场论与张量

第二章 正交曲线坐标系下的张量分析与场论1、用不同于书上的方法求柱坐标系和球坐标系的拉梅系数及两坐标间的转换关系ij β。

解：①柱坐标系k z j i r++=ϕρϕρs i n c o s ，2222222dz H d H d H ds z ++=ϕρϕρ ()()k dz j d d i d d r d+++-=ϕϕρρϕϕϕρρϕcos sin sin cos()()222222222222222222222222222222c o s s i n s i n c o s c o s s i n 2c o s s i n s i n c o s s i n 2c o s c o s s i n s i n c o s dz d d dz d d d d dz d d d d d d d d dz d d d d r d r d ds ++=++++=+++++-=+++-=⋅=ϕρρϕϕρϕϕρρϕρϕϕρϕϕρϕϕρρϕϕϕρϕρϕϕρρϕϕϕρρϕϕϕρρϕ故：1=ρH ，ρϕ=H ，1=z H ②球坐标系k R j R i R r θφθφθc o s s i n s i n c o s s i n ++=，2222222φθφθd H d H dR H ds R ++=()()()kd R dR j d R d R dR id R d R dR r dθθθφφθθφθφθφφθθφθφθsin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin -++++-+= ()()()2222222222s i n s i n c o s c o s s i n s i n c o s s i n s i ns i n s i n c o s c o s c o s s i n φθθθθθφφθθφθφθφφθθφθφθd R d R dR d R dR d R d R dR d R d R dR r d r d ds ++=-++++-+=⋅=故：1=R H ，R H =θ，θφsin R H = ③两坐标间的转换关系ij βφr re e θe φPθru re e zu ze r(1)圆柱坐标系 （2）球坐标系由球坐标系与直角坐标系的坐标变换矩阵为：sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0r e i e j e k θφθφθφθθφθφθφφ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥-⎣⎦⎩⎭⎩⎭注意，圆柱坐标系中的θ和球坐标系的φ相等。

