全国版2017版高考数学一轮复习第七章立体几何7.1空间几何体的结构及其三视图和直观图课时提升作业理

然后再依据题意判定． (2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何
模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命 题进行辨析．
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【变式训练】 1.给出下列命题： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；
平行
_全___等如各__侧_图_．棱：之平间面的A关BC系与是平__面__平__A行_1B__且1C__1相_间_等_的__关__系__是．________，△ABC 与△A1B1C1 的关系是
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(如2)图棱：锥一(以个四底棱面锥是为四例边) 形，四个侧面是有一个_公___共__顶___点______的三角形．
但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构 成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的 截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中
的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台的概念 可知． 答案：②③④⑤
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其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图3所示，它是由两个同底圆
锥组成的几何体；⑤错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱 延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
答案：B
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探究点二 几何体的三视图
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(1)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )
(2)(2015·济宁模拟)点 M，N 分别是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 A1B1，A1D1 的中点，

第七章立体几何初步[深研高考·备考导航]为教师授课、学生学习提供丰富备考资源[五年考情]综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1．从考查题型、题量两个方面来看：一般是1～2个客观题，一个解答题；从考查分值看，该部分大约占17～22分．2．从考查知识点看：主要考查简单几何体的三视图及其表面积、体积、空间中线线、线面、面面的平行和垂直的关系，突出对空间想象能力、逻辑推理能力和正确迅速运算的能力，以及转化与化归思想的考查．3．从命题思路上看：(1)空间几何体的三视图及其表面积、体积的计算，主要以小题的形式考查．(2)空间点、线、面之间位置关系的判断与证明，特别是线线、线面、面面的平行与垂直，主要以解答题的形式考查．(3)根据近5年的高考试题，我们发现两大热点：①空间几何体的三视图及其表面积、体积的计算，空间位置关系有关命题的辨别．②空间平行、垂直关系的证明．[导学心语]根据近5年全国卷高考命题特点和规律，复习本章时，要注意以下几个方面：1．深刻理解以下概念、性质、定理及公式．简单几何体的结构特征；三视图及其表面积、体积公式；三个公理及线面、面面平行和垂直的八个判定定理与性质定理．2．抓住空间位置关系中平行、垂直这一核心内容强化训练，不仅要注意平行与平行、垂直与垂直间的转化，而且要重视平行与垂直间的化归转化．在推理证明中加强规X严谨性训练，避免因条件缺失、步骤混乱导致失分．3．把握命题的新动向，在保持命题连续性的同时，力求创新，空间的折叠与探索开放性问题的命题趋向值得重视．第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图————————————————————————————————[考纲传真] 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．1．简单多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；(3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝90°.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材改编)如图7­1­1，长方体ABCD­A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是( )图7­1­1A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体C[由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．]3．(2014·全国卷Ⅰ)如图7­1­2，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )图7­1­2A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱B[由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，经分析可知该几何体为如图所示的三棱柱．]4．(2016·某某高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图7­1­3所示，则该几何体的侧(左)视图为( )图7­1­3B[由几何体的正视图和俯视图可知该几何体为图①，故其侧(左)视图为图②.]5．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．2π[由题意得圆柱的底面半径r＝1，母线l＝1，所以圆柱的侧面积S＝2πrl＝2π.]空间几何体的结构特征(1)下列说法正确的是( )【导学号：31222239】A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点(2)以下命题：①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3(1)B(2)B[(1)如图①所示，可知A错．如图②，当PD⊥底面ABCD，且四边形ABCD为矩形时，则四个侧面均为直角三角形，B正确．①②根据棱台的定义，可知C，D不正确．(2)由圆锥、圆台、圆柱的定义可知①②错误，③正确．对于命题④，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，④不正确．][规律方法] 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．3．因为棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．[变式训练1] 下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线D[如图①知，A不正确．如图②，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．①②C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．由母线的概念知，选项D正确．]空间几何体的三视图☞角度1 由空间几何体的直观图判断三视图一几何体的直观图如图7­1­4，下列给出的四个俯视图中正确的是( )A B C D图7­1­4B[该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选项B适合．]☞角度2 已知三视图，判断几何体(1)某四棱锥的三视图如图7­1­5所示，该四棱锥最长棱棱长为( )图7­1­5A．1 B. 2C. 3 D．2(2)(2016·全国卷Ⅱ)如图7­1­6是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )图7­1­6A．20πB．24πC．28πD．32π(1)C(2)C[(1)由三视图知，该四棱锥的直观图如图所示，其中PA⊥平面ABCD.又PA＝AD＝AB＝1，且底面ABCD是正方形，所以PC为最长棱．连接AC，则PC＝AC2＋PA2＝22＋1＝ 3.(2)由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面积为2π×2×4＝16π，底面积为π·22＝4π；圆锥的底面直径为4，高为23，所以圆锥的母线长为232＋22＝4，所以圆锥的侧面积为π×2×4＝8π.所以该几何体的表面积为S＝16π＋4π＋8π＝28π.][规律方法] 1.由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认．2．根据三视图还原几何体．(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．(3)根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．易错警示：对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同.空间几何体的直观图(2017·某某模拟)已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )【导学号：31222240】A.34a2B.38a2C.68a 2D.616a 2 D [如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′， 则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a ， 所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.][规律方法] 1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜”(两坐标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y 轴的线段长度减半，平行于x 轴和z 轴的线段长度不变)来掌握．对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图的相关量，二是已知直观图求原图形中的相关量．2．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S 直观图＝24S 原图形． [变式训练2] 已知等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．22[如图所示：因为OE ＝22－1＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ＝24，则直观图A ′B ′C ′D ′的面积S ′＝1＋32×24＝22.][思想与方法]1．画三视图的三个原则：(1)画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”．(2)摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方．(3)实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出．2．棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想．