江苏高考圆锥曲线专题

压轴题10圆锥曲线压轴解答题常考套路题型解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；（3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大考向展开．考向一：轨迹方程考向二：向量搭桥进行翻译考向三：弦长、面积范围与最值问题考向四：斜率之和差商积问题考向五：定值问题考向六：定点问题1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．1．（2023·北京海淀·统考一模）已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为12,A A ，上、下顶点分别为12,B B ，122B B =，四边形1122A B A B的周长为．(1)求椭圆E 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 与x 轴交于点P ，与椭圆E 交于不同的两点M ，N ，点M 关于y 轴的对称点为M '、直线M N '与y 轴交于点Q ．若OPQ △的面积为2，求k 的值．【解析】（1）由122B B =，得22b =，即1b =，由四边形1122A B A B的周长为，得=25a =，所以椭圆的方程为2215x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx m =+（0k ≠，0m ≠），11(,)M x y ，22(,)N x y ，则(,0)m P k-，11(,)M x y '-，联立方程组2215x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得，222(51)10550k x kmx m +++-=，222(10)4(51)(55)0km k m ∆=-+->，得2251k m >-，1221051km x x k +=-+，21225551m x x k -=+，直线M N '的方程为212212()y y y y x x x x --=-+，令0x =，得211221221212(0)y y x y x y y x y x x x x -+=-+=++，又因为()()1221122112122102()51k x y x y x kx m x kx m kx x m x x k -+=+++=++=+，所以1(0,)Q m ，OPQ △的面积1122m k m ⨯-=，得14k =±，经检验符合题意，所以k 的值为14±.2．（2023·山西太原·太原五中校考一模）如图，小明同学先把一根直尺固定在画板上，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺边沿，再取一根细绳，它的长度与另一直角边相等，让细绳的一端固定在三角板的顶点A 处，另一端固定在画板上点F 处，用铅笔尖扣紧绳子，让细绳紧贴住三角板的直角边，然后将三角板沿着直尺上下滑动，这时笔尖在平面上留下轨迹C .已知细绳长度为3cm ，经测量，当笔尖运动到点P 处时，30,90FAP AFP ∠∠== .设直尺边沿所在直线为a ，以过F 垂直于直尺的直线为x 轴，以过F 垂直于a 的垂线段的中垂线为y 轴，以1cm 为单位长度，建立平面直角坐标系.(1)求C 的方程；(2)过点()0,3D -且斜率为k 的直线l 与C 交于,M N 两点，k 的取值范围为()0,2，探究：是否存在λ，使得DM DN λ= ，若存在，求出λ.的取值范围，若不存在，说明理由.【解析】（1）依题意，笔尖到点F 的距离与它到直线a 的距离相等，因此笔尖留下的轨迹为以F 为焦点，a 为准线的抛物线，设其方程为22(0)y px p =>，则(,0)2p F ，由30,90FAP AFP ︒︒∠=∠=，得2PA PF =，又||||3PF PA +=，所以1PF =，所以点P 到直线a 的距离为1，由60FPA ︒∠=得点P 的横坐标122p -，而抛物线的准线方程为2p x =-，则11222p p -+=，解得32p =，所以轨迹C 的方程为23y x =.（2）假设存在λ，使得DM DN λ= ，设()()1122,,,M x y N x y ，直线l 的方程为3y kx =-，由233y kx y x=-⎧⎨=⎩消去y 得：22(63)90k x k x -++=，而(0,2)k ∈，22(63)363690k k k ∆=+-=+>，121222639,k x x x x k k++==，222121222112263()(14249)k x x x x k x x x x k k k ++++==++，由DM DN λ= 得12x x λ=，即12x x λ=，于是21142k kλλ+=++，令11(,)2t k =∈+∞，22214242(2)2t t t k k ++=++=+-17(,)4∈+∞，因此1174λλ+>，又0λ>，即217104λλ-+>，解得104λ<<或4λ>，所以存在1(0,(4,)4λ∈⋃+∞，使得DM DN λ= 成立.3．（2023·浙江杭州·统考二模）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，左、右顶点分别为A 、B ，点P 、Q 为椭圆上异于A 、B 的两点，PAB 面积的最大值为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AP 、BQ 的斜率分别为1k 、2k ，且1235k k =．①求证：直线PQ 经过定点．②设PQB △和PQA △的面积分别为1S 、2S ，求12S S -的最大值．【解析】（1）当点P 为椭圆C 短轴顶点时，PAB 的面积取最大值，且最大值为112222AB b ab ab ⋅=⨯==，由题意可得22222c a ab c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以，椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y .若直线PQ 的斜率为零，则点P 、Q 关于y 轴对称，则12k k =-，不合乎题意.设直线PQ 的方程为x ty n =+，由于直线PQ 不过椭圆C 的左、右焦点，则2n ≠±，联立2244x ty n x y =+⎧⎨+=⎩可得()2224240t y tny n +++-=，()()()22222244441640t n t n t n ∆=-+-=+->，可得224n t <+，由韦达定理可得12224tn y y t +=-+，212244n y y t -=+，则()2121242n ty y y y n -=+，所以，()()()()()()()()212121121112221212122122422222422222n y y n y ty n y ty y n y k y x n n k x y ty n y ty y n y y y n y n-++-+-+--=⋅===-++++++++()()()()1211222222522223n y y ny n n n n y y ny n ++---=⋅==+-+++，解得12n =-，即直线PQ 的方程为12x ty =-，故直线PQ 过定点1,02M ⎛⎫- ⎪⎝⎭.②由韦达定理可得1224t y y t +=+，()1221541y y t =-+，所以，12121·2S S AM BM y y -=--=41=++，20t ≥因为函数()1f x x x=+在)+∞上单调递增，故15≥=，所以，12161515S S -≤0=t 时，等号成立，因此，12S S -的最大值为154.4．（2023·全国·校联考二模）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的上焦点为F ，且C 上的点到点F的距离的最大值与最小值的差为过点F 且垂直于y 轴的直线被C 截得的弦长为1.(1)求C 的方程；(2)已知直线l ：(0y kx m m =+≠）与C 交于M ,N 两点，与y 轴交于点P ，若点P 是线段MN靠近N 点的四等分点，求实数m 的取值范围．【解析】（1）设C 的焦距为2c，由题意知2222()()21a c a c b a a b c ⎧+--=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩故C 的方程为2214y x +=．（2）设()()1122,,,M x y N x y ，联立2214y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得()2224240k x mkx m +++-=，所以()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+．因为点P 是线段MN 靠近点N 的四等分点，所以3MP PN = ，所以123x x =-，所以()()()221222212332434x x x x x x x +=⨯-=-⨯-=-．所以()21212340x x x x ++=所以()()2222224412044m k m k k -+=++，整理得222240m k m k +--=，显然21m =不成立，所以22241m k m -=-．因为3240k m -+>，所以2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-．解得21m -<<-，或12m <<，所以实数m 的取值范围为(2,1)(1,2)--⋃．5．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知()2,0A -，()2,0B ，动点(),Q x y 关于x 轴的对称点为1Q ，直线AQ 与1BQ 的斜率之积为14-.(1)求点Q 的轨迹C 的方程；(2)设点P 是直线1x =上的动点，直线PA ，PB 分别与曲线C 交于不同于A ，B 的点M ，N ，过点B 作MN 的垂线，垂足为D ，求AD 最大时点P 的纵坐标.【解析】（1）由题意得()1,Q x y -，且2x ≠±，2AQ k y x =+，12BQ y k x -=-，所以1224y y x x -⋅=-+-，整理得曲线()22:124x C y x -=≠±.（2）设()01,P y ，()11,M x y ，()22,N x y ，若直线MN 平行于x 轴，根据双曲线的对称性，可知点P 在y 轴上，不符合题意，故设直线MN ：()2,0x ty m m =+≠±，代入曲线C 中，得()2224240t y tmy m -++-=，则12224tm y y t -+=-，212244m y y t -=-，则()2121242m ty y y y m -=-+，由P ，A ，M 三点共线得PA MA k k =，即01132y y x =+，同理，由P ，B ，N 三点共线得2022y y x -=-，消去0y ，得()()21122320y x y x ++-=，即()()121243220ty y m y m y +-++=，得()()()()21212243220m y y m y m y m --++-++=，得()()()()1224240m m y m m y ---+-=，即对任意1y ，2y ，都有[]12(4)(2)(2)0m m y m y ---+=成立，故4m =或12(2)(2)0m y m y --+=，若12(2)(2)0m y m y --+=，由212244m y y t -=-，12224tm y y t -+=-可得：1222(2)(2),,44m t m t y y t t -+--==--所以22222(4)444m t m t t --=--即224t t =-，矛盾，故12(2)(2)0m y m y --+≠，所以4m =.所以直线MN ：4x ty =+恒过点()4,0H ，则点D 的轨迹是以HB 为直径的圆，其方程为()2231x y -+=，当D 与H 重合时，AD 最大，此时MN x ⊥轴，AM ：)2y x =+，1,2P ⎛± ⎝⎭.所以当AD 最大时，点P 的纵坐标为2±.6．（2023·湖南·校联考二模）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>经过点(，且离心．F 为椭圆E 的左焦点，点P 为直线l ：3x =上的一点，过点P 作椭圆E 的两条切线，切点分别为A ，B ，连接AB ，AF ，BF ．(1)求证：直线AB 过定点M ，并求出定点M 的坐标；(2)记△AFM 、△BFM 的面积分别为1S 和2S ，当12S S -取最大值时，求直线AB 的方程．参考结论：点()00,Q x y 为椭圆22221x ya b+=上一点，则过点Q 的椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=．【解析】（1）由题意可得b =，ca =222a b c =+，所以26a =，22b =，椭圆E 的方程为22162x y +=．设()11,A x y ，()22,B x y ，()03,P y ，由参考结论知过点P 在A 处的椭圆E 的切线方程为11162x x y y +=，同理，过点P 在B 处的椭圆E 的切线方程为22162x x y y +=．因为点P 在直线PA ，PB 上，所以101202122122y y x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以直线AB 的方程为0122x y y+=，则直线AB 过定点()2,0M ．（2）设直线AB 的方程为2x ty =+，联立方程组222162x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()223420t y ty ++-=，故12243ty y t +=-+，12223y y t =-+，1212122882233t S S y y y y t t t-=-=+==≤++，当且仅当3tt=，即t =此时直线AB 的方程为2x =+．7．（2023·上海金山·统考二模）已知椭圆:Γ()2221024x y b b+=<<.(1)已知椭圆ΓΓ的标准方程；(2)已知直线l 过椭圆Γ的右焦点且垂直于x 轴，记l 与Γ的交点分别为A 、B ，A 、B 两点关于y 轴的对称点分别为A '、B '，若四边形ABB A ''是正方形，求正方形ABB A ''的内切圆的方程；(3)设О为坐标原点，P 、Q 两点都在椭圆Γ上，若OPQ △是等腰直角三角形，其中OPQ ∠是直角，点Р在第一象限，且O 、P 、Q 三点按顺时针方向排列，求b 的最大值.【解析】（1）由题意得2a =，c a =c =所以2221b a c =-=，所以椭圆Γ的标准方程为2214x y +=；（2）设右焦点()1,0F c ，左焦点()2,0F c -，因为四边形ABB A ''是正方形，不妨设点A 在第一象限，则(),A c c ，所以12,AF c AF ===，由(12124AF AF c a +===，得1c ，正方形ABB A ''的内切圆的圆心为()0,01-，所以所求圆的方程为226x y +=-；（3）设直线OP 的倾斜角为π,0,2θθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，斜率为()0k k >，则直线OQ 的斜率为π1tan 41k k θ-⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，设()()1122,,,P x y Q x y ，则2110,0x x y >>>，联立22214x y b y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得2212244b x k b =+，同理可得()()()2222222222414141141b k b x k k b k b k +==--++⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，由OQ 得222OQ OP =，即()2222222211121k x x x k x k -⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，整理得()()222244002b k b k b +-+=<<，注意到()22240b b->且240b >，则要使上述关于k 的一元二次方程有正数解，只需要()222Δ44160b b =--≥，解得01b <≤，所以b 1.8．（2023·上海黄浦·统考二模）已知双曲线C 的中心在坐标原点，左焦点1F 与右焦点2F 都在x 轴上，离心率为3，过点2F 的动直线l 与双曲线C 交于点A 、B ．设222AF BF ABλ⋅=．(1)求双曲线C 的渐近线方程；(2)若点A 、B 都在双曲线C 的右支上，求λ的最大值以及λ取最大值时1AF B ∠的正切值；（关于求λ的最值．某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设2||AF AB 为μ，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线l 的斜率为k ，建立相应数量关系并利用它求最值）.(3)若点A 在双曲线C 的左支上（点A 不是该双曲线的顶点，且1λ=，求证：1AF B △是等腰三角形．且AB 边的长等于双曲线C 的实轴长的2倍．【解析】（1）设双曲线方程为22221x y a b-=(),0a b >，焦距为2c ，由3c e a ==，所以b a ==y =±.（2）由（1）可得3c a =，b =，所以双曲线C 的方程为222218x y a a-=，设21AF t =，22BF t =，因为点A 、B 都在双曲线C 的右支上，所以12AB t t =+，所以()()2212122221214AF BF t t t t t t ABλ⋅==≤=+，当且仅当12t t =时取等号，即max 14λ=，当14λ=时12t t =，所以121122AF a t a t BF =+=+=，所以l x ⊥轴且1212AF F BF F ∠=∠，又双曲线C 的方程为222218x y a a -=，即22288x y a -=，由222388x a x y a =⎧⎨-=⎩，解得8y a =±，可知28AF a =，又126F F a =，所以2121284tan 63a AF F AF F F a ∠===，121122122tan 24tan tan 21tan 7AF F AF B AF F AF F ∠∠=∠==--∠.（3）设直线l 的方程为3x my a =+，将它代入22288x y a -=，可得()22228148640my may a -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，可得1224881am y y m +=--，21226481a y y m =-，由1λ=，可得222AF BF AB ⋅=，)21212y -=，又1y 、2y 同号，所以()21212y y y y =-，即()212125y y y y =+，所以2222644858181a am m m ⎛⎫= ⎪⎝--⎭⨯-，解得254m =，此时直线l<l 与双曲线的两支都相交，又221226464819a a y y m ==-，所以()2212222296411649A a m y y B a AF BF =⋅==+=⨯，则4AB a =，它等于双曲线实轴长的2倍，此时211222422AF AF a BF a a BF a BF =-=+-=+=，所以1AF B △是等腰三角形.9．（2023·江西九江·校联考模拟预测）已知P 为椭圆22142x y +=上一点，过点P 引圆222x y +=的两条切线PA ､PB ，切点分别为,A B ，直线AB 与x 轴､y 轴分别交于点M ､N .(1)设点P 坐标为0(x ，0)y ，求直线AB 的方程；(2)求MON △面积的最小值(O 为坐标原点）.【解析】（1）先求在圆上一点的切线方程：设圆U 的方程为()()222x a y b r -+-=，圆心为(),U a b ，半径为r ，设()00,V x y 是圆U 上的一点，则()()22200x a y b r -+-=①，设(),W x y 是圆U 在()00,V x y 处的切线方程上任意一点，则0VU VW ⋅=，即()()()()()()00000000,,0a x b y x x y y a x x x b y y y --⋅--=--+--=②，-①②并整理得()()()()200x a x a y b y b r --+--=，即圆U 在()00,V x y 处的切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=.根据题意，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，0(P x ，0)y ，PA 是圆222x y +=的切线且切点为A ，则PA 的方程为112x x y y +=，同理PB 的方程为222x x y y +=，又由PA ､PB 交于点P ，则有10102x x y y +=，20202x x y y +=，则直线AB 的方程为002x x y y +=.（2）要使,,O M N 围成三角形，则P 不是椭圆的顶点，所以000,0x y ≠≠，由（1）可得M 的坐标为02(x ，0)，N 的坐标为2(0,)y ，00122OMN S OM ON x y =⋅= ，又由点P 是椭圆22142x y +=上的动点（非顶点），则有2200142x y +=，则有220000142x y y =+≥，即00||x y ≤当且仅当22001422x y ==时等号成立，0012=2OMN S OM ON x y =⋅ 即OMN.10．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点为A ，右顶点为B ，坐标原点O 到直线AB，AOB 的面积为2．(1)求椭圆C 的方程；(2)若过点()2,0P 且不过点()3,1Q 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，直线MQ 与直线4x =交于点E ，证明：//PQ NE ．【解析】（1）依题意，(0,),(,0)A b B a，有||AB =，因为AOB 的面积为2，则122AOB S ab == ，又点O 到直线AB的距离为5，则有1||22AOB S AB == ，于是22410ab a b =⎧⎨+=⎩，而0a b >>，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为22182x y +=.（2）直线PQ 的斜率10132PQ k -==-，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =，代入椭圆方程得1y =±，不妨设此时(2,1)M ，(2,1)N -，则(4,1)E ，直线NE 的斜率1(1)142NE PQ k k --===-，因此//PQ NE ；当直线l 的斜率存在时，设其方程为(2)(1)y k x k =-≠，设1122(,),(,)M x y N x y ，则直线MQ 的方程为1111(3)3y y x x --=--，令4x =，得1114(4,)3y x E x +--，由2248(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩消去y 得：2222(14161680)k x k x k +-+-=，由于点P 在椭圆C 内，必有0∆>，则21221614k x x k +=+，212216814k x x k -=+，1121243114NE y x y x k x +----=--()()()11212143143y x y x x x +---=---()()()()()()()1121212124234343k x x k x x x x x x -+-------=--[]()()()()22221212212148168(1)(8)(1)3(814140)4343k k k k x x x x k k x x x x -----+--++===----，因此1NE PQ k k ==，即//PQ NE ，所以//PQ NE .11．（2023·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长是短轴长的2倍，直线12y x =被椭圆截得的弦长为4．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N ，P ，Q 为椭圆C 上的动点，且四边形MNPQ 为菱形，原点О在直线MN 上的垂足为点H ，求H 的轨迹方程．【解析】（1）由题意可得2a b =，则椭圆C ：222214x y b b +=，联立22221412x y b b y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2x y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，4=，解得285b =，所以2325a =，所以椭圆C 的方程为22132855x y +=，即2252032x y +=；（2）因为四边形MNPQ 为菱形，所以,MP NQ 垂直且平分，设()()1122,,,M x y P x y ，则2222112252032,52032x y x y +=+=，两式相减得()()222212125200x x y y -+-=，即()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=，设菱形的中心为()00,x y ，若直线,MP NQ 的斜率都存在，设直线,MP NQ 的斜率分别为12,k k ，由()()()()1212121240x x x x y y y y -++-+=，得()()()()1212121240y y x x y y x x -+++=-，所以001280x y k +=，即00140x y k +=，同理00240x y k +=，所以0102y k y k =，由121k k =-得00y =，所以00x =，即菱形的中心为原点，则直线MP 的方程为1y k x =，直线NQ 的方程为2y k x =，联立12252032y k x x y =⎧⎨+=⎩，解得212132520x k =+，所以()()22122221111213211520k OM x y k x k +=+=+=+，同理()22222321520k ON k +=+，因为1122OMN S OH OM ON ==，所以2222222111OM ON OHOMONOMON+==()()22222212121222222212121252052028555321321321k k k k k k k k k k k k +++++=+=⋅+++++()()2222121222221212285525525321132232k k k k k k k k +++++=⋅=⋅=+++++，所以点H 在圆222532x y +=上；若直线,MP NQ 中有一条直线的斜率不存在，由对称性可知棱形的中心为原点，,,,M N P Q 四点分别为椭圆的顶点，不妨设M 为右顶点，N 为上顶点，则22328,55OM ON ==，同理可得22222221112532OM ON OHOMONOMON+==+=，点H 任在圆222532x y +=上，综上所述，H 的轨迹方程为222532x y +=.12．（2023·上海闵行·统考二模）已知O 为坐标原点，曲线1C ：()22210xy a a -=>和曲线2C ：22142x y +=有公共点，直线1l ：11y k x b =+与曲线1C 的左支相交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ．(1)若曲线1C 和2C 有且仅有两个公共点，求曲线1C 的离心率和渐近线方程；(2)若直线OM 经过曲线2C 上的点)2,1T-，且2a 为正整数，求a 的值；(3)若直线2l ：22y k x b =+与曲线2C 相交于C 、D 两点，且直线OM 经过线段CD 中点N ，求证：22121k k +>．【解析】（1）因为曲线1C 和2C 有且仅有两个公共点，所以曲线1C 和2C 的两公共点为左右顶点，则2a =，曲线1C 的半焦距5c =所以曲线1C 的离心率52c e a ==，渐近线方程为12y x =±；（2）联立222111x y a y k x b⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，得()()22222211111210a k x a k b x a b ---+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()222111121222221112,11a b a k b x x x x a k a k -++==--，所以2112211M a k b x a k =-，21111122221111M a k b b y k b a k a k =+=--，故直线OM 的方程为211y x a k =，依题意直线OM 经过点)2,1T -，代入得212a k =4212a k =，所以2142k a =，因为直线1l 与曲线1C 的左支相交于两点，故()()221221101a b a k -+>-，得2211a k >，则422212a aa >=，所以22a <，又曲线1C 和2C 有公共点，所以204a <≤，所以202a <<，又2a 为正整数，所以21a =，所以1a =；（3）由（2）可得()12102M M y k a x a=<≤，同理，联立直线2l ：22y k x b =+与曲线2C ：22142x y +=，可得212N N y k x =-，因为N M M N y y x x =，所以2212a k k =-，又因为2211a k >，所以42222221121114a k k k k a k +=+>≥，即22121k k +>．13．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，左､右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线()1y t x =+交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于P 点，1PM MF λ= ，1PN NF μ=，记OMN ，2OMF △，2ONF △的面积分别为1S ，2S ，3S .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若123S mS S λ=-，433μ-≤≤-，求m 的取值范围.【解析】（1）由题意得，左焦点1(1,0)1F c -⇒=，122c a a =⇒=，2223b a c =-=，所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，令0x =，y t =，则()0,P t ，则11(,)PM x y t =-uuu r，()1111,MF x y =--- 由1PM MF λ=得()()1111,1,x y t x y λ-=---，解得11t y λ=-，同理21ty μ=-.由()221431x y y t x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得2236490y y t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，则1226,43t y y t +=+2122943ty y t -=+，()1212128223t y y t t y y y y λμ++=+-=-=-.不妨设120y y >>，1121211122S y y y y =⋅⋅-=-（），21111122S y y =⋅⋅=，32211122S y y =⋅⋅=-，由11t y λ=-，21t y μ=-.得11t y λ=+，21t y μ=+，2111513y y λλμλ++==-++.代入123S mS S λ=-，有()2121121122y y y m y λ-+=，则1212m y y y y λ=-+，解得22221114(1)15911(1)1()553333y y y m y y y λλλλλλ+=--=-+=+=-+++++,43,3μ-≤≤-Q 511[,2]33λμ∴+=--∈设53u λ=+，则1[,2]3u ∈，则()4193h u u u=-++，则()2419h u u -'=-，令()0h u '>，解得223u <<，令()0h u '<，解得1233u <<，故()h u 在12,33⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则()min 213h u h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且()1417,2339h h ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则()171,9h u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则171,9m ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14．（2023·上海静安·统考二模）已知双曲线Γ：22221x y a b-=（其中0,0a b >>）的左、右焦点分别为1F （-c ，0）、2F （c ，0）（其中0c >）.(1)若双曲线Γ过点（2，1）且一条渐近线方程为2y x =；直线l 的倾斜角为4π，在y轴上的截距为2-.直线l 与该双曲线Γ交于两点A 、B ，M 为线段AB 的中点，求△12MF F 的面积；(2)以坐标原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线Γ在第一象限的交点为P .过P 作圆的切线，若切线的斜率为Γ的离心率.【解析】（1）双曲线Γ：22221x y a b -=渐近线方程为b y x a =±，已知一条渐近线方程为y =，所以a =，双曲线Γ经过点（2，1），所以22411a b -=，解得222,1a b ==.所以双曲线Γ：2212x y -=.直线l 的倾斜角为π4，则斜率为1，又l 在y 轴上的截距为2-，则l 方程为：2y x =-，代入双曲线方程得：28100x x -+=，设两点A 、B 坐标分别为（1x ，1y ）、（2x ，2y ），M （x ，y ），则1284,2x x x y +=⇒==.又12F F =则12MF F △的面积1111222F F y =⋅⋅=⨯=（2）方法一：由题可知圆方程为：222x y c +=，将其与双曲线方程联立：22222222222221x y c b b x b c x y x y a c ab ⎧+=⎪⇒+-=⇒==⎨-=⎪⎩，即2,b P c c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，又切线斜率为2OP b k c =⋅=()22442242334803840c a c a a c e e ⇒-=⇒+-=⇒-+=，解得22e =，所以双曲线Γ；方法二：设切线与x 轴交于E点，因切线斜率为3πPEO ∠=，又2πOPE ∠=，则1566ππ,POE POF ∠=∠=.注意到12OF OF c OP ===，则在2 POF 中，由余弦定理，22PF c -===，在1POF △中，由余弦定理，1PF ===.则()12122c a PF PF c e a=-=⇒==15．（2023·辽宁大连·统考一模）已知双曲线C 上的所有点构成集合()(){}22,10,0P x y axby a b =-=>>和集合()(){}22,010,0Q x y axby a b =<-<>>，坐标平面内任意点()00,N x y ，直线00:1l ax x by y -=称为点N 关于双曲线C 的“相关直线”．(1)若N P ∈，判断直线l 与双曲线C 的位置关系，并说明理由；(2)若直线l 与双曲线C 的一支有2个交点，求证：N Q ∈；(3)若点N Q ∈，点M 在直线l 上，直线MN 交双曲线C 于A ，B ，求证：MA MBAN BN=．【解析】（1）直线l 与双曲线C 相切．理由如下：联立方程组220011ax by ax x by y ⎧-=⎨-=⎩，∴()222220000210aby a x x ax x by -+--=①，∵N P ∈，∴22001ax by -=，即22001ax by -=，代入①得，220020ax ax x ax -+-=，∴222200440a x a x ∆=-=，∴直线l 与双曲线C 相切．（2）由（1）知()222220000210aby a x x ax x by -+--=，∵直线l 与双曲线C 的一支有2个交点，则2220020222000Δ010aby a x by aby a x ⎧⎪-≠⎪⎪>⎨⎪--⎪>⎪-⎩，∴()()()22222222000000044141a x a by ax by aby by ax ∆=----=+-，∴22001ax by -<，∵()2200222220000110by by aby a x a ax by --+=>--，∴220001ax by <-<，∴()00,N x y Q ∈．（3）设()11,M x y ，(),A x y ，设MA AN λ= ，MB BN μ=，∵()00,N x y l ∉，∴1λ≠-，则101011x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，代入双曲线22:1C ax by -=，利用M 在l 上，即01011ax x by y -=，整理得()222220011110ax by ax by λ--+--=，同理得关于μ的方程()222220011110ax by ax by μ--+--=．即λ、μ是()222220011110ax by t ax by --+--=的两根，∴0λμ+=，∴MA MBAN BN=．16．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）已知1F 、2F 分别为双曲线22122:1(0,0)y xC a b a b-=>>的上、下焦点，其中1F 坐标为()0,2点M 是双曲线1C 上的一个点.(1)求双曲线1C 的方程；(2)已知过点()4,1P 的直线与22122:1(0,0)y x C a b a b-=>>上支交于不同的A 、B 两点，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明：点Q 总在某条定直线上.【解析】（1）由1F 坐标为()0,2得224a b +=，点M在双曲线1C 上得22231a b -=，解得2213a b ⎧=⎨=⎩，双曲线方程为221.3x y -=（2）设直线与双曲线交于()11,A x y ，()22,B x y ，点(),Q x y ，由AP QB AQ PB ⋅=⋅得(0AP AQ PBQBλλ==>且1)λ≠，AP PB λ=- ，AQ QB λ=，代入坐标得()()1122414,1,x y x y λ--=---，()()1122,,x x y y x x y y λ--=--，整理得：()1241x x λλ-=-①()121x x x λλ+=+，②，得()22221241x x x λλ-=-③，同理121y y λλ-=-④，()121y y y λλ+=+⑤，得()2222121y y y λλ-=-⑥，由于双曲线1C 上的点满足2233y x -=，⑥3⨯-③得()()()222222112233341y x y x y x λλ---=--，即()()2233341y x λλ-=--，所以343y x -=，表示点(),Q x y 在定直线4330x y -+=上.17．（2023·贵州黔西·校考一模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>5点(3,2P -在双曲线C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)设()1,0A -，M 为C 上一点，N 为圆221x y +=上一点（M ，N 均不在x 轴上）．直线AM ，AN 的斜率分别记为1k ，2k ，且2140k k +=，判断：直线MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【解析】（1）由双曲线离心率为2215c b e a a ==+224b a =，所以双曲线方程为222214x y a a-=，又点(3,2P -在双曲线上，即2293214a a -=，解得21a =，24b =，所以双曲线的方程为2214y x -=；（2）由已知得10k ≠，20k ≠，设直线()1:1AM y k x =+，点()11,M x y ，由()122114y k x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩得()22221114240k x k x k ----=，0∆>，则212144A M k x x k +=--，即212144M k x k +-=--，212144M k x k +=-，所以211221148,44k k M k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭由2140k k +=，得124k k =-，所以2222222418,141k k M k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭设直线()2:1AN y k x =+，联立直线与圆221x y +=，得()22222221210k x k x k +++-=，0∆>，则222211A N k x x k -=+，即222211N k x k --=+，222211N k x k -=+，所以222222212,11k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以222222222222222281141141114MNk k k k k k k k k k --+-==--+-+-，即21MN k k ⋅=-，所以MN AN ⊥，又点A 在圆221x y +=上，设圆221x y +=与x 轴的另一个交点为B ，则()10B ,，且AN BN ⊥，即直线BN 与MN 重合，所以直线MN 恒过点()10B ,.18．（2023·浙江宁波·统考二模）已知双曲线2222:1x y E a a-=，点(0,2)D 与双曲线上的点的(1)求双曲线E 的方程；(2)直线:l y kx m =+与圆22:(2)1C x y ++=相切，且交双曲线E 的左、右支于A ，B 两点，交渐近线于点M ，N ．记DAB ，OMN 的面积分别为1S ，2S ，当12847S S -=时，求直线l 的方程．【解析】（1）设(,)P x y 是双曲线上的任意一点，则2222222(2)2442(1)2DP x y y y a y a =+-=-++=-++，所以当1y =时，2DP 的最小值为22a +，所以223a +=，得21a =，所以双曲线E 的方程为221x y -=．（2）由直线:l y kx m =+与圆22:(2)1C x y ++=1=，由直线交双曲线的左、右支于A ，B 两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立221x y y kx m⎧-=⎨=+⎩，消y 整理得()()2221210k x mkx m ---+=，则()221Δ410m k=+->，212211m x x k +=-，12221mk x x k +=--，所以12x x -=所以221222110142m m x x k m m ++==<-++，即2420m m ++<，解得22m -<<-，1=，则21m +≥，解得1m ≥-或3m ≤-，所以(231,2m ⎤⎡∈--⋃--⎦⎣，所以12AB x x =-=，又点(0,2)D 到AB 的距离1d =1121(2242m S AB d m m -==---，设()33,M x y ，()44,N x y ，联立方程组220x y y kx m⎧-=⎨=+⎩，消y 整理得()222120k x mkx m ---=，则22Δ4m =，34221mk x x k +=-，23421m x x k -⋅=-，所以34221m x x k --=-，所以34221mMN x x k -=-=-，又点O 到MN 的距离2d =22221242mS MN d m m ==---，所以当12847S S -=时，有222(2)428442427m m m m m m --=------，整理得()24(25847m m m -=--，即4(2(52)(2)7m m m -=+-，又2m ≠，4(52)7m -=+，即2200258810m m ++=，解得134m =-，22750m =-（舍去），所以34m =-，则34k =±，所以直线方程为3344y x =±-．19．（2023·上海松江·统考二模）已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为12F F 、，离心率为1e ;双曲线2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为34F F 、，离心率为2e ，12e e ⋅=．过点1F 作不垂直于y 轴的直线l 交曲线1C 于点A 、B ，点M 为线段AB 的中点，直线OM 交曲线2C 于P 、Q 两点．(1)求1C 、2C 的方程；(2)若113AF F B =，求直线PQ 的方程；(3)求四边形APBQ 面积的最小值.【解析】（1）由题意可知：12e e ==所以12222e e ⋅===，解得：21b =，所以椭圆方程为2212x y +=，双曲线方程为：2212x y -=.（2）由（1）知()11,0F -，因为直线AB 不垂直与y 轴，设直线AB 的方程为：1x my =-，设点()()1122,,,A x y B x y ，则()1111,,AF x y =---()1221,F B x y =+ ，由113AF F B =，则123y y -=，即123y y =-，联立：22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得：()222210m y my +--=，()()222442810m m m ∆=++=+>，由韦达定理可得：1221222212m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，将123y y =-代入得：()222222132m y m y m -⎧=⎪+⎪⎨=⎪+⎪⎩解得1m =±，当1m =时，弦AB 的中点21,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时直线PQ 的方程为：12y x =-；当1m =-时，弦AB 的中点21,33M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时直线PQ 的方程为：12y x =.所以直线PQ 的方程为12y x =-或12y x =.（3）设AB 的中点()00,M x y ，由（2）可得)2212m AB m +=+，且000222,122m y x my m m -==-=++，点222,22m M m m -⎛⎫ ++⎝⎭，2PQ OM m k k ==-，直线PQ 的方程为：2my x =-，联立22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可得：2242x m =-，2222m y m =-，且220m ->，由双曲线的对称性，不妨取点P ⎛⎫⎪⎭、Q ⎛⎫，所以点P 到直线AB的距离为：21d =，点Q 到直线AB的距离为：22d ==21222m d d ++=，所以四边形APBQ的面积为()1212S AB d d =+===2022m <-≤，所以当222m -=，即0m =时，四边形APBQ 的面积取最小值2.20．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）过点()4,2的动直线l 与双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>交于,M N 两点，当l 与x 轴平行时，MN=l 与y 轴平行时，MN =(1)求双曲线E 的标准方程；(2)点P 是直线1y x =+上一定点，设直线,PM PN 的斜率分别为12,k k ，若12k k 为定值，求点P 的坐标．【解析】（1）由题意可知：双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>过点()2±，(4,±，将其代入方程可得：222284116121a b a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：2244a b ⎧=⎨=⎩，∴双曲线E 的标准方程为：22144x y -=.（2）方法一：设()()1122,,,M x y N x y ，点()4,2与,M N 三点共线，12122244y y x x --∴=--，()()12124422x x y y λλ⎧-=-⎪∴⎨-=-⎪⎩（其中R λ∈，0λ≠），()()12124121x x y y λλλλ⎧=+-⎪∴⎨=+-⎪⎩，()()222241214x y λλλλ⎡⎤⎡⎤∴+--+-=⎣⎦⎣⎦，又22224x y -=，整理可得：()()2212420x y λλλλ--+-=，当1λ=时，12x x =，12y y =，不合题意；当1λ≠时，由222420x y λλλ-+-=得：22122y x λ=-+，设()00,P x y ，则001y x =+，()()102012102011y x y x k k x x x x -+-+∴⋅=⋅--()()()22220202202220222211243222y y x x x y x y x x x y x x ⎛⎫-+--++ ⎪-+⎝⎭=⋅-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭()()()0220020020220031212223422x y x x x y x x x x y x x x ⎛⎫-+-- ⎪-+⎝⎭=⋅-⎛⎫-+-+- ⎪⎝⎭，若12k k 为定值，则根据约分可得：000121x x x --=-且000114222x x x --=--，解得：03x =；当03x =时，()3,4P ，此时22122226441322x y k k x y --=⋅=--；∴当()3,4P 时，124k k =为定值.方法二：设()()()112200,,,,,M x y N x y P x y ，直线()():420MN y k x k =-+≠，由()22424y k x x y ⎧=-+⎨-=⎩得：()224240x k x ⎡⎤--+-=⎣⎦，12,x x 为方程()224240x k x ⎡⎤--+-=⎣⎦的两根，()()()()222124241x k x k x x x x ⎡⎤∴--+-=---⎣⎦，则()()()()222001024241x k x k x x x x --+-=---⎡⎤⎣⎦，由()42y k x =-+得：24y x k-=+，由22244y x k x y -⎧=+⎪⎨⎪-=⎩可得：222440y y k -⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，同理可得：()()()()222220001022441y k k y k k y y y y -+--=---，则()()()()()()()()()()201020102122121211k y y y y y y y y k k x x x x k x x x x -----==-----()()2222002200244424y k k y k x k x -+--=--+-⎡⎤⎣⎦()()()()2220000222000012816448164168y k y k y y x x k x k x -++-+-+=-+-+-++-，若12k k 为定值，则必有22000022000012816448164168y y y y x x x x -+--+==-+--+-，解得：0034x y =⎧⎨=⎩或00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又点P 在直线1y x =+上，∴点P 坐标为()3,4；当直线MN 斜率为0时，,M N坐标为()2±，若()3,4P ，此时124k k ==；当直线MN 斜率不存在时，,M N坐标为(4,±，若()3,4P ，此时124443434k k -+=--；综上所述：当()3,4P 时，124k k =为定值.21．（2023·贵州黔西·校考一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>(3,P -在双曲线C 上．(1)求双曲线C 的方程；(2)设()1,0A -，M 为C 上一点，N 为圆221x y +=上一点（,M N 均不在x 轴上）．直线,AM AN 的斜率分别记为12,k k ，且2140k k +=，判断：直线MN 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【解析】（1）由双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>可得222225,4c a b b a a a+=∴=∴=，又点(3,P -在双曲线C 上，即2293214a a-=，解得221,4a b ==，故双曲线C 的方程为2214y x -=.（2）由题意可知120,0k k ≠≠，且AM 的方程为11y k x k =+，联立112214y k x k y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得2222111(4)240k x k x k ----=，2140k -≠，Δ640=>，设11(,)M x y ，由题意可知该方程有一根为1-，故221111221144(1),44k k x x k k --+-=∴=--，则111112184k y k x k k =+=-，AN 的方程为22y k x k =+，联立22221y k x k x y =+⎧⎨+=⎩，可得2222222(1)210k x k x k +++-=，40'∆=>，设2221(,),N x y x x ≠，由题意可知该方程有一根为1-，故222222222211(1),11k k x x k k ---=∴=++，则222222221k y k x k k =+=+，由于2140k k +=，即124k k =-，由于2140k -≠，故224160k -≠，故22122164416k x k +=-，212232416k y k -=-，所以直线MN 的斜率为222221222222212222232141611641416MNk k y y k k k k k x x k k ---+-==-+--+-2222222222222222222(416)(1)(32)401(1)(416)(1)(164)40k k k k k k k k k k k --+-===----++-，故直线MN 的方程为1121()y y x x k -=--，即22222222321641()416416k k y x k k k ++=----，即222(164)(1)0k x k y -+-=，由于224160k -≠，故210x k y +-=，即直线MN 过定点(1,0).22．（2023·上海宝山·统考二模）已知抛物线Γ：24y x =．(1)求抛物线Γ的焦点F 的坐标和准线l 的方程；(2)过焦点F 且斜率为12的直线与抛物线Γ交于两个不同的点A 、B ，求线段AB 的长；(3)已知点()1,2P ，是否存在定点Q ，使得过点Q 的直线与抛物线Γ交于两个不同的点M 、N （均不与点Р重合），且以线段MN 为直径的圆恒过点P ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）∵抛物线Γ：24y x =，则2p =，且焦点在x 轴正半轴，故抛物线Γ的焦点()1,0F ，准线:1l x =-.（2）由（1）可得：()1,0F ，可得直线()1:12AB y x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程()21124y x y x⎧=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 得21810x x -+=，可得()212184113200,18x x ∆=--⨯⨯=>+=，故1220AB x x p =++=.（3）存在，理由如下：设直线()()3443:,,,,MN x my n M x y N x y =+，联立方程24x my n y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得2440y my n --=，则()23434160,4,4m n y y m y y n ∆=+>+==-，可得()()33441,2,1,2PM x y PN x y =--=--uuu r uuu r，若以线段MN 为直径的圆恒过点P ，则PM PN ⊥，。