§4 张量算法一、 张量概念[张量的一般定义] 若一个量有n N 个分量，而每个分量在n 维空间R n 中的坐标变换()n i i x x x x ''⋅⋅⋅=,,1 (i = 1 , ·, n )之下，按下面的规律变化：lm mm l l j l mj j i i i i i i j j j j j i i T x x x x x x x x T⋅⋅⋅⋅⋅⋅'''⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂∂⋅⋅⋅∂∂∂∂⋅⋅⋅∂∂='111111 1 1 式中l mj j i i T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11是x i的函数，11l mj j i i T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是x i '的函数，则量lmj j ii T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11(共有n N个分量)称为l 阶逆变(或抗变)m 阶协变的N (=l ＋m )阶混合张量(或称为(l ＋m )型混合张量).张量概念是矢量和矩阵概念的推广，标量是零阶张量，矢量是一阶张量，矩阵(方阵)是二阶张量，而三阶张量(例如T jk i)好比“立体矩阵”(图8.18右).更高阶的张量不能用图形表达.下面列出n =2时的张量示意图：[张量举例]1可乘张量 设由逆变分量和协变分量所给定的两个矢量a , b 是已知的，则由等式i k i k k i ik k i ik k i ik b a T b a T b a T b a T ====⋅,.,,确定的都是二阶张量，称为可乘张量.2克罗内克尔符号克罗内克尔符号δj i 是一阶逆变一阶协变的二阶混合张量，这是因为从ij ji i i xx x x δ=∂∂∂∂'' 可得i j j j i i j i i i i j xx x x x x x x δδ''''''∂∂∂∂=∂∂∂∂= [二阶对称张量与反对称张量] 若张量满足等式k i i k ki ik ki ik T T T T T T ===,,则分别称为二阶对称协变张量、二阶对称逆变张量和二阶对称混合张量.若张量满足等式T T T T T T ik ki ik ki k i i k =-=-=-,,则分别称为二阶反对称协变张量、二阶反对称逆变张量和二阶反对称混合张量. 张量的逆变(协变)指标的对称性质在坐标变换下是不变的.在三维空间中，二阶反对称张量与矢量等价.二、 张量代数[指标的置换] 指标置换是张量代数的最简单运算，利用它可作出新的张量.例如，通过指标置换，可由张量T ki 得到新的张量T ik ，它的矩阵是张量T ki 的矩阵的转置矩阵. [加(减)法] 同类型的若干个张量的对应分量相加(或相减)就得到一个新的同类型张量的分量，这种运算称为张量的加法(或减法).任何二阶张量可分解为对称张量与反对称张量两部分.例如()()ki ik ki ik ik T T T T T -++=2121[张量的乘法] 把两个张量的分量按各种可能情形相乘起来，就会得到一个新张量的分量.这个张量的逆变与协变的阶数分别等于原来两个张量的逆变与协变的阶数之和.这种运算称为张量的乘法.例如khl mk l hm s s tt r r p p s s r r t t p p T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=11111111这是一个l ＋k 阶逆变m ＋h 阶协变的混合张量，它的阶数为l ＋m ＋k ＋h . 注意，张量乘法的次序是不可交换的.[张量的缩并] 对一个给定的混合张量，把它的一个逆变指标与一个协变指标相等的相加起来，得出阶数较低(逆变和协变各低一阶)的张量，这种运算称为张量的缩并.例如lml mss s q q s s s q q T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=212122是一个l －1阶逆变m －1阶协变的混合张量.[指标的升降] 在应用中经常用二阶逆变张量()()a a ij ij det ≠0的相乘与缩并来“升高”张量的协变指标，用二阶协变张量()()a a ij ij det ≠0相乘与缩并来“降低”张量的逆变指标.这种运算称为指标的升降.例如T ijk 就可由a ij和a ij 升降：ijkkp jm il lmp ijk jm il k lm ijk il jk l lmp ijk kp jm il lm j ijk km il lm k ijk jm il lij ijk kl l ik ijk jl ljk ijk il T a a a T T a a T T a T T T a a a T T a a T T a a T T a T T a T T a =========,,,,,,[张量的商律] 设T j j i i ml11⋅⋅⋅⋅⋅⋅和Tj j i i ml 11''''⋅⋅⋅⋅⋅⋅各为一组x i 和x i '的函数，如果对任意逆变矢量λi 与λ'i 及任一指标j k ，j k '使jk i i j j j l m k T λ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅11与''⋅⋅⋅''⋅⋅⋅'⋅⋅⋅'kl m k j i i j j j T λ11 成为张量，则T j j i i m l11⋅⋅⋅⋅⋅⋅必为张量.这种判别张量的法则称为张量的商律.例如 T k l m ij 与T k l m i j '''''各为x i ，x i '的函数，而且m mk k j j i i lij klm l j i m l k x x x x x x x x T T ''''''''''∂∂∂∂∂∂∂∂=λλ则m mk k j j i i l l l ij klm l j i m l k xx x x x x x x x x T T ''''''''''''∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=λλ即0'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-''''''''''l m m l l k k j j i i ij klm j i m l k x x x x x x x x x x T T λ 对所有的λ'l 都成立，所以上式括号中的表达式等于零，因此T klm ij是张量.以任意协变矢量代替逆变矢量可得相仿的结果. [张量密度] 按下面规律变化的量⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'''⋅⋅⋅'⋅⋅⋅'⋅⋅⋅∂∂⋅⋅⋅∂∂⋅⋅⋅∂∂=l k wa a k kl l l k T xx x x x x T 称为张量密度，式中w 为一常数，称为张量密度的权.张量就是权为零的张量密度.根据张量的阶数，还可以定义标量密度和矢量密度.两个指标的数目相同，且权相同的张量密度之和是一个同类型的张量密度.两个张量相乘时，权相加.三、 张量分析上述张量都假定它的分量是空间R n 中点M (x i)的函数：()T T xj j i i j j i i im l m l 1111⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= 当点M (x i )在空间R n中某一区域D 中变动时，则称T j j i i m l11⋅⋅⋅⋅⋅⋅是区域D 中的一个张量场.上面所建立的张量代数的各种运算，都可以应用到张量场上来.对于张量场还有一个不变的运算——绝对微分(也称为协变微分)，这就是张量分析要讨论的内容.一个标量场的普通导数是一个协变矢量场(梯度场)的分量.但是，一般说来，一个张量场的普通导数并不构成新的张量场.[仿射联络空间] 若对空间R n中的每一坐标系(x i)，在一已知点M 给定了一组(n 3个)数k ij Γ，并在坐标变换()x x x i i i ''=下，它们按下列规律变化k ijkk j j i i kk j i k k j i x x x x x x x x x x x Γ∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=Γ'''''''''2 (1) 则称在点M 给定了一个联络对象(或联络系数)，其中偏导数是在点M 取值的. 假定在空间R n中给定了联络对象场()()n k ij k ij x x M ,,1⋅⋅⋅=ΓΓ而且这些函数是连续可微的，则称R n为仿射联络空间，记作L n.一般说来，k ji k ij ΓΓ≠[挠率张量] (1)式中k ij Γ的变换规律包括两项：第一项不依赖于旧坐标系中的k ij Γ；第二项依赖于k ij Γ，并和张量的变换规律的形式完全相同.由于第一项对两个下标''i j ,是对称的，它一般不等于零，所以k ij Γ不是一个张量.但是k ji k ij k ij T ΓΓ-=构成一个张量，称为仿射联络空间L n的挠率张量.如果挠率张量k ij Γ等于零，即k ji k ij ΓΓ=则称所给定的空间是无挠率的仿射联络空间，记作L n 0.[矢量的绝对微分与平行移动] 若在空间L n中给定一个逆变矢量{}a i ，则在坐标变换下有iMi i i a x x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=''(2) 这构成矢量{}a i 在点M 的变换规律.如果从点M ( x i )移到点N (x i ＋d x i)，则有()i i jM ji i M i i i i a a x x x x x x a a d d d 2+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+''''式中d a i表示矢量{}a i 从M 移到N 时的改变量的分量.在上式中只取一次项就得到ji Mji i iM i i i x a x x x a x x a d d d 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂='''(3) 若变换的二阶偏导数在M 不等于零，则一个矢量的改变量决不是一个矢量的分量. 如果R n 为仿射联络空间，可由(1)，(2)，(3)式得到()kj i jk i Mi i k j i k j i x a a x x x a ad d d d ΓΓ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+'''''''这表明k j ijk i i x a a Da d d Γ+=是一个逆变无穷小矢量.称Da i为矢量{}a i 在点M 处关于分量为d x i的位移MN 的绝对微分.如果联络对象()0=MijkΓ，则绝对微分与普通微分一致.若矢量{}Da i 等于零，即k j ijk i i x a a Da d d Γ+==0就称矢量{}a i 关于联络i jk Γ从点M 平行地移动到点N .当()0=MijkΓ，分量a i 保持不变(d a i= 0)时，矢量从点M 平行移动到点N ，就相当于欧氏空间中的平行移动. 如果给定一条曲线Cx i = x i( t )和一个逆变矢量{}a i ，沿这条曲线C 可以作伴随于{}a i 的矢量tx a t a t Da kj i jk i i d d d d d Γ+= 称它为沿曲线C 的导矢量.如果{}a i 的导矢量为零，即0d d d d =+tx a t a kj i jk i Γ (4) 则矢量a i自身沿曲线C 平行地移动，(4)式与坐标系的选择无关，就是说，矢量沿曲线的平行移动在坐标变换下是不变的.同样地可以考虑协变矢量{}a i 的绝对微分与平行移动.称k i ijk j j x a a Da d d Γ-=为协变矢量{}a i 关于位移d x i的绝对微分.平行移动的条件为0d d =-k i i jk j x a a Γ或沿曲线C 平行移动的条件为0d d d d =-tx a t a kiijk j Γ [协变导数] 从逆变矢量与协变矢量的绝对微分的定义公式可以得到量j i jk k i a xa Γ+∂∂和i ijk kja x a Γ-∂∂它们是关于指标k 协变的二阶张量，分别称为矢量{}a i 和{}a j 的协变导数，分别记作a i k ;和a j k ;或∇k i a 和∇k j a .[张量的绝对微分与平行移动及其协变微分法]由乘积的微分公式和张量的定义可以推出张量的平行移动规律. 例如，三阶张量的平行移动规律为()s rik l rs l ir r ks l rk r is l ik x T T T T d d ΓΓΓ-+=四阶张量的平行移动规律为()s lrij k rs rk ij l rs lk ir r js lk rj r is lk ij x T T T T T d d ΓΓΓΓ--+=可以看出,张量平行移动规律中所包含的项数与张量的阶数是相同的, 对于张量的逆变指标, 类似于逆变矢量平行移动的规律; 对于张量的协变指标, 类似于协变矢量平行移动的规律.记()s lr ij k rs rk ij l rs lk ir r js lk rj r is lk ij lk ij x T T T T T DT d d ΓΓΓΓ--+-=则称DT ij lk 为张量T ij lk 的绝对微分. [张量的协变导数及其运算法则]lr ij k rs rk ij l rs lk ir r js lk rj r is slkijlk ij s lk s ij T T T T x T T T ΓΓΓΓ++--∂∂=∇≡;称为张量T ij lk 的协变导数，它是一个五阶张量的分量.在普通导数中，对于已微分的张量的每个指标再加上一项就可以构成任意张量的协变导数，对于逆变指标，这项的形式是⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ri rs s i T T Γ;对于协变指标是⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅r r ks s k T T Γ;协变导数的运算法则如下：1若干个同样结构的张量之和的协变导数等于各个张量的协变导数之和，即()∇+=∇+∇⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅s j j i i j j i i s j j i i s j j i i T U T U m l m l m l m l111111112满足积的微分法则，即()()()()∇=∇+∇+∇s s s s ABC A BC A B C AB C[自平行曲线] 在仿射联络空间中，如果切于曲线上一点M 0的每个矢量{}a i0沿这曲线平行移动时是切于这曲线的，则称这曲线为自平行曲线.设曲线的方程为x i=x i(t ), 它的切矢量为tx i d d ，它沿曲线平行移动的条件为0d d d d d d 22=+t x t x tx kj i jk i Γ 这就是联络ijk Γ的自平行曲线的微分方程.设()ikj i jk i jk S ΓΓ+=21 上面的微分方程可写成t x t x S tx kj i jk i d d d d d d 22-= 系数S jk i 显然关于j 和k 是对称的，并构成一个仿射联络.称S jk i 构成伴随于ijk Γ的对称仿射联络，如果i jk Γ关于j , k 也是对称的，则S jk i 与ijk Γ一致.。