[易错与防X]1．确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同．2．对于简单几何体的组合体，在画其三视图时首先应分清它是由哪些简单几何体组成的，然后再画其三视图，易忽视交线的位置，实线与虚线的不同致误．课时分层训练(三十八)空间几何体的结构及其三视图和直观图A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等B[根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．]2．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱A[由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．]3．(2017·某某某某一中月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图7­1­7所示，则该几何体的侧视图为( )图7­1­7A B C DD[易知侧视图的投影面为矩形．又AF的投影线为虚线，∴该几何体的侧视图为选项D.]4．一个几何体的三视图如图7­1­8所示，则该几何体的表面积为( )【导学号：31222241】图7­1­8A．3πB．4πC．2π＋4 D．3π＋4D[由几何体的三视图可知，该几何体为半圆柱，直观图如图所示．表面积为2×2＋2×12×π×12＋π×1×2＝4＋3π.]5．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图7­1­9，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )图7­1­9A.18B.17C.16D.15D [由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15，故选D.]二、填空题6．(2017·某某某某联考)一水平放置的平面四边形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图O ′A ′B ′C ′如图7­1­10所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC 的面积为________．【导学号：31222242】图7­1­102 2 [因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.]7．如图7­1­11所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P­ABC的正视图与侧视图的面积的比值为________.【导学号：31222243】图7­1­111 [三棱锥P­ABC的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.]8．某三棱锥的三视图如图7­1­12所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．图7­1­122 2 [由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中PA⊥平面ABC，M为AC的中点，且BM⊥AC，故该三棱锥的最长棱为PC.在Rt△PAC中，PC＝PA2＋AC2＝22＋22＝2 2.]三、解答题9．某几何体的三视图如图7­1­13所示．图7­1­13(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．[解] (1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后的几何体.5分(2)直观图如图所示.12分10．如图7­1­14，在四棱锥P ­ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，如图7­1­15为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．图7­1­14图7­1­15(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积； (2)求PA .[解] (1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm 的正方形，如图，其面积为36 cm 2.5分(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2.8分由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝PD2＋AD2＝622＋62＝6 3 cm.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1．在如图7­1­16所示的空间直角坐标系O­xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )图7­1­16A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②D[如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④，俯视图为②.]2．(2017·长郡中学质检)如图7­1­17是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( ) 【导学号：31222244】图7­1­17A．4 B．5C．3 2 D．3 3D[由三视图作出几何体的直观图(如图所示)，计算可知AF最长，且AF＝BF2＋AB2＝3 3.]3．(2016·高考)某四棱柱的三视图如图7­1­18所示，则该四棱柱的体积为________．图7­1­1832[由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体，将该几何体还原到长方体中，如图所示，该几何体为四棱柱ABCD­A′B′C′D′.故该四棱柱的体积V＝Sh＝12×(1＋2)×1×1＝32.]。

4．正棱柱、正棱锥的结构特征 23________ 24 (1)正棱柱：侧棱○ 垂直 于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是○ 正多边形 25正多边形 ________的直棱柱叫做正棱柱。反之，正棱柱的底面是○ ________， 垂直 于底面，侧面是矩形。 26________ 侧棱○ (2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形 的中心的棱锥叫做正棱锥。特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面 体。
考纲要求 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这 些特征描述现实生活中简单物体的结构。 2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简 易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测 法画出它们的直观图。 3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解 空间图形的不同表示形式。
解析：根据正视图与俯视图，我们可以将选项 A、C 排除，根据 侧视图，可以将 D 排除，故选 B。 答案：B
1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特面 相似
(2)旋转体的结构特征： 几何体 旋转图形 旋转轴 任一边所在的直线 圆柱 矩形 ⑦______ 任一直角边所在的直线 圆锥 直角三角形 ⑧__________ ⑨________________ 垂直于底边的腰 圆台 直角梯形 所在的直线 直径 所在的直线 球 半圆 ⑩______
考情分析 1.本部分内容是高考中的重点考查内容，涉及到空间几何体的结 构特征、空间几何体的三视图与直观图等内容。 2．命题形式主要以选择题、填空题为主，主要考查空间几何体的 三视图的确认与应用，同时这类题目也重点考查了空间几何体的结构 特征，解题要求有较强的空间想象能力。
[小题热身] 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)底面是正方形的四棱柱为正四棱柱。( × ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥。 (× ) (3)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱。( × ) (4)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的的两边分别平行 于 x 轴和 y 轴，且∠A＝90° ，则在直观图中，∠A＝45° 。( × ) (5)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同。( × )

【三维设计】2017届高考数学一轮总复习第七章立体几何理新人教版第七章⎪⎪⎪ 立体几何第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图1．简单几何体(1)简单旋转体的结构特征：①圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到； ②圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；③圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；④球可以由半圆或圆绕直径旋转得到．(2)简单多面体的结构特征：①棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；③棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．2．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．3．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．说明：正视图也称主视图，侧视图也称左视图．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．[小题体验]1．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是( )解析：选B D选项为正视图或者侧视图，俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选B.2．如图所示，等腰△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形解析：选 B 由题图知A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴，由斜二测画法知，在△ABC中，AC∥y轴，AB∥x轴，∴AC⊥AB.又因为A′C′＝A′B′，∴AC＝2AB≠AB，∴△ABC是直角三角形．3．(教材习题改编)如图，长方体ABCD­A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是______．答案：五棱柱三棱柱1．台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法．[小题纠偏]1．沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )解析：选B 给几何体的各顶点标上字母，如图1.A，E在侧投影面上的投影重合，C，G在侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示，故正确选项为B.2．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )解析：选B 根据选项A、B、C、D中的直观图，画出其三视图，只有B项正确．