2021年中考复习数学 尖子生培优训练 图形的变化(含答案)

2021中考数学 尖子生培优训练 分式及其运算一、选择题（本大题共10道小题）1. 化简a 2a －1－(a ＋1)的结果是( )A. 1a －1B. －1a －1C. 2a －1a －1D. －2a －1a －12. 计算a 6b 3·b 2a ，结果是( ) A ．a5b5 B ．a4b5 C ．ab5D ．a5b63. 当x ＝3时下列各式中值为0的是( )A.x －9x2－9B.1x －3C.x －3x ＋3D.x ＋3x －34. 下列分式中，最简分式是 ( ) A . B .C .D .5. 若△÷a2－1a ＝1a －1，则“△”可能是( ) A.a ＋1aB.aa －1C.a a ＋1D.a －1a6. 一辆货车送货上山，并按原路下山.上山速度为a 千米/时，下山速度为b 千米/时，则货车上、下山的平均速度为多少千米/时 ( ) A .(a+b ) B .C .D .7. 计算16－a2a2＋4a ＋4÷a －42a ＋4·a ＋2a ＋4，其结果是( )A ．－2a ＋8B ．2C ．－2a －8D ．－28. 已知=，则的值为 ( ) A .B .C .D .9. （2020·随州）xx x 214222-÷-的计算结果为（ ） A.2+x x B.22+x x C.22-x xD.)2(2+x x10. 若m+n -p=0，则m -+n --p +的值是 .二、填空题（本大题共10道小题） 11. 当x ＝________时，分式x －22x ＋5的值为0.12. 若a ＝2b ≠0，则a 2－b 2a 2－ab 的值为________．13. （2020·昆明）要使15+x 有意义，则x 的取值范围是 .14. （2020台州）计算的结果是 ．15. （2020·黄冈）计算：221y x x y x y ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭的结果是________．16. 分式32（x ＋1），2x －15（x －1），2x ＋1x2－1的最简公分母是________________.17. 已如m +n =-3，则分式22(2)m n m n n m m+--÷-的值是____________.18. 要使x ＋52x ＋1＝（x ＋5）（3m ＋2）（2x ＋1）（7－2m ）成立，则m ＝________．19. 已知a ≠0，S 1=-3a ，S 2=，S 3=，S 4=，…，S 2020=，则S 2020= .20. 观察下列各式:=1-=， +=1-+=，++=1-++=，…根据你发现的规律可得+++…+= .(n 为正整数)三、解答题（本大题共6道小题）21. 先化简，再求值:÷，其中x=.22. 观察下列等式：1×12＝1－12，2×23＝2－23，3×34＝3－34，…… (1)猜想并写出第n 个等式；(2)证明你写出的等式的正确性．23. （2020·黑龙江龙东）先化简，再求值：（1），其中a ＝sin 30°．24. 约分：(1)15xy225y3z ； (2)12xy2＋9xyz 3x2y ； (3)m3－m 4m ＋4； (4)9a2＋24ab ＋16b23a ＋4b .25.x2－1x2－2x＋1先化简：xx＋3÷x2＋xx2＋6x＋9＋3x－3x2－1，再求当x＋1与x＋6互为相反数时代数式的值．26. 【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如:第一次:菜价3元/千克质量金额甲1千克3元乙1千克3元第二次:菜价2元/千克质量金额甲1千克元乙千克3元(1)完成上表;(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.(均价=总金额÷总质量)【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m，n，a，b的式子分别表示出甲、乙两次买菜的均价.比较的大小，并说明理由.【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1;如果水流速度为p时(p<v)，船顺水航行速度为(v+p)，逆水航行速度为(v-p)，所需时间为t2.请借鉴上面的研究经验，比较t1，t2的大小，并说明理由.2021中考数学尖子生培优训练分式及其运算-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A【解析】先通分，化成同分母分式，然后再进行减法运算，即a2a－1－(a＋1)＝a2a－1－（a＋1）（a－1）a－1＝a2－（a2－1）a－1＝1a－1.2. 【答案】A3. 【答案】C4. 【答案】B[解析] ==，=，只有选项B是最简分式.5. 【答案】A[解析] △＝a2－1a·1a－1＝（a＋1）（a－1）a·1a－1＝a＋1a.6. 【答案】D[解析]设山路全程为1，则货车上山所用时间为，下山所用时间为，货车上、下山的平均速度==，故选D.7. 【答案】D[解析]16－a2a2＋4a＋4÷a－42a＋4·a＋2a＋4＝－（a＋4）（a－4）（a＋2）2·2（a＋2）a－4·a＋2a＋4＝－2.8. 【答案】D[解析] ∵=，∴=6.∴a+=5.∴a+2=25，即a2++2=25.∴=a2++1=24.∴=.9. 【答案】B【解析】本题考查了分式的除法、因式分解，解答过程如下：x x x 214222-÷-=)2(4222x x x -⋅-=)2()2)(2(2-⋅-+x x x x =22+x x .因此本题选B ．10. 【答案】-3[解析] 原式=-+---=+-.∵m+n -p=0，∴m -p=-n ，n -p=-m ，m+n=p. ∴原式=-1-1-1=-3.二、填空题（本大题共10道小题）11. 【答案】2 【解析】根据题意得⎩⎨⎧x －2＝02x ＋5≠0，解得x ＝2.12. 【答案】32 【解析】原式＝（a ＋b ）（a －b ）a （a －b ）＝a ＋b a ，∵a ＝2b≠0，∴原式＝2b ＋b 2b ＝32.13. 【答案】x ≠-1【解析】本题考查了分式有意义的条件.解答过程如下：∵15+x 有意义，∴x +1≠0，∴x 的取值范围是x ≠-1．14. 【答案】解：．故答案为：．15. 【答案】1x y-【解析】本题考查了分式的混合运算，涉及到因式分解、分式加减、分式乘除等考点．221y x x y x y ⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭=()()y x y x x y x y x y +-÷+-+=()()y x y x y x y y +⋅+-=1x y -，因此本题答案为1x y -．16. 【答案】10(x ＋1)(x －1) [解析] 因为x2－1＝(x ＋1)(x －1)，所以三个分式的最简公分母是10(x ＋1)(x －1)．17. 【答案】13【解析】222222()2()1.m n m n mnm m m m n m mn n m mm n m m m n m n +--=÷-+---=÷+=-⋅+=-+原式，把m +n =-3，代入，得原式=13.18. 【答案】1 [解析] 根据题意，得3m ＋2＝7－2m ，移项，得3m ＋2m ＝7－2， 合并同类项，得5m ＝5， 系数化为1，得m ＝1.19. 【答案】-[解析] S 1=-3a ，S 2==-，S 3==-3a ，S 4==-，…∴S 2020=-.20. 【答案】[解析]原式=1-+…+=1-=.三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】解:原式=·=. 当x=时，原式==+1.22. 【答案】思路分析：本题考查分式规律探究及分式运算，证明实质是分式的加减运算．这类问题的解题思维过程是：从特殊情况入手―→探索发现规律―→综合归纳―→猜想得出结论―→验证结论. 解题时要善于从所提供的数字信息中，寻找其共同之处．(1)解：猜想：n ×n n ＋1＝n －n n ＋1. (2)证明：右边＝n （n ＋1）－n n ＋1＝n 2n ＋1＝左边，即n ×n n ＋1＝n －nn ＋1.23. 【答案】解：当a ＝sin 30°时，所以a 原式••＝﹣124. 【答案】解：(1)15xy225y3z ＝5y2·3x 5y2·5yz ＝3x5yz.(2)12xy2＋9xyz 3x2y ＝3xy （4y ＋3z ）3xy·x ＝4y ＋3z x .(3)m3－m 4m ＋4＝m （m ＋1）（m －1）4（m ＋1）＝m （m －1）4.(4)9a2＋24ab ＋16b23a ＋4b ＝（3a ＋4b ）23a ＋4b ＝3a ＋4b.25. 【答案】解：原式＝x x ＋3·（x ＋3）2x （x ＋1）＋3（x －1）（x ＋1）（x －1）(2分)＝x ＋3x ＋1＋3x ＋1(3分) ＝x ＋6x ＋1.(4分) ∵由“x ＋1与x ＋6互为相反数”得(x ＋1)＋(x ＋6)＝0，解之得x ＝－3.5，(5分)∴原式＝－3.5＋6－3.5＋1＝2.5－2.5＝－1.(6分)26. 【答案】[解析](1)菜价2元/千克，买1千克菜的金额为2元;3元钱能买1.5千克菜. (2)根据“均价=总金额÷总质量”， 甲均价=(3+2)÷(1+1)=2.5(元/千克); 乙均价=(3+3)÷(1+1.5)=2.4(元/千克).【数学思考】类比(2)，甲均价=(am+bm)÷(m+m)=(元/千克);乙均价=(n+n)÷=(元/千克).再作差比较大小.【知识迁移】采用类比的方法，根据时间=路程÷速度得，t1=，t2=，t1-t2=<0.解:(1)2;1.5.(2)根据“均价=总金额÷总质量”，得=(3+2)÷(1+1)=2.5(元/千克);=(3+3)÷(1+1.5)=2.4(元/千克).【数学思考】=(am+bm)÷(m+m)=(元/千克);=(n+n)÷=(元/千克).===≥0，∴≥.【知识迁移】t1<t2，理由如下:t1=，t2=，t1-t2=-=<0，故t1<t2.。

2021年中考数学专题复习：图形的变化一、选择题（本大题共10道小题）1.在平面直角坐标系中，点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P1，点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则点P2的坐标是( )A．(－2，3) B．(－3，2)C．(2，－3) D．(3，－2)2. 下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A．等边三角形B．直角三角形C．平行四边形D．正方形3. 如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE=1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF=()A.B.C.5D.24. 如图，两个半圆分别以P，O为圆心，它们成中心对称，点A1，P，B1，B2，O，A2在同一条直线上，则对称中心为()A．A2P的中点B．A1B2的中点C．A1O的中点D．PO的中点5. 在数学课上，老师提出如下问题:如图，已知△ABC中，AB<BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得P A+PB=BC.下面是四名同学的作法，其中正确的是()6. 如图，△ABC中，点D在BC上，∠B=62°，∠C=53°，将点D分别以AB，AC所在直线为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF，则∠EAF的度数为()A.124°B.115°C.130°D.106°7.在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2对称……如此作下去，则△B2n A2n＋1B2n＋1(n是正整数)的顶点A2n＋1的坐标是( )A．(4n－1，3) B．(2n－1，3)C．(4n＋1，3) D．(2n＋1，3)8. 如图，点P在直线l外，以点P为圆心，大于点P到直线l的距离为半径画弧，交直线l于点A，B;保持半径不变，分别以点A，B为圆心画弧，两弧相交于点Q，则PQ⊥l.上述尺规作图的依据是()A.一条直线与两平行线中的一条垂直，必然与另一条直线也垂直B.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，两点确定一条直线C .与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线D .角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上9.如图，将△ABC 绕点B 逆时针旋转α，得到△EBD ，若点A 恰好在ED 的延长线上，则∠CAD 的度数为( )A ．90°－αB ．αC ．180°－αD ．2α10. 2020·河北模拟如图所示，A 1(1，3)，A 2(32，32)，A 3(2，3)，A 4(3，0)．作折线OA 1A 2A 3A 4关于点A 4中心对称的图形，得折线A 8A 7A 6A 5A 4，再作折线A 8A 7A 6A 5A 4关于点A 8中心对称的图形……以此类推，得到一个大的折线．现有一动点P 从原点O 出发，沿着折线以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t 秒．当t ＝2020时，点P 的坐标为( )A ．(1010，3)B ．(2020，32)C ．(2016，0)D ．(1010，32)二、填空题（本大题共7道小题）11.指出图中包含的平面图形：______________________________．(写出3个即可)12. 如图，一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形，则这个几何体表面积的大小为.13. 等腰三角形的两边长分别为6 cm，13 cm，其周长为________ cm.14.如图，将等边三角形AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点B在第一象限，将△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是_____ ___．15.如图，两块完全相同的含30°角的三角尺ABC和A′B′C′重合在一起，将三角尺A′B′C′绕其顶点C′逆时针旋转角α(0°<α≤90°)，有以下三个结论：①当α＝30°时，A′C 与AB的交点恰好为AB的中点；②当α＝60°时，A′B′恰好经过点B；③在旋转过程中，始终存在AA′⊥BB′.其中正确结论的序号是__________．16. 现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.17. (2019•黄冈)如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是__________．三、解答题（本大题共4道小题）18. 已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON.(1)依题意补全图;(2)求证:∠OMP=∠OPN;(3)点M关于点H的对称点为Q，连接QP.写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明.19.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D，E在边AB上，且∠DCE＝45°，BE＝2，AD＝3.将△BCE绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的图形，并求DE的长．20.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长．21. 如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．2021年 中考数学 专题复习：图形的变化-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A [解析] 点P(－4，2)向右平移7个单位长度得到点P 1(3，2)，点P 1绕原点逆时针旋转90°得到点P 2(－2，3)．故选A.2. 【答案】D3. 【答案】D[解析]由旋转的性质可知，△ADE ≌△ABF ，∴BF=DE=1，∴FC=6，∵CE=4，∴EF===2.故选:D .4. 【答案】D[解析] 因为P ，O 是对称点，所以PO 的中点是对称中心．5. 【答案】C[解析] ∵P A+PB=BC ，而PC+PB=BC ，∴P A=PC.∴点P 为线段AC 的垂直平分线与BC 的交点.显然只有选项C 符合题意.6. 【答案】C[解析] 连接AD ，如图.∵点D 分别以AB ，AC 所在直线为对称轴，画出对称点E ，F ，∴∠EAB=∠BAD ，∠F AC=∠CAD.∵∠B=62°，∠C=53°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-62°-53°=65°.∴∠EAF=2∠BAC=130°. 故选C .7. 【答案】C[解析] A 1(1，3)，A 2(3，－3)，A 3(5，3)，A 4(7，－3)，…，∴点A n 的坐标为⎩⎨⎧（2n －1，3）（n 为奇数），（2n －1，－3）（n 为偶数）.∵2n ＋1是奇数，∴点A 2n ＋1的坐标是(4n ＋1，3)．故选C.8. 【答案】C9. 【答案】C[解析] 由题意可得∠CBD ＝α，∠C ＝∠EDB.∵∠EDB ＋∠ADB ＝180°，∴∠C＋∠ADB＝180°.由四边形的内角和定理，得∠CAD＋∠CBD＝180°.∴∠CAD＝180°－∠CBD＝180°－α.故选C.10. 【答案】A二、填空题（本大题共7道小题）11. 【答案】圆、三角形、正方形、长方形(答案不唯一，从中任选三个即可)12. 【答案】15π+12[解析]由三视图可以看出这是一个残缺的圆柱，侧面是由一个曲面和两个长方形构成的，上、下底面是两个扇形，S侧=×2π×2×3+2×3+2×3=9π+12，S底面=2××π×22=6π.所以这个几何体的表面积为15π+12.13. 【答案】32 [解析] 由题意知，应分两种情况：(1)当腰长为6 cm时，三角形的三边长为6 cm，6 cm，13 cm，6＋6＜13，不能构成三角形；(2)当腰长为13 cm时，三角形的三边长为6 cm，13 cm，13 cm，能构成三角形，周长＝2×13＋6＝32(cm)．14. 【答案】(－2 3，－2) [解析] 过点B作BH⊥y轴于点H，如图．∵△OAB为等边三角形，A(0，4)，∴OH＝A H＝2，∠BOA＝60°，∴BH＝3OH＝2 3，∴点B的坐标为(2 3，2)．∵将△AOB绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，∴点B′的坐标是(－2 3，－2)．15. 【答案】①②③16. 【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作∠BAC的平分线AM，EF与AM相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.17. 【答案】14【解析】如图，作点关于的对称点，点关于DM的对称点．∵，∴，∴，∴，∵，∴为等边三角形，∵，∴的最大值为，故答案为：．三、解答题（本大题共4道小题）18. 【答案】解:(1)如图所示:(2)证明:在△OPM中，∠OMP=180°-∠POM-∠OPM=150°-∠OPM，∠OPN=∠MPN-∠OPM=150°-∠OPM，∴∠OMP=∠OPN.(3)过点P作PK⊥OA于点K，过点N作NF⊥OB于点F.∵∠OMP=∠OPN，∴∠PMK=∠NPF.在△NPF和△PMK中，∴△NPF≌△PMK(AAS)，∴PF=MK，∠PNF=∠MPK，NF=PK.在Rt△NFO和Rt△PKQ中，∴Rt△NFO≌Rt△PKQ(HL)，∴KQ=OF.设MK=y，PK=x，∵∠POA=30°，PK⊥OQ，∴OP=2x，∴OK=x，OM=x-y，∴OF=OP+PF=2x+y，MH=OH-OM=+1-(x-y)，KH=OH-OK=+1-x，∵M与Q关于点H对称，∴MH=HQ，∴KQ=KH+HQ=+1-x++1-x+y=2+2-2x+y，∵KQ=OF，∴2 +2-2x+y=2x+y，整理得2+2=x(2+2)，∴x=1，即PK=1，∴OP=2.19. 【答案】解：如图，将△BCE绕点C逆时针旋转90°，得到△ACF，连接DF.由旋转的性质，得CE＝CF，AF＝BE＝2，∠ACF＝∠BCE，∠CAF＝∠B＝45°.∵∠ACB＝90°，∠DCE＝45°，∴∠DCF＝∠ACD＋∠ACF＝∠ACD＋∠BCE＝∠ACB－∠DCE＝90°－45°＝45°，∴∠DCE ＝∠DCF.⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ，∠DCE ＝∠DCF ，CD ＝CD ，在△CDE 和△CDF 中， ∴△CDE ≌△CDF(SAS)，∴DE ＝DF.∵∠DAF ＝∠BAC ＋∠CAF ＝45°＋45°＝90°，＝132＋22＝32＋BE 2＝AD 2DE ∴，2＋AF 2＝AD 2DF ∴ADF 是直角三角形，∴△，∴DE ＝13.20. 【答案】(1)如解图①，∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，解图①∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ， ∴S △AEF ＝S △DEF ，∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ， ∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴，∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴，∴在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2， 即AB ＝42＋32＝5， ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52；(2)①四边形AEMF 是菱形． 证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ， 又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ， ∴∠CAB ＝∠CEM ， ∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ， ∴四边形AEMF 是菱形，解图②②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ， ∴EC AC ＝EM AB ， ∵AB ＝5，∴解得x ＝209，∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169， 在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM ＝＝（209）2－（169）2＝43， ∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S＝4S △AOE ＝2OE·AO ，在Rt △AOE 和Rt △ACM 中，∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ， ∴OE AO ＝CM AC ，∵CM ＝43，AC ＝4， ∴AO ＝3OE ， ∴S ＝6OE 2， 又∵S＝AE ·CM ，∴6OE2＝209×43，解得OE＝2109，∴EF＝2OE＝410 9.21. 【答案】(1)①如图2，当E在OA上时，由可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE＝．②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入可知，点E的坐标为，AE＝，BE＝．此时S＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE－S△OCD＝．(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得．所以重叠部分菱形DMEN的面积为．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为，如图7所示．图5 图6 图7。

