题可以分为3种情况：甲答对1题乙答对2题；甲答对2题乙答对1题；甲答对3题乙答对0题.故所求的概率12224233621()()33C C P C C =⋅2112423361()3C C C C +⋅30343362131()()33135C C C +⋅=. （2）m 的所有取值有1，2，3.1242361(1)5C C P m C ===，2142363(2)5C C P m C ===，34361(3)5C P m C ===，故131()1232555E m =⨯+⨯+⨯=.由题意可知2(3,)3n B ，故2()323E n =⨯=.而1510X m n =+，所以()15()10()50E X E m E n =+=.20.（1）由题可知11(,)24A --，39(,)24B -，设2(,)p p P x x -，1322p x -<<，所以 21412p p x k x -+=+12p x =-+∈(1,1)-，故直线AP 斜率k 的取值范围是(1,1)-. （2）直线11:24AP y kx k =+-，直线93:042BQ x ky k ++-=，联立直线AP ，BQ 方程可知点Q 的横坐标为223422Q k k x k --=+，||PQ =()Q p x x -22341()222k k k k --=+-+2=1||)2p PA x =+)k =-，所以3||||(1)(1)PA PQ k k ⋅=-+，令3()(1)(1)f x x x =-+，11x -<<，则2'()(1)(24)f x x x =---22(1)(21)x x =--+，当112x -<<-时'()0f x >，当112x -<<时'()0f x <，故()f x 在1(1,)2--上单调递增，在1(,1)2-上单调递减. 故max 127()()216f x f =-=，即||||PA PQ ⋅的最大值为2716.21.（1）由于'()()x xf x xe tx x e t =-=-.1）当0t ≤时，0xe t ->，当0x >时，'()0f x >，()f x 递增，当0x <时，'()0f x <，()f x 递减；2）当0t >时，由'()0f x =得0x =或ln x t =.① 当01t <<时，ln 0t <，当0x >时，'()0f x >，()f x 递增，当ln 0t x <<时，'()0f x <，()f x 递减， 当ln x t <时，'()0f x >，()f x 递增； ② 当1t =时，'()0f x >，()f x 递增； ③当1t >时，ln 0t >.当ln x t >时，'()0f x >，()f x 递增， 当0ln x t <<时，'()0f x <，()f x 递减， 当0x <时，'()0f x >，()f x 递增.综上，当0t ≤时，()f x 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数； 当01t <<时，()f x 在(,ln )t -∞，(0,)+∞上是增函数，在(ln ,0)t 上是减函数； 当1t =时，()f x 在(,)-∞+∞上是增函数；当1t >时，()f x 在(,0)-∞，(ln ,)t +∞上是增函数，在(0,ln )t 上是减函数. （2）依题意1212()()f x x f x x +--1212()()x x x x >--+，1212()()f x x x x ⇔+++1212()()f x x x x >-+-恒成立.设()()g x f x x =+，则上式等价于1212()()g x x g x x +>-， 要证明1212()()g x x g x x +>-对任意1x R ∈，2(0,)x ∈+∞恒成立，即证明23()(1)2xg x x e x x =--+在R 上单调递增，又'()31x g x xe x =-+， 只需证明310x xe x -+≥即可.令()1x h x e x =--，则'()1xh x e =-，当0x <时，'()0h x <，当0x >时，'()0h x >，∴min ()(0)0h x h ==，即x R ∀∈，1x e x ≥+，那么，当0x ≥时，2x xe x x ≥+，所以31x xe x -+≥2221(1)0x x x -+=-≥；当0x <时，1x e <，31x xe x x -+=1(3)0x e x-+>，∴310xxe x -+≥恒成立.从而原不等式成立.22.解：（1）∵sin()4πρθ+=sin cos θρθ= 即cos sin 4ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为40x y +-=；∵12cos 22sin x y ϕϕ=-+⎧⎨=-+⎩，∴曲线1C 的普通方程为22(1)(2)4x y +++=.（2）∵点P 在直线4x y +=上，根据对称性，||AP 的最小值与||BP 的最小值相等. 曲线1C 是以(1,2)--为圆心，半径2r =的圆. ∴min 1||||AP PC r =-23==.所以||||AP BP +的最小值为236⨯=.23.解：（1）∵()g x =33,2151,24133,4x x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪---<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，当2x ≤-时，336x -+<解得1x >-，此时无解.当124x -<≤时，516x --<，解得75x >-，即7154x -<≤. 当14x <时，336x -<，解得3x <，即134x <<，综上，()6g x <的解集为7{|3}5x x -<<. （2）因为存在1x ，2x R ∈，使得12()()f x g x =-成立.所以{|(),}y y f x x R =∈{|(),}y y g x x R =-∈≠∅.又()3|||31|f x x a x =-++|(33)(31)||31|x a x a ≥--+=+， 由（1）可知9()[,)4g x ∈-+∞，则9()(,]4g x -∈-∞.所以9|31|4a +≤，解得1351212a -≤≤. 故a 的取值范围为135[,]1212-.。

⊂ ≠福州市2018—2018学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两分部.共150分，考试时间120分钟. 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A {2，3，7}，且A 中元素至少有一个为奇数，则这样的集合共有 （ ）A ．2个B ．4个C ．5个D ．6个 2．复数Z 1=－3+i ，Z 2=1+ i ，则Z =Z 1·Z 2在复平面内对应点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．“a =1”是“函数y =cos ax ·sin ax 的最小正周期为π”的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件4．曲线23-+=x x y 在点P 0处的切线平行于直线14-=x y ，则点P 0的坐标为 （ ）A ．（1，0）或（0，－2）B ．（0，－2）或（2，8）C ．（2，8）或（－1，－4）D ．（1，0）或（－1，－4）5．若函数b a x f x+=)(的图象过点（1，7），且0)4(1=-f ，则)(x f 的表达式是（ ）A ．43)(+=xx f B ．34)(+=xx f C ．52)(+=xx f D ．25)(+=xx f6．椭圆短轴长为52，离心率32=e ，两焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点， 则△ABF 2的周长为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．487．若1830,0=+>>yx y x 且，则xy 有 （ ）A ．最大值96B ．最小值961 C ．最小值48 D ．最小值968．从0、3、4、5、7中任取三个不同的数，分别作一元二次方程的二次项系数，一次项系 数及常数项，则可以作出的不同方程的个数是 （ ） A ．10 B ．24 C ．48 D ．60 9．将一个函数的图象按)2,4(π=a 平移后得到的图象的函数解析式2)4sin(++=πx y ，那么原来的函数解析式是（ ）A ．x y sin =B ．x y cos =C ．x y sin =+2D ．x y cos =+410．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这20个零件中任取3个，那么其中至少有1个一等品的概率是 （ ）A ．32024116C C C B ．320219116C C C C ．32031624116C C C C + D ．320341C C - 11．若9)222(-x的展开式的第7项为421，则)(lim 32n n x x x x ++++∞→ 等于 （ ）A ．43B ．41 C ．－41 D ．－43 12．国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民的生活水平，它的计算公式:(x yxn =人均食品支出总额，y :人均个人消费支出总额），且.4502+=x y王先生居住地2018年食品价格比2000年下降了7.5%，该家庭在2018年购买食品和2000年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2018年属于 （ ） A ．富裕 B ．小康 C ．温饱 D ．贫困第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．设随机变量ξ分布列为P （===k k k ,10)ξ1、2、3、4，则=≤≤)2521(ξP . 14．数列}{n a 是等比数列，若)0(1752≠=⋅⋅m m a a a ，则=⋅97a a . 15．圆1)1(22=++y x 在不等式组⎩⎨⎧≤+≤-00y x y x 所表示的平面区域中所围成的图形的面积为.16．在△ABC 中，有命题：（1）BC AC AB =- （2）0=++CA BC AB （3）若0)()(=-⋅+，则△ABC 为等腰三角形， （4）若0>⋅，则△ABC 为锐角三角形.其中真命题的编号为 （写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）某种圆形射击靶由三个同心圆构成（如图），从里到外的三个区域分别记为A 、B 、C ，（B 、C 为圆环），某射手一次射击中，击中A 、B 、C 区域的概率分别为P （A ）=0.4， P （B ）=0.25，P （C ）=0.2，没有中靶的概率为P （D ）.（1）求P （D ）；（2）该射手一次射击中，求击中A 区或B 区的概率； （3）该射手共射击三次，求恰有两次击中A 区的概率.18．（本小题满分12分） 解关于x 的不等式1|232|≥---ax ax .已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量)2sin ,2(cosCC =， )2sin ,2(cosC C n -=，且与的夹角为.3π（1）求角C 的值； （2）已知27=c ，△ABC 的面积233=S ，求b a +的值.各项均为正数的数列{}n a ，对于任意正整数n ，都有.22n n n a a S +=（1）求证数列{}n a 是等差数列；（2）若数列{}n b 满足n n n a b 2⋅=，求数列{}n b 的前n 项和.n T已知函数t R x x x t x g ,,)2(4)2(2)(3∈---=为常数，函数)(x f y =的图象与)(x g y =的图象关于直线1=x 对称.（1）求)(x f 的解析式；（2）是否存在常数),4[+∞∈t ，使得)(x f 在区间（0，1]上有最大值8？若存在，求出t 值；若不存在，说明理由.在△ABC 中，0,3||,4||=⋅==BC AB BC AB ，若双曲线经过点C ，且以A 、B 为焦点.（1）求双曲线的方程； （2）若点G 满足21=，问是否存在不平行于AB 的直线l 与双曲线交于不同两点 M 、N ，是||||=，若存在，求出直线l 的斜率的取值范围；若不存在，说明理由.福州市2018—2018学年度高三第一学期期末质量检查数学试卷（理科）参考答案一、选择题1．C 2．C 3．A 4．D 5．B 6．B 7．D 8．C 9．B 10．D 11．C 12．B 二、填空题13．103；14．32m ；15．12+π；16．（2）（3）三、解答题 17．解：（1）415.02.025.04.01)()()(1)('=---=---=C P B P A P D P（2）P=P （A ）+P （B ）=0.4+0.25=0.65 答：击中A 区或B 区的概率为0.65…………………………8′（3）288.0)4.01()4.0(223=-=C P答：恰有两次击中A 区的概率为0.288…………………………12′ 18．