考点一空间几何体的结构特征基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) A．圆柱B．圆锥C．球体 D．圆柱、圆锥、球体的组合体解析：选C 截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体．2．(易错题)下列说法正确的是( )A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点解析：选B A错，如图(1)；B正确，如图(2)，其中底面ABCD是矩形，可证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图(3)；D错，由棱台的定义知，其侧棱的延长线必相交于同一点．3．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是( )A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上解析：选B 因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故A，C正确；且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故D 正确；B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立．[谨记通法]解决与空间几何体结构特征有关问题3个技巧(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，如“题组练透”第2题的A、C两项易判断失误；(3)通过反例对结构特征进行辨析．考点二空间几何体的三视图重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2016·贵州七校联考)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥ D．③④⑤解析：选B 正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.2．(2015·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A．1 B． 2C． 3 D．2解析：选C 根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V­ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD ＝VB2＋BD2＝ 3.[由题悟法]几何体画三视图的2个关键点(1)三视图的安排位置，正视图、侧视图分别放在左右两边，俯视图在正视图的下边．(2)注意实虚线的区别．[即时应用]1．(2016·临沂模拟)如图甲，将一个正三棱柱ABC­DEF截去一个三棱锥A­BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是( )解析：选C 由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB⊥平面DEF，△DEF是等边三角形，所以CD在后侧面上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面不垂直，故选C.2．(2016·南昌一模)如图，在正四棱柱ABCD ­A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P­BCD的正视图与侧视图的面积之比为( )A．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2解析：选A 根据题意，三棱锥P­BCD的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高．故三棱锥P­BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.考点三空间几何体的直观图重点保分型考点——师生共研[典例引领](2015·福州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )解析：选A 由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2 2.[由题悟法]用斜二测画法画直观图的3个步骤(1)在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行．(2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线．(3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出．[即时应用]用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为( )A．4 cm2B．4 2 cm2C．8 cm2 D．8 2 cm2解析：选 C 依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为( )A．上面为棱台，下面为棱柱B．上面为圆台，下面为棱柱C．上面为圆台，下面为圆柱D．上面为棱台，下面为圆柱解析：选C 依题意，题中的几何体上面是圆台，下面是圆柱．2．某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是( )解析：选D 几何体的正视图和侧视图完全一样，则几何体从正面看和侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能．3．给出下列四个命题：①各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；③有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④长方体一定是正四棱柱．其中正确的命题个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选A 反例：①直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；②底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；③④显然错误，故选A.4．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其正视图有最大面积时，其侧视图的面积为( )A．2 3 B．3C． 3 D．4解析：选A 当正视图的面积最大时，可知其正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示放置，此时S侧＝2 3.5．如图，线段OA在平面xOy中，它与x轴的夹角为45°，它的长为22，OA的直观图O′A′的长为________．解析：过点A作AB⊥Ox于B，∵OA＝22，∠AOB＝45°，∴OB＝AB＝2，线段OB的直观图O′B′＝2，A′B′＝1，∠O′B′A′＝135°.∴O′A′2＝22＋12－2×2×1×cos 135°，∴O′A′＝5＋2 2.答案：5＋2 2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·衡阳联考)已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )解析：选C 根据三视图的定义可知A、B、D均不可能，故选C.2．(2016·武汉调研)若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( )解析：选A B的侧视图不对，C的俯视图不对，D的正视图不对，排除B、C、D，A正确．3．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )A．圆柱B．圆锥C．四面体 D．三棱柱解析：选A 圆柱的正视图是矩形，则该几何体不可能是圆柱．4．(2015·北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则其表面中，直角三角形的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选D 由三视图可得该三棱锥的底面是直角边为2的等腰直角三角形，一个底边长为2、底边上的高为1的侧面垂直于底面，该侧面是直角边长为2的直角三角形．利用面面垂直的性质定理可得右边一个侧面是边长为2，2，6的直角三角形，则左边一个侧面的边长为2，6，22的三角形，也是直角三角形，所以该三棱锥表面的4个面都是直角三角形．5．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为( )A．24 2 B．12 2C．48 2 D．20 2解析：选A 由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝BC＝6，设平行四边形OABC的高为OE，则OE×12×22＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝42，∴S▱OABC＝6×42＝24 2.6．设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．答案：①④7．(2016·福建龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测画法画出它的直观图O′A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为________．解析：因为直观图的面积是原图形面积的2倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积4为2 2.答案：2 28．如图，点O为正方体ABCD­A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．解析：空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′上的正投影是①；在面BCC′B′及其对面ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其对面A′B′C′D′上的正投影是③.答案：①②③9．(2016·昆明、玉溪统考)如图，三棱锥V ­ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正(主)视图的面积为23，则其侧(左)视图的面积为________．解析：设三棱锥V ­ABC 的底面边长为a ，侧面VAC 的边AC 上的高为h ，则ah ＝43，其侧(左)视图是由底面三角形ABC 边AC 上的高与侧面三角形VAC 边AC 上的高组成的直角三角形，其面积为12×32a ×h ＝12×32×43＝33.答案：3310．已知正三棱锥V ­ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积． 解：(1)直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC＝23，∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C 画出直观图，共六块．2．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．解析：如图1所示，直三棱柱ABE­A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△ABE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC­A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD­A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图四边形ABCD是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.