七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题11 巧解二元一次方程组

初一数学二元一次方程组的解法与应用二元一次方程组是初中数学中的重要内容，它涉及到两个未知数的方程组。

在本文中，我们将介绍二元一次方程组的解法以及它在实际生活中的应用。

一、解法1. 消元法消元法是求解二元一次方程组最常用的方法之一。

对于形如：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂的方程组，首先选择其中一个方程，通过系数的适当倍乘，使得其中一个未知数的系数相等。

然后将两个方程相减，消去该未知数，得到一个只含有另一个未知数的一元一次方程。

求解该方程后，代入到原方程得出另一未知数的值。

2. 代入法代入法是另一种常用的解二元一次方程组的方法。

首先选择其中一个方程，解出其中一个未知数，然后将该值代入到另一个方程中，求解得到另一个未知数的值。

二、应用1. 几何问题二元一次方程组可以应用于几何问题中。

例如，已知两条直线的方程，求解它们的交点坐标。

将两条直线的方程组成二元一次方程组，通过解方程组可以求得它们的交点坐标。

2. 商业问题二元一次方程组在商业问题中也有广泛的应用。

例如，某公司生产两种产品，已知这两种产品的生产成本和售价，求解生产和销售这两种产品的数量，以最大化利润。

通过建立二元一次方程组，并求解方程组可以得到最优解。

3. 等比数列问题等比数列问题中常常需要解二元一次方程组。

例如，已知等比数列的第一项和公比，求解前n项的和。

通过建立关于等比数列的二元一次方程组，并求解可以得到所需的结果。

总结：二元一次方程组的解法有消元法和代入法，根据问题的要求可以选择不同的方法进行求解。

而二元一次方程组在几何、商业和数列等领域都有广泛的应用，通过解方程组可以求解实际问题，提高解决问题的能力。

以上是关于初一数学二元一次方程组的解法与应用的内容论述。

通过消元法和代入法，我们可以解决二元一次方程组，并且这些方法在几何、商业和数列等领域都有广泛的应用。

希望本文对您理解和掌握二元一次方程组有所帮助。

2020-2021学年人教版数学初一讲练（培优和竞赛二合一）（10）二元一次方程组解的讨论【知识精读】二元一次方程组 222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种：1．当212121c c b b a a 时，方程组有无数多解。

（∵两个方程等效）①当212121c c b b a a 时，方程组无解。

（∵两个方程是矛盾的）②当2121b b a a （即a 1b 2－a 2b 1"`0）时，方程组有唯一的解：③ 1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元2．一次方程整数解的求法进行。

求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待3．定系数的不等式或加以讨论。

（见例2、3）【分类解析】例1.　选择一组a,c 值使方程组c y ax y x 275有无数多解，　②无解，　③有唯一的解①解：　①当　5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10,　c=14。

当　5∶a ＝1∶2"`7∶c 时，方程组无解。

　②解得a=10,　c"`14。

③当　5∶a"`1∶2时，方程组有唯一的解，即当a"`10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。

例2.　a 取什么值时，方程组3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组得23152331a y a x ∵ 00y x ∴ 023*******a a 解不等式组得 531331a a 解集是6311051 a 答：当a 的取值为6311051 a 时，原方程组的解是正数。

例3.　m 取何整数值时，方程组1442y x my x 的解x 和y 都是整数？解：把m 作为已知数，解方程组得82881m y m x ∵x 是整数，∴m －8取8的约数±1，±2，±4，±8。

二元一次方程组的解法考点名称：二元一次方程组的解法二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。

二元一次方程组解的情况：一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

求方程组的解的过程，叫做解方程组。

一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况：1、有一组解。

如方程组:x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2、有无数组解。

如方程组：x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。

3、无解。

如方程组：x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。

可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：ax+by=cdx+ey=f当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。

当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。

当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。

二元一次方程组的解法：解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c2．a=b←→ac=bc (c>0)一、消元法1）代入消元法用代入消元法的一般步骤是：①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成 y = ax +b 或x = ay + b的形式；②将y = ax + b 或 x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出 x 或 y 值；④将已求出的 x 或 y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或 x = ay + b），求出另一个未知数；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。

例：解方程组：x+y=5①｛6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89即 y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即 x=-24/7∴ x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。

