立体几何同步训练14多面体及欧拉公式.

几何体中的欧拉公式嘿，咱们来聊聊几何体中的欧拉公式！你知道吗，这欧拉公式就像是打开几何体神秘世界的一把神奇钥匙。

先来说说什么是欧拉公式。

在简单多面体中，顶点数 V、面数 F 和棱数 E 之间存在着一个特别奇妙的关系：V - E + F = 2 。

就这几个简单的数字组合，却能揭示出几何体背后隐藏的规律，是不是很神奇？我记得有一次给学生们上课，讲到这个欧拉公式。

当时有个小家伙一脸困惑地问我：“老师，这几个数字的关系有啥用啊？”我笑了笑，拿起讲桌上的一个正方体模型。

“来，同学们，咱们一起数一数这个正方体的顶点、面和棱。

”大家七嘴八舌地数起来，最后得出正方体有 8个顶点、6 个面和 12 条棱。

按照欧拉公式，8 - 12 + 6 正好等于 2 。

那一瞬间，教室里响起了一阵惊叹声。

孩子们的眼睛里闪烁着好奇和惊喜的光芒，仿佛发现了新大陆。

欧拉公式可不只是在正方体上管用哦。

比如三棱柱，它有6 个顶点、5 个面和 9 条棱，6 - 9 + 5 同样等于 2 。

再看看正四面体，4 个顶点、4 个面、6 条棱，4 - 6 + 4 还是 2 。

其实啊，这欧拉公式在解决很多几何问题的时候都能派上大用场。

比如说让你判断一个复杂的多面体是不是符合规律，只要算出顶点数、面数和棱数，代入公式一检验就清楚啦。

想象一下，如果没有欧拉公式，我们在面对各种各样的几何体时，是不是就像在黑暗中摸索，找不到方向？但有了它，就像是有了一盏明灯，照亮我们探索几何世界的道路。

而且，欧拉公式不仅仅是数学中的一个知识点，它还能培养我们的空间想象力和逻辑思维能力。

当我们在脑海中构建那些形状各异的几何体，尝试去理解它们的结构和特点时，我们的大脑也在不断地锻炼和成长。

所以啊，别小看这小小的欧拉公式，它可是几何世界里的大宝贝！希望同学们以后在学习几何的时候，能多运用这个神奇的公式，去发现更多几何体的奥秘！。

初数数学公式揭秘立体几何的欧拉公式初数数学公式揭秘：立体几何的欧拉公式在初等数学中，有许多重要的数学公式被广泛应用于解决各种问题。

其中之一便是欧拉公式，这一公式在立体几何中起到了重要作用。

本文将揭秘欧拉公式的背后原理和应用，帮助读者更好地理解和应用这一公式。

欧拉公式是指对于任意一个简单凸多面体，其顶点数、边数和面数之间满足如下关系：顶点数 + 边数 = 面数 + 2这个表达式看似简单，却蕴含着丰富的几何性质。

接下来，我们将通过几个例子来展示欧拉公式的应用。

例一：正四面体我们先从最简单的形状开始，正四面体。

正四面体是一个具有四个等边等角的三维几何体。

它有四个顶点、六条边和四个面。

带入欧拉公式，我们可以验证其成立：4（顶点数）+ 6（边数）= 4（面数） + 2例二：正六面体正六面体是一个六个正方形的六个面拼接而成的立体。

我们来看看欧拉公式在正六面体上是否成立：8（顶点数）+ 12（边数）= 6（面数） + 2例三：正八面体接下来，我们探索正八面体这一多面体。

它由六个正方形和八个正三角形构成。

欧拉公式是否适用于正八面体呢？6（顶点数）+ 12（边数）= 8（面数） + 2通过以上例子，我们可以看出欧拉公式对于各种简单凸多面体都成立。

事实上，对于任意简单凸多面体都可以通过欧拉公式进行求解。

除了简单凸多面体，欧拉公式在网络拓扑学、几何学和图论等领域也有着广泛的应用。

在网络拓扑学中，欧拉公式可以用于计算网络中的节点数、链路数和子网数之间的关系。

在图论中，欧拉公式则可以用于计算图中的顶点数、边数和面数之间的关系。

因此，欧拉公式被广泛认可并应用于各个领域。

总结起来，欧拉公式是一个简洁而有效的数学工具，能够帮助我们理解和计算多面体以及其他形状的几何性质。

无论是在学术研究中还是实际问题的解决中，欧拉公式都发挥着不可替代的作用。