专题22：圆锥曲线高考真题江苏卷（解析版）一、填空题1．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.【答案】y =. 【分析】根据条件求b ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案. 【详解】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =. 【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.2．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____. 【答案】32【分析】根据渐近线方程求得a ，由此求得c ，进而求得双曲线的离心率. 【详解】双曲线22215x y a -=，故b =由于双曲线的一条渐近线方程为y x =，即22b a a =⇒=，所以3c ===，所以双曲线的离心率为32c a =.故答案为：32【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.3．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(c,0)F 到一，则其离心率的值是________． 【答案】2 【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率. 详解：因为双曲线的焦点(c,0)F 到渐近线,by x a=±即0bx ay ±=的距离为,bcb c ==所以b =，因此22222231,44a c b c c c =-=-=1, 2.2a c e ==点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a .4．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -= 的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ，F 2 ，则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是________．【答案】【解析】右准线方程为10x ==，渐近线方程为3y x =±，设(1010P ，则(1010Q，1(F，2F，则10S == 点睛:（1）已知双曲线方程22221x y a b -=求渐近线：22220x y b y x a b a -=⇒=±；（2）已知渐近线y mx =可设双曲线方程为222m x y λ-=；（3）双曲线的。

专题30 圆锥曲线中的最值问题【考情分析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。

江苏高考试题结构平稳，题量均匀．每份试卷解析几何基本上是1道小题和1道大题，平均分值19分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广．虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。

圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体．俗话说：他山之石可以攻玉．在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性．比如2010年安徽卷理科19题，该题入题口宽，既可用传统的联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解．再比如2011年上海卷理科23题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展【备考策略】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。

代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】1．已知双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是[2,)+∞2． P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为73．抛物线y=-x 2上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是434．已知抛物线y 2=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12+y 22的最小值是 32 .5．已知点M (-2，0)，N (2,0)，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.解：（Ⅰ）依题意，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为：22x y 122－＝ （x >0）（Ⅱ）当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x ＝x 0，此时A （x 0，2x 2－），B （x 0，－20x 2－），OAO B ⋅ ＝2当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入双曲线方程22x y 122－＝中，得：(1－k 2)x 2－2kbx －b 2－2＝0 依题意可知方程1︒有两个不相等的正数根，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2222122212244(1)(2)0201201k b k b kb x x k b x x k ⎧⎪∆=--∙--≥⎪⎪+=>⎨-⎪⎪+=>⎪-⎩解得|k |>1， 又OA OB ⋅＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋（kx 1＋b ）（kx 2＋b ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋kb （x 1＋x 2）＋b 2＝2222k 242k 1k 1＋＝＋－－>2 综上可知OA OB ⋅的最小值为2【典型示例】求抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值? 分析一：设抛物线上任一点坐标为P(0x ,-x20)，由点到直线的距离公式得P 到直线的距离d(0x )=5|834|200--x x =5320)32(320+-x 34≥， 当0x =32时，d(0x )取得最大值34,分析二：设抛物线上点P(0x ,-x20)到直线4x+3y-8=0距离最小，则过P 且与抛物线相切的直线与4x+3y-8=0平行，故y '( 0x )=-2 0x =-34,∴0x =32,∴P(32,-94), 此时d=5|8943324|--⨯+⨯）（=34，. 分析三：设直线方程为4x+3y+C=0则当l 与抛物线相切时l 与4x+3y-8=0间的距离为所求最小，由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=0342C y x y x 得4x-3x 2+C=0，∴△=16+12C=0, ∴c=-34,此时d=345|348|=---）（【分类解析】例1:已知椭圆221259x y +=，A （4，0），B （2，2）是椭圆内的两点，P 是椭圆上任一点，求：（1）求5||||4PA PB +的最小值；（2）求||||PA PB +的最小值和最大值 分析：（1）A 为椭圆的右焦点。

专题八 圆锥曲线部分一、近几年江苏高考1、（1）（2019年江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)yx b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____.（2）（2019年江苏卷）.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．2、（1）（2018年江苏卷）. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．（2）（2018年江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C 过点，焦点，圆O 的直径为．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于两点．若的面积为，求直线l 的方程．3、（1）（2017年江苏卷） 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．（2）（2017年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2. (1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．4、（1）（2016年江苏卷） 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．（2）（2016年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．5、（1）（2015年江苏卷） 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．（2）（2015年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．二、近几年高考试卷分析圆锥曲线线分为两个部分椭圆及双曲线和抛物线，从近几年江苏高考中不难看出，考查的形式一是填空题，一个是解答题，在填空题中主要是以圆锥曲线的性质为主，如离心率以及双曲线和抛物线的渐近线、离心率、焦距等问题。

专题八 圆锥曲线部分一、近几年江苏高考1、（1）（2019年江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)yx b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_____. 【答案】2y x =±.【解析】由已知得222431b-=，解得2b =或2b =-，因为0b >，所以2b =.因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为2y x =±.【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.（2）（2019年江苏卷）.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．【解析】1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2.由b2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4.因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B.因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --.2、（1）（2018年江苏卷）. 在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．【答案】2【解析】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率. 详解：因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a . （2）（2018年江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C 过点，焦点，圆O 的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为，可设椭圆C的方程为．又点在椭圆C上，所以，解得因此，椭圆C的方程为．因为圆O的直径为，所以其方程为．（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y ，得．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以．因为，所以．因此，点P 的坐标为．②因为三角形OAB 的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P 的坐标为．综上，直线l 的方程为．3、（1）（2017年江苏卷） 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________． 答案：23思路分析 四边形F 1PF 2Q 关于x 轴对称，其面积S ＝2S △PF 1F 2＝F 1F 2·|y P |.双曲线的渐近线方程为x 23－y 2＝0，其中一条渐近线方程为x －3y ＝0.双曲线的右准线方程为x ＝a 2c ，即x ＝32.所以P ⎝⎛⎭⎫32，32.又F 1F 2＝2c ＝4，所以S ＝23.解后反思 本题用一般到特殊的思想方法可能更好．双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，右准线方程为x ＝a 2c ，所以|y P |＝abc ，从而S ＝2ab .本题中，a ＝3，b ＝1.（2）（2017年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2. (1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．思路分析 (2) 设P (x 0，y 0)，易得PF 1，PF 2的斜率，得l 1，l 2的方程，求出点Q 的坐标用(x 0，y 0)表示．再利用P ，Q 均在椭圆上，求出x 0，y 0. 解：(1) 设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a ＝12，2a 2c ＝8，解得a ＝2，c ＝1，于是b ＝a 2－c 2＝3，因此椭圆E 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2) 由(1)知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．设P (x 0，y 0)，由于P 为第一象限内的点，故x 0＞0，y 0＞0. 当x 0＝1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符．当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0＋1，直线PF 2的斜率为y 0x 0－1.因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为－x 0＋1y 0，直线l 2的斜率为－x 0－1y 0，从而直线l 1的方程为y ＝－x 0＋1y 0(x ＋1)，① 直线l 2的方程为y ＝－x 0－1y 0(x －1)．②由①②，解得x ＝－x 0，y ＝x 20－1y 0，所以Q ⎝⎛⎭⎫－x 0，x 20－1y 0. 因为点Q 在椭圆E 上，由点P ，Q 的对称性，得x 20－1y 0＝±y 0，即x 20－y 20＝1或x 20＋y 20＝1. 又P 在椭圆E 上，故x 204＋y 23＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－y 20＝1，x 204＋y 203＝1，解得x 0＝477，y 0＝377； 由⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝1，x 204＋y 203＝1，无解． 因此点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫477，377.解后反思 用直线方程解题时，分注意斜率是否存在，必须讨论．若用向量来处理，就没有这些麻烦．请对比上面的解法，体会下面的解法． 设Q (x 1，y 1)．由PF 1⊥QF 1，得F 1P →·F 1Q →＝0， 即(x 0＋1)(x 1＋1)＋y 0y 1＝0. 同理可得(x 0－1)(x 1－1)＋y 0y 1＝0. 两式相减，得x 1＝－x 0，所以x 20－y 0y 1＝1. 以下略．4、（1）（2016年江苏卷） 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．【答案】. 210【解析】因为双曲线方程为x 27－y 23＝1，所以a 2＝7，b 2＝3，从而c ＝7＋3＝10，故焦距为210.（2）（2016年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案：.63解析：由题意得y ＝b 2与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的交点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫±32a ，b2，因为F (c,0)，且∠BFC ＝90°，所以FB →·FC →＝0，即⎝⎛⎭⎫c －32a ⎝⎛⎭⎫c ＋32a ＋b 24＝0，即3c 2＝2a 2，所以e ＝63.5、（1）（2015年江苏卷） 在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________． 答案：22思路分析1 设出点P 的坐标，求出点P 到直线的距离d ，从而将问题转化为求距离d 的取值范围． 解法1 设点P(x ，±x 2－1)(x≥1)，不妨以点P(x ，x 2－1)为例，则点P 到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|x －x 2－1＋1|2，令u ＝x －x 2－1＝1x ＋x 2－1，它在区间[1，＋∞)上单调递减，所以u>0，且当x→＋∞时，u→0，所以d>22，故c max ＝22. 思路分析2 注意到双曲线的图像与它的渐近线无限接近，而直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，因而，点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于两条平行线x －y ＋1＝0与x －y ＝0的距离．解法2 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x±y ＝0，而直线x －y ＋1＝0与x －y ＝0平行，它们之间的距离为d ＝12＝22，又当x→＋∞时，点P 到渐近线x －y ＝0的距离无限接近于0，故点P 到x －y ＋1＝0的距离d′>22，从而c max ＝22. （2）（2015年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1) 求椭圆的标准方程；(2) 过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC ＝2AB ，求直线AB 的方程．规范解答 (1) 由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2) 当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±2(1＋k 2)1＋2k 2，故C 的坐标为2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝22(1＋k 2)1＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而k ≠0，故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k x －2k 21＋2k 2，则P 点的坐标为－2，5k 2＋2k (1＋2k 2)，从而PC ＝2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2).因为PC ＝2AB ，所以2(3k 2＋1)1＋k 2|k |(1＋2k 2)＝42(1＋k 2)1＋2k 2，解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.解后反思 本题考查了解析几何的基本解题策略，即通过联立曲线的方程，通过方程组来研究曲线的性质，体现了江苏高考命题在解析几何中命题的“回归”，由此来突出解析几何的两个研究核心问题：一是研究曲线的方程；二是通过方程来研究曲线的性质．二、近几年高考试卷分析圆锥曲线线分为两个部分椭圆及双曲线和抛物线，从近几年江苏高考中不难看出，考查的形式一是填空题，一个是解答题，在填空题中主要是以圆锥曲线的性质为主，如离心率以及双曲线和抛物线的渐近线、离心率、焦距等问题。