第8章《二元一次方程组》培优拔尖习题训练一．选择题（共8小题）1．方程x+4y＝20的非负整数解有（）A．4组B．5组C．6组D．无数组2．已知是方程组的解，则a﹣b的值是（）A．﹣1B．1C．﹣5D．53．如果是方程2x+y＝0的一个解（m≠0），那么（）A．m≠0，n＝0B．m，n异号C．m，n同号D．m，n可能同号，也可能异号4．解方程组时，一学生把c看错得，已知方程组的正确解是，则a，b，c的值是（）A．a，b不能确定，c＝﹣2B．a＝4，b＝5，c＝﹣2C．a＝4，b＝7，c＝﹣2D．a，b，c都不能确定5．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（）A．±3B．3C．D．6．方程组的解的个数为（）A．1B．2C．3D．47．若2x+5y+4z＝0，3x+y﹣7z＝0，则x+y﹣z的值等于（）A．0B．1C．2D．不能求出8．太原市城乡居民用电价格按用电需求分为三个档次，电价分档递增：第一档电量为170千瓦时及以下，第二档电量为171千瓦时至260千瓦时，第三档电量为261千瓦时及以上，小颖家7月用电量为210千瓦时，交电费102.17元；8月用电量为180千瓦时，交电费86.36元．若第一档电价为x元/千瓦时，第二档电价为y元/千瓦时，则可得方程（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）9．点A是第二象限内一点，且A的坐标（x，y）是二元一次方程2x+y＝3的一组解，请你写出满足条件的点A坐标（写出一个即可）．10．已知方程组与有相同的解，则m+n＝．11．以方程组的解为坐标的点（y，x）在第象限．12．用“代入消元法”解方程组时，可先将第方程（填序号即可）变形为，然后再代入．13．体育馆的环形跑道长400米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果同向而行80秒乙追上甲一次；如果反向而行，他们每隔30秒相遇一次；求甲、乙的速度分别是多少？如果设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒，所列方程组是14．如果方程组的解为那么被“*”“△”遮住的两个数分别是．三．解答题（共7小题）15．解下列方程组（1）．（2）．16．小萌知道和都是二元一次方程ax+by+4＝0的解，请你帮她求出a3b的立方根．17．若方程组的解x，y的和为6，求代数式3k+2000的值．18．为了积极推进轨道交通建设，某城市计划修建总长度36千米的有轨电车．该任务由甲、乙两工程队先后接力完成甲工程队每天修建0.06千米，乙工程队每天修建0.08千米，两工程队共需修建500天．根据题意，小明和小华两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：小明：小华：（1）根据两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x表示的意义小明：x表示；小华：x表示．（2）求甲、乙两工程队分别修建有轨电车多少千米？19．随着中国传统节日“端午节”的临近，永旺超市决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买1盒甲品牌粽子和2盒乙品牌粽子需230元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？20．如图，数轴上A、B两点表示的数分别为a、b，且a、b满足（1）求a和b的值；（2）在数轴上有一动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向向终点B运动，同时另一动点Q从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴负方向向终点A运动，当一个动点到达终点时，另一个动点继续运动若点M为线段PQ的中点，设点P的运动时间为t秒，请用含t的整式表示点M所表示的数；（3）在（2）的条件下，当BQ﹣OP＝90时，求点M所表示的数．21．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片张，正方形铁片张；（2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？（3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？参考答案一．选择题（共8小题）1．【解答】解：二元一次方程x+4y＝20的所有正整数解有：x＝4，y＝4；x＝8，y＝3；x＝12，y＝2；x＝16，y＝1．x＝0，y＝5；x＝20，y＝0．故选：C．2．【解答】解：∵是方程组的解，∴，两个方程相减，得5a﹣5b＝5，∴a﹣b＝1，故选：B．3．【解答】解：把代入方程，得2m+n＝0，即2m＝﹣n，又m≠0，所以m，n为异号．故选：B．4．【解答】解：把代入ax+by＝2，得﹣2a+2b＝2①，把代入方程组，得，则①+②，得a＝4．把a＝4代入①，得﹣2×4+2b＝2，解得b＝5．解③得c＝﹣2．