习题一 场论和张量代数(习题一中黑体符号代表矢量)1．(一)用哈密顿符号法证明：rot n n n n n n n n n n n n n n C C ⨯=-⨯∇⨯=-⨯∇⨯=-∇⋅+⋅∇=-∇⋅+⋅∇()()()()()()C 12因为n 为单位向量，n n ⋅=1，故 ∇⋅=()n n 0，于是rot n n n n ⨯=⋅∇().注意： 将rot n n ⨯写成rot n n n n ⨯=∇⨯⨯()是不正确的。

右端表示矢量][)(pk q jpqijk x n n ∂∂εε.直接写rot n n n n n n n n ⨯=-⨯∇⨯=-∇⋅+⋅∇()()()尽管也能给出证明，但由第二步(反用混合积公式)到第三步却是错误的，一定要引入辅助矢量n C 才能进行正确的推导。

(二)张量表示法证明：()()1()()2n n n ijk jmnk jik jmn k im kn km in k m m mk i k k k k i k in n nn n n x x x n n n n n n x x x εεεεδδδδ∂∂∂⨯==-=--∂∂∂∂∂∂⋅=-+=-+⋅∇=⋅∇∂∂∂rot n n n n n n2．(一)哈密顿符号法：grad(a n a n n a n a ⋅=∇⋅=⨯∇⨯+⋅∇)()()()； rot(a n a n n a n a ⨯=∇⨯⨯=⋅∇-∇⋅)()()().于是n a n a n n n a n a n n a a a ⋅⋅-⨯=⋅⨯∇⨯+∇⋅=⋅∇⋅=∇⋅=[()()][()()]()grad rot div(二)张量表示法：()()[grad()rot()]()j j j p ki ijki j ijk kpq q i j i j j p j ii j ip jq iq jp q ij j i j i j a n a a n n n n x x x x a a a a n n n n n n x x x x εεεδδδδ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⨯⋅⋅-⨯=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎡⎤∂∂∂∂=--=-⎢⎥∂∂∂∂⎢⎥⎣⎦a n n a n a n div j i j ji i ja n x a Q n n Q x ⎡⎤∂+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦∂=+=+∂ a其中()0j j i i i jji j j i ij i ja a a aQ n n n n n n n x x x x ∂∂∂∂=-=-=∂∂∂∂(进行j i ,指标互换)，证毕。