一．基础题组1. 【2005江苏，理6】抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 （ ） （A ）1716 （B ）1516（C ）78 （D ）02. 【2005江苏，理11】点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 （ ） （A ）33 （B ）13 (C)22 （D ）123. 【2006江苏，理17】 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）. （Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程。

4. 【2007江苏，理3】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，一条渐近线的方程为x -2y =0，则它的离心率为 （ ） A. 5 B.25C. 3D. 2 5. 【2007江苏，理15】在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A （－4，0）和C （4，0），顶点B 在椭圆92522y x +=1上，则BC A sin sin sin +＝__________. 6. 【2008江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过20a P c ⎛⎫⎪⎝⎭，作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 .7. 【2010江苏，理6】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22412x y －＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为__________．8. 【2012江苏，理8】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为__________．9. 【2013江苏，理3】双曲线22=1169x y -的两条渐近线的方程为__________． 10. 【2013江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为2222=1x y a b+(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l的距离为d 2.若216d d =，则椭圆C 的离心率为__________．11. 【2014江苏，理17】如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C .（1）若点C 的坐标为41(,)33，且22BF =，求椭圆的方程； （2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.12. 【2016年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是 .13.【2016年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0的右焦点，直线2by = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ，则该椭圆的离心率是 .(第10题) 二．能力题组1. 【2007江苏，理19】如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点C （0，c ）任作一直线，与抛物线y =x 2相交于A 、B 两点.一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线l ：y =-c 交于点P 、Q .（1）若·=2，求c 的值；（5分）（2）若P 为线段AB 的中点，求证：Q A 为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立?说明理出（4分） 2. 【2008江苏，理13】满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值 .3. 【2009江苏，理13】如图，在平面直角坐标系xoy 中，1212,,,A A B B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点，F 为其右焦点，直线12A B 与直线1B F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为 .4. 【2014江苏，理18】如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=. （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？5. 【2015江苏高考，18】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，且右焦点F 到左准线l 的距离为3. （1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于 点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.三．拔高题组1. 【2010江苏，理18】在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆2295x y +＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F .设过点T (t ，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝13，求点T 的坐标； (3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．2. 【2011江苏，理18】如图，在平面直角坐标系xoy 中，M,N 分别是椭圆12422=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P,A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C 。