故a＝4，b＝5，c＝﹣2．故选：B．5．【解答】解：将x＝2，y＝1代入方程组得：，①+②×2得：5n＝10，即n＝2，将n＝2代入②得：4﹣m＝1，即m＝3，∴m+3n＝3+6＝9，则＝3，3的算术平方根为．故选：C．6．【解答】解：当x≥0，y≤0时，原方程组可化为：，解得；由于y≤0，所以此种情况不成立．当x≤0，y≥0时，原方程组可化为：，解得．当x≥0，y≥0时，，无解；当x≤0，y≤0时，，无解；因此原方程组的解为：．故选：A．7．【解答】解：根据题意得：，把（2）变形为：y＝7z﹣3x，代入（1）得：x＝3z，代入（2）得：y＝﹣2z，则x+y﹣z＝3z﹣2z﹣z＝0．故选：A．8．【解答】解：小颖家7月电费：170x+（210﹣170）y＝102.17，①小颖家8月电费：170x+（180﹣170）y＝86.36，②①和②联立可得方程组．故选：C．二．填空题（共6小题）9．【解答】解：令x＝﹣1，得﹣2+y＝3，即y＝5，则A的坐标为（﹣1，5）（答案不唯一），故答案为：（﹣1，5）（答案不唯一），10．【解答】解：∵与有相同的解，∴解方程组得，∴解m、n的方程组得∴m+n＝4﹣1＝3．故答案为：3．11．【解答】解：，②﹣①得：3x+3＝0，解得：x＝﹣1，把x＝﹣1代入②得：y＝5﹣1＝4，则（4，﹣1）在第四象限，故答案为：四．12．【解答】解：可将方程②变形为y＝或x＝代入方程①，故答案为：②，y＝（或x＝）．13．【解答】解：根据题意，得．故答案为：．14．【解答】解：把x＝6代入2x+y＝16得：y＝4，把x＝6，y＝4代入得：x+y＝6+4＝10，则被“☆”、“□”遮住的两个数分别是10，4，故答案为：10和4．三．解答题（共7小题）15．【解答】解：（1）．原方程组可化为由①×2﹣②×3，可得4y﹣（﹣9y）＝39，解得y＝3，把y＝3代入①，可得3x+6＝12，解得x＝2，∴方程组的解为；（2）由①+②，可得3x+4y＝18，④由②+③，可得5x+2y＝16，即10x+4y＝32，⑤由⑤﹣④，可得7x＝14，解得x＝2，把x＝2代入④，可得6+4y＝18，∴y＝3，把x＝2，y＝3代入①，可得2+3+z＝6，∴z＝1，∴方程组的解为．16．【解答】解：把和代入二元一次方程ax+by+4＝0得：得：，解得：，则a3b＝（﹣3）3×1＝﹣27，因此，a3b的立方根是﹣3．17．【解答】解：∵x，y的和为6，∴x+y＝6，∴解得：∴3k+2000＝2015．18．【解答】解：（1）小明：x表示甲工程队修建的天数；小华：x表示甲工程队修建的长度．故答案为：甲工程队修建的天数；甲工程队修建的长度．（2）设甲工程队修建x千米，乙工程队修建y千米，由题意得：解得答：甲工程队修建12千米，乙工程队修建24千米．19．【解答】解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据题意得：解得：答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）80×70×（1﹣80%）+100×80×（1﹣75%）＝3120（元）．答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．20．【解答】解：（1），①×2﹣②得，a＝﹣50，把a＝﹣50代入①得，﹣100+b＝﹣10，∴b＝90；∴a＝﹣50，b＝90．（2）∵P A＝2t，QB＝5t，∴PQ＝90﹣（﹣50）﹣（2t+5t），或PQ＝（2t+5t）﹣[90﹣（﹣50）]，∵点M为线段PQ的中点，∴点M所表示的数为[90﹣（﹣50）﹣（2t+5t）]或{（2t+5t）﹣[90﹣（﹣50）]}，即点M所表示的数为70﹣t或t﹣70；（3）由题意可知OP＝50﹣2t或OP＝2t﹣50当OP＝50﹣2t，且BQ﹣OP＝90时，有：5t﹣（50﹣2t）＝90∴t＝20此时AP＝2×20＝40，BQ＝20×5＝100﹣50+40＝﹣10，90﹣100＝﹣10∴P、Q重合∴点M表示的数为﹣10当OP＝2t﹣50，且BQ﹣OP＝90时，有：5t﹣（2t﹣50）＝90∴t＝此时AP＝2×＝，BQ＝5×＝﹣50+＝﹣，90﹣＝∴点M表示的数为0．综上，点M所表示的数为﹣10或0．21．【解答】解：（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张；（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意得，解得答：竖式铁容器加工100个，横式铁容器加工538个；（3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，根据题意得，解得，∵在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做25×3＝75（片），9张做正方形铁片可做9×4＝36（片），剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，共可做长方形铁片75+1＝76（片），正方形铁片36+2＝38（片），∴可做铁盒76÷4＝19（个）答：最多可加工成铁盒19个．。