§２ 场论初步一、 场论的基本概念及梯度、散度与旋度［标量场] 空间区域D 的每点M (x ,y ,z )对应一个数量值ϕ(ｘ,y ,z )，它在此空间区域D 上就构成一个标量场,用点M （x,y,z )的标函数ϕ(x ,y ，z )表示.若M 的位置用矢径ｒ确定，则标量ϕ可以看作变矢r 的函数ϕ＝ϕ(r ).例如温度场u (x ,ｙ,z ),密度场),,(z y x ρ,电位场ｅ（x ,y ,z )都是标量场.[矢量场] 空间区域D 的每点M (x ，ｙ，z )对应一个矢量值R (x ，ｙ，ｚ)，它在此空间区域D 上就构成一个矢量场,用点M (x ,y ，z )的矢量函数Ｒ(x ，ｙ,ｚ)表示.若M 的位置用矢径r 确定,则矢量R 可以看作变矢ｒ的矢函数R (ｒ)：R （r )＝Ｘ(x ，ｙ，z )i ＋Ｙ（x ，y ,z ）j ＋Z (x ，ｙ,z )k例如流速场 υ(x ,y ,z ），电场E (ｘ，ｙ，z )，磁场H (x ，y ，z )都是矢量场.与标量场的情况一样,矢量场概念与矢函数概念，实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、矢量场)是为了保留它们的自身起源与物理意义．[梯度]ｇrad ϕ＝(x ∂∂ϕ，y ∂∂ϕ,z ∂∂ϕ)=∇ϕ＝x ∂∂ϕi ＋y ∂∂ϕｊ＋z∂∂ϕk 式中∇=ix ∂∂＋ｊy ∂∂+ｋz∂∂称为哈密顿算子,也称为耐普拉算子.ｇr ａd ϕ有的书刊中记作de ｌϕ.ｇrad ϕ的方向与过点(x ，y ,z )的等量面ϕ=Ｃ的法线方向Ｎ重合,并指向ϕ增加的一方,是函数ϕ变化率最大的方向,它的长度等于N∂∂ϕ. 梯度具有性质:ｇrad(λϕ+μψ)＝λ gr ａd ϕ＋μgrad ψ （λ、μ为常数)grad(ϕψ)=ϕ grad ψ＋ψ gr ａd ϕ gra ｄF (ϕ)＝()ϕϕgrad F ' [方向导数]l ∂∂ϕ＝ｌ·g ｒa ｄϕ=x ∂∂ϕcos α+y ∂∂ϕcos β+z∂∂ϕc ｏs γ式中l =(ｃｏs α，c ｏs β，ｃｏs γ)为方向l 的单位矢量，α,β，γ为其方向角.方向导数为ϕ在方向l 上的变化律，它等于梯度在方向l 上的投影. [散度]d ｉv R =x X ∂∂＋y Y ∂∂＋zZ ∂∂=∇·R =div （X , Y , Ｚ) 式中∇为哈密顿算子. 散度具有性质：d ｉv （λa +μｂ)=λ div a ＋μdi ｖb (λ、μ为常数) div(ϕa )＝ϕdiv ａ＋a g ｒad ϕ ｄiv(a ×b ）＝ｂ·ｒo ｔ ａ－a ·ｒot b[旋度]rot R =（z Y y Z ∂∂-∂∂)i +(xZ z X ∂∂-∂∂)j ＋(y X x Y ∂∂-∂∂)k =∇×Ｒ=ZYXz y x ∂∂∂∂∂∂k j i式中∇为哈密顿算子,旋度也称涡度，rot Ｒ有的书刊中记作cu ｒl R ．旋度具有性质：r ｏt(λa +μb )＝λ rot a ＋μro ｔ b (λ、μ为常数) ｒot(ϕa )=ϕrot a +a ×ｇrad ϕro ｔ(a ×b )＝(b ·∇）a －(a ·∇)b +(ｄiv b )a －（di ｖ ａ）b[梯度、散度、旋度混合运算］ 运算g ｒad 作用到一个标量场ϕ产生矢量场grad ϕ,运算d ｉv 作用到一个矢量场 Ｒ产生标量场d ｉv Ｒ,运算ｒot 作用到一个矢量场R 产生新的矢量场r ｏt R .这三种运算的混合运算公式如下：d ｉｖ ｒｏt R =０ ｒot ｇr ａd ϕ＝0div gr ａｄϕ=22x ∂∂ϕ ＋22y∂∂ϕ+22z ∂∂ϕ=∆ϕg ｒａd ｄi ｖ Ｒ＝∇（∇R ) ro ｔ ｒot R =∇×(∇×R )ｄiv gra ｄ(λϕ+μψ）=λ d ｉｖ g ｒad ϕ+μｄiv gra ｄψ （λ、μ为常数)d ｉｖ grad(ϕψ）＝ϕd ｉv g ｒad ψ+ψｄｉv grad ϕ＋２gra ｄϕ·grad ψg ｒad div Ｒ-ｒo ｔ ro ｔ R =∆R式中 ∇为哈密顿算子,∆=∇·∇＝∇２为拉普拉斯算子.[势量场（守恒场)］ 若矢量场R (ｘ，y ，z )是某一标函数ϕ(x ,y ,z ）的梯度，即R ＝ｇra ｄϕ 或 Ｘ＝x ∂∂ϕ,Y ＝y ∂∂ϕ,Z ＝z∂∂ϕ则Ｒ称为势量场，标函数ϕ称为R 的势函数.矢量场R 为势量场的充分必要条件是：rot R ＝０，或y X ∂∂ =x Y ∂∂,z Y ∂∂=y Z ∂∂,x Z ∂∂=zX∂∂ 势函数计算公式ϕ(ｘ，y ，z )＝ϕ(ｘ０，y 0，z 0)＋()⎰xx x z y x X 0d ,,00＋()⎰yy y z y x Y 0d ,,0+()⎰zz z z y x Z 0d ,,[无散场(管形场)] 若矢量场R 的散度为零,即div R ＝0，则R 称为无散场．这时必存在一个无散场Ｔ,使Ｒ＝r ｏt Ｔ，对任意点Ｍ有T ＝14π⎰V r d rot R式中ｒ为d Ｖ到Ｍ的距离，积分是对整个空间进行的.［无旋场] 若矢量场R 的旋度为零，即r ｏt R ＝0，则R 称为无旋场．势量场总是一个无旋场,这时必存在一个标函数ϕ,使R ＝grad ϕ，而对任意点M 有ϕ=-14π ⎰V r d div R式中r 为d V 到M 的距离,积分是对整个空间进行的.二、 梯度、散度、旋度在不同坐标系中的表达式１．单位矢量的变换［一般公式] 假定x =ｆ(ξηζ,,),y =g (ξηζ,,),z =h (ξηζ,,)把(ξηζ,,)空间的一个区域 一对一地连续映射为（ｘ,y ，z ）空间的一个区域D ,并假定f ，g ，h 都有连续偏导数,因为对应是一对一的,所以有ξ＝ϕ(x ,y ，z )，()()ηψζχ==x y z x y z ,,,,,再假定ϕψχ,,也有连续偏导数，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=ζζηηξξζζηηξξζζηηξξd d d d d d d d d d d d z z z z y y y y x x x x 或逆变换⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=z z y y x x z z y y x x z z y y x x d d d d d d d d d d d d ζζζζηηηηξξξξ沿d ｘ,ｄy ，d z 方向的单位矢量记作i ，j ，k ,沿ζηξd ,d ,d 方向的单位矢量记作ζηξe e e ,,，则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂=222222222ζζζζζζηηηηηηξξξξξξζηξz y x z y x z y x zy x z y x z y x k j i e k j i e kj i e [圆柱面坐标系的单位矢量］ 对于圆柱面坐标系（图8.11)⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x ϕρϕρsin cos ()002≤≤∞≤<-∞<<∞ρϕπ,,z 单位矢量为⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=k e j i e j i e zϕϕϕϕϕρcos sin sin cos 它们的偏导数为000=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂zz z zzze e e e e e e e e e e ϕρϕρρϕϕρρρρϕϕϕ,,[球面坐标系的单位矢量］ 对于球面坐标系（图８．1２）⎪⎩⎪⎨⎧===θϕθϕθcos sin sin cos sin r z r y r x ()0020≤<∞≤<≤≤r ,,ϕπθπ单位矢量为⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=++=j i e k j i e k j i e ϕϕθϕθϕθθϕθϕθϕθcos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin r它们的偏导数为θϕϕθϕϕθθϕθθθϕθϕθϕθθθe e e e e e e 0e e e e e 0e e e cos sin ,cos ,sin ,,--=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂r rr rr rr r 2.矢量的坐标变换［一般公式] 一个由(x ,y ,ｚ)坐标系所表达的矢量可以用(ξηζ,,)坐标系来表达:υ=(x υ,υｙ,υｚ)=x υｉ＋υｙ j ＋υz ｋ＝ζζηηξξυυυe e e ++式中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=222222222222222222222222222ζζζυζηηηυηξξξυξυζζζυζηηηυηξξξυξυζζζυζηηηυηξξξυξυζηξζηξζηξz y x z z y x z z y x z z y x yz y x y z y x y z y x x z y x x z y x x z y x[圆柱面坐标系与直角坐标系的互换] 由圆柱面坐标系到直角坐标系的变换公式⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=z zy x υυϕυϕυυϕυϕυυϕρϕρcos sin sin cos 由直角坐标系到圆柱面坐标系的变换公式⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=z zy x y x υυϕυϕυυϕυϕυυϕρcos sin sin cos [球面坐标系与直角坐标系的互换] 由球面坐标系到直角坐标系的变换公式⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-+=θυθυυϕυϕθυϕθυυϕυϕθυϕθυυθϕθϕθsin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin r zr y r x 由直角坐标系到球面坐标系的变换公式⎪⎩⎪⎨⎧+-=-+=++=ϕυϕυυθυϕθυϕθυυθυϕθυϕθυυϕθγcos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin y x z y x z y x ３．各种算子在不同坐标系中的表达式设U ＝U (ｘ，y ，z ）是一个标函数，V ＝V (x ，y ,z )是一个矢函数． [在圆柱面坐标系中各种算子的表达式]哈密顿算子 ~∇=ρρ∂∂e +ϕρϕ∂∂1e +zz ∂∂e梯 度 grad U = ~∇Ｕ＝ρρ∂∂U e +ϕρϕ∂∂U 1e +z U z ∂∂e散 度 di ｖV ＝ ~∇·V ＝()zz ∂∂+∂∂+∂∂υϕυρρυρρϕρ11 旋 度 ro ｔＶ＝ ~∇×V =ρϕυϕυρe ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂z z 1+ϕρρυυe ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂z z +()z e ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂ϕυρρρυρρϕ11拉普拉斯算子 ∆U ＝d ｉv grad U =2222211z UU U ∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ϕρρρρρ [在球面坐标系中各种算子的表达式］哈密顿算子 ~~∇=r r ∂∂e +θθ∂∂r 1e ＋ϕθϕ∂∂sin r 1e梯 度 grad Ｕ＝ ~~∇U ＝r U r ∂∂e +θθ∂∂U r 1e ＋ϕθϕ∂∂U r sin 1e散 度 di ｖ V=~~∇·V =()()ϕυθθυθθυϕθ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂sin sin sin r r r r r r 11122 旋 度 rot V ＝ ~~∇×Ｖ＝()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂ϕυθυθθθϕsin sin r 1r e ＋()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂ϕυϕυθr r r r r 11sin θe ＋()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂θυυθr r rr r 11ϕe 拉普拉斯算子 ∆U =d ｉｖ g ｒad U＝2222221111ϕθθθθθ∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂U r U r r r U r r rsin sin sin三、 曲线积分、曲面积分与体积导数［矢量的曲线积分及其计算公式] 矢量场R (r )沿曲线Γ的曲线积分定义为⎰ΓR (r )·d r ＝∑=∞→→ni n r 1lim∆Ｒ(i r ~)·∆ｒｉ-１ 式中∆ｒi －１＝ｒi -r i -1，右边极限与i r ~的选择无关,曲线 Γ由A 到B （图８．