解法1： 由原不等式得1232≥---a x a x ……（1）或1232-≤---a x ax ……（2）……2′由（1）得：0)3(≥-+-a x a x 解得a x <或3+≥a x ………………6′ 由（2）得0333≤---a x a x ，即0)1(≤-+-ax a x解得1+≤<a x a …………………………………………10′∴ 原不等式的解为a x <或1+≤<a x a 或3+≥a x …………………………12′解法2：由原不等式得⎩⎨⎧-≥--≠|||232|a x a x ax ……………………………………2′⇒⎩⎨⎧-≥--≠22)()232(a x a x ax ⇒0)()232(22≥⎩⎨⎧----≠a x a x ax⇒⎩⎨⎧≥-+--+---≠0)232)(232(a x a x a x a x ax …………………………6′ ⇒⎩⎨⎧≥+-+-≠0)]1()][3([3a x a x ax ⇒⎩⎨⎧+≥+≤≠31a x a x ax 或……………………………………10′∴原不等式的解为a x <或1+≤<a x a 或3+≥a x …………………………12′19．解：（1）1||||,3cos ||||==⋅⋅=⋅n m n m n m 且π…………………………2′3cos )2sin (2sin 2cos 2cos π=-+∴C C C C 即3cos cos π=C ………………4′又3),0(ππ=∴∈∴C C ………………………………6′ （2）由C ab b a c cos 2222-+= 得ab b a -+=22449………………① 由6sin 21=⋅=∆ab c ab S 得………………②………………………………10′由（1）（2）得4121)(2=+b a a 、+∈R b211=+∴b a ………………………………………………………………12′20．解：（1）当1=n 时，12112a a a += 1011=∴>a a ……………………1′当2≥n 时，)(2212121---+-+=-n n n n n n a a a a S S12122---+-=⇒n n n n n a a a a a ………………………………………………3′)())((111---+=+-⇒n n n n n n a a a a a a由已知得01≠+-n n a a 11=-∴-n n a a （常数）∴数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列…………………………6′（2）由（1）得n n n n b na 2⋅=∴=n n n T 22322232⋅++⋅+⋅+= ……………………………………8′2143222)1(23222+⋅+-++⋅+⋅+=n n n n n T两式相减得－13222222+⋅-++++=n n n n T …………………………10′112)21(2221)21(2++⋅---=⋅---=n n n n n n 22)1(1+⋅-=∴+n n n T ……………………………………………………12′21．解：（1）设),(y x P 是)(x f y =图象上任一点，点P 关于直线1=x 的对称点为),2(y x P -'，由已知点P '在)(x g y =的图象上……………………2′3342)]2(2[4)]2(2[2)2(x tx x x t x g y -=-----=-=∴ 即342)(x tx x f -=………………………………………………4′（2）当),4[],1,0(+∞∈∈t x 时2122)(x t x f -='，由0)(='x f 得60t x ±=……………………6′ 当60t x <<时)(,0)(x f x f >'在（0，6t ）内单调递增； 当6t x >时)(,0)(x f x f <'在（6t ，+∞）内单调递减； 6t x =∴是)(x f 的极大点.…………………………8′ 若16<t ，即64<≤t 时，)(x f 在（0，1]上只有一个极值，即为最大值.8)6()(max ==∴t f x f 解得6=t此时不存在满足要求的t 值.………………………………10′ 若16≥t ，即6≥t 时，)(x f 在（0，1]上单调递增.842)1()(max =-==∴t f x f ∴6=t 综上，存在常数6=t ，使得)(x f 在区间（0，1]上有最大值8………………12′22．解：（1）由已知得△ABC 为直角三角形，以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，（如图），设双曲线方程为： )0,0(12222>>=-b a by a x ……………………2′双曲线过点c ，2||||2=-=∴a ,1=∴a 又3,2222=-=∴=a c b c∴双曲线方程为1322=-y x ………………6′ （2）依题意，可设直线l 方程为)0(≠+=k m kx y由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1322y x m kx y 得0)3(2)3(222=+---m kmx x k ……………………8′∵直线l 与双曲线交于不同两点M 、N ，设M （),(),,2211y x N y x0)3)(3(44,0322222>+-+=∆≠-∴m k m k k 且 解得：3,322->±≠k m k 且……………………① 2213k km x x -=+…………………………9′又设MN 中点为F （),00y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=-=+=2002210333)(21k m m kx y k km x x x ……………………10′ 由已知得G （0，3），又kx y l GF 13,||||00-=-⊥∴=即 消去0x 、0y 得4392k m -=……………………② 把②代入①得（3)439222->-k k ………………………………12′ 解得034333343≠><<--<k k k k 但或或综上：存在直线l ，它的斜率取值范围为),343()0,3()343,(+∞⋃-⋃--∞∈k …………………………………………14′。

福建省厦门市2018届高三上学期期末质检数学（理）试题全析全解1．B【解析】由题意得{}{}{}10,101A x x x B x x x x =-=-≥=≥或， ∴{}1A B x x ⋂=≥．选B ． 2．C【解析】由特称命题的否定可得，所给命题的否定为“32R,10x x x ∀∈-+>”．选C ． 3．B综上选B ． 4．D【解析】选项A 中， m 与α的关系是m α 或m α⊂，故A 不正确．选项B 中， n 与α的关系是n α⊥或n 与α相交但不垂直或n α ．故B 不正确．选项C 中，α与β之间的关系是αβ 或相交．故C 不正确．选项D 中，由线面平行的性质可得正确． 选D ． 5．C【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示），由2z x y =+可得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图形得，当直线2y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值． 由题意得点A 的坐标为（1,0）， ∴max 2102z =⨯+=．选C ． 6．A7．C【解析】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则()()1,1,2,2O C ，设()()2,02P t t ≤≤，则()()1,1,0,2OP t CP t =-=-，∴()()2231123224OP CP t t t t t ⎛⎫⋅=--=-+=-- ⎪⎝⎭ ，∴当32t =时， OP CP ⋅ 有最小值14-．选C ．8．A【解析】∵()()()22cos()cos 11x x x xf x f x x x ---==-=-+-+， ∴函数()f x 为奇函数，故排除D ． 又()()cos12cos210,2025f f =>=<，故排除B,C ． 选A ．点睛：已知函数的解析式判断函数图象的形状时，主要是按照排除法进行求解，可按照以下步骤进行： （1）求出函数的定义域，对图象进行排除； （2）判断函数的奇偶性、单调性，对图象进行排除； （3）根据函数图象的变化趋势判断；（4）当以上方法还不能判断出图象时，再选取一些特殊点，根据特殊点处的函数值进行判断． 9．D10．C【解析】由题意得，当输入10m =时，程序的功能是计算并输出2222221123149110222222S ---=++++++ ．学科网计算可得()()118244880416366410019022S =++++++++=．选C ． 11．B【解析】∵sin cos 4πϕϕϕ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭，∴1sin 42πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又444πππϕ-<-<，∴46ππϕ-=， 512πϕ=． ∴()2515151sin 1cos 2cos 21226262f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由5222,6k x k k Z ππππ≤+≤+∈， 得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ∴函数的单调增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．选B ．点睛：求正（余）弦型函数单调区间的注意点（1）将所给的函数化为形如()()sin f x A x ωϕ=+或()()cos f x A x ωϕ=+的形式，然后把x ωϕ+看作一个整体，并结合正（余）弦函数的单调区间求解．（2）解题时注意,A ω的符号对所求的单调区间的影响，特别是当A 或ω为负数时，要把x ωϕ+代入正（余）弦函数相对的单调区间内求解． 12．D【解析】画出函数()y f x =的图象（图中黑色部分），则函数()y f x =的图象向左平移12个长度单位，得到函数12y f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（图中红色部分），设两图象交于点,A B ，且横坐标分别为12,a a ．由图象可得满足()12f a f a ⎛⎫≥+⎪⎝⎭的实数a 的取值范围为][1270,,2a a ⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭．对于1a ，由21211log log 2a a ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，解得11112a a =+，所以211220a a --=，解得1a =或1a =． 对于2a ，由22221log log 42a a ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得274a =． 综上可得实数a的取值范围为[77,42⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭．选D ． 点睛：解答本题的技巧在于借助于数形结合增强了解题的直观性，利用图象的平移，将解不等式的问题转化为两函数图象的相对位置关系来处理，然后根据函数图象的交点情况，通过解方程的方法求得所求范围的端点值，最后根据图象写出不等式成立时参数的范围。

福建省福州市高级中学2018年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 给出下列四个命题：①如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么；②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面.其中真命题的个数为A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C2. 已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A. B. C. 或 D. 或7参考答案：C3. 已知，(0，π)，则=(A) 1 (B) (C)(D) 1参考答案：A故选A【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力，属于容易题。