希望通过本文的揭秘和解析，读者们能够更好地理解和应用欧拉公式。

在解决几何问题时，我们可以借助欧拉公式来简化计算和推导过程，提高解题效率。

正多面体的欧拉公式正多面体是指所有的面都是相等的正多边形，并且每个顶点都是相等的。

欧拉公式是描述了正多面体的顶点数、边数和面数之间的关系。

欧拉公式可以表述为：正多面体的顶点数加上面数等于边数加上2。

本文将详细介绍正多面体的欧拉公式以及相关概念和性质。

我们来了解一些基本概念。

正多面体有五种，它们分别是四面体、六面体、八面体、十二面体和二十面体。

每种正多面体都有其特点和性质。

四面体是一种最简单的正多面体，它有四个面、六条棱和四个顶点。

根据欧拉公式，四面体的顶点数加上面数等于边数加上2，即4+4=6+2。

六面体也被称为立方体，它有六个面、十二条棱和八个顶点。

根据欧拉公式，六面体的顶点数加上面数等于边数加上2，即8+6=12+2。

八面体是一种有八个面的正多面体，它有八个面、十八条棱和十二个顶点。

根据欧拉公式，八面体的顶点数加上面数等于边数加上2，即12+8=18+2。

十二面体是一种有十二个面的正多面体，它有十二个面、三十条棱和二十个顶点。

根据欧拉公式，十二面体的顶点数加上面数等于边数加上2，即20+12=30+2。

二十面体是一种有二十个面的正多面体，它有二十个面、三十条棱和十二个顶点。

根据欧拉公式，二十面体的顶点数加上面数等于边数加上2，即12+20=30+2。

欧拉公式不仅适用于正多面体，也适用于其他凸多面体。

凸多面体是指所有的面都位于多面体的外部，并且通过任意两点的连线都在多面体内部。

对于任意凸多面体，欧拉公式都成立。

除了欧拉公式，正多面体还有一些其他的性质。

正多面体的每个顶点都是由相同数量的面和边所围成的。

例如，四面体的每个顶点都被三个面和三条边所围成，六面体的每个顶点都被四个面和四条边所围成。

这个性质可以通过观察正多面体的结构来理解。

正多面体还具有对称性。

每个正多面体都有一些旋转对称轴和镜像对称面。

例如，六面体有六个旋转对称轴和三个镜像对称面。

这些对称性使得正多面体在数学和几何学中具有重要的地位。

立体几何同步训练14多面体及欧拉公式欧拉公式是在立体几何中一个非常重要的定理，它描述了一个多面体的顶点数、边数和面数之间的关系。

欧拉公式的形式可以用如下的式子表示：V-E+F=2其中，V代表多面体的顶点数，E代表多面体的边数，F代表多面体的面数。

多面体是指一个由平面多边形所围成的立体体积，根据多边形的数量和形状不同，可以得到不同的多面体，例如正多面体、凸多面体和凹多面体等。

首先，我们来讨论一些常见的多面体。

1.正多面体：所有的面都是相等的正多边形，且每个顶点都相等，例如正方体、正八面体和正二十面体等。

所有的正多面体都具有着完全相同的顶点、边和面的数量。

2.非正多面体：所有的面不都是相等的正多边形，例如长方体、八面体和十二面体等。

相比于正多面体，非正多面体的顶点、边和面的数量可以有所不同。

3.凸多面体：多面体内部的所有点都位于多面体表面的同一侧。

一个常见的例子是立方体，它是一个边相等、面相等且角相等的凸多面体。

4.凹多面体：多面体内部的一些点位于多面体表面的两侧。

一个常见的例子是镂空的球。

根据欧拉公式，我们可以通过任意两个量确定多面体的第三个量。

假设我们知道多面体的顶点数和面数，我们就可以通过欧拉公式计算出边数。

同样地，如果我们知道多面体的边数和面数，我们也可以计算出顶点数。

例如，我们考虑一个正四面体。

它有4个面，因此F=4、每个面都是一个等边三角形，有3条边，所以E=3x4/2=6、通过欧拉公式，我们可以计算出这个正四面体有多少个顶点：V-6+4=2，因此V=4同样地，我们可以计算其他正多面体的顶点数、边数和面数。