二元一次方程组典型例题【例1】已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值.【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.（１）由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x，y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.（２）把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值.（３）将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k的值.把代入①，得，解得k=-4.解法二：①×3－②×２，得17y=k-22，解法三：①+②，得5x-y=2k+11.又由5x-y=3，得2k+11=3，解得k=-4.【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解二元一次方程组能力提升讲义知识提要1． 二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当212121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。

（∵两个方程等效） ② 当212121c c b b a a ≠=时，方程组无解。

（∵两个方程是矛盾的） ③ 当2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=1221211212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。

3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。

2021年度人教版七年级数学下册第8章二元一次方程组单元综合优生辅导训练（附答案）1．在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元购买A，B两种奖品（两种都要买），A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，购买方案共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种2．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则k的值是（）A．3B．2C．1D．03．不考虑优惠，买1本笔记本和3支水笔共需14元，买4本笔记本和6支水笔共需38元，则购买1本笔记本和1支水笔共需（）A．3元B．5元C．8元D．13元4．小明步行速度为5千米/时，骑车速度为15千米/时．如果小明先骑车2小时，然后步行3小时，那么他的平均速度是（）A．5千米/时B．9千米/时C．10千米/时D．15千米/时5．八块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长等于（）A．15cm B．30cm C．40 cm D．45 cm6．若方程组的解x与y的和为2，则m的值为（）A．﹣2B．2C．﹣1D．17．在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x﹣y＝（）A．2B．4C．6D．88．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①是方程组的解；②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解；其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．在解方程组由于粗心，甲看错了方程组中的a，得到的解为，乙看错了方程组中的b，得解，则原方程组中的正确的解为（）A．B．C．D．10．若是关于x、y的方程组的解，则（a+b）（a﹣b）的值为（）A．15B．﹣15C．16D．﹣1611．如图，是由7块颜色不同的正方形组成的长方形，已知中间小正方形的边长为1，则这个长方形的面积为．12．母亲和女儿的年龄之和是80岁，当母亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是母亲现在年龄的，则女儿现在的年龄是岁．13．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y两，根据题意可列方程组为．14．若方程组的解是，则方程组的解是x＝，y ＝．15．若关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值为．16．为支持贫困地区的卫生服务建设，某公益组织准备了2595块香皂，1058包消毒纸巾和若干瓶洗手液，志愿者将这些物资分成了A、B、C三类包裹进行发放，一个A类包裹里有20块香皂，8包消毒纸巾和5瓶洗手液，一个B类包裹里有15块香皂，10包消毒纸巾和3瓶洗手液，一个C类包裹里有30块香皂，8包消毒纸巾和4瓶洗手液．已知A、B、C三类包裹的数量都为正整数，并且A类的个数低于45个，B类个数低于49个，那么所有包裹里洗手液的总瓶数为瓶．17．小华在文具超市挑选了6支中性笔和5本笔记本．结账时，小华付款50元，营业店员找零4元，小华说：“阿姨您好，6支中性笔和5本笔记本一共42元，应该找零8元．”店员说：“啊…哦，我明白了，小朋友你真棒，我刚才把中性笔和笔记本的单价弄反了，对不起，再找给你4元”．根据两人的对话计算：若购买一支中性笔和一本笔记本一共需要付款元．18．现有八个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，则每个小长方形的长是．19．若关于x，y的二元一次方程的解也是二元一次方程x+y＝4的解，则k的值为．20．在长为20m、宽为16m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，则每个小长方形花圃的面积是m2．21．解方程组：22．已知关于x，y的方程组（1）方程x+2y＝5中，用含x的式子表示y；（2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值．23．阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：（1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝，x+y＝；（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值．24．2月8日，新世纪超市举办大型年货节．此次年货节活动特别准备了A、B两种商品进行特价促销，已知购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多40元．购进A种商品2件与购进B种商品3件的进价相同．（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）该超市从厂家购进了A、B两种商品共60件，所用资金为5800元．出售时，A种商品在进价的基础上加价30%进行标价；B商品按标价出售每件可获利20元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完共可获利多少元？（3）在（2）的条件下，年货节期间，A商品按标价出售，B商品按标价先销售一部分商品后，余下的再按标价降价6元出售，A、B两种商品全部售出，总获利比全部按标价售出获利少了120元，则B商品按标价售出多少件？25．