2021年江苏省中考数学真题分类汇编：图形的变化一．选择题（共10小题）1．（2021•泰州）如图所示几何体的左视图是（）A．B．C．D．2．（2021•常州）观察如图所示脸谱图案，下列说法正确的是（）A．它是轴对称图形，不是中心对称图形B．它是中心对称图形，不是轴对称图形C．它既是轴对称图形，也是中心对称图形D．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形3．（2021•无锡）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2021•盐城）如图是由4个小正方形体组合成的几何体，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．5．（2021•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D1、C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG＝64°，则∠EGB等于（）A．128°B．130°C．132°D．136°6．（2021•南京）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A．B．C．D．7．（2021•苏州）如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（）A．B．C．D．8．（2021•南通）如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（）A．三棱柱B．圆柱C．三棱锥D．圆锥9．（2021•宿迁）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB ＝8，AD＝4，则MN的长是（）A．B．2C．D．410．（2021•连云港）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）11．（2021•常州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA＝．12．（2021•徐州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且＝＝，△DBE与四边形ADEC的面积的比．13．（2021•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝．14．（2021•苏州）如图，射线OM，ON互相垂直，OA＝8，点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线l上，连接AB，AB＝5．将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点B′恰好落在射线ON上，则点A′到射线ON的距离d ＝．15．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为海里（结果保留根号）．16．（2021•常州）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A 作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则△ABC 的面积是．17．（2021•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE＝时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．18．（2021•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD ＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是．19．（2021•连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则＝．20．（2021•南京）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱A′B′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为．三．解答题（共10小题）21．（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝P A•PB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AB＝3P A，求的值．22．（2021•南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）23．（2021•泰州）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）24．（2021•盐城）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）25．（2021•徐州）如图，斜坡AB的坡角∠BAC＝13°，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板．前排光伏板的一端位于点A，过其另一端D安装支架DE，DE所在的直线垂直于水平线AC，垂足为点F，E为DF与AB的交点．已知AD＝100cm，前排光伏板的坡角∠DAC＝28°．（1）求AE的长（结果取整数）；（2）冬至日正午，经过点D的太阳光线与AC所成的角∠DGA＝32°，后排光伏板的前端H在AB上．此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则EH的最小值为多少（结果取整数）？参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45．锐角A13°28°32°三角函数sin A0.220.470.53cos A0.970.880.85tan A0.230.530.6226．（2021•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．（1）求证：∠PBA＝∠OBC；（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．27．（2021•宿迁）一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．28．（2021•连云港）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知AB＝4.8m，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即AD＝0.4m．海面与地面AD平行且相距1.2m，即DH＝1.2m．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角∠BCH＝37°，海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角∠BAD＝22°．求点O到岸边DH的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角∠BAD＝53°，此时鱼线被拉直，鱼线BO＝5.46m，点O恰好位于海面．求点O到岸边DH的距离．（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）29．（2021•苏州）如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1＝PG，PP2＝PE，连接P1H、P2F，P1H 与P2F相交于点Q．已知AG：GD＝AE：EB＝1：2，设AG＝a，AE＝b．（1）四边形EBHP的面积四边形GPFD的面积（填“＞”、“＝”或“＜”）（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求的值．30．（2021•常州）在平面直角坐标系xOy中，对于A、A′两点，若在y轴上存在点T，使得∠ATA′＝90°，且TA＝TA′，则称A、A′两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点M（﹣2，0）、N（﹣1，0），点Q（m，n）在一次函数y＝﹣2x+1的图象上．（1）①如图，在点B（2，0）、C（0，﹣1）、D（﹣2，﹣2）中，点M的关联点是（填“B”、“C”或“D”）；②若在线段MN上存在点P（1，1）的关联点P′，则点P′的坐标是；（2）若在线段MN上存在点Q的关联点Q′，求实数m的取值范围；（3）分别以点E（4，2）、Q为圆心，1为半径作⊙E、⊙Q．若对⊙E上的任意一点G，在⊙Q上总存在点G′，使得G、G′两点互相关联，请直接写出点Q的坐标．2021年江苏省中考数学真题分类汇编：图形的变化参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2021•泰州）如图所示几何体的左视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【分析】根据左视图是从左面看到的图形判定则可．【解答】解：从左边看，是一列两个矩形．故选：C．【点评】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，正确掌握观察角度是解题关键．2．（2021•常州）观察如图所示脸谱图案，下列说法正确的是（）A．它是轴对称图形，不是中心对称图形B．它是中心对称图形，不是轴对称图形C．它既是轴对称图形，也是中心对称图形D．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【考点】轴对称图形；中心对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可．【解答】解：该图是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记相关定义是解答本题的关键．3．（2021•无锡）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形；中心对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．（2021•盐城）如图是由4个小正方形体组合成的几何体，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．【考点】展开图折叠成几何体；简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【分析】根据主视图的意义画出相应的图形，再进行判断即可．【解答】解：该组合体的主视图如下：故选：A．【点评】本题考查简单组合体的主视图，理解主视图的意义是正确判断的前提．5．（2021•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D1、C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠EFG＝64°，则∠EGB等于（）A．128°B．130°C．132°D．136°【考点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】在矩形ABCD中，AD∥BC，则∠DEF＝∠EFG＝64°，∠EGB＝∠DEG，又由折叠可知，∠GEF＝∠DEF，可求出∠DEG的度数，进而得到∠EGB的度数．【解答】解：如图，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFG＝64°，∠EGB＝∠DEG，由折叠可知∠GEF＝∠DEF＝64°，∴∠DEG＝128°，∴∠EGB＝∠DEG＝128°，故选：A．【点评】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质等，掌握折叠前后角度之间的关系是解题的基础．6．（2021•南京）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A．B．C．D．【考点】正方形的性质；中心投影．【专题】投影与视图；空间观念；几何直观．【分析】根据正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，则在地面上的投影关于对角线对称，因为灯在纸板上方，所以上方投影比下方投影要长．【解答】解：根据正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，∴在地面上的投影关于对角线对称，∵灯在纸板上方，∴上方投影比下方投影要长，故选：D．【点评】本题主要考查中心投影的知识，弄清题目中光源和纸板的相对位置是解题的关键．7．（2021•苏州）如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt △A′O′B，则下列四个图形中正确的是（）A．B．C．D．【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】本题主要考查旋转的性质，旋转过程中图形形状和大小都不发生变化，根据旋转性质判断即可．【解答】解：A选项是原图形的对称图形，故A不正确；B选项是Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，故B正确；C选项旋转后的对应点错误，即形状发生了改变，故C不正确；D选项是按逆时针方向旋转90°，故D不正确；故选：B．【点评】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握并应用旋转的性质是解题的关键，重点注意旋转的方向和角度．8．（2021•南通）如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（）A．三棱柱B．圆柱C．三棱锥D．圆锥【考点】由三视图判断几何体．【专题】投影与视图；空间观念．【分析】从正视图以及左视图都为一个长方形，俯视图三角形来看，可以确定这个几何体为一个三棱柱．【解答】解：根据三视图可以得出立体图形是三棱柱，故选：A．【点评】本题考查了由几何体的三种视图判断出几何体的形状，应从所给几何体入手分析得出是解题关键．9．（2021•宿迁）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，折痕为MN，已知AB ＝8，AD＝4，则MN的长是（）A．B．2C．D．4【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】由折叠的性质可得BM＝MD，BN＝DN，∠DMN＝∠BMN，可证四边形BMDN 是菱形，在Rt△ADM中，利用勾股定理可求BM的长，由菱形的面积公式可求解．【解答】解：如图，连接BD，BN，∵折叠矩形纸片ABCD，使点B落在点D处，∴BM＝MD，BN＝DN，∠DMN＝∠BMN，∵AB∥CD，∴∠BMN＝∠DNM，∴∠DMN＝∠DNM，∴DM＝DN，∴DN＝DM＝BM＝BN，∴四边形BMDN是菱形，∵AD2+AM2＝DM2，∴16+AM2＝（8﹣AM）2，∴AM＝3，∴DM＝BM＝5，∵AB＝8，AD＝4，∴BD＝＝＝4，∵S菱形BMDN＝×BD×MN＝BM×AD，∴4×MN＝2×5×4，∴MN＝2，故选：B．【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形判定和性质，勾股定理，求出BM的长是解题的关键．10．（2021•连云港）如图，△ABC中，BD⊥AB，BD、AC相交于点D，AD＝AC，AB＝2，∠ABC＝150°，则△DBC的面积是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【专题】三角形；几何直观．【分析】过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，可得△ABD∽△CED，可得＝＝，由AD＝AC，AB＝2，可求出CE的长，又∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，则∠CBD＝60°，解直角△BCE，可分别求出BE和BD的长，进而可求出△BCD的面积．【解答】解：如图，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，则∠E＝90°，∵BD⊥AB，CE⊥BD，∴AB∥CE，∠ABD＝90°，∴△ABD∽△CED，∴＝＝，∵AD＝AC，∴＝，∴＝＝＝，则CE＝，∵∠ABC＝150°，∠ABD＝90°，∴∠CBE＝60°，∴BE＝CE＝，∴BD＝BE＝，∴S△BCD＝•BD•CE＝×＝．故选：A．【点评】本题主要考查三角形的面积，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等，看到面积或特殊角作垂线是常见的解题思路，也是解题关键．二．填空题（共10小题）11．（2021•常州）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为1的正方形，则sin∠FBA＝．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】连接AF，过点F作FG⊥AB于G，由四边形CDFE是边长为1的正方形可得AD＝2，BE＝3，根据勾股定理求出AB＝5，AF＝，BF＝，设BG＝x，利用勾股定理求出x＝3，可得FG＝1，即可得sin∠FBA的值．【解答】解：连接AF，过点F作FG⊥AB于G，∵四边形CDFE是边长为1的正方形，∴CD＝CE＝DF＝EF＝1，∠C＝∠ADF＝90°，∵AC＝3，BC＝4，∴AD＝2，BE＝3，∴AB＝＝5，AF＝＝，BF＝＝，设BG＝x，∵FG2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，∴5﹣（5﹣x）2＝10﹣x2，解得：x＝3，∴FG＝＝1，∴sin∠FBA＝＝．故答案为：．【点评】此题综合考查了正方形、锐角三角函数的定义及勾股定理．根据勾股定理求出BG的长是解题的关键．12．（2021•徐州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BA、BC上，且＝＝，△DBE与四边形ADEC的面积的比．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】三角形；图形的相似；推理能力；应用意识．【分析】先由＝＝，设AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，证明＝，又∠B＝∠B，可证明△DBE～△ABC．进而可得相似比为，面积比＝＝，从而可得S△DBE：S四边形ADEC＝4：21．【解答】解：∵＝＝，则设AD＝3m，DB＝2m，CE＝3k，EB＝2k，∴＝，＝，∴＝，又∠B＝∠B，∴△DBE～△ABC．相似比为，面积比＝＝，设S△DBE＝4a，则S△ABC＝25a，∴S四边形ADEC＝25a﹣4a＝21a，∴S△DBE：S四边形ADEC＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明△DBE～△ABC得出相似比是解题的关键．13．（2021•无锡）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，点E在线段AC上，且AE＝1，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，AF＝．【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】由折叠的性质可得AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EG＝3，由锐角三角函数可求EH，HF的长，在Rt△AHF 中，由勾股定理可求AF．【解答】解：如图，过点F作FH⊥AC于H，∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，∴AB＝FG＝2，AE＝EF＝1，∠BAC＝∠EFG＝90°，∴EG＝＝＝3，∵sin∠FEG＝，∴，∴HF＝，∵cos∠FEG＝，∴，∴EH＝，∴AH＝AE+EH＝，∴AF＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换，考查了折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，构造直角三角形是解题的关键．14．（2021•苏州）如图，射线OM，ON互相垂直，OA＝8，点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线l上，连接AB，AB＝5．将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点B′恰好落在射线ON上，则点A′到射线ON的距离d＝．【考点】线段垂直平分线的性质；旋转的性质．【专题】综合题；推理填空题；平移、旋转与对称；应用意识．【分析】设OA的垂直平分线与OA交于C，将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，C随之旋转到C'，过A'作A'H⊥ON于H，过C'作C'D⊥ON于D，过A'作A'E⊥DC'于E，由OA＝8，AB＝5，BC是OA的垂直平分线，可得OB＝5，OC＝AC ＝4，BC＝3，cos∠BOC＝＝，sin∠BOC＝＝，证明∠BOC＝∠B'C'D＝∠C'A'E，从而在Rt△B'C'D中求出C'D＝，在Rt△A'C'E中，求出C'E＝，得DE＝C'D+C'E ＝，即可得到A'到ON的距离是．【解答】解：设OA的垂直平分线与OA交于C，将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，C随之旋转到C'，过A'作A'H⊥ON于H，过C'作C'D⊥ON于D，过A'作A'E⊥DC'于E，如图：∵OA＝8，AB＝5，BC是OA的垂直平分线，∴OB＝5，OC＝AC＝4，BC＝3，cos∠BOC＝＝，sin∠BOC＝＝，∵线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，C随之旋转到C'，∴B'C'＝BC＝3，A'C'＝AC＝4，∠BOC＝∠B'OC'，∵∠B'C'D＝∠B'C'O﹣∠DC'O＝90°﹣∠DC'O＝∠B'OC'，∴cos∠B'C'D＝，Rt△B'C'D中，＝，即＝，∴C'D＝，∵AE∥ON，∴∠B'OC'＝∠C'A'E，∴sin∠C'AE＝sin∠B'OC'＝sin∠BOC＝，Rt△A'C'E中，＝，即＝，∴C'E＝，∴DE＝C'D+C'E＝，而A'H⊥ON，C'D⊥ON，A'E⊥DC'，∴四边形A'EDH是矩形，∴A'H＝DE，即A'到ON的距离是．故答案为：．方法二：过A作AC⊥OB于C，如图：由旋转可知：点A′到射线ON的距离d＝AC，∵OB•AC＝OA•BD，∴AC＝＝．【点评】本题考查线段的垂直平分线及旋转变换，涉及三角函数及矩形等知识，解题的关键是在Rt△B'C'D中和Rt△A'C'E中，求出求出C'D＝，C'E＝．15．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为25海里（结果保留根号）．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】过点P作PC⊥AB，在Rt△APC中由锐角三角函数定义求出PC的长，再在Rt △BPC中由锐角三角函数定义求出PB的长即可．【解答】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，P A＝50海里，在Rt△APC中，cos∠APC＝，∴PC＝P A•cos∠APC＝50×＝25（海里），在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，∴PB＝＝＝25（海里），故答案为：25．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及锐角三角函数定义；熟练掌握锐角三角函数定义，求出PC的长是解题的关键．16．（2021•常州）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，过点A 作AF⊥DE，垂足为F，将△ABC分割后拼接成矩形BCHG．若DE＝3，AF＝2，则△ABC 的面积是12．【考点】数学常识；三角形的面积；三角形中位线定理；矩形的判定；图形的剪拼．【专题】作图题；应用意识．【分析】根据图形的拼剪，求出BC以及BC边上的高即可解决问题．【解答】解：由题意，BG＝CH＝AF＝2，DG＝DF，EF＝EH，∴DG+EH＝DE＝3，∴BC＝GH＝3+3＝6，∴△ABC的边BC上的高为4，∴S△ABC＝×6×4＝12，故答案为：12．【点评】本题考查图形的拼剪，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．17．（2021•盐城）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E、F分别是边BC、CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE＝或时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形．【考点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】分类讨论；推理能力．【分析】设BE＝x，则EC＝4﹣x，由翻折得：EC′＝EC＝4﹣x．当AE＝EC′时，由勾股定理得：32+x2＝（4﹣x）2；当AE＝AC’时，作AH⊥EC’，由∠AEF＝90°，EF平方∠CEC′可证得∠AEB＝∠AEH，则△ABE≌△AHE，所以BE＝HE＝x，由三线合一得EC′＝2EH，即4﹣x＝2x，解方程即可．【解答】解：设BE＝x，则EC＝4﹣x，由翻折得：EC′＝EC＝4﹣x，当AE＝EC′时，AE＝4﹣x，∵矩形ABCD，∴∠B＝90°，由勾股定理得：32+x2＝（4﹣x）2，解得：，当AE＝AC′时，如图，作AH⊥EC′∵EF⊥AE，∴∠AEF＝∠AEC′+∠FEC′＝90°，∴∠BEA+∠FEC＝90°，∵△ECF沿EF翻折得△ECF，∴∠FEC′＝∠FEC，∴∠AEB＝∠AEH，∵∠B＝∠AHE＝90°，AH＝AH，∴△ABE≌△AHE（AAS），∴BE＝HE＝x，∵AE＝AC′时，作AH⊥EC′，∴EC′＝2EH，即4﹣x＝2x，解得，综上所述：BE＝或．