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旋转
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（）51加速度学习网整理一、本节学习指导
本节较简单，在画图前同学们先观察图形，然后在作图。
常想想我们周围的旋转实例。
二、知识要点
1、旋转：在平面内，一个图形绕着一个顶点旋转一定的角度得到另一个图形的变化较做旋转，定点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角，原图形上的一点旋转后成为的另一点成为对应点。
（1）生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车
（2）旋转要明确绕点，角度和方向。
（3）长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。
等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。
2、旋转的性质：
（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；
（2）其中对应点到旋转中心的距离相等；
（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；
（4）两组对应点非别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；
（5）旋转中心是唯一不动的点。
3、对称和旋转的画法：旋转要注意：顺时针、逆时针、度数
三、经验之谈：
再旋转中，旋转三要素要理解：旋转点，旋转方向，旋转角度。
很多题目中要求我们在方格纸上画出旋转多少度的图形，此时我们不要急着下手，我们先找出原图形中几个关键点所在线段，根据旋转方向，细心的画出旋转后的图形。
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初中数学辅助线添加秘籍5、图形变换—旋转一：如何构造旋转图形1、遇中点，旋180°，构造中心对称图形，即倍长中线。
2、遇90°，旋90°，构造垂直—等腰直角三角形、正方形。
3、遇60°，旋60°，构造等边。
口诀：边相等，就旋转。
二：倒角（旋转后，常见图形）、如图，边长为的正方形AB=AD，由图形旋转的性质可知AD=AB′，故可得出Rt△ADE≌Rt△AB′E，由直角三角形的性质可得出DE的长，再由S阴影=S正方形ABCD-S四边形ADEB′即可得出结论．解答：解：连接AE，∵∠BAB′=30°，∴∠DAB′=60°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠B=90°，∵正方形AB′C′D′是正方形ABCD旋转而成，∴AD=AB′，∠B′=90°，在Rt△ADE与Rt△AB′E中，AD=AB′，AE=AE，∴Rt△ADE≌Rt△AB′E，∴∠DAE==30°，∴DE=AD?tan∠DAE=×=1，∴S四边形ADEB′=2S△ADE=2××AD×DE=，∴S阴影=S正方形ABCD-S四边形ADEB=3-．2、如图，P是正△ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10.若将△PA C绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与点P′之间的距离为????，∠APB=????°.答案此题答案为：6；150°.解：连接PP′.∵△P′AB是△PAC绕点A旋转得到的，∴△P′AB≌△PAC.∵△P′AB≌△PAC，PA=6，PB=8，PC=10，∴P′A=PA=6，P′B=PC=10，∠PAC=∠P′AB.∵△ABC为正三角形，∴∠BAC=60°，∴∠PAC+∠BAP=60°.∵∠PAC=∠P′AB，∴∠P′AB+∠BAP=∠P′AP=60°.∵∠P′AP=60°，PA=P′A，∴△PAP′是等边三角形，∴PP′=PA=6，∴∠P′PA=60°.∵在△PBP′中PP′=6，PB=8，P′B=10，∴△PBP′是直角三角形，∴∠BPP′=90°，∴∠APB=∠P′PA+∠BPP′=60°+90°=150°.3、如图，P是等边△ABC内一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比为5:6:7，则以PA、PB、PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）.A.2:3:4B.3:4:5C.4:5:6D.以上结果都不对答案此题答案为：A.解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形，∴PP′=AP，∵P′C=PB，∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠PP′C=∠AP′C-∠AP′P=∠APB-∠AP′P=100°-60°=40°，∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°，∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°，∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4．故选A．4、如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正和正，与交于点，与交于点，与交于点，连接。