4. 设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为A．B． C．D．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m参考答案：C5. 在△ABC中,A=60，若a,b,c成等比数列，则A. B． C.D．参考答案：B6. 设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，推导出∠F1PF2=90°．再由|PF1|=2|PF2|，知|PF1|=4a，|PF2|=2a，由此求出c=a，从而得到双曲线的离心率．【解答】解：∵P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，∴点P到原点的距离|PO|=，∴∠F1PF2=90°，∵|PF1|=2|PF2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|PF2|=2a，∴|PF1|=4a，|PF2|=2a，∴16a2+4a2=4c2，∴c=a，∴．故选A．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．7. 的值等于（）A． B．0 C．8 D．10参考答案：【知识点】指数运算性质对数运算性质B6 B7A因为所以选A.【思路点拨】熟记指数的运算性质及对数的运算性质是解题的关键.8. 已知，则曲线和有（）A．相同的准线 B.相同的焦点 C.相同的离心率 D.相同的长轴参考答案：B略9. 在中，已知，，若点在斜边上，，则的值为（▲ ）。

泉港一中2017-2018学年上学期期末考试高三数学（理科）试题（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知i 为虚数单位，若复数2i z i =-，则（ ） A ． B ．C ．D ．2. 设常数a ∈R ，集合A ＝{x|(x －1)(x －2)≥0}，B ＝{x|x ≥a}．若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( )．(－∞，1) B ．(－∞，1] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)3. 我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）. 104人 B. 108人 C. 112人 D. 120人 4.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若，则ABC ∆为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形 C.等腰直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形5. 已知数列{}n a 满足：时，2p p q a a +=，则{}n a 的前12项和（ ）A ． 94B ．-94 C. -126 D ．126 6.设α、β、γ为平面，为m 、n 、l 直线，则m β⊥的一个充分条件是 A 、,,l m l αβαβ⊥=⊥ B 、,,m αγαγβγ=⊥⊥C 、,,n n m αβα⊥⊥⊥D 、,,m αγβγα⊥⊥⊥7.按下图所示的程序框图运算：若输出2k =，则输入x 的取值范围是（ ）A. (]20,25 B ．(]30,57 C.(]30,32 D ．(]28,578.已知变量,x y 满足条件23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数z ax y =+仅在点()3,0处取得最大值，则a 的取值范围是（ ）A ． 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭C ． 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭9. 如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点B ，C 在圆O 上，点B 的坐标为()1,2-，点C 位于第一象限，AOC α∠=，若BC =，则2sin cos222ααα=（ ） A． B．10. 已知,,A B P 是双曲线22221x y a b-=上的不同三点，且AB 连线经过坐标原点，若直线,PA PB 的斜率乘积23PA PB k k =，则该双曲线的离心率e =（ ）A11.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积为（ ）ABC D12.已知函数()2x f x e =，()1ln 2g x x =+，对a R ∀∈，()0,b ∃∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（ ） A ．ln 212+B ．ln 212-C.1- D1- 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13. 设()()()25501251111x a a x a x a x +=+-+-++-…，则125a a a +++=… ．14.如图，平面内有三个向量15. 设{a n }是等比数列，公比q =S n 为{a n }的前n 项和。

2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。

福建省福州市 2018 届高三上学期期末质检数学试题（文）第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A. 【答案】C 【解析】因为 所以 2. 若复数 A. 【答案】A 【解析】复数 为纯虚数，所以 B. ，故选 C. 为纯虚数，则实数 C. 1 D. 2 （ ） , , B. C. ， D. ，则 （ ）,故选 A.3. 已知 A. 【答案】B 【解析】 4. B.， C.，则 D.（）， （ ），故选 B.A.B.C. 1D.【答案】D 【解析】 ，故选 D.5. 已知双曲线 的两个焦点 且 ，都在 轴上， 对称中心为原点， 离心率为 ，则 的方程为（ ）.若点在 上，到原点的距离为A. 【答案】C 【解析】B.C.D.由直角三角形的性质可得，又，的方程为，故选 C.6. 已知圆柱的高为 2，底面半径为 这个球的表面积等于（ A. 【答案】D 【解析】设球半径为 B. C. ） D.，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上， ，故选 D.可得，球的表面积为7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的 .图中的 《孙子剩余定理》 示正整数 于（ ） 除以正整数 后的余数为 ，例如表.执行该程序框图，则输出的 等A. 23B. 38C. 44D. 58【答案】A 【解析】本题框图计算过程要求找出一个数除以 3 余数为 2；除以 5 余数为 3；除以 7 余数 为 2，那么这个数首先是 23，故选 8. 将函数 A. C. 【答案】D 【解析】 得到 函数 的周期为 函数 向右平移 个周期后， B. D. 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为（ ），故选 D.9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表 面积为（ ）A. 【答案】A 【解析】B.C.D.由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥，其中三棱锥的高为 ，底面为等腰直角三角形，直角边长为 ，表面积为 ，故选 A.10. 已知函数若，则（）A. 【答案】A 【解析】 若B. 3C.或3D.或3， 得， 若，不合题意，，故选 A.11. 过椭圆的右焦点作 轴的垂线， 交 于两点， 直线 过 的左焦点和上顶点.若以 A. 【答案】A B.为直径的圆与 存在公共点，则 的离心率的取值范围是（ C. D.）【解析】直线 的方程为，圆心坐标为，半径为与圆有公共点，，可得，，，故选 A.12. 已知函数 最小值为（ A. 1 B. ） C.，若关于 的不等式恰有 3 个整数解，则实数 的D.【答案】C 【解析】 数解，即 有 个整数解， ， 当 ，等价于 ， 时， 由 ， ， ，即 恰有 个整 时， 递减， ，不等 ， ，时，不等式无解， 可得 在 时， 时， 的最小值为不等式只有一个整数解 ， 排除选项 由 式无解； 不等式无解； 故 故选 C. 可得 在 ， 递增， 合题意，合题意， 合题意，当时， 有且只有 个整数解， 又第Ⅱ卷（共 90 分） 二.填空题（每题 5 分，满分 20 分） 13. 某商店随机将三幅分别印有福州三宝（脱胎漆器、角梳、纸伞）的宣传画并排贴在同一 面墙上，则角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是__________． 【答案】【解析】福州三宝的全排列共有种排法，角梳与纸伞相邻的排法，有种排法，根据古典概型概率公式可得，角梳与纸伞的宣传画相邻的概率是，故答案为 .14. 曲线 【答案】 【解析】由 切点坐标为 15. 的内角在处的切线方程为__________．，得 ，由点斜式得切线方程为 的对边分别为 ，已知 ，即，所以切线斜率为 ， ，故答案为 .，则 的大小为__________． 【答案】 【解析】由 ，根据正弦定理得 ，即，，又，，故答案为.16. 某工厂制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工 4 个工作时，漆工 2 个工作时；生产一张桌子需要木工 8 个工作时，漆工 1 个工作时.生产一 把椅子的利润为 1500 元， 生产一张桌子的利润为 2000 元.该厂每个月木工最多完成 8000 个 工作时、漆工最多完成 1300 个工作时.根据以上条件，该厂安排生产每个月所能获得的最大 利润是__________元. 【答案】2100000 【解析】三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列 （1）证明数列 （2）设 解： （1）当 当 所以 所以数列 时， ， 是以 为首项，以 2 为公比的等比数列. ， ， （1） （2） （1）-（2）得： 前 项和为 ，且 .是等比数列； ，求数列 时， 的前 项和 ，所以 ， . ，（2）由（1）知， 所以 所以， 所以 .18. 随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司为 了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了 40 个用户，得到用户的满意度 评分如下：用系统抽样法从 40 名用户中抽取容量为 10 的样本， 且在第一分段里随机抽到的评分数据为 92. （1）请你列出抽到的 10 个样本的评分数据； （2）计算所抽到的 10 个样本的均值 和方差 ； （3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在 之间，则满意度等级为“ 级”.试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“ 级”的用户所占的百分比是多少？（精 确到 ) .参考数据：解： （1）由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40 的评分数据为 样本，则样本的评分数据为 92,84,86,78,89,74,83,78,77,89. （2） 由 （1） 中的样本评分数据可得 ，则有（3）由题意知评分在 由（1）中容量为 10 的样本评分在 的用户所占的百分比约为之间，即之间，之间有 5 人，则该地区满意度等级为“ 级” .另解：由题意知评分在 数据中在 . 19. 如图，在四棱锥 中点. 中，，即之间， ，从调查的 40 名用户评分共有 21 人，则该地区满意度等级为“ 级”的用户所占的百分比约为,，点 为棱的（1）证明： （2）若 （1）证明：取 因为点 为棱 所以 因为 所以 所以四边形 且 且 且平面； ，求三棱锥 的体积.的中点 的中点，，连接.， ， ， 为平行四边形，所以 因为 所以， 平面 平面 . ， 平面 ，（2）解：因为 所以 因为 所以 因为 所以 平面 ， , . 的中点，且 的距离为 2. 平面 . ，所以，，，平面,因为点 为棱 所以点 到平面，.三棱锥的体积.20. 抛物线 （1）若点与两坐标轴有三个交点，其中与 轴的交点为 . 在 上，求直线 斜率的取值范围；（2）证明：经过这三个交点的圆 过定点. （1）解：由题意得 .故 （2）证明：由（1）知，点 坐标为 .令，解得，故.故可设圆的圆心为，由得，，解得，则圆的半径为. 所以圆的方程为，所以圆的一般方程为，即.由得或，故都过定点.21. 已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：.解：（1），①若，则，在上为増函数；②若，则当时，；当时，故在上，为増函数；在上，为减函数.（2）因为，所以只需证，由（1）知，当时，在上为增函数，在上为减函数，所以.记，则，所以，当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以.所以当时，，即，即.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.（1）若与曲线没有公共点，求的取值范围；（2）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值.解：（1）因为直线的极坐标方程为，即，所以直线的直角坐标方程为；因为（参数，）所以曲线的普通方程为，由消去得，，所以，解得，故的取值范围为.（2）由（1）知直线的直角坐标方程为，故曲线上的点到的距离，故的最大值为由题设得，解得.又因为，所以.23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以，，或或解得或或，所以，故不等式的解集为.（2）因为，所以当时，恒成立，而，因为，所以，即，由题意，知对于恒成立，所以，故实数的取值范围.。