【2023届新高考必刷】圆锥曲线大题综合1.(2023春·江苏扬州·高三统考开学考试)已知AB 为抛物线G :y 2=2px (p >0)的弦，点C 在抛物线的准线l 上.当AB 过抛物线焦点F 且长度为8时，AB 中点M 到y 轴的距离为3.(1)求抛物线G 的方程；(2)若∠ACB 为直角，求证：直线AB 过定点.【答案】(1)y 2=4x(2)证明见解析【分析】(1)利用抛物线弦长公式，以及中点到y 轴的距离公式，计算出p 即可；(2)先设C -1,c ,A y 214,y 1 ,B y 224,y 2，直线AB 的方程：x =ty +n ，联立方程组，由韦达定理可得y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4n ，又因为∠ACB 为直角可得CA ⋅CB=0，化简求解可得n =1，所以得出直线过定点1,0 .【详解】(1)设A x A ,y A ,B x B ,y B ，则由题意得|AB |=x A +x B +p =8x A +x B 2=3，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x (2)直线AB 过定点1,0 ，证明如下：设C -1,c ,A y 214,y 1 ,B y 224,y 2，直线AB 的方程：x =ty +n ，将x =ty +n 代入y 2=4x 得y 2-4ty -4n =0，则Δ>0，得t 2+n >0，由韦达定理可得y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4n ，所以CA =y 214+1,y 1-c ,CB =y 224+1,y 2-c，因为∠ACB =90∘，所以CA ⋅CB =0，即y 21y 2216+y 21+y 224+1+y 1y 2-c y 1+y 2 +c 2=0，即n 2+4t 2+2n +1-4n -4tc +c 2=0，即(n -1)2+(2t -c )2=0，所以n =1，所以直线AB 过定点1,0 .2.(2023·江苏泰州·统考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点为A ，过左焦点F 的直线与C 交于P ,Q 两点.当PQ ⊥x 轴时，PA =10，△PAQ 的面积为3.(1)求C 的方程；(2)证明：以PQ 为直径的圆经过定点.【答案】(1)x2-y23=1(2)证明见解析【分析】(1)根据题意，可得PF=b2a，b2a2+c-a2=10212⋅2b2a⋅c-a=3c2=a2+b2，进而求解；(2)设PQ方程为x=my-2，P x1,y1,Q x2,y2，联立直线和双曲线方程组，可得3m2-1y2-12my+9 =0，以PQ为直径的圆的方程为x-x1x-x2+y-y1y-y2=0，由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，进而得到x2-x1+x2x+x1x2+y1y2=0，进而求解.【详解】(1)当PQ⊥x轴时，P,Q两点的横坐标均为-c，代入双曲线方程，可得y P=b2a，y Q=-b2a，即PF=b2a，由题意，可得b2a2+c-a2=10212⋅2b2a⋅c-a=3c2=a2+b2，解得a=1，b=3，c=2，∴双曲线C的方程为：x2-y23=1；(2)方法一：设PQ方程为x=my-2，P x1,y1,Q x2,y2，x=my-2 3x2-y2=3⇒3m2y2-4my+4-y2=3⇒3m2-1y2-12my+9=0,以PQ为直径的圆的方程为x-x1x-x2+y-y1y-y2=0，x2-x1+x2x+x1x2+y2-y1+y2y+y1y2=0,由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点，令y=0，可得x2-x1+x2x+x1x2+y1y2=0，而x1+x2=m y1+y2-4=12m23m2-1-4=43m2-1，x1x2=my1-2my2-2=m2y1y2-2m y1+y2+4=-3m2-4 3m2-1，∴x2-43m2-1x+-3m2-43m2-1+93m2-1=0⇒3m2-1x2-4x+5-3m2=0⇒3m2-1x+3m2-5x-1=0对∀m∈R恒成立，∴x=1，∴以PQ为直径的圆经过定点1,0；方法二：设PQ方程为x=my-2,P x1,y1,Q x2,y2，x=my-2 3x2-y2=3⇒3m2-1y2-12my+9=0,由对称性知以PQ为直径的圆必过x轴上的定点.设以PQ 为直径的圆过E t ,0 ，∴EP ⋅EQ=0⇒x 1-t x 2-t +y 1y 2=0⇒x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+y 1y 2=0，而x 1x 2=my 1-2 my 2-2 =m 2y 1y 2-2m y 1+y 2 +4=m 2⋅93m 2-1-2m ⋅12m 3m 2-1+4=-3m 2-43m 2-1，x 1+x 2=m y 1+y 2 -4=12m 23m 2-1-4=43m 2-1∴-3m 2-43m 2-1-4t 3m 2-1+t 2+93m 2-1=0，3m2-1 t 2-4t +5-3m 2=0，即3m 2-1 t +3m 2-5 t -1 =0对∀m ∈R 恒成立，∴t =1，即以PQ 为直径的圆经过定点1,0 .3.(2023秋·浙江绍兴·高三期末)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (-2,0),B (2,0)，直线PA 与直线PB 的斜率之积为-14，记动点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l :y =kx +m 与曲线C 交于M ，N 两点，直线MA ，NB 与y 轴分别交于E ，F 两点，若EO=3OF ，求证：直线l 过定点．【答案】(1)x 24+y 2=1(x ≠±2)(2)证明见解析【分析】(1)设P 点坐标为(x ,y )，由y x +2⋅y x -2=-14可得结果；(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，联立y =kx +m x 24+y 2=1，得x 1+x 2和x 1x 2，再求出E ,F 的坐标，根据EO =3OF得k =m ，从而可得结果.【详解】(1)设P 点坐标为(x ,y )，则y x +2⋅y x -2=-14，即x 24+y 2=1(x ≠±2)，所以曲线C 的方程为x 24+y 2=1(x ≠±2).(2)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，由y =kx +mx 24+y 2=1，消去y 并整理得4k 2+1 x 2+8km x +4m 2-4=0，由Δ=64k 2m 2-4(4k 2+1)(4m 2-4)>0，得4k 2+1>m 2,所以x 1+x 2=-8km 4k 2+1,x 1x 2=4m 2-44k 2+1．MA :y =y 1x 1+2(x +2)⇒E 0,2y 1x 1+2 ，NB :y =y 2x 2-2x -2 ⇒F 0,-2y 2x 2-2 ，因为EO =3OF ，所以-2y 1x 1+2=3⋅-2y 2x 2-2，即y 1(x 2-2)=3y 2(x 1+2)，∴kx 1+m x 2-2 =3kx 2+m x 1+2 ，∴2kx 1x 2+(2k +3m )x 1+x 2 +4(k -m )x 2+8m =0，所以2k ⋅4m 2-44k 2+1+(2k +3m )⋅-8km4k 2+1+4(k -m )x 2+8m =0，所以(k -m )4km -2+4k 2+1 x 2 =0对任意x 2都成立，∴k =m ，故直线l 过定点(-1,0)．4.(2023秋·浙江·高三期末)已知点A 463,233 是双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)上一点，B 与A 关于原点对称，F 是右焦点，∠AFB =π2．(1)求双曲线的方程；(2)已知圆心在y 轴上的圆C 经过点P (-4,0)，与双曲线的右支交于点M ，N ，且直线MN 经过F ，求圆C 的方程．【答案】(1)x 28-y 24=1(2)x 2+(y ±26)2=40【分析】(1)由已知条件列方程求出a ,b ,c ，即可求出双曲线的方程；(2)讨论直线MN 的斜率不存在时不满足题意；当斜率存在时设直线MN 的方程为y =kx +m ，联立双曲线的方程，由韦达定理求出MN 的中点Q 的坐标以及C 的坐标，根据勾股定理有CN 2=CP 2=CQ 2+12MN2，代入解方程即可得出答案.【详解】(1)由已知条件得：463+c ,233 ⋅463-c ,233 =0323a 2-43b 2=1a 2+b 2=c 2⇒a 2=8b 2=4c =23双曲线方程为：x 28-y 24=1．(2)若直线MN 的斜率不存在，则圆C 的圆心不在y 轴上，因此不成立．设直线MN 的方程为y =kx +m ，由y =k (x -23)x 28-y 24=1消元得：2k 2-1 x 2-83k 2x +24k 2+8 =0⇒2k 2-1≠0Δ=32k 2+1 >0x 1+x 2=83k 22k 2-1,y 1+y 2=k x 1+x 2 -43k =83k 32k 2-1-43k =43k2k 2-1∴MN 的中点Q 的坐标为43k 22k 2-1,23k2k 2-1．设C (0,m )，直线CQ :y =-1k x +m ，得C 0,63k2k 2-1，又|MN |=k 2+1⋅82⋅-8k 2+4+12k 28k 2-4 =42k 2+1 2k 2-1，根据勾股定理有CN 2=CP 2=CQ 2+12MN2∴63k 2k 2-1 2+42=43k 22k 2-1 2+23k 2k 2-1-63k 2k 2-1 2 +22k 2+1 2k 2-12．化简得2k 4-5k 2+2=0解得k 2=2或k 2=12(舍)∴C (0,±26)，∴圆C 的方程为x 2+(y ±26)2=40．5.(2023春·广东揭阳·高三校考阶段练习)已知抛物线E :y 2=2px p >0 的焦点为F ，点F 关于直线y =12x +34的对称点恰好在y 轴上．(1)求抛物线E 的标准方程；(2)直线l :y =k x -2 k ≥6 与抛物线E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，若D 6,0 ，求AB CD的最大值．【答案】(1)y 2=4x(2)2915【分析】(1) 由题意得F p 2,0 ，设F 关于直线y =12x +34的对称点为F 0,m ，根据题意列出方程组，解之即可求解；(2)将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式，并求得线段AB 的垂直平分线方程为y -2k =-1k x -2k 2+2k 2 ，进而得到AB CD=22+49t +36t-12，利用函数的单调性即可求解.【详解】(1)由题意得F p 2,0 ，设F 关于直线y =12x +34的对称点为F0,m ，则m -p 2=-2m 2=18p +34 ，解得m =p =2，∴抛物线E 的标准方程为y 2=4x ．(2)由y =k x -2 y 2=4x 可得k 2x 2-4k 2+4 x +4k 2=0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k 2+4k 2，x 1x 2=4，∴AB =1+k 2⋅x 1-x 2 =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅4k 2+4k 22-16=42k 4+3k 2+1k 2，y 1+y 2=k x 1+x 2 -4k =4k ，∴线段AB 的中点坐标为2k 2+2k 2,2k ，则线段AB 的垂直平分线方程为y-2k =-1k x -2k 2+2k 2 ，令y =0，得x =4+2k2，故C 4+2k 2,0 ，又D 6,0 ，得CD =4+2k 2-6=2-2k 2．∴ABCD =22k 4+3k 2+1k 2-1=22+7k 2-1k 4-2k 2+1，令t =7k 2-1k ≥6 ，则k 2=17t +1 ，t ≥41，∴AB CD=22+t 149t +1 2-27t +1+1=22+49t +36t-12，易知函数f t =t +36t在41,+∞ 上单调递增，∴当t =41时，f t 取得最小值，此时k =6，故AB CD的最大值为22+4136-12+1=2915．6.(2023·湖南邵阳·统考二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=10<a 10,b 0 的右顶点为A ，左焦点F -c ,0 到其渐近线bx +ay =0的距离为2，斜率为13的直线l 1交双曲线C 于A ，B 两点，且AB=8103．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点T 6,0 的直线l 2与双曲线C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与直线x =6相交于M ，N 两点，试问：以线段MN 为直径的圆是否过定点?若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)x 29-y 24=1(2)以线段MN 为直径的圆过定点6-23,0 和6+23,0 ．【分析】(1)根据点到直线的距离公式即可求解b =2，进而联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解a =3，(2)联立直线与曲线的方程得韦达定理，根据圆的对称性可判断若有定点则在x 轴上，进而根据垂直关系得向量的坐标运算，即可求解.【详解】(1)∵双曲线C 的左焦点F -c ,0 到双曲线C 的一条渐近线bx +ay =0的距离为d =bca 2+b2=b ，而d =2，∴b =2．∴双曲线C 的方程为x 2a2-y 24=10<a <10 ．依题意直线l 1的方程为y =13x -a ．由x 2a 2-y 24=1,y =13x -a ,消去y 整理得：36-a 2 x 2+2a 3x -a 2a 2+36 =0，依题意：36-a 2≠0，Δ>0，点A ，B 的横坐标分别为x A ,x B ，则x A x B =a 2a 2+36a 2-36．∵x A =a ，∴x B =a a 2+36a 2-36．∴AB =1+132x A -x B =103x A -x B =8103，∴x A -x B =8．即a -a a 2+36a 2-36=8，解得a =3或a =12(舍去)，且a =3时，Δ>0，∴双曲线C 的方程为x 29-y 24=1．(2)依题意直线l 2的斜率不等于0，设直线l 2的方程为x =my +6．由x =my +6,x 29-y 24=1,消去x 整理得：4m 2-9 y 2+48my +108=0，∴4m 2-9≠0，Δ1>0．设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-48m 4m 2-9，y 1y 2=1084m 2-9．直线AP 的方程为y =y 1x 1-3x -3 ，令x =6得：y =3y 1x 1-3，∴M 6,3y 1x 1-3 ．同理可得N 6,3y 2x 2-3．由对称性可知，若以线段MN 为直径的圆过定点，则该定点一定在x 轴上，设该定点为R t ,0 ，则RM =6-t ,3y 1x 1-3 ，RN =6-t ,3y 2x 2-3 ，故RM ⋅RN =6-t 2+9y 1y 2x 1-3 x 2-3 =6-t 2+9y 1y 2my 1+3 my 2+3 =6-t 2+9y 1y 2m 2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=6-t 2+9×1084m 2-9m 2×1084m 2-9-3m ×48m 4m 2-9+9=6-t 2-12=0．解得t =6-23或t =6+23．故以线段MN 为直径的圆过定点6-23,0 和6+23,0 ．【点睛】关键点睛：本题解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算化简求解就可，对计算能力要求较高.7.(2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)定义：一般地，当λ>0且λ≠1时，我们把方程x 2a 2+y 2b 2=λ(a >b >0)表示的椭圆C λ称为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的相似椭圆.(1)如图，已知F 1-3,0 ,F 23,0 ,M 为⊙O :x 2+y 2=4上的动点，延长F 1M 至点N ，使得MN =MF 1 ,F 1N 的垂直平分线与F 2N 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线C ，求C 的方程；(2)在条件(1)下，已知椭圆C λ是椭圆C 的相似椭圆，M 1,N 1是椭圆C λ的左､右顶点.点Q 是C λ上异于四个顶点的任意一点，当λ=e 2(e 为曲线C 的离心率)时，设直线QM 1与椭圆C 交于点A ,B ，直线QN 1与椭圆C 交于点D ,E ，求AB +DE 的值.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)5【分析】(1)由图可知OM 是△F 1NF 2的中位线，由此可得F 2N 长为定值，因为点P 在F 1N 的垂直平分线上，所以PF 1 +PF 2 =PF 2 +PN ，根据椭圆定义求解析式即可；(2)假设出点Q 坐标，表示直线QM 1与直线QN 1的斜率，并找出两斜率关系，最后表示出两直线方程，分别与椭圆C 联立方程，利用弦长公式和韦达定理求出AB +DE 的值.【详解】(1)连接OM ，易知OM ∥12F 2N 且OM =12F 2N ，∴F 2N =4，又点P 在F 1N 的垂直平分线上，∴PF 1 =PN ，∴PF 1 +PF 2 =PF 2 +PN =NF 2 =4>23，满足椭圆定义，∴a =2,c =3,b =1，∴曲线C 的方程为x 24+y 2=1.(2)由(1)知椭圆C 方程为x 24+y 2=1，则离心率e =32⇒λ=34，∴楄圆C λ的标准方程为x 23+4y 23=1，设Q x 0,y 0 为椭圆C λ异于四个顶点的任意一点，直线QM 1,QN 1斜率k QM 1,k QN 1，则k QM1⋅k QN 1=y 0x 0+3⋅y 0x 0-3=y 2x 20-3，又x 203+4y 203=1⇒y 20=143-x 20 ，∴k QM 1⋅k QN 1=-14k QM 1≠±12.设直线QM 1的斜率为k ，则直线QN 1的斜率为-14k.∴直线QM 1为y =k x +3 ，由y =k x +3 ,x 24+y 2=1,得1+4k 2 x 2+83k 2x +12k 2-4=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-83k 21+4k 2,x 1x 2=12k 2-41+4k 2，∴AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=41+k 21+4k 2，同理可得DE =1+16k 21+4k 2，∴AB +DE =41+k 2 1+4k 2+1+16k 21+4k 2=5.8.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)过坐标原点O 作圆C :(x +2)2+y 2=3的两条切线，设切点为P ,Q ，直线PQ 恰为抛物E :y 2=2px ,(p >0)的准线.(1)求抛物线E 的标准方程；(2)设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点A ,B ,M ,N 满足：TA =2TM ,TB =2TN，设AB 中点为D .(i )求直线TD 的斜率；(ii )设△TAB 面积为S ，求S 的最大值.【答案】(1)y 2=2x(2)(i )0；(ii )48【分析】(1)设直线PQ 与x 轴交于P 0-p 2,0 ，由几何性质易得：CP 2=CP 0 ⋅CO ，即可解决；(2)设T x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，(i )中，由于TA 中点M 在抛物线E 上，得y 0+y 12 2=2⋅x 0+x 12，将A x 1,y 1,B x 2,y 2 ，代入联立得D 点纵坐标为y 1+y 22=y 0，即可解决；(ⅱ)由(i )得点D 3y 20-4x 02,y 0，S =12TD ⋅y 1-y 2 =322⋅y 20-2x 03，又点T 在圆C 上，得y 20=-x 20-4x 0-1，可得：S =322⋅-x 0+32+8 3即可解决.【详解】(1)设直线PQ 与x 轴交于P 0-p2,0 .由几何性质易得：△CPP 0与△OCP 相似，所以CP CP 0=CO CP，CP2=CP 0 ⋅CO ，即：3=-p2+2 ⋅2，解得：p =1. 所以抛物线E 的标准方程为：y 2=2x .(2)设T x0,y0,A x1,y1,B x2,y2(i)由题意，TA中点M在抛物线E上，即y0+y122=2⋅x0+x12，又y21=2x1，将x1=y212代入，得：y21-2y0y1+4x0-y20=0，同理：y22-2y0y2+4x0-y20=0，有y1+y2=2y0y1y2=4x0-y20，此时D点纵坐标为y1+y22=y0，所以直线TD的斜率为0.(ⅱ)因为x1+x22=y21+y224=y1+y22-2y1y24=3y20-4x02，所以点D3y20-4x02,y0 ，此时S=12TD⋅y1-y2，TD =3y20-4x02-x0=32y20-2x0，y1-y2=y1+y22-4y1y2=8y20-2x0，所以S=322⋅y20-2x03，又因为点T在圆C上，有x0+22+y20=3，即y20=-x20-4x0-1，代入上式可得：S=322⋅-x20-6x0-13=322⋅-x0+32+83，由-2-3≤x0≤-2+3，所以x0=-3时，S取到最大价322⋅83=48.所以S的最大值为48.9.(2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，M为C的准线l上的一点，直线MF的斜率为-1,△OFM的面积为1．(1)求C的方程；(2)过点F作一条直线l ，交C于A,B两点，试问在l上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y2=4x(2)存在，-1,0或-1,-4【分析】(1)设点M的坐标为-p 2,a，根据直线MF的斜率为-1，得到a=p，再根据△OFM的面积为1求出p，即可得解；(2)假设存在点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方．设直线l 的方程为x=my+1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，N -1,t ，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，又k NF =-t2，k NA+k NB =y 1-t x 1+1+y 2-tx 2+1，化简k NA +k NB ，即可得到方程，求出t 的值，即可得解.【详解】(1)解：由题意知F p 2,0 ，设点M 的坐标为-p2,a ，则直线MF 的斜率为a -0-p 2-p 2=-ap ．因为直线MF 的斜率为-1，所以-ap =-1，即a =p ，所以△OFM 的面积S =12OF a =p 24=1，解得p =2或p =-2(舍去)，故抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)解：假设存在点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方．由(1)得F 1,0 ，抛物线C 的准线l 的方程为x =-1．设直线l 的方程为x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，N -1,t ，联立x =my +1y 2=4x得y 2-4my -4=0，所以Δ=16m 2+16>0，y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4．因为k NF =0-t 1+1=-t 2，k NA +k NB =y 1-t x 1+1+y 2-tx 2+1=2my 1y 2+2-tm y 1+y 2 -4t m 2y 1y 2+2m y 1+y 2 +4=2m ⋅-4 +4m 2-tm -4t -4m 2+2m ⋅4m +4=-4t m 2+14m 2+1 =-t ，所以-t =-t22，解得t =0或t =-4．故存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率之和等于直线NF 斜率的平方，其坐标为-1,0 或-1,-4 ．10.(2023·山东菏泽·统考一模)如图，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点分别为F 1-3,0,F 23,0 ,A 为椭圆C 上一点，△F 1AF 2的面积最大值为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)若B ､D 分别为椭圆C 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于P ､Q (P 在上方，Q 在下方，且均不与B ,D 点重合)两点，直线PB ,QD 的斜率分别为k 1,k 2，且k 2=-3k 1，求△PBQ 面积的最大值.【答案】(1)x 24+y 2=1(2)12【分析】(1)根据条件，得到关于a ,b ,c 的方程，即可得到结果；(2)根据题意设直线PQ 的方程为y =kx +m ，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，再由k 2=-3k 1列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】(1)S ΔF 1AF 2=12⋅23⋅b =3，∴b =1，a =b 2+3=2，故椭圆的方程为x 24+y 2=1；(2)依题意设直线PQ 的方程为y =kx +m ，P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程组y =kx +mx 24+y 2=1，消元得：1+4k 2 x 2+8km x +4m 2-4=0，∴x 1+x 2=-8km 1+4k 2,x 1x 2=4m 2-41+4k2，Δ=64k 2m 2-41+4k 2 4m 2-4 =161+4k 2-m 2 >0，由k 2=-3k 1得：y 2+1x 2=-3⋅y 1-1x 1，两边同除x 1，y 2+1x 1x 2=-3⋅y 1-1x 21=-3⋅y 1-141-y 21 =341+y 1 ，即3x 1x 2-41+y 1 1+y 2 =0；将y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m 代入上式得：3x 1x 2-41+y 1 1+y 2 =3x 1x 2-4kx 1+m +1 kx 2+m +1 =3-4k 2 x 1x 2-4k m +1 x 1+x 2 -4m +1 2=3-4k 2 4m 2-41+4k 2-4k m +1 -8km 1+4k 2 -4m +1 2=0,整理得：m 2-m -2=0所以m =2或m =-1(舍)，S △PQB =12⋅1⋅x 1-x 2 =12x 1+x 2 2-4x 1x 2=12-8km 1+4k 2 2-44m 2-41+4k 2=24k 2-31+4k 2=24k 2-3+44k 2-3≤12,当k =±72时等号成立，满足条件，所以△PQB 面积的最大值为12.11.(2023·福建泉州·统考三模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A ，B ．直线l 与C 相切，且与圆O :x 2+y 2=4交于M ，N 两点，M 在N 的左侧．(1)若|MN |=455，求l 的斜率；(2)记直线AM ,BN 的斜率分别为k 1,k 2，证明：k 1k 2为定值．【答案】(1)k =±12；(2)证明过程见解析.【分析】(1)根据圆弦长公式，结合点到直线距离公式、椭圆切线的性质进行求解即可；(2)根据直线斜率公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】(1)当直线l 不存在斜率时，方程为x =±2，显然与圆也相切，不符合题意，设直线l 的斜率为k ，方程为y =kx +m ，与椭圆方程联立，得x 24+y 23=1y =kx +m⇒(3+4k 2)x 2+8km x +4m 2-12=0，因为直线l 与C 相切，所以有Δ=64k 2m 2-43+4k 2 4m 2-12 =0⇒m 2=4k 2+3，圆O :x 2+y 2=4的圆心坐标为0,0 ，半径为2，圆心0,0 到直线y =kx +m 的距离为mk 2+-12，因为|MN |=455，所以有455=2×4-mk 2+-1 22⇒45=4-4k 2+3k 2+1⇒k =±12；(2)A -2,0 ,B 2,0 ，由x 2+y 2=4y =kx +m ⇒1+k 2 x 2+2km x +m 2-4=0，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,x 1<x 2，则有x 1+x 2=-2km k 2+1,x 1x 2=m 2-4k 2+1=4k 2-1k 2+1，x 1=-km -11+k 2,x 2=-km +11+k 2，k 1k 2=y 1x 1+2⋅y 2x 2-2=kx 1+m kx 2+m x 1x 2-2x 1+2x 2-4=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2x 1x 2-2x 1+2x 2-4，把x 1+x 2=-2km k 2+1,x 1x 2=m 2-4k 2+1=4k 2-1k 2+1，x 1=-km -11+k 2,x 2=-km +11+k 2代入上式，得k 1k 2=k 24k 2-1k 2+1+km -2km k 2+1+m 24k 2-1k 2+1-2⋅-km -1k 2+1+2⋅-km +1k 2+1-4=m 2-4k 2m 2-4-4k2，而m 2=4k 2+3，所以k 1k 2=4k 2+3-4k 24k 2+3-4-4k 2=-3.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系，结合椭圆切线的性质进行求解是解题的关键.12.(2023·江苏南通·统考模拟预测)已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 三个点在椭圆x 22+y 2=1，椭圆外一点P 满足OP =2AO ，BP =2CP，(O 为坐标原点).(1)求x 1x 2+2y 1y 2的值；(2)证明：直线AC 与OB 斜率之积为定值.【答案】(1)12(2)证明见解析【分析】(1)设P x ,y ，根据向量关系用x 1,x 2,y 1,y 2表示x 3,y 3，代入椭圆方程即可求解；(2)用x 1,x 2,y 1,y 2表示x 3,y 3，代入斜率公式即可求解.【详解】(1)设P x ,y ，因为OP =2AO ，所以x ,y =2-x 1,-y 1 解得x =-2x 1y =-2y 1 ，又因为BP =2CP ，所以-2x 1-x 2,-2y 1-y 2 =2-2x 1-x 3,-2y 1-y 3 解得x 3=-x 1+12x 2y 3=-y 1+12y 2，因为点C 在椭圆上，所以-x 1+12x 2 22+-y 1+12y 2 2=1⇒x 212+y 21+14x 222+y 22-12x 1x 2-y 1y 2=1，即x 1x 2+2y 1y 2=12.(2)设直线AC 与OB 斜率分别为k AC ,k OB ，k AC k OB =y 3-y 1x 3-x 1×y 2x 2=-y 1+12y 2-y 1-x 1+12x 2-x 1×y 2x 2=-2y 1y 2+12y 22-2x 1x 2+12x 22=x 1x 2-12+121-12x 22 -2x 1x 2+12x 22=x 1x 2-14x 22-2x 1x 2+12x 22=-12是定值.13.(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)已知抛物线C :y 2=2px p >0 ，过焦点F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且AB =AF ⋅BF .(1)求抛物线C 的方程；(2)若点P 4,4 ，直线PA ，PB 分别交准线l 于M ，N 两点，证明：以线段MN 为直径的圆过定点.【答案】(1)y 2=4x (2)证明见解析【分析】(1)设AB :x =my +p2m ∈R ，联立抛物线方程，由根与系数的关系及抛物线的定义，根据AB =AF ⋅BF 建立方程求出p 得解；(2)由直线方程求出M ,N 的坐标，计算y M ⋅y N =-4，设Q x ,y 是以线段MN 为直径的圆上任意一点，根据MQ ⋅NQ=0化简0=x +1 2+y -y M y -y N ，根据对称性令y =0可得解.【详解】(1)设AB :x =my +p2m ∈R ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则联立y 2=2pxx =my +p 2得y 2-2pmy -p 2=0，所以Δ=4p 2m 2+4p 2>0y 1+y 2=2pm y 1y 2=-p 2，所以x 1+x 2=2m 2+1 px 1x 2=p 24，又AF =x 1+p 2，BF =x 2+p2，所以AB =AF +BF =x 1+x 2+p 由AB =AF ⋅BF 得x 1+x 2+p =x 1+p 2 x 2+p2 ，即x 1+x 2+p =x 1x 2+p 2x 1+x 2 +p 24所以2m 2+1 p +p =p 22m 2+1 p +p 22，化简得m 2+1 p p -2 =0，又p >0，所以p =2，所以抛物线C 的方程为y 2=4x .(2)由(1)知AB :x =my +1m ∈R ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，所以y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4，易得x 1+x 2=4m 2+2，x 1x 2=1，由题意知AP :y -4=y 1-4x 1-4x -4 ，BP :y -4=y 2-4x 2-4x -4 ，所以令x =-1得y M =-5y 1-4 my 1-3+4，y N =-5y 2-4my 2-3+4，即M -1,-5y 1-4 x 1-4+4，N -1,-5y 2-4 x 2-4+4，所以y M ⋅y N =-5y 1-4my 1-3+4-5y 2-4 my 2-3+4=4m -5 y 1+8 4m -5 y 2+8my 1-3 my 2-3=4m -52y 1y 2+84m -5 y 1+y 2 +64m 2y 1y 2-3m y 1+y 2 +9=-44m -5 2+32m 4m -5 +64-4m 2-12m 2+9=64m 2-36-16m 2+9=-4设Q x ,y 是以线段MN 为直径的圆上得任意一点，则有MQ ⋅NQ=0，即0=x +1 2+y -y M y -y N ，由对称性令y =0得0=x +1 2+y M y N =x +1 2-4，所以x =1或x =-3所以以线段MN 为直径的圆经过定点，定点坐标为-3,0 与1,0 .【点睛】关键点点睛：求出M ,N 的点的坐标，计算出y M ⋅y N 为定值-4，是解题的关键之一，其次写出以MN 为直径的圆的方程，根据圆的方程0=x +1 2+y -y M y -y N ，由对称性，令y =0求定点是解题的关键.14.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦距为23，且经过点P -3,12 ．(1)求椭圆E 的标准方程：(2)过椭圆E 的左焦点F 1作直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点(点A 在x 轴上方)，过点A ，B 分别作椭圆的切线，两切线交于点M ，求AB MF 1的最大值．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)2【分析】(1)由待定系数法求解析式；(2)设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解得交点M ，再由弦长公式及两点距离公式表示出AB MF 1，进而讨论最值.【详解】(1)由题意得2c =233a 2+14b 2=1a 2=b 2+c2 ，所以a =2b =1 ，即椭圆方程为x24+y 2=1；(2)当直线l 斜率为0时，A ，B 分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点．故设直线l ：x =ty -3，由x 24+y 2=1x =ty -3，得t 2+4 y 2-23ty -1=0．Δ=16t 2+16>0，y 1+y 2=23t t 2+4，y 1y 2=-1t 2+4.AB =1+t 2y 1-y 2 =1+t 2y 1+y 22-4y 1y 2=1+t212t 2t 2+42+4t 2+4=4t 2+1t 2+4不妨设A x 1,y 1 在x 轴上方，则B x 2,y 2 在x 轴下方．椭圆在x 轴上方对应方程为y =1-x 24，y =-x41-x 24，则A 处切线斜率为-x 141-x 214=-x 14y 1，得切线方程为y -y 1=-x 14y 1x -x 1 ，整理得x 1x4+y 1y =1.同理可得B 处的切线方程为x 2x4+y 2y =1．由x 1x 4+y 1y =1①x 2x 4+y 2y =1②得x M =4y 2-y 1 x 1y 2-x 2y 1=4y 2-y 1 ty 1-3 y 2-ty 2-3 y 1=4y 2-y 1 3y 1-y 2 =-433，代入①得y M =1+33x 1y 1=1+33ty 1-3 y 1=3t 3，所以M -433,3t 3．因为MF 1 =-433+3 2+t 23=1+t 23，所以AB MF 1 =4t 2+1t 2+41+t 23=43t 2+1t 2+4设m =t 2+1≥1，则t 2=m 2-1，则AB MF 1=43m m 2+3=43m +3m≤4323=2，当且仅当m 2=3，即t =±2时，ABMF 1的最大值是2．另解：当直线l 的斜率存在时，设l ：y =k x +3 ，由x 24+y 2=1y =k x +3得1+4k 2 x 2+83k 2x +12k 2-4=0，所以Δ=k 2+1>0，x 1+x 2=-83k 21+4k 2，x 1x 2=12k 2-41+4k 2，AB =1+k 2x 1-x 2 =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+k 2⋅64×3k 21+4k 22-412k 2-41+4k 2=41+k 21+4k 2椭圆在x轴上方的部分方程为y=1-x24，y'=-x41-x24，则过A x1,y1y1>0的切线方程为y-y1=-x14y1x-x1，即x1x4+y1y=x214+y21=1，同理可得过B x2,y2y2<0的切线方程为x2x4+y2y=1.由x1x4+y1y=1x2x4+y2y=1得x M=4y2-y1x1y2-x2y1=4y2-y1y1k-3y2-y2k-3y1=4y2-y13y1-y2=-433设M-43 3,t，则-3x13+ty1=1-3x23+ty2=1 ，所以直线l的方程为-33x+ty=1，所以t=33k.MF1=-433+32+t2=1+k23k2，AB MF1=41+k21+4k2⋅3k21+k2=43k21+k21+4k22令n=1+4k2≥1，则k2=n-14，所以ABMF1=3-3⋅1n2+2⋅1n+1，当1n=-22×-3⇒n=3时，即k=±22时，ABMF1取得最大值，为2．【点睛】直线与圆锥曲线问题，一般设出直线，联立直线与圆锥曲线方程，结合韦达定理表示出所求的内容，进而进行进一步讨论.15.(2023春·江苏常州·高三校联考开学考试)已知点P2,-1在椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，C的长轴长为42，直线l:y=kx+m与C交于A,B两点，直线PA,PB的斜率之积为14.(1)求证：k为定值；(2)若直线l与x轴交于点Q，求QA|2+QB|2的值.【答案】(1)证明见解析(2)10【分析】(1)根据题意求出椭圆方程为:x28+y22=1，将椭圆，及相关直线、点进行平移，将y1x1,y2x2看作方程8n-4X2+8t-4nX-4t+1=0的两不等实根，进而可得n=-2t，代入直线方程化简即可；(2)联立直线与椭圆方程，结合韦达定理得y3+y4=m，y3y4=m2-22，化简QA|2+QB|2=5y3+y42-2y3y4，代入韦达定理即可求解.【详解】(1)由题意知2a=424a2+1b2=1⇒a=22b=2,∴椭圆方程为:x28+y22=1.将椭圆平移至(x +2)28+(y -1)22=1即x 2+4y 2+4x -8y =0，此时P 点平移至P 0,0 ,A ,B 分别平移至A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，设直线A B 方程为tx +ny =1代入椭圆⇒x 2+4y 2+4x -8y tx +ny =0，整理得8n -4 y 2+8t -4n xy -4t +1 x 2=0，两边同除以x 2⇒8n -4 ⋅y x2+8t -4n ⋅y x-4t +1 =0，∴k PA ⋅k PB=k PA ⋅k PB =14⇒y 1x 1⋅y 2x 2=14令y x =X ，则y 1x 1,y 2x 2可看作关于X 的一元二次方程，8n -4 X 2+8t -4n X -4t +1 =0的两不等实根，∴y 1x 1⋅y 2x 2=X 1X 2=-4t +1 8n -4=14,∴4t =-2n ，即n =-2t ，∴直线A B 方程为tx -2ty =1t ≠0 ,∴y =12x -12t，∴A B 的斜率为定值12，即k 的定值12.(2)设A x 3,y 3 ,B x 4,y 4 ，y =12x +m x 2+4y 2=8⇒8y 2-8my +4m 2-8=0，即2y 2-2my +m 2-2=0,Δ>0，故y 3+y 4=m ，y 3y 4=m 2-22，∴QA |2+ QB 2=1+4⋅y 3 2+1+4⋅y 4 2=5y 23+y 24 =5y 3+y 4 2-2y 3y 4=5m 2-2×m 2-22=10，∴QA |2+ QB |2=1016.(2023春·江苏苏州·高三统考开学考试)已知抛物线y 2=a 2x 的焦点也是离心率为32的椭圆x 2a2+y 2b 2=1a >b >0 的一个焦点F ．(1)求抛物线与椭圆的标准方程；(2)设过F 的直线l 交抛物线于A 、B ，交椭圆于C 、D ，且A 在B 左侧，C 在D 左侧，A 在C 左侧．设a =AC ，b =μCD ，c =DB ．①当μ=2时，是否存在直线l ，使得a ，b ，c 成等差数列？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由；②若存在直线l ，使得a ，b ，c 成等差数列，求μ的范围．【答案】(1)抛物线的标准方程是y 2=12x ，椭圆的标准方程为x 212+y 23=1(2)①不存在，理由见解析；②μ∈43-12,+∞【分析】(1)根据相同焦点得到a 24=32a ，解得a =23，得到答案.(2)设l ：x =my +3和各点坐标，联立方程利用韦达定理得到根与系数的关系，计算AB =12m 2+1 ，CD =43m 2+1m 2+4，根据等差数列的性质得到方程，方程无解得到答案；整理得到m 2=3+23μ-123>0，解不等式即可.【详解】(1)抛物线的焦点F a 24,0 ，椭圆的焦点F c ,0 ，由于e =c a =32，即F 32a ,0 ，则有a 24=32a ，因此a =23，c =3，b =a 2-c 2=3，故椭圆的标准方程为x 212+y 23=1，抛物线的标准方程是y 2=12x ．(2)①设l ：x =my +3，m ≠0 ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，将直线与抛物线联立，则有y 2=12xx =my +3 ，y 2-12my -36=0，Δ=144m 2+36×4>0，则y 1+y 2=12m y 1y 2=-36，于是x 1x 2=my 1+3 my 2+3 =m 2y 1y 2+3m y 1+y 2 +9=9，将直线与椭圆联立，则有x 2+4y 2-12=0x =my +3，得到二次方程m 2+4 y 2+6my -3=0，Δ>0，则有y 3+y 4=-6m m 2+4y 3y 4=-3m 2+4，则AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2=1+m 2⋅y 1+y 22-4y 1y 2=12m 2+1 ，CD =x 3-x 42+y 3-y 4 2=1+m 2⋅y 3+y 4 2-4y 3y 4=1+m236m 2m 2+4 2+12m 2+48m 2+42=43m 2+1 m 2+4，AC +DB =AB -CD =12m 2+1 -43m 2+1m 2+4，假设存在直线l ，使得a ，b ，c 成等差数列，即AC +DB =4CD 即有12m 2+1 -43m 2+1 m 2+4=2×2×43m 2+1m 2+4，整理得到12m 2=203-48，方程无解，因此不存在l 满足题设．②只需使得方程12m 2+1 -43m 2+1 m 2+4=2μ×43m 2+1m 2+4有解即可．整理得到m 2=3+23μ-123，故m 2=3+23μ-123>0，解得μ∈43-12,+∞【点睛】关键点睛：本题考查了抛物线和椭圆的标准方程，等差数列性质，直线和抛物线，椭圆的位置关系，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用韦达定理得到根与系数的关系，根据设而不求的思想，可以简化运算，是解题的关键，需要熟练掌握.17.(2023秋·江苏无锡·高三统考期末)已知椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点F 和抛物线C 2:y 2=2px p >0 的焦点重合，且C 1和C 2的一个公共点是23,263．(1)求C 1和C 2的方程；(2)过点F 作直线l 分别交椭圆于A ，B ，交抛物线C 2于P ，Q ，是否存在常数λ，使1AB -λPQ为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1， y 2=4x (2)存在，λ=13【分析】(1)先求出抛物线的方程，进而求出焦点，再根据椭圆的右焦点与其重合，列出方程组求解即可；(2)利用弦长公式分别表示出AB ,PQ ，然后代入1AB -λPQ ，可求出使1AB -λPQ为定值的常数λ.【详解】(1)解：由题意知2632=2p ⋅23⇒p =2，∴y 2=4x ，抛物线焦点1,0 ，∴c =149a 2+83b 2=1a 2=b 2+c2 ⇒a =2b =3 ⇒C 1方程：x 24+y 23=1，C 2方程：y 2=4x ．(2)解：方法一：假设存在这样的l ，设直线l 的方程为：x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，x =my +13x 2+4y 2=12⇒3m 2y 2+2my +1 +4y 2=12，3m 2+4 y 2+6my -9=0．Δ=36m 2+363m 2+4 =144m 2+1 ，∴AB =1+m 2⋅y 1-y 2 =1+m 2⋅144m 2+1 3m 2+4=12m 2+13m 2+4．设P x 3,y 3 ，Q x 4,y 4 ，x =my +1y 2=4x⇒y 2=4my +4，y 2-4my -4=0，Δ=16m 2+16，∴PQ =1+m 2⋅y 3-y 4=1+m 2⋅16m 2+16=4m 2+1 ，∴1AB -λPQ =3m 2+412m 2+1 -λ4m 2+1 =3m 2+4-3λ12m 2+1 为定值．∴312=4-3λ12⇒λ=13，∴存在常数λ=13使1AB -λPQ为定值14．方法二：1AB -λPQ =1-14cos 2θ3-λ1-cos 2θ4对比cos 2θ前系数λ=13．方法三：设l 倾斜角为θ，∴AB =2ab 2a 2-c 2cos 2θ=2×2×34-cos 2θ=124-cos 2θ，PQ =2p sin 2θ=4sin 2θ，∴1AB -λPQ =4-cos 2θ12-λsin 2θ4=4-3λsin 2θ-cos 2θ12为定值，∴3λ=1，λ=13，此时定值为14．18.(2023秋·江苏·高三统考期末)如图，已知椭圆x 24+y 2=1的左､右顶点分别为A ,B ，点C 是椭圆上异于A ,B 的动点，过原点O 平行于AC 的直线与椭圆交于点M ,N ,AC 的中点为点D ，直线OD 与椭圆交于点P ,Q ，点P ,C ,M 在x 轴的上方.(1)当AC =5时，求cos ∠POM ；(2)求PQ ⋅MN 的最大值.【答案】(1)-35(2)10【分析】(1)根据题意求出k AC ⋅k OD =-14，根据AC =5分析出点C 满足的方程，求出点C 坐标，进而求出cos ∠POM ；(2)利用弦长公式求出PQ 和MN ，再利用基本不等式求出最值.【详解】(1)由题知A -2,0 ,设C x 0,y 0 ，则D x 0-22,y 02，则k AC ⋅k OD =y 0x 0+2⋅y 0x 0-2=1-14x 2x 20-4=-14.因为AC =5，所以C 在圆(x +2)2+y 2=5上，又C 在椭圆x 24+y 2=1上，所以C x 0,y 0 满足(x +2)2+y 2=5x 24+y 2=1，所以(x +2)2+1-x 24=5，34x 2+4x =0，所以x 0=0或x 0=-163<-2(舍去)，又C 在x 轴上方，所以C 0,1 ，所以直线AC 的斜率为12，故直线OD 的斜率为-12，所以直线AC 与直线OD 关于y 轴对称.设直线AC 的倾斜角θ，cos ∠POM =cos2π2-θ=-cos2θ=sin 2θ-cos 2θ=sin 2θ-cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ-1tan 2θ+1=-35(2)当直线MN 斜率为k ,k >0，则直线MN :y =kx ，直线PQ :y =-14k x ，M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 满足y =kxx 24+y 2=1，所以4k 2+1 x 2=4,x 2=44k 2+1，所以MN 2=1+k 2 164k 2+1，同理PQ 2=1+116k 2 114k 2+1=416k 2+1 4k 2+1，所以MN 2⋅PQ 2=164k 2+4 16k 2+1 4k 2+1 2≤164k 2+4+16k 2+12 24k 2+1 2=420k 2+5 24k 2+12=100所以MN ⋅PQ ≤10，当且仅当4k 2+4=16k 2+1，即k ≤12时取“=”，所以PQ ⋅MN 的最大值为10.【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．19.(2023·浙江·校联考模拟预测)设双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的右焦点为F 3,0 ，F 到其中一条渐近线的距离为2.(1)求双曲线C 的方程；(2)过F 的直线交曲线C 于A ，B 两点(其中A 在第一象限)，交直线x =53于点M ，(i )求|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |的值；(ii )过M 平行于OA 的直线分别交直线OB 、x 轴于P ，Q ，证明：MP =PQ .【答案】(1)x 25-y 24=1(2)(i )1；(ii )证明见解析【分析】(1)结合点F 到其中一条渐近线的距离为2和a 2+b 2=c 2，即可求得本题答案；(2)(i )设AB 直线方程为x =my +3，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，得y M =-43m，直线方程与双曲线方程联立消x ，然后由韦达定理得y 1+y 2=-24m 4m 2-5，y 1y 2=164m 2-5，把|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |逐步化简，即可求得本题答案；(ii )把QM 和OB 的直线方程分别求出，联立可得到点P 的坐标，由此即可得到本题答案.【详解】(1)因为双曲线其中一条渐近线方程为bx +ay =0，又点F 3,0 到它的距离为2，所以3b b 2+a2=3bc =2，又c =3，得b =2，又因为a 2+b 2=c 2，所以a 2=5，所以双曲线C 的方程为x 25-y 24=1.(2)(2)设AB 直线方程为x =my +3，则y M =-43m，代入双曲线方程整理得：4m 2-5 y 2+24my +16=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-24m 4m 2-5，y 1y 2=164m 2-5，(i )|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |=y 1 ⋅y 2-y M y M -y 1 ⋅y 2 =y 1y 2-y 1y My 2y M -y 2y 1 而y 1y 2-y 1y M -y 2y M -y 2y 1 =2y 1y 2-y M y 1+y 2 =324m 2-5--24m 4m 2-5⋅-43m =0，所以y 1y 2-y 1y M =y 2y M -y 2y 1，，则y 1y 2-y 1y M =y 2y M -y 2y 1 ，所以|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |=1 ；(ii )过M 平行于OA 的直线方程为y +43m =y 1my 1+3x -53，直线OB 方程为y =y 2my 2+3x 与y +43m =y 1my 1+3x -53联立，得y +43m =y 1my 1+3my 2+3y 2y -53，即y 2my 1+3 y +43m my 1+3 y 2=y 1my 2+3 y -53y 1y 2，则3y 2-y 1 y =-3y 1y 2-4my 2，所以y P =-3y 1y 2-4my 23y 2-y 1 ，由y 1+y 2=-24m 4m 2-5，y 1y 2=164m 2-5两式相除得，y 1y 2y 1+y 2=2-3m ，则y 1y 2=-23m y 1+y 2 ，所以y P =-3y 1y 2-4m y 23y 2-y 1 =2m y 1+y 2 -4m y 23y 2-y 1 =2m y 1-y 2 3y 2-y 1 =-23m ，因为y Q =0，所以y P =y M +y Q2，故P 为线段MQ 的中点，所以|MP |=|PQ |.【点睛】关键点点睛：本题第二小题第一问考了|AF |⋅|BM ||AM |⋅|BF |如何用y 1,y 2,y M 表示出来，进而利用韦达定理进行化简求值，考查了学生的转化能力以及对复杂运算的求解能力20.(2023春·浙江绍兴·高三统考开学考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24+y 2=1,B 1,0 .(1)设P 是椭圆C 上的一个动点，求PO ⋅PB的取值范围；(2)设与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ,N 两点，试问：是否存在满足条件的直线l ，使得△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【答案】(1)23,6(2)y =54x -355或y =-54x +355【分析】(1)设点P (x 0,y 0)，将PO ⋅PB转化为坐标表示，求取值范围；(2)设直线方程，与椭圆方程联立，设MN 中点为D ，若△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则BM ⊥BN ，BD ⊥MN ，解出直线方程.【详解】(1)设点P (x 0,y 0)，则x 204+y 20=1，PO ⋅PB =(-x 0,-y 0)⋅(1-x 0,-y 0)=x 0(x 0-1)+y 20=34x 0-23 2+23，因为-2≤x 0≤2，所以当x 0=-2时，PO ⋅PB max =34×-2-23 2+23=6，当x 0=23时，PO ⋅PB min =34×23-23 2+23=23，所以PO ⋅PB ∈23,6 .(2)设直线l ：y =kx +m (k ≠0)，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，y =kx +mx 24+y 2=1，消去y 得，(4k 2+1)x 2+8km x +4m 2-4=0，由题，Δ=64k 2m 2-4(4k 2+1)(4m 2-4)>0，x 1+x 2=-8km 4k 2+1，x 1x 2=4m 2-44k 2+1，y 1+y 2=kx 1+m +kx 2+m =2m 4k 2+1，y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=m 2-4k 24k 2+1，若△MB N 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则BM ⊥BN ， BM ⋅BN=(x 1-1,y 1)⋅(x 2-1,y 2)=x 1x 2-(x 1+x 2)+1+y 1y 2=8km +5m 2-34k 2+1=0，所以8km +5m 2-3=0，①设MN 中点为D ，则D -4km 4k 2+1,m4k 2+1，因为BD ⊥MN ，。