旋转、平移和镜像变换旋转、平移和镜像变换是几种常见的图形变换方法，在计算机图形学、几何学以及艺术设计等领域都有广泛应用。
通过这些变换，我们可以改变图形的位置、形状和方向，从而达到我们想要的效果。
1. 旋转变换旋转变换是将一个图形按照某个点为中心点进行旋转，使得图形围绕这个中心点旋转一定角度。
旋转变换可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。
旋转变换的公式为：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中，(x, y)表示原始的点的坐标，(x', y')表示旋转后的点的坐标，θ表示旋转的角度。
2. 平移变换平移变换是将一个图形沿着平移向量的方向进行移动，使得图形整体平移一定距离。
平移变换是保持图形形状和方向不变的基本变换之一。
平移变换的公式为：x' = x + dxy' = y + dy其中，(x, y)表示原始的点的坐标，(x', y')表示平移后的点的坐标，(dx, dy)表示平移向量。
3. 镜像变换镜像变换是将一个图形按照某个镜像轴进行对称，使得图形在镜像轴两侧呈镜像关系。
镜像变换可以分为水平镜像和垂直镜像两种。
水平镜像变换的公式为：x' = xy' = y垂直镜像变换的公式为：x' = -xy' = y其中，(x, y)表示原始的点的坐标，(x', y')表示镜像后的点的坐标。
通过组合使用旋转、平移和镜像变换，我们可以实现更加复杂的变换效果。
例如，可以先将一个图形进行平移，然后再进行旋转和镜像变换，从而得到一个整体上更加生动和有趣的图形。
总结：旋转、平移和镜像变换是图形变换中常用的几种方法。
它们可以灵活地改变图形的位置、形状和方向，为计算机图形学、几何学和艺术设计等领域提供了丰富的工具和技术。
熟练掌握这些变换方法，对于创作和处理图形具有重要意义。
图形的旋转和翻转操作技巧一、图形的旋转1.旋转的概念：在平面内，将一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转。
2.旋转的性质：a.旋转不改变图形的形状和大小，只是改变图形的位置。
b.旋转前后的图形全等。
c.旋转中心即为图形的对称中心。
3.旋转的公式：若将一个图形绕着点O旋转θ度，得到的新图形为O’，则有：O’ = O + (O -> O’) * θ4.旋转的应用：a.在实际生活中，如风扇、汽车方向盘等的转动都是旋转的应用。
b.在计算机图形学中，旋转用于实现图形的变换和动画效果。
二、图形的翻转1.翻转的概念：在平面内，将一个图形沿着某一条直线翻转一定角度，使得翻转后的图形与原图形关于这条直线对称，这种图形变换叫做翻转。
2.翻转的类型：a.水平翻转：将图形沿着x轴翻转。
b.垂直翻转：将图形沿着y轴翻转。
c.对称翻转：将图形沿着任意直线翻转，使得翻转后的图形与原图形关于这条直线对称。
3.翻转的性质：a.翻转不改变图形的形状和大小，只是改变图形的位置。
b.翻转前后的图形全等。
c.翻转的中心线即为图形的对称轴。
4.翻转的应用：a.在实际生活中，如镜子、穿衣镜等的翻转都是翻转的应用。
b.在计算机图形学中，翻转用于实现图形的变换和动画效果。
三、操作技巧1.旋转操作技巧：a.确定旋转中心：通常选择图形的某个顶点或重心作为旋转中心。
b.确定旋转方向：顺时针或逆时针旋转。
c.确定旋转角度：根据实际需求确定旋转的角度。
d.画出旋转后的图形：以旋转中心为中心，按照旋转方向和角度，画出旋转后的图形。
2.翻转操作技巧：a.确定翻转中心线：通常选择图形的中心线作为翻转中心线。
b.确定翻转方向：沿中心线翻转，使得翻转后的图形与原图形关于中心线对称。
c.画出翻转后的图形：按照翻转方向，将原图形关于中心线翻转，得到翻转后的图形。
通过以上知识点的学习和操作技巧的掌握，学生可以更好地理解和运用图形的旋转和翻转，提高他们在几何学习和实际应用中的能力。
图形的变化与旋转一、图形的变换1.平移：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动称为平移。
平移不改变图形的形状和大小。
2.旋转：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
旋转不改变图形的形状和大小。
二、图形变换的性质1.平移的性质：平移后图形的位置改变，形状、大小、方向不变。
平移不改变图形的长度和角度。
2.旋转的性质：旋转后图形的位置和方向改变，形状、大小不变。
旋转不改变图形的长度和角度。
三、图形的变换与坐标1.平移与坐标：在坐标系中，平移图形时，图形上的点坐标按照平移的方向和距离进行变化。
2.旋转与坐标：在坐标系中，旋转图形时，图形上的点坐标按照旋转的角度和中心点进行变化。
四、图形的变换与应用1.图形的变换在实际生活中的应用：图形的变换在建筑设计、艺术设计、计算机图形学等领域有广泛的应用。
2.图形的变换在学习过程中的应用：通过图形的变换，可以更好地理解图形的性质和特点，提高解决问题的能力。
1.旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
2.旋转的性质：旋转后图形的位置和方向改变，形状、大小不变。
旋转不改变图形的长度和角度。
3.旋转的类型：(1)顺时针旋转：图形按照顺时针方向旋转。
(2)逆时针旋转：图形按照逆时针方向旋转。
(3)旋转角度：旋转的角度可以是任意实数，单位通常是度或弧度。
4.旋转的应用：(1)在生活中，旋转现象广泛存在于机械、建筑、艺术等领域。
(2)在数学中，旋转是几何变换的一种，可以用来解决各种问题。
六、图形的旋转1.图形旋转的定义：将一个图形绕一个点旋转一个角度，得到另一个图形，这个过程称为图形旋转。