某景点的门票价格如下表所示：购票人数（人）1～5051～100100以上每人门票（元）12108某校七年级（1），（2）两班计划去游览该景点，两班总人数之和多于100人，其中（1）班人数少于50人，（2）班人数多于50人且少于100人．若两班都以班为单位单独购票，则一共需支付1118元；若两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．（1）问：两个班各有多少名学生？（2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少元？26．一个电器超市购进A、B两种型号的电风扇进行销售，已知购进2台A型号和3台B型号共用910元，购进3台A型号比购进2台B型号多用260元．（1）求A、B两种型号的电风扇每台进价分别是多少元？（2）超市根据市场需求，决定购进这两种型号的电风扇共30台进行销售，A种型号电风扇每台售价260元，B种型号电风扇每件售价190元，若超市购进的两种电风扇全部售出后，总获利是1400元，求该超市本次购进A、B两种型号的电风扇各多少台？参考答案1．解：设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据题意得：15x+25y＝200，化简整理得：3x+5y＝40，得y＝8﹣x，∵x，y为正整数，∴，，∴有2种购买方案：方案1：购买了A种奖品5个，B种奖品5个；方案2：购买了A种奖品10个，B种奖品2个．故选：A．2．解：把x＝3，y＝﹣3代入方程3x+2y＝k+1，得9﹣6＝k+1，解得k＝2．故选：B．3．解：设笔记本的单价为x元，水笔的单价为y元，依题意，得：，解得：，∴x+y＝8，即购买1本笔记本和1支水笔共需8元，故选：C．4．解：设小明走的总路程为x千米，平均速度是为y千米/时，由题意得：，解得：，即小明的平均速度是9千米/时，故选：B．5．解：设每块长方形地砖的长为xcm，宽为ycm．依题意得，解得．即：长方形地砖的长为45cm．故选：D．6．解：解方程组，得，因为x+y＝2，所以m+1+＝2，解得m＝1．则m的值为1．故选：D．7．解：依题意得：，解得：，∴x﹣y＝8﹣2＝6．故选：C．8．解：①（1）×3+（2）得：4x+8y＝12∴x+2y＝3 （3）将x＝5，y＝﹣1代入（3），左边＝5+2×（﹣1）＝3＝右边故①正确；②将a＝﹣2代入方程组得：解得：x，y的值互为相反数，故②正确；③将a＝1代入方程组得：解得：当a＝1时，方程x+y＝4﹣a化为：x+y＝3∴x＝3，y＝0是方程x+y＝3的解，故③正确．故选：D．9．解：将代入x+by＝7，将代入ax+y＝10，得，∴，∴原方程组为解得，故选：C．10．解：∵是关于x、y的方程组的解，∴，解得，∴（a+b）（a﹣b）＝（﹣1+4）×（﹣1﹣4）＝﹣15．故选：B．11．解：设左下角的小正方形边长为x，左上角最大的正方形的边长为y，由题意得：，解得：，∴矩形的长＝2+2+2+3＝9，宽＝2+5＝7，S矩形＝7×9＝63，故答案为：63．12．解：设女儿现在年龄是x岁，母亲现在的年龄是y岁，根据题意得：，解得：，即女儿现在的年龄是25岁，故答案为：25．13．解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：．故答案是：．14．解：把代入方程组得，，所以c1﹣c2＝2（a1﹣a2），c1﹣2a1＝3，方程组，①﹣②得，（a1﹣a2）x＝a1﹣a2﹣（c1﹣c2），所以（a1﹣a2）x＝﹣（a1﹣a2），因此x＝﹣1，把x＝﹣1代入方程组中的方程①得，﹣a1+y＝a1﹣c1，所以y＝2a1﹣c1＝﹣（c1﹣2a1）＝﹣3，故答案为：﹣1，﹣3．15．解：因为关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，所以x+y＝0，方程组，②﹣①，得x﹣y＝2，解方程组，得，将x＝1，y＝﹣1代入①得，1﹣2＝k﹣1，解得k＝0．故答案为：0．16．解：设A类包装有x个，B类包装有y个，C类包装有z个，洗手液有w瓶，根据题意得，解得，∵x＜45，y＜49，∴，解得36＜z＜44，∵z为整数，∴z＝37或38或39或40或41或42或43，∵x＝126﹣为整数，∴z＝40，x＝36，∴y＝z+5＝45，∴洗手液的总瓶数为：w＝5x+3y+4z＝5×36+3×45+4×40＝475，故答案为：475．17．解：设购买一支中性笔x元，购买一本笔记本y元，则．由①+②，得11（x+y）＝88．所以x+y＝8．即：购买一支中性笔和一本笔记本一共需要付款8元．故答案是：8．18．解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：，解得：，则每个小长方形的长是10；故答案为：10．19．解：∵关于x，y的二元一次方程的解也是二元一次方程x+y＝4的解，∴①+②得x+y＝2k∴2k＝4∴k＝2故答案为2．20．解：设小矩形的长为xm，宽为ym，由题意得：，解得：，即小矩形的长为8m，宽为4m．答：一个小矩形花圃的面积32m2，故答案为：3221．解：方程组整理成一般式可得：，①+②，得：﹣3x＝3，解得：x＝﹣1，将x＝﹣1代入①，得：﹣5+y＝0，解得：y＝5，所以方程组的解为．22．解：（1）∵x+2y＝5，∴y＝﹣，（2）根据题意得x+2y＝5，x+y＝0，∴y＝5，x＝﹣5，代入x﹣2y+mx+9＝0得，﹣5﹣10﹣5m+9＝0，解得：m＝﹣，答：m的值为﹣．23．解：（1），由①﹣②得：x﹣y＝﹣1，①+②得：3x+3y＝15，∴x+y＝5，故答案为：﹣1，5；（2）设铅笔单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，由题意得：，由①×2﹣②得：m+n+p＝6，∴5m+5n+5p＝5×6＝30，答：购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需30元；（3）由题意得：，由①×3﹣②×2可得：a+b+c＝﹣11，∴1*1＝a+b+c＝﹣11．24．解：（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是（x﹣40）元，由题意得2x＝3（x﹣40），解得：x＝120，120﹣40＝80（件）．答：A种商品每件的进价是120元，B种商品每件的进价是80元；（2）设购买A种商品a件，则购买B商品（60﹣a）件，由题意得120a+80（60﹣a）＝5800，解得a＝25，60﹣a＝35．120×30%×25+20×35＝1630（元）．答：全部售完共可获利1630元；（3）设销售B商品按标价售出m件，由题意得：120×30%×25+20m+（20﹣14）（35﹣m）＝1630﹣120，解得m＝15．答：销售B商品按标价售出15件．25．解：（1）∵两班都以班为单位单独购票，一共支付1118元，可知人数大于90人，两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．可知人数大于90人，∴（1）（2）两班的人数之和超过100人．设（1）班有x名学生，（2）班有y名学生，依题意得：，解得：，答：（1）班有49名学生，（2）班有53名学生；（2）（1）班节约的钱数为（12﹣8）×49＝196（元），（2）班节约的钱数为（10﹣8）×53＝106（元）．答：团体购票与单独购票相比较，（1）班节约了196元，（2）班节约了106元．26．解：（1）设A、B两种型号的电风扇每台进价分别是x元、y元，依题意，得，解得：，答：A、B两种型号的电风扇每台进价分别是200元和170元；（2）设购进A种型号的电风扇a台，则设购进B种型号的电风扇（30﹣a）台，依题意，得60a+20（30﹣a）＝1400，解得：a＝20，则30﹣a＝10，答：该超市本次购进A、B两种型号的电风扇各是20台和10台．。