欧拉公式在立体几何中有着广泛的应用。

它不仅可以用来计算多面体的未知量，还能帮助我们理解多面体的结构和性质。

在数学研究和实际应用中，欧拉公式发挥着重要的作用，例如在蛋白质结构的研究中，欧拉公式可以用来计算蛋白质的拓扑特性。

总结起来，欧拉公式是立体几何中的一个重要定理，它描述了多面体的顶点数、边数和面数之间的关系。

多面体的欧拉公式球多面体的欧拉公式：一．重点、难点提示1．多面体的概念若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体．一个多面体至少有四个面．2．正多面体每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体叫做正多面体．正多面体分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体共五种，其中正四面体、正八面体和正二十面体的各个面都是全等的正三角形，正六面体又叫做正方体，其各个面都是全等的正方形而正十二面体的各面是全等的正五边形．3. 欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数为E，那么V+F-E=2．二．考点指要理解多面体、凸多面体、简单多面体和正多面体的概念，能运用欧拉公式进行有关的判断和计算．球：一．重点、难点提示1．球面的概念半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，半圆的圆心叫做球心．连结球心和球面上任意一点的线段叫做球半径，连结球面上两点且经过球心的线段叫做球的直径．球面也可以看作与定点(圆心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合，如果一个球的球心为O，我们可以把这个球记作球O．2．球的概念球面所围成的几何体叫做球体，简称球．3．球的截面及其性质用一个平面截一个球，截面是圆面，球的截面有如下性质：(1)球心与截面圆心的连线垂直于截面；(2)球心到截面的距离d与球的半径及及截面的半径r有下面的关系：。

4．球面上的大圆和小圆球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆，地球上的赤道就是一个大圆，北极圈就是一个小圆。

球面上两点距离的概念：在球面上，两点之间的最短连线的长度即经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做两点的球面距离。

球的表面积和体积：若球的半径为R，则它的表面积S=；它的体积。

二．考点指要理解球的有关概念和性质，掌握球的表面积和体积公式，并能运用这些公式进行计算．例1．C70 分子有70个顶点，以每个顶点为一端有三条棱，各面是五边形或六边形．求C70分子中五边形和六边形的个数．思路分析：若有x个五边形和y个六边形，则简单多面体的面数F＝x+y．而这个简单多面体的棱数量E＝。