内心是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。

外心是三条边垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。

重心是三条中线的交点，它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

垂心是三条高的交点，它能构成很多直角三角形相似。

（2019年全国一卷理科）19．（12分）已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若，求|AB |．19．解：设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+． （1）由题设得3,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故123||||2AF BF x x +=++，由题设可得1252x x +=． 由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得22912(1)40x t x t +-+=，则1212(1)9t x x -+=-．323AP PB =u u u r u u u r从而12(1)592t --=，得78t =-． 所以l 的方程为3728y x =-． （2）由3AP PB =u u u r u u u r 可得123y y =-． 由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2220y y t -+=． 所以122y y +=．从而2232y y -+=，故211,3y y =-=．代入C 的方程得1213,3x x ==．故||AB =． （2019年全国二卷理科）21．（12分）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值.21．解：（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>． 由22142y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2k y x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k k u k -+=-+-+． 所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =22||2PG k =+，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k ++===++++‖．设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169． 因此，△PQG 面积的最大值为169． （2019年全国三卷理科）21．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点：（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 21．解：（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t +=- . 整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E到直线AB的距离，则12d d ==. 因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t=±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或.（2018年全国三卷理科）20. 已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． （1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）（2）或【解析】分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明。

江苏高考专项系列·圆锥曲线·小题版·真题【2008-2017∙十年高考】填空题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1.（2008江苏）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22a x +22b y =1（a ＞b ＞0）的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过P （ca 2，0）作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 2.（2009江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 1，A 2，B 1，B 2为椭圆22a x +22b y =1（a ＞b ＞0）的四个顶点，F 为其右焦点，直线A 1B 2与直线B 1F 相交于点T ，线段OT 与椭圆的交点M 恰为线段OT 的中点，则该椭圆的离心率为3.（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线42x -122y =1上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离为4.（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线m x 2-422+m y =1的离心率为5，则m 的值为5.（2013江苏）双曲线162x -92y =1的两条渐近线的方程为6.（2013江苏）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为22a x +22b y =1（a ＞0，b ＞0），右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2=6d 1，则椭圆C 的离心率为 7．（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2﹣y 2=1右支上的一个动点，若点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为8．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线72x ﹣32y =1的焦距是9．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 10．（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线32x ﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 , F 2 ,则四边形F 1 P F 2 Q 的面积是【附】【2004-2007年·其他年份考题】选择题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分． 11.（2004江苏）若双曲线82x ﹣22by =1的一条准线与抛物线y 2=8x 的准线重合，则双曲线离心率为（ ） A.2 B.22 C. 4 D.2412.（2005江苏）抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A ．1617B ．1615C ．87D ．013.（2005江苏）点P (-3，1)在椭圆22a x +22b y =1（a ＞b ＞0）的左准线上，过点P 且方向为(2, 5)a =-的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A ．33 B ．31 C ．22 D ．2114.（2007江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为（ ）A B ．25C D ．2 15.（2007江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (-4，0)和C (4，0)，顶点B 在椭圆252x +92y =1上，则B CA sin sin sin +的值为（ ）A.43 B.45 C.85 D.425江苏高考专项系列·圆锥曲线·小题版·参考答案【2008-2017∙十年高考】填空题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1.（2008江苏）【答案】22【解析】设切线P A 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，∴△OAP 是等腰直角三角形。

