第一章 张量初步及应力应变基本方程PPT课件

分可写成
df
f xi
dxi
。
x
x
xy y
xz z
0
xy
x
y y
yz z
3
ai2i ai2i a121a222a323 j1
ii 23
2
ii
(
11
22
33)2
i1
33
ij ij
ij ij 1111 1212 1313
i1j1
2121 2222 2323 3131 3232 3333
i j 的应用与计算示例如下：
指标符号的正确用法：
(1) 三维空间中任意点的三个直角坐标通常记为x，y和z。 指标符号可缩写成xi ，其中x1= x， x2= y， x3= z。
(2) 矢量a和b的分量可分别记为ai 和bi ，它们的点积为：
3
ab a x b x a y b y a zb z a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3a ib i (1-2) i 1 引入爱因斯坦求和约定： 如果在表达式的某项中，
zx
E
2 1
zx
G zx
2 G zx
采用张量，则物理方程可表示：
ij 2Gij kkij
(1-3)
i和j为自由指标，表示轮流取该指标范围内的任何值，关系
式将始终成立，式中σij和εij分别表示9个应力和应变分量：
11 x,22 y,33 z 12 xy,23 yz ,31 zx 21 yx,32 zy,13 xz
(1) ii1122333
(2) ij ij 1 11 1 1 21 2 1 31 3 2 12 1 2 22 2 2 32 3 3 13 13 23 23 33 3 (1 1 )2 (2 2 )2 (3 3 )2 3
(3) ij jk i11 k i22 k i33 k ik (4) a ij ij a 1 11 1 a 2 22 2 a 3 33 3 a ii
某指标重复地出现两次，则表示要把该项在该指标的取值
范围内遍历求和，该重复指标称为哑指标，或简称哑标。
用哑标代替求和符号∑，则位移矢量u和点积a·b可表 示成：u=uiei，a·b=aibi。显然，aibi =biai，即矢量点积的 顺序可以交换：a·b= b·a；由于哑标仅表示遍历求和，因 此可以成对地任意换标，例如a·b=aibi=ajbj=akbk。
注意： aibj 表示9个数，而 aibi则只是一个数。
自由指标和哑标举例：
3
aibi aibi a1b1a2b2a3b3 i1
3
aijbj aijbj ai1b1ai2b2ai3b3 j1
33
aijbicj aijbicj a11b1c1a12b1c2a13b1c3 i1j1
a21b2c1a22b2c2a33b2c3a31b3c1a32b3c2a33b3c3
和r力F( )等F。具有多重方向性的的更为复杂的物理量称为
张量，常用黑体字母或字母下加一横表示，例如一点的应
力状态可以用应力张量σ( )表示 ，它具有二重方向性，是
二阶张量，而标量和矢量分别为零阶和一阶张量。
矢量可以在参考直 角坐标系下分解，以位 移矢量u为例，它可以 表示成位移分量ux、 uy 、 uz与基矢ex、 ey 、 ez的 乘积之和的形式：
(5) a i ij a 11 j a 22j a 33j a j
(6) ijn j n i ijn jijn j (ijij) n j
(4) 指标符号同样适用于微分关系。例如，三维空间中线
元长ds和其分量dxi之间的关系：(ds)2= (dx1)2+(dx2)2+(dx3)2
可以写成： (ds)2= dxidxi。再如多变量函数f(x1,x2,x3)的全微
x3=z u3(uz) u
e3( k ) u1(ux) e1( i ) o e2( j )
u2(uy) x2=y
x1=x 图1.1 位移矢量的分解
3
u u xe x u ye y u ze z u 1 e 1 u 2 e 2 u 3 e 3 u ie i (1-1) i 1
指标：对于一组性质相同的n个量可以用相同的名字加不 同的指标来表示，例如位移u的分量可用ui(i=1,2,3)表示， 这里的i就是指标。今后约定，如果不标明取值范围，则拉 丁字母i，j，k，···均表示三维指标，取值1，2，3，例如， 采用ui可以表示u1、 u2和 u3三个数值，这种名字加指标的 记法称为指标符号。
1.6 应力圆和洛德(Lode)参数
1.7 应力空间
1.8 应力路径
1.9 应变张量的分解
1.10 应变空间与应变π平面
1.11 各种剪切应变间的关系
1.12 应力和应变的基本方程
2
1.1 张量初步
力学中常用的量可以分成几类：只有大小没有方向性 的物理量称为标量，通常用一个字母来表示，例如温度T、 密度ρ、时间t等。既有大小又有方向的物理量称为矢量， 常用黑体字母(或字母上加一箭头)来表示，例如矢径r( )
(3) 对于各向同性的均质弹性体，物理方程可描述为：
x
E 1
1
2
e
x
x y z
2G x
y
E 1
1
2
e
y
x y z
2G y
z
E 1
1
2
e
y
x y z
2G y
xy
E
2 1
xy
G xy
2 G xy
yz
E
2 1
yz
G yz
2 G yz
岩土塑性力学
参考文献： 龚晓南：土塑性力学 徐秉业：塑性理论引论 陆明万等：弹性理论基础 孙炳楠等：工程弹塑性力学 郑颖人等：岩土塑性力学原理
教师：徐平 下载： TEL:
第一章 张量初步及应力、应变基本方程
1.1 张量初步
1.2 一点的应力状态
1.3 最大(最小)剪应力
1.4 ,33 z 12 xy ,23 yz ,31 zx 21 yx,32 zy ,13 xz
k为哑标， k k1 12 23 3xyz
δij为Kronecher符号：δij =1(i=j)， δij =0(i≠j)，根据场论，δij可 以表示两个基矢的点积：δij =ei·ej