故答案为：或．【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，涉及到方程思想和分类讨论思想．当AE＝AC′时如何列方程，有一定难度．18．（2021•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD ＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是．【考点】平行线分线段成比例．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．【分析】连接DE．首先证明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S＝S△ABD，求出△ABD面积的最大值即可解决问题．△AEF【解答】解：连接DE．∵CD＝2BD，CE＝2AE，∴＝＝2，∴DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴＝＝，∴＝＝，∵DE∥AB，∴S△ABE＝S△ABD，∴S△AEF＝S△BDF，∴S△AEF＝S△ABD，∵BD＝BC＝，∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值＝××4＝，∴△AEF的面积的最大值＝×＝，故答案为：【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是证明DE∥AB，推出S△AEF＝S△ABD，属于中考常考题型．19．（2021•连云港）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3FE，则＝．【考点】平行线分线段成比例．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】过点E作EG∥DC交AD于G，可得△AGE∽△ADC，所以，得到DC＝2GE；再根据△GFE∽△DFB，得＝＝，所以，即＝．【解答】解：如图，∵BE是△ABC的中线，∴点E是AC的中点，∴＝，过点E作EG∥DC交AD于G，∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，∴△AGE∽△ADC，∴，∴DC＝2GE，∵BF＝3FE，∴，∵GE∥BD，∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，∴△GFE∽△DFB，∴＝＝，∴，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点E作EG∥DC，构造相似三角形是解题的关键．20．（2021•南京）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱A′B′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为．【考点】平行四边形的性质；旋转的性质；解直角三角形的应用．【专题】三角形；解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AB′于点N，过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G．BM＝B′M＝，由勾股定理可得，AM＝＝，由等面积法可得，BN＝，由勾股定理可得，AN＝＝＝，由题可得，△AMB∽△EGC，△ANB∽△B′GE，则＝＝，＝＝，设CG＝a，则EG＝a，B′G＝3+a，则＝，解得a＝．最后由勾股定理可得，EC＝＝＝．【解答】解：法一、如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点B作BN⊥AB′于点N，过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G．由旋转可知，AB＝AB′＝3，∠ABB′＝∠AB′C′，∴∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，∵BB′＝1，AM⊥BB′，∴BM＝B′M＝，∴AM＝＝，∵S△ABB′＝＝，∴××1＝•BN×3，则BN＝，∴AN＝＝＝，∵AB∥DC，∴∠ECG＝∠ABC，∵∠AMB＝∠EGC＝90°，∴△AMB∽△EGC，∴＝＝＝，设CG＝a，则EG＝a，∵∠ABB′+∠AB′B+∠BAB′＝180°，∠AB′B+∠AB′C′+∠C′B′C＝180°，又∵∠ABB′＝∠AB′B＝∠AB′C′，∴∠BAB′＝∠C′B′C，∵∠ANB＝∠EGC＝90°，∴△ANB∽△B′GE，∴＝＝＝，∵BC＝4，BB′＝1，∴B′C＝3，B′G＝3+a，∴＝，解得a＝．∴CG＝，EG＝，∴EC＝＝＝．故答案为：．法二、如图，连接DD'，由旋转可知，∠BAB′＝∠DAD′，AB′＝AB＝3，AD′＝AD＝4，∴△BAB′∽△DAD′，∴AB：BB′＝AD：DD′＝3：1，∠AD′D＝∠AB′B＝∠B，∴DD′＝，又∵∠D′＝∠AB′C′＝∠B，∠B＝∠AB′B，∴∠D′＝∠B，即点D′，D，C′在同一条直线上，∴DC′＝，又∠C′＝∠ECB′，∠DEC′＝∠B′EC，∴△CEB’∽△C'ED，∴B′E：DE＝CE：C′E＝B′C：DC′，即B′E：DE＝CE：C′E＝3：，设CE＝x，B'E＝y，∴x：（4﹣y）＝y：（3﹣x）＝3：，∴x＝．故答案为：．【点评】本题主要考考查平行四边形的性质，等腰三角形三线合一，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的应用等，构造正确的辅助线是解题关键．三．解答题（共10小题）21．（2021•盐城）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝P A•PB．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若AB＝3P A，求的值．【考点】圆周角定理；点与圆的位置关系；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力．【分析】（1）由PC2＝P A•PB得，可证得△P AC∽△PCB，根据相似三角形的性质得∠PCA＝∠B，根据圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠CAB+∠B＝90°，由OA＝OC 得∠CAB＝∠OCA，等量代换可得∠PCA+∠OCA＝90°，即OC⊥PC，即可得出结论；（2）由AB＝3P A可得PB＝4P A，OA＝OC＝1.5P A，根据勾股定理求出PC＝2P A，根据相似三角形的性质即可得出的值．【解答】（1）证明：连接OC，∵PC2＝P A•PB，∴，∵∠P＝∠P，∴△P AC∽△PCB，∴∠PCA＝∠B，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠B＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠OCA，∴∠PCA+∠OCA＝90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝3P A，∴PB＝4P A，OA＝OC＝1.5P A，PO＝2.5P A，∵OC⊥PC，∴PC＝＝2P A，∵△P AC∽△PCB，∴＝＝＝．【点评】本题考查三角形相似的判定与性质，考查切线的判定，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理及相似三角形的判定等知识点的综合运用．22．（2021•南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，由已知△BCE是等腰直角三角形，设CE＝x，则BE＝x，DE＝（80﹣x）m，在Rt△BDE中，可得＝1.5，解得BE＝CE＝48m，在Rt△ACD中，解得AC＝28m，根据四边形ACEF是矩形，可得AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，BF＝20m，即可在Rt△ABF中，求出AB＝＝52（m）【解答】解：过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，如图：∵∠BCD＝45°，∴△BCE是等腰直角三角形，设CE＝x，则BE＝x，∵CD＝80m，∴DE＝（80﹣x）m，Rt△BDE中，∠BDC＝56°19'，∴tan56°19'＝，即＝1.5，解得x＝48（m），∴BE＝CE＝48m，Rt△ACD中，∠ADC＝19°17′，CD＝80m，∴tan19°17'＝，即＝0.35，解得AC＝28m，∵∠ACD＝90°，BE⊥CD于E，AF⊥BE，∴四边形ACEF是矩形，∴AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，∴BF＝BE﹣EF＝20m，Rt△ABF中，AB＝＝＝52（m），答：A，B两点之间的距离是52m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，涉及勾股定理、矩形判定及性质等知识，解题的关键是适当添加辅助线，构造直角三角形．23．（2021•泰州）如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系分别求出DE，FG 即可．【解答】解：如图，过点B、C分别作CE⊥DG，BF⊥DG垂足为E、F，延长CB交AG 于点H，由题意可知，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，BC＝EF＝30m，在Rt△ABH中，∠α＝30°，AB＝50m，∴BH＝AB＝25（m）＝FG，在Rt△DCE中，∠DCE＝19°30′，CD＝180m，∴DE＝sin∠DCE•CD≈0.33×180＝59.4（m），∴DG＝DE+EF+FG＝59.4+30+25＝114.4≈114（m），答：山顶D的高度约为114m．【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键..24．（2021•盐城）某种落地灯如图1所示，AB为立杆，其高为84cm；BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为54cm；DE为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度．支杆BC与悬杆DE之间的夹角∠BCD为60°．（1）如图2，当支杆BC与地面垂直，且CD的长为50cm时，求灯泡悬挂点D距离地面的高度；（2）在图2所示的状态下，将支杆BC绕点B顺时针旋转20°，同时调节CD的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点D到地面的距离为90cm，求CD的长．（结果精确到1cm，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）。

2021年九年级数学中考一轮复习《图形变化》培优提升测评（附答案）1．如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝2：1，且BF＝2．则DF的长为（）A．4B．3C．4D．62．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，以CD为边在矩形外部作△CDE，且S△CDE＝9，连接BE，则BE+DE的最小值为（）A．18B．C．10D．3．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E 处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则sin∠AFG的值为（）A．B．C．D．4．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点E是AB中点，将△CAE沿着直线CE翻折，得到△CDE，连接AD，则线段AD的长等于（）A．8B．C．D．105．如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝BC，若AD＝2，CD＝1，则BD的值为（）A．B．2C．D．36．如图，等腰△ABC中，∠BAC＝120°，点D在边BC上，等腰△ADE绕点A顺时针旋转30°后，点D落在边AB上，点E落在边AC上，若AE＝2cm，则四边形ABDE的面积是多少（）A．4cm B．cm C．2cm D．4cm7．矩形ABCD中，AB＝3，CB＝2，点E为AB的中点，将矩形右下角沿CE折叠，使点B 落在矩形内部点F位置，如图所示，则AF的长度为（）A．B．2C．D．8．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC，点O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，点C在x轴正半轴上，OA＝4，OC＝6，点E为OC的中点，将△OAE沿AE翻折，使点O落在点O′处，作直线CO'，则直线CO'的解析式为（）A．y＝﹣x+6B．y＝﹣x+8C．y＝﹣x+10D．y＝﹣x+89．如图所示，点A、D在以BC为直径的半圆上，D是弧的中点，AC与BD交于点E．若AE＝3，CD＝2，则BC等于（）A．6B．8C．10D．1210．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB＝AC，AD交BC于点E，AE＝4，ED＝4，则AB的长为（）A．4B．C．D．11．如图，△ABC是等边三角形，矩形DEFG的顶点D在BC边上，且BD＝3CD＝3，DE ＝AB＝2DG，连接AG、AE、AF，若将矩形DEFG绕点D旋转一周，当AG+AF最小时，则AE＝．12．《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何？”其意思是：如图，已知正方形小城ABCD，点E，G分别为CD，AD的中点，EF⊥CD，GH⊥AD，点F，D，H在一条直线上，EF ＝30步，GH＝750步．问正方形小城ABCD的边长是多少？该问题的答案是．13．在△ABC中，AD⊥BC于点D，AC＝3+，∠ABC＝60°，∠C＝45°，现将△ABD 沿着AD翻折，得到△ADE，过D作DF⊥AC于点F，交AE于点H，连BH，则BH2的值是．14．已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（6，0）、C（0，4），点P在BC边上运动，过P作PQ⊥OP，交AB边于Q，则AQ的最小值为．15．操作：如图，已知正方形纸片ABCD的边长为10，将正方形纸片折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，当P刚好位于DP＝DC时，△EDP与△PCG的周长之比为．16．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠得到对应的△BFE，且点C的对应点F落在AD上．若tan∠DFE＝，BC＝3，则CE＝．17．如图，正方形ABCD的边长为4，AE＝EB，MN＝2，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM＝时，△ADE与△CMN相似．18．如图，正方形ABCD的面积为S，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．19．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为．20．如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+4交矩形OACB于F与G，交x轴于D，交y轴于E．若∠FOG＝45°，求矩形OACB的面积．21．如图，线段AB＝16，以AB为直径的半圆上有一点C，连接BC并延长到点D，使DC ＝2BC，连接OD、AC交于点E，当∠B＝2∠D时，线段OE的长为．22．如图，正方形ABCD中，AB＝4，E是边AD上一点，将△EDC沿EC翻折，点D的对应点D′落在正方形内部，若△AD′E恰是以D′E为腰的等腰三角形，那么DE的长为．23．如图，△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝120°，E点在AB上且AE＝2BE，点F在线段BC上，过F作EF的垂线，交射线AC于G，当Rt△EFG的一条直角边与△ABC的一边平行时，则AG＝．24．已知Rt△ABC和Rt△DBE，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，DB＝EB，CE所在的直线交AD于点F．（1）如图1，若点D在△ABC外，点E在AB边上，求证：AD＝CE，AD⊥CE．（2）若将图1中的△DBE绕点B顺时针旋转，使点E在△ABC内部，如图2，求证：AD＝CE，AD⊥CE．（3）若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转，使点D、E都在△ABC外部，如图3，请直接写出AD和CE的数量和位置关系．25．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是；NB与MC的数量关系是；（2）如图2，点E是AB延长线上一点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝7，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的一点，C1P＝，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q，则△A1B1Q的面积是．26．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当△AOD是直角三角形且∠ADO＝90°时，求a的度数；（3）当a＝110°或125°或140°时，判断△AOD的形状，请选择其中一种情况说明理由．27．如图，平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0）、C（﹣3，0）．（1）过B作直线MN⊥AB，P为线段OC上的一动点，AP⊥PH交直线M于点H，证明：P A＝PH．（2）在（1）的条件下，若在点A处有一个等腰Rt△APQ绕点A旋转，且AP＝PQ，∠APQ＝90°，连接BQ，点G为BQ的中点，试猜想线段OG与线段PG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．28．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：∵AE：BE＝2：1，∴设AE＝2a，BE＝a，则AB＝3a，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝3a，AB∥CD，∴△BEF∽△DCF，∴＝，∵BE＝a，CD＝3a，BF＝2，∴＝，解得：DF＝6，故选：D．2．解：如图所示，过点E作CD平行线FG，作D关于FG的对称点D'，连接D'E，则DE ＝D'E，∴BE+DE＝BE+ED'，当B，E，D'在同一直线上时，BE+DE的最小值等于线段BD'的长，∵S△CDE＝9，AB＝CD＝6，∴×6×DF＝9，∴DF＝3，∴DD'＝2DF＝6，AD'＝2+6＝8，又∵AB＝6，∠A＝90°，∴Rt△ABD'中，BD'＝＝＝10，∴BE+DE的最小值为10，故选：C．3．解：连接AE，BE，BD，由∠C＝∠BAD＝60°，CD＝CB，可得等边△CBD，∵DE＝CE，∴BE⊥CD，∴∠ABE＝90°，∴∠EAF+∠AEB＝90°，由轴对称可得，AE⊥GF，∴∠EAF+∠GF A＝90°，∴∠GF A＝∠AEB，设CE＝1，则BC＝2，BE＝，AB＝2，∴AE＝＝，∴sin∠AFG＝sin∠AEB＝＝．故选：B．4．解：如图，延长CE交AD于F，过B作BG⊥CE于G，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∵∠ACB＝90°，CE为中线，∴CE＝AE＝BE＝5，S△BCE＝S△ABC，∴CE×BG＝×AC×BC，即BG＝＝，由折叠可得，CF垂直平分AD，∴∠AFE＝90°＝∠BGE，又∵∠AEF＝∠BEG，AE＝BE，∴△AEF≌△BEG（AAS），∴AF＝BG＝，∴AD＝2AF＝，故选：C．5．解：连接AC，BD，作DH⊥BC交BC的延长线于H．∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∵AD＝2，CD＝1，∴AC＝＝，∵BC＝BC，∴AB＝BC＝，∵∠ADC+∠ABC＝180°，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠DAC＝∠DBH，∴tan∠DAC＝tan∠DBH＝＝，设DH＝x，则BH＝2x，BD＝x，CH＝2x﹣，在Rt△CDH中，则有12＝x2+（2x﹣）2，解得x＝或（舍弃），∴BD＝x＝，故选：C．6．解：如图，作AH⊥BC于H．由题意：∠EAD＝∠BAC＝120°，∠EAC＝∠C＝30°，∴AE∥BC，∵∠ADH＝∠B+∠BAD，∠B＝∠BAD＝30°，∴∠ADH＝60°，BD＝AD＝AE＝2cm，∴AH＝（cm），∵BD＝AE，BD∥AE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴S平行四边形ABCD＝BD•AH＝2（cm2），故选：C．7．解：如图中，作EM⊥AF，则AM＝FM，∵AE＝EB＝EF，∴∠EAF＝∠EF A，∵∠CEF＝∠CEB，∠BEF＝∠EAF+∠EF A，∴∠BEC＝∠EAF，∴AF∥EC，在Rt△ECB中，EC＝＝，∵∠AME＝∠B＝90°，∠EAM＝∠CEB，∴△CEB∽△EAM，∴＝，∴＝，∴AM＝，∴AF＝2AM＝，故选：A．8．解：连接OO'交AE与点M，过点O'作O'H⊥OC于点H，∴点E为OC中点，∴OE＝EC＝OC＝3，在Rt△AOE中，OE＝3，AO＝4，∴AE＝＝5，∵将△OAE沿AE翻折，使点O落在点O′处，∴AE垂直平分OO'，∴OM＝O'M，在Rt△AOE中，∵S△AOE＝AO•OE＝AE•OM，∴×3×4＝×5×OM，∴OM＝，∴OO'＝，∵∠O'OH+∠AOM＝90°，∠MAO+∠AOM＝90°，∴∠MAO＝∠O'OH，又∵∠AOE＝∠OHO'＝90°，∴△AOE∽△OHO'，∴＝＝，即＝＝，∴OH＝，O'H＝，∴O'的坐标为（，），将点O'（，），C（6，0）代入y＝kx+b，得，，解得，k＝﹣，b＝8，∴直线CO'的解析式为y＝﹣x+8，故选：D．9．解：连接OD交AC于点F，延长BA、CD交于点G，∵D是弧AC的中点，∴∠ACD＝∠ABD＝∠CBD，又∵BC为直径，∴∠BDC＝90，∴△BCG为等腰三角形，∴BD平分CG，∴CG＝2CD＝4，在Rt△CDE和Rt△CAG中，由于∠ACD是公共角，所以Rt△CDE∽Rt△CAG，则＝，即＝，解得CE＝5或CE＝﹣8（舍去）．在Rt△ACG中，由勾股定理得AG＝＝4，因为GA•GB＝GD•GC，即4（AB+4）＝2×4，解得AB＝6．在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝＝10．故选：C．10．解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠D，∴∠ABC＝∠D，且∠BAE＝∠BAD，∴△ABE∽△ADB，∴，∴AB2＝AE•AD＝4×（4+4）＝32，∴AB＝4，故选：C．11．解：过点A作AH⊥BC于点H，连接AD，∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，∴AB＝AC＝BC，∠B＝60°，∴BH＝CH，∵BD＝3CD＝3，∴CD＝1，∴BC＝BD+CD＝3+1＝4，∴BH＝CH＝2，∴AB＝AC＝4，∴AH＝2，∵DE＝AB＝2DG＝4，∴DG＝2，∵四边形DEFG是矩形，∴FG＝DE＝4，∠DGF＝90°，EF＝DG＝2，∵AG+AF≥FG，∴当且仅当A、G、F三点共线时，AG+AF取得最小值为4，∵DH＝CH﹣CD＝2﹣1＝1，在Rt△ADH中，根据勾股定理，得AD＝＝＝，在Rt△ADG中，根据勾股定理，得AG＝＝＝3，∴AF＝GF﹣AG＝4﹣3＝1，在Rt△AEF中，根据勾股定理，得AE＝＝＝．∴当AG+AF最小时，则AE＝．故答案为：．12．解：设正方形的边长为x步，∵点G、点E分别是正方形ABCD的边AD、CD的中点，∴DG＝AD，DE＝CD，∴DG＝DE，由题意易得，∠FDE＝∠H，∠FED＝∠DGH＝90°．∴Rt△DFE∽Rt△HDG，∴，而EF＝30步，GH＝750步，即DE×DG＝EF×HG，∴DE2＝30×750＝22500，解得：DE＝150，∴CD＝2DE＝300步．故答案为：300步．13．解：如图，过点作HM⊥CD于M，HN⊥AD于N．∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝45°，∴∠CAD＝90°﹣∠C＝45°，∴∠C＝∠CAD，∴DA＝CD＝AC＝3+，∵∠ABD＝60°，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD，∵AB2＝BD2+AD2，∴BD＝+1，AB＝2+1，∵△ADE是由△ADB翻折得到，∴AE＝AB＝2+2，∵DF⊥AC，DA＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝∠CDF，∵HM⊥DC，HN⊥AD，∴S△ADE＝•AD•DE＝•AD•HN+•DE•HM，∴HM＝＝＝，∴DM＝HM＝，∴BM＝BD+DE＝+1+＝2+1，∴BH2＝HM2+BM2＝（）2+（2+1）2＝3+12+1+4＝16+4，故答案为：16+4．14．解：设CP为x，BQ为y，则PB＝6﹣x，∵四边形OABC是矩形，PQ⊥OP，∴△OCP∽△PBQ，∴＝，∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣3）2+，y的最大值为：，∴AQ的最小值为：4﹣＝，故答案为：．15．解：∵DP＝DC，DC＝10，∴DP＝×10＝2，CP＝10﹣2＝8，由翻折性质可得EP＝AE，设ED＝x，则EP＝AE＝10﹣x，在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，即（10﹣x）2＝x2+22，解得x＝4.8，∵∠PED+∠EPD＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，∠EPD+∠GPC＝180°﹣∠EPG＝180°﹣90°＝90°，∴∠EPD＝∠GPC，又∵∠D＝∠C＝90°，∴△EPD∽△PGC，∴△EDP与△PCG的周长之比＝＝＝，即，△EDP与△PCG的周长之比为3：5．故答案为：3：5．16．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝3，∴∠ABF+∠AFB＝90°，由折叠的性质，可得：∠BFE＝∠C＝90°，BF＝BC＝3，CE＝EF，∴∠AFB+∠DFE＝90°，∴∠ABF＝∠DFE，∵tan∠DFE＝，∴sin∠ABF＝，cos∠ABF＝，∴在Rt△ABF中，AF＝BF•sin∠ABF＝3×＝，AB＝BF•cos∠ABF＝3×＝，∴DF＝AD﹣AF＝3﹣＝，∴CE＝EF＝＝×＝2．故答案为：2．17．解：∵AE＝EB，∴AD＝2AE，又∵△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似，∴分两种情况：①CM与AD是对应边时，CM＝2CN，∴CM2+CN2＝MN2＝4，即CM2+CM2＝4，解得：CM＝；②CM与AE是对应边时，CM＝CN，∴CM2+CN2＝MN2＝4，即CM2+4CM2＝4，解得：CM＝．综上所述：当CM为或时，△AED与△CMN相似．故答案是：或．18．解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO．AC⊥BD，∴B、D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD+PE＝PB+PE＝BE．∵△ABE是等边三角形，∴AB＝BE＝AE．∵正方形ABCD的面积为S，∴AB＝，∴BE＝．∴PD+PE的和最小值为．故答案为：．19．解：设∠BOC＝α，根据旋转的性质知，△BOC≌△ADC，则OC＝DC，∠BOC＝∠ADC ＝α．又∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，∴∠OCD＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD＝∠CDO＝60°，∵OD＝AD，∴∠AOD＝∠DAO．∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴2×（190°﹣α）+α﹣60°＝180°，解得α＝140°．故答案是：140°．20．解：∵直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点D，点E，∴OD＝OE＝4，∴∠ODE＝∠OED＝45°；∴∠OGE＝∠ODF+∠DOG＝45°+∠DOG，∵∠EOF＝45°，∴∠DOF＝∠EOF++∠DOG＝45°+∠DOG，∴∠DOF＝∠OGE，∴△DOF∽△EGO，∴＝，∴DF•EG＝OE•OD＝16，过点F作FM⊥x轴于点M，过点G作GN⊥y轴于点N．∴△DMF和△ENG是等腰直角三角形，∵NG＝AC＝a，FM＝BC＝b，∴DF＝b，GE＝a，∴DF•GE＝2ab，∴2ab＝16，∴ab＝8，∴矩形OACB的面积＝ab＝8．故答案为8．21．解：连接OC，过点O作OF⊥AC于点F，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠B＝2∠D，∴∠OCB＝2∠D，∵∠OCB＝∠D+∠DOC，∴∠DOC＝∠D，∴∠DOC＝∠D，∴DC＝OC＝AB＝8，∴BC＝DC＝4，由勾股定理可知，AC＝4，由垂径定理可知：OF＝BC＝2，FC＝AC＝2，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴OF∥CD，∴△OFE∽△DCE，∴＝＝，∴EF＝FC＝，由勾股定理可求得：OE＝，故答案为22．解：①如图，连接AC，当A、D'、C三点共线时，∠EAD'＝∠DAC＝45°，由折叠可得∠D＝∠CD'E＝∠AD'E＝90°，DE＝D'E，∴∠AED'＝45°，∴∠EAD'＝∠AED'，∴AD'＝ED'，即△AD'E是以D′E为腰的等腰三角形，又∵Rt△ABC中，AC＝＝4，而CD'＝CD＝4，∴AD'＝4﹣4，∴DE＝D'E＝AD'＝4﹣4；②如图，当D'E＝AE时，△AD'E是以D′E为腰的等腰三角形，由折叠得，DE＝D'E，∴AE＝DE，又∵AE+DE＝AD＝4，∴DE＝2．故答案为：4﹣4或223．解：当FG∥AB时，如图1，∵∠GFE＝90°，∴∠FEB＝90°，过C作CH⊥AB于H，∵AC＝BC＝6，∠ACB＝120°，∴∠A＝∠B＝30°，∴BH＝BC＝3，∴AB＝6，∵AE＝2BE，∴BE＝2，∵EF∥CH，∴＝，∴＝，∴BF＝4，∴CF＝2，∵FG∥AB，∴∠CGF＝∠A，∠CFG＝∠B，∴∠CGF＝∠CFG，∴CG＝CF＝2，∴AG＝4；如图2，当EF∥AC时，∴△BEF∽△BAC，∴＝＝，∴BF＝2，∴CF＝4，∵∠ACB＝120°，∴∠GCF＝60°，∵∠CGF＝∠EFG＝90°，∴CG＝CF＝2，∴AG＝AC+CG＝8，综上所述，当Rt△EFG的一条直角边与△ABC的一边平行时，AG＝4或8．故答案为：4或8．24．（1）证明：在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS）∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCE，∵∠ABD＝90°，∴∠ADB+∠BAD＝90°，∴∠ADB+∠BCE＝90°，∴∠CFD＝90°，∴AD⊥CE，∴AD＝CE，AD⊥CE；（2）证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，即∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS）∴AD＝CE，∠BAD＝∠BCE，∵∠ABC＝90°，∴∠BOC+∠BAE＝90°，∵∠BOC＝∠AOF，∴∠BAD+∠AOF＝90°，∴∠AFO＝90°，∴AD⊥CE，∴AD＝CE，AD⊥CE；（3）AD＝CE，AD⊥CE；理由如下：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠ABE＝∠DBE+∠ABE，即∠ABD＝∠CBE，同（2）的方法，可以得到AD＝CE，AD⊥CE．25．解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．故答案为：∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图2中，（1）中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．（二）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠P A1Q，∴∠QA1B1＝∠P A1N，∵A1Q＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△P A1N（SAS），∴B1Q＝PN，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝7，∴B1M＝，∴A1M＝＝，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A1C1＝A1M＝，∴NC1＝A1C1﹣A1N＝﹣7，在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，∴NH＝NC1•＝﹣，∴＝×（）＝，∵＝M＝，∴＝﹣＝＝，故答案为：．26．（1）证明：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠OCD＝60°，OC＝DC，∴△COD是等边三角形；（2）解：∵△COD是等边三角形∴∠CDO＝60°，∵∠ADO＝90°，∴∠ADC＝∠CDO+∠ADO＝60°+90°＝150°，∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠a＝∠ADC＝150°；（3）解：当∠a＝110°或125°或140°时，△AOD均是等腰三角形；当∠a＝110°时，理由如下：∵∠ADO＝110°﹣60°＝50°，∠AOD＝360°﹣110°﹣110°﹣60°＝80°．∴∠OAD＝180°﹣50°﹣80°＝50°＝∠ADO；∴△AOD是等腰三角形；当∠a＝125°时，理由如下：∵∠ADO＝125°﹣60°＝65°，∠AOD＝360°﹣110°﹣125°﹣60°＝65°．∴∠AOD＝∠ADO；∴△AOD是等腰三角形；当∠a＝140°时，理由如下：∵∠ADO＝140°﹣60°＝80°，∠AOD＝360°﹣110°﹣140°﹣60°＝50°．∴∠OAD＝180°﹣50°﹣80°＝50°＝∠AOD；∴△AOD是等腰三角形；27．解：（1）∵A（0，3）、B（3，0）、C（﹣3，0）．∴OA＝OB＝OC，∴△ABC，△OAC，△OAB都是等腰直角三角形，∴∠6＝∠7＝45°，如图1，过点P作PG∥AB交y轴与G，则∠4＝∠6＝45°，∴OP＝OG，∴AO+OG＝OB+OP，即AG＝PB，∵AP⊥PH，∴∠2+∠5＝90°，∵∠1+∠5＝90°，∴∠1＝∠2，∵MN⊥AB，∴∠3+∠7＝90°，∴∠3＝45°，∴∠3＝∠4，在△APG和△PHB中，，∴△APG≌△PHB（ASA），∴P A＝PH．（2）结论：OG＝PG，OG⊥PG，理由：如图2，延长PG到R，使GR＝PG，连接PO，OR，BR，在△PQG和△BRG中，，∴△PQG≌△BRG（SAS），∴PQ＝BR，∠5＝∠GBR，∴PQ∥BR，∵AP⊥PQ，延长AP交BR于S，交OB于T，则AP⊥BR，∵∠AOB＝∠ASB＝90°，∠ATR＝∠BTS，∴∠α＝∠β，∵P A＝PQ，PQ＝BR，∴P A＝BR，在△P AO和△RBO中，，∴△P AO≌△RBO（SAS），∴PO＝OR，∠1＝∠2，∵∠1+∠POB＝90°，∴∠POB+∠2＝90°，∴△POR为等腰直角三角形，∵PG＝GR，∴OG⊥PG，OG＝PG．28．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠ACB，∴△BAD∽△DCE．（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∵△CDE∽△ABD，∴△ABD∽△CBA，∴＝，即＝，解得，BD＝，∵DE∥AB，∴＝，即＝，解得，AE＝；（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．理由如下：如图3，作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝8，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝＝＝6，∴tan B＝＝，∵∠ADE＝∠B，∴tan∠ADE＝＝，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴═＝，即＝，解得，AN＝，∴MH＝AN＝，∴CH＝CM﹣MH＝，∵FD＝FC，FH⊥CD，∴CD＝2CH＝7，∴BD＝BC﹣CD＝9．。

2021年九年级数学中考一轮复习图形的几何变换专题培优提升训练（附答案）1．等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E是AD上的一点，连接CE，将线段EC 绕点E顺时针旋转一定的角度，使得点C落在了点F处，且满足∠CEF＝∠CAB，连接BF（1）如图1，若∠BAC＝60°，则线段AE与BF的数量关系为；（2）如图2，若∠BAC＝90°，求证：BF＝AE：（写出证明过程）（3）如图3．在（2）的条件下，连接FD并延长分别交CE、CA于点M，N，BC＝8，FD＝DE，求△DCN的面积2．观察猜想（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D与点C重合，点E 在斜边AB上，连接DE，且DE＝AE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接EF，则＝，sin∠ADE＝，探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿CA方向移动，使CD＝AC，其余条件不变，如图2，上述结论是否保持不变？若改变，请求出具体数值：若不变，请说明理由拓展延伸（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝a，点D在边AC的延长线上，E是AB上任意一点，连接DE．ED＝nAE，将线段DE绕着点D顺时针旋转90°至点F，连接EF．求和sin∠ADE的值分别是多少？（请用含有n，a的式子表示）3．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．（1）如图①，当点E落在边BA的延长线上时，∠EDC＝度（直接填空）；（2）如图②，当点E落在边AC上时，求证：BD＝EC；（3）当AB＝2，且点E到AC的距离等于﹣1时，直接写出tan∠CAE的值．4．已知：如图，△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠BDE＝90°，点F是AE的中点，连接DF，CF．（1）如图1，点D，E分别在AB，BC边上，填空：CF与DF的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，将图1中的△BDE绕B顺时针旋转45°得到图2，请判断（1）中CF与DF的数量关系和位置关系是否仍然成立，如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，将图1中的△BDE绕B顺时针旋转90°得到图3，如果BD＝2，AC＝3，请直接写出CF的长．5．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，D是AB中点，一个以点D为顶点的60°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中：①探究三条线段AC，CE，CF之间的数量关系，并说明理由；②若CE＝9，CF＝4，求CN的长．6．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在直线AB上，连接CD，并把CD绕点C逆时针旋转90°到CE．（1）如图1，点D在AB边上，线段BD、BE、CD的数量关系为．（2）如图2，点D在点B右侧，请猜想线段BD、BE、CD的数量关系，并证明你的结论．（3）如图3，点D在点A左侧，BC＝，AD＝BE＝1，请直接写出线段EC的长．7．如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，CE．（1）求证：BD＝CE；（2）延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点；（3）在（2）的条件下，若△ABC的边长为1，直接写出EF的最大值．8．在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，作∠ABC的平分线交AC于点D，∠MDN＝135°，将∠MDN绕点D旋转，使∠MDN的两边交直线BA于点E，交直线BC于点F．（1）当∠MDN绕点D旋转到如图①的位置时，请直接写出三条线段AE，CF，AD的数量关系；（2）当∠MDN绕点D旋转到如图②的位置时，（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）若BC＝2+，当∠CDF＝15°时，请直接写出线段CF的长度．9．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D 点旋转，它的两边分别交AC和CB（或它们的延长线）于E，F．（1）当DE⊥AC于E时（如图1），可得S△DEF+S△CEF＝S△ABC；（2）当DE与AC不垂直时（如图2），第（1）小题得到的结论成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请直接给出S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系．（3）当点E在AC延长线上时（如图3），第（1）小题得到的结论成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请直接给出的关系S△DEF，S△CEF，S△ABC的关系．10．如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．11．【问题探究】（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD．①请探究AD与BD之间的位置关系：；②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，则线段AD的长为；【拓展延伸】（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD 为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长．12．（1）【问题解决】已知点P在∠AOB内，过点P分别作关于OA、OB的对称点P1、P2．①如图1，若∠AOB＝25°，请直接写出∠P1OP2＝；②如图2连接P1P2分别交OA、OB于C、D，若∠CPD＝98°，求∠AOB的度数；③在②的条件下若∠CPD＝α度（90＜a＜180），请直接写出∠AOB度．（用含α的代数式表示）（2）【拓展延伸】利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图3在△ABC中，∠BAC＝30°，点P是△ABC内部一定点，AP＝8，点E、F 分别在边AB、AC上，请你在图3中画出使△PEF周长最小的点E、F的位置（不写画法），并直接写出△PEF周长的最小值．13．如图1，已知点A（﹣2，0）．点D在y轴上，连接AD并将它沿x轴向右平移至BC的位置，且点B坐标为（4，0），连接CD，OD＝AB．（1）线段CD的长为，点C的坐标为；（2）如图2，若点M从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿着x轴向左运动，同时点N从原点O出发，以相同的速度沿折线OD→DC运动（当N到达点C时，两点均停止运动）．假设运动时间为t秒．①t为何值时，MN∥y轴；②求t为何值时，S△BCM＝2S△ADN．14．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；（2）如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝8，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的任意点，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q．求线段B1Q长度的最小值．15．阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题如图1，△ABC≌△ADE，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝AD＝DE＝2，此时，点C与点E重合，操作探究1（1）小凡将图1中的两个全等的△ABC和△ADE按图2方式摆放，点B落在AE上，CB所在直线交DE所在直线于点M，连结AM，求证：BM＝DM．操作探究2（2）小彬将图1中的△ABC绕点A按逆时针方向旋转角度a（0°＜a＜90°），然后，分别延长BC，DE，它们相交于点F．如图3，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：①a＝30°时，求证：△CEF为等边三角形；②当a＝时，AC∥FE．（直接回答即可）操作探究3（3）小颖将图1中的△ABC绕点A按顺时针方向旋转角度β（0°＜β＜90°），线段BC 和DE相交于点F，在操作中，小颖提出如下问题，请你解答：①如图4，当β＝60°时，直接写出线段CE的长为；②如图5，当旋转到点F是边DE的中点时，直接写出线段CE的长为．16．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB＝4，D、E分别是AB、AC的中点，若等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0°＜α≤180°），记直线BD1与CE1，的交点为P．（1）如图1，当α＝90°时，线段BD1的长等于，线段CE1的长等于；（直接填写结果）（2）如图2，当α＝135°时，求证：BD1＝CE1，且BD1⊥CE1；（3）设BC的中点为M，则线段PM的长为（直接填写结果）．17．如图1，△ABC和△DBE是等腰直角三角形，且∠ABC＝∠DBE＝90°，D点在AB上，连接AE与CD的延长线交于点F，（1）直接写出线段AE与CD的数量关系．（2）若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，如图2所示，问图2中的线段AE、CD之间有怎样的数量和位置关系？（3）拓展：若将图1中的△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，将“∠ABC＝∠DBE＝90°”改为“∠ABC＝∠DBE＝α（α为锐角）”，其他条件均不变，如图3所示，问：线段AE、CD所在直线的夹角大小是否随着图形的旋转而发生变化？若不变，其值多少？18．综合与实践已知，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF 绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB（或它们的延长线）于点E，F．（1）【问题发现】如图1，当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图1），①证明：△ADE≌△BDF；②猜想：S△DEF+S△CEF＝S△ABC．（2）【类比探究】如图2，当∠EDF绕点D旋转到DE与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断S△DEF+S△CEF与S△ABC的关系，并给予证明．（3）【拓展延伸】如图3，当点E在线段AC的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明）19．在Rt△ABC中，AB＝AC，OB＝OC，∠A＝90°，∠MON＝α，分别交直线AB、AC于点M、N．（1）如图1，当α＝90°时，求证：AM＝CN；（2）如图2，当α＝45°时，问线段BM、MN、AN之间有何数量关系，并证明；（3）如图3，当α＝45°时，旋转∠MON，问线段之间BM、MN、AN有何数量关系？并证明．20．已知△ABC是等边三角形，点D在直线BC上，且DE＝EC，将△BEC绕点C的顺时针旋转至△ACF，连接EF．（1）如图1，若点E在线段AB上，求证：AB＝DB+AF；（2）如图2，若点E在线段AB的延长线上，线段AB，DB，AF之间有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如果点E在线段BA的延长线上，请在图3的基础上将图形补充完整，写出AB，DB，AF之间的数量关系，并证明．参考答案1．解：（1）连接CF，当∠BAC＝60°时，由AB＝AC，可得△ABC是等边三角形，∵∠CEF＝∠CAB＝60°，CE＝FE，∴△CEF是等边三角形，∴∠ACB＝∠ECF＝60°，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF；（2）连接CF，当∠BAC＝90°时，由AB＝AC，可得△ABC是等腰直角三角形，∴，∵∠CEF＝∠CAB＝90°，CE＝FE，∴△CEF是等腰直角三角形，∴，且∠ACB＝∠ECF＝45°，∴，∠ACE＝∠BCF，∴△ACE∽△BCF，∴，即BF＝AE；（3）过点F作FG⊥BC于G，连接GE，由（2）可得∠FBC＝∠EAC＝45°，∴△BGF是等腰直角三角形，∴BG＝FG，且BF＝BG，又∵BF＝AE，∴BG＝AE，∵等腰直角三角形ABC中，AD＝BD＝BC＝4，∴DG＝DE，∵FD＝DE，∴FD＝DG，设DG＝x，则GF＝GB＝4﹣x，DF＝x，∴Rt△DGF中，x2+（4﹣x）2＝（x）2，解得x1＝1，x2＝﹣（舍去），∴DG＝DE＝1，∴AD＝BG＝FG＝4﹣1＝3，∴BF＝＝3，由∠FBC＝∠ACD＝45°，BD＝CD，∠BDF＝∠CDN，可得△BDF≌△CDN（ASA），∴BF＝CN＝3，∵Rt△ACD中，AC＝＝4，∴AN＝，∴△DCN的面积＝×△ACD的面积＝×8＝6，2．