答案：①②③3．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2.由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝PD2＋AD 2＝622＋62＝6 3cm.第二节空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l2．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3[小题体验]1．如图是一个空间几何体的三视图，其中正(主)视图、侧(左)视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是( )A．41π3B．62π3C．83π3D．104π3解析：选D 由题意得，此几何体为圆柱与球的组合体，其体积V＝43π×23＋π×22×6＝104π3.2．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧(左)视图的面积为( )A．8 3 B．6 3C．12 D．8解析：选B 设此三棱柱底面边长为a，高为h，则由图示知32a＝23，∴a＝4，∴123＝34×42×h，∴h＝3，∴侧(左)视图面积为23×3＝6 3.3．(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．答案：2∶3 1∶14．(教材习题改编)已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S­ABC，它的表面积为________．解析：过S作SD⊥BC，∵BC＝a，∴SD＝32a，∴S△SBC＝34a2，∴表面积S＝4×34a2＝3a2.答案：3a21．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．3．易混侧面积与表面积的概念．[小题纠偏]1．已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )A．84 cm3 B．92 cm3C．100 cm3 D．108 cm3解析：选C 由三视图的几何体，利用体积公式求解．由三视图可得该几何体是棱长分别为6,3,6的长方体截去一个三条侧棱两两垂直，且长度分别为3,4,4的三棱锥，所以该几何体的体积是6×6×3－13×12×4×4×3＝108－8＝100cm3.2．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是________．解析：由三视图可知，该几何体由一个正四棱柱和一个棱台组成，其表面积S＝3×4×2＋2×2×2＋4×22×2＋4×6＋12×(2＋6)×2×2＝72＋16 2.答案：72＋16 2考点一空间几何体的表面积基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2015·福建高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A．8＋2 2 B．11＋2 2C．14＋2 2 D．15解析：选 B 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为12＋12＝2，所以底面周长为4＋2，侧面积为2×(4＋2)＝8＋22，两底面的面积和为2×1 2×1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋22＋3＝11＋2 2.2．(易错题)(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )A．1 B．2C．4 D．8解析：选 B 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝12×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.3．某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为( )A．12 5 B．24 2C．24 D．12 3解析：选A 由三视图得，这是一个正四棱台，由条件知斜高h＝22＋12＝5，侧面积S＝2＋4×52×4＝12 5.[谨记通法]几何体的表面积2种求法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．注意衔接部分的处理，如“题组练透”第2题．考点二空间几何体的体积重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2015·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．13＋2πB．13π6C．7π3D．5π2解析：选B 由三视图可知，该几何体是一个圆柱和半个圆锥组合而成的几何体，其体积为π×12×2＋12×13π×12×1＝136π.2．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A．18B．17C．16D．15解析：选D 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V2＝13－16＝56.所以V1V2＝1656＝15，故选D.[由题悟法]求解几何体体积的必备策略常见类型解题策略球的体积问题直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径锥体、柱根据题设条件求出所给几何体的底面体的体积问题积和高，直接套用公式求解以三视图为载体的几何体体积问题将三视图还原为几何体，利用空间几何体的体积公式求解不规则几何体的体积问题常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解[即时应用]1．(2016·浙江瑞安模拟)已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是( )A ．2B ．4C ．6D ．12解析：选B 由三视图可知此棱锥是底面为直角梯形，高为2的四棱锥，所以V ＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×2＋4×2×2＝4. 2．(2015·惠州二调)一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与侧(左)视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是( )A ．16πB ．14πC ．12πD ．8π解析：选D 由三视图可知，该几何体为一个球切去四分之一个球后剩余的部分，由于球的半径为2，所以这个几何体的体积V＝34×43π×23＝8π.考点三与球有关的切、接问题常考常新型考点——多角探明[命题分析]与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点，命题角度多变．常见的命题角度有：(1)正四面体的内切球；(2)直三棱柱的外接球；(3)正方体(长方体)的外接球；(4)四棱锥(三棱锥)的外接球．[题点全练]角度一：正四面体的内切球1．(2016·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则S1S2＝________.解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4·34·a2＝3a2，其内切球半径为正四面体高的14，即r＝14·63a＝612a，因此内切球表面积为S2＝4πr2＝πa26，则S1S2＝3a2π6a2＝63π.答案：63π角度二：直三棱柱的外接球2．已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为( )A．3172B ．210C ．132D ．310 解析：选 C 如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6， 所以球O 的半径R ＝OA ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋62＝132. 角度三：正方体(长方体)的外接球3．(2016·九江一模)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为2的球O 的球面上，且AB ＝3，BC ＝3，过点D 作DE 垂直于平面ABCD ，交球O 于E ，则棱锥E ­ABCD 的体积为________．解析：如图所示，BE 过球心O ，∴DE＝42－32－32＝2，∴V E­ABCD＝13×3×3×2＝2 3.答案：2 3角度四：四棱锥(三棱锥)的外接球4．(2016·长沙模拟)体积为163的正四棱锥S­ABCD的底面中心为O，SO与侧面成的角的正切值为22，那么过S­ABCD的各顶点的球的表面积为( )A．32π B．24πC．16π D．12π解析：选C 如图，取AB的中点为F，连接SF，过点O作OG⊥SF，则∠OSG为SO与侧面所成的角，且tan∠OSG＝OFSO＝22.设AB＝2a，则SO＝2a，所以13×4a2×2a＝163，得a＝ 2.延长SO交外接球于E，则EB⊥SB，由OB2＝SO·OE得4＝2·(2R－2)，所以R＝2，S＝4π×22＝16π.[方法归纳]“切”“接”问题处理的注意事项(1)“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( )A．163πB．323πC．16π D．24π解析：选B 设球的半径为R，则表面积是16π，即4πR2＝16π，解得R＝2.所以体积为4 3πR3＝32π3.2．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )A．203B．403C．20 D．40解析：选 B 由几何体的三视图可知该空间几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示．其体积为13×12(1＋4)×4×4＝403.3．在三角形ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC ＝90°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的侧面积为( )A．15π B．20πC．30π D．40π解析：选A 依题意知几何体为底面半径为3，母线长为5的圆锥，所得几何体的侧面积等于π×3×5＝15π.4．棱长为a的正方体有一内切球，该球的表面积为________．解析：由题意知球的直径2R＝a，∴R ＝a 2.∴S ＝4πR 2＝4π×a 24＝πa 2. 答案：πa 25．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V 1，直径为4的球的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________.解析：由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥，因此V 1＝8π－8π3＝16π3，V 2＝4π3×23＝32π3，V 1∶V 2＝1∶2. 答案：1∶2二保高考，全练题型做到高考达标1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A．7 B．6C．5 D．3解析：选A 设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.2．(2015·云南师大附中)如图是一几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．9 B．10C．12 D．18解析：选A 由三视图还原出几何体的直观图如图，SD⊥平面ABCD，AB与DC平行，AB＝2，DC＝4，AD＝3，SD＝3，所求体积V＝13×12×(2＋4)×3×3＝。

(3)由三视图想象几何体特征时要根据“⑨ 长对正
宽相等 ”的基本原则.
