多因素方差分析

第二章 多因素方差分析 概述：
单因素方差分析是检验多个样本 均数间差别有无统计学意义的统计学 方法。 在医学领域中，还经常碰到研究 多个因素对某个观察指标的作用的问 题。 多因素方差分析是分析两个及两 个以上因素对观察指标影响的统计方 法。
方差分析中，影响观察指标 的因素称为因子（factor);因子所 处的状态称为因子的一个水平
三因子方差分析
例题 某研究者以大白鼠作试验， 观察指标是肝重与体重之比（5%）， 主要想了解正氟醚对观察指标的作用， 同时要考察用生理盐水和用戊巴比妥 作为诱导药对正氟醚毒性作用有无影 响，对不同性别大白鼠诱导的作用有 何不同，以及对不同性别大白鼠正氟 醚的作用是否相同。
A因子
不用 不用 不用 不用 用 用 用 用
它们的计算公式为：
FA MS A MS AB
MS B FB
FAB MS AB
MS AB
MS e
Tes ts of Betwe en-Su bjects Effe cts Dependent Variable: Y Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. Hypothesis 145548.375 1 . . . Error . .a . A Hypothesis 12.250 2 6.125 .055 .947 b Error 666.750 6 111.125 B Hypothesis 100.125 3 33.375 .300 .824 b Error 666.750 6 111.125 A * B Hypothesis 666.750 6 111.125 .491 .803 c Error 2715.500 12 226.292 a. Cannot compute the error degrees of freedom using Satterthwaite's method. b. MS(A * B) c. MS(Error) Source Intercept
不论协同或拮抗作用均意味着 A、B药同时使用的作用不等于单 独作用之和。两药有无协同作用或 拮抗作用，只要检验假设： H03： - = 或H03： - = -
例题的统计量
A药
不用 (a=1)
B药 不用 （b=1） 用(b=2)
y111=0.8 y112=0.9 y113=0.7 y121=0.9 y122=1.1 y123=1.0
a. R Squared = .974 (Adjusted R Squared = .964)
注意：当因子A与B间的交互作用有统计学意 义时，对A（或B）的单独作用的解释须小心。 本例，用B药时，用A药病人比不同时用A药的 病人的红细胞数均数大，不用B药时，用A药 病人比不同时用A药的病人的红细胞数均数也 大，故可说明A药有效。但有时可能出现这种 情况，用B药时，用A药病人比不同时用A药的 病人的红细胞数均数大，不用B药时，用A药 病人比不同时用A药的病人的红细胞数均数小， 此时就不能简单地说A药有利于病人红细胞数 增加，需分别就用B药和不用B药两种情况说 明A药的作用。对B作用的作用的解释也是如 此。
Descriptive Statistics Dependent Variable : 红 细胞 增 加 数 A药 物 不 用 A药 物 B药 物 不 用 B药 物 用 B药 物 Total 不 用 B药 物 用 B药 物 Total 不 用 B药 物 用 B药 物 Total Mean .8000 1.0000 .9000 1.2000 2.1000 1.6500 1.0000 1.5500 1.2750 Std. Deviation .10000 .10000 .14142 .10000 .10000 .50100 .23664 .60910 .52592 N 3 3 6 3 3 6 6 6 12
对照组
6.20 5.80 8.25 围产期 23.06 窒息组 21.46 11.43
11.50 13.37 24.10 25.56 30.40 18.19
14.53 11.40 12.37 10.52 13.66 18.20
用混合效应作方差分析时，离 均差平方和与自由度的计算与 固定效应相同，但无效假设与F 统计量不同。它们的计算公式 为： MS
方差分析变异来源：
x 2 15.32 C 19.5075 12 N 2 2 2 ss总 x 2 C 0 . 8 0 . 9 ... 2 . 0 19.5075 3.0425 ABK