解：（1）如图1，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠B＝60°．又CE＝AE，∴∠ACE＝∠A＝30°，∴∠BCE＝60°，∴△BEC是等边三角形，∴BE＝CE．∴AE＝CE＝BE．∴AD＝AB＝CE．又由旋转的性质知：FC＝EC，∠FCE＝90°，∴EF＝CE，∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．故答案是：；；（2）不变，理由：如图2，过点D作DG∥BC交AB于点G，则△ADG是直角三角形．∵∠DAG＝30°，DE＝AE，设DG＝x，∴∠AED＝120°，AD＝x，∠DEG＝∠DGE＝60°．∴DE＝DF＝x，sin∠ADE＝．∵∠EDF＝90°，∴EF＝x．∴＝＝．∵∠ADE＝30°，∴sin∠ADE＝．（3）过点E作EG⊥AD于点G，设AE＝x，则DE＝nx．∵∠CAB＝a，∴AG＝cosα•x，EG＝sinα•x．∴DG＝＝•x．∴AD＝cosα•x+•x．∵∠EDF＝90°，DE＝DF，∴EF＝DE＝nx．∴＝＝，sin∠ADE＝＝＝．3．解：（1）如图1中，∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠B＝∠BED＝45°，∴∠EDC＝90°，故答案为90．（2）如图2中，作P A⊥AB交BC于P，连接PE．∵∠DAE＝∠BAP＝90°，∴∠BAD＝∠P AE，∵∠B＝45°，∴∠B＝∠APB＝45°，∴AB＝AP，∵AD＝AE，∴△BAD≌△P AE（SAS），∴BD＝PE，∠APE＝∠B＝45°，∴∠EPD＝∠EPC＝90°，∵∠C＝30°，∴EC＝2PE＝2BD．（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，P A⊥AB交BC 于P，连接PE．设PH＝x，在Rt△EPH中，∵∠EPH＝90°，∠EHP＝60°，∴EP＝x，EH＝2PH＝2x，∴FH＝2x+﹣1，CF＝FH＝2x+3﹣，∵△BAD≌△P AE，∴BD＝EP＝x，AE＝AD，在Rt△ABG中，∵AB＝2，∴AG＝GB＝2，在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，∵AE2＝AD2＝AF2+EF2，∴22+（2﹣x）2＝（﹣1）2+（4﹣2x﹣3+）2，整理得：9x2﹣12x＝0，解得x＝（舍弃）或0∴PH＝0，此时E，P，H共点，∴AF＝1+，∴tan∠EAF＝＝＝2﹣．根据对称性可知当点E在AC的上方时，同法可得tan∠EAC＝．4．解：（1）结论：CF＝DF，CF⊥DF．理由：如图1中，∵∠ACE＝ADE＝90°，AF＝FE，∴CF＝AF＝FE＝AE，DF＝AF＝FE＝AE，∴CF＝DF，∴∠F AC＝∠FCA，∠F AD＝∠FDA，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠CFE＝∠F AC+∠FCA＝2∠F AC，∠EFD＝∠F AD+∠FDA＝2∠F AD，∴∠CFD＝∠CFE+∠EFD＝2（∠F AC+∠F AD）＝2∠CAD＝90°，∴CF⊥DF．故答案为：CF＝DF，CF⊥DF．（2）成立．理由：如图2中，延长DF交AC于H．∵∠ACD＝∠BDE＝∠CDE＝90°，∴AC∥DE，∴∠FED＝∠F AH，∵∠AFH＝∠EFD，F A＝FE，∴△AFH≌△EFD（ASA），∴DF＝FH，∵∠HCD＝90°，∴CF＝FH＝FD，CF⊥DF．（3）如图3中，延长DF交AB于H，连接CH，CD．∵∠ABD＝∠CDE＝90°，∴DE∥AB，∴∠FED＝∠F AH，∵∠AFH＝∠EFD，F A＝FE，∴△AFH≌△EFD（ASA），∴DF＝FH，AH＝DE＝DB，∵∠CAH＝∠CBA＝∠CBD＝45°，CA＝CB，∴△CAH≌△CBD（SAS），∴CH＝CD，∠ACH＝∠BCD，∴∠HCD＝∠ACB＝90°，∵FH＝FD，∴CF⊥DF，CF＝FH＝DF．∵AC＝CB＝3，∴AB＝AC＝6，∵AH＝BD＝2，∴BH＝6﹣2＝4，在Rt△BDH中，DH＝＝2，∴CF＝DF＝FH＝．5．解：（1）证明：如图1中，连接CD．∵∠ACB＝120°，AC＝BC，AD＝BD，∴∠BCD＝∠ACD＝60°，∠BCE＝∠ACF＝60°．∴∠DCE＝∠DCF＝120°．又∵CE＝CF，CD＝CD，∴△DCE≌△DCF（SAS），∴DE＝DF；（2）①如图2中，连接CD．∵∠DCF＝∠DCE＝120°，∴∠CDF+∠F＝180°﹣120°＝60°．又∵∠CDF+∠CDE＝60°，∴∠F＝∠CDE．∴△CDF∽△CED，∴＝，即CD2＝CE•CF．∵∠ACB＝120°，AC＝BC，AD＝BD，∴CD＝AC．∴AC2＝4CE•CF．②作DK∥AE交BC于K．∵AC2＝4CE•CF＝144，∴AC＝BC＝12，∵AD＝BD．DK∥AC，∴CK＝KB＝6，∴DK＝AC＝6，∵＝＝＝，∴CN＝CK＝．6．解：（1）结论：BE2+BD2＝2CD2．理由：如图1中，连接DE．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴∠ABE＝90°，∴DE2＝BD2＝BE2，∵DE＝CD，∴BE2+BD2＝2CD2．（2）结论：BE2+BD2＝2CD2．理由：如图2中，连接DE．∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∵CA＝CB，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠CBA＝45°，∴∠CBE＝∠A＝45°，∴∠ABE＝∠EBD＝90°，∴DE2＝BD2＝BE2，∵DE＝CD，∴BE2+BD2＝2CD2．（3）如图3中，连接DE．∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°，∴AB＝BC＝2，∴AD＝BE＝1，∴BD＝3，由（2）可知：BD2+BE2＝2EC2，∴9+1＝2EC2，∴EC＝．7．证明：（1）∵将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°∴△ADE是等边三角形∵△ABC为等边三角形∴AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠DAB＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE∴△ADB≌△AEC（SAS）∴BD＝CE（2）如图，过点C作CG∥BP，交EF的延长线于点G，∵∠ADB＝90°，∠ADE＝60°∴∠BDG＝30°∵CG∥BP∴∠G＝∠BDG＝30°，∵△ADB≌△AEC∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝90°∴∠GEC＝∠AEC﹣∠AED＝30°∴∠G＝∠GEC＝30°∴GC＝CE，∴CG＝BD，且∠BDG＝∠G，∠BFD＝∠GFC∴△BFD≌△CFG（AAS）∴BF＝FC∴点F是BC中点（3）如图，连接AF，∵△ABC是等边三角形，BF＝FC∴AF⊥BC∴∠AFC＝90°∴∠AFC＝∠AEC＝90°∴点A，点F，点C，点E四点在以AC为直径的圆上，∴EF最大为直径，即最大值为18．解：（1）结论：AE+CF＝AD．理由：如图1中，作DH⊥BC于H．∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∵∠A＝∠DHB＝90°，∴∠ADH＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，∵∠EDF＝135°，∴∠ADH＝∠EDF，∴∠ADE＝∠HDF，∵BD平分∠ABC，DA⊥AB，DH⊥BC，∴DA＝DH，∴△DAE≌△DHF（ASA），∴AE＝HF，∵∠C＝∠HDC＝45°，∴DH＝CH＝AD，∴AE+CF＝HF+CF＝CH＝AD．（2）不成立应为CF﹣AE＝AD．理由如下：如图②中，作DG⊥BC于点G，∵∠BAC＝90°，∴DA⊥BA，∵AC平分∠ABC，∴DA＝DG，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ADG＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°，∵∠MDN＝135°，∴∠ADE＝∠GDF＝135°﹣∠ADF，又∵∠DAE＝∠DGF＝90°，∴△DAE≌△DGF（ASA），∴AE＝FG，∵∠DCG＝45°，∠DGC＝90°，∴∠DCG＝∠GDC＝45°，∴GC＝DG＝AD，∵FC﹣FG＝GC，∴FC﹣AE＝AD．（3）①如图③﹣1中，作DH⊥BC于H．由（1）可知：DA＝DH＝CH，设DA＝DH＝HC＝a，则CD＝a，AB＝AC＝BH＝a+a，∴2a+a＝2+，∴a＝1，∴AD＝1，∵∠CDF＝15°，∴∠ADE＝180°﹣135°﹣15°＝30°，∴AE＝，∵AE+CF＝AD，∴CF＝1﹣②如图③﹣2中，当∠CDF＝15°时，作DH⊥BC于H，∵AD＝DH＝CH＝1，∠CFD＝30°，∴FH＝DH＝，∴CF＝FH﹣CH＝﹣1综上所述，满足条件的CF的值为或．9．解：（1）如图1中，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形．设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a．∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；故答案为．（2）上述结论成立；理由如下：连接CD；如图2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠1＝∠2，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴S△DEF+S△CEF＝S△ADE+S△BDF＝S△ABC；（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：连接CD，如图3所示：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°∴S△DEF＝S五边形DBFEC，＝S△CFE+S△DBC，＝S△CFE+S△ABC，∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．10．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．11．解：【问题探究】（1）∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ABC＝∠DEC＝45°＝∠CDE∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，且AC＝BC，CE＝CD∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠ADC＝∠BEC＝45°∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°∴AD⊥BD故答案为：AD⊥BD②如图，过点C作CF⊥AD于点F，∵∠ADC＝45°，CF⊥AD，CD＝∴DF＝CF＝1∴AF＝＝3∴AD＝AF+DF＝4故答案为：4【拓展延伸】（2）若点D在BC右侧，如图，过点C作CF⊥AD于点F，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE∴∠ADC＝∠BEC，∵CD＝，CE＝1∴DE＝＝2∵∠ADC＝∠BEC，∠DCE＝∠CFD＝90°∴△DCE∽△CFD，∴即∴CF＝，DF＝∴AF＝＝∴AD＝DF+AF＝3若点D在BC左侧，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE∴∠ADC＝∠BEC，∴∠CED＝∠CDF∵CD＝，CE＝1∴DE＝＝2∵∠CED＝∠CDF，∠DCE＝∠CFD＝90°∴△DCE∽△CFD，∴即∴CF＝，DF＝∴AF＝＝∴AD＝AF﹣DF＝212．解：（1）①如图1，连接OP，由轴对称的性质可知∠AOP＝∠AOP1，∠BOP＝∠BOP2，∴∠P1OP2＝2∠AOB＝50°；故答案为：50°；②如图2，∵∠CPD＝98°，∴∠1+∠2＝82°，由轴对称的性质得，∠P1＝∠3，∠P2＝∠4，∵∠2＝∠P1+∠3＝2∠3，∠1＝∠P2+∠4＝2∠4，∴∠3+∠4＝（∠1+∠2）＝41°，∴∠MPN＝∠3+∠CPD+∠4＝98°+41°＝139°，由轴对称的性质得，∠PMO＝∠PNO＝90°，∴四边形OMPN中，∠AOB＝360°﹣∠PMO﹣∠PNO﹣∠MPN＝41°；③∠AOB＝90°﹣°．理由如下：∵∠CPD＝α°，∴∠1+∠2＝180°﹣α°，由轴对称的性质得，∠P1＝∠3，∠P2＝∠4，∵∠2＝∠P1+∠3＝2∠3，∠1＝∠P2+∠4＝2∠4，∴∠3+∠4＝（∠1+∠2）＝90°﹣α°，∴∠MPN＝∠3+∠CPD+∠4＝90°﹣α°+α＝90°+°，由轴对称的性质得，∠PMO＝∠PNO＝90°，∴四边形OMPN中，∠AOB＝360°﹣∠PMO﹣∠PNO﹣∠MPN＝90°﹣°；（2）△PEF周长最小值为8．如图3，过点P分别作关于AB、AC的对称点G、H．连接GE，FH，则PE＝GE，PF＝HF，∴△PEF的周长＝PE+PF+EF＝GE+HF+EF，∴当G，E，F，H在同一直线上时，△PEF的周长最小值等于GH的长．此时，∵AB垂直平分GP，∴AG＝AP，∴△AGE≌△APE（SSS），∴∠GAE＝∠P AE，同理可得∠HAF＝∠P AF，∴∠GAH＝2∠BAC＝60°，又∵AG＝AP＝AH，∴△AGH是等边三角形，∴GH＝AG＝AP＝8，即△PEF的周长最小值等于8．13．解：（1）∵点A（﹣2，0），点B坐标为（4，0），∴AB＝6∵将AD沿x轴向右平移至BC的位置，∴AD∥BC，AD＝BC∴四边形ABCD是平行四边形∴CD＝AB＝6，CD∥AB∵OD＝AB．∴OD＝3，且CD∥AB∴点C（6，3）故答案为：6，（6，3）；（2）∵MN∥y轴，∴点N在CD上，∴4﹣t＝t﹣3∴t＝∴当t＝s时，MN∥y轴；（3）当点N在OD上时，∵S△BCM＝2S△ADN．∴×3×t＝2××2×（3﹣t）解得：t＝当点N在CD上时，∵S△BCM＝2S△ADN．∴×3×t＝2××3×（t﹣3）解得：t＝6综上所述：t＝6或时，S△BCM＝2S△ADN．14．解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．故答案为∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图2中，①中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．（二）如图3中，在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠P A1Q，∴∠QA1B1＝∠P A1N，∵A1Q＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△P A1N（SAS），∴B1Q＝PN，∴当PN的值最小时，QB1的值最小，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝8，∴A1M＝A1B1•sin60°＝4，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A1C1＝4，∴NC1＝A1C1﹣A1N＝4﹣8，在Rt△NHC1，∵∠C1＝45°，∴NH＝4﹣4，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，∴QB1的最小值为4﹣4．15．（1）证明：如图2中，∵∠ABM＝∠D＝90°，AM＝AM，AB＝AD，∴Rt△AMB≌Rt△AMD（HL），∴BM＝DM．（2）①证明：如图3中，∵CA＝AE，∠CAE＝30°，∴∠ACE＝∠AEC＝75°，∵AB＝BC＝AD＝DE，∠B＝∠D＝90°∴∠ACB＝∠AED＝45°，∴∠BCE＝∠CDE＝120°，∴∠FCE＝∠FEC＝60°，∴△EFC是等边三角形．②解：∵AC∥EF，∴∠CAE＝∠AED＝45°，∴当α＝45°时，AC∥EF．故答案为45°．（3）①解：如图4中，连接EC．∵∠EAC＝β＝60°，AE＝AC，∴△AEC是等边三角形，∵AD＝DE＝2，∠ADE＝90°，∴AE＝＝＝2，∴EC＝AE＝2．故答案为2．②解：如图5中，连接AF，BD交于点O．∵∠ABF＝∠ADF＝90°，AF＝AF，AB＝AD，∴Rt△ABF≌Rt△ADF（HL），∴BF＝DF，∵DF＝EF＝1，∴BF＝DF＝1，∵BC＝2，∴BF＝CF＝1，∵BF＝CF＝DF＝EF，∠BFD＝∠CFE，∴△BFD≌△CFE（SAS），∴EC＝BD．∵AB＝AD，FB＝FD，∴AF垂直平分线段BD，∴OB＝OD，在Rt△ABF中，∵∠ABF＝90°，AB＝2，BF＝1，∴AF＝＝＝，∵S△ABF＝•AB•BF＝•OB•AF，∴OB＝＝，∴BD＝2OB＝，∴EC＝BD＝．故答案为．16．解：（1）∵∠CAB＝90°，AC＝AB＝4，D，E分别是边AB，AC的中点，∴AE＝AD＝2，∵等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到等腰Rt△AD1E1，设旋转角为α（0＜α≤180°），∴当α＝90°时，AE1＝2，∠E1AE＝90°，∴BD1＝＝＝2，E1C＝＝＝2；故答案为：2，2；（2）证明：当α＝135°时，如图2，∵Rt△AD1E是由Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到，∴AD1＝AE1，∠D1AB＝∠E1AC＝135°，在△D1AB和△E1AC中，∴△D1AB≌△E1AC（SAS），∴BD1＝CE1，且∠D1BA＝∠E1CA，记直线BD1与AC交于点F，∴∠BF A＝∠CFP，∴∠CPF＝∠F AB＝90°，∴BD1⊥CE1；（3）解：如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，∴BC＝AB＝4，∵∠CPB＝∠CAB＝90°，BC的中点为M，∴PM＝BC＝4＝2故答案为：217．解：（1）结论：AE＝CD．理由：如图1中，在△AEB和△CDB中，，∴△AEB≌△CDB（SAS）∴AE＝CD．（2）结论：AE＝CD，AE⊥CD，理由：如图2中，设AB交CD于O．∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∴∠ABE＝∠DBC，在△AEB和△CDB中，，∴△AEB≌△CDB（SAS），∴AE＝CD，∠EAB＝∠DCB，∵∠DCB+∠COB＝90°，∠AOF＝∠COB，∴∠FOA+∠F AO＝90°，∴∠AFC＝90°，∴AE⊥CD．（3）线段AE、CD所在直线的夹角大小不变，∠AFC＝α．理由：如图3中，设AB交CD于O．∵∠DBE＝∠ABC＝α，∴∠ABE＝∠DBC，在△AEB和△CDB中，，∴△AEB≌△CDB（SAS），∴∠EAB＝∠DCB，∵∠AOF＝∠COB，∴∠AFO＝∠ABC＝α．18．解：（1）①∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠BDF＝90°，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∴∠A＝∠BDF，∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（SAS）；②如图1中，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形．设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a．∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；故答案为．（2）上述结论成立；理由如下：连接CD；如图2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，∵∠EDF＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴S△DEF+S△CEF＝S△ADE+S△BDF＝S△ABC；（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：连接CD，如图3所示：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°∴S△DEF＝S五边形DBFEC，＝S△CFE+S△DBC，＝S△CFE+S△ABC，∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．19．证明：（1）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∴∠MON＝∠AOC＝90°，∴∠AOM＝∠CON，且AO＝CO，∠BAO＝∠ACO＝45°，∴△AOM≌△CON（ASA）∴AM＝CN；（2）BM＝AN+MN，理由如下：如图2，在BA上截取BG＝AN，连接GO，AO，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∵BG＝AN，∠ABO＝∠NAO＝45°，AO＝BO，∴△BGO≌△AON（SAS）∴OG＝ON，∠BOG＝∠AON，∵∠MON＝45°＝∠AOM+∠AON，∴∠AOM+∠BOG＝45°，且∠AOB＝90°，∴∠MOG＝∠MON＝45°，且MO＝MO，GO＝NO，∴△GMO≌△NMO（SAS）∴GM＝MN，∴BM＝BG+GM＝AN+MN；（3）MN＝AN+BM，理由如下：如图3，过点O作OG⊥ON，连接AO，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，OB＝OC，∴AO⊥BC，OA＝OB＝OC，∠ABO＝∠ACO＝∠BAO＝∠CAO＝45°，∴∠GBO＝∠NAO＝135°，∵MO⊥GO，∴∠NOG＝90°＝∠AOB，∴∠BOG＝∠AON，且AO＝BO，∠NAO＝∠GBO，∴△NAO≌△GBO（ASA）∴AN＝GB，GO＝ON，∵MO＝MO，∠MON＝∠GOM＝45°，GO＝NO，∴△MON≌△MOG（SAS）∴MN＝MG，∵MG＝MB+BG，∴MN＝AN+BM．20．（1）证明：如图1中，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF＝60°，∠BCA＝60°，BE＝AF，EC＝CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝EC，∠CEF＝60°，又∵ED＝EC，∴ED＝EF，∵△ABC是等腰三角形，∠BCA＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAF＝∠CBA＝60°，∴∠EAF＝∠BAC+∠CAF＝120°，∠DBE＝120°，∠EAF＝∠DBE，∵∠CAF＝∠CEF＝60°，∴A、E、C、F四点共圆，∴∠AEF＝∠ACF，又∵ED＝EC，∴∠D＝∠BCE，∠BCE＝∠ACF，∴∠D＝∠AEF，在△EDB和△FEA中，，∴△EDB≌△FEA（AAS），∴DB＝AE，BE＝AF，∵AB＝AE+BE，∴AB＝DB+AF．（2）解：结论：AB＝BD﹣AF；理由：延长EF、CA交于点G，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF＝60°，BE＝AF，EC＝CF，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝EC，又∵ED＝EC，∴ED＝EF，∠EFC＝∠BAC＝60°，∵∠EFC＝∠FGC+∠FCG，∠BAC＝∠FGC+∠FEA，∴∠FCG＝∠FEA，又∵∠FCG＝∠ECD，∠D＝∠ECD，∴∠D＝∠FEA，由旋转的性质，可得∠CBE＝∠CAF＝120°，∴∠DBE＝∠F AE＝60°，在△EDB和△FEA中，，∴△EDB≌△FEA（AAS），∴BD＝AE，EB＝AF，∴BD＝F A+AB，即AB＝BD﹣AF．（3）如图3中，∵△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF，∴∠ECF＝60°，BE＝AF，EC＝CF，BC＝AC，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝EC，又∵ED＝EC，∴ED＝EF，∵AB＝AC，BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，又∵∠CBE＝∠CAF，∴∠CAF＝60°，∴∠EAF＝180°﹣∠CAF﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣60°＝60°∴∠DBE＝∠EAF；∵ED＝EC，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠BDE＝∠ECD+∠DEC＝∠EDC+∠DEC，又∵∠EDC＝∠EBC+∠BED，∴∠BDE＝∠EBC+∠BED+∠DEC＝60°+∠BEC，∵∠AEF＝∠CEF+∠BEC＝60°+∠BEC，∴∠BDE＝∠AEF，在△EDB和△FEA中，，∴△EDB≌△FEA（AAS），∴BD＝AE，EB＝AF，∵BE＝AB+AE，∴AF＝AB+BD，即AB，DB，AF之间的数量关系是：AF＝AB+BD。