、⑩ 高平齐 、
3.平行投影的投影线互相平行;中心投影的投影线交于一点.
第六页，编辑于星期六：二十点 二十三分。
四、三视图与直观图的识别与转化
1.空间几何体的三视图
(1)“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线
(用①②③④⑤⑥代表图形) ( )
A.①②⑥ B.①②③
C.④⑤⑥ D.③④⑤
第二十三页，编辑于星期六：二十点 二十三分 。
答案 B
解析 正视图应该是相邻两边长为3和4的矩形,其对角线左下到右上是 实线,左上到右下是虚线,因此正视图是①;侧视图应该是相邻两边长为5 和4的矩形,其对角线左上到右下是实线,左下到右上是虚线,因此侧视图
. (2)(2014浙江,3,5分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的 体积是 ( )
A.72 cm3
B.90 cm3
3
C.108 cm
D.138 cm3
第二十五页，编辑于星期六：二十点 二十三分 。
答案 (1) 2 (2)B
2
解析 (1)如图所示.
∵OE= ( 2)2 1=1,
5.(2015浙江测试卷,4,5分)某几何体的直观图如图所示,则该几何体的三
视图不可能是 ( )
第十五页，编辑于星期六：二十点 二十三分。
答案 C A显然正确;把几何体逆时针旋转90度,所得的三视图即为B;C
也是把几何体逆时针旋转90度后所得的三视图,但侧视图是错误的;把几
何体的前面作为底面,左、右侧面还是分别作为左、右侧面,所得的三视
点A、C、D在平面xOy上的投影的坐标分别为(0,0,0),(1,2,0),(2,2,0),点B

第7章 立体几何 初步 (lìtǐjǐhé)
第一节 空间(kōngjiān)几何体的结构及其三视图和 直观图
12/11/2021
第一页，共五十五页。
[考纲传真] 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征， 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空 间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能 识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直 观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了 解空间图形的不同表示形式．
解析答案
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课堂 题型全突破
12/11/2021
第十七页，共五十五页。
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空间(kōngjiān)几何体的结构特征
1．给出下列命题：
(1)棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
(2)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；
(3)在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该
1
平行于 y 轴的线段，长度为原来的 2 .
12/11/2021
第七页，共五十五页。
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4．三视图
(1)三视图的画法规则：
主、俯视图长对正，主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，
前后对应．
(2)画简单组合体的三视图应注意的两个问题：
①首先，确定主视、俯视、左视的方向，同一物体放置的位置
不同，所画的三视图可能不同．
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第十一页，共五十五页。
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[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的
打“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．

第七章
第一节
立体几何
空间几何体的结构特征及三视图与直观图
矩形 直角边 直角腰
线
平行于圆锥底面
上下底中点连
直径
(2)简单多面体的结构特征： ①棱柱的侧棱都平行且相等 __________，上下底面是全等 ____的多边形； ②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点 ______的三 角形； ③棱台可由平行于棱锥底面 _______________的平面截棱锥得到，其上下 底面是相似 多边形．
解析：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，所以它的顶 点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，故 A，C 正 确；且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，故 D 正确； B 不正确， 如底面是一个等腰梯形时结论就不成立． 答案：B
1．(2016· 贵州七校联考)如图所示，四面体 ABCD 的四个 顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助 作用)，则四面体 ABCD 的三视图是(用①②③④⑤⑥ 代表图形) ( )
解析
解析：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯 形，上下底面的长与 BC，AD 相等，高为梯形 ABCD 的高 的 2 2倍，所以原平面图形的面积为 8 cm2. 答案：C
1．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如 图所示的几何体，则它的俯视图是 ( )
解析：D 选项为正视图或者侧视图，俯视图中显然应有一 个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选 B. 答案：B
2．如图所示，等腰△A′B′C′是△ABC 的直观图，那么 △ABC 是 ( )
A．等腰三角形 C．等腰直角三角形
解析
2．(2016· 南昌一模)如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， 点 P 是平面 A1B1C1D1 内一点， 则三棱锥 P BCD 的正视 图与侧视图的面积之比为 ( )

考点一
题组训练
解决空间几何体结构特征问题的三个策略 (1)把握几何体的结构特征，提高空间想象力． (2)构建几何模型、变换模型中的线面关系． (3)通过反例对结构特征进行辨析．
考点二
典题悟法 演练冲关
空间几何体的三视图|
试题
解析
(1) (2016·温州模拟)若某几何体的三视
图如图所示，则此几何体的直观图是( A ) 利用排除法求解．B 的侧
体，则它的俯视图是( B )
由于三视图可见部分用实 线画出，不可见部分用虚 线画出，故选 B.
知识点二
知识点一 知识点二
试题
解析
4．某几何体的三视图如图所示，根 据三视图可以判断这个几何体为
(C )
根据俯视图与侧视图，可得
该几何体为三棱柱．
知识点三
A．圆锥 C．三棱柱
B．三棱锥 D．三棱台
知识点三 空间几何体的直观图
2．旋转体的形成
几何体 旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边 所在的直线
圆锥 直角三角形 任一直角边 所在的直线
圆台 直角梯形 垂直于底边的腰 所在的直线
球
半圆
直径 所在的直线
知识点一
知识点一 知识点二 知识点三
易误提醒 (1)棱台可以看成是由棱锥截得的，但截面一定与底面
平行． (2)球的任何截面都是圆．球面被经过球心的平面截得的圆叫作大 圆，大圆的半径等于球的半径；被不经过球心的平面截得的圆叫作 小圆，小圆的半径小于球的半径．
知识点二
知识点一 知识点二 知识点三
空间几何体的三视图
1．三视图的名称 几何体的三视图包括： 正视图 、 侧视图 、 俯视图 ． 2．三视图的画法 (1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线． (2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的 正前 方、 正___左_方、_正__上__方观察几何体的正投影图．

第七章 立体几何与空间向量
第1节 空间几何体的结构、三视图 和直观图
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能 运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等 的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体
模型，会用斜二测法画出它们的直观图． 3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平 行四边形；③正方形的直观图是正方形；④圆的直观图是椭 圆；⑤菱形的直观图是菱形．
[解析] ①正确；由原图形中平行的线段在直观图中仍平 行可知②正确；但是原图形中垂直的线段在直观图中一般不垂 直，故③错；④正确；⑤中原图形中相等的线段在直观图中不 一定相等，故错误．
[解析] 选C 图是C.