压轴题09圆锥曲线压轴小题常见题型1、圆锥曲线的定义、方程与几何性质是每年高考必考的内容．一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题；三是抛物线的性质及应用问题．多以选择、填空题的形式考查，难度中等．2、通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的考查，着重考查了数学抽象、数学建模、逻辑推理与数学运算四大核心素养．考向一：阿波罗尼斯圆、蒙日圆与圆锥曲线考向二：离心率考向三：焦半径问题考向四：切线问题考向五：焦点三角形问题1、在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据定义判定轨迹曲线并写出方程．有时还要注意轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．2、应用圆锥曲线的定义时，要注意定义中的限制条件．在椭圆的定义中，要求12>；2a F FF F；在抛物线的定义中，定直线不经过定点．此外，在双曲线的定义中，要求2a<12通过到定点和到定直线的距离之比为定值可将三种曲线统一在一起，称为圆锥曲线．3、圆锥曲线定义的应用主要有：求标准方程，将定义和余弦定理等结合使用，研究焦点三角形的周长、面积，求弦长、最值和离心率等．4、用解析法研究圆锥曲线的几何性质是通过方程进行讨论的，再通过方程来研究圆锥曲线的几何性质．不仅要能由方程研究曲线的几何性质，还要能运用儿何性质解决有关问题，如利用坐标范围构造函数或不等关系等．一、单选题1．（2023·湖南·校联考二模）已知()2,0A ，点P 为直线50x y -+=上的一点，点Q 为圆221x y +=上的一点，则12PQ AQ +的最小值为（）AB．22-CD【答案】D【解析】设()()110,,,M x Q x y ，令12AQ MQ =，则()22211148144233x x x xy --=⇒++=2211112x y x ⇔+=⇒=，则M 1,02⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭12PQ AQ +=PQ MQ +.如图，当,,P Q M 三点共线时，且PM 垂直于直线50x y -+=时，PQ MQ +有最小值，为PM ，即直线50x y -+=到点M4=.故选：D2．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，点,M N 是C 的一条渐近线上的两点，且2MN MO =（O 为坐标原点），12MN F F =.若P 为C 的左顶点，且135MPN ∠=︒，则双曲线C 的离心率为（）A 3B ．2C 5D 7【答案】C【解析】设双曲线的焦距为2(0)c c >，因为2MN MO = ，所以ON MO = ，所以,M N 关于原点对称，所以四边形12MF NF 为平行四边形，又12MN F F =，所以四边形12MF NF 为矩形，因为以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，不妨设,M N 所在的渐近线方程为()00,,by x M x y a=，则()00,N x y --，由222,,b y x a x yc ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得,x a y b =⎧⎨=⎩或,.x a y b =-⎧⎨=-⎩，不妨设()(),,,M a b N a b --，因为P 为双曲线的左顶点，所以(),0P a -，所以,PM PN b ==，又2,135MN c MPN ∠==︒，由余弦定理得222||||||2||||cos135MN MP NP MP NP ︒=+-⋅，即22224()c a a b b =+++2b a =，所以离心率c e a ==.故选：C.3．（2023·河北沧州·统考模拟预测）已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的公共顶点，P 是双曲线上一点，PA ，PB 交椭圆于M ，N .若MN 过椭圆的焦点F ，且tan 3AMB ∠=-，则双曲线的离心率为（）A ．2BC D 【答案】D【解析】如图，设00(,)P x y ，点,,P M A 共线，点,,P B N 共线，所在直线的斜率分别为,PA PB k k，点P 在双曲线上，即2200221x y a b -=，有200200y y b x a x a a ⋅=-+，因此22PA PB b k k a⋅=，点11(,)M x y 在椭圆上，即2211221x y a b +=，有211211y y b x a x a a⋅=--+，直线,MA MB 的斜率,MA MB k k ，有22MA MBb k k a⋅=-，即22PA MBb k k a⋅=-，于是MB PB BN k k k =-=-，即直线MB 与NB 关于x 轴对称，又椭圆也关于x 轴对称，且,M N 过焦点F ，则MN x ⊥轴，令(c,0)F ，由22221x c x y a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2||b y a=，显然222tan a c a ac AMF b b a ++∠==，222tan a c a acBMF b b a--∠==，22222222222tan tan 2tan 31tan tan 1a ac a acAMF BMF a b b AMB a ac a ac AMF BMF b a b b +-+∠+∠∠====-+--∠⋅∠--⋅，解得2213b a =，所以双曲线的离心率233e a ===.故选：D4．（2023·辽宁·校联考二模）已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是双曲线E 上一点，212PF F F ⊥，12F PF ∠的平分线与x 轴交于点Q ，1253PF Q PF Q S S =△△，则双曲线E 的离心率为（）AB ．2CD【答案】B【解析】∵212PF F F ⊥，则122122152132△△PF Q PF QPF F Q S S PF F Q ⋅==⋅，可得1253F Q F Q =，分别在12,PQF PQF 中，由正弦定理可得：12121122sin sin ,sin sin PF PF PQF PQF FQ QPF F Q QPF ∠∠==∠∠∵PQ 平分12F PF ∠，可得12QPF QPF ∠=∠，即12sin sin QPF QPF ∠=∠，且()122sin sin πsin PQF PQF PQF ∠=-∠=∠，故1212sin sin sin sin PQF PQF QPF QPF ∠∠=∠∠，则1212PF PF F Q F Q=，所以112253PF F Q PF F Q==，又∵22b PF a =，则21222b PF PF a a a =+=+，所以22253b aa b a+=，整理得223b a =，故2223c a a -=，得224c a =，即2c a =，所以2ce a==.故选：B.5．（2023·江西宜春·统考一模）已知双曲线221927x y -=的左､右焦点分别为12,F F ，过右焦点2F 的直线l 与双曲线的右支交于,A B 两点，若1212,AF F BF F 的内心分别为,I K ，则12IF F △与12KF F 面积之和的取值范围是（）A ．36,3⎡⎣B ．36,483⎡⎣C ．[)18π,30πD ．[)18π,36π【答案】A 【解析】由双曲线方程得：3a =，33b =226c a b +=，设12AF F △内切圆与三边相切于点,,M N E ，AM AN = ，11F M F E =，22F N F E =，12121226AF AF F M F N F E F E a ∴-=-=-==，又12212F E F E c +==，19F E ∴=，23F E =，设(),0E t ，则6963t t +=⎧⎨-=⎩，解得：3t =，即()3,0E ；同理可知：12KF F 内切圆与x 轴相切于点()3,0E ；22,IF KF 分别为212,AF F BF F ∠∠的角平分线，2121π2IF F KF F ∴∠+∠=，又12IK F F ⊥，2IF E ∴ ∽2F KE ，则22IE EF EF KE=，设1212,AF F KF F 内切圆半径分别为12,r r ，2633EF =-= ，229IE KE EF ∴⋅==，即129r r =，()12121212111962IF F KF F S S F F r r r r ⎛⎫∴+=⋅+=+ ⎪⎝⎭，双曲线的渐近线斜率k =，∴直线l 的倾斜角π2π,33θ⎛⎫∈⎪⎝⎭，()2211π22IF E AF E θ∴∠=∠=-，则2ππ,63IF E ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，122tan 3IE r IF E F E∴∠==∈⎝，解得：1r ∈，又119r r +在)上单调递减，在(上单调递增，当1r =119r r +=1r =时，119r r +=；当13r =时，1196r r +=；1196,r r ⎡∴+∈⎣，1212119636,IF F KF F S S r r ⎛⎫⎡∴+=+∈ ⎪⎣⎝⎭.故选：A.6．（2023·江西吉安·统考一模）椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的内接四边形ABCD 的对角线,AC BD 交于点()1,1P ，满足2AP PC = ，2BP PD = ，若直线AB 的斜率为14-，则椭圆的离心率等于（）A ．14BC ．12D ．13【答案】B【解析】设点()()()1122,,,,,A x y B x y C x y ，()1,1P ，且2AP PC =，可得()()111,121,1x y x y --=--，即()()11121121x x y y ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，解得1133,22x y C --⎛⎫⎪⎝⎭，由,A C 两点在椭圆E 上，有()()()()22112222112211331244x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩，()()124-⨯得：()()11223233233x y ab--+=-，即2222221122330b x a y a b a b ++--=，同理可得2222222222330b x a y a b a b ++--=，因此，直线AB 的方程为22222222330b x a y a b a b ++--=，从而直线AB 的斜率为2214b a -=-，由222131144b e a =-=-=，可得e =故选：B7．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且斜率为()0k k ≠的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D .若AB ≥，则双曲线的离心率取值范围是（）A．⎛ ⎝⎦B．(C．)+∞D．⎫+∞⎪⎪⎣⎭【答案】A【解析】设双曲线的右焦点为()()()1122,0,,,,F c A x y B x y ，则直线():l y k x c =-，联立方程()22221x y a b y k x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得：()()222222222220b a k x a k cx a k c b -+-+=，则可得()222222222121222222220,0,,a k c b a k cb a k x x x x b a k b a k+-≠∆>+=-=---，则()2222221ab k AB b k a +==-，设线段AB 的中点()00,M x y ，则()2222212000222222222,2x x a k c a k c b kcx y k x c k c b a k b a k b a k ⎛⎫+==-=-=--=- ⎪---⎝⎭，即222222222,a k c b kc M b a k b a k ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭，且0k ≠，线段AB 的中垂线的斜率为1k-，则线段AB 的中垂线所在直线方程为2222222221b kc a k c y x b a k k b a k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭，令0y =，则2222222221b kc a k c x b a k k b a k ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭，解得23222k c x b a k =--，即23222,0k c D b a k ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，则()22232222221b c k k c DF c b a k b a k +=--=--，由题意可得：AB ≥，即()()2222222222121ab k b a k c k b a k +≥-+-，整理得2a ，则c e a=注意到双曲线的离心率1e >，∴双曲线的离心率取值范围是⎛ ⎝⎦.故选：A.8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数a ，b 满足22122a b a b ++=+，则()2341a b +-的最小值是（）A ．1B ．2C ．4D ．16【答案】A 【解析】依题意可知曲线(),0f a b =表示一个以()1,1为圆心，1为半径的圆，求()2341a b +-的最小值相当于先求341a b d +-==的最小值，即求圆()()22111a b -+-=上一点到直线3410x y +-=的距离d 的最小值，所以min 314111155d ⨯+⨯-=-=，即()2341a b +-的最小值为1．故选：A ．9．（2023·全国·模拟预测）已知O 为坐标原点，椭圆22:142x y C +=上两点A ，B 满足12OA OB k k ⋅=-．若椭圆C 上一点M 满足OM OA OB λμ=+ ，则λμ+的最大值为（）A ．1BCD ．2【答案】B【解析】设()()001122(,),,,,M x y A x y B x y ，则220022112222142142142x y x y x y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩，由OM OA OB λμ=+ ，得01212x x x y y y λμλμ=+⎧⎨=+⎩，222222222200121211221212()()()()424242422x y x x y y x y x y x x y y λμλμλμλμλμ+++=++++++221212()2x xy y λμλμ=+++，由12OA OBk k ⋅=-，得121212y y x x =-，即121202x x y y +=，又2200142x y +=，因此221λμ+=，而2222()()2()2λμλμλμ++-=+=，于是||λμλμ+≤+≤λμ==“＝”，所以λμ+.故选：B10．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点2F 与抛物线()22:20C y px p =>的焦点重合，点P 为1C 与2C 的一个交点，若△12PF F 的内切圆圆心的横坐标为4，2C 的准线与1C 交于A ，B 两点，且92AB =，则1C 的离心率为（）A ．94B ．54C ．95D ．74【答案】B【解析】由题设12(,0),(,0)F c F c -，又点2F 与抛物线的焦点重合，即02pc =>，由()22222221c y a ba b c ⎧-⎪-=⎨⎪+=⎩，则2b y a =±，故2292b AB a ==，即249b a =，如下图示，内切圆与△12PF F 各边的切点为,,D E K，所以1122,,PD PE DF KF EF KF ===，又12||||2PF PF a -=，则121212()()2PD DF PE EF DF EF KF KF a+-+=-=-=，所以K 为双曲线右顶点，又△12PF F 的内切圆圆心的横坐标为4，即4a =，故29b =，则5c =，所以离心率为54c e a ==.故选：B11．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知直线l 与椭圆221:12x C y +=相切于点P ，与圆222:4C x y +=交于A ，B 两点，圆2C 在点A ，B 处的切线交于点Q ，O 为坐标原点，则OPQ △的面积的最大值为（）A ．22B ．1C D ．2【答案】A【解析】设()00,P x y ，(,)Q m n ，由AQ AO ⊥，BQ BO ⊥，可得四点Q ，A ，O ，B 共圆，可得以OQ 为直径的圆，方程为2222((224m n m n x y +-+-=，联立圆222:4C x y +=，相减可得AB 的方程为40mx ny +-=，又AB 与椭圆相切，若AB 不与x 轴垂直时，当0y >时，2212x y +=可化为y =，设y '=P 的切线方程为00000)()2x y y x x x x y -=--=-，即220000122x x x y y y +=+=，同理可得0y >时，在P 的切线方程为0012x x y y +=，若AB x ⊥轴时，在点()P 处的切线方程为x =0012x xy y +=故过P 的切线方程为0012x xy y +=，即为002440x x y y +-=，由两直线重合的条件可得02m x =，04n y =，由于P 在椭圆上，可设0x α，0sin y α=，02απ≤<，即有m α=，4sin n α=，可得22004cos 4sin 4OP OQ mx ny αα⋅=+=+=uu u r uuu r，且||OP ||OQ =即有1sin ,2OPQ S OP OQ OP OQ =△==22α==≤，当sin 21α=±即π4α=或3π4或5π4或7π4时，OPQ S ．故选：A ．12．（2023·全国·模拟预测）中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它身上所显示的情致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为一个大正方形（内部是16个全等的边长为1的小正方形）和凸出的16个半圆所组成，如图，点A 是大正方形的一条边的四等分点，点C 是大正方形的一个顶点，点B 是凸出的16个半圆上的任意一点，则AC AB ⋅的最大值为（）A ．333172+B ．332172+C ．332D ．9172【答案】C【解析】AC AB ⋅ 等于AB 在AC 上的投影向量与AC 的数量积，因此当AB在AC 上的投影向量与AC同向，且投影向量的模最大时，AC AB ⋅取到最大值，此时点B 在以点C 为半圆弧端点且在AC 上方的半圆上，以大正方形的相邻两边分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系xOy ，如图，(0,1),(4,0)A C，则直线AC 的方程为14x y +=，以点C 为半圆弧端点且在AC 上方的半圆圆心为1(4,)2M ，半圆M 的方程为22119(4)()(4)242x y x -+-=≤≤，显然半圆M 在点B 处切线l 垂直于直线AC 时，AC AB ⋅取得最大值，设切线l 的方程为40x y b -+=1|16|122b -+=，而点M 在切线l的左上方，解得b =，即切线l：40x y -=，由4014x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此切线l 与直线AC 的交点2(1733)117(,)1734D +-，此时33171734AD =，又AC =，所以AC AB ⋅的最大值为3317173317342=.故选：C13．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）设双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的右焦点为F ，()0,3M b ，若直线l 与E 的右支交于A ，B 两点，且F 为MAB △的重心，则直线l 斜率的取值范围为（）A．)3∞⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭B．)⋃+∞⎝C．(,∞⎛-⋃- ⎝⎭D．(,∞⎛-⋃- ⎝⎭【答案】C【解析】设D 为AB 的中点，根据重心性质可得2MF FD =，因为()(),0,0,3F c M b ，则33,22c b D ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为直线l 与E 的右支交于,A B 两点，所以点D 在双曲线右支内部，故有222299441c b a b ->，解得c a >，当直线l 斜率不存在时，AB 的中点D 在x 轴上，故,,M F D 三点不共线，不符合题意舍，设直线l 斜率为AB k ，设()()1122,,,A x y B x y ，所以123x x c +=，123y y b +=-，因为,A B 在双曲线上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减可得：2222121222x x y a b y =--，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=，即有()()12122233c x x b y y a b --=-成立，即有2AB bck a =-，因为,,,M F A B 不共线，即23AB MF bc b k k a c=-≠=-，即223c a ≠，即e ≠，所以E 的离心率的取值范围为)∞⎫⋃+⎪⎪⎝⎭，因为2ABbc k a =-===-因为)3e ∈+∞⎝，即()213,33,9e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，所以()221152,66,2481e ⎛⎫⎛⎫--∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以(,ABk ⎛⎫=∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C14．（2023·重庆·统考模拟预测）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，右顶点为A ，点Q 在y 轴上，点P 在椭圆上，且满足PQ y ⊥轴，四边形1F APQ 是等腰梯形，直线1F P 与y 轴交于点N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）．A ．14B 3C 2D ．12【答案】D【解析】由题意，做PM x ⊥轴于点M ，因为四边形1F APQ 是等腰梯形，则1FO AM c ==，OM a c =-则点P 的横坐标为P x a c =-，代入椭圆方程()2222:10x yC a b a b+=>>，可得22p b y ac c a =-，即22bPM ac c a-因为34N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则3ON =，由11F NO F PM ，则121342F O ON cb F M PM a ac c a=⇒=-，化简可得，434332160a ac c -+=，同时除4a 可得，43163230e e -+=即()()3221812630e e e e ----=，对于()3281263f e e e e =---当1e =时，()1130f =-<，当2e =时，()210f =>，在()1,2e ∈时，方程()()3221812630e e e e ----=有根，且()0,1e ∈，故应舍，所以12e =.故选:D二、多选题15．（2023·湖南·校联考二模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F A 、B 两点（A 在第一象限），1AB BF =，P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．122AF AF =B ．双曲线C 的离心率为2C ．12AF F △D ．直线OP 的斜率为7【答案】AD【解析】如下图所示：对于A 选项，因为1AB BF =，所以，22122AF AB BF BF BF a =-=-=，由双曲线的定义可得12122AF AF AF a a -=-=，所以，1242AF a AF ==，A 对；对于B 选项，设直线AB 设直线AB 的倾斜角为α，则α为锐角且tan α=由22sin tan cos sin cos 1cos 0αααααα⎧==⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩可得cos α=()21cos cos πcos 4AF F αα∠=-=-=-，在12AF F △中，由余弦定理得2222222121212124416cos 284AF F F AF a c a AF F AF F F ac +-+-∠===-⋅，即22260c a -=，等式22260c a -=两边同时除以2a可得2260e +-=，因为1e >，解得e B 错；对于C选项，因为21cos AF F ∠=21AF F ∠为钝角，所以，21sin 4AF F ∠=，1222122111sin 2222244AF F S AF F F AF F a c a =⋅∠=⨯⨯⨯=⨯=△，C 错；对于D 选项，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1212,22x x y y P ++⎛⎫⎝⎭，可得121212120202OPy y y y k x x x x +-+==++-，因为c =，则b a ，由22112222222211x y a b x y a b⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得22221212220x x y y a b ---=，所以，2221212122221212121AB OP OP y y y y y yb k k x x x x x x a --+=⋅====--+，则OP k =，则直线OP，D 正确．故选：AD ．16．（2023·浙江宁波·统考二模）三支不同的曲线()|1|0,1,2,3i i y a x a i =⋅->=交抛物线24y x =于点,(1,2,3)i i A B i =，F 为抛物线的焦点，记i i A FB △的面积为i S ，下列说法正确的是（）A ．11(1,2,3)i i i FA FB +=为定值B ．112233////A B A B A B C ．若1232S S S +=，则1232a a a +=D ．若2123S S S =，则2123a a a =【答案】AD【解析】如图，设直线()1i y a x =-与抛物线24y x =的交于点,i i C B ，则i A 与i C 关于x 轴对称，设()()1122,,,i i A x y B x y -，则()11,i C x y ，联立()214i y a x y x ⎧=-⎨=⎩，消x 得2440i y y a --=，则12124,4iy y y y a +==-，又()1i y a x =-，则()()()()212121212411,114i i i iy y a x a x y y a x x a +=-+-==--=-，则21212224,1i i a x x x x a ++==，对于A ，()1,0F ，2212212121221111124221241111i i ii i i FA FB x x a a x x a x x x x a ++++++++++=+===+++，故A 正确；对于B ，212122212121444i i A B y y y y k y y x x y y ++===---因为i a 不是定值，所以i iA B k 不是定值，故B 错误；对于C ，设直线()1i y a x =-的倾斜角为i θ，则tan i i a θ=，则22222sin cos 2tan 2sin 2cos sin 1tan 1i i i ii i i i i a a θθθθθθθ===+++，所以()()122211sin 211221i i i i i i a S A F B F x x a θ==++⋅+()2121222222414111211i i i i i i ia a a x x x x a a a a ⎛⎫+=+++⋅=++= ⎪++⎝⎭，又因1232S S S +=，所以123448a a a +=，所以()1232a a a +=，故C 错误；对于D ，因为2123S S S =，所以21234416a a a ⋅=，所以2123a a a =，故D 正确.故选：AD.17．（2023·全国·校联考三模）已知直线:l y kx m =+与椭圆22:134x y C +=交于,A B 两点，点F 为椭圆C 的下焦点，则下列结论正确的是（）A ．当1m =时，k ∃∈R ，使得3FA FB +=B ．当1m =时，k ∀∈R ，2FA FB +>C ．当1k=时，m ∃∈R ，使得4FA FB +=D ．当1k =时，m ∀∈R ，65FA FB +>【答案】BC【解析】在椭圆C 中，2a =，b =1c =，由题意可得()0,1F -，上焦点记为()01F ,'，对于A 选项，设点()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214312y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得()2234690k x kx ++-=，()()22236363414410k k k ∆=++=+>，由韦达定理可得122634kx x k +=-+，122934x x k =-+，()2212134k AB k +==+[)2443,434k =-∈+，所以，(]484,5FA FB a AB AB +=-=-∈，选项A 错；对于B 选项，设线段AB 的中点为(),M x y ，由题意可得22112222134134x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得22221212034x x y y --+=，因为直线AB 的斜率存在，则12x x ≠，所以，121212122423y y y y y k x x x x x -+⋅=⋅=--+，整理可得43ky x =-，又因为1y kx =+，消去k 可得224330x y y +-=，其中0y >，所以，()()()()11221212,1,1,22,22FA FB x y x y x x y y x y +=+++=+++=+，所以，FA FB +=2=>，选项B 对；对于C 选项，当1k =时，直线l 的方程为y x m =+，即x y m =-，联立224312x y mx y =-⎧⎨+=⎩可得22784120y my m -+-=，()()2226428412162130m m m ∆=--=->，解得m <<由韦达定理可得1287m y y +=，2124127m y y -=，112222y y FA =+=+ ，同理222y FB =+，所以，124444,427y y m FA FB ⎛⎫++=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，因为544277⎛∈-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以，当1k =时，m ∃∈R ，使得52FA FB += ，选项C 对；对于D 选项，设线段AB 的中点为(),M x y ，由B 选项可知，121212122423y y y y y x x x x x -+⋅==--+，即43y x =-，即430x y +=，由22434312y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩可得x =M的横坐标的取值范围是77⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，而点F 到直线430x y +=的距离为35d =，由430314x y y x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩可得1225x ⎛=∈- ⎝⎭，当且仅当点1216,2525M ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，FA FB + 取最小值65，选项D 错.故选：BC.18．（2023·云南·统考二模）已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过F 作直线l与抛物线C 交于A 、B 两点，分别以A 、B 为切点作抛物线C 的切线，两切线交于点T ，设线段AB 的中点为M ．若点T 的坐标为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则（）A ．点M 的横坐标为2B ．点M 的纵坐标为3C ．直线l 的斜率等于2D ．5TM =【答案】ACD【解析】抛物线C ：()220x py p =>，直线AB ：y kx b =+，2p b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设()()1122:,,:,A x y B x y 显然当12x x =时，根据对称性易得T 点位于x 轴上，不合题意，故12x x ≠，且均大于0，22p x xy y p '=⇒=，1AT k p x =，11:()x AT y y x x P-=-，整理：211111()2p y y x x x x x py -=--=，得：()11:AT p y y x x +=⋅，①同理()22:BT p y y x x +=⋅，②①-②：1212()()p y y x x x -=-，1212,T y y x ppk x x -==-1122:y y x y y x +=+①②()()()1221211221121212,kx b x kx b x b x x y x y x y b x x x x x x +-+--⇒====----又因为直线y kx b =+，2pb =，由此知：1122p =故22x y =；因为22x y =，所以y x'=设交点1122(,),(,)A x y B x y ，过点A 的切线斜率为11k x =，所以切线方程为111()y y x x x -=-，整理得1112y y x x y -=-，即11y x x y =-，同理，过点B 的切线的方程为22y x x y =-，又点T 在直线上，代入得AB 直线方程：12,2y x =+故选项C 正确；由21222y x x y⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y 整理得2410x x --=，因为直线与抛物线相交，设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,1,x x x x +==-，故点M 的横坐标()1212,2x x x =+=故A 正确，因为点M 的横坐标()1212,2x x x =+=所以1922,22y =⨯+=5TM ==，故选项B 错误，D 正确；故选：ACD19．（2023·浙江杭州·统考一模）设F 为抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 交于()()1122,,A x y B x y 两点，过B 作与x 轴平行的直线，和过点F 且与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，则（）A ．1212x x y y +为定值B ．当直线l 的斜率为1时，OAB (其中O 为坐标原点)C ．若Q 为C 的准线上任意一点，则直线QA ，QF ，QB 的斜率成等差数列D ．点M 到直线FN 的距离为2p 【答案】ACD【解析】A.,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线l 的方程为2p ty x =-，联立222y px p ty x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，化为2220y pty p --=，212y y p ∴=-，122y y pt +=，22412124()p x x y y p == ，2124p x x ∴=，2121234x x y y p ∴+=-为定值，因此A 正确．B.当直线l 的斜率为1时，直线l 的方程为2p y x =-，代入椭圆方程可得：22304p x px -+=，123x x p ∴+=，124AB x x p p ∴=++=，点O 到直线l的距离24pd =，OAB ∴的面积为214242p p ⨯=，因此B 不正确．C.设,2p Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则22QF m mk p p p ==---，112211222QA y m py pm k p y p x --==+⎛⎫-- ⎪⎝⎭，222222QB py pm k y p -=+，12222212222222QF QA QB py pm py pm m k k k p y p y p --∴--=--++，通分后分子()()()()()()222222221212212m y p y p p py pm y p p py pm y p ⎡⎤=-+++-++-+⎣⎦，()()()()2224222222222212121212122212m y y mp y y mp p y y y p my mp p y y y p my mp ⎡⎤=-+++++--++--⎢⎥⎣⎦()()2224121222[m y y mp y y mp =-+++()()()242224121212122]p y y y y p y y mp y y mp ++-+-++，()()()1224412122122m y y p y y y y p y y mp ⎡⎤++⎢⎥+-⎣-+⎦=，()()()()2222442202pt pt m p p p p mp =+⎡⎤---+⎢-=⎥⎣⎦即2QF QA QB k k k --0=，则直线QA ，QF ，QB 的斜率成等差数列，因此C 正确．D.如图所示，过点M 作MH FN ⊥，垂足为H ，12AM y MNy =-，122AN y y MN y -∴=-，又AN AF MN MH =，122AF y y MH y -∴=-，22121221212121222222y p py p y p y y x p p p MH y y y y y y ⎛⎫-⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴====---，因此D 正确．故选：ACD ．20．（2023·安徽滁州·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，△OAB 为等腰三角形，顶角OAB θ∠=，点()3,0D 为AB 的中点，记△OAB 的面积()S f θ=，则（）A ．()18sin 54cos f θθθ=-B ．S 的最大值为6C ．AB 的最大值为6D ．点B 的轨迹方程是()22400x y x y +-=≠【答案】ABD【解析】由OAB θ∠=，OA AB =，()3,0D 为AB 的中点，若(,)A x y 且0y ≠，则(6,)B x y --，故222222(62)(2)4(3)4x y x y x y +=-+-=-+，整理得：22(4)4x y -+=，则A 轨迹是圆心为(4,0)，半径为2的圆（去掉与x 轴交点），如下图，由圆的对称性，不妨令A 在轨迹圆的上半部分，即02A y <≤，令22OA AB AD a ===，则222||||2cos OD OA AD OA AD θ=+-，所以2254cos 9a a θ-=，则2954cos a θ=-，所以2118sin sin 2sin 254cos OAB OAD OBD S S S OA AB a θθθθ=+===- ，A 正确；由113(0,6]22OAB OAD OBD A B A S S S y OD y OD y =+=⋅+⋅=∈ ，则S 的最大值为6，B 正确；由下图知：(2,6)OA AB =∈，所以AB 无最大值，C 错误；令(,)B m n ，则60A A x my n =-⎧⎨=-≠⎩代入A 轨迹得22(2)4m n -+=，即2240m m n -+=，所以B 轨迹为2240x x y -+=且0y ≠，D 正确；故选：ABD21．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知()11,P x y ，()22,Q x y 是椭圆229144x y +=上两个不同点，且满足121292x x y y +=-，则下列说法正确的是（）A ．1122233233x y x y +-++-的最大值为65+B ．1122233233x y x y +-++-的最小值为35-C ．11223535x y x y -++-+的最大值为21025+D ．11223535x y x y -++-+的最小值为1022-【答案】AD【解析】由229144x y +=，可得2294x y +=，又()11,P x y ，()22,Q x y 是椭圆2294x y +=上两个不同点,可得2222112294,94x y x y +=+=，设,3x m y n ==，则224m n +=，设1122(,),(,)C m n D m n ,O 为坐标原点，可得11(,)OC m n =，22(,)OD m n = ,可得222211224,4m n m n +=+=，且12122m m n n +=-，所以2OC OD ⋅=-，1cos ,2OC OD OC OD OC OD⋅==-⋅，又[],0,πOC OD ∈ ，可得C D 、两点均在圆224m n +=的圆上，且2π3COD ∠=，设CD 的中点为E ，则π2cos 13OE ==,点C D 、两点到直线230x y +-=的距离12d d 、之和，设E 到直线230x y +-=的距离3d ，由题可知圆心到直线230x y +-=的距离为=，则12322(2(12d d d EO =≤==+1232)1)2d d d EO =≥==+可得12d d +的最大值为2+12d d +2；可得112212233233)x y x y d d +-++-+，可得1122233233x y x y +-++-的最大值为(26=，最小值为6-，故A 正确，B 错误；C D 、两点到直线50x y -+=的距离45d d 、之和，设E 到直线50x y -+=的距离6d ，由题可知圆心到直线50x y -+==则45621)2d d d =≤=+，45621)2d d d =≥-=-+，可得1122453535)x y x y d d -++-+=+，可得1122233233x y x y +-++-的最大值为10+10-C 错误，D 正确.故选：AD.三、填空题22．（2023·浙江·统考二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F .若1F 关于直线2y x =的对称点P 恰好在C 上，且直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，则12cos FQF ∠=__________.【答案】1213【解析】设1(,0)F c -关于直线2y x =的对称点11(,)P x y ，由111121222y x c y x c ⎧⋅=-⎪+⎪⎨-⎪=⋅⎪⎩，得34(,)55c c P -，可知1PF =，2PF =，又知122F F c =，所以2221212PF PF F F +=，则12F PF ∠为直角，由题意，点P 恰好在C 上，根据椭圆定义122PF PF a +=，得a =，122QF QF a +=，设1QF m =，则225QF a m c m =-=-，在直角三角形2QPF △中，222())()m m +=-，解得25m c =，从而225QF =，25QP =，所以22112cos 13F QP QF F Q ∠==.故答案为：121323．（2023·山东枣庄·统考二模）已知点()1,2A 在抛物线22y px =上，过点A 作圆()2222x y -+=的两条切线分别交抛物线于B ，C 两点，则直线BC 的方程为____________．【答案】330x y ++=【解析】因为点()1,2A 在抛物线22y px =上，则2221p =⨯，解得2p =，即抛物线方程为24y x =，显然过点A 作圆()2222x y -+=的两条切线斜率存在，设此切线方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，，解得1222k k ==-221212(,),()44y y B y C y ，不妨令直线,AB AC 的斜率分别为12,k k，于是1211242214y y y -==++-，12y =，同理22y =，直线BC 的斜率122212124414432244y y k y y y y -====-+---，而点,B ，直线BC的方程为1(3y x +=-，即330x y ++=.故答案为：330x y ++=24．（2023·陕西商洛·统考二模）已知椭圆22:143x y C +=，()12,0A -，()11,0F -，斜率为(0)k k ≠的直线与C交于P ，Q 两点，若直线1A P 与1AQ 的斜率之积为14-，且1PFQ ∠为钝角，则k 的取值范围为_______．【答案】3737,00,77⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】设:PQ l y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，联立方程组22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2223484120k x kmx m +++-=，由0∆>，即22430k m -+>，所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，122634m y y k +=+，2212231234m k y y k -=+，所以()()1122122212312122416164A P A Qy y m k k k x x m km k -⋅===-++-+，解得2m k =（舍去）或m k =-．由1PFQ ∠为钝角，得110F РFQ ⋅<，即()()11221212121,1,10x y x y x x x x y y +⋅+=++++<，所以2222222241289791034343434k k k k k k k k---+++=<++++，解得k <因为0k ≠，所以0,77k ⎛⎫⎛∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：,00,77⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭．25．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线右支上的一点，Q 为12F F P 的内心，且12234QF QF PQ +=，则M 的离心率为______．【答案】4【解析】如图所示，在焦点三角形中，处长PQ 交12F F 于点A ，因为Q 为12F F P 的内心，所以有111122=,=PF PQ PF AF AF QA PF AF ，()()1111111111PF PF PQ QA PQ QF F A AF PQ PF QF F AAF AF =⋅⇒=⋅+⇒⋅=⋅+ 11111111111212AF AF PQ PF QF PF F A AF PQ PF QF PF F F F F ⎛⎫⇒⋅=⋅+⋅⇒⋅=⋅+⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ()111111212AF AF PQ PF QF PF FQ QF F F ⇒⋅=⋅+⋅⋅+()11211211112AF F F PQ PF F F QF PF AF F Q QF ⇒⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+1121121111112AF F F PQ PF F F QF PF AF F Q PF AF QF ⇒⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅112121112AF F F PQ PF AF QF PF AF QF ⇒⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅12121121PF AF F F PQ QF PF QF AF ⋅⇒⋅=⋅+⋅12121121PF PF F F PQ QF PF QF PF ⋅⇒⋅=⋅+⋅122112F F PQ PF QF PF QF ⇒⋅=⋅+⋅，因为12234QF QF PQ += ，所以有12124,3,2F F k PF k PF k ===，因此M 的离心率为1212242F F c ca a PF PF ===-，故答案为：426．（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为e ，点P 在椭圆上，连接1PF 并延长交C 于点Q ，连接2QF ，若存在点P使2PQ QF =成立，则2e 的取值范围为___________.【答案】)8211,1⎡-⎣【解析】设11,QF m PF n ==，则22QF a m =-.显然当P 靠近右顶点时，2PQ QF >，所以存在点P 使2PQ QF =等价于()22min0,22PQ QF PQ QF m n a -≤-=+-，在12PF F △中由余弦定理得22221121122cos PF PF F F PF F F θ=+-⋅⋅，即()2222422cos a n n c n c θ-=+-⋅⋅，解得2cos b n a c θ=-，同理可得2cos b m a c θ=+，所以2112a m n b +=，所以()(222322112223222b b b n m m n m n a m n a m n a +⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22min(21)(22)22b m n a a a+-=-，当且仅当2n m =时等号成立.由221)202b a a-≤得2212b a ≤-，所以2111e -≤<.故答案为：)11,1⎡⎣27．（2023·全国·东北师大附中校联考模拟预测）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，过点F 且斜率为2的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于M ､N 两点，若P 是线段MN的中点，且5PF c =，则双曲线的离心率为___________.【答案】()()()222111.8?1211.7?1211.9?1220⎡⎤⨯+++⎣⎦【解析】设直线MN 为()2y x c =-，双曲线的渐近线方程为by x a=±，联立()2b y x a y x c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩可得，22ac x a b =-，22bc y a b =-，不妨令22,22c M acb a b a b ⎛⎫ ⎝-⎭-，同理可得22,22b N ac c a b a b ⎛⎫⎪⎝-+⎭+，设()00,P x y ，则20222242224ac ac a c a b a b x a b +-+==-，2222222224bc bcb c a b a b y a b --+==-，故22222242,44a c b cP a b a b⎛⎫ ⎪--⎝⎭，故PF ==，解得4224320b a b a +-=，方程两边同时除以4a 得，42320b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令22b t a =，可得2320t t +-=，解得23t =或-1（舍去），故c e a =.28．（2023·陕西汉中·统考二模）已知()30A -,，()3,0B ，P 为平面内一动点（不与,A B 重合），且满足2PA PB=，则PA PB ⋅的最小值为______．【答案】8-【解析】设(),P x y ，∵2PA PB=2=，整理得221090x y x +-+=，即()22516x y -+=，可得[]22109,1,9x y x x +=-∈，又∵()()3,,3,PA x y PB x y =---=--uu r uu r，则()()()()22233910991018PA PB x x y x y x x ⋅=---+-=+-=--=-uu r uu r ，∵[]1,9x ∈，可得当1x =时，PA PB ⋅取到最小值101188⨯-=-.故答案为：8-.29．（2023·辽宁丹东·统考一模）经过坐标原点O 的直线与椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>相交于A ，B 两点，过A 垂直于AB 的直线与C 交于点D ，直线DB 与y 轴相交于点E ，若22OB OE OE ⋅=，则C 的离心率为_______．【解析】设直线BD 的方程为()11(0),,y kx m k B x y =+≠，()22,D x y ，则()()11,,0,A x y E m --，由22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22222222220b a k x kma x a m a b +++-=，显然存在,k m ，使得0∆>，故由韦达定理得222121222222222,2kma k ma x x y y m b a k b a k +=-+=-+++，因为22OB OE OE ⋅= ，则212y m m =，即12y m =，则2211222212,,2,2,AB y m m k ma x B m k k y k k x b a k ⎛⎫====- ⎪+⎝⎭，因为AB AD ⊥，所以121212ADy y k x x k +==-+，即22222222221222k ma kma m b a k k b a k ⎛⎫-+=-- ⎪++⎝⎭，即222222222k a b k a a -++=，化简得222a b =，所以2c e a ===，故答案为：2.30．（2023·山西·校联考模拟预测）抛物线的光学性质是：位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后的反射线都与抛物线的对称轴平行或重合．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点()7,0的直线交C 于A ，B 两点，且AF BF ⊥，若C 在A ，B 处的切线交于点P ，Q 为PAB 的外心，则QAB 的面积为______．【答案】108【解析】如图，易知C 的焦点为()1,0F ，显然当AB ⊥x 轴时，AF 不垂直于BF ，设过点()7,0的直线l 的斜率为k （0k >）．则l ：()7y k x =-，将()7y k x =-代入24y x =，得()2274k x x -=，即22222(72)490k x k x k -++=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则()2122272k x x k++=，1249x x=，又()111,FA x y =- ，()221,FB x y =-，所以()()1212110FA FB x x y y ⋅=--+= ，所以()()()()121211770x x k x k x --+-⨯-=，即()()()22212121171490kx x k x x k+-++++=，所以()()()22222272149171490k k k kk ++⨯-+⨯++=，即2840k -=，解得212k =，所以()222222121212227211()41()449k AB k x kx x x x kk+=+-=++-=+-⨯242161121123k k k=++=，设PA ，PB 与x 轴正方向的夹角分别为,αβ，由抛物线的光学性质可知APB αβ∠=+，π222AFB αβ∠=+=，故π4APB αβ∠=+=，且由圆的性质可知π22AQB APB ∠=∠=，所以QAB 是等腰直角三角形，其中22AQ BQ ==，故221|108224QAB AQ S AQ BQ AB∆=⋅===.故答案为：108.。

