第９卷第９期
２ ０ １ ０年９月 南阳师范学院学报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎａｎｙａｎｇ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｖｏ１．９ Ｎｏ．９
Ｓｅｐ．２０１０
一类关于教与学的微分方程模型的建立与分析
檀大耀 ，王书讲
（１．钦州学院数学与计算机科学系，广西钦州５３５０００；２．江门市蓬江区教育局，广东江门５２９０２０）
摘 要：考虑教师的教学能力与班集体的学习指数的关系，建立了一类关于教与学的微分方程模型，并对该模型进行
定性分析，得到了系统平衡点的性质并证明了该系统在整个平面内无闭轨．
关键词：平衡点；学习指数；稳定性
中图分类号：０ １７５．１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７１—６１３２（２０１０）０９—００２４—０３
微分方程模型不仅可以用来描述自然科学中
的许多现象，还可以用来探讨社会活动中的一些问
题．我们把多年的教学经验和微分方程结合起来， 建立了一个教与学的微分方程模型，并讨论了模型
的稳定性结构，给出了相应的分析．
∞ａ．ｓ．），且有
（ Ｉｇ）一Ｅ（ ｆｇ）ａ．ｓ．．
证明令】，为一ｇ可测实值的随机变量，使
ＹＸ（为可积，则蹦 的期望存在，且
ＹＸ ＿ＹＸ ａ．ｓ．，
故由Ｊｅｎｓｅｎ不等式３得
Ｅ（ＹＸ Ｉｇ）一Ｅ（ＹＸＩｇ）ａ．ｓ．，
但有
从而有 Ｅ（ＹＸ ｌｇ）＝ＹＥ（Ｘ ｌｇ），
Ｅ（ＹＸＩｇ）＝ＹＥ（ＸＩｇ），
Ｅ（Ｘ Ｉｇ）一Ｅ（ＸＩｇ）ａ．ｓ．． ［２］
［３］
［４］ 参 考 文 献
林正炎，陆传荣，苏中根．概率极限理论基础［Ｍ］．北
京：高等教育出版社，１９９９．
Ｊｅｎｓｅｎ Ｊ Ｌ Ｗ Ｖ．Ｓｕｒ ｌｅｓ ｆｏｎｃｔｉｏｎｓ ｅｏｎｖｅｘｅｓ ｅｔ ｌｅｓ
ｉｎ６ｇａｌｉｔ６ｓ ｅｎｔｒｅ ｌｅｓ ｖａｌｅｕｒｓ ｍｏｙｅｎｎｅｓ［Ｊ］．Ａｃｔａ Ｍａｔｈ．，
１９０６，３０：１７５—１９３．
李贤平．概率论基础［Ｍ］．２版．北京：高等教育出版
常微分方程模型的建立及应用
尹智群
（井冈山学院 数学与应用数学系0 2级专(2) 江西 吉安 343009）
指导老师 鲁洁
摘要：常微分方程是现代数学的一个重要分支；建立恰当的微分方程模型是人们解决各种实际问题的有效工具。如在化学、物理、环境污染问题等领域都有着广泛的应用。
关键词：常微分方程 模型 应用
建立常微分方程模型是我们解决实际问题的必要工具。在自然科学和技术科学的其他领域中，如化学、生物学、物理学、电子技术和工程技术等等，都提出了大量的微分方程问题。因而要解决这些问题，最有效的工具就是建立起合适的常微分方程模型，因此常微分方程在社会的生产实践中具有举足轻重的作用。
一、常微分方程模型的建立
为了弄清问题中变量之间的函数关系或其变化趋势对问题的解决往往有着至关重要作用。但在大量的实际问题中遇到稍微复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的关系往往不能直接写出来，却比较容易地建立这些变量和它们的导数间的关系式；这种联系着自变量、未知函数及它的导数的关系式，即常微分方程。建立的模型就称常微分方程模型。
以下通过个例子来说明建立常微分方程模型的过程；
镭的衰变规律：设镭的衰变速率与该时刻现有量成正比。但已知t=0 时镭元素的量为R0 克，试确定在任意时刻t镭元素的量。
设t时刻镭元素的量为R（t），要直接得出R（t）的函数表达式是比较困难的。因此我们通过建立R（t）所满足的微分方程来得到R（t）。由于镭元素的衰变率是R（t）对时间的变化率（dtdR）.根据题目中给出的衰变规律，于是可以得到下面的一阶微分方程及初始条件:
dtdR= - KR ; R（O）= R0 (1)
其中k >0 ,是比例系数,(1)式中右端的负号是由于函数R( t)是随时间的增加而单调减少的.为了寻找t时刻镭含量的函数表达式t就转化为求满足(1)式中微分方程和初始条件的解R(t).由数学分析中求导的经验可解出: R(t) = C ekt (2)