[答案] C
长方体的侧面与底面垂直，所以俯视
3．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边边长 分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三 棱锥的主视图是( )
[解析] 通过观察图形，三棱锥的主视图应为高为4，底面 边长为3的直角三角形．
[答案] B
4. 利用斜二测画法得到的以下结论，正确的是_____．(写 出所有正确的序号)
[答案] ①②④
5. 一个几何体的主视图为一个三角形，则这个几何体可能 是下列几何体中的________．(填入所有可能的几何体前的编 号)
①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥ 圆柱．
[解析] ①存在可以得主视图为三角形的情况；②四棱 锥，若底面是矩形，有一侧棱垂直于底面可以得主视图为三角 形；③三棱柱，把侧面水平放置，正对着底面看，得主视图为 三角形；④四棱柱，不论从哪个方向看都得不出三角形；⑤圆 锥的底面水平放置，主视图是三角形；⑥圆柱从不同方向看是 矩形或圆，不可能是三角形．

高考数学一轮复习第7章立体几何7.1空间几何体的结构及其三视图和直观图学案理05212226[知识梳理]1．多面体的结构特征2．旋转体的结构特征3．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴与y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴(或y′轴)垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段的长度在直观图中变为原来的一半．4．三视图(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线．[诊断自测]1．概念思辨(1)棱锥的侧棱都相等．( )(2)圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的直线都是母线．( )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( )答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．教材衍化(1)(必修A2P15T4)如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的几何体是( )答案 A解析对于A，该几何体的三视图恰好与已知图形相符，故A符合题意；对于B，该几何体的正视图的矩形中，对角线应该是虚线，故不符合题意；对于C，该几何体的正视图的矩形中，对角线应该是从左上到右下的方向，故不符合题意；对于D，该几何体的侧视图的矩形中，对角线应该是虚线，而且应该是从左下到右上，不符合题意．故选A.(2)(必修A2P28T3)如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是( )答案 C解析由直观图和俯视图知，正视图中点D1的射影是B1，侧棱BB1是看不见的，在正视图中用虚线表示，所以正视图是选项C中的图形．故选C.3.小题热身(1)(2017·长沙模拟)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A－BCD的正视图，俯视图是(注：选项中的上图是正视图，下图是俯视图)( )答案 A解析正视图是等腰直角三角形，且AD属于看不见的线段，用虚线表示，俯视图也是等腰直角三角形，且BD属于看不见的线段，用虚线表示．故选A.(2)(2017·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A．3 2 B．2 3C．2 2 D．2答案 B解析在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱．由三视图可知正方体的棱长为2，故SD＝22＋22＋22＝2 3.故选B.题型1 空间几何体的结构特征典例下列结论正确的个数是________．(1)有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱；(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；(3)有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台；(4)直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；(5)若在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．举反例法．答案0个解析(1)(2)(3)(4)的反例见下面四个图．(5)平行于轴的连线才是母线．方法技巧空间几何体结构特征有关问题的解题策略1．关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例即可．2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意应用“还台为锥”的解题策略．冲关针对训练下列结论正确的是________．①各个面都是三角形的几何体是三棱锥．②若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱．③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形．④一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．答案③解析①错误，如图1；②错误，若两个垂直于底面的侧面平行，则可为斜棱柱；③正确，如图2，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，那么四棱锥P－ABCD四个侧面都是直角三角形；④错误，当截面与底面不平行时，不正确．题型2 空间几何体的直观图典例 (2018·桂林模拟)已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A.34a 2B.38a 2C.68a 2D.616a 2 根据平面图形的原图形与直观图的关系求解．答案 D解析 如图(1)所示的是△ABC 的实际图形，图(2)是△ABC 的直观图．由图(2)可知A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图(2)中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .∴S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.故选D. [条件探究] 若将典例条件变为“△ABC 的直观图△A 1B 1C 1是边长为a 的正三角形”，则△ABC 的面积是多少？解在△A 1D 1C 1中，由正弦定理a sin45°＝xsin120°，得x ＝62a ，∴S △ABC ＝12×a ×6a ＝62a 2. 方法技巧用斜二测画法画直观图的技巧1．在原图形中与x 轴或y 轴平行的线段在直观图中仍然与x ′轴或y ′轴平行． 2．原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线．3．原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点，然后用平滑曲线连接．冲关针对训练用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y 轴，BC ，AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为22cm 2，则原平面图形的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2答案 C解析 依题意可知∠BAD ＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC ，AD 相等，高为梯形ABCD 的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm 2.故选C.题型3 空间几何体的三视图角度1 已知几何体识别三视图典例 (2018·湖南长沙三校一模)已知点E ，F ，G 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，CC 1，DD 1的中点，点M ，N ，Q ，P 分别在线段DF ，AG ，BE ，C 1B 1上．以M ，N ，Q ，P 为顶点的三棱锥P－MNQ的俯视图不可能是( )答案 C解析当M与F重合、N与G重合、Q与E重合、P与B1重合时，三棱锥P－MNQ的俯视图为A；当M，N，Q，P是所在线段的中点时，三棱锥P－MNQ的俯视图为B；当M，N，Q，P 位于所在线段的非端点位置时，存在三棱锥P－MNQ，使其俯视图为D.