2.图形旋转的性质：图形旋转时，旋转前后的图形全等，即形状、大小、位置不变，只是位置发生了变化。
3.图形旋转的类型：(1)中心旋转：图形绕一个点旋转。
(2)轴旋转：图形绕一条直线旋转。
【最新整理，下载后即可编辑】第五章 图形变换之旋转技巧提炼1､旋转是中考压轴题中常见题型,在解这类题目时,什么时候需要构造旋转,怎么构造旋转｡下面,就不同类型的旋转问题,给出构造旋转图形的解题方法: (1)遇中点,旋180°,构造中心对称; (2)遇90°,旋90°,造垂直; (3)遇60°,旋60°,造等边; (4)遇等腰,旋顶角｡综上四点得出旋转的本质特征:等线段,共顶点,就可以有旋转｡2､图形旋转后我们需要证明旋转全等,而旋转全等中的难点实际上是倒角｡下面给出旋转常用倒角,只要是旋转,必然存在这两个倒角之一｡ 如图(a)所示,若∠AOB=∠COD ,必有∠AOC=∠BOD ,反之亦然｡ 如图(b)所示,若∠A=∠D ,必有∠B=∠C ｡(a) (b)例题精讲例1 (1)如图,边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′,图中阴影部分的面积为( ) A ､331-B ､33 C ､431-D ､21(2)如图,边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°到正方形AB ′C ′D ′,图中阴影部分的面积为_________｡例2 如图所示,E､F分别是正方形ABCD的边BC､DC上的点,且∠EAF=45°,求证:EF=BE+DF｡例3 如图所示,在△ABC的边AC,AB为一边,分别向三角形的外侧作正方形ACFG和正方形ABDE,连接EC交AB于点H,连接BG交CE于点M,求证:BG ⊥CE｡例4如图,在等腰△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,在四边形BDEC中,DB=DE,∠BDE=2α,M为CE的中点,连接AM,DM｡(1)在图中画出△DEM关于点M成中心对称的图形;(2)求证:AM⊥DM;(3)当α=______,AM=DM｡例5 已知:在△ABC中,BC=a,AC=b,以AB为边作等边三角形ABD｡探究下列问题:(1)如图1,当点D与点C位于直线AB的两侧时,a=b=3,且∠ACB=60∘,则CD=______;(2)如图2,当点D与点C位于直线AB的同侧时,a=b=6,且∠ACB=90∘,则CD=______;(3)如图3,当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时,求CD的最大值及相应的∠ACB的度数｡例6 已知∠MAN,AC平分∠MAN｡(1)在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,AB+AD_______AC｡(填写“>”,“<”,“=”)(2)在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由｡⑶在图3中:①若∠MAN=60°,∠ABC+∠ADC=180°,判断AB+AD与AC的数量关系,并说明理由②若∠MAN=α(0°<α<180°),∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=_______AC(用含α的三角函数表示,直接写出结果,不必证明)例7 如图1所示,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA､OD到点F､E,使OF=2OA,OE=2OD,连接EF｡将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2)｡(1)探究AE1与BF1的数量关系,并给予证明｡(2)当α=30∘时,求证:△AOE1为直角三角形｡例8 (1)如图1,点E｡F分别是正方形ABCD的边BC､CD上的点,∠EAF=45∘,连接EF,则EF､BE､FD之间的数量关系是:EF=BE+FD｡连结BD,交AE､AF于点M ､N,且MN､BM､DN满足MN2=BM2+DN2,请证明这个等量关系;(2)在△ABC中,AB=AC,点D､E分别为BC边上的两点｡①如图2,当∠BAC=60∘,∠DAE=30∘时,BD､DE､EC应满足的等量关系是___________;1α时,BD､DE､EC应满足的等量②如图3,当∠BAC=α,(0∘<α<90∘),∠DAE=2关系是_____________｡牛刀小试1､如图5-11所示,△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的,则这点的坐标是_________｡2､如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90∘,点D是BC上的任意一点,探究:BD2+CD2与AD2的关系,并证明你的结论｡3､已知:△ABC是正三角形,P是三角形内一点,PA=3,PB=4,PC=5｡求:∠APB的度数4､如图1,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,E恰为BC的中点,tan B=2｡(1)求证:AD=AE;(2)如图2,点P在线段BE上,作EF⊥DP于点F,连接AF,求证:DF−EF=2AF;(3)请你在图3中画图探究:当P为射线EC上任意一点(P不与点E重合)时,作EF ⊥DP于点F,连接AF,线段DF､EF与AF之间有怎样的数量关系?直接写出你的结论｡5､请阅读下列材料:已知:如图1在R t△ABC中,∠BAC=90∘,AB=AC,点D､E分别为线段BC上两动点,若∠DAE=45度｡探究线段BD､DE､EC三条线段之间的数量关系｡