第十一讲不等式(组)的应用趣题引路】(2002年江苏省常州市中考题)某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们•如果每人送3本，则还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本•设该校买了加本课外读物，有x需学生获奖，请解答下列问题：(1)用含x的代数式表示加；(2)求出该校的获奖人数及所买的课外读物的本数.解析：(1) m=3x+8；(2)依题意得严F-ipo, ®3x + 8-5(x-l)<3・(2)•由①得点6丄；2由②得x>5・•••原不等式组的解集为5<xW6丄.2•・• x是正整数，・・.x = 6.把；v = 6彳弋入〃？ = 3x+8 ,得加=26.答：该校的获奖人数为6人，所买的课外读物的本数为26.点评：在一些实际问题中，往往含有“不足” “不超过”“不低于”等关键词，将这些关键词转换成不等符号，就可以建立不等式，从而使问题得以解决.知识延伸】一、不等关系与相等关系的综合在实际问题中，往往既存在相等关系又存在不等关系，我们充分利用这些关系建立方程和不等式，可以把问题解决.例1：(黑龙江省中考题)为了迎接2002年的世界杯足球赛，某足球协会举办了一次足球赛，其记分规则和奖励方案如下：当比赛进行到第12轮结束时(每队需要比赛12场)，A队共积19分.(1)请通过计算，判断A队胜.平.负各几场？(2)若每赛一场，每个参赛队员得出场费500元，设A队其中一需参赛队员所得的奖金和出场费的和为W (元人试求W的最大值.解析：(1)设A队胜x场，平y场，负z场，则有(兀 + y + z = 12,(3x+y = 19 ・2 = 19-3上iz = 2x — 7.解得：由题意可知4^0,且X、八z均为整数,19-3x^0,心0・解得：3丄WrWl, ••• x=4, 5, 6.2 3•••A队胜4场，平7场，负1场；或胜5场，平4场，负3场：或胜6场，平1场，负5场.(2) VV = (1500 + 500)x + (700 + 500)y + 500z = -600x +19300观察代数式-6OO.r+19300,发现x越小，W越大.•••当x = 4时，比叭=16900元.点评：题中有两个明显的相等关系•可以列出两个方程，但问题中迫切需要求出三个未知量，利用题中隐含的不等关系“三个未知量都是非负整数”建立不等式组，确泄未知量的取值范国•这实际上也是利用不等式求不定方程组的整数解的一种重要方法.二、不等式与商品定价在商品销售问题中往往牵涉到价格、商品数目“至多…至少…盈利”等词语，将这些词语转化为不等符号，即可建立不等式，解决实际问题.例2：商业大厦购进某种商品1000件，销售价左为购进价的125%.现计划节日期间按原左销售价让利10%,售出至多100件商品，而在销售淡季按原立销售价的60%大甩卖，为使全部商品售完后盈利，在节日和淡季外要按原定价销售至少多少件商品？解析：设购进价为“元，按原立价销售x件，节日让利销售y件，则淡季销售（1000-x-y ）件•依题意有：125%心 + 125%（1-10%）© + 125%x60%“（100-x-y） > 1000u 即4x + 3y > 2000 ,V 応100 ,•••4x>2000-3yM1700,又x是整数，•••x±425・所以，在节日和淡季外要按原定价销售至少435件商品才能盈利.点评：充分利用“盈利”这一不等关系，盈利即销售金额大于成本•题目中并没有包含儿y的等量关系，但利用）0100和不等式的传递性建立关于x的不等式，从而求岀;v的取值范耐三.不等式与决策方案现实生活中职能部门政策的制左，公司生产方案的决策等都蕴含着大量的数学知识，不等式在其中时常会有所体现.例3：某市政府为了进一步改善投资环境和居民生活环境，并吸引更多的人来观光旅游，决左对古运河城区段实施二期开发工程，现需要A. B两种花砖50万块，全部由某砖瓦厂完成此项生产任务•该厂现有甲种原料180万千克，乙种原料145万千克.已知生产1万块A砖，用甲种原料4.5万千克，乙种原料1・5万千克，造价1.2万元；生产1万块B砖，用甲种原料2万千克，乙种原料5万千克，造价1.8万元.（1）利用现有的原料，该厂是否能按要求完成任务？若能，按A、B两种花砖生产的块数，有哪几种生产方案？请你设计出来.（以1万块为一个单位且取整数）（2）试分析你设计的哪种方案总造价最低？最低造价是多少？解析：（1）设应生产A种花砖x万块，则应生产B种花砖（50-天）万块.j4・5x + 2(50-x)W180,①依题意得il.5x + 5(50-x)W145・②由①、②可得30WxW32・V 兀是整数,••• x=30, 31, 32：对应的50-x=20, 19, 18.所以有以下三种方案可供选择：方案一：生产A种花砖30万块，B种花砖20块；方案二：生产A种花砖31万块，B种花砖19块；方案三：生产A种花砖32万块，B种花砖18块.（2）三种方案的造价分别为：方案一：30x1.2+20x1.8 = 72 （万元）：方案二：31x1.2 + 19x1.8 = 71.4 （万元）；方案三：32x1.2+18x1.8=70.8 （万元）.显然，方案三造价最低，最低造价为70.8万元.点评：利用“所需原料不能超过现有原科”这一隐含的不等关系建立不等式，求岀未知量的取值范围. 得到可行方案.好题妙解】佳题好题品味例：某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租一俩，且余30个座位.