专题2.8 圆锥曲线-椭圆1．利用根与系数关系法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出根与系数关系；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入根与系数关系求解． 2．直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解．1．已知点N 为圆1C ：()22116x y ++=上一动点，圆心1C 关于y 轴的对称点为2C ，点M ､P 分别是线段1C N ，2C N 上的点，且20MP C N ⋅=，222C N C P =． （1）求点M 的轨迹方程；（2）过点()2,0A -且斜率为()0k k >的直线与点M 的轨迹交于A ，G 两点，点H 在点M的轨迹上，GA HA ⊥，当2AG AH =2k <<． 【试题来源】广东省茂名市2021届高三下学期第二次综合测试【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析 【分析】（1）由已知可得214MC MC +=，可判断点M 在以12,C C 为交点的椭圆上，即可求出方程；（2）将直线方程代入椭圆，利用弦长公式可求出AG =，同理可得AH =3246380k k k -+-=，利用导数结合零点存在性定理即可证明． 【解析】（1）222C N C P =，P ∴是2C N 的中点，20MP C N ⋅=，2MP C N ∴⊥，∴点M 在2C N 的垂直平分线上，2||MN MC ∴=，121||42MN MC MC MC +=+=>，∴点M 在以12,C C 为交点的椭圆上，且2,1a c ==，则b =故点M 的轨迹方程为22143x y +=；（2）可得直线AG 的方程为(2)(0)y k x k =+>， 与椭圆方程联立可得()2222341616120kxk x k +++-=，设()11,G x y ，则2121612(2)34k x k -⋅-=+，可得()21223434k x k-=+，则12AG =+= 由题可得，直线AH 的方程为1(2)y x k=-+，故同理可得21243AH k=+由2AG AH =可得2223443kk k=++，即3246380k k k -+-=， 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22()121233(21)0f t t t t '=-+=-≥，则()f t 在()0,∞+单调递增，又260,(2)60f f =<=>，因此()f t 在()0,∞+有唯一零点，且零点k 在)22k <<．【名师点睛】本题考查椭圆的轨迹方程，解题的关键是利用椭圆定义得出M 的轨迹为椭圆；考查参数范围的证明，解题的关键是利用弦长公式求出弦长，利用已知得出3246380k k k -+-=，再利用导数证明．2．已知椭圆2222C:1(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若1F AB 的周长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P 为椭圆C 上的动点，过原点作直线与椭圆C 分别交于点M 、N （点P 不在直线MN 上），求PMN 面积的最大值． 【试题来源】湖南省长郡十五校2021届高三下学期第二次联考【答案】（1）22143x y +=；（2） 【分析】（1）根据周长可求a ，再根据离心率可求c ，求出b 后可求椭圆的方程． （2）当直线MN x ⊥轴时，计算可得PMN的面积的最大值为直线MN 不垂直x 轴时，可设:MN y kx =，联立直线方程和椭圆方程可求MN ，设与MN 平行且与椭圆C 相切的直线为y kx m =+，结合椭圆方程可求,k m 的关系，从而求出该直线到直线MN 的距离，从而可求PMN的面积的最大值为【解析】（1）由椭圆的定义可知，1F AB 的周长为4a ， 所以48a =，2a =，又离心率为12，所以1c =， 23b =， 所以椭圆方程为22143x y +=．（2）当直线MN x ⊥轴时，()max 122PMN S=⨯= 当直线MN 不垂直x 轴时，设:MN y kx =，22221234143y kx x x y k =⎧⎪⇒=⎨++=⎪⎩，2221234k y k =+，所以||MN = 设与MN 平行且与椭圆C 相切的直线为y kx m =+，()222223484120143y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 因为()()2222644344120k m km∆=-+-=，所以2234m k =+， 所以P 距MN的最大距离为maxd ==， 所以()max max11||22PMN SMN d =⋅⋅=⨯= 综上，PMN面积的最大值为【名师点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，而面积的最值的计算，则可以转化为与已知直线平行且与椭圆相切的直线与已知直线的距离来计算，此类转化为面积最值计算过程的常规转化．3．已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，离心率12e =，左、右焦点分别为1F 、2F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线(0)y kx k =>与椭圆C 交于A ，B 两点，连接11,AF BF 并延长交椭圆C 于D 、E 两点，连接DE ，求DEk k的值． 【试题来源】湖北省恩施高中、龙泉中学、宜昌一中2021届高三下学期4月联考【答案】（1）22143x y +=；（2）53DE k k =． 【分析】（1）由P 在椭圆上，得到221914a b +=，再根据12e =和222a b c =+，求得,,a b c 的值，即可求解；（2）设()00,A x y ，得到直线001:1x AD x y y +=-，联立方程组，结合2200143x y +=，求得010325y y x -=+，01111x x y y +=-，同理求得020352y y x =-，022011x x y y -=-，结合斜率公式，化简005533DE y k k x =⋅=，即可求解．【解析】（1）由31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上22221x y a b+=，可得221914a b +=，又由离心率12e =，可得2a c =，且222a b c =+，解得2,1a b c ===，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）设()00,A x y ，则()00,B x y --，直线001:1x AD x y y +=-， 代入22:143x y C +=，得()()2222000003146190x y y x y y y ⎡⎤++-+-=⎣⎦， 因为2200143x y +=，代入化简得()()220000252130x y x y y y +-+-=，设()11,D x y ，()22,E x y ，则2010325y y y x -=+，所以010325y y x -=+，011011x x y y +=-， 直线BE ：0011x x y y -=-，同理可得()()2222000003146190x y y x y y y ⎡⎤-+---=⎣⎦，化简得()()220000522130x y x y y y ----=，故2020352y y y x --=-，即020352y y x =-，022011x x y y -=-， 所以()12121200012012121212000000121111DE y y y y y y k x x x y y x y y x x y y y y y y y y y y y y ---====+-++---++⋅- 又001200000120033225523352552y y y y x x x y y y y x x -+++-==----+-，00000015512335DEy k k x x x y y ==⋅=⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭所以53DE k k =． 4．已知圆222:O x y b +=经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点2F ，且经过点2F 作圆O 的切线被椭圆C（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A ，B 是椭圆C 上异于短轴端点的两点，点M 满足OM OA OB =+，且226OM AB +=，试确定直线OA ，OB 斜率之积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由．【试题来源】甘肃省2021届第二次高考诊断【答案】（1）2212x y +=；（2）是定值，定值为12±．【分析】（1）由b c =以及点b ⎛ ⎝⎭在椭圆上列方程可求出椭圆C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()1212,M x x y y ++，根据226OM AB +=可得222211223x y x y +++=，再根据点A ，B 在椭圆上，可得222212124x x y y ⋅=，从而121212OA OB y y k k x x ⋅==±． 【解析】（1）因为圆222:O x y b +=经过椭圆C 的右焦点2F ，所以b c =，a =，因为经过点2F 作圆O 的切线被椭圆C所以点,2b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，即()222112b b+=，解得1b =，故a = 所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）直线OA ，OB 斜率之积是定值，证明如下：设()11,A x y ，()22,B x y ，由OM OA OB =+，得()1212,M x x y y ++．故()()()()()222222222212121212112226OM AB x x y y x x y y x y x y +=++++-+-=+++=．又点A ，B 在椭圆上，所以221122x y +=，222222x y +=，联立解得22122x x +=，22121y y +=．由221122x y =-，222222x y =-，得()()()2222222222121212121222224444x x y y yy y y y y ⋅=--=-++=，从而121212OA OB y y k k x x ⋅==±，即直线OA ，OB 斜率之积是定值12±．【名师点睛】将226OM AB +=化为222211223x y x y +++=，再结合221122x y +=，222222x y +=求解是解题关键．5．已知圆222:O x y b +=经过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点2F ，且经过点2F 作圆O 的切线被椭圆C（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 经过椭圆C 的右焦点2F 与椭圆交于A ，B 两点，且0OA OB ⋅=，求直线l 的方程．【试题来源】甘肃省2021届第二次高考诊断【答案】（1）2212x y +=；（2）220x +-=或220x -=．【分析】（1）根据圆的性质，结合椭圆,,a b c 之间的关系，利用代入法进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【解析】（1）因为圆222:O x y b +=经过椭圆C 的右焦点2F ， 所以b c =，a ，且过点2F 作圆O 的切线被椭圆C，所以,2b ⎛ ⎝⎭在椭圆上，即()222112b b+=， 所以1b =，a =C 的方程为2212x y +=．（2）当直线l 的斜率为零或不存在时，显然不满足题意． 设直线l 方程为1x my =+，联立22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简整理，得()222210m y my ++-=．设交点A ，B 的坐标为(),A A A x y ，(),B B B x y ，则222A B my y m +=-+，212A By y m ⋅=-+，故有()()()2111A B A B A B A B x x my my m y y m y y ⋅=++=+++2222222221222m m m m m m -+=--+=+++ 由0OA OB ⋅=，得0A B A B x x y y +=，即有222221022m m m -+-=++，解得m =，所以直线l 的方程为220x +-=或220x --=．【名师点睛】由平面向量数量积的坐标表示公式得到222221022m m m -+-=++是解题的关键． 6．已知抛物线2:16C x y =的焦点为F ，准线为l ，椭圆2222:1(0)y x E a b a b+=>>的上焦点1F 到l 的距离为5，过1F 的直线1l 与E 交于M ，N 两点，当MN y ⊥轴时，3MN =． （1）求椭圆E 的方程；（2）直线FM 与x 轴交于A 点，直线FN 与x 轴交于B 点，求证：FA FB =． 【试题来源】2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）冲刺卷（一）【答案】（1）22143y x +=；（2）证明见解析． 【分析】（1）由已知求得,,a b c ，可得椭圆E 的方程．（2）分当1l 与y 轴重合时，由题意知FA FO FB ==；当1l 与y 轴不重合时，设1l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ．与椭圆的方程联立，根据根与系数的关系表示FA FB k k ，，可得证．【解析】（1）设1(0,)F c ，由题意知:4l y =-，所以45c +=，解得1c =．在22221y x a b +=中令y c =，得2b x a =，因为3MN =，所以223b a =，232a b =．因为222312a a b a -=-=，得2a =，b =E 的方程为22143y x +=． （2）证明：（解法1）由题意知(0,4)F ，1(0,1)F ，当1l 与y 轴重合时，由题意知FA FO FB ==；当1l 与y 轴不重合时，设1l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ． 则10x ≠，20x ≠，直线FA ，FB 的斜率之和为121244FA FB y y k k x x --+=+， 由111y kx =+，221y kx =+得，()()12121212122332FA FB kx x x x x x k k k x x x x -+++==-．将1y kx =+代入22143y x +=得，()2234690k x kx ++-=，()2223636341441440k k k ∆=++=+>，所以122634k x x k +=-+，122934x x k =-+． 则()2121221833422220934kx x k k k k k x x k -++-=-=-=-+， 从而0FA FB k k +=，故直线FA ，FB 的倾斜角互补，所以OAF OBF ∠=∠，因此FA FB =．综上，FA FB =． （解法2）当1l 与y 轴重合时，由题意知FA FO FB ==； 当1l 与y 轴不重合时，设1l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()3,0A x ，()4,0B x ，则10x ≠，20x ≠，将1y kx =+代入22143y x +=得()2234690k x kx ++-=，()2223636341441440k k k ∆=++=+>，所以122634k x x k +=-+，122934x x k =-+． 设114:4y FA y x x -=+，224:4y FB y x x -=+，易知14y ≠，24y ≠，在1144y y x x -=+中，令0y =得13144x x y =--， 在2244y y x x -=+中，令0y =得24244x x y =--， 于是()()()1221121234121244444444x y x y x x x x x x y y y y ⎡⎤+-++=--=-⎢⎥----⎣⎦． 由111y kx =+，221y kx =+得，()()()1212341223444kx x x x x x y y ⎡⎤-++=-⎢⎥--⎣⎦，由于22962303434k k k k ⎛⎫⎛⎫⋅--⋅-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，因此340x x +=， 所以点A 与点B 关于原点O 对称，而点F 在y 轴上，因此FA FB =． 综上，FA FB =．【名师点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．有时若直线过x 轴上的一点，可将直线设成横截式．7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过F的直线0x -+=与椭圆在第一象限交于M 点，O 为坐标原点，三角形MFO的面积为4． （1）求椭圆的方程；（2）若ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在椭圆上，且O 为ABC 的重心，判断ABC 的面积是否为定值，并说明理由．【试题来源】江苏省高考第二次适应性考试【答案】（1）2214x y +=；（2，理由见解析． 【分析】（1）由直线过左焦点写出左焦点坐标，得参数c、右焦点坐标，又由三角形面积1||24OMFM SOF y =⋅=，求M 坐标，即可确定△FMF '为直角三角形，进而求||,||MF MF '，根据椭圆定义求参数a ，写出椭圆方程即可．（2）讨论直线BC 的斜率：当不存在时，设直线BC ：1x x =，()11,B x y ，()11,C x y -，由重心坐标的性质求A 坐标，由A 在椭圆上求2211,x y ，求ABCS；当存在时，设直线BC ：y kx m =+，()11,B x y ，()22,C x y ，联立直线与抛物线方程结合根与系数关系求12x x +，12x x ，即得12y y +，由重心坐标的性质确定A 的坐标，由A 在椭圆上得22441m k =+，结弦长公式、点线距离公式求||BC 、A 到直线BC 的距离d ，求ABCS，即可判断是否为定值．【解析】（1）直线0x -+=过左焦点F，则有(F ，所以c =F '，又12OMF M S y ==△，得12My =，代入直线方程有M x =所以12M ⎫⎪⎭．所以△FMF '为直角三角形且90MF F '∠=︒，由椭圆定义，知12||||42a MF MF '=+==，即2a =， 所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）当直线BC 的斜率不存在时，设直线BC 的方程为1x x =，若()11,B x y ，则()11,C x y -， 因为O 为ABC 的重心，可知()12,0A x -，代入椭圆方程，得221131,4x y ==，即有1||2||BC y =，A 到BC 的距离为3d =，所以11||3222ABCSBC d =⋅==， 当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y kx m =+，设()11,B x y ，()22,C x y ，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148440k x kmx m +++-=，显然0∆>，所以122841km x x k -+=+，21224441m x x k -=+，则()121222241m y y k x x m k +=++=+， 因为O 为ABC 的重心，可知2282,4141kmm A k k -⎛⎫⎪++⎝⎭， 由A 在椭圆上，得2222182144141km m k k -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得22441m k =+，所以12||||BC x x =-===，由重心的性质知A 到直线BC 的距离d 等于O 到直线BC距离的3倍，即d =，所以1||22ABCSBC d =⋅=，综上得，ABC ． 【名师点睛】第二问，若三角形顶点坐标分别为112233(,),(,),(,)x y x y x y ，则其重心坐标为123123(,)33x x x y y y ++++求A 点坐标，再根据A 在椭圆上，求相关参数值或确定参数关系．8．已知1A ，2A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，B 为椭圆C 的上顶点，点2A 到直线1A B 的距离为7，椭圆C过点3⎛ ⎝． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 过点1A ，且与x 轴垂直，P ，Q 为直线l 上关于x 轴对称的两点，直线2A P 与椭圆C 相交于异于2A 的点D ，直线DQ 与x 轴的交点为E ，当2PA Q △与PEQ 的面积之差取得最大值时，求直线2A P 的方程．【试题来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（四）【答案】（1）22143x y +=；（2）360x-=或360x -=． 【分析】（1）由点到直线的距离得一个,a b 的关系式，已知点的坐标代入又得一个关系式，，两者联立解得,a b ，得椭圆方程；（2）设直线2A P 的方程为2(0)x my m =+≠，依次求得P 点，Q 点，D 点，E 点坐标，然后计算面积之差222PA Q PEQ PA E S S S -=△△△，再结合基本不等式求得最大值．由此可得直线方程．【解析】（1）由题意知2(,0)A a ，1(,0)A a -，(0,)B b ，则直线1A B 的方程为by x b a=+，即0bx ay ab -+=，所以点2A 到直线1A B的距离7d ==，即2234b a =．① 又椭圆C过点⎝，所以224213a b +=．② 联立①②，解得24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知2(2,0)A ，直线l 的方程为2x =-． 由题意知直线2A P 的斜率存在且不为0， 设直线2A P 的方程为2(0)x my m =+≠，联立2,2,x x my =-⎧⎨=+⎩解得2,4,x y m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩即42,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．联立222(0),1,43x my m x y =+≠⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234120m y my ++=，解得0y =或21234my m -=+．由点D 异于点2A 可得2226812,3434m m D m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭， 所以直线DQ 的方程为222124684(2)203434m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令0y =，得226432E m x m -+=+，所以22222641223232m m A E m m -+=-=++， 所以2PA Q △与PEQ 的面积之差为222PA Q PEQ PA E S S S -=△△△． （利用点的对称关系，将面积差问题转化为求2PA E S △）因为2222112448||48222232323||||PA Em m S m m m m m -=⨯⋅⋅==≤+++△当且仅当m =时取等号．故当2PA Q △与PEQ 的面积之差取得最大值时， 直线2A P的方程为360x +-=或360x --=．【名师点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方法：设直线2AP 方程为2(0)x my m =+≠，直线与直线相交得交点坐标，直线与椭圆相交得交点坐标，然后求得三角形面积（之差），再结合基本不等式求得最大值，得出结论． 9．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点⎛ ⎝⎭，其右顶点为A ，下顶点为B，且AB 若作与y 轴不重合且不平行的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，交y 轴于点C （异于点B ），直线BP ，BQ 分别与x 轴交于M ，N 两点．（1）求椭圆E 的方程；（2）当M ，N 的横坐标的乘积是43时，试探究直线l 是否过定点？若过定点，请求出定点；若不过，请说明理由．【试题来源】2021届新高考同一套题信息原创卷（五）【答案】（1）2214x y +=；（2）直线l 过定点，定点为()0,2． 【分析】（1）将⎛ ⎝⎭代入椭圆方程，并结合AB =得到关于2a ，2b 的方程组，解方程组即可求得椭圆方程；（2）设直线PQ 的方程为y kx m =+，()11,P x y 及()22,Q x y ，将直线PQ 的方程代入椭圆方程得12x x +，12x x ，然后由直线BP 的方程，得点M的横坐标，由直线BQ 的方程得点N 的横坐标，结合43M N x x ⋅=，得到关于m 的方程，解方程求出m 的值，进而求解．【解析】（1）由已知，A ，B 的坐标分别是(),0A a ，()0,B b -，将⎛ ⎝⎭代入椭圆方程，得221314a b +=，结合225a b +=，解得221,4b a ⎧=⎨=⎩或2215,45.4b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为22a b >，所以24a =，21b =，所以椭圆方程为2214x y +=．（2）设直线PQ 的方程y kx m =+，P ，Q 的坐标分别为()11,P x y ，()22,Q x y ， 则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+． 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N xx y =+， 所以()()121211M N x x x x y y ⋅=++()()121211x x kx m kx m =++++()()()1222121211x x k x x k m x x m =+++++，把直线y kx m =+代入椭圆2214x y +=得()222418440k x kmx m +++-=，由根与系数关系得122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+， 所以22222224441(44)(1)8(1)4141M N m k x x k m k m km m k k -+⋅=-+⋅-++++4(1)1m m -=+，又由43M N x x ⋅=，得()41413m m -=+，解得2m =．所以直线l 过定点()0,2． 【名师点睛】由直线BP 的方程，得点M 的横坐标，由直线BQ 的方程得点N 的横坐标，结合43M N x x ⋅=，得到关于m 的方程，解方程求出m 的值是解题关键． 10．已知A 、B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左顶点和下顶点，P 为直线3x =上的动点，AP BP ⋅的最小值为594． （1）求E 的方程；（2）设PA 与E 的另一交点为D ，PB 与E 的另一交点为C ，问：是否存在点P ，使得四边形ABCD 为梯形，若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由． 【试题来源】河北省唐山市2021届高三下学期第二次模拟【答案】（1）2214x y +=；（2）存在；33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）设(3,)P t ，求出AP BP ⋅取得最小值3534a +，，由3559344a +=求出2a =，从而可得E 的方程；（2）假设存在点(3,)P t 满足题设，设()11,C x y ，()22,D x y ．联立直线PA 与椭圆方程，求出2x ，联立直线PB 与椭圆方程求出1x ，利用||||||||AD BC AP BP =得到21253x x +=，代入12,x x ，可求出t 即可得解． 【解析】（1）由题设得(,0)A a -，(0,1)B -．设(3,)P t ， 则(3,)AP a t =+，(3,1)BP t =+．所以293AP BP a t t ⋅=+++2135324t a ⎫⎛=+++ ⎪⎝⎭，于是当12t =-时，AP BP ⋅取得最小值3534a +，所以3559344a +=，解得2a =．所以E 的方程为2214x y +=．（2）假设存在点(3,)P t 满足题设，设()11,C x y ，()22,D x y ．所以直线PA 的方程为(2)5t y x =+，直线PB 的方程为113t y x +=-． 将(2)5ty x =+代入E 得()222242516161000t x t x t +++-=， 可得22216100(2)425t x t -⨯-=+，所以222508425t x t -=+． 将113t y x +=-代入E 得()22481324(1)0t t x t x ++-+=，可得1224(1)4813t x t t +=++． 若四边形ABCD 为梯形，则//AB CD ，所以||||||||AD BC AP BP =， 因为22(2)2||||3(2)5x x AD AP --+==--，110||||303x x BC BP -==-， 所以21253x x +=，所以22250824(1)3(2)54254813t t t t t -++=⨯+++， 所以22208(1)4254813t t t t +=+++，整理可得3281210150t t t -+-=， 即()2(23)450t t -+=，解得32t =．故当33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，四边形ABCD 为梯形． 【名师点睛】分别联立直线PA 、PB 与椭圆方程求出,D C 的横坐标，再将梯形转化为,D C 的横坐标进行求解是解题关键．11．已知点P 是离心率为12的椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上位于第一象限内的点，过点P 引x 轴、y 轴的平行线，交y 轴、x 轴于M ，N 两点，交直线by x a=-于Q ，R两点，记OMQ 与ONR 的面积分别为1S ，2S ，且12S S += （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆C 的上、下顶点分别为1B ，2B ，过点()0,1D 的直线与椭圆相交于E ，F 两点，证明：直线2EB ，1FB 的交点G 在一定直线上，并求出该直线方程． 【试题来源】2021届新高考同一套题信息原创卷（二）【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，直线3y =． 【分析】（1）设(),P x y，利用12S S +=2ab =12c a =，222a b c =+，可得椭圆的方程；（2）分类讨论：当直线EF 斜率存在时，设方程为1y kx =+，联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234880k x kx ++-=，利用根的系数关系得1212kx x x x =+，直线2EB1x x =，直线1FB2xx =，联立消去x 得3y =，当直线EF 的斜率不存在时，直线2EB ，1FB 与y 轴重合，过点()0,3，即可得到结论． 【解析】（1）设(),P x y ，//PM x 轴，//PN y 轴，()0,M y ∴，(),0N x ，,a Q y y b ⎛⎫-⎪⎝⎭，,b R x x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，211122a ay S y y b b ∴=⋅=⋅，221122b bx S x x a a=⋅=⋅， 221212ay bx S S b a ⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭222222ab x y ab a b ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，2ab ∴=12c a =，222a b c =+， 解得2a =，b =22143x y +=．（2）①当直线EF 斜率存在时，设其方程为1y kx =+，设()11,E x y ，()22,F x y ，联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234880k x kx ++-=，()226432340k k ∆=++>， 由根与系数关系得122834kx x k -+=+，122834x x k -=+，1212kx x x x ∴=+．因为(1B，(20,B ，所以直线2EB1x x =，直线1FB2xx =．联立消去x=，整理得3x y x y x x y++-=113x kx x kx x x ++++-⎤=23kx x x x x x+++-=33x x x x --+==，所以直线2EB ，1FB 的交点G 一定在直线3y =上；②当直线EF 的斜率不存在时，直线2EB ，1FB 与y 轴重合，过点()0,3， 由①②知直线2EB ，1FB 的交点G 在直线3y =上． 【名师点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．12．已知椭圆2222:1(0)x y C ab a b+=>>过点(2,0)D -，且焦距为（1）求椭圆C 的方程；（2）过点(4,0)A -的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ，Q 两点，点T 与点Q 关于x 轴对称，直线TP 与x 轴交于点H ，是否存在常数λ，使得||||(||||)AD DH AD DH λ⋅=-成立，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由． 【试题来源】北京市东城区2021届高三一模【答案】（1）2214x y +=（2）存在， 2λ=【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出,a b 可得结果；（2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则22(,)T x y -，设直线:l (4)y k x =+，代入2214x y +=，得到12x x +和12x x ，利用直线PT的方程求出H 的坐标，求出||AD 、||DH ，则可得λ的值．【解析】（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(2,0)D -，所以2a =，又2c =c =222431b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）显然直线l 的斜率存在且不为0，设直线:l (4)y k x =+，联立22(4)14y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得2222(14)326440k x k x k +++-=， 2222(32)4(14)(644)k k k ∆=-+-0>，得21012k <<， 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则22(,)T x y -，所以21223214k x x k +=-+，212264414k x x k-=+， 直线PT ：121112()y y y y x x x x +-=--，令0y =，得112112()y x x x x y y -=-+，所以112112()(,0)y x x H x y y --+，又||||(||||)AD DH AD DH λ⋅=-，所以1||||11||||||||AD DH AD DH DH AD λ-==-⋅，因为(2,0),(4,0)D A --，112112()(,0)y x x H x y y --+，所以||2AD =，112112()||2y x x DH x y y -=-++112112(4)()2(4)(4)k x x x x k x k x +-=-++++112112(4)()2()8k x x x x k x x k +-=-+++112111212()8(4)()2()8kx x x kx k x x x k x x k++-+-=+++221121111212128442()8kx kx x k x kx kx x kx kx k x x k++-+-+=+++1212124()22()8k x x kx x k x x k ++=+++22222232644421414232814k k k k k k k k k k --⋅+⋅++=+-⋅++12=-+1=，所以11112λ=-，解得λ=2．所以存在常数2λ=，使得||||2(||||)AD DH AD DH ⋅=-成立．【名师点睛】用,P Q 的坐标表示H 的坐标，再根据根与系数关系算||DH 的值是解题关键．13．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的离心率为2，且过点．（1）求椭圆G 的方程；（2）过点(0,1)M 斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆G 于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点N 使得ANM BNM ∠=∠（点N 与点M 不重合），若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．【试题来源】北京市顺义区2021届高三二模【答案】（1）22184x y +=；（2）()0,4N ，证明详见解析． 【分析】（1）由条件列式，利用待定系数法求解椭圆方程；（2）首先直线方程():1,0l y kx k =+≠与椭圆方程联立，得根与系数的关系，将条件转化为0AN BN k k +=，代入坐标，利用根与系数的关系化简求定点．【解析】（1）由条件可知22222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得28a =，224b c ==，所以椭圆G 的方程是22184x y +=；（2）设直线():1,0l y kx k =+≠，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,N y ，联立221184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()2212460k x kx ++-=， 122412kx x x k +=-+，122612x x k -=+， ANM BNM ∠=∠，0AN BN k k ∴+=，即1020212012101212y y y y x y x y x y x y x x x x ---+-+= ()()()211201212110x kx x kx y x x x x +++-+==，即()()12012210kx x y x x +-+=，()022*********k y k k k---=++，得04y =， 即存在定点()0,4N ．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点(点M 位于x 轴上方)，2MNF ，12MF F △的周长分别为8，6． （1）求椭圆C 的方程； （2）若1||MF m MN =，且2334m ≤<，设直线l 的倾斜角为θ，求sin θ的取值范围． 【试题来源】2021届普通高中教育教学质量监测考试全国I 卷【答案】（1）22143x y +=；（2）⎛ ⎝⎦． 【分析】（1）根据椭圆的定义可得2MNF ，12MF F △的周长分别为4,22a a c +，结合222a b c =+可得答案．（2）根据题意设出直线l 的方程与椭圆方程联立，写出根与系数关系，由1||MF m MN =，得出11MF F N，得出,M N 的纵坐标12,y y 的关系，从而可求出答案．【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，因为2MNF ，12MF F △的周长分别为8，6，所以根据椭圆的定义得22248226a a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，解得21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩．所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由条件1||MF m MN =，且2334m ≤<，则12MF MF >，所以直线l 的斜率存在． 根据题意，可设直线l 的方程为(1)(0).y k x k =+>．联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()22234690k y ky k +--=，则()2214410k k ∆=+>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122634k y y k +=+①，2122934k y y k-=+②， 又1||MF m MN =，且2334m ≤<，则11[2,3)1MF m F N m =∈-． 设1mmλ=-，[2,3)λ∈，则11MF F N λ=，所以12y y λ③，把③代入①得()226(1)34k y k λ=-+，()126(1)34ky k λλ-=-+，并结合②可得()2212222236934(1)34k k y y k k λλ--==+-+， 则22(1)434kλλ-=+，即214234k λλ+-=+， 因为12λλ+-在[2,3)λ∈上单调递增，所以114223λλ≤+-<，即21442343k ≤<+，且0k >，解得0k <≤，即0tan θ<≤0sin θ<≤．故sin θ的取值范围是3⎛ ⎝⎦． 【名师点睛】本题考查求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，解答本题的关键是由122634k y y k +=+，2122934k y y k -=+，又1||MF m MN =，且2334m ≤<，则11[2,3)1MF mF Nm=∈-，得出关系求解，属于中档题． 15．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()0,3M．（1）求C 的方程；（2）直线:1l y kx =-与椭圆C 交于,A B 两点． ①判断AMB ∠是否是定值并给出证明； ②求MA MB ⋅的最大值．【试题来源】湖北省华中师范大学第一附属中学2021届高三下学期四月综合测试【答案】（1）221189x y +=；（2）①是定值，证明见解析；②32． 【分析】（1）将M 坐标代入椭圆，结合离心率可构造方程组求得,a b ，从而得到椭圆方程； （2）①将直线方程与椭圆方程联立，得到根与系数关系的形式，根据向量的线性运算，结合根与系数关系可整理得到0MA MB ⋅=，由此确定90AMB ∠=；②由90AMB ∠=可知MA MB AB d ⋅=⋅，其中d 为点M 到直线l 的距离，利用点到直线距离公式和弦长公式将其表示成关于k 的函数的形式，利用换元法，结合二次函数性质可求得所求的最大值．【解析】（1）由已知得2222229112bc a b aa ⎧=⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩，解得a =，3b =， ∴椭圆C 的方程为221189x y +=． （2）①由2211891x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22214160k x kx +--=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421kx x k +=+，1221621x x k -=+ ()()()()121212123344MA MB x x y y x x kx kx ⋅=+--=+--()()()221212221614141641602121k kk x x k x x k k k -+=+-++=-⨯+=++， MA MB ∴⊥，即90AMB ∠=，为定值；②设d 为点M 到直线l 的距离，故MA MB AB d ⋅=⋅．又d =AB ===MA MB ∴⋅=，设2211k t +=≥，则MA MB ⋅=(]10,1t∈，32MA MB ∴⋅≤（当11t =，即0k =时等号成立），MA MB ∴⋅的最大值为32．16．已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，A 、B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，ABF 1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于P 、Q两点，直线AP 、AQ 分别与直线x =点M 、N ．证明：FM FN ⊥．【试题来源】东北三省四市教研联合体2021届高考模拟考试（二）试题【答案】（1）22142x y +=；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、c 的方程，解出a 、c 的值，即可得出椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 的方程为x my =+()11,P x y 、()22,Q x y ，将直线l 与椭圆C 的方程联立，列出根与系数关系，求出点M 、N 的坐标，计算得出0FM FN ⋅=，由此可证得结论成立．【解析】（1）由题意可知，AF ac =+，b =()112ABF S a c =+=△，所以，22222a c a c b a ⎧+=+⎪-==⎨⎪>⎩，解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩C 的标准方程为22142x y +=；（2）若直线l 与x 轴重合，则M 、N 重合，不合乎题意．椭圆C的右焦点为)F，设直线l的方程为x my =设点()11,P x y 、()22,Q x y ，联立2224x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩x 并整理得()22220m y ++-=， ()()2228821610m m m ∆=++=+>恒成立，由根与系数关系可得1222y y m +=-+，12222y y m =-+， 直线AP的斜率为112AP y k x ==+， 直线AP的方程为)2y x =+，在直线AP 的方程中，令x =可得12y y +=，即点12y M ⎛⎫+ ⎝，同理可知，点22y N ⎛⎫+ ⎝，所以，122,y FM ⎛⎫+= ⎝，222,y FN ⎛⎫+= ⎝，所以，21222yy FM FN +⋅=+(()()()2122212122222y ym y y m y y +=+++++()()()()22222222812223212m m+-==--+++()22820222m m=-=+-， 因此，FM FN ⊥．。