福州市2018届高三上学期期末考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()(){}310A x x x =-+<，{}10B x x =->，则A B ⋃=（ ） A ．()1,3 B ．()1,-+∞ C ．()1,+∞ D ．()(),11,-∞-⋃+∞2.若复数1ai+，则实数a =（ ）A ．1B ．1-C ．1± D．3.下列函数为偶函数的是（ ）A ．tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．2x y x e =+ C ．cos y x x = D ．ln sin y x x =-4.若2sin cos 12x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则cos 2x =（ ）A ．89-B ．79-C ．79D ．725-5.已知圆锥的高为3个球的体积等于（ ）A ．83πB ．323π C ．16π D ．32π6.已知函数()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩则函数()3y f x x =+的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的(),Mod N m n =表示正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如()10,31Mod =.执行该程序框图，则输出的i 等于（ ）A ．23B ．38C ．44D ．588.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A ．14B ．10+．212++9.已知圆()221:582C x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭，抛物线()2 :20E x py p =>上两点()12,A y -与()24,B y ，若存在与直线AB 平行的一条直线和C 与E 都相切，则E 的标准方程为（ ） A ．12x =- B ．1y =- C ．12y =- D ．1x =-10.不等式组1,22x y x y -≥⎧⎨+≤⎩的解集记为D .有下列四个命题：()1:,,22p x y D x y ∀∈-≥ ()2:,,23p x y D x y ∃∈-≥()32:,,23p x y D x y ∀∈-≥()4:,,22p x y D x y ∃∈-≤- 其中真命题的是（ ）A ．23,p pB ．14,p pC ．12,p pD ．13,p p11.已知双曲线()2222:10,0a x y E a b b >->=的左、右焦点分别为12,F F ，点,M N 在E 上，12122//,5MN F F MN F F =，线段2F M 交E 于点Q ，且2F Q QM =，则E 的离心率为（ ）A ． D 12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，且1350n S =.若22a <，则n 的最大值为（ ） A ．51B ．52C ．53D ．54第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量,a b 满足()22a a b ⋅-=，则,a b 的夹角为 ．14.设n 为正整数，32nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为 ．15.将函数2sin cos y x x =+的图象向右平移ϕ个单位长度，得到函数2sin cos y x x =-的图象，则sin ϕ的值为 ．16.如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料MNQ ，O 为半圆的圆心，85MN =.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在MN 上，则裁出三角形面积的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 中，()*12111,2,322,n n n a a a a a n n N +-===-≥∈.设1n n n b a a +=-. （1）证明：数列{}n b 是等比数列； （2）设()2412nn nb c n =-，求数列{}n c 的前n 项的和n S .18.已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=︒.E 是边BC 上一点，线段DE 交AC 于点F .（1）若CDE ∆DE 的长；（24DF =，求sin DFC ∠.19.如图，在四棱锥E ABCD -中，//,90,2A BC D A B C C D A BC E∠=︒===，120,BCE DE ∠=︒=（1）证明：平面BCE ⊥平面CDE ；（2）若4BC =，求二面角E AD B --的余弦值.20.已知F 为椭圆22:143x y C +=的右焦点，M 为C 上的任意一点.（1）求MF 的取值范围；（2）,P N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为34-，证明:,M N 两点的横坐标之和为常数.21.已知函数()()221ln f x x a x ax a R =-+-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若0a =且()0,1x ∈，求证：()211xf x x e x+-<. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线cos ,:sin x t C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；（2）若曲线C 上存在点到l ，求t 的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数()1,f x x x R =-∈.（1）求不等式()()31f x f x ≤--的解集；（2）已知关于x 的不等式()()1f x f x x a ≤+--的解集为M ，若31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭，求 实数a 的取值范围.参考答案一、选择题1-5: BCBCB 6-10: CADCA 11、12：BA二、填空题13. 120︒ 14. 112 15.45三、解答题17.解：（1）证明：因为()*11322,n n n a a a n n N +-=-≥∈，1n n n b a a +=-， 所以()111211132n n n n n n n n n n n a a a b a a b a a a a +++++++---==--()1122n n n na a a a ++-=-， 又因为121211b a a =-=-=，所以数列{}n b 是以1为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）知11122n n n b --=⨯=， 因为()2412nn n b c n =-，所以()2412nn nb c n=-()()11112212142121n n n n ⎛⎫==- ⎪+--+⎝⎭，所以12111111143352121n n S c c c n n ⎛⎫=+++=-+-++- ⎪-+⎝⎭111421n⎛⎫=- ⎪+⎝⎭42nn =+. 18.解：解法一：（1）依题意，得60BCD DAB ∠=∠=︒， 因为CDE∆的面积S =所以1sin 2CD CE BCD ⋅⋅∠=所以12sin 602CE ⨯⋅︒=解得1CE =，根据余弦定理，得DE =（2）依题意，得3060ACD BDC ∠=︒∠=︒,，设CDE θ∠=，则060θ︒<<︒，在CDE ∆中，由正弦定理得sin sin CF DFACDθ=∠，4DF =，所以sin 2CF DF θ==，所以cos θ=所以()1sin sin 302DFC θ∠=︒+==. 解法二：（1）同解法一.（2）依题意，得3060ACD BDC ∠=︒∠=︒,，设CDE θ∠=，则060θ︒<<︒， 在CDF ∆中，设4CF x =4DF =，则DF =， 由余弦定理，得2222DF CD CF CD CFcos ACD =+-⋅∠，得227416x x =+-，解得x =，或x =.又因为12CF AC ≤=，所以x ≤，所以x =所以DF =在CDF ∆中，由正弦定理，得sin sin CD DFCFD ACD=∠∠，得sin 14CFD ∠=. 19.解：（1）证明：因为//,90AB CD ABC ∠=︒， 所以CD BC ⊥.因为42,CD CE DE ===,222C D CE DE +=， 所以CD CE ⊥， 因为BC CE C ⋂=， 所以CD ⊥平面BCE . 因为CD ⊂平面CDE ， 所以平面BCE ⊥平面CDE .（2）由（1）知，CD ⊥平面BCE ，故以点C 为坐标原点，分别以CB CD 、的方向为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -.所以()()()()4,0,2,400,,0,0,4A B E D -，，，所以()()4,0,2,2AD AE =-=--， 设平面ADE 的法向量为(),,n x y z =， 则00AD n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以420520x z x z -+=⎧⎪⎨--=⎪⎩，取1x =，则()1,33,2n =，又因为平面ABD 的一个法向量为()0,1,0m =，所以cos ,n m ==所以二面角E AD B --.20.解：解法一：（1）依题意得2,a b ==1c =， 所以C 的右焦点F 坐标为()1,0， 设C 上的任意一点M 的坐标为(),M M x y ， 则22143M M x y +=， 所以()()2222231134M M M M MF x y x x =-+=-+-()221124444M M M x x x =-+=-，又因为22M x -≤≤，所以219MF ≤≤， 所以13MF ≤≤，所以MF 的取值范围为[]1,3.（2）设P M N 、、三点坐标分别为()()(),,,,,P P M M N N x y x y x y ，设直线PM PN 、斜率分别为12k k 、，则直线PM 方程为()1P P y y k x x -=-， 由方程组()2211,43P P x y y y k x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩消去y ，得 ()()2222211111348484120P P P P P P k xk k x y x k x k x y y +--+-+-=，由根与系数关系可得()1121834P P M P k k x y x x k -+=+，故()21111221184833434P P P P PM P k k x y k x k y x x x k k ---=-=++，同理可得()2222834P P N P k k x y x x k -+=+，又1234k k ⋅=-，故()22112221338844343344P P P P N P x y k k x y k k x x k k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭+===+⎛⎫+- ⎪⎝⎭1216843P P x k y k ++， 则1216843P PN P x k y x x k +=-+2112148334P P P M k x k y x x k --=-=-+， 从而0N M x x +=.即M N 、两点的横坐标之和为常数.