§2.2 微分方程式的建立

油气层渗流力学
第二章 油气渗流的数学模型
主要内容
§2.1 概述 §2.2 渗流基本微分方程的建立 §2.3 典型数学模型 §2.4 定解条件
§2.1 概
一、建立数学模型的基础
述
油气渗流数学模型的研究方法是把一定地质条件下油气渗 流的力学问题转换为数学问题，然后求解， 流的力学问题转换为数学问题，然后求解，再联系油气田开发 的实际条件应用到生产当中去。 的实际条件应用到生产当中去。 渗流形态和类型不同，所遵循的力学规律有差异， 渗流形态和类型不同，所遵循的力学规律有差异，伴随渗 流过程出现的物理化学现象也不同， 流过程出现的物理化学现象也不同，故有很多类型的渗流数学 模型。 模型。
§2.1 概
三、建立数学模型的步骤
述
3、确定未知数（因变量）和其他物理量之间的关系 确定未知数（因变量） 确定选用的运动方程 确定所需的状态方程 确定连续性方程 确定伴随渗流过程发生的其他物理化学作用的函 数关系
§2.1 概
三、建立数学模型的步骤
述
4、推导数学模型所需的综合微分方程 用连续性方程作为综合方程，把其他方程代入连续 性方程中，得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分 方程或微分方程组。
§2.1 概
述
二、油气渗流数学模型的一般结构
油气渗流基本微分方程体现了在渗流过程中需要研究的流 体力学、物理学和化学问题的总和， 体力学、物理学和化学问题的总和，并且还要描述这些现象的 内在联系。因此，建立基本渗流微分方程要考虑包括以下几方 内在联系。因此， 面的因素： 面的因素： 渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配； 渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配； 渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程， 渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程，所以 需要建立流体和岩石的状态方程； 需要建立流体和岩石的状态方程；

建立微分方程的一般步骤嘿，咱今儿个就来聊聊建立微分方程的那些事儿！你说啥是微分方程？简单来讲，就像是一个神秘的关系式，描述着某个过程中变量之间的奇妙联系。

那怎么建立它呢？别急，听我慢慢道来。

首先呢，你得搞清楚问题的本质呀！就好比你要去一个陌生地方，得先知道目的地是哪儿吧。

咱得仔细分析研究的对象，它有啥特点，有啥变化规律。

比如说，一个物体的运动，或者是某种物质的变化。

然后呢，就得找那些关键的量啦！这些量就像是拼图的小块，把它们凑到一块儿，才能看清整个画面。

想想看，就像搭积木一样，一块一块堆起来，才能建成漂亮的城堡嘛。

接下来，就得考虑这些量之间的关系啦！是随着时间变化呀，还是跟其他因素有关呢。

这就像是织网，把那些关键的点用线连起来，形成一个有规律的网络。

再然后呢，根据这些关系，用数学的语言把它们表达出来呀！这可就考验咱的数学功底啦。

什么导数啦，积分啦，都得派上用场。

哎呀，你说这是不是有点像破案呀！从一些蛛丝马迹中找出真相。

建立微分方程不就是这样嘛，从那些看似杂乱无章的现象中，找出隐藏的规律。

比如说，研究一个小球的自由落体运动。

咱得知道它的位置、速度、加速度这些量吧。

然后发现速度是位置的导数，加速度又是速度的导数。

这不就找到关系啦，然后就能建立起微分方程啦。

再比如，研究人口的增长。

那得考虑出生率、死亡率这些因素呀，然后根据它们之间的关系来建立方程。

建立微分方程可不容易呢，得有耐心，得细心，还得有点想象力。

就像画画一样，一笔一笔地勾勒出那神秘的关系式。

你想想，要是没有微分方程，好多现象咱都没法准确描述和预测呢！那得是多大的损失呀。

所以说呀，学会建立微分方程，那可真是打开了一扇通往科学奥秘的大门呢。

咱可得好好掌握这门学问，以后遇到啥问题都能迎刃而解啦！这不就是咱追求知识的意义嘛。

怎么样，现在对建立微分方程的一般步骤有点感觉了吧？哈哈！。

齐次解的形式
Aet
A1et A2tet Ak t e k 1 t A1eatcosbt A2eatsinbt
7
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
8
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
系统的特征方程为 特征根 因而对应的齐次解为
9
信号与系统三、线性时不变系统经典法求解
rzs
(t)

2et

1 2
e2t

3 2
,
t 0
r(t)

rzi (t)

rzs (t)

4et
3e2t

2et

1 2
e2t

3 2
零输入响应
2et 5 e2t 3
2
2
零状态响应
暂态响应 稳态响应
自由响应 强迫响应
41
信号与系统
四、全响应
习题2-6（2）
分析过程
ut :
表示0 到0 相对单位跳变函数
29
信号与系统d r(t) 3r(t) 3 (t)
dt
数学描述
方程右端含 (t) 项，它一定属于 d r(t)
dt
设
d r(t) a (t) b (t) cu(t)
dt
则
r(t) a (t) bu(t)
信号与系统
§2.1 引言
一、系统数学模型的时域表示法
输入输出描述： 一 元 N 阶微分方程 状态变量描述： N 元 一 阶微分方程
1
信号与系统
二、系统分析过程
列方程 解方程
经典法： 全解=齐次解+特解

12 t 3 6t 3 21 v2 (t ) = e + e + sin(2t) - cos(2t) 25 50 50 50
退出
(t ≥ 0+ )
sin(2t ) + B2 cos(2t )
3 21 B1 = , B2 = 15 50
代入原方程求得系数为： 代入原方程求得系数为 ： 系统的完全响应为： 系统的完全响应为：
v2 (t ) = A e + A2e 1
t
6t
3 21 + sin(2t) - cos(2t) t ≥ 0+ 50 50
退出
解(4)
求i(t )在t ≥ 0+时的完全响应
由v2 (t )的全响应表示式
12 21 1 v2 (0+ ) = A + A2 = 0 A = 25 1 50 求得 d 3 A = 3 v (0 ) = A 6A + = 0 2 2 + 1 2 50 dt 25
要求的完全响应为
退出
已知 v1(0 ) = v2 (0 ) = 0
v1(0+ ) = v2 (0+ ) = 0
R1 R2
1
由于 v1 (0+ ) = 0 R2 , C2 上的初始电流也为零
1
e (t )
v1 (t )
C1
1 F 2
C2
1 F 3
v1 (t )
d v2 (0+ ) = 0 因而有: 因而有: v2 (0+ ) = 0 dt
例2 - 5
给定如图所示电路， 给定如图所示电路，已知激励信号 e(t ) = sin(2t )u(t ) 初始时刻，电容端电压均为零， 初始时刻，电容端电压均为零，求输出信号v2 (t ) 的表达式 。