１3)若矢函数R (r ）是连续的(就是它的三个分量是 连续函数）, 曲线Γ也是连续的, 且有连续转动的切线, 则曲线积分()⎰⋅Γr r R d存在.若R (ｒ)为一力场,则Ｐ＝()⎰⋅Γr r R d 就等于把一质点沿着Γ 移动时力R 所作的功. 矢量曲线积分的计算公式如下： ()⎰Γ⋅r r R d =()⎰++z Z y Y x X d d d Γ()⎰+⋅21ΓΓr r R d ＝()⎰⋅1Γr r R d +()⎰⋅2Γr r R d （图8.14)()⎰⋅Γr r R d ＝-()⎰-⋅Γr r R d()()[]⎰⋅+Γr r T r R d =()⎰⋅Γr r R d ＋()⎰⋅Γr r T d()⎰⋅Γr r R d k =k ()⎰⋅Γr r R d（k 为常数）[矢量的环流] 如果Γ为一闭曲线，则沿曲线Γ 的曲线积分()⎰⋅Γr r R d =()⎰++Γz Z y Y x X d d d 称为矢量场R (r )沿闭曲线Γ 的环流．势量场沿任何闭曲线的环流都等于零.如果Ｒ(ｒ)为一势量场,且它的势函数为ϕ时，则曲线积分()⎰⋅Γr r R d =()⎰⋅B Ar r R d ＝ϕ(B )-ϕ(A ）与连接A ,B 两点的路径无关,只依赖于Ａ，B 两点的 位置(图8.１5).[矢量的曲面积分] 设S 为一曲面,令N ＝()cos ,cos ,cos αβγ表示在曲面S 上一点的法线单位矢量, 而ｄS ＝N d Ｓ表示面积矢量元素.又设ϕ(ｒ)=ϕ(x , y ,z ）是定义在曲面S 上的连续标函数,R （r ）＝(Ｘ(x , ｙ,ｚ),Y （x ， y ,z ）， Z （ｘ, y ,z ))是定义在曲面Ｓ上的连续矢函数,这里规定法线单位矢量与曲面分布在切面的两侧.则曲面积分有如下的三种形式：1标量场的通量(或流量)ϕS⎰⎰ｄS =ϕS yz⎰⎰d y d z i ＋ϕS zx ⎰⎰d z d x j +ϕS xy⎰⎰d x d y k式中S ｙz ，S zx ，Ｓxy 分别表示曲面S 在Oyz 平面,Ｏz ｘ平面, O ｘｙ平面上的投影．Ｓx ｙ的正负号规定如下：当从ｚ轴正方 向看去时，看到的是曲面S 的正面，认为S xy 为正，如果 看到的是曲面的反面,则认为S xy 为负(图８．16).2矢量场的标通量S⎰⎰R ·d S =S yz⎰⎰X d ｙd z +S zx ⎰⎰Y d z d ｘ＋S xy⎰⎰Z d ｘd ｙ式中S yz 等的意义同1.３矢量场的矢通量S⎰⎰R ×d Ｓ=S yz⎰⎰（Z ｊ-Ｙk )ｄy d z ＋S zx ⎰⎰(X ｋ－Z ｉ)ｄz d x +S xy⎰⎰(Y i -Ｘj ）d x d ｙ式中S y ｚ等的意义同1.[矢量的体积导数] 如果S 是包围体积V 的闭曲面,并包含点ｒ，则沿闭曲面S 的曲面积分(S⎰ϕd S ,S⎰R ·ｄＳ,S⎰R ×d S )与体积Ｖ之比,当V 趋于零时(即它的直径→0)的极限称为标量场ϕ(或矢量场R ）在点r 处的体积导数(或空间导数). 1标量场ϕ的体积导数就是它的梯度：grad ϕ＝VSV ⎰→Sd limϕ02矢量场Ｒ的体积导数之一是它的散度:ｄiv Ｒ＝VSV ⎰⋅→SR d lim３矢量场R 的另一个体积导数是它的旋度： rot Ｒ=－V S V ⎰⨯→S R d lim四、 矢量的积分定理[高斯公式]⎰⎰⎰V div R ｄV ＝S ⎰⎰R ·d Ｓ=S⎰⎰R ·N d Ｓ 即()⎰⎰⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V SS Z Y X z y x z Z y Y x X d cos cos cos d d d γβα 式中S 为空间区域V 的边界曲面，N ＝()cos ,cos ,cos αβγ为在S 上一点的法线单位矢量,Ｒ(ｒ）=(X (x , ｙ,z ),Y (x ， ｙ,z ）,Z (x , y ，z ）)在V +Ｓ上有连续偏导数.[斯托克斯公式] S ⎰⎰r ｏｔ R ·ｄＳ=S ⎰⎰rot R ·N d S ＝L⎰R ·d r 即y x y X x Y x z x Z z X z y z Y y Z S d d d d d d ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂ = ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂S S y X x Y x Z z X z Y y Z d cos cos cos γβα = ⎰++L z Z y Y x X d d d式中S 为一定曲面的一侧，L 为曲面S 的闭边界曲线（L 的正向与N 构成右手系).Ｓ的每点有切面,其方向连续地依赖于曲面上的点，而边界曲线Ｌ上的每点都有切线(图8.17）. R (r )=(X (x , y ,z ),Y (x , y ,z ),Z (x , ｙ，z )）在曲面的所有点单值，并在与S 足够靠近的点处有连续偏导数．[格林公式]⎰⎰S ψϕgrad ·ｄS =()⎰⎰⎰⋅+VV d grad grad Δψϕψϕ ()⎰⎰-S ϕψψϕgrad grad ·d S ＝()⎰⎰⎰∆-∆VV d ϕψψϕ式中S 为空间区域V 的边界曲面,ϕψ,为两个标函数,在Ｓ上具有连续偏导数，且在V 上具有二阶连续偏导数,∆为拉普拉斯算子,特别⎰⎰S ϕgrad ·d S =⎰⎰⎰∆V V d ϕ 即⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂S V V z y x y x z x z y z y x d d d d d d d 222222ϕϕϕϕϕϕ。