解法二：（1）依题意得2,a b =1c ==， 所以C 的右焦点F 坐标为()1,0， 设C 上的任意一点M 的坐标为(),M M x y ， 设C 上的任意一点M的坐标为()2cos αα，则())()22222cos 1cos 2MF ααα=-+=-，又因为1cos 1α-≤≤，所以219MF ≤≤， 所以13MF ≤≤，所以MF 的取值范围为[]1,3.（2）设P M 、两点坐标分别为()(),,,P P M M x y x y ，线段PM PN 、的中点分别为E F 、，点E 的坐标为(),E E x y ，直线PM PN OE 、、的斜率分别为123k k k 、、， 由方程组22221,431,43P P M M x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222234P M P M y y x x -=--， 所以34PM P M P M P M y y y y x x x x -+⋅=--+， 所以2324P M E P M E y y y x x x -⋅=--，所以1334k k ⋅=-，又因为1234k k ⋅=-，所以23k k =， 所以//PN OE ，所以MN 的中点在OE 上， 同理可证：MN 的中点在OF 上， 所以点O 为线段MN 的中点. 根据椭圆的对称性，所以M N 、两点的横坐标之和为常数.21.解：解法一：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞， ()()()2222111212ax ax a x ax f x a x a x x x+---'=-+-==，①若0a =时，则()0f x '<，()f x 在()0,+∞上单调递减； ②若0a >时，当1x a=时，()0f x '=； 当1x a<时，()0f x '<；当 1x a>时，()0f x '>. 故在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()f x 单调递减；在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 单调递増； ③若0a <时，当12x a =-时，()0f x '=； 当12x a <-时，()0f x '<；当12x a>-时，()0f x '>. 故在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()f x 单调递减；在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()f x 单调递増. （2）若0a =且()0,1x ∈，欲证()211x f x x e x+-<， 只需证21ln 11x x x e x-+-<， 即证()()31ln 1x x x x x e -<+-.设函数()()()()1ln 0,1g x x x x =-∈，则()ln g x x '=-.当()0,1x ∈时，()0g x '> .故函数()g x 在()0,1上单调递增. 所以()1(1)g x g <=. 设函数()31()x h x x x e =+-，则()23()23x h x x x x e '=+--.设函数233()2p x x x x =+--，则()2163p x x x '=--.当()0,1x ∈时，()()0180p p ''⋅=-<，故存在()00,1x ∈，使得()00p x '=，从而函数()p x 在()00,x 上单调递增；在()0,1x 上单调递减.当()00,x x ∈时，()()002p x p >=，当()0,1x x ∈时，()()0140p x p <-<⋅ 故存在()10,1x ∈，使得()10h x '=，即当()10,x x ∈时，()0p x >，当()1,1x x ∈时，()0p x <从而函数()h x 在()10,x 上单调递增；在()1,1x 上单调递减.因为()()01,1h h e ==，故当()0,1x ∈时，()()01h x h >=所以()()()31ln 1,0,1x x x x x e x -<+-∈，即()()211,0,1x f x x x e x +-<∈. 解法二：（1）同解法一.（2）若0a =且()0,1x ∈，欲证()211x f x x e x+-<， 只需证21ln 11x x x e x-+-<， 即证()()31ln 1x x x x x e -<+-.设函数()()()()1ln 0,1g x x x x =-∈，则()ln g x x '=-.当()0,1x ∈时，()0g x '> .故函数()g x 在()0,1上单调递增. 所以()1(1)g x g <=. 设函数()()()31,0,1x h x x x e x =+-∈，因为()0,1x ∈，所以3x x >，所以311x x +->，又1x e e <<，所以()1h x >，所以()()1h g x x <<，即原不等式成立. 解法三：（1）同解法一.（2）若0a =且()0,1x ∈，欲证()211x f x x e x+-<， 只需证21ln 11x x x e x-+-<， 由于01ln 0,1x x e e ->>=，则只需证明211ln 1x x x -+-<， 只需证明2 01ln x x x -+>，令()()()2 0,1ln 1g x x x xx =-+∈， 则()32221112120x x x g x x x x x x---'=--=<<， 则函数()g x 在()0,1上单调递减，则()()10g x g >=， 所以201ln x x x-+>成立，即原不等式成立.22.解：（1）因为直线l的极坐标方程为cos 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 2ρθρθ+=， 所以直线l 的直角坐标方程为2x y +=；因为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩（α参数，0t >） 所以曲线C 的普通方程为2221x y t+=， 由2222,1,x y x y t +=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得，()2221440t y y t +-+-=， 所以()()22016414t t ∆-+-<=，解得 0t <<， 故t的取值范围为(.（2）由（1）知直线l 的直角坐标方程为20x y +-=，故曲线C 上的点()cos ,sin t αα到l的距离d =， 故d=解得t =又因为0t >，所以t =23.解：（1）因为()()31f x f x ≤--，所以132x x -≤--， 123x x ⇔-+-≤，1,323,x x <⎧⇔⎨-≤⎩或12,13,x ≤≤⎧⎨≤⎩或2,233x x >⎧⎨-≤⎩解得01x ≤<或12x ≤≤或23x <≤，所以03x ≤≤， 故不等式()()31f x f x ≤--的解集为[]0,3.（2）因为31,2M ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭， 所以当31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()1f x f x x a ≤+--恒成立， 而()()1f x f x x a ≤+--101x x x a x a x x ⇔--+-≤⇔-≤--， 因为31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1x a -≤，即11x a x -≤≤+， 由题意，知11x a x -≤≤+对于31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， 所以122a ≤≤，故实数a 的取值范围1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

福建省福州市2018届⾼三上学期期末质检数学理考试福建省福州市2018届⾼三上学期期末质检数学理考试————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期：福建省福州市2018届⾼三上学期期末质检试题理科数学第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知集合()(){}310A x x x =-+<，{}10B x x =->，则A B ?=（） A ．()1,3 B ．()1,-+∞ C ．()1,+∞ D ．()(),11,-∞-?+∞2.若复数1ai+的模为22，则实数a =（）A ．1B ．1-C ．1±D ．2± 3.下列函数为偶函数的是（）A ．tan 4y x π??=+ ??B ．2xy x e =+ C ．cos y x x = D ．ln sin y x x =-4.若2sin cos 12x x π??+-=，则cos2x =（）A ．89-B ．79-C ．79D ．725-5.已知圆锥的⾼为3，它的底⾯半径为3，若该圆锥的顶点与底⾯的圆周都在同⼀个球⾯上，则这个球的体积等于（）A ．83πB ．323π C ．16π D ．32π6.已知函数()22,0,11,0,x x x f x x x-≤=?+>??则函数()3y f x x =+的零点个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．37.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙⼦剩余定理”，图中的(),Mod N m n =表⽰正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，例如()10,31Mod =.执⾏该程序框图，则输出的i 等于（）A ．23B ．38C ．44D ．588.如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗线画出的是某多⾯体的三视图，则该多⾯体的表⾯积为（）A ．14B ．1042+C ．21422+ D ．213422++ 9.已知圆()221:582C x y ?-+-=，抛物线()2:20E x py p =>上两点()12,A y -与()24,B y ，若存在与直线AB 平⾏的⼀条直线和C 与E 都相切，则E 的标准⽅程为（）A ．12x =-B ．1y =-C ．12y =- D ．1x =-10.不等式组1,22x y x y -≥??+≤?的解集记为D .有下列四个命题：()1:,,22p x y D x y ?∈-≥ ()2:,,23p x y D x y ?∈-≥()32:,,23p x y D x y ?∈-≥()4:,,22p x y D x y ?∈-≤- 其中真命题的是（）A ．23,p pB ．14,p pC ．12,p pD ．13,p p11.已知双曲线()2222:10,0a x y E a bb >->=的左、右焦点分别为12,F F ，点,M N 在E 上，12122//,5MN F F MN F F =，线段2F M 交E 于点Q ，且2F Q QM =u u u u r u u u u r ，则E 的离⼼率为（） A ．5 B ．15 C ．23 D ．1012.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n n a a n ++=+，且1350n S =.若22a <，则n 的最⼤值为（） A ．51 B ．52 C ．53 D ．54第Ⅱ卷（共90分）⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知单位向量,a b r r 满⾜()22a a b ?-=r r r，则,a b r r 的夹⾓为．14.设n 为正整数，32nx x ?-展开式中仅有第5项的⼆项式系数最⼤，则展开式中的常数项为．15.将函数2sin cos y x x =+的图象向右平移?个单位长度，得到函数2sin cos y x x =-的图象，则sin ?的值为．16.如图，已知⼀块半径为1的残缺的半圆形材料MNQ ，O 为半圆的圆⼼，85MN =.现要在这块材料上裁出⼀个直⾓三⾓形.若该三⾓形⼀条边在MN 上，则裁出三⾓形⾯积的最⼤值为．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列{}n a 中，()*12111,2,322,n n n a a a a a n n N +-===-≥∈.设1n n n b a a +=-. （1）证明：数列{}n b 是等⽐数列；（2）设()2 412nn nb c n =-，求数列{}n c 的前n 项的和n S .18.已知菱形ABCD 的边长为2，60DAB ∠=?.E 是边BC 上⼀点，线段DE 交AC 于点F . （1）若CDE ?的⾯积为32，求DE 的长；（2）若74CF DF =，求sin DFC ∠.19.如图，在四棱锥E ABCD -中，//,90,224AB CD ABC CD AB CE ∠=?===，120,25BCE DE ∠=?=.