初一数学图形认识初步棱、顶点、面间数量关系（欧拉公式）练习题欧拉公式:（1）简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系为：V+F﹣E＝2．这个公式叫欧拉公式．（2）V+F﹣E＝X（P），V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X（P）是多面体P的欧拉示性数．一选择题1.将正方体的面数记为f，边数记为e，顶点数记为v，则f+v﹣e＝（）A．1 B．2 C．3 D．42.一个多面体，若顶点数为4，面数为4，则棱数是（）A．2 B．4 C．6 D．83.设长方体的顶点数为v，棱数为e，面数为f，则v+e+f等于（）A．26 B．2 C．14 D．104.正多面体的面数、棱数、顶点数之间存在着一个奇妙的关系，若用F，E，V分别表示正多面体的面数、棱数、顶点数，则有F+V﹣E＝2，现有一个正多面体共有12条棱，6个顶点，则它的面数F等于（）A．6 B．8 C．12 D．205.欧拉公式中，多面体的面数F，棱数E，顶点数V之间的正确关系是（）A．F+V﹣E＝2 B．F+E﹣V＝2 C．E+V﹣F＝2 D．E﹣V﹣F＝2二填空题6.简单多面体是各个面都是多边形组成的几何体，十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间存在一个有趣的关系式，称为欧拉公式．如表是根据左边的多面体模型列出的不完整的表.现在有一个多面体，它的每一个面都是三角形，它的面数（F）和棱数（E）的和为30，则这个多面体的顶点数V＝．7.阅读下面的材料：1750年欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是，如果用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有V﹣E+F＝2．这个发现就是著名的欧拉定理．根据所阅读的材料，完成：一个多面体的面数为12，棱数是80，则其顶点数为．8.阅读下面的材料：1750年欧拉在写给哥德巴赫的信中列举了多面体的一些性质，其中一条是：如果用V，E，F分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有V﹣E+F＝2．这个发现，就是著名的欧拉定理．根据所阅读的材料，完成：一个多面体的面数为12，棱数是30，则其顶点数为．9.一个多面体的顶点数为12，棱数是30，则这个多面体的面数是．10.任意一个多面体，它的面数记为a，顶点数记为b，棱的条数记为c，则a，b，c三者之间的关系式为．11.n棱柱的面数+顶点数﹣棱数＝．12.从每个顶点出发的所有棱长相等，所有面形状、大小完全相同的正多边形的几何体称为正多面体、其面数+顶点数﹣棱数＝．13.如图，正四面体的顶点数（4）+面数（4）﹣棱数（6）＝2，仔细观察后计算，正八面体的顶点数+面数﹣棱数＝．14.瑞士著名数学家欧拉发现：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间满足一种有趣的关系：V+F﹣E＝2，这个关系式被称为欧拉公式．比如：正二十面体（如右图），是由20个等边三角形所组成的正多面体，已知每个顶点处有5条棱，则可以通过欧拉公式算出正二十面体的顶点为个．那么一个多面体的每个面都是五边形，每个顶点引出的棱都有3条，它是一个面体．15.一个多面体的面数为6，棱数是12，则其顶点数为．16.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型：根据上面多面体模型，你发现顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）之间存在的关系式是．17.正多面体共有五种，它们是、、、、，它们的面数f，棱数e、顶点数v满足关系式．18.图1（1）、（2）、（3）依次表示四面体、八面体、正方体．它们各自的面积数F、棱数E与顶点数V如下表,观察这些数据，可以发现F、E、V之间的关系满足等式：．三解答题19.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格.（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是．（3）一个多面体的面数与顶点数相同，且有12条棱，则这个多面体的面数是．20.图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．（1）根据要求将表格补充完整：（2）猜想f、v、e三个数量间有何关系；（3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4035条，试求出它的面数．21.观察下列多面体，并把下表补充完整．观察上表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出发现的关系式．22.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格,你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是．（2）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是．（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y的值．23.观察下列多面体，并把如表补充完整．观察表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出关系式．