不管M，N，P，Q在什么位置，三棱锥P－MNQ的俯视图都不可能是正三角形．故选C.角度2 已知三视图还原几何体A为此几何体所典例(2018·河北名师俱乐部模拟)某几何体的三视图如图所示，记有棱的长度构成的集合，则 ( )A．3∈A B．5∈AC．26∈A D．43∈A答案 D解析由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，其中底面是边长为4的正方形，AF ⊥平面ABCD，AF∥DE，AF＝2，DE＝4，可求得BE的长为43，BF的长为25，EF的长为25，EC的长为4 2.故选D.方法技巧1．已知几何体，识别三视图的技巧已知几何体画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定线在投影面上的实虚．2．已知三视图，判断几何体的技巧(1)一般情况下，根据正视图、侧视图确定是柱体、锥体还是组合体．(2)根据俯视图确定是否为旋转体，确定柱体、锥体类型、确定几何体摆放位置．(3)综合三个视图特别是在俯视图的基础上想象判断几何体．提醒：对于简单组合体的三视图，应注意它们的交线的位置，区分好实线和虚线的不同．冲关针对训练(2017·文登市三模)空间几何体的三视图如图所示，则此空间几何体的直观图为( )答案 A解析 由已知三视图的上部分是锥体，是三棱锥，三棱锥的底面是等腰三角形，但不是直角三角形，排除B ，C.等腰三角形的一个顶点在正方体一条棱的中点，故排除D.故选A.1．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A ．10B ．12C ．14D ．16答案 B解析 观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中共有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×12×(2＋4)×2＝12.故选B.2．(2016·全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π答案 A解析 由三视图可知，该几何体是一个球被截去18后剩下的部分，设球的半径为R ，则该几何体的体积为78×43πR 3，即283π＝78×43πR 3，解得R ＝2.故其表面积为78×4π×22＋3×14×π×22＝17π.选A.3．(2014·湖北高考)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②答案 D解析设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)．∵B，C，D在平面yOz上的投影的坐标分别为(0,2,0)，(0,2,1)，(0,2,2)，点A(0,0,2)在平面yOz上，又点C的横坐标小于点B和D的横坐标，∴该几何体的正视图为题图④.∵点A，C，D在平面xOy上的投影的坐标分别为(0,0,0)，(1,2,0)，(2,2,0)，点B(2,2,0)在平面xOy上，∴该几何体的俯视图为题图②.故选D.4．(2018·济宁模拟)点M，N分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1B1，A1D1的中点，用过A，M，N和D，N，C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图、侧视图、俯视图依次为图2中的 ( )A．①②③B．②③④C．①③④D．②④③答案 B解析由正视图的定义可知：点A，B，B1在后面的投影点分别是点D，C，C1，线段AN 在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，正视图为②；同理可得侧视图为③，俯视图为④.故选B.[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )答案 D解析由俯视图是圆环可排除A，B，C，进一步将已知三视图还原为几何体，故选D.2．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，E是AB的三等分点，G，N是CD 的三等分点，F，H分别是BC，MN的中点，则四棱锥A′－EFGH的侧视图为 ( )答案 C解析在侧视图中A′E，A′G重合，A′H成为A′N，A′F，A′B重合，侧视图为向左倾斜的三角形．故选C.3．(2017·临沂模拟)如图甲，将一个正三棱柱ABC－DEF截去一个三棱锥A－BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是( )答案 C解析 由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB ⊥平面DEF ，△DEF 是等边三角形，所以CD 在后侧面上的投影为AB 的中点与D 的连线，CD 的投影与底面不垂直．故选C.4．(2018·江西景德镇质检)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1上、下底面中心分别为O 1，O 2，将正方体绕直线O 1O 2旋转一周，其中由线段BC 1旋转所得图形是( )答案 D解析 由图形的形成过程可知，在图形的面上能够找到直线，在B ，D 中选，显然B 不对，因为BC 1中点绕O 1O 2旋转得到的圆比B 点和C 1点的小．故选D.5．(2017·内江模拟)如图，已知三棱锥P －ABC 的底面是等腰直角三角形，且∠ACB ＝π2，侧面PAB ⊥底面ABC ，AB ＝PA ＝PB ＝2.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x ，y ，z 分别是( )A.3，1， 2B.3，1,1 C ．2,1， 2 D ．2,1,1答案 B解析 ∵三棱锥P －ABC 的底面是等腰直角三角形，且∠ACB ＝π2，侧面PAB ⊥底面ABC ，AB ＝PA ＝PB ＝2；∴x 是等边△PAB 边AB 上的高，x ＝2sin60°＝3，y 是边AB 的一半，y ＝12AB ＝1，z 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的中线，z ＝12AB ＝1；∴x ，y ，z 分别是3，1,1.故选B.6．(2017·南昌二模)一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别是(0,0,0)，(1,0,1)，(0,1,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到侧(左)视图可以为( )答案 B解析满足条件的四面体如下图，依题意投影到yOz平面为正投影，所以侧(左)视方向如图所示，所以得到侧(左)视图效果如上图．故选B.7．(2018·湖南郴州模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )A．①② B．①③C．③④ D．②④答案 D解析由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.8．(2018·江西赣州模拟)某几何体的正视图和侧视图如图1，它的俯视图的直观图是矩形O1A1B1C1，如图2，其中O1A1＝6，O1C1＝2，则该几何体的侧面积为( )A．48 B．64C．96 D．128答案 C解析由题图2及斜二测画法可知原俯视图为如图所示的平行四边形OABC，设CB与y 轴的交点为D，则易知CD＝2，OD＝2×22＝42，∴CO＝CD2＋OD2＝6＝OA，∴俯视图是以6为边长的菱形，由三视图知几何体为一个直四棱柱，其高为4，所以该几何体的侧面积为4×6×4＝96.故选C.9．早在公元前三百多年我国已经运用“以度审容”的科学方法，其中商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的一种标准量器，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为( )A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4答案 B解析 由三视图知，商鞅铜方升是由一个圆柱和一个长方体组合而成的，利用体积及已知线段长度即可求出x .故其体积为(5.4－x )×3×1＋π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×x ＝16.2－3x ＋14πx ＝12.6，又π＝3，故x ＝1.6.故选B.10．