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立体几何外接球内切球专题1. 引言在立体几何中，外接球和内切球是两个重要的概念。
本文将介绍什么是外接球和内切球，它们在几何问题中的应用以及如何计算它们的相关参数。
2. 外接球2.1 定义外接球是指能够恰好与一个几何体的每个顶点相切的球。
对于不同的几何体，外接球的性质和计算方法也会有所不同。
2.2 外接球的应用外接球在几何问题中有广泛的应用。
例如，在三角形中，外接球的圆心是三条边的垂直平分线的交点，外接球的半径等于三角形的外接圆半径。
这个性质可以用来解决与三角形相关的计算问题。
2.3 外接球的计算方法对于不同的几何体，计算外接球的方法也会有所区别。
以球面为例，如果已知球面上的四个点的坐标，可以通过求解四个点的球心坐标和球半径来计算外接球。
1. 根据提供的四个点的坐标(x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3), (x4, y4, z4)，计算四条边的中点坐标：- 中点1：(x12, y12, z12) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2, (z1 + z2) / 2)- 中点2：(x23, y23, z23) = ((x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2, (z2 + z3) / 2)- 中点3：(x34, y34, z34) = ((x3 + x4) / 2, (y3 + y4) / 2, (z3 + z4) / 2)- 中点4：(x41, y41, z41) = ((x4 + x1) / 2, (y4 + y1) / 2, (z4 + z1) / 2)2. 计算四条边的长度：- 边1长度：d1 = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^ 2 + (z2 - z1)^2)- 边2长度：d2 = sqrt((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^ 2 + (z3 - z2)^2)- 边3长度：d3 = sqrt((x4 - x3)^2 + (y4 - y3)^ 2 + (z4 - z3)^2)- 边4长度：d4 = sqrt((x1 - x4)^2 + (y1 - y4)^2 + (z1 - z4)^2)3. 计算外接球的半径R:- R = sqrt(((d1 + d3 + d2) * (d2 + d4 + d3) * (d3 + d1 + d4) * (d4 + d2 + d1)) / 144)4. 计算外接球的球心坐标：- 球心X坐标：X = ((x12 * d3 + x23 * d4 + x34 * d1 + x41 * d2) / (d1 + d2 + d3 + d4))- 球心Y坐标：Y = ((y12 * d3 + y23 * d4 + y34 * d1 + y41 * d2) / (d1 + d2 + d3 + d4))- 球心Z坐标：Z = ((z12 * d3 + z23 * d4 + z34 * d1 + z41 * d2) / (d1 + d2 + d3 + d4))3. 内切球3.1 定义内切球是指能够恰好与一个几何体的每个面相切的球。
八个有趣模型一一搞定空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1.球的左义：空间中到泄点的距离等于立长的点的集合（轨迹）叫球而，简称球.2.外接球的泄义：若一个多而体的各个顶点都在一个球的球而上，则称这个多而体是这个球的内接多而体，这个球是这个多而体的外接球.3.内切球的泄义：若一个多而体的各面都与一个球的球而相切，则称这个多面体是这个球的外切多而体，这个球是这个多而体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1.性质：性质1：过球心的平而截球而所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等：性质2：经过小圆的直径与小圆而垂直的平而必过球心，该平面截球所得圆是大圆：性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平而（类比：圆的垂径泄理）：性质4：球心在大圆而和小圆而上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在2.结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心：结论2：若由长方体切得的多而体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多而体与原长方体的外接球相同：结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此而垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆：结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底而圆的圆心连一段中点处：结论5：圆柱体轴截而矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球：结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的髙所在的直线上：结论8：圆锥体轴截而等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3.终极利器：勾股定理、正定理及余弦泄理（解三角形求线段长度）：三、内切球的有关知识与方法1.若球与平而相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2.内切球球心到多而体各而的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.3.