（1）证明：平⾯BCE ⊥平⾯CDE ；（2）若4BC =，求⼆⾯⾓E AD B --的余弦值.20.已知F 为椭圆22:143x y C +=的右焦点，M 为C 上的任意⼀点.（1）求MF 的取值范围；（2）,P N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为34-，证明:,M N 两点的横坐标之和为常数.21.已知函数()()221ln f x x a x ax a R =-+-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0a =且()0,1x ∈，求证：()211xf x x e x+-<. 请考⽣在22、23两题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分.22.选修4-4：坐标系与参数⽅程在直⾓坐标系xOy 中，曲线cos ,:sin x t C y αα=??=?（α为参数，0t >）.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:cos 24l πρθ?-=.（1）若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；（2）若曲线C 上存在点到l 距离的最⼤值为1622+，求t 的值. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()1,f x x x R =-∈.（1）求不等式()()31f x f x≤--的解集；（2）已知关于x的不等式()()1f x f x x a≤+--的解集为M，若31,2M，求实数a的取值范围.试卷答案⼀、选择题1-5: BCBCB 6-10: CADCA 11、12：BA⼆、填空题13. 120? 14. 112 15.4516.338三、解答题17.解：（1）证明：因为()*11322,n n n a a a n n N +-=-≥∈，1n n n b a a +=-，所以()111211132n n n n n n n n n n n a a a b a a b a a a a +++++++---==--()1122n n n na a a a ++-=-，⼜因为121211b a a =-=-=，所以数列{}n b 是以1为⾸项，以2为公⽐的等⽐数列. （2）由（1）知11122n n n b --=?=，因为()2 412nn nb c n =-，所以()2412nn nb c n=-()()11112212142121n n n n ??==- ?+--+??，所以12111111143352121n n S c c c n n ??=+++=-+-++- ?-+??L L111421n ??=- ?+??42n+. 18.解：解法⼀：（1）依题意，得60BCD DAB ∠=∠=?，因为CDE ?的⾯积32 S =，所以13sin 22CD CE BCD ??∠=，所以132sin 6022CE =，解得1CE =，根据余弦定理，得222cos DE CD CE CD CE BCD =+-?∠ 2212122132=+-=. （2）依题意，得3060ACD BDC ∠=?∠=?,，设CDE θ∠=，则060θ?<在CDE ?中，由正弦定理得sin sin CF DFACDθ=∠，因为74CF DF =，所以2sin 27CF DF θ==，所以3cos 7θ=所以()1332321sin sin 30221477DFC θ∠=?+=?+?=. 解法⼆：（1）同解法⼀.（2）依题意，得3060ACD BDC ∠=?∠=?,，设CDE θ∠=，则060θ?<，或233x =. ⼜因为132CF AC ≤=，所以34x ≤，所以239x =，所以2219DF =，在CDF ?中，由正弦定理，得sin sin CD DFCFD ACD=∠∠，得2sin30321sin 14. 19.解：（1）证明：因为//,90AB CD ABC ∠=?，所以CD BC ⊥.因为42,25CD CE DE ===,，所以222 C D CE DE +=，所以CD CE ⊥，因为BC CE C ?=，所以CD ⊥平⾯BCE . 因为CD ?平⾯CDE ，所以平⾯BCE ⊥平⾯CDE .（2）由（1）知，CD⊥平⾯BCE，故以点C为坐标原点，分别以CB CDu u u r u u u r、的⽅向为x轴、z轴的正⽅向，建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系C xyz-.所以()()()()4,0,2,400,1,3,0,0,0,4A B E D-，，，所以()()4,0,2,5,3,2AD AE=-=--u u u r u u u r，设平⾯ADE的法向量为(),,n x y z=r，则AD nAE n==4205320x zx y z-+=-+-=，取1x=，则()1,33,2n=r，⼜因为平⾯ABD的⼀个法向量为() 0,1,0m=u r，所以()23336cos,811334n m==++r u r，所以⼆⾯⾓E AD B--的余弦值为368.20.解：解法⼀：（1）依题意得2,3a b==，所221c a b=-=，所以C的右焦点F坐标为()1,0，设C上的任意⼀点M的坐标为(),M Mx y，则22143M Mx y+=，。

2018-2019学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x||x|＞1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，2）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，2）D．（1，2）2．（5分）已知复数z满足z（1+i）2＝2﹣i（i为虚数单位），则|z|为（）A．2B．C．D．13．（5分）曲线f（x）＝x+lnx在点（1，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．2B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＝2，a6＝8，则S8＝（）A．20B．40C．60D．805．（5分）给出下列说法：①“”是“tan x＝1”的充分不必要条件；②定义在[a，b]上的偶函数f（x）＝x2+（a+5）x+b的最大值为30；③命题“∃x0∈R，”的否定形式是“∀x∈R，”．其中正确说法的个数为（）A．0B．1C．2D．36．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均与圆x2+y2﹣6y+5＝0相切，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（）A．16B．18C．48D．1438．（5分）某个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个侧面中，面积最大的侧面的面积为（）A．B．1C．D．9．（5分）已知点O是△ABC内部一点，且满足＝又＝2，∠BAC ＝60°，则△OBC的面积为（）A．B．3C．1D．210．（5分）已知函数f（x）＝x+1，将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g（x）的图象，若g（x1）•g（x2）＝9，则|x1﹣x2|的值可能为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，函数f（x）的图象为两条射线CA，CB组成的折线，如果不等式f（x）≥x2﹣x﹣a的解集中有且仅有1个整数，那么实数a的取值范围是（）A．{a|﹣2＜a＜﹣1}B．{a|﹣2≤a＜﹣1}C．{a|﹣2≤a＜2}D．{a|a≥﹣2} 12．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣2ex2+mx﹣lnx，若f（x）＞x恒成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知实数x，y满足条件，则x+y的最大值为．14．（5分）已知函数f（x）＝ax3+b sin2x+2（a，b∈R，ab≠0），且f（2）＝3，则f（﹣2）＝．15．（5分）已知抛物线y2＝8x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x﹣2）2+y2＝1于点A，B，C，D四点，则|AB|+4|CD|的最小值为16．（5分）函数f（x）＝cos2x+α（sin x﹣cos x）在区间上单调递增，则实数α的取值范围是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，在△ABC中，M是边BC的中点，cos∠BAM＝，cos∠AMC＝﹣．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若AM＝，求△AMC的面积．18．（12分）在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝，设b n＝，n∈N*（Ⅰ）求证数列{b n}是等差数列，并求通项公式b n；（Ⅱ）设c n＝b n•2n﹣1，且数列{c n}的前n项和S n，若λ∈R，求使S n﹣1≤λc n恒成立的λ的取值范围．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AC⊥BB1，AB＝A1B＝AC＝2，BB1＝2．（Ⅰ）求证：A1B⊥平面ABC；（Ⅱ）若P是棱B1C1的中点，求直线BB1与平面P AB所成角的正弦值．20．（12分）已知点在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上，O为坐标原点，直线l：＝1的斜率与直线OA的斜率乘积为﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）不经过点A的直线l：y＝x+t（t≠0且t∈R）与椭圆C交于P，Q两点，P关于原点的对称点为R（与点A不重合），直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：AM＝AN．21．（12分）设函数f（x）＝（ax﹣1）e1﹣x．（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当a＝1时，若函数f（x）与函数y＝x2﹣4x+m（m∈R）的图象总有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x1，x2．①求m的取值范围；②求证：x1+x2＞4．请考生在（22）、（23）二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α为l的倾斜角），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为ρ＝4sinθ，直线θ＝β，θ＝β+，θ＝β﹣（ρ∈R），与曲线E分别交于不同于极点O的三点A，B，C．（Ⅰ）若，求证：|OB|+|OC|＝|OA|；（Ⅱ）当β＝时，直线l过B、C两点，求γ0与α的值．23．已知函数f（x）＝|2x+a|+3a，a∈R．（Ⅰ）若对于任意x∈R，总有f（x）＝f（4﹣x）成立，求a的值；（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≤﹣|2x﹣1|+a成立，求a的取值范围．2018-2019学年福建省福州市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：集合A＝{x||x|＞1}＝{x|x＜﹣1或x＞1}，B＝{x|0＜x＜2}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}＝（1，2）．故选：D．2．【解答】解：由z（1+i）2＝2﹣i，得，∴，故选：C．3．【解答】解：由题意得y′＝+1，则在点M（1，1）处的切线斜率k＝2，故切线方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1，令x＝0得，y＝﹣1；令y＝0得，x＝，∴切线与坐标轴围成三角形的面积S＝×1×＝，故选：D．4．【解答】解：等差数列{a n}中，a3＝2，a6＝8，∴＝2，a1＝a3﹣2d＝﹣2，则S8＝8a1+28d＝﹣16+56＝40，故选：B．5．【解答】解：根据题意得，①中由x＝得tan x＝1，而tan x＝1时不能得x＝∴”是“tan x＝1”的充分不必要条件正确；②中由f（x）为偶函数得a＝﹣5，b＝5∴f（x）＝x2+5最大值为30正确；③∵命题“∃x0∈R，”的否定形式是“∀x∈R，x+＜2“与题中所给不同∴③不正确，故选：C．6．