2021年辽宁省中考数学真题分类汇编：图形的变化一．选择题（共5小题）1．（丹东）如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．2．（丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE 交AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，则点O到BD的距离为（）A．B．2C．D．33．（大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，点B的对应点B'在边AC上（不与点A，C重合），则∠AA'B'的度数为（）A．αB．α﹣45°C．45°﹣αD．90°﹣α4．（本溪）下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（本溪）如图，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．二．填空题（共5小题）6．（大连）在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，3）向右平移4个单位长度，得到点P′，则点P′的坐标是．7．（大连）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE 翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是．8．（丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC 是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB＝AC＝，BC ＝2，P为△ABC的费马点，则P A+PB+PC＝；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P为△ABC的费马点，则P A+PB+PC＝．9．（营口）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝．10．（本溪）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE～△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是（填序号即可）．三．解答题（共4小题）11．（丹东）如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C的俯角为63.44°，此时无人机距水面的距离AD＝50米，求点B到水面距离BM的高度．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）12．（营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．13．（营口）小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达B处时，E处图书馆在他的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，≈1.4，≈1.7，≈2.4）14．（本溪）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s 到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；（2）求AB的长度（结果精确到1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）2021年辽宁省中考数学真题分类汇编：图形的变化参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（丹东）如图是由几个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【分析】从上面看该组合体，所得到的图形即为俯视图．【解答】解：从上面看该组合体看到是两列，每列有1个正方形，看到的图形如下：故选：B．【点评】本题考查简单组合体的俯视图，理解视图的意义，画出从上面看所得到的图形是正确判断的前提．2．（丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE 交AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，则点O到BD的距离为（）A．B．2C．D．3【考点】角平分线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】如图，作OF⊥BD于点F，则OF的长为点O到BD的距离，由矩形的性质可得∠A＝∠ABC＝90°，由折叠的性质可得∠EBD＝∠CBD，由角平分线定义可得∠ABO ＝∠EBD，即可得出∠ABO＝30°，根据角平分线的性质可得OA＝OF，利用∠ABO的正切值求出OA的值即可得到答案．【解答】解：如图，作OF⊥BD于点F，则OF的长为点O到BD的距离．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，∵将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，∴∠EBD＝∠CBD，∵BE平分∠ABD，∴∠ABO＝∠EBD，OA＝OF，∴∠EBD＝∠CBD＝∠ABO，∴∠ABO＝30°，∵AB＝2，∴OF＝OA＝AB•tan30°＝2×＝2，故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，角平分线的性质及解直角三角形，熟练掌握相关性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．3．（大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝α，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，点B的对应点B'在边AC上（不与点A，C重合），则∠AA'B'的度数为（）A．αB．α﹣45°C．45°﹣αD．90°﹣α【考点】旋转的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】由旋转知AC＝A'C，∠BAC＝∠CA'B'，∠ACA'＝90°，从而得出△ACA'是等腰直角三角形，即可解决问题．【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C，∴AC＝A'C，∠BAC＝∠CA'B'，∠ACA'＝90°，∴△ACA'是等腰直角三角形，∴∠CA'A＝45°，∵∠BAC＝α，∴∠CA'B'＝α，∴∠AA'B'＝45°﹣α．故选：C．【点评】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，明确旋转前后对应角相等、对应线段相等是解题的关键．4．（本溪）下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形；中心对称图形．【专题】平移、旋转与对称；空间观念．【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．（本溪）如图，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【分析】根据左视图的意义，从左面看该几何体所得到的图形即可，注意能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示．【解答】解：从左面看该几何体所得到的图形是一个长方形，被挡住的棱用虚线表示，图形如下：故选：D．【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是画三视图的前提，理解能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的关键．二．填空题（共5小题）6．（大连）在平面直角坐标系中，将点P（﹣2，3）向右平移4个单位长度，得到点P′，则点P′的坐标是（2，3）．【考点】坐标与图形变化﹣平移．【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；几何直观．【分析】利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律求解可得．【解答】解：点P（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到点P′的坐标为（﹣2+4，3），即（2，3），故答案为：（2，3）．【点评】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．7．（大连）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE 翻折180°，得到△AB′E，点B的对应点是点B′．若AB′⊥BD，BE＝2，则BB′的长是2．【考点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【分析】根据菱形ABCD中，∠BAD＝60°可知△ABD是等边三角形，结合三线合一可得∠BAB'＝30°，求出∠ABB'＝75°，可得∠EB'B＝∠EBB'＝45°，则△BEB'是直角三角形，借助勾股定理求出BB'的长即可．【解答】解：∵菱形ABCD，∴AB＝AD，AD∥BC，∵∠BAD＝60°，∴∠ABC＝120°，∵AB′⊥BD，∴∠BAB'＝，∵将△ABE沿直线AE翻折180°，得到△AB′E，∴BE＝B'E，AB＝AB'，∴∠ABB'＝，∴∠EBB'＝∠ABE﹣∠ABB'＝120°﹣75°＝45°，∴∠EB'B＝∠EBB'＝45°，∴∠BEB'＝90°，在Rt△BEB'中，由勾股定理得：BB'＝，故答案为：2．【点评】本题考查了翻折的性质、菱形的性质、等腰三角形的性质、以及勾股定理等知识，明确翻折前后对应线段相等是解题的关键．8．（丹东）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△ABC 是锐角（或直角）三角形，则其费马点P是三角形内一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CP A＝120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB＝AC＝，BC ＝2，P为△ABC的费马点，则P A+PB+PC＝5；若AB＝2，BC＝2，AC＝4，P为△ABC的费马点，则P A+PB+PC＝2．【考点】角平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理；轴对称﹣最短路线问题．【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．【分析】①作出图形，过B，C分别作∠DBP＝∠DCP＝30°，勾股定理解直角三角形即可；②作出图形，将△APC绕点A逆时针旋转60°，P为△ABC的费马点则B，P，P'，C'四点共线，即P A+PB+PC＝BC'，再用勾股定理求得即可．【解答】解：如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，过B，C分别作∠DBP＝∠DCP＝30°，则PB＝PC，P为△ABC的费马点，∵AB＝AC＝，BC＝2，∴，∴，∴PD＝1，∴，∴，∴P A+PB+PC＝5；②如图：∵AB＝2，BC＝2，AC＝4，∴AB2+BC2＝16，BC2＝16，∴AB2+BC2＝AC2∠ABC＝90°，∵，∴∠BAC＝30°，将△APC绕点A逆时针旋转60°，由旋转可得：△APC≌△AP'C'，∴AP'＝AP，PC＝P'C'，AC＝AC'，∠CAC'＝∠P AP'＝60°，∴△APP′是等边三角形，∴∠BAC'＝90°，∵P为△ABC的费马点，即B，P，P'，C'四点共线时候，P A+PB+PC＝BC'，∴P A+PB+PC＝BP+PP'+P'C'＝BC'＝＝，故答案为：5，．【点评】本题考查了勾股定理，旋转的性质，锐角三角函数，等腰三角形性质，作出旋转的图形是解题的关键．本题旋转△P AB，△PBC也可，但必须绕顶点旋转．9．（营口）如图，DE是△ABC的中位线，F为DE中点，连接AF并延长交BC于点G，若S△EFG＝1，则S△ABC＝24．【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．【专题】三角形；几何直观；应用意识．【分析】取AG的中点M，连接DM，根据ASA证△DMF≌△EGF，得出MF＝GF＝AM，根据等高关系求出△ADM的面积为2，根据△ADM和△ABG边和高的比例关系得出S△ADM＝S△ABG，从而得出梯形DMGB的面积为6，进而得出△BDE的面积为6，同理可得S△BDE＝S△ABC，即可得出△ABC的面积．【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴D、E分别为AB、BC的中点，如图过D作DM∥BC交AG于点M，∵DM∥BC，∴∠DMF＝∠EGF，∵点F为DE的中点，∴DF＝EF，在△DMF和△EGF中，，∴△DMF≌△EGF（ASA），∴S△DMF＝S△EGF＝1，GF＝FM，DM＝GE，∵点D为AB的中点，且DM∥BC，∴AM＝MG，∴FM＝AM，∴S△ADM＝2S△DMF＝2，∵DM为△ABG的中位线，∴＝，∴S△ABG＝4S△ADM＝4×2＝8，∴S梯形DMGB＝S△ABG﹣S△ADM＝8﹣2＝6，∴S△BDE＝S梯形DMGB＝6，∵DE是△ABC的中位线，∴S△ABC＝4S△BDE＝4×6＝24，故答案为：24．【点评】本题主要考查三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，正确得出中位线分三角形的面积比例关系是解题的关键．10．（本溪）如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F，EF交AD于点G，连接CG交PQ于点H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE～△QFG；②S△CEG＝S△CBE+S四边形CDQH；③EC平分∠BEG；④EG2﹣CH2＝GQ•GD，正确的是①③④（填序号即可）．【考点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【分析】①利用有两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可；②过点C作CM⊥EG于M，通过证明△BEC≌△MEC，进而说明△CMG≌△CDG，可得S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，可得②不正确；③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，由AB∥CD可得∠BEC＝∠DCE，结论③成立；④连接DH，MH，HE，由△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG可知：∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，所以∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，由于EC⊥HP，则∠CHP＝45°，由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，则EH⊥CG；利用勾股定理可得EG2﹣EH2＝GH2；由CM⊥EG，EH⊥CG，得到∠EMC＝∠EHC＝90°，所以E，M，H，C四点共圆，所以∠HMC＝∠HEC＝45°，通过△CMH≌△CDH，可得∠CDH＝∠CMH ＝45°，这样，∠GDH＝45°，因为∠GHQ＝∠CHP＝45°，易证△GHQ∽△GDH，则得GH2＝GQ•GD，从而说明④成立．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠BCD＝∠D＝90°．由折叠可知：∠GEP＝∠BCD＝90°，∠F＝∠D＝90°．∴∠BEP+∠AEG＝90°，∵∠A＝90°，∴∠AEG+∠AGE＝90°，∴∠BEP＝∠AGE．∵∠FGQ＝∠AGE，∴∠BEP＝∠FGQ．∵∠B＝∠F＝90°，∴△PBE～△QFG．故①正确；②过点C作CM⊥EG于M，由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，在△BEC和△MEC中，，∴△BEC≌△MEC（AAS）．∴CB＝CM，S△BEC＝S△MEC．∵CG＝CG，∴Rt△CMG≌Rt△CDG（HL），∴S△CMG＝S△CDG，∴S△CEG＝S△BEC+S△CDG＞S△BEC+S四边形CDQH，∴②不正确；③由折叠可得：∠GEC＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠GEC，即EC平分∠BEG．∴③正确；④连接DH，MH，HE，如图，∵△BEC≌△MEC，△CMG≌△CDG，∴∠BCE＝∠MCE，∠MCG＝∠DCG，∴∠ECG＝∠ECM+∠GCM＝∠BCD＝45°，∵EC⊥HP，∴∠CHP＝45°．∴∠GHQ＝∠CHP＝45°．由折叠可得：∠EHP＝∠CHP＝45°，∴EH⊥CG．∴EG2﹣EH2＝GH2．由折叠可知：EH＝CH．∴EG2﹣CH2＝GH2．∵CM⊥EG，EH⊥CG，∴∠EMC＝∠EHC＝90°，∴E，M，H，C四点共圆，∴∠HMC＝∠HEC＝45°．在△CMH和△CDH中，，∴△CMH≌△CDH（SAS）．∴∠CDH＝∠CMH＝45°，∵∠CDA＝90°，∴∠GDH＝45°，∵∠GHQ＝∠CHP＝45°，∴∠GHQ＝∠GDH＝45°．∵∠HGQ＝∠DGH，∴△GHQ∽△GDH，∴．∴GH2＝GQ•GD．∴GE2﹣CH2＝GQ•GD．∴④正确；综上可得，正确的结论有：①③④．故答案为：①③④．【点评】本题主要考查了正方形的性质，翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，翻折问题是全等变换，由翻折得到对应角相等，对应边相等是解题的关键．三．解答题（共4小题）11．（丹东）如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为36.87°，山顶B在水中的倒影C的俯角为63.44°，此时无人机距水面的距离AD＝50米，求点B到水面距离BM的高度．（参考数据：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75，sin63.44°≈0.89，cos63.44°≈0.45，tan63.44°≈2.00）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想．【分析】过点A作AH⊥BM交于点H，由题意可得：AD＝HM＝50，设BM＝x，在Rt △ABH中，，在Rt△AHC中，，进而可根据AH＝AH，求出x的值，即为BM的值．【解答】解：过点A作AH⊥BM交于点H，由题意可得：AD＝HM＝50米，设BM＝x米，则MC＝BM＝x米∵BH＝BM﹣HM∴BH＝（x﹣50）米，∴在Rt△ABH中，∵HC＝HM+MC∴HC＝（50+x）米，在Rt△AHC中，，∴，解得x＝110，即BM＝110米，答：点B到水面距离BM的高度约为110米．【点评】本题主要考查了锐角三角形的实际运用，熟练掌握锐角三角形的相关知识点并列出等量关系式是解题的关键，属于常考题型．12．（营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD 交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．【考点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【分析】（1）利用AB是⊙O直径，AF是⊙O的切线，得到∠DAF＝∠ABF，利用＝得到∠ABF＝∠CAD，进而证得∠F＝∠AEF，根据等角对等边即可证得AF＝AE；（2）利用勾股定理求得AC，利用△BCE∽△BAF得到＝，求得CE＝AF＝AE，根据AE+CE＝AC即可求得AF．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠F+∠DAF＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠F AB＝90°，∴∠F+∠ABF＝90°，∴∠DAF＝∠ABF，∵＝，∴∠ABF＝∠CAD，∴∠DAF＝∠CAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE；（2）解：∵AB是⊙O直径，∴∠C＝90°，∵AB＝8，BC＝2，∴AC＝＝＝2，∵∠C＝∠F AB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，∴△BCE∽△BAF，∴＝，即＝，∴CE＝AF，∵AF＝AE，∴CE＝AE，∵AE+CE＝AC＝2，∴AE＝，∴AF＝AE＝．【点评】本题考查切线的性质、圆周角定理和相似三角形的判定与性质，解题的关键是能根据切线的性质和圆周角定理得到90°角．13．（营口）小张早起在一条东西走向的笔直马路上晨跑，他在A处时，D处学校和E处图书馆都在他的东北方向，当小张沿正东方向跑了600m到达B处时，E处图书馆在他的北偏东15°方向，然后他由B处继续向正东方向跑600m到达C处，此时D处学校在他的北偏西63.4°方向，求D处学校和E处图书馆之间的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin63.4°≈0.9，cos63.4°≈0.4，tan63.4°≈2.0，≈1.4，≈1.7，≈2.4）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】过D作DM⊥AC于M，过B作BN⊥AE于N，设MD＝x，在直角三角形中，利用三角函数即可x表示出AM与CM，根据AC＝AM+CM即可列方程，从而求得MD 的长，进一步求得AD的长，在直角三角形中，利用三角函数即可求出AN与NE，即可求得DN，从而求得DE．【解答】解：过D作DM⊥AC于M，设MD＝x，在Rt△MAD中，∠MAD＝45°，∴△ADM是等腰直角三角形，∴AM＝MD＝x，∴AD＝x，在Rt△MCD中，∠MDC＝63.4°，∴MC≈2MD＝2x，∵AC＝600+600＝1200，∴x+2x＝1200，解得：x＝400，∴MD＝400m，∴AD＝MD＝400，过B作BN⊥AE于N，∵∠EAB＝45°，∠EBC＝75°，∴∠E＝30°，在Rt△ABN中，∠NAB＝45°，AB＝600，∴BN＝AN＝AB＝300，∴DN＝AD﹣AN＝400﹣300＝100，在Rt△NBE中，∠E＝30°，∴NE＝BN＝×300＝300，∴DE＝NE﹣DN＝300﹣100≈580（m），即临D处学校和E处图书馆之间的距离是580m．【点评】本题考查了直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握方向角的概念，正确作出辅助线是解题的关键．14．（本溪）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道AB．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以8m/s的速度飞行15s 到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°．（1）求无人机的高度AC（结果保留根号）；（2）求AB的长度（结果精确到1m）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】（1）利用正切函数即可求出AC的长；（2）过点B作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，得到BF＝AC＝120，AB＝CF，在△BEF中利用正切函数即可求得EF，进而即可求得AB＝CF＝CE﹣EF≈243米．【解答】解：（1）由题意，CD＝8×15＝120（m），在Rt△ACD中，tan∠ADC＝，∴AC＝CD•tan∠ADC＝CD•tan60°＝120×＝120（m），答：无人机的高度AC是120米；（2）过点B作BF⊥CD于点F，则四边形ABFC是矩形，∴BF＝AC＝120，AB＝CF，在Rt△BEF中，tan∠BEF＝，∴EF＝＝≈276.8（m），∵CE＝8×（15+50）＝520（m），∴AB＝CF＝CE﹣EF＝520﹣276.8≈243（米），答：隧道AB的长度约为243米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．。