正多而体的内切球和外接球的球心重合.4.正棱锥的内切球和外接球球心都在髙线上，但不一泄重合.5.基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股左理：（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.四、与台体相关的，此略.五、八大模型第一讲柱体背景的模型类型一.墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2=a2+b2+c29即2R = >Ja2+b2+c2 ,求出例1 （1）已知各顶点都在同一球而上的正四棱柱的髙为4,体积为16,则这个球的表而积是（A. 16/rB. 20/r C・ 24龙 D. 32龙（2）若三棱锥的三个侧而两两垂直，且侧棱长均为则英外接球的表而积是_____________________ （5）如果三棱锥的三个侧而两两垂直，它们的而积分別为6、4、3,那么它的外接球的表而积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形, 则该几何体外接球的体积为 _______________⑹嵐图求岀/?・思考：如何求棱长为d 的正四面体体积，如何求英外接球体积？其中 AB = CD = 5,AC = BD = 6,AD = BC = 7,则该三棱 锥外接球的表而积为 _______________类型二、对棱相等模型(补形为长方体)题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径〈AB = CD, AD = BC,AC=BD)第一步：画出一个长方体，标出三组互为异而直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽髙分别为b,c, AD=BC=x tAB=CD = y t AC=BD=z t 列方程组，a 1 +b 2 =x 22 2 2 < b 2 +c 2 =y 2 => (2R 『=a 2 +b 2 +c 2 = ,L +CT =2T补充：图 2T 中，V —BCD =abc — —abcx4 = — abc ・6 3 第三步：根拯墙角模型， 2R = y/a 2 +b 2 +c 2例2 (1)如下图所示三棱锥A-BCD,⑴題图(2)在三棱锥A-BCD 中，AB=CD = 2, AD=BC = 3. AC=BD = 4,则三棱锥A-BCD外接球的表而积为 ___________（3）正四而体的各条棱长都为、伍，则该正面体外接球的体积为 ___________________类型三.汉堡模型（直棱柱的外接球.圆柱的外接球）题设：如图3-1,图3-2,图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底而 可以是任意三角形） 第一步：确左球心0的位置，0】是AA3C 的外心，则OO X ±平而ABC, 第二步：算出小圆Q 的半径AO. = r , OO {=^A\=-h （ A4（ =h 也是圆柱的高）;2 2勾股定理:OA 2 = O.A 2 + O.O 2 =>/?2= (-)2 +r 2=>/? = 2例3 （1）-个正六棱柱的底而上正六边形，其侧棱垂直于底而，已知该六棱柱的顶点都在同一个球第三步: 图3・3 +（少，解出R而上，且该六棱柱的体积为？，底面周长为3,则这个球的体积为8（2）直三棱柱ABC-A.B. G的各顶点都在同一球而上，若AB = AC = AA}=29 ZBAC = 120% 则此球的表而积等于 _________ ・（3）已知AEAB所在的平面与矩形ABCD所在的平而互相垂直.E4 = EB = 3,AD = 2,ZAEB =60°,则多而体E-ABCD的外接球的表而积为___________ ・（4）在直三棱柱ABC-A^Q中，AB = 4,AC = 6,A =兰,人人=4,则直三棱柱ABC-A^Q的外接球的表而积为__________ ・第二讲锥体背景的模型类型四.切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）图44 图4图4・21.如图4-1,平面P4C丄平面A3C,且丄BC （即力C为小圆的直径），且P的射影是A4BC 的外心O三棱锥P-ABC的三条侧棱相等O三棱P-AB C的底而AABC在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心0的位置，取AABC的外心q,则POO］三点共线：第二步：先算出小圆q的半径AO X = r ,再算出棱锥的高PO} = h（也是圆锥的高）：第三步：勾股定理：OA1 =O^+O X O2 ^R1 = （h - R）2 + r2 ,解出R；事实上，MCP的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出/?•2.如图4-2,平而P4C丄平而ABC,且A3丄3C （即AC为小圆的直径），且只4丄AC,贝9利用勾股泄理求三棱锥的外接球半径：①（2R）2 = PA2 + （2r）2O2R = JM+⑵尸:®R2 = r2 + OO~ O R = J/ +OO：3.如图4-3,平而P4C丄平而ABC,且AB丄3C （即AC为小圆的直径）OC2 =0^+0^ OR2 =r2+O t O2 <^AC=2y jR2-O l O24.题设：如图4-4,平ifilPAC丄平而ABC,且A3丄（即AC为小圆的直径）第一步：易知球心0必是APAC的外心，即APAC的外接圆是大圆，先求岀小圆的直径AC = 2r：第二步：在APAC中，可根据正弦定理亠一=~^~ = ~^— = 2R,求岀sin A sin B sinC例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球而上，若该棱锥的髙为1,底而边长为2则该球的表而积为（2）正四棱锥S-ABCD 的底而边长和各侧棱长都为尽各顶点都在同一球面上，则此球体积为（3） 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球而上,则该正三棱锥的体积是（ ） （4）在三棱锥P-ABC 中，PA = PB = PC = 43，侧棱P4与底而ABC 所成的角为60\则该三 棱锥外接球的体积为（ ）C. 4兀（5 ）已知三棱锥S — ABC 的所有顶点都在球0的求面上，AABC 是边长为1的正三角形，SC 为球0的直径，且SC = 2,则此棱锥的体积为（类型五.垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1.题设：如图5, P4丄平而ABC,求外接球半径.解题步骤：其中底而的三个顶点在该球的一个大圆上,B.D. 12第一步：将AABC 画在小圆而上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD,则PD必过球心O ；第二步：0|为MBC 的外心，所以oq 丄平而ABC,算出小圆q 的半径O }D = r （三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得一匕一=—=-^—= 2r ）, OO X =-PA,sin 4 sin 3 sinC 2第三步：利用勾股泄理求三棱锥的外接球半径：①（2/?）2 =加 +⑵y u>2R = J P X +⑵）2 :®R 2 = r 2 + OO^ o R = J/+OOj .2. 题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是A4BC 的外心O 三棱锥P-ABC 的三条侧棱相等O 三棱锥P-ABC 的底面AABC 在圆锥的底上，顶点P 点也是圆 锥的 顶点.图5图5・2 图5・3第一步：确左球心0的位置，取AABC的外心0“则P、O、O\三点共线：第二步：先算出小圆q的半径AO, = r ,再算出棱锥的高PO l = h（也是圆锥的髙）: 第三步：勾股定理：Q42 = O,A2 + O.O2 => /?2 = （//- R）2 + r2 ,解出R方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.例5 —个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表而枳为（）A. 3兀B. 2冗俯视图解答图D.以上都不对第四讲多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题1.题设：如图8-1,三棱锥P-A8C上正三棱锥，求其内切球的半径.第一步：先现出内切球的截而图，分别是两个三角形的外心：第二步：求DH = -BD. PO=PH-r, PD是侧面A4BP的亦图3OF PO第三步：由MOE相似于APDH,建立等式：——=——，解岀厂DH PD2.题设：如图8-2,四棱锥P-ABC是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，P,O、H三点共线：第二步：求FH = -BC, PO=PH-r, PF是侧而的髙：2第三步：由^POG相似于乂劝，建立等式：—,解岀HF PF3.题设：三棱锥P-ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个而构成的四个三棱锥的体枳之和相等第一步：先画出四个表而的而积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为I建立等式：匕一皿=吆-磁+5-哋+吆-吹+吩_畋・=>^P-ABC = ~ S 、\BC ' r+ ~ SpAB ，r + — SpM ' r + ~ PBC ' f = ^BC + ^APAB + PAC + " r 例8 （1）棱长为"的正四面体的内切球表而积是 ________________________第三步: 解岀厂=S 。
外接球问题江西省永丰中学陈保进若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
若一个定点到一个多面体的所有顶点的距离都相等，则这个定点就是该多面体外接球的球心。
以下为常见模型。
1、长方体模型结论：长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，直径为体对角线。
公式：2222c b a R ++=（a ,b ,c 为长宽高）补充：以下情况可转化成长方体模型。
①若三棱锥的三条棱PA ,PB ,PC 两两互相垂直(墙角模型），则可在长方体中构造。
2222PC PB P A R ++=②正四面体P -ABC 可在正方体中构造，正方体棱长2=PA a ③若三棱锥的三组对棱两两相等，则可在长方体中构造。
设AC =BP =m ,AP =BC =n ,AB=PC =t ,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222t c b n c a m b a ，三式相加,222222)(2t n m c b a ++=++2)2(2222222t n m c b a R ++=++=abc2、直三棱柱模型结论：直三棱柱外接球的球心是上、下底面外心连线的中点，222()2hR r =+r 为底面三角形外接圆的半径，可用正弦定理求，h 为直三棱柱的高。
补充：有一条侧棱垂直底面的三棱锥可补成直三棱柱，如图P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，则可补成直三棱柱PB 1C 1-ABC ,外接球半径公式同上。
提醒：底面具有外接圆的直棱柱才有外接球，比如正棱柱，且球心在上、下底面外心连线的中点，底面无外接圆的直棱柱，以及所有斜棱柱均无外接球。
3、共斜边模型四面体D-ABC 中，DC AD ⊥，BC AB ⊥，AC 为公共的斜边，O 为AC 的中点，则O 为四面体D-ABC 外接球的球心。
4、正棱锥模型外接球的球心在正棱锥的高所在直线上，如图正三棱锥A-BCD 中，作AO 1⊥平面BCD ，则易得BO 1=CO 1=DO 1，所以O 1为△BCD 的外心，设O 为其外接球球心，半径为R ，则BO =AO =R ,设AO 1=h ,BO 1=r ,则由BO 2=BO 12+OO 12,得R 2=r 2+(h-R )2。