【解答】解：因为圆C：x2+y2﹣6y+5＝0⇔（y﹣3）2+x2＝4，由此知道圆心C（0，3），圆的半径为2，又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心，又双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5＝0相切，而双曲线的渐近线方程为：y＝±x⇔bx±ay＝0，∴＝2，即9a2＝4c2，所以双曲线的离心率为：＝．故选：A．7．【解答】解：初始值n＝3，x＝3，程序运行过程如下表所示：v＝1i＝2，v＝1×3+2＝5i＝1，v＝5×3+1＝16i＝0，v＝16×3+0＝48i＝﹣1，不满足条件，跳出循环，输出v的值为48．故选：C．8．【解答】解：由三视图可知，该几何体是四棱锥，它的直观图如图所示；且PD⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，四棱锥的高PD＝1，梯形ABCD的边长AB＝1，AD＝1，CD＝2，则S△P AD＝×1×1＝，S△PCD＝×1×2＝1，S△P AB＝××1＝，△PBC中，PC2＝12+22＝5，PB2＝12+＝3，BC2＝12+12＝2，∴PC2＝PB2+BC2，∴S△PBC＝××＝，∴该几何体的各侧面中，面积最大值为．故选：D．9．【解答】解：由点O是△ABC内部一点，且满足＝，得点O是△ABC的重心，所以△OBC的面积：△ABC的面积＝1：3，又＝2，所以||||cos60°＝2，||||＝4，即||||sin60°＝6，即||||sin60°＝3，即：△ABC的面积为3，即为△OBC的面积1，故选：C．10．【解答】解：函数f（x）＝x+1＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），将f（x）的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得y＝2sin（4x﹣）的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数y＝g（x）＝2sin（4x﹣）+1的图象，若g（x1）•g（x2）＝9，则4x﹣＝+2kπ，k∈Z；解得x＝+，k∈Z；其中x1、x2是三角函数g（x）最高点的横坐标，∴|x1﹣x2|的值为T的整数倍，且T＝＝．故选：B．11．【解答】解：根据题意可知f（x）＝，不等式f（x）≥x2﹣x﹣a等价于a≥x2﹣x﹣f（x），令g（x）＝x2﹣x﹣f（x）＝，可得g（x）的大致图象，如图所示，又g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣1，g（﹣1）＝2，∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数，则﹣2≤a＜1，即a取值范围是{a|﹣2≤a＜1}．故选：B．12．【解答】解：若f（x）＞x恒成立，即m＞﹣x2+2ex++1，∵m'＝﹣2x+2e+＝﹣2（x﹣e）+，∴当x∈（0，e）时，m'＞0，m为关于x的增函数；当x∈（e，+∞）时，m'＜0，m为关于x的减函数．故函数y＝﹣x2+2ex+的最大值为：e2+，即m＞e2++1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝x+y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z＝x+y得z＝1+2＝3．即目标函数z＝x+y的最大值为3．故答案为：3．14．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ax3+b sin2x+2，则f（﹣x）＝a（﹣x）3+b sin2（﹣x）+2＝﹣（ax3+b sin2x）+2，则f（x）+f（﹣x）＝4，即有f（2）+f（﹣2）＝4，又由f（2）＝3，则f（﹣2）＝1；故答案为：115．【解答】解：∵y2＝8x，焦点F（2，0），准线l0：x＝﹣2，由圆：（x﹣2）2+y2＝1，圆心（2，0），半径为1．由抛物线的定义得：|AF|＝x A+2，又∵|AF|＝|AB|+1，∴|AB|＝x A+1同理：|CD|＝x D+1当AB⊥x轴时，则x D＝x A＝2，∴|AB|+4|CD|＝15．当AB的斜率存在且不为0，设AB：y＝k（x﹣2）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，∴x A x D＝4，x A+x D＝，∴|AB|+4|CD|＝（x A+1）+4（x D+1）＝5+x A+4x D≥5+2＝13．当且仅当x A＝4x D，即x A＝4，x D＝1时取等号，综上所述|AB|+4|CD|的最小值为13．故答案为：13．16．【解答】解：函数cos2x+α（sin x﹣cos x）在区间上单调递增，∴f′（x）＝﹣2sin2x+α（cos x+sin x）≥0在区间上恒成立∴在区间上恒成立即，令∈[1，]所以问题转化为，t∈[1，]．当t＝时，取到最大值，取到最大值．∴t≥故答案为：三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（Ⅰ）由，得，由，得，又∠AMC＝∠BAM+∠B，所以，cos B＝cos（∠AMC﹣∠BAM）＝cos∠AMC cos∠BAM+sin∠AMC sin∠BAM＝＝，又B∈（0，π），所以．（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，在△ABM中，由正弦定理，得，所以，＝．因为M是边BC的中点，所以，．故＝．解法二：由（Ⅰ）知，在△ABM中，由正弦定理，得，所以，＝．因为M是边BC的中点，所以，S△AMC＝S△ABM，所以，＝＝．18．【解答】（I）证法一：由条件知，，所以，，所以b n+1﹣b n＝1，又，所以，数列{b n}是首项为1，公差为1的等差数列，故数列{b n}的通项公式为：b n＝n．证法二：由条件，得＝，又，所以，数列{b n}是首项为1，公差为1的等差数列，故数列{b n}的通项公式为：b n＝n．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，则，①②由①﹣②得，＝＝﹣1+（1﹣n）•2n ∴∵c n＞0，∴S n﹣1≤λc n恒成立，等价于对任意n∈N*恒成立．∵，∴λ≥2．19．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AC⊥BB1，又AB∩BB1＝B，∴AC⊥平面ABB1A1，又A1B⊂平面ABB1A1，∴AC⊥A1B，∵，∴，∵AB＝A1B＝2，∴，∴A1B⊥AB，又AC∩AB＝A，∴A1B⊥平面ABC．解：（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，直线A1C1，A1B1，BA1两两互相垂直，如图，以A1为原点，分别以A1C1，A1B1，BA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A1﹣xyz，则A1（0，0，0），P（1，1，0），B（0，0，﹣2），B1（0，2，0），，，设平面P AB的法向量，则，所以，，取z＝1，则，又，设直线BB1与平面P AB所成角为θ，则＝．∴直线BB1平面P AB所成角的正弦值．解法二：由（Ⅰ）知，直线A1C1，A1B1，BA1两两互相垂直，以A为原点，分别以AC、AB、Az所在直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），A1（0，2，2），P（1，3，2），B（0，2，0），B1（0，4，2），C1（2，2，2），，，设平面P AB的法向量，则，所以，，取z＝1，则，又，设直线BB1与平面P AB所成角为θ，则＝．∴直线BB1平面P AB所成角的正弦值．20．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，即a2＝4b2 ①．又②．联立①①解得，∴椭圆C的方程为：；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（﹣x1，﹣y1），由，得，∴△＝4﹣t2＞0，即﹣2＜t＜2，又∵t≠0，∴t∈（﹣2，0）∪（0，2），，，要证明AM＝AN，可转化为证明直线AQ，AR的斜率互为相反数，只需证明k AM+k AN＝0，即证明k AQ+k AR＝0．∵＝＝＝＝∴k AM+k AN＝0，即AM＝AN．21．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，f′（x）＝﹣ae1﹣x（x﹣），由e﹣x＞0，a＞0，令f′（x）＞0得：，令f′（x）＜0得，所以，当a＞0时，单调递增区间是；单调递减区间是．（Ⅱ）令g（x）＝f（x）﹣x2+4x﹣m＝（x﹣1）e1﹣x﹣x2+4x﹣m，∴g′（x）＝﹣（e1﹣x+2）（x﹣2），①解法一：由g′（x）＜0得，x＞2；由g′（x）＞0得，x＜2，易知，x＝2为g（x）的极大值点.，当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞；当x→+∞时，g（x）→﹣∞．由题意，只需满足，∴m的取值范围是：．解法二：f′（x）＝﹣e1﹣x（x﹣2），由f′（x）＜0得，x＞2；由f′（x）＞0得，x＜2易知，x＝2为极大值点．而y＝x2﹣4x+m（m∈R）在x＝2时取得极小值，由题意，只需满足，解得．②由题意知，x1，x2为函数g（x）＝f（x）﹣x2+4x﹣m＝（x﹣1）e1﹣x﹣x2+4x﹣m的两个零点，由①知，不妨设x1＜2＜x2，则4﹣x2＜2，且函数g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，欲证x1+x2＞4，只需证明g（x1）＞g（4﹣x2），而g（x1）＝g（x2），所以，只需证明g（x2）＞g（4﹣x2）．令H（x2）＝g（x2）﹣g（4﹣x2）（x2＞2），则∴∵x2＞2，∴，即所以，H′（x2）＞0，即H（x2）在（2，+∞）上为增函数，所以，H（x2）＞H（2）＝0，∴g（x2）＞g（4﹣x2）成立，所以，x1+x2＞4．请考生在（22）、（23）二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．【解答】解：（Ⅰ）证明：依题意，|OA|＝|4sinβ|，，，∵，∴．（Ⅱ）当时，直线与圆的交点B的极坐标为，直线与圆的交点C点的极坐标为从而，B、C两点的直角坐标分别为：，C（0，4）∴直线l的方程为：，所以，y0＝1，．23．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）＝f（4﹣x），x∈R，所以f（x）的图象关于x＝2对称，又的图象关于对称，所以，所以，a＝﹣4．（Ⅱ）∃x∈R，使得f（x）≤﹣|2x﹣1|+a等价于∃x∈R，使得|2x+a|+|2x﹣1|+2a≤0．等价于（|2x+a|+|2x﹣1|+2a）min≤0，设g（x）＝|2x+a|+|2x﹣1|+2a，则g（x）min＝|（2x+a）﹣（2x﹣1）|+2a＝|a+1|+2a，所以，|a+1|+2a≤0．当a≥﹣1时，a+1+2a≤0，，所以，；当a＜﹣1时，﹣a﹣1+2a≤0，a≤1，所以a＜﹣1，综上，．解法二：（Ⅰ）∵f（x）＝f（4﹣x）∴|2x+a|+3a＝|2（4﹣x）+a|+3a，∴|2x+a|＝|8﹣2x+a|，即2x+a＝﹣（8﹣2x+a），或2x+a＝8﹣2x+a（舍）所以，a＝﹣4（Ⅱ）由f（x）≤﹣|2x﹣1|+a得，|2x+a|+|2x﹣1|≤﹣2a而|2x+a|+|2x﹣1|≥|a+1|由题意知，只需满足|a+a|≤﹣2a，即2a≤a+1≤﹣2a即，∴．。