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精品文档 第二章 微分方程
本章学习目的：
本章的主要目的在于：学习微分方程模型的建立、求解方法、分析结果及解决实际问题的全过程。
1．知道求解微分方程的解析法、数值解法以及图形表示解的方法；
2．理解求微分方程数值解的欧拉方法，了解龙格——库塔方法的思想；
3．熟练掌握使用MATLAB软件的函数求微分方程的解析解、数值解和图形解；
4．通过范例学习怎样建立微分方程模型和分析问题的思想。
§2.1 引例
在《大学物理》中，我们曾学习过简谐振动（如：弹簧振子、单摆）0222xdtxd，那就是一个典型的二阶常微分方程的模型。
这里我们讨论“倒葫芦形状容 器壁上的刻度问题”。 精品文档
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对于圆柱形状容器壁上的容积刻度，可以利用圆柱体体积公式：4/2HDV，其中容器的直径D为常数，体积V与相对于容器底部的任意高度H成正比，因此在容器壁上可以方便地标出容积刻度。
而对于几何形状不规则的容器，比如“倒葫芦形状”的容器壁上如何标出容积刻度呢？
如图所示，建立坐标系，由微元法分析可知：
dxxDdV2)(41，其中x表示高度，直径是高度的函数，记为D（x）。可得微分方程：0)0()(412VxDdxdV
如果该方程中的函数D(x)无解析表达式，只给出D(x)的部分测试数据，如何求解此微分方程呢？
h=0.2; d=[0.04,0.11,0.26,0.56,1.04,1.17]; x 精品文档
精品文档 x(1)=0;v(1)=0;
for k=1:5
x(k+1)=x(k)+h;
v(k+1)=v(k)+(h/2)*(pi/4)*(d(k)^2+d(k+1)^2);
end
x=x(1:6),v=v(1:6),
plot(x,v)
x =
Columns 1 through 5
0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000
建立系统微分方程一般步骤：
（1）将系统划分为多个环节，确定各环节的输入及输出信号，每个环节都可考虑写一个方程；
（2）根据物理定律或通过实验等方法得出物理规律，列出各环节的原始方程式，并考虑适当简化、线性化；
（3）将各环节方程式联立，消去中间变量，最后得出只含有输入变量、输出变量以及参量的系统方程式。
建立LRC电路的微分方程式
用MATLAB语言编程实现仿真的主要步骤是调用
MATLAB中的ODE（Ordinary Differential Equation,常微分方程）解函数。MATLAB提供的常用ODE解函数如下：
• ode45 此算法被推荐为首选算法；
• ode23 这是一个比ode45低阶的算法；
• ode113 用于更高阶或大的标量计算；
• ode23t 用于解决难度适中的问题；
• ode23s 用于解决难度较大的问题；
• ode15s 与ode23相同，但要求的精度更高；
• ode23tb 用于解决难度较大的问题。
这些ODE解函数的调用格式基本相同。例如，ode45的基本调用格式为
[t , x]=ode45('方程函数名', tspan , x0, tol)
其中，方程函数名为描述系统状态方程的M函数名称， tspan一般为仿真时间范围（例如，取 tspan=[t0,tf]，t0为起始计算时间，tf为终止计算时间）； x0为系统状态变量初值，应使该向量元素个数等于系统状态变量的个数；tol用来指定的精度，其默认值为10-3（即0.1%的相对误差），一般应用中可以直接采用默认值。函数返回两个结果t向量和x阵。由于计算中采用了步长自动控制策略，因而t向量不一定是等间隔。但是，仿真结果可以用plot（t,x）指令绘制出来。
例：电路如下图所示，6.1R，L=2.1H，C=0.3F，初始状态是电感电流为零，电容电压为0.2V，t=0时接入1.5V的电压，求st100时)(ti，)(0tu的值，并画出电流和电容电压的关系曲线。
