福州大学数学与计算机科学学院
计算机上机实验报告
专业和班级 姓名 成绩 学号
课程名称 数值计算方法 实验名称 四阶Runge-Kutta方法
实
验
目
的
和
要
求 实验目的
在计算机上实现用四阶Runge-Kutta求一阶常微分方程初值问题()(,),[,]()0yxfxyxabyay的数值解并与欧拉法和改进欧拉法的数值解比较。
实验基本要求
1. 将伪码程序转换为matlab程序录入计算机，并进行调试；
2. 将调试好的程序解决如下问题21()(41),[0,0.5]2(0)0yxyxxxy的解/22()(0.05)()1.iixyxxihhyyxex在处的近似值，并与问题的解析解相比较
3. 分析数值结果
实
验
内
容
和
步
骤 实验程序：
1. 常微分方程Runge-Kutta法：
function varargout=rk(varargin)
clc,clear
x0=0;xn=0.5;y0=0;h=0.05;
[y,x]=lgkt4j(x0,xn,y0,h);
n=length(x);
fprintf(' i x(i) y(i)\n');
for i=1:n
fprintf('%2d %4.4f %4.4f\n',i,x(i),y(i));
end
function z=f(x,y)
z=1/2.0*(-y+x*x+4*x-1); function [y,x]=lgkt4j(x0,xn,y0,h)
x=x0:h:xn;
n=length(x);
y1=x;
y1(1)=y0;
for i=1:n-1
K1=f(x(i),y1(i));
K2=f(x(i)+h/2,y1(i)+h/2*K1);
K3=f(x(i)+h/2,y1(i)+h/2*K2);
K4=f(x(i)+h,y1(i)+h*K3);
第２８卷第４期 ２００８年８月 桂林电子科技大学学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ＶｏＩ．２８，Ｎｏ．４ Ａｕｇ．２００８
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法
李绍刚，徐安农
（桂林电子科技大学数学与计算科学学院，广西桂林５４１００４）
摘要：微分算子法是求解常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法，基于算子多项式的理论，针ｘ￣－－阶常系数 线性微分方程，论文给出了非线性项为指数函数、三角函数、幂函数及其混合函数的微分算子特解公式，实例表明 特解公式在解题中具有可应用性、有效性和简捷性。 关键词：线性微分方程；常系数；微分算子；特解 中图分类号：Ｏ１７５．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３—８０８Ｘ（２００８）０４—０３３０—０４
Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒ
ｓｅｃｏｎｄ－ｏｒｄｅｒ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ
ＬＩ Ｓｈａｏ—ｇａｎｇ，ＸＵ Ａｎ—ｎｏｎｇ
（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｇｕｉｌｉｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ・Ｇｕｉｌｉｎ ５４１００４，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅ ａｐｐｒｏａｃｈ ｆｏｒ ｓｏｌｖｉｎｇ ｉｎｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａ— ｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ．Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ ａｎｄ ａｉｍｉｎｇ ａｔ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｉｎｈｏｍｏｇｅ— ｎｅｏｕ￥ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒｍｕｌａ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｗｈｅｒｅ ｔｈｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｉｔｅｍ ｈａｓ ｓｅｖｅｒａｌ ｔｙｐｅｓ ｏｆ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｓｕｃｈ ａｓ ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌ，ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ，ｐｏｗｅｒ，ｍｉｘｔｕｒｅ． Ｔｈｅ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｐｒｏｖｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｆｏｒｍｕｌａ ｈａｄ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ，ｖａｌｉｄｉｔｙ ａｎｄ ｃｏｎｃｉｓｅｎｅｓｓ ｉｎ ｓｏｌｖｉｎｇ ｐｒｏｂｌｅｍｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｃｏｎｓｔａｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ ｓｏｌｕｔｉｏｎ