第二章 正交曲线坐标系中的张量分析与场论上一章讨论了张量的代数运算，而连续介质力学要求研究连续介质微元体之间的关系，这就要求把微积分引入张量的运算中，从而形成了张量分析与场论。

本章我们将重点介绍正交曲线坐标系中的张量分析及一些有关场论的知识，关于一般曲线坐标系中张量分析的知识不在我们课程讲授的范围之内，我们在第三章中给出有关内容的简单介绍，供有兴趣者参考。

相对于一般曲线坐标系，有些文献和教科书上也把正交曲线坐标系称为非完整系物理标架。

2.1、矢量函数、及其导数与微分1）.如果一个矢量A 随着某一参数q 在变化，则称这个矢量()q A为矢量函数，在直角坐标，也称笛卡尔坐标中()q A可表示为()()()()k q A j q A i q A q A z y x++=如果把矢量A 的起点放在原点，随着q 的变化，A的端点将在空间描述出一条曲线，这条曲线称为A的矢端曲线，矢端曲线是以参数形式给出的。

矢端曲线上一点M ，矢量叫做点M 的矢径，用r表示。

矢端曲线的参数方程为A r=，即其分量满足的方程为()q A x x =； ()q A y y =； ()q A z z = 例：圆柱螺旋线。

参数方程为：()k a j a i a rθθθθ++=sin cos其中θ为参数。

2）.矢量函数的导数矢量函数的导数的定义为：如()()qq A q q A q A q q ∆-∆+=∆∆→∆→∆ 00lim lim存在，则称为()q A 在q 点的导数或导矢，记为qA ∆∆或A '。