2021年湖北省中考数学真题分类汇编：图形的变化一．选择题（共5小题）1．（2021•黄石）下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．梯形B．等边三角形C．平行四边形D．矩形2．（2021•黄石）如图是由6个小正方体拼成的几何体，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．（2021•黄石）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣1，0），现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，2）D．（﹣3，2）4．（2021•鄂州）“国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（2021•恩施州）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD 与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（）A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD 二．填空题（共4小题）6．（2021•湖北）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B 处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是m（≈1.732，结果保留整数）．7．（2021•湖北）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点P1（﹣1，﹣1）；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2021的坐标为．8．（2021•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（﹣3，3），将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为．9．（2021•荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B 转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）三．解答题（共3小题）10．（2021•襄阳）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为52°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，≈1.41）．11．（2021•鄂州）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行4km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）12．（2021•十堰）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP＝AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ 的面积等于，求线段AP的长度．2021年湖北省中考数学真题分类汇编：图形的变化参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2021•黄石）下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．梯形B．等边三角形C．平行四边形D．矩形【考点】梯形；轴对称图形；中心对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．梯形不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．（2021•黄石）如图是由6个小正方体拼成的几何体，该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【分析】根据左视图的意义，从左面看该组合体所得到的图形即可．【解答】解：从左面看该组合体，所看到的图形如下，故选：D．【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，明确从左面看该组合体所得到的图形的形状是正确判断的前提．3．（2021•黄石）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是（﹣1，0），现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C的坐标是（）A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，2）D．（﹣3，2）【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【专题】作图题；几何直观．【分析】利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B′，C′可得结论．【解答】解：观察图像，可知C′（﹣2，3），故选：B．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质，属于中考常考题型．4．（2021•鄂州）“国士无双”是人民对“杂交水稻之父”袁隆平院士的赞誉．下列四个汉字中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此判断即可．【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，故此选项符合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【点评】此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．5．（2021•恩施州）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，E为BD 与正方形网格线的交点，下列结论正确的是（）A．CE≠BD B．△ABC≌△CBD C．AC＝CD D．∠ABC＝∠CBD 【考点】勾股定理的应用；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；应用意识．【分析】根据勾股定理可以得到BC、CD、BD的长，再根据勾股定理的逆定理可以得到△BCD的形状，利用相似三角形的判定与性质，可以得到EF的长，然后即可得到CE 的长，从而可以得到CE和BD的关系；根据图形，很容易判断△ABC≌△CBD和AC＝CD不成立；再根据锐角三角函数可以得到∠ABC和∠CBD的关系．【解答】解：由图可得，BC＝＝2，CD＝＝，BD＝＝5，∴BC2+CD2＝（2）2+（）2＝25＝BD2，∴△BCD是直角三角形，∵EF∥GD，∴△BFE∽△BGD，∴，即，解得EF＝1.5，∴CE＝CF﹣EF＝4﹣1.5＝2.5，∴＝，故选项A错误；由图可知，显然△ABC和△CBD不全等，故选项B错误；∵AC＝2，CD＝，∴AC≠CD，故选项C错误；∵tan∠ABC＝＝，tan∠＝＝，∴∠ABC＝∠CBD，故选项D正确；故选：D．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理与勾股定理的逆定理、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二．填空题（共4小题）6．（2021•湖北）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s．同时在地面C处分别测得A处的仰角为75°，B 处的仰角为30°，则这架无人机的飞行高度大约是20m（≈1.732，结果保留整数）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】过A点作AH⊥BC于H，过B点作BD垂直于过C点的水平线，垂足为D，如图，利用仰角定义得到∠ACD＝75°，∠BCH＝30°，利用速度公式计算出AB＝30m，先计算出AH＝15m，再利用正切的定义计算出BH＝15，由于∠ACH＝45°，则CH ＝AH＝15m，然后在Rt△BCD中利用∠BCD＝30°得到BD＝，最后进行近似计算即可．【解答】解：过A点作AH⊥BC于H，过B点作BD垂直于过C点的水平线，垂足为D，如图，根据题意得∠ACD＝75°，∠BCH＝30°，AB＝3×10＝30m，∵AB∥CD，∴∠ABH＝∠BCD＝30°，在Rt△ABH中，AH＝AB＝15m，∵tan∠ABH＝，∴BH＝＝＝15，∵∠ACH＝∠ACD﹣∠BCD＝75°﹣30°＝45°，∴CH＝AH＝15m，∴BC＝BH+CH＝（15+15）m，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝≈20（m）．答：这架无人机的飞行高度大约是20m．故答案为20．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．7．（2021•湖北）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得点P1（﹣1，﹣1）；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2021的坐标为（﹣1011．﹣1011）．【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．【专题】动点型；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】观察图象可知，奇数点在第三象限，由题意P1（﹣1，﹣1），P3（﹣2，﹣2），P5（﹣3，﹣3），•，P2n﹣1（﹣n，﹣n），已解决可解决问题．【解答】解：观察图象可知，奇数点在第三象限，∵P1（﹣1，﹣1），P3（﹣2，﹣2），P5（﹣3，﹣3），•，P2n﹣1（﹣n，﹣n），∴P2021（﹣1011，﹣1011），故答案为：（﹣1011，﹣1011）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，规律型等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．8．（2021•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（﹣1，0），点A的坐标为（﹣3，3），将点A绕点C顺时针旋转90°得到点B，则点B的坐标为（2，2）．【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【专题】平面直角坐标系；几何直观．【分析】如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F．∵∠AEC＝∠ACB＝∠CFB＝90°，∴∠ACE+∠BCF＝90°，∠BCF+∠B＝90°，∴∠ACE＝∠B，在△AEC和△CFB中，，∴△AEC≌△CFB（AAS），∴AE＝CF，EC＝BF，∵A（﹣3，3），C（﹣1，0），∴AE＝CF＝3，OC＝1，EC＝BF＝2，∴OF＝CF﹣OC＝2，∴B（2，2），故答案为：（2，2）．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．9．（2021•荆州）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B 转动，测量知BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，点C到AE的距离为 6.3cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）【考点】解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想．【分析】通过作垂线构造直角三角形，在Rt△ABM中，求出BM，在Rt△BCD中，求出BD，即可求出CN，从而解决问题．【解答】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM，垂足为D，在Rt△ABM中，∵∠BAE＝60°，AB＝16，∴BM＝sin60°•AB＝×16＝8（cm），∠ABM＝90°﹣60°＝30°，在Rt△BCD中，∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，又∵BC＝8，∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8﹣7.52≈6.3（cm），即点C到AE的距离约为6.3cm，故答案为：6.3．【点评】本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系是解决问题的关键．三．解答题（共3小题）10．（2021•襄阳）如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为52°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求旗杆AB的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28，≈1.41）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】在Rt△BCD中，利用正切函数求得BC，在Rt△ACD中，利用正切函数求得AC，即可根据AB＝AC﹣BC求得旗杆AB的高度．【解答】解：在Rt△BCD中，∵tan∠BDC＝，∴BC＝CD•tan∠BDC＝20×tan45°＝20（m），在Rt△ACD中，∵tan∠ADC＝，∴AC＝CD•tan∠ADC＝20×tan52°≈20×1.28＝25.6（m），∴AB＝AC﹣BC＝5.6（m）．答：旗杆AB的度约为5.6m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．11．（2021•鄂州）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行4km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．【分析】（1）根据题意得到∠P AB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，过点B作BD ⊥AP于D点，求得AD＝BD＝4，得到∠PBD＝60°，由BD＝4，求得，于是得到结论；（2）过点P作PE⊥BC于E，根据∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，求得∠PBE＝60°，得到BE＝4，，根据BC＝12，于是得到结论．【解答】解：（1）依题意知：∠P AB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，过点B作BD⊥AP于D点，∵∠DAB＝45°，，∴AD＝BD＝4，∵∠ABD＝∠GBD＝45°，∠GBP＝15°，∴∠PBD＝60°，∵BD＝4，∴，∴P A＝（4+4）（km）；（2）∵∠PBD＝60°，BD＝4，∴PB＝8，过点P作PE⊥BC于E，∵∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，∴∠PBE＝60°，∵PB＝8，∴BE＝4，，∵BC＝12，∴CE＝8，∴PC＝4（km）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．此题难度适中，解此题的关键是将方向角问题转化为解直角三角形的知识，利用三角函数的知识求解．12．（2021•十堰）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP＝AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ 的面积等于，求线段AP的长度．【考点】几何变换综合题．【专题】压轴题；分类讨论；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】（1）由“SAS”证得△ACP≌△BCQ（SAS）可得AP＝BQ．（2）由“SAS”证得△ACP≌△BCQ（SAS）可得AP＝BQ，所以BQ＝AP＝AC＝BC，由“等边对等角”可得∠ABP＝∠APB＝75°，则∠CBP＝∠ABC+∠ABP＝135°，所以∠CBD＝∠QBD＝45°，则BD是△BCQ的平分线，又BC＝BQ，则PB垂直平分CQ．（3）需要分点Q在直线l上方和点Q在直线l下方两种情况讨论，设AP的长度，根据△APQ的面积等于建立等式，可求出AP的长．【解答】解：（1）在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，∴∠ACB＝∠PCQ，∴∠ACP﹣∠PCB＝∠BCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ．（2）在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，∴∠ACB＝∠PCQ，∴∠ACP﹣∠PCB＝∠BCQ﹣∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°；∴BQ＝AP＝AC＝BC，∵AP＝AC，∠CAP＝90°，∴∠BAP＝30°，∠ABP＝∠APB＝75°，∴∠CBP＝∠ABC+∠ABP＝135°，∴∠CBD＝45°，∴∠QBD＝45°，∴∠CBD＝∠QBD，即BD平分∠CBQ，∴BD⊥CQ且点D是CQ的中点，即直线PB垂直平分线段CQ．（3）①当点Q在直线l上方时，如图所示，延长BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，∴△APC≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，∵∠CAB＝∠ABC＝60°，∴∠BAE＝∠ABE＝30°，∵AB＝AC＝4，∴AE＝BE＝，∴∠BEF＝60°，设AP＝t，则BQ＝t，∴EQ＝﹣t，在Rt△EFQ中，QF＝EQ＝（﹣t），∴S△APQ＝AP•QF＝，即•t（﹣t）＝，解得t＝或t＝．即AP的长为或．②当点Q在直线l下方时，如图所示，设BQ交l于点E，过点Q作QF⊥l于点F，由题意可得AC＝BC，PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，∴△APC≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°，∵∠CAB＝∠ABC＝60°，∴∠BAE＝∠ABE＝30°，∴∠BEF＝120°，∠QEF＝60°，∵AB＝AC＝4，∴AE＝BE＝，设AP＝m，则BQ＝m，∴EQ＝m﹣，在Rt△EFQ中，QF＝EQ＝（m﹣），∴S△APQ＝AP•QF＝，即•t（m﹣）＝，解得m＝（m＝负值舍去）．综上可得，AP的长为：或或．【点评】本题主要考查了几何知识的综合运用和几何变换，求相关线段的长度和解一元二次方程是利用代数方法解决几何问题，本题意在加强学生的图形与几何的逻辑推理以及代数几何综合能力．第（3）问中需要根据点Q的位置分类讨论，此处属于易错点．。

2021年九年级中考数学一轮复习专题《找规律：图形变化类》高频考点训练（四）1．根据图中箭头的指向规律，从2017到2018再到2019，箭头的方向是（）A．B．C．D．2．如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第（8）个图案中阴影小三角形的个数是（）A．30 B．31 C．32 D．333．观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形有（）个太阳．A．2n B．n+2n﹣1C．n+2n D．2n4．如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第7个图案中▲的个数为（）A．28 B．25 C．22 D．215．如下图所示：用火柴棍摆“金鱼”按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（）A．2+6n B．8+6n C．4+4n D．8n6．如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第①幅图中含有1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；按这样的规律下去，则第⑥幅图中含有正方形的个数为（）A．55 B．78 C．91 D．1407．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则的值为（）A．B．C．D．8．如图，用若干大小相同的黑白两种颜色的长方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，则第10个图案中黑色瓷砖的个数是（）A．28 B．29 C．30 D．319．如图，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形，探究在第n个图中，黑、白瓷砖分别各有多少块（）A．4n+6，n（n+1）B．4n+6，n（n+2）C．n（n+1），4n+6 D．n（n+2），4n+610．下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形有5个小圆，第②个图形有9个小圆，第③个图形有13个小圆，…，按此规律排列，则第12个图形中小圆的个数为（）A．45 B．48 C．49 D．5011．下列图形都是由同样大小〇的按一定的规律组成的，其中第1个图形一共有4个〇，第2个图形一共有9个〇，第3个图形一共有15个〇，…则第70个图形中〇的个数为（）A．280 B．349 C．2485 D．269512．如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第7个图形中有（）朵玫瑰花．A．16 B．22 C．28 D．3413．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形拼接而成，第①个图案有4个三角形，第②个图案有7个三角形，第③个图案有10个三角形，…依此规律，第2019个图案有多少个三角形（）A．6068 B．6058 C．6048 D．705814．将一根绳子对折1次后从中间剪一刀，绳子变成3段；将一根绳子对折2次后从中间剪一刀，绳子变成5段；…将一根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成的段数是（）A．n+2 B．2n+1 C．n2+1 D．2n+115．将正整数按如图所示的位置顺序排列，根据图中的排列规律，2020应在（）A．A位B．B位C．C位D．D位16．如图，每个图形都由同样大小的“△”按照一定的规律组成，其中第1个图形有4个“△”，第2个图形有7个“△”，第3个图形有11个“△”，…，则第8个图形中“△”的个数为（）A．46 B．48 C．50 D．5217．下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有6个矩形，第②个图形中一共有11个矩形，…，按此规律，第⑧个图形中矩形的个数为（）A．38 B．41 C．44 D．4818．如图，是一组按照某种规律摆放而成的图案，其中图1有1个三角形，图2有4个三角形，图3有8个三角形，……，照此规律，则图10中三角形的个数是（）A．32 B．34 C．36 D．3819．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角20．把三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个三角形，第②个图案中有6个三角形，第③个图案中有8个三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中三角形的个数为（）A．12 B．14 C．16 D．18参考答案1．解：观察图形的变化可知：箭头的指向规律是每4次一循环，所以2019÷4＝504…3，故选：D．2．第（1）个图案中阴影小三角形的个数是2＝1×4﹣2第（2）个图案中阴影小三角形的个数是6＝2×4﹣2第（3）个图案中阴影小三角形的个数是10＝3×4﹣2…第（n）个图案中阴影小三角形的个数是4n﹣2第（8）个图案中阴影小三角形的个数是4×8﹣2＝30故选：A．3．解：第一行小太阳的个数为1、2、3、4、…，第5个图形有5个太阳，第二行小太阳的个数是1、2、4、8、…、2n﹣1，第5个图形有24＝16个太阳，所以第5个图形共有5+16＝21个太阳，所以第n个图形共有（n+2n﹣1）个太阳．故选：B．4．解：观察发现：第一个图形有3×2﹣3+1＝4个三角形；第二个图形有3×3﹣3+1＝7个三角形；第一个图形有3×4﹣3+1＝10个三角形；…第n个图形有3（n+1）﹣3+1＝3n+1个三角形；则第7个图案中▲的个数为3×7+1＝22．故选：C．5．解：由图形可知：第一个金鱼需用火柴棒的根数为：2+6＝8；第二个金鱼需用火柴棒的根数为：2+2×6＝14；第三个金鱼需用火柴棒的根数为：2+3×6＝20；…；第n个金鱼需用火柴棒的根数为：2+n×6＝2+6n．