（1）求该校参加春游的人数：（2）已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车的租金为每俩300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租一辆，所用租金比单独租用一种客车要节省，按照这种方案需租金多少元？解析：设参加春游的有X人.依题意得丄=出2+1・45 60解得x=270 （人）・（2）单独粗用45座客车时需车6俩，所需租金为1500元：单独租用60座客车时需车5辆，所需租金也为1500元.设租用45座客车y俩，则租用60座客车y+1辆，依题意得250y + 3OO（y + l）<15OO ・解之得y<晋，（y是正整数），•: y = 1 ♦或y = 2 ・当y = l 时，45xl+60x2=165<270 （不合题意,舍去）;当y = 2时，45 x 2 + 60 x 3 = 270符合题意.选择这种方案需要租金：2 x 250 + 3 x 300 = 1400 （元）.点评：利用“所用租金比单独租用一种客车要巧省”这一隐含的限制条件来构建不等式，求出未知量的取值范围，得到符合题意的方案.中考真题欣赏例：（2003年哈尔滨市中考题）建网校就等于建一所学校，哈尔滨市慧明中学为了加强现代信息技术课教学，拟投资建一个初级讣算机机房和一个髙级计算机机房，每个计算机房只配一台教师用机，若T•台学生用机，其中初级机房教师用机每台8000元，学生用机每台3500元：高级机房教师用机每台11500元, 学生用机每台7000元•已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买汁算机的总钱数不少于20 万，也不超过21万，则该学校拟建的初级机房、高级机房各有多少台计算机？解析：设初级机房有X台计算机，髙级机房有y台讣算机.8000 + 35OO（x-1） = 11500+ 7000（y-1）,①根据题意有200000^8000 + 35OO（A- 1）^210000, ⑥200000W11500 + 7000（$-1）0210000. ③由①得x = 2y,由②得55-^A<58-,7 71 Q 气由③得27 —W）W29—,14 - 14•••八y是正整数，•: y = 28 > 人‘ =56 ； y = 29 ♦x = 58 ・答：初级机房有56台计算机,高级机房有28台计算机;或初级机房有58台计算机,髙级机房有29 台计算机.点评：先将两个机房所需的总钱数用代数式表示出来，再利用不等关系“不少于20万，也不超过21 万”建立不等式，利用相等关系“两机房购买计算机的总钱数相同”建立方程.竞赛样题展示例：（江苏省竞赛试题）货轮上卸下若干只箱子，其总重量为10（,每只箱子的重量不超过山为保证能把这些箱子一次运走，问至少需要多少俩载重3t的汽车？解析：设共需"辆汽车，它们运走的重量依次为…，©•则2WqW3 （ / = 1 ♦ 2, •••♦“），q+G+••• + ©= 10,/. 2 + 2 +・・・+ 2念］+ ① + … + “S3 + 3t…+ 3，”个IT个即解得—^n^：5 ・3•・•车子数”应为整数，•“ 4或5,但4辆车子不够.例如有13只箱子，每只重量为挣，而3X寻V3, 4X 吕>3,即每辆车子只能运走3只箱子，4辆车子只能运走12只箱子，还剩一只箱子，故需5辆汽车.点评：每只箱子不超过M意味着每辆车的载重虽大于或等于2/且小于等于引.利用“总重量等于各车的实际载重量之和”，建立关于车辆数”的I不等式，使问题得以解决.过关检测】A级1.（2001年河北省中考题）在一次“人与自然“知识竞赛中，竞赛试题共有25道，每道题都给岀4个答案，苴中只有一个正确答案，要求学生把正确答案写出来，每逍题选对得4分，不选或选错倒扣2分.如果某学生在本次竞赛中的得分不低于60分，那么他至少选对了________________ 道题.2.一种含药率为15%的火虫药粉30怨，现要用含药率较髙的同种火虫药粉50炖和它混合，使混合后的含药率大于20%,而小于35%,则所用药粉的含药率x的范围是（）A. 15%<x<25%B. 15%<JT<35%C. 23%<x<47%D. 23%<x<50%3.（南京市中考题）一个长方形足球场的长为宽为70,如果它的周长大于350m而积小于7560胪, 求x的取值范伟I,并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛.（注：国际足球比赛的足球场的长在100加到110加之间,宽在64/w到75加之间）4.在双休日，某公司决泄组织48名员工到附近一水上公园坐船游玩，船只租赁情况如下表:怎样设汁租船方案才能使所支岀的租金最少？（严禁超载）5.（浙江宁波市中考题）为了能有效地使用电力资源，宁波市电业局从2001年1月起进行居民“峰谷“ 用电试点，每天8 ： 00到22 : 00用电的电价为0.56元/千瓦时（“峰电"价），22 ： 00至次日8 ： 00用电的价为0.28元/千瓦时（“谷电"价），而目前不使用“峰谷“电的居民用电的电价为0.53元/千瓦时.（D-居民家庭在某月使用“峰谷“电后，付电费95.2元,经测算比不使用“峰谷“电节约10.8元.问该家庭当月使用峰电和谷电各多少千瓦时？（2）“邮电"用量不超过每月总电疑的百分之几时，使用“il金谷"电合算？（精确到1%）6.现在计划把甲种货物1240r和乙种货物880/用一列货车运往某地，已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车车厢共40节,使用A型车厢每节费用6000元，使用B型车厢每节费用为8000元.