小明的思路是:把△AEC绕点A顺时针旋转90∘,得到△ABE′,连接E′D,使问题得到解决｡请你参考小明的思路探究并解决下列问题:(1)猜想BD､DE､EC三条线段之间存在的数量关系式,并对你的猜想给予证明;(2)当动点E在线段BC上,动点D运动在线段CB延长线上时,如图2,其它条件不变,(1)中探究的结论是否发生改变?请说明你的猜想并给予证明｡6､(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF=BE｡求证:CE=CF;(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果∠GCE=45∘,请你利用(1)的结论证明:GE=BE+GD｡(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:如图3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90∘,AB=BC,E是AB上一点,且∠DCE=45∘,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面积｡7､请阅读下列材料:问题:如图1,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A,B,E在同一条直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60°,探究PG与PC的位置关系及PGPC的值.小聪同学的思路是:延长GP交DC于点H,构造全等三角形,经过推理使问题得到解决.请你参考小聪同学的思路,探究并解决下列问题:(1)写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及PGPC的值;(2)将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转,使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上,原问题中的其他条件不变(如图2).你在(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明;(3)若图1中∠ABC=∠BEF=2α(0°<α<90°),将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度,原问题中的其他条件不变,请你直接写出PGPC的值(用含α的式子表示).8､已知:在R t△ABC中,AB=BC,在R t△ADE中,AD=DE,连接EC,取EC的中点M,连接DM和BM｡(1)若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图1,探索BM､DM的关系并给予证明;(2)如果将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45∘的角,如图2,那么(1)中的结论是否仍成立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明｡9､已知正方形ABCD和等腰R t△BEF,BE=EF,∠BEF=90∘,按图①放置,使点F 在BC上,取DF的中点G,连接EG､CG｡(1)探索EG､CG的数量关系和位置关系并证明;(2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45∘,再连接DF,取DF中点G(如图②),问(1)中的结论是否仍然成立｡证明你的结论;(3)将图①中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0∘到90∘之间),再连接DF,取DF的中点G(如图③),问(1)中的结论是否仍然成立,证明你的结论｡10､在R t△ABC 中,∠ACB =90°,∠A =30°,BD 是△ABC 的角平分线, DE ⊥AB 于点E .(1)如图1,连接EC ,求证:△EBC 是等边三角形;(2)点M 是线段CD 上的一点(不与点C,D 重合),以BM 为一边,在BM 的下方作∠BMG =60°, MG 交DE 延长线于点G .请你在图2中画出完整图形,并直接写出MD,DG,与,AD 之间的数量关系;(3)如图3,点N 是线段AD 上的一点,以BN 为一边,在BN 的下方作∠BNG =60°,NG 交DE 延长线于点G ,且MB=MG.试探究ND,DG 与AD 数量之间的关系,并说明理由.11､请阅读下列材料:问题:如图1,△ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC,MN是过点A的直线,DB⊥MN于点D,联结CD｡求证:BD+AD=2CD｡小明的思考过程如下:要证BD+AD=2CD,需要将BD,AD转化到同一条直线上,可以在MN上截取AE=BD,并联结EC,可证△ACE和△BCD全等,得到CE=CD,且∠ACE=∠BCD,由此推出△CDE为等腰直角三角形,可知DE=2CD,于是结论得证｡小聪的思考过程如下:要证BD+AD=2CD,需要构造以CD为腰的等腰直角三角形,可以过点C作CE⊥CD交MN于点E,可证△ACE和△BCD全等,得到CE=CD,且AE=BD,由此推出△CDE为等腰直角三角形,可知DE=2CD,于是结论得证｡请你参考小明或小聪的思考过程解决下面的问题:(1)将图1中的直线MN绕点A旋转到图2和图3的两种位置时,其它条件不变,猜想BD,AD,CD之间的数量关系,并选择其中一个图形加以证明;(2)在直线MN绕点A旋转的过程中,当∠BCD=30∘,BD=2时,CD=____________｡。