24.回答下列问题：（1）如图所示的甲、乙两个平面图形能折什么几何体？（2）由多个平面围成的几何体叫做多面体．若一个多面体的面数为f，顶点个数为v，棱数为e，分别计算第（1）题中两个多面体的f+v﹣e的值？你发现什么规律？（3）应用上述规律解决问题：一个多面体的顶点数比面数大8，且有50条棱，求这个几何体的面数．25.设棱锥的顶点数为V，面数为F，棱数为E．（1）观察与发现：三棱锥中，V3＝，F3＝，E3＝；五棱锥中，V5＝，F5＝，E5＝；（2）猜想：①十棱锥中，V10＝，F10＝，E10＝；②n棱锥中，Vn＝，Fn＝，En＝；（用含有n的式子表示）（3）探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：；②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：E＝；（4）拓展：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间是否也存在某种等量关系？若存在，试写出相应的等式；若不存在，请说明理由．26.如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体．（1）根据要求填写表格.（2）猜想f、v、e三个数量间有何关系；（3）根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2018个，棱数4036条，试求出它的面数．27.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格；你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是．（2）正十二面体有12个面，那它有条棱；（3）一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是；（4）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求x+y 的值．28.十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格：（2）你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是．（3）一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是．29.在对第一章“丰富的图形世界”复习前，老师让学生整理正方体截面的形状并探究多面体（由若干个多边形所围成的几何体）的棱数、面数、顶点数之间的数量关系，如图是小颖用平面截正方体后剩余的多面体，请解答下列问题：（1）根据上图完成下表.（2）猜想：一个多面体的V（顶点数），F（面数），E（棱数）之间的数量关系是；（3）计算：已知一个多面体有20个面、30条棱，那么这个多面体有个顶点．30.观察下列多面体，并把表补充完整．（1）完成表中的数据；（2）若某个棱柱由28个面构成，则这个棱柱为棱柱；（3）根据表中的规律判断，n棱柱共有个面，共有个顶点，共有条棱；（4）观察表中的结果，你发现棱柱顶点数、棱数、面数之间有什么关系吗？请直接写出来．初一数学图形认识初步棱、顶点、面间数量关系（欧拉公式）练习题参考答案与解析1.分析:根据正方体的概念和特性进行分析计算即解．解：正方体的顶点数v ＝8，棱数e ＝12，面数f ＝6．故f+v ﹣e ＝8+6﹣12＝2．故选B ．2.分析:根据欧拉公式，简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 间的关系为：V+F ﹣E ＝2，代入求出棱数．解：根据欧拉公式：V+F ﹣E ＝2，可得4+4﹣E ＝2，解得E ＝6．故选C ．3.分析:根据长方体的概念和特性进行分析计算即解．解：长方体的顶点数v ＝8，棱数e ＝12，面数f ＝6．故v+e+f ＝8+12+6＝26．故选A ．4.分析:根据题意中的公式F+V ﹣E ＝2，将E ，V 代入即解．解：∵正多面体共有12条棱，6个顶点，∴E ＝12，V ＝6，∴F ＝2﹣V+E ＝2﹣6+12＝8．故选B ．5.分析:根据欧拉公式进行解答即可．解：凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E 满足如下关系：V+F ﹣E ＝2，故选A ．6.分析：直接利用V ，E ，F 分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，欧拉公式为V ﹣E+F ＝2，求出答案．解：∵现在有一个多面体，它的每一个面都是三角形，它的面数（F ）和棱数（E ）的和为30，∴这个多面体的顶点数V ＝2+E ﹣F ，∵每一个面都是三角形，∴每相邻两条边重合为一条棱，∴E ＝23F ，∵E+F ＝30，∴F ＝12，∴E ＝18，∴V ＝，2+E ﹣F ＝8，故答案为8． 7.分析：直接利用欧拉公式V ﹣E+F ＝2，求出答案．解：∵用V ，E ，F 分别表示凸多面体的顶点数、棱数、面数，则有V ﹣E+F ＝2．∴V ＝E ﹣F+2，∵一个多面体的面数为12，棱数是80，∴其顶点数为：80﹣12+2＝70．故答案为：70．8.分析：直接把面数、棱数代入公式，即可求得顶点数．解：由题意可得，V ﹣30+12＝2，解得V ＝20．故答案为：209分析：根据常见几何体的结构特征进行判断．解：∵顶点数记为V ，棱数记为E ，面数记为F ，V+F ﹣E ＝2，∴12+F ﹣30＝2，解得：F ＝20．故答案为：20．10.