（1）设运送货物的总运费为y万元，这列货车挂A型车厢x肖，试写出y与x的函数关系式（即用含x 的代数式表示y）:（2）如果每节A型车厢最多可以装甲种货物35r和乙种货物15/,每节B型车厢最多可以装甲种货物25/ 和乙种货物35/,装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数，那么共有几种安排方案？（3）在上述方案中哪个方案运费最少？最少运费为多少？B级1.（第14届江苏省赛题）小林拟将1, 2,…，"这“个数输入电脑求平均数，当他认为输入完毕时，电脑显示只输入了 "一1个数，平均数为35专，假设这“一1个数输入无误，则漏输入的一个数为（）A. 10B. 53C. 56D. 672.（1999年全国初中赛题）江堤边一洼地发生管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40加“可抽完：如果用4台抽水机抽水，16”曲可以抽完.如果要在10加“内抽完水，那么至少需要抽水机______________ 台.3.（北京市赛题）今有浓度为5%、8%、9%的甲、乙、丙三种盐水分别为60g、60g、47g,现要配制7%的盐水100g,问甲种盐水最多可用多少克？最少可用多少克？4.有一片牧场，草每天都在均匀生长（即每天草增长的量都相等），如果每天放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天可以吃完牧草.设每头牛每天的吃草量相等，问：（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？（2）要使牧草永远都吃不完，至多放牧多少头牛？5.据有关部门统汁：20世纪初全世界共有哺乳类和鸟类动物约13000种，由于环境等因素影响，到20世纪末这两类动物种数共灭绝1.9%,其中哺乳类火绝约3.0%,鸟类灭绝约1.5%.（1）问20世纪初期哺乳类和鸟类动物各有多少种？（2）现在人们越来越意识到保护动物就是保护自己，到本世纪末，如果要把哺乳类和鸟类动物的火绝种数控制在0.9%以内，英中哺乳类动物的火绝种数与乌类动物的火绝种数之比约为6：7,为实现这个目标, 鸟类灭绝不能超过多少种？6.六人共订六种报纸，其中每人至少订一种报纸.已知前五人分別订了2、2、4. 3. 5种报纸，而前五种报纸分别有1、4、2、2、2人订，问第六个人订几种报纸？第六种报纸有几人订?第十一讲不等式（组）的应用A级亠•二1.19.2. C.3.105<x<108,可以4-租大船9只，小船1只时支付租金址少,租金为29元5-（1）该家庭当月使用峰电HO千瓦时，谷电60千瓦时;⑵不超过89%6.厂-0.加十32；（2）24WK26,故有三种方案（略）；（3）最佳方案是A型车厢26节』型车厢14节最少运费是26 8万元B级1. c.提示;设漏输的一> 数为匕则有♦ qq丄一L+2十…十n -k一1+2十•・・+•□・1 n +27n n -1 2 '35 y = —冬中十……"=27n・l n-1 2 f3 3解得69〒•又71 （n “ 1）,则n =71 •于是代人原式解得k = 56.2. 6 台.3.提示:设甲、乙、丙三种盐水分别取xg.yg.zg,则|x +y + 7 = 100,l5%z+8%y+9%x= 100 x7%ffy =200 -4x t^V=3x-100.（0W60.又有lo<y^6O,lowv47.可解得35 Cx ^49.4. （1） 18天可以吃完$（2）至多放牧12头牛・5•⑴哺乳类和鸟类动物各有3470种和9530种；（2）鸟类灭绝不能超过62种.6.提示:从整体考虑•六个人订报的总效等于六种报纸的总订数・o设第六个人廿了皿种报纸，第六种报纸有，人订，叫％为正整数，并且则有2*2+4+3 + 5 5 = 1 +4+2+2 +2卄，解得"25.由JH+5W6得mWl,但m多1.所以心1声"・。

2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【苏科版】专题10.2二元一次方程组姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•崇川区期末）下列x ，y 的各对数值中，是方程组{x +y =2x +2y =3的解的是（ ） A ．{x =3y =−1 B ．{x =3y =0 C ．{x =1y =1 D ．{x =−3y =5【分析】求出方程组的解，即可做出判断．【解析】{x +y =2①x +2y =3②， ②﹣①得：y ＝1，把y ＝1代入①得：x ＝1，则方程组的解为{x =1y =1． 故选：C ．2．（2020春•十堰期末）已知{x =−1y =2是二元一次方程组{3x +2y =m nx −y =1的解，则m ﹣n 的值是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 【分析】把{x =−1y =2代入方程组{3x +2y =m nx −y =1得{m =1n =−3，于是得到结论． 【解析】把{x =−1y =2代入{3x +2y =m nx −y =1得{m =1n =−3， ∴m ﹣n ＝4，故选：D ．3．（2020春•张家港市期末）已知{x =−1y =2是二元一次方程组{3x +2y =m mx −y =n的解，则m ﹣n 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【分析】把x 与y 的值代入方程组计算求出m 与n 的值，即可求出m ﹣n 的值．【解析】把{x =−1y =2代入方程组得：{−3+4=m −m −2=n，。