专题4 圆锥曲线的综合应用【三年高考】1. 【2015江苏高考，18】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于 点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程.【答案】（1）2212x y +=（2）1y x =-或1y x =-+．【解析】试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为22，二是右焦点F 到左准线l 的距离为3，解方程组即得（2）因为直线AB 过F ，所以求直线AB 的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB 列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB 两点坐标，利用两点间距离公式求出AB 长，再根据中点坐标公式求出C 点坐标，利用两直线交点求出P 点坐标，再根据两点间距离公式求出PC 长，利用PC=2AB 解出直线AB 斜率,写出直线AB 方程.试题解析：（1）由题意，得22c a =且23a c c +=，解得2a =1c =，则1b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=．若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而0k ≠，故直线C P 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，则P 点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭，从而(()2222311C 12k k k k ++P =+． 因为C 2P =AB ，所以(())2222223114211212k k k k k k+++=++，解得1k =±．此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+． 【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系2．【2014江苏，理17】如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C .（1）若点C 的坐标为41(,)33，且22BF ，求椭圆的方程； （2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.【答案】（1）2212x y +=；（2）12． 【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系,,a b c 的两个等量关系，本题中椭圆过点41(,)33C ，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于,,a b c 的方程，另外2222BF OB OF a =+=2=，这样两个等量关系找到了；（2）要求离心率，就是要列出关于,,a b c 的一个等式，题设条件是1F C AB ⊥，即11F C AB k k ⋅=-，2AB F B bk k c==-，要求1F C k ，必须求得C 的坐标，由已知写出2BF 方程，与椭圆方程联立可解得A 点坐标11(,)x y ，则11(,)C x y -，由此1F C k 可得，代入11F C AB k k ⋅=-可得关于,,a b c 的等式，再由222,c b a c e a=-=可得e 的方程，可求得e .试题解析：（1）由题意，2(,0)F c ，(0,)B b ，2222BF b c a =+==，又41(,)33C ，∴22241()()3312b+=，解得1b =．∴椭圆方程为2212x y +=．3．【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[ 【解析】试题分析：根据EA EB +可知轨迹为椭圆,利用椭圆定义求方程；（II ）分斜率是否存在设出直线方程,当直线斜率存在时设其方程为)0)(1(≠-=k x k y ,根据根与系数的关系和弦长公式把面积表示为x 斜率k 的函数,再求最值.试题解析：（Ⅰ）因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：13422=+y x （0≠y ）. （Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .则3482221+=+k k x x ,341242221+-=k k x x . 所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN . 过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ,A 到m 的距离为122+k ,所以1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12. 综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[. 考点：圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成, .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用. 4.【2016高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞，抛物线E ：22x y =的焦点F是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（i ）由点P 的坐标和斜率设出直线l 的方程和抛物线联立，进而判断点M 在定直线上；（ii ）分别列出1S ，2S 面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P 的坐标.试题解析：（Ⅰ）由题意知2322=-a b a ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)21,0(F ，所以21,1==b a ， 所以椭圆C 的方程为1422=+y x .（Ⅱ）（i ）设)0)(2,(2>m m m P ，由y x 22=可得x y =/， 所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为)(22m x m m y -=-，即22m mx y -=.设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得014)14(4322=-+-+m x m x m ，由0>∆，得520+<<m 且1442321+=+m m x x ， 因此142223210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)14(2220+-=m m y ，因为m x y 4100-=，所以直线OD 方程为x my 41-=. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=m x x m y 41，得点M 的纵坐标为M 14y =-，即点M 在定直线41-=y 上. （ii ）由（i ）知直线l 方程为22m mx y -=，令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2m G -， 又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ， 所以)1(41||2121+==m m m GF S ， )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ， 所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=t tt t t S S ，当211=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0>∆，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(. 考点：1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质.【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 5.【2016高考北京文数】（本小题14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=过点A （2,0），B （0,1）两点.（I ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；2=e （Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知a,b 的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形ABNM 的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线,AN BM 的值求乘积为定值即可. 试题解析：（I ）由题意得，2a =，1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．又c ==所以离心率c e a ==． （II ）设()00,x y P （00x <，00y <），则22044x y +=． 又()2,0A ，()0,1B ，所以， 直线PA 的方程为()0022y y x x =--． 令0x =，得0022y y x M =--，从而002112y y x M BM =-=+-． 直线PB 的方程为0011y y x x -=+． 令0y =，得001x x y N =--，从而00221x x y N AN =-=+-． 所以四边形ABNM 的面积12S =AN ⋅BM 00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+ 00000000224422x y x y x y x y --+=--+2=．从而四边形ABNM 的面积为定值．考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力.【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.6.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p => （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --； ②求p 的取值范围.【答案】（1）x y 82=（2）①详见解析，②)34,0(（2）设1122(x ,y ),(x ,y )P Q ，线段PQ 的中点00(x ,y )M 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ, 于是直线PQ 的斜率为1-，则可设其方程为.y x b =-+①由22y px y x b⎧=⎨=-+⎩消去x 得2220(*)y py pb +-=因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>.方程（*）的两根为1,2y p =-120.2y y y p +==- 因为00(x ,y )M 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为M(2,).p p --在直线y x b =-+上 所以(2)b p p -=--+，即22.b p =-由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4.3p <因此p 的取值范围为4(0,).3考点：直线与抛物线位置关系【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 7.【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA e OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由113||||||c OF OA FA +=，得113()cc a a a c +=-，再利用2223a c b -==，可解得21c =，24a =（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M再OA 中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析：（1）解：设(,0)F c ，由113||||||c OF OA FA +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （2）（Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B. 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k BF .由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以034123449222=+++-k ky k k H ，解得kk y H 12492-=.因此直线MH 的方程为k k x k y 124912-+-=.设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M .在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M MM y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ . 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； (3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用基本不等式求出参数的取值范围； (5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．8.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-． 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出与x 轴垂直的两条直线，然后得出,,,,A B P Q R 的坐标，然后通过证明直线AR 与直线FQ 的斜率相等即可证明结果了；（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点坐标1(,0)D x ，利用面积可求得1x ，设出AB 的中点(,)E x y ，根据AB 与x 轴是否垂直分两种情况结合AB DE k k =求解．（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x y b a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．【方法归纳】（1）解析几何中平行问题的证明主要是通过证明两条直线的斜率相等或转化为利用向量证明；（2）求轨迹的方法在高考中最常考的是直接法与代入法（相关点法），利用代入法求解时必须找准主动点与从动点．9.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.【答案】（I ）2222211a k k a k ++（II ）202e <≤．【解析】试题分析：（I ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得1x ，2x ，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（II ）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．试题解析：（I ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222120a k xa kx ++=，故10x =，222221a kx a k =-+．因此2122221a k x a kAP =-=+ （II ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足Q AP =A ．记直线AP ，Q A 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠． 由（I ）知，1AP =，2Q A =，12=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此()222212111112a a k k ⎛⎫⎛⎫++=+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是()22121a a +->，所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为12a <≤，由c e a==得，所求离心率的取值范围为02e <≤． 考点：1、弦长；2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率．【思路点睛】（I ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得交点的横坐标，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（II ）利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．10.【2016高考新课标2理数】已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）()32,2.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k .（II ）由题意3t >，0k >，(),0A t -.将直线AM 的方程()y k x t =+代入2213x y t +=得()222223230tk x ttk x t k t +++-=.由(22123t k x tk ⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x =+=由题设，直线AN 的方程为(1y x k=-，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当k =因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332132022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩2k <<.因此k 的取值范围是)2.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解． 11.【2016年高考北京理数】（本小题14分）已知椭圆C ：22221+=x y a b（0ab >>）的离心率为2 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1c a =，OAB ∆的面积为1，即112ab =，椭圆中222a b c =+列方程求解；（2）根据已知条件分别求出AN ，||BM 的值，求其乘积为定值.试题解析：（1）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab ac 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ， 设),(00y x P ，则442020=+y x . 当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.12.【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2PTPA PB λ=⋅，并求λ的值.【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.试题解析：（I ）由已知，222(2)a a c +=，即2a c =，所以2a b =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组22221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ， 此方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=. 点T 坐标为（2,1）.（II ）由已知可设直线l ' 的方程为1(0)2y x m m =+≠， 有方程组123y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，， 可得22321.3m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 所以P 点坐标为（222,133m m -+），2289PT m =. 设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ， .由方程组2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，， 可得2234(412)0x mx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得m <<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123m PA x ==-- ，同理223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+ 2109m =.故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 考点：椭圆的标准方程及其几何性质.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把PA PB ⋅用12,x x 表示出来，并代入刚才的1212,x x x x +，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程．13．【2016高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点。

【课本内容再回顾——查缺补漏】 一．基础知识整合1. 直线的倾斜角和斜率：任何直线都有倾斜角，但不一定都有斜率，如倾斜角等于90°时，斜率不存在；若两直线的倾斜角相等，斜率相等或都不存在；若两条直线的斜率相等，则两直线的倾斜角相等；当倾斜角为锐角时，倾斜角越大，斜率也越大；当倾斜角为钝角时，倾斜角越大，斜率也越大；与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零，斜率也为零；2. 直线的方程：点斜式：)(11x x k y y -=-； 截距式：b kx y +=；两点式：121121x x x x y y y y --=--； 截距式：1=+bya x ；一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0.3．两条直线的位置关系：两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交.两直线平行⇔两直线的斜率相等或两直线斜率都不存在；两直线垂直⇔两直线的斜率之积为1-或一直线斜率不存在，另一直线斜率为零； 与已知直线0(0,0)Ax By C A B ++=≠≠平行的直线系方程为0()Ax By m C m ++=≠； 若给定的方程是一般式，即l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有下列结论：l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.两平行直线间距离公式：10(0,0)Ax By C A B ++=≠≠与2120(0,0,)Ax By C A B C C ++=≠≠≠的距离1222d A B=+４．圆的有关问题：圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），称为圆的标准方程，其圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，特别地，当圆心在原点（0，0），半径为r 时，圆的方程为222r y x =+，几种特殊的圆的方程设圆的圆心为(,)a b ，半径为r（1）若圆过坐标原点，则圆的标准方程为：2222()()x a y b a b -+-=+ （2）若圆与x 轴相切，则圆的标准方程为：222()()x a y b b -+-= （3）若圆与y 轴相切，则圆的标准方程为：222()()x a y b a -+-= （4）若圆心在x 轴上，则圆的标准方程为：222()x a y r -+= （5）若圆心在y 轴上，则圆的标准方程为：222()x y b r +-= （6）若圆与坐标轴相切，则圆的标准方程为：222()()x a y a a -+-=或222()()x b y b b -+-=．圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （F E D 422-+＞0）称为圆的一般方程，其圆心坐标为（2D -，2E -），半径为F E D r 42122-+=.当F E D 422-+=0时，方程表示一个点（2D -，2E -）；当F E D 422-+＜0时，方程不表示任何图形.圆的参数方程：圆的普通方程与参数方程之间有如下关系：222r y x =+ ⇔ cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）222)()(r b y a x =-+- ⇔ cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩ （θ为参数）直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系的判断：【方法一】几何法：根据圆心与直线的距离与半径的大小关系进行判断；设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则（1）d r <⇔直线与圆相交⇔直线与圆有两个公共点；（2）d r >⇔直线与圆相离⇔直线与圆无公共点；（3）d r =⇔直线与圆相切⇔直线与圆有且只有一个公共点；【方法二】代数法：把直线的方程圆的方程联立方程组，消去其中一个未知数得到关于另外一个数的未知数的一元二次方程，则（1）0∆>⇔直线与圆相交⇔直线与圆有两个公共点； （2）0∆<⇔直线与圆相离⇔直线与圆无公共点；（3）0∆=⇔直线与圆相切⇔直线与圆有且只有一个公共点； 若直线与圆相交，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则222l r d =-圆与圆的位置关系：圆与圆的位置关系的判断：设两个圆的圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则 （1）1212||O O r r >+⇔圆与圆相离⇔两个圆有四条公切线； （2）121212||||r r O O r r -<<+⇔圆与圆相交⇔两个圆有两条公切线； （3）1212||O O r r =+⇔圆与圆相外切⇔两个圆有三条公切线； （4）1212||||O O r r =-⇔圆与圆相内切⇔两个圆有一条公切线； （5）1212||||O O r r <-⇔圆与圆相内含⇔两个圆没有公切线；若圆221110x y D x E y F ++++=与圆222220x y D x E y F ++++=相交，则公共弦所在的直线方程为121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=； ５．椭圆及其标准方程：椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .椭圆的标准方程：12222=+b y a x （a ＞b ＞0），12222=+bx a y （a ＞b ＞0）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2x 项的分母大于2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.求椭圆的标准方程的方法：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知椭圆过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为221(0,0)Ax By A B +=>>或221(0,0)x y A B A B+=>>； 椭圆的参数方程： 椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.说明 ⑴ 这里参数θ叫做椭圆的离心角.椭圆上点P 的离心角θ与直线OP 的倾斜角α不同：θαtan tan a b=；⑵ 椭圆的参数方程可以由方程12222=+by a x 与三角恒等式1sin cos 22=+θθ相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换.６．椭圆的简单几何性质椭圆的几何性质：设椭圆方程为12222=+by a x （a ＞b ＞0）.范围： -a≤x≤a，-b≤x≤b，所以椭圆位于直线x=a ±和y=b ±所围成的矩形里.对称性：分别关于x 轴、y 轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 顶点：有四个1A （-a ，0）、2A （a ，0）1B （0，-b ）、2B （0，b ）. 线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆.椭圆的第二定义：平面内动点M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数ac e =（e ＜1＝时，这个动点的轨迹是椭圆.准线：根据椭圆的对称性，12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的准线有两条，它们的方程为c a x 2±=.对于椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）的准线方程，只要把x 换成y 就可以了，即c a y 2±=.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.设1F （-c ，0），2F （c ，0）分别为椭圆122=+ba （a ＞b ＞0）的左、右两焦点，M （x ，y ）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为ex a MF +=1，ex a MF -=2，椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a 、b 、c 、e 中有2a =2b +2c 、ace =两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点12,F F ，另一个顶点P 在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则三角形12F PF 的周长为定值等于22a c +，面积等于212tan 2F PF b ∠，其中b 是短半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为2b2a７．双曲线及其标准方程：双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中|1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.如果已知双曲线过两个点（不是在坐标轴上的点），求其标准方程时，为了避免对焦点的讨论可以设其方程为221(0)Ax By AB +=<或1(0)AB A B+=<８．双曲线的简单几何性质双曲线12222=-by a x 的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a ce =＞1，离心率e 越大，双曲线的开口越大.双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a by ±=或表示为02222=-by a x .若已知双曲线的渐近线方程是x nmy ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.双曲线的第二定义：平面内到定点（焦点）与到定直线（准线）距离的比是一个大于1的常数（离心率）的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线12222=-b y a x ，它的焦点坐标是（-c ，0）和（c ，0），与它们对应的准线方程分别是ca x 2-=和c a x 2=.在双曲线中，a 、b 、c 、e 四个元素间有ac e =与222b a c +=的关系，与椭圆一样确定双曲线的标准方程只要两个独立的条件.在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点12,F F ，另一个顶点P 在椭圆上，称该三角形为焦点三角形，则面积等于212tan2b F PF ∠，其中b 是虚半轴的长；过焦点垂直于对称轴的弦长即通径长为22b a．9．抛物线的标准方程和几何性质抛物线的定义：平面内到一定点（F ）和一条定直线（l ）的距离相等的点的轨迹叫抛物线。

标准文案江苏高考数学圆锥曲线性质总结椭圆与双曲线的对偶性质椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b+=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.标准文案8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。