分析：简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 间的关系为：V+F ﹣E ＝2，这个公式叫欧拉公式．解：由欧拉公式可得：a+b ﹣c ＝2．故答案为：a+b ﹣c ＝2．11.分析：根据欧拉公式，得出正多面体的面数+顶点数﹣棱数的结果．解：从每个顶点出发的所有棱长相等，所有面形状、大小完全相同的正多边形的几何体称为正多面体，其面数+顶点数﹣棱数＝2．故答案为：2．12.分析：根据欧拉公式，得出正多面体的面数+顶点数﹣棱数的结果．解：从每个顶点出发的所有棱长相等，所有面形状、大小完全相同的正多边形的几何体称为正多面体，其面数+顶点数﹣棱数＝2．故答案为2．13.分析：只需分别找出正八面体的顶点数，面数和棱数即可．解：正八面体有6个顶点，12条棱，8个面．∴正八面体的顶点数+面数﹣棱数＝6+8﹣12＝2．故答案为：2．14.分析：①设出正二十面体的顶点为n 个，则棱有25n 条．利用欧拉公式构建方程即可解决问题．②设顶点数V ，棱数E ，面数F ，每个点属于三个面，每条边属于两个面，利用欧拉公式构建方程即可解决问题．解：①设出正二十面体的顶点为n 个，则棱有25n 条．由题意F ＝20，∴n+20﹣25n ＝2，解得n ＝12．②设顶点数V ，棱数E ，面数F ，每个点属于三个面，每条边属于两个面，由每个面都是五边形，则就有E ＝25F ，V ＝35F ，由欧拉公式：F+V ﹣E ＝2，代入：F+35F ﹣25F ＝2，化简整理：F ＝12，所以：E ＝30，V ＝20，即多面体是12面体．棱数是30，面数是12，故答案为12，12．15.分析：因为多面体的面数为6，棱数是12，故多面体为四棱柱．解：根据四棱柱的概念，有8个顶点．故答案为8．16.分析：先根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数（v ）、面数（f ）、棱数（e ）之间存在的关系式即可．解：四面体的顶点数为4、面数为4，棱数为6，则4+4﹣6＝2；长方体的顶点数为8、面数为6，棱数为12，则8+6﹣12＝2；正八面体的顶点数为6，面数为8，棱数为12，则8+6﹣12＝2；则关系式为：v+f ﹣e ＝2；故答案为：v+f ﹣e ＝2．17.分析：根据正多面体的面是正三角形，正方形，正五边形三种情况写出即可；再根据欧拉公式进行解答．解：正多面体只能有五种，用正三角形做面的正四面体、正八面体，正二十面体，用正方形做面的正六面体，用正五边形做面的正十二面体．f+v ﹣e ＝2．18.分析：根据题给图形中各图具体的面积数F 、棱数E 与顶点数V ，即可得出答案．解：根据表中所列可知：四面体有4﹣6+4＝2；八面体有8﹣12+6＝2；正方体有6﹣12+8＝2；故有F ﹣E+V ＝2．故答案为：F ﹣E+V ＝2．19.分析：（1）依据多面体模型，即可得到棱数和顶点数；（2）依据表格中的数据，即可得出顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式；（3）依据欧拉公式进行计算，即可得到这个多面体的面数．解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；故答案为：6，6；（2）顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F﹣E＝2，故答案为：V+F﹣E＝2；（3）设这个多面体的面数是x，则2x﹣12＝2，解得x＝7，这个多面体的面数是7，故答案为：7．20.分析：（1）根据图形数出即可．（2）根据（1）中结果得出f+v﹣e＝2．（3）把数值代入f+v﹣e＝2求出即可．解：（1）填表如下：故答案为：7，8，15．（2）f+v﹣e＝2．（3）∵v＝2018，e＝4035，f+v ﹣e＝2，∴f+2018﹣4035＝2，解得f＝2019．故它的面数是2019．21.分析：只要将各个图形的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内，通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐藏着的数量关系，这个数量关系用公式表示出来即可．解：填表如下，观察表中的结果，能发现a、b、c之间有的关系是：a+c﹣b＝2．22.分析：（1）观察可得顶点数+面数﹣棱数＝2；（2）代入（1）中的式子即可得到面数；（3）得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值．解：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F﹣E＝2；（2）由题意得：F+8+F﹣30＝2，解得F＝12；（3）∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；∴共有24×3÷2＝36条棱，那么24+F﹣36＝2，解得F＝14，∴x+y＝14．故答案为：（1）6；6；V+F﹣E＝2．（2）12；（3）14．23.分析：结合三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，即可填表，根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知n棱柱一定有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱，进而得出答案，利用前面的规律得出a，b，c之间的关系．解：填表如下,根据上表中的规律判断，若一个棱柱的底面多边形的边数为n，则它有n个侧面，共有n+2个面，共有2n个顶点，共有3n条棱；故a，b，c之间的关系：a+c﹣b＝2．24.