(2018·辽宁六校联考)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是( )答案 B解析 根据所给的三视图可知原几何体是倒放的圆锥，设圆锥的底面半径为R ，高为H ，水流的速度是v ，则由题意得vt ＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫h H 2R 2h .当vt >0时，解得h ＝33vH 2t πR 2，这是一个幂型函数，所以容器中水面的高度h 随时间t 变化的图象类似于幂函数y ＝3x 的图象，故选B.二、填空题11．如图所示，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm.答案 8解析 根据直观图的画法可知，在原几何图形中，OABC 为平行四边形，且有OB ⊥OA ，OB ＝22，OA ＝1，所以AB ＝3.从而原图的周长为8 cm.12．如图，点O 为正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为平面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在该正方体的各个面上的投影可能是 (填出所有可能的序号)．答案 ①②③解析 空间四边形D ′OEF 在正方体的平面DCC ′D ′上的投影是①；在平面BCC ′B ′上的投影是②；在平面ABCD 上的投影是③，而不可能出现的投影为④的情况．13．一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是________．答案 2 3 解析 由三视图可知该四面体为D －BD 1C 1，由直观图可知面积最大的面为△BDC 1.在正三角形BDC 1中，BD ＝22，所以面积S ＝12×(22)2×32＝2 3. 14．(2018·大连模拟)某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是________．答案27解析由三视图可知该四面体为V－ABC，如图所示．其中AE⊥BE，VC⊥平面ABE.EC＝CB＝2，AE＝23，VC＝2，所以VB2＝VC2＋CB2＝8，VB＝22，AC2＝AE2＋EC2＝(23)2＋22＝16，所以VA2＝AC2＋VC2＝16＋22＝20，VA＝20＝2 5.AB2＝AE2＋EB2＝(23)2＋42＝28，所以AB＝28＝27>25>22，所以该四面体的六条棱的长度中，最大的为27.三、解答题15．已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．解 (1)如右图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝ 23， ∴侧视图中VA ＝42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232 ＝2 3.∴S △VBC ＝12×23×23＝6. 16．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的侧面积S .解 由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．(1)V ＝13×(8×6)×4＝64. (2)四棱锥的两个侧面VAD ，VBC 是全等的等腰三角形，取BC 的中点E ，连接OE ，VE ，则△VOE 为直角三角形，VE 为△VBC 边上的高，VE ＝ VO 2＋OE 2＝4 2.同理侧面VAB 、VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高h ＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5. ∴S 侧＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2.。

第一节空间几何体的构造及其三视图和直观图【最新考纲】 1. 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的构造特点，并能运用这些特点描绘现实生活中简单物体的构造 .2. 能画出简单空间图形 ( 长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简略组合 ) 的三视图，能辨别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图 .3. 会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，认识空间图形的不一样表示形式．1．多面体的构造特点(1)棱柱的侧棱都相互平行，上下底面是全等的多边形．(2)棱锥的底面是随意多边形，侧面是有一个公共极点的三角形．(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥获得，其上下底面是相像多边形．2．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任向来角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线3.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包含：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前面、正左方、正上方察看几何体的正投影图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是(1)原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中， x′轴，y′轴的夹角为 45°或 135°，z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直．(2) 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段在直观图中长度为本来的一半．1． ( 怀疑夯基 ) 判断以下结论的正误．( 正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )(2) 有一个面是多边形，其他各面都是三角形的几何体是棱锥．( )(3) 用斜二测画法画水平搁置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴和 y 轴，且∠ A＝90°，则在直观图中，∠A＝45° .()(4) 正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均同样．()答案： (1) ×(2) ×(3) ×(4) ×2．如图，长方体 ABCD A′ B′ C′ D′中被截去一部分，此中EH∥A′D′.剩下的几何体是()A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体分析：由几何体的构造特点，剩下的几何体为五棱柱．答案： C3．(2016 ·邯郸调研) 一几何体的直观图如下图，以下给出的四个俯视图中正确的选项是()分析：因为组合体的上部分( 五面体 ) 与下部分 ( 长方体 ) 有同样的底面，则几何体在下底面的投影为图形 B.答案： B4．(2015 ·课标全国Ⅱ卷) 一个正方体被一个平面截去一部分后，节余部分的三视图如以下图，则截去部分体积与节余部分体积的比值为()1 1 1 1A. 8B. 7C.6D. 5分析：如下图，由条件知，截去部分是正三棱锥D ABC.设正方体的棱长为a，则 V ＝a3 6 ，D ABC所以节余部分的体积V ＝5 3剩6a ，1故它们的体积之比为5.答案： D5．以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 ________．分析：由题意得圆柱的底面半径r ＝1，母线 l ＝ 1.所以圆柱的侧面积S＝ 2πrl ＝ 2π.答案： 2π一种思想棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后获得的，所以在解决棱台和圆台的有关问题时，常“还台为锥”，表现了转变的数学思想．两点注意1．注意空间几何体的不一样搁置对三视图的影响．2．画直观图注意平行性、长度两个因素．(1) 平行性不变； (2) 平行于 y 轴的线段长度减半，平行于x 轴、 z 轴的线段长度不变．三条规则——画三视图应按照的三条规则1．画法例则：“长对正，宽相等，高平齐”．2．摆放规则：侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的正下方．3．实虚线的画法例则：可见轮廓线和棱用实线画出，不行见线和棱用虚线画出．A 级基础稳固一、选择题1．(2014 ·福建卷 ) 某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不行能是() A．圆柱B．圆锥C．四周体D．三棱柱分析：由