第ｌ９卷第３期 ２９Ｏ２年５ Ｊｊ 。 Ｐ 盖 怎 。． Ｖ Ｅｄ ｌ９ Ｎｏ ３ Ｍｄｖ ２０。２
二阶线性微分方程通解在Ｒｉｃｃａｔｉ
方程解下的积分表示
姬小龙 ，常方平 （１济源职业技术学院数学教研室，河南济源４５４６５０；２ 河南济源市教师进修学枝河南济源４５４６５０）
摘要：首先给出二阶线性微分方程， Ｐ（｝） 目“） ：＿，（ｔ）的逼解在Ｒｉｃｃｃａｉ方程， （ｔ）解下的积分表示，然后得出二阶线性常系数微分方程 ” ：ｌ，ｃｔ）通解的积分公式 关键词：二阶线性微分方程通解 积分表示；二阶线性常系数微分方程通解：积分公式 中围分类号：０１７５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１１３０１—８７６Ｘ（２００２ ３０３ ０００１
Ｉｎｔｅｇｒａｌ Ｉｎｄｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ Ｓｅｃｏｎｄ Ｏｒｄｅｒ Ｌｉｎｅａｒ
Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｅｑｕａｔｉｏｎ Ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ Ｒｉｃｃａｔｉ’ｓ Ｅｑｕａｔｉｏｎ
Ｘｉａｏ—ｌｏｎｇ ，６＂ｔｌ＆，￣／Ｇ Ｆａｎｇ—ｐｉｎｇ。
【ｌ ｊｉｙｕａｎ Ｖｏｃａｔｉｏｔｔａｌ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｉｃａｌ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｈｅｎａｒｌ ｊｉｙｕ￣４５４６５０；２ ｊｉｙｕａｎ Ｔｅａ＋－ｈｅｒ’ｓ Ａｄｖａｎｃｅｄ ｓｃｈ００【，Ｈｅ ｒｒｅｎ ｊｉ ４５４６５０）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｅｇｒａｌ Ｉｎｄｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｇｏｎｅｒａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ＋ｐ（ ） ｑ （ｚ） ＝ｆＣｔ）ｉｎ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ Ｒｉｃｃａｔｉ’ｓ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｙ ＝Ｙ 一ｐ（ｆ）Ｙ ｑ（ｚ）ｉｓ Ⅶ，ｔｈｅｎ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｆｏｒｍｕｌａ ｏｆ ｇｅｎｅＰａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｌｉｎｅａｒ ｃｏｎｓｔａｎｔ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ＋ ，（ｆ）ｉｓ ｒｅａｃｈｅｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｔｏ ｓｅｃｏｎｄ ｏｒｄｅｒ ｌｉｎｅａｒ ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｇｒａｌ ｉｎｄｉｃａｄｏｎ；ｔｈｅ ｇｅｎｅｒａｌ ｓｏ—
汕头大学学报（自然科学版）
．Ｉｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈａｎｔｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ）
文章编号：１ＰＡ）Ｉ一４２１７（２０１０）０Ｉ一（）（）１２—０６ 第２５誊第１期 ｖ０ｌ ２５ Ｎ０ ｌ
一类二阶变系数线性微分方程的算子解法
方书盛
（汕头市达濠第二中学， 广东汕头５Ｉ５０７ｆ）
摘 要：运用微分算子的理论和方法研蔸了二阶变系数线性微分方程的解法；在一定的条件 下利用算子解法求出一类二阶变系数线性微分方程的通解；应用所得结果推导出已知类型方 程可用算子解法求出通解的一些可积类型；举例说明使用算子解法求出已知类型方程通解的
步骤和方法． 关键词：二阶；变系数；算子解法；可积类型 中图分类号：０ １７５．１ 文献标识码：Ａ
Ｕ 引 吾
二阶变系数线性微分方程在自然科学与工程技术中有着广泛的应用【】】．因此，研究
二阶变系数线性微分方程的求解方法，具有重要的应用价值衣１理论意义．
由于一个二阶变系数线性微分方程的可积与对应的一个Ｉ｛ｉｔ：ｃａｌｌ方程的可积是等价
的（参见本文引理ｌ及引理２），然而１ｌｉｃｃａｔｉ方程在一般情况下是不可积的” ，因此，
二阶变系数线性微分方程在一般情形下是不可积的，即在一般情形下，方程的解不可能
用有限形式的初等积分来表示．但某些特殊形式的变系数线性方程还是可积的，例如著
名的Ｅｕｌｅｒ方程．为了适应理论研究和工程应用的需要，近３０年来，人们用不同的方
法不断探索二阶变系数线性方程的各种特殊的可积类型，至今已取得了一系列成果【＝ ｌ（）】．
本文作者在文献［３］中给出了任意阶的变系数线性方程的算子解法，这种解法是求出某
些特殊形式的变系数线性方程的一种简便实用的方法．本文运用文献［３］的结果，研究
了一类重要的二阶变系数线性方程的解法，得到了已知类型方程的一些可积类型．
１ 预备知识
文献［３—４］中已给出了二阶线性微分算子的分解及二阶变系数线性微分方程算子解法