福建省福州市2018届高三上学期期末质量检查数学试题（文科）（满分50分：完卷时间：120分钟）一、选择题（每小题5分，满分60分）1．已知集合2{|1,},{|1,},M y y x x R N y y x x R ==+∈==+∈则M N ⋂等于（ ） A ．（0，1），（1，2） B ．|（0，1），（1，2）|C ．{|12}y y y ==或D ．{|1}y y ≥ 2．复数(1)(1)i ai R +-∈，则实数a 等于（ ）A ．1B ．—1C ．0D ．1± 3．如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0—9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,a a ，则 一定有 （ ）A ．12a a >B ．21a a >C ．12a a =D ．12,a a 的大小不确定4．已知实数1,2,0x x y y x y x y ≥⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩满足则的最小值为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 5．如图，在一个边长为3cm 的正方形内部画一个边长为2cm 的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形 内的概率为 （ ） A ．29 B ．13C ．49D ．236．已知向量(1,1),(2,),42a b x a b b a ==+-若与平行，则实数x 的值为 （ ）A ．—2B ．0C ．1D ．27．将函数cos 2y x =的图象上的所有点向左平移6π个单位长度，再把所得图像向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析是（ ）A ．cos(2)16y x π=++ B ．cos(2)13y x π=-+C ．cos(2)13y x π=++D ．cos(2)16y x π=-+8．已知2:||2;:20,p x q x x p q <--<⌝⌝则是的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必条件9．若双曲线22221x y a b-=的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A B ．5C D ．210．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是(012)am a <<、4m ，不考虑树的粗细， 现在用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的共圃ABCD ， 设此矩形花圃的面积为Sm 2，S 的最大值为()f a ，若将这 棵树围在花圃的，则函数()u f a =的图象大致是（ ）11．黑板上有一道有正解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2,a =……，解得b =根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件．．．． （ ）A ．30,45AB == B ．11,cos 3c C ==C ．60,3B c ==D ．75,45C A ==12．定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”，过函数y =“左整点”作直线，则倾斜角大于45°的直线条数为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13二、填空题（每小题4分，满分16分）13．若抛物线22y px =的焦点与椭圆221123x y +=的右焦点重合，则p 的值为 。

福建省福州市2018届高三上学期期末质检数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】则故选2. 若复数的模为，则实数（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】，，故选3. 下列函数为偶函数的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于中，故排除对于中，故排除对于中故排除故选4. 若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】故选5. 已知圆锥的高为3，它的底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如图：设球心到底面圆心的距离为，则球的半径为，由勾股定理得解得，故半径，故选6. 已知函数则函数的零点个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】根据题意令，解得，，当时符合题意令无解，故只有两个零点，选7. 如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的表示正整数除以正整数后的余数为，例如.执行该程序框图，则输出的等于（）A. 23B. 38C. 44D. 58【答案】A【解析】本题框图计算过程要求找出一个数除以3余数为2；除以5余数为3；除以7余数为2，那么这个数首先是23，故选8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A. 14B.C.D.【答案】D【解析】还原三视图如下：其表面积为故选9. 已知圆，抛物线上两点与，若存在与直线平行的一条直线和与都相切，则的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】将点与代入抛物线得，，不妨设与直线平行的一条直线为，联立解得由解得或(舍) 则的准线方程为故选10. 不等式组的解集记为.有下列四个命题：其中真命题的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】对于取点代入得，所以为假命题；为真命题；对于恒成立，所以为假命题故选11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，，线段交于点，且，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得点横坐标为代入求得纵坐标为又因为，所以代入双曲线中得，化简得，所以故选12. 设数列的前项和为，，且.若，则的最大值为（）A. 51B. 52C. 53D. 54【答案】A【解析】若为偶数，则，，，所以这样的偶数不存在若为奇数，则若，则当时成立若，则当不成立故选第Ⅱ卷二、填空题13. 已知单位向量满足，则的夹角为__________．【答案】【解析】根据题意，与的夹角为14. 设为正整数，展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为__________．【答案】112【解析】由展开式中仅有第5项的二项式系数最大得则，令，则展开式中的常数项为15. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为__________．【答案】【解析】其中，由题意将函数向右平移个单位长度，得到其中，则，16. 如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料，为半圆的圆心，.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为__________．【答案】【解析】要裁出三角形面积的最大如图:令则三角形面积，令解得当，时取得最值，则三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列中，.设.（1）证明：数列是等比数列；（2）设，求数列的前项的和.（1）证明：因为，，所以，又因为，所以数列是以1为首项，以2为公比的等比数列.（2）解：由（1）知，因为，所以，所以.18. 已知菱形的边长为2，.是边上一点，线段交于点. （1）若的面积为，求的长；（2）若，求.解：解法一：（1）依题意，得，因为的面积，所以，所以，解得，根据余弦定理，得.（2）依题意，得，设，则，在中，由正弦定理得，因为，所以，所以所以.解法二：（1）同解法一.（2）依题意，得，设，则，在中，设，因为，则，由余弦定理，得，得，解得，或.又因为，所以，所以，所以，在中，由正弦定理，得，得.19. 如图，在四棱锥中，，.（1）证明：平面平面（2）若，求二面角的余弦值.（1）证明：因为，所以.因为，所以，所以，因为，所以平面.因为平面，所以平面平面（2）解：由（1）知，平面，故以点为坐标原点，分别以的方向为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.所以，所以，设平面的法向量为，则，所以，取，则，又因为平面的一个法向量为，所以，所以二面角的余弦值为.20. 已知为椭圆的右焦点，为上的任意一点.（1）求的取值范围；（2）是上异于的两点，若直线与直线的斜率之积为，证明:两点的横坐标之和为常数.解：解法一：（1）依题意得，所，所以的右焦点坐标为，设上的任意一点的坐标为，则，所以，又因为，所以，所以，所以的取值范围为.（2）设三点坐标分别为，设直线斜率分别为，则直线方程为，由方程组消去，得，由根与系数关系可得，故，同理可得，又，故，则，从而.即两点的横坐标之和为常数.解法二：（1）依题意得，所，所以的右焦点坐标为，设上的任意一点的坐标为，设上的任意一点的坐标为，则，又因为，所以所以，所以的取值范围为.（2）设两点坐标分别为，线段的中点分别为，点的坐标为，直线的斜率分别为，由方程组得，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以的中点在上，同理可证：的中点在上，所以点为线段的中点.根据椭圆的对称性，所以两点的横坐标之和为常数.21. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若且，求证：.解：解法一：（1）函数的定义域为，，①若时，则，在上单调递减；②若时，当时，；当时，；当时，.故在上，单调递减；在上，单调递増；③若时，当时，；当时，；当时，.故在上，单调递减；在上，单调递増. （2）若且，欲证，只需证，即证.设函数，则.当时，.故函数在上单调递增.所以.设函数，则. 设函数，则.当时，，故存在，使得，从而函数在上单调递增；在上单调递减. 当时，，当时，故存在，使得，即当时，，当时，从而函数在上单调递增；在上单调递减. 因为，故当时，所以，即.解法二：（1）同解法一.（2）若且，欲证，只需证，即证.设函数，则.当时，.故函数在上单调递增. 所以.设函数，因为，所以，所以，又，所以，所以，即原不等式成立.解法三：（1）同解法一.（2）若且，欲证，只需证，由于，则只需证明，只需证明，令，则，则函数在上单调递减，则，所以成立，即原不等式成立.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系中，曲线（为参数，）.在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线.（1）若与曲线没有公共点，求的取值范围；（2）若曲线上存在点到距离的最大值为，求的值.解：（1）因为直线的极坐标方程为，即，所以直线的直角坐标方程为；因为（参数，）所以曲线的普通方程为，由消去得，，所以，解得，故的取值范围为.（2）由（1）知直线的直角坐标方程为，故曲线上的点到的距离，故的最大值为由题设得，解得.又因为，所以.23. 选修4-5：不等式选讲设函数.（1）求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，若，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以，，或或解得或或，所以，故不等式的解集为.（2）因为，所以当时，恒成立，而，因为，所以，即，由题意，知对于恒成立，所以，故实数的取值范围.。

福州市2018届高三上学期期末考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A）2.A．1 B3.下列函数为偶函数的是（）A4.）A5.已知圆锥的高为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于（）A6.）A ．0B ．1C ．2 D．37.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，执行该程序框图，等于（ ）A ．23B ．38C ．44D ．588.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）A．14 B9.）A10.有下列四个命题：其中真命题的是（）A）A12.为（）A．51 B．52 C．53 D．54第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的夹角为．14.5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为．15.的值为．16.如图，已知一块半径为1现要在这块材料上裁出一个直角三角形.为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1（218.2（1（2=，中，C E 19.如图，在四棱锥D（1（2.20..（1（2点的横坐标之和为常数.21.（1（2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.（1（2.23.选修4-5：不等式选讲（1（2取值范围.全优试卷参考答案一、选择题1-5: BCBCB 6-10: CADCA 11、12：BA二、填空题三、解答题17.解：（11为首项，以2为公比的等比数列.（2）由（143352121n n =-+-++- ⎪-+⎝⎭18.解：解法一：（1（2解法二：（1）同解法一.（219.解：（1（2）由（11,33,2m=20.解：解法一：（1（2. 解法二：（1（2. 根据椭圆的对称性，.21.解：解法一：（1.（2...解法二：（1）同解法一.（2.即原不等式成立.解法三：（1）同解法一.（2即原不等式成立.22.解：（1（2）由（123.解：（1（2。