故选：A．6．解：观察图形发现第一个有1个正方形，第二个有1+4＝5个正方形，第三个有1+4+9＝14个正方形，…第n个有：1+4+9+…+n2＝n（n+1）（2n+1）个正方形，第6个有1+4+9+16+25+36＝91个正方形，故选：C．7．解：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，a n＝n（n+2）；∴＝+++…+＝++…++++…+＝（1﹣）+（﹣）＝，故选：A．8．解：第个图案中有黑色纸片3×1+1＝4张第2个图案中有黑色纸片3×2+1＝7张，第3图案中有黑色纸片3×3+1＝10张，…第n个图案中有黑色纸片＝3n+1张．当n＝10时，3n+1＝3×10+1＝31故选：D．9．解：通过观察图形可知，当n＝1时，用白瓷砖2块，黑瓷砖10块；当n＝2时，用白瓷砖6块，黑瓷砖14块；当n＝3时，用白瓷砖12块，黑瓷砖18块；可以发现，需要白瓷砖的数量和图形数之间存在这样的关系，即白瓷砖块数等于图形数的平方加上图形数；需要黑瓷砖的数量和图形数之间存在这样的关系，即黑瓷砖块数等于图形数的4倍加上图形数．所以，在第n个图形中，白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n（n+1）；白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4n+6．故选：A．10．解：观察图形，可知第①个图形有5个小圆，即5＝1×4+1第②个图形有9个小圆，即9＝2×4+1第③个图形有13个小圆，即13＝3×4+1…第n个图形有（4n+1）个小圆，所以第12个图形有12×4+1＝49个小圆．故选：C．11．解：∵第①个图形中基本图形的个数4＝3×1+，第②个图形中基本图形的个数8＝3×2+，第③个图形中基本图形的个数11＝3×3+，…∴第n个图形中基本图形的个数为3n+当n＝70时，3×70+＝2695，故选：D．12．解：观察图形可知：第1个图形中有（4＝1×4 ）朵玫瑰花；第2个图形中有（8＝2×4 ）朵玫瑰花；第3个图形中有（12＝3×4 ）朵玫瑰花…发现规律：第7个图形中有（4×7＝28）朵玫瑰花．故选：C．13．解：第①个图案有4个三角形，即4＝3×1+1第②个图案有7个三角形，即7＝3×2+1第③个图案有10个三角形，即10＝3×3+1…第n个图案三角形个数为3n+1，所以第2019个图案有三角形的个数为3×2019+1＝6058故选：B．14．解：∵对折1次从中间剪断，有21+1＝3；对折2次，从中间剪断，有22+1＝5．∴对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成2n+1段．故选：D．15．解：被4除余数是1的排在D位，被4除余数是2的排在A位，被4除余数是3的排在B位，被4整除的排在C位．2020÷4＝505，所以2020排在C位．故选：C．16．解：∵第1个图形中“△”个数为3+1+0＝4，第2个图形中“△”个数为5+1+1＝7，第3个图形中“△”个数为7+1+1+2＝11，第4个图形中“△”个数为9+1+1+2+3＝16，∴第8个图形中“△”个数为2×8+1+1+1+2+3+4+5+6+7＝46，故选：A．17．解：∵图①有矩形有6个＝5×1+1，图②矩形有11个＝5×2+1，图③矩形有16＝5×3+1，∴第n个图形矩形的个数是5n+1当n＝8时，5×8+1＝41个．故选：B．18．解：第一个图案有三角形1个，第二图案有三角形1+3＝4个，第三个图案有三角形1+3+4＝8个，第四个图案有三角形1+3+4+4＝12，…第n个图案有三角形4（n﹣1）个，第10个图中三角形的个数是4×（10﹣1）＝36．故选：C．19．解：设第n个正方形中标记的最大的数为a n．观察给定正方形，可得出：每个正方形有4个数，即a n＝4n．∵2019＝504×4+3，∴数2019应标在第505个正方形左上角．故选：C．20．解：∵第①个图案中三角形个数4＝2+2×1，第②个图案中三角形个数6＝2+2×2，第③个图案中三角形个数8＝2+2×3，……∴第⑦个图案中三角形的个数为2+2×7＝16，故选：C．。

2021年浙江省中考数学真题分类汇编：图形的变化一．选择题（共15小题）1．（2021•宁波）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（）A．B．C．D．2．（2021•丽水）如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．3．（2021•绍兴）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）A．B．C．D．4．（2021•衢州）如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，∠B ＝∠β．当AC平分∠B′AC′时，∠α与∠β满足的数量关系是（）A．∠α＝2∠βB．2∠α＝3∠βC．4∠α+∠β＝180°D．3∠α+2∠β＝180°5．（2021•金华）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（）A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D．米6．（2021•温州）直六棱柱如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．7．（2021•温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（）A．8B．9C．10D．15 8．（2021•温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB ＝α，则OC2的值为（）A．+1B．sin2α+1C．+1D．cos2α+1 9．（2021•绍兴）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（）A．2m B．3m C．m D．m 10．（2021•嘉兴）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．矩形D．菱形11．（2021•丽水）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b），平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（）A．将B向左平移4.5个单位B．将C向左平移4个单位C．将D向左平移5.5个单位D．将C向左平移3.5个单位12．（2021•台州）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）A．（36）cm2B．（36）cm2C．24cm2D．36cm213．（2021•丽水）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为（）A．B．C．D．14．（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（）A．B．C．D．15．（2021•绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（）A．B．C．D．2二．填空题（共8小题）16．（2021•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sin B的值是．17．（2021•杭州）计算：sin30°＝．18．（2021•衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，F A，EB均与地面垂直，测得F A＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．（1）椅面CE的长度为cm．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD的度数达到最小值30°时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）19．（2021•嘉兴）如图，在直角坐标系中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们位似中心的坐标是．20．（2021•杭州）如图是一张矩形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF ＝AB，则∠DAF＝度．21．（2021•嘉兴）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A 出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连结A′C，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为．22．（2021•金华）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置．木条BC上的点P处安装一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D，从A点发出的光束经平面镜P反射后，在MN上形成一个光点E．已知AB⊥BC，MN⊥BC，AB＝6.5，BP＝4，PD＝8．（1）ED的长为．（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到BC′（如图2），点P的对应点为P′，BC′与MN的交点为D′，从A点发出的光束经平面镜P′反射后，在MN上的光点为E′．若DD′＝5，则EE′的长为．23．（2021•湖州）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是．三．解答题（共7小题）24．（2021•嘉兴）一酒精消毒瓶如图1，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图2，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm．当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图3）．（1）求点D转动到点D′的路径长；（2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）25．（2021•丽水）如图，在5×5的方格纸中，线段AB的端点均在格点上，请按要求画图．（1）如图1，画出一条线段AC，使AC＝AB，C在格点上；（2）如图2，画出一条线段EF，使EF，AB互相平分，E，F均在格点上；（3）如图3，以A，B为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．26．（2021•绍兴）拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，底座AB固定，高AB为50cm，连杆BC长度为70cm，手臂CD长度为60cm．点B，C是转动点，且AB，BC与CD始终在同一平面内．（1）转动连杆BC，手臂CD，使∠ABC＝143°，CD∥l，如图2，求手臂端点D离操作台l的高度DE的长（精确到1cm，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）．（2）物品在操作台l上，距离底座A端110cm的点M处，转动连杆BC，手臂CD，手臂端点D能否碰到点M？请说明理由．27．（2021•台州）图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处．若∠AED＝48°，BE＝110cm，DE＝80cm，求活动杆端点D离地面的高度DF．（结果精确到1cm，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）28．（2021•杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．29．（2021•宁波）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D'的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40cm，B为AD′中点．当∠BAC＝140°时，伞完全张开．（1）求AB的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）30．（2021•温州）如图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．（1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的倍，画在图3中．2021年浙江省中考数学真题分类汇编：图形的变化参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．（2021•宁波）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【分析】根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案．【解答】解：从正面看，底层是一个比较长的矩形，上层中间是一个比较窄的矩形．故选：C．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形．2．（2021•丽水）如图是由5个相同的小立方体搭成的几何体，它的主视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看底层是三个正方形，上层中间是一个正方形．故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．3．（2021•绍兴）如图的几何体由五个相同的小正方体搭成，它的主视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层左边一个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．4．（2021•衢州）如图．将菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，∠B ＝∠β．当AC平分∠B′AC′时，∠α与∠β满足的数量关系是（）A．∠α＝2∠βB．2∠α＝3∠βC．4∠α+∠β＝180°D．3∠α+2∠β＝180°【考点】菱形的性质；旋转的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【分析】由菱形和旋转的性质可证：∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝∠α，再根据AD∥BC，即可得出4∠α+∠β＝180°．【解答】解：∵AC平分∠B′AC′，∴∠B'AC＝∠C'AC，∵菱形ABCD绕点A逆时针旋转∠α得到菱形AB′C′D′，∴∠BAB'＝∠CAC'＝∠α，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠BAB'＝∠DAC'，∴∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝∠α，∵AD∥BC，∴4∠α+∠β＝180°，故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质，以及旋转前后对应角相等等知识，熟记其性质是解题的关键．5．（2021•金华）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（）A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D．米【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】直接利用等腰三角形的性质得出BD＝DC，再利用锐角三角函数关系得出DC 的长，即可得出答案．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝2米，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴cosα＝＝，∴DC＝2cosα（米），∴BC＝2DC＝2×2cosα＝4cosα（米）．故选：A．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的性质，正确表示出DC 的长是解题关键．6．（2021•温州）直六棱柱如图所示，它的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单几何体的三视图．【专题】投影与视图；空间观念．【分析】根据简单几何体的三视图进行判断即可．【解答】解：从上面看这个几何体，看到的图形是一个正六边形，因此选项C中的图形符合题意，故选：C．【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．7．（2021•温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（）A．8B．9C．10D．15【考点】位似变换．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可．【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3，AB＝6，∴＝，即＝，解得，A′B′＝9，故选：B．【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握位似图形的两个图形是相似图形、相似三角形的性质是解题的关键．8．（2021•温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB ＝α，则OC2的值为（）A．+1B．sin2α+1C．+1D．cos2α+1【考点】勾股定理；解直角三角形的应用．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】在Rt△OAB中，sinα＝，可得OB的长度，在Rt△OBC中，根据勾股定理OB2+BC2＝OC2，代入即可得出答案．【解答】解：∵AB＝BC＝1，在Rt△OAB中，sinα＝，∴OB＝，在Rt△OBC中，OB2+BC2＝OC2，∴OC2＝（）2+12＝．故选：A．【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法进行计算是解决本题的关键．9．（2021•绍兴）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高PO＝5m，树影AC＝3m，树AB与路灯O的水平距离AP＝4.5m，则树的高度AB长是（）A．2m B．3m C．m D．m【考点】相似三角形的应用；中心投影．【专题】图形的相似；应用意识．【分析】利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AB∥OP，∴△CAB∽△CPO，∴，∴，∴AB＝2（m），故选：A．【点评】本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．10．（2021•嘉兴）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．矩形D．菱形【考点】菱形的判定；剪纸问题．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，按原图返回即可．【解答】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，由折叠可知CA＝AB，∴△ABC是等腰三角形，又△ABC和△BCD关于直线BC对称，∴四边形BACD是菱形，故选：D．【点评】本题主要考查折叠的性质及学生动手操作能力：逆向思维也是常用的一种数学思维方式．11．（2021•丽水）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b），平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（）A．将B向左平移4.5个单位B．将C向左平移4个单位C．将D向左平移5.5个单位D．将C向左平移3.5个单位【考点】坐标确定位置；关于x轴、y轴对称的点的坐标；生活中的平移现象；坐标与图形变化﹣平移．【专题】平面直角坐标系；运算能力．【分析】注意到A，B关于y轴对称，只需要C，D关于y轴对称即可，可以将点C（2，b）向左平移到（﹣3.5，b），平移5.5个单位，或可以将D（3.5，b）向左平移到（﹣2，b），平移5.5个单位．【解答】解：∵A，B，C，D这四个点的纵坐标都是b，∴这四个点在一条直线上，这条直线平行于x轴，∵A（﹣1，b），B（1，b），∴A，B关于y轴对称，只需要C，D关于y轴对称即可，∵C（2，b），D（3.5，b），∴可以将点C（2，b）向左平移到（﹣3.5，b），平移5.5个单位，或可以将D（3.5，b）向左平移到（﹣2，b），平移5.5个单位，故选：C．【点评】本题考查了生活中的平移现象，关于y轴对称的点的坐标，注意关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标不变．12．（2021•台州）如图，将长、宽分别为12cm，3cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）A．（36）cm2B．（36）cm2C．24cm2D．36cm2【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】矩形菱形正方形；几何直观．【分析】根据题意可知阴影部分的面积＝长方形的面积﹣三角形ABC的面积，根据题中数据计算三角形ABC的面积即可．【解答】解：根据翻折可知，∠MAB＝∠BAP，∠NAC＝∠P AC，∴∠BAC＝∠P AB+∠P AC＝（∠MAB+∠BAP+∠NAC+∠P AC）＝180°＝90°，∵∠α＝60°，∴∠MAB＝180°﹣∠BAC﹣∠α＝180°﹣90°﹣60°＝30°，∴AB＝＝6（cm），AC＝＝2（cm），∴阴影部分的面积＝S长方形﹣S△ABC＝12×3﹣6×＝（36﹣6）（cm2），故选：A．【点评】本题主要考查翻折和矩形的性质等知识点，熟练掌握和应用翻折的性质是解题的关键．13．（2021•丽水）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为（）A．B．C．D．【考点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【专题】图形的相似；推理能力．【分析】由翻折得出AD＝DF，∠A＝∠DFE，再根据FD平分∠EFB，得出∠DFH＝∠A，然后借助相似列出方程即可．【解答】解：作DH⊥BC于H，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝，∵将△ADE沿DE翻折得△DEF，∴AD＝DF，∠A＝∠DFE，∵FD平分∠EFB，∴∠DFE＝∠DFH，∴∠DFH＝∠A，设DH＝3x，在Rt△DHF中，sin∠DFH＝sin∠A＝，∴DF＝5x，∴BD＝5﹣5x，∵△BDH∽△BAC，∴，∴，∴x＝，∴AD＝5x＝．故选：D．【点评】本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等、对应角相等来解决问题，通过相似表示线段和列方程是解题本题的关键．14．（2021•温州）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值为（）A．B．C．D．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF 于N．设BE＝AN＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，想办法求出BH，CG，可得结论．【解答】解：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE＝AN＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，∴EN＝EM＝MF＝FN＝a，∵四边形ENFM是正方形，∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°，∵GT⊥TF，DF⊥DG，∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°，∴TG＝FT＝DF＝DG＝a，∴CT＝3a，CG＝＝a，∵MH∥TG，∴△CMH∽△CTG，∴CM：CT＝MH：TG＝1：3，∴MH＝a，∴BH＝2a+a＝a，∴＝＝，故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．15．（2021•绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（）A．B．C．D．2【考点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】设DE交AC于T,过点E作EH⊥CD于H.首先证明EA＝ED＝EC,再证明∠B＝∠ECD,可得结论。