ABK
2 2 2 2 ss处理 x 2 / n C 2 . 4 3 . 0 3 . 6 6 . 3 19.5075 2.9625 AB AB
若数据资料中涉及到因子水平只是 研究者关心的因子水平总体的一个 样本，则该因子属于随机型因子； 若你的研究中有某些因子是随机型 因子或全为随机型因子时，方差分 析的模型与固定效应模型相同，但 关于主效应、和交互效应的假定及 F统计量的计算公式有些不同。
实例 某医院管理者欲了解血压计 与量血压的医生对血压测定结果是 否有影响。他在医院中随机抽取3 台血压计，4名医生，对24名体检 者测量血压，下面是舒张压的观察 结果，请作分析。


ss误差 ss总 ss处理 3.0425 2.9625 0.0800
2 2 ss A x 2 / n n C 5 . 4 9 . 9 / 3 2 19.5075 1.6875 A B 2 2 ss B x 2 / n n C 6 . 0 9 . 3 / 3 2 19.5075 0.9075 B A A
用 (a=2)
y211=1.3 y212=1.2 y213=1.1
y221=2.1 y222=2.2 y223=2.0
方差分析表
变异来源
处理间模型 因子A 因625 1.6875 0.9075 0.3675 0.0800
df
3 1 1 1 8
MS
0.9875 1.6875 0.9075 0.3675 0.0100
F 3.591 4582.977 .012 .459 4.763 11.346 .311 7.954 .290
Sig. .016 .000 .914 .508 .044 .004 .585 .012 .598
方差分析的随机效应模型 方差分析中的因子有选择 型与随机型之分，若数据资料 中涉及到因子水平是研究者关 心的因子水平全体，则该因子 属于选择型因子；相应的模型 称为固定效应模型。
B因子
生理盐水 生理盐水 戊巴比妥 戊巴比妥 生理盐水 生理盐水 戊巴比妥 戊巴比妥
C因子
雌 雄 雌 雄 雌 雄 雌 雄
肝重与体重之比
5.26 5.68 5.83 5.00 5.52 5.38 5.87 5.50 6.20 6.13 6.46 5.21 5.42 5.60 5.70 6.30 7.02 5.90 4.64 4.60 5.44 6.02 5.70 5.48
用 A药 物
Total
Tests of Between-Subjects Effects Depe ndent Variable: 红 细 胞增 加 数 Source Corrected Model Intercept A药 物 B药 物 A药 物 * B 药 物 Error Total Corrected Total Type III Sum of Squares 2.963a 19.507 1.688 .907 .368 .080 22.550 3.043 df 3 1 1 1 1 8 12 11 Mean Square .988 19.507 1.688 .907 .368 .010 F 98.750 1950.750 168.750 90.750 36.750 Sig. .000 .000 .000 .000 .000
（level of factor);各因子水平的 组合称为处理（treatment).
一、二因子方差分析
例：A、B两药治疗缺铁性贫血12例，试验结果如下：
四种疗法治疗缺铁性贫血后红细胞增加数（1012/L）
疗法 红细胞增加数 总体均数记号
一般疗法 0.8 0.9 0.7 一般疗法加A药 1.3 1.2 1.1 一般疗法加B药 0.9 1.1 1.0 一般疗法加A药加B药 2.1 2.2 2.0




ss AB ss处理 ss A ssB 2.9625 1.9675 0.9075 0.0.3675
B
各自的自由度分别为： df总 N 1 12 1
df 处理 n A nB 1 2 2 1 3 df A n A 1 2 1 1 df B nB 1 2 1 1 df AB n A 1nB 1 2 12 1 1 df 误差 df总 df 处理 11 3 8
血压计 医生甲（b=1） 医生乙(b=2) 医生丙(b=3) 医生丁(b=4)
a=1 a=2 a=3
60 , 97 91 , 60 85 , 67
84 , 63 85 , 88 90 , 71
70 , 99 90 , 74 65 , 79
74 , 68 76 , 62 75 , 96
用随机效应模型作为方差分析 时，离均差平方和与自由度的 计算与固定效应相同，但无效 假设与F统计量的计算有所不同。
本例研究目的之一为A药的使 用是否会引起病人的红细胞数 变化。检验H01： + = + 研究目的之二为B药的使用是 否会引起病人的红细胞数的变 化。检验H02： + = +
研究目的之三为A药与B 药是否有交互作用。所谓有协 同作用，是指同时用A、B两药 起的作用大于单独用A药和B药 的作用之和。所谓有拮抗作用， 是指同时用A、B两药起的作用 小于单独用A药各B药的作用之 和。