在直角坐标中，由于i e是常矢量，因此导数的表达式为()()()()i i i i i q i i i i q q e qA e q q A q q A q e q A e q q A q Adq A d∂∂=∆-∆+=∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆000lim lim lim即k dqdA j dq dA i dq dA dq A d z y x++=s导矢()q A '的几何意义：如果导矢A ' 存在，且0≠'A ，则A '的方向表示矢端曲线的切线方向，并指向q 增加的方向。

科目代码：2203 科目名称：高等流体力学
一、考试的总体要求
掌握流体力学的基本理论和流场分析与计算的基本方程、基本方法，运用所学的流体力学理论及方法分析和求解基本的流场分析计算问题。

二、考试的内容
1．场论和张量初步：掌握梯度、散度、旋度的概念，利用哈密顿算子进行基本的微分运算；掌握张量表示法、二阶张量基本概念和二阶张量的微分运算。

2、流体的物理性质：掌握连续介质模型，流体中一点的应力张量的概念，流体的压缩性和膨胀性。

3、流体运动学：理解描述流体运动的两种方法，理解理想流体与粘性流体等概念；掌握流线方程和迹线方程，掌握质点导数的计算。

理解柯西-亥姆霍兹速度分解定理及物理意义，掌握流体微团变形与转动的计算；掌握流场旋度的概念与基本计算；理解本构方程。

4、流体力学基本方程：理解控制体和质量体（系统）的概念，输运公式及其物理意义；掌握积分形式与微分形式的连续性方程、运动方程、能量方程建立的条件、方法和物理意义。

理解和掌握伯努利方程及其使用条件。

理解初始条件和边界条件的提法。

5、理想流体动力学：理解欧拉方程，掌握有旋流动的运动学性质，凯尔文定理，涡旋不生不灭定理；掌握不可压缩无旋流动中速度势的物理意义，掌握流函数及势函数的概念与计算。

6、粘性流体动力学：理解不可压缩牛顿型流体的连续方程、运动方程和能量方程，掌握粘性流体运动的相似定律，理解相似准则的物理意义；理解流体力学方程简化分析的基本方法。

三、考试的题型
简答题、分析题、计算题、论述题。

第一章 场论和张量初步1.1 场的定义及分类设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数，则称定义在此空间区域内的函数为场。

均匀场：同一时刻内各点函数的值都相等。

反之为不均匀场。

定常场：场内函数值不依赖于时间。

反之为不定常场。

1.2场的几何表示标量场：等位线。

矢量场：矢量线的微分方程：(,,,)(,,,)(,,,)x y z dx dy dza x y z t a x y z t a x y z t ==积分，将t 看成参数，即得矢量线的分析表达式。

1.3梯度——标量场不均匀性的量度梯度：大小为n ϕ∂∂，方向为n ，的矢量称为标量函数ϕ的梯度，以grad n n ϕϕ∂=∂表之。

在s 方向上的方向导数等于梯度矢量在s 方向上的投影。

梯度grad ϕ在直角坐标系中的表达式为grad i j k x y z ϕϕϕϕ∂∂∂=++∂∂∂总结起来，梯度的主要性质是：1）梯度grad ϕ描写了场内任一点M 领域内函数ϕ的变化状况，它是标量场不均匀性的量度。

2）梯度grad ϕ的方向与等位面的法线重合，且指向ϕ增长的方向，大小是n 方向上的方向导数n ϕ∂∂；3）梯度矢量grad ϕ在任一方向s 上的投影等于该方向的方向导数；4）梯度grad ϕ的方向，即等位线的法线方向是函数ϕ变化最快的方向。

定理1 梯度grad ϕ满足关系式d dr grad ϕϕ=∙定理2 若a grad ϕ=，且ϕ是矢径r 的单值函数，则沿任一封闭曲线L 的线积分La dr⋅⎰等于零，反之，若矢量a 沿任一封闭曲线L 的线积分La 0dr ⋅=⎰则矢量a 必为某一标量函数ϕ的梯度。

例：计算仅与矢径大小r 有关的标量函数ϕ（r ）的梯度ϕgrad 。

I ）利用性质（2），标量函数=ϕϕ（r ）的等位面是以坐标原点为心的球面，而球面的法线方向，即矢径r 的方向，故ϕgrad 的方向就是矢径r 的方向其次的大小是=r r ϕϕ∂∂’（）于是rii ）利用性质（5），显然x d r dr x ϕϕ∂∂=∂∂，d r y dr y ϕϕ∂∂=∂∂，z d rdr z ϕϕ∂∂=∂∂因222r x y z =++故r x x r ∂=∂，r y y r ∂=∂，r z z r ∂=∂于是x d x r dr ϕϕ∂=∂，y d y r dr ϕϕ∂=∂，z z d r dr ϕϕ∂=∂而=r r xi yj zk d grad ij k x y z r dr ϕϕϕϕϕϕϕ∂∂∂++∂=++==∂∂∂∂’（）iii ）利用定理1，r r dr rdrrϕϕϕ=’’（）d (r)=（）因2r r r ⋅=微分得r dr rdr ⋅=于是r d r drrϕϕ=⋅’（）根据定理1r最后我们指出，写成a grad ϕ=的矢量场亦称位势场，ϕ称为位势函数。