分析：（1）由长方体与五棱锥的折叠及长方体与五棱锥的展开图解题．（2）列出几何体的面数，顶点数及棱数直接进行计算即可；（3）设这个多面体的面数为x，根据顶点数+面数﹣棱数＝2，列出方程即可求解．解：（1）图甲折叠后底面和侧面都是长方形，所以是长方体；图乙折叠后底面是五边形，侧面是三角形，实际上是五棱锥的展开图，所以是五棱锥．（2）甲：f＝6，e＝12，v＝8，f+v ﹣e＝2；乙：f＝6，e＝10，v＝6，f+v﹣e＝2；规律：顶点数+面数﹣棱数＝2．（3）设这个多面体的面数为x，则x+x+8﹣50＝2，解得x＝22．25.分析：（1）观察与发现：根据三棱锥、五棱锥的特征填写即可；（2）猜想：①根据十棱锥的特征填写即可；②根据n棱锥的特征的特征填写即可；（3）探究：①通过列举得到棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系；②通过列举得到棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系；（4）拓展：根据棱柱的特征得到棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系．解：（1）观察与发现：三棱锥中，V3＝4，F3＝4，E3＝6；五棱锥中，V5＝6，F5＝6，E5＝10；（2）猜想：①十棱锥中，V10＝11，F10＝11，E10＝20；②n棱锥中，Vn＝n+1，Fn＝n+1，En＝2n；（用含有n的式子表示）（3）探究：①棱锥的顶点数（V）与面数（F）之间的等量关系：V ＝F；②棱锥的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的等量关系：E＝V+F﹣2；（4）拓展：棱柱的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间也存在某种等量关系，相应的等式是：V+F﹣E ＝2．故答案为：4，4，6；6，6，10；11，11，20；n+1，n+1，2n；V＝F，V+F﹣2．26.分析：（1）根据图形数出即可．（2）根据（1）中结果得出f+v﹣e＝2．（3）代入f+v﹣e ＝2求出即可．解：（1）题1，面数f＝7，顶点数v＝9，棱数e＝14，题2，面数f＝6，顶点数v＝8，棱数e＝12，题3，面数f＝7，顶点数v＝10，棱数e＝15，故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15．（2）f+v﹣e＝2．（3）∵v＝2018，e＝4036，f+v﹣e＝2，∴f+2018﹣4036＝2，f＝2020，即它的面数是2020．27.分析：（1）观察表格可以看出：顶点数+面数﹣棱数＝2，关系式为：V+F﹣E＝2；（2）根据题意得出是十二面体，得出顶点数；（3）代入（1）中公式进行计算；（4）根据欧拉公式可得顶点数+面数﹣棱数＝2，然后表示出棱数，进而可得面数．解：（1）根据题意得：四面体的棱数为6，正八面体顶点数为6，∵4+4﹣6＝2，8+6﹣12＝2，6+8﹣12＝2，∴顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F﹣E＝2；故答案为：V+F﹣E＝2；（2）正十二面体有十二个面，每个面都是正五边形，它的每个顶点处都有相同数目的棱．则它有30条棱，20个顶点；故答案是：30；（3）由（1）可知：V+F﹣E＝2，∵一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，∴V+V﹣8﹣30＝2，即V＝20，故答案是：20；（4）∵有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；∴共有48×3÷2＝72条棱，设总面数为F，48+F﹣72＝2，解得F＝26，∴x+y＝26．28.分析：（1）观察图形即可得出结论；（2）观察可得顶点数+面数﹣棱数＝2；（3）代入（2）中的式子即可得到面数．解：（1）观察图形，四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；正十二面体的面数为12；（2）观察表格可以看出：顶点数+面数﹣棱数＝2，关系式为：V+F﹣E＝2；（3）由题意得：F﹣8+F ﹣30＝2，解得F＝20．故答案为：（1）6，6，12；（2）V+F﹣E＝2；（3）20．29.分析：（1）观察图形即可得出结论；（2）观察可得顶点数+面数﹣棱数＝2；（3）代入（2）中的式子即可得到面数．解：（1）观察图形，多面体（1）的顶点数为10；多面体（3）的面数为5；多面体（5）的棱数为12；故答案为：10，5，12；（2）观察表格可以看出：顶点数+面数﹣棱数＝2，即关系式为：V+F﹣E＝2；故答案为：V+F﹣E＝2；（3）由题意得：V+20﹣30＝2，解得V＝12．故答案为：12．30.分析：（1）结合三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，即可填表：（2）（3）根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知n棱柱一定有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱，进而得出答案；（4）利用前面的规律得出a，b，c之间的关系．解：（1）填表如下.（2）若某个棱柱由28个面构成，则这个棱柱为26棱柱；（3）根据表中的规律判断，n棱柱共有（n+2）个面，共有 2n个顶点，共有 3n条棱；（4）a，b，c之间的关系：a+c﹣b＝2故答案为：8；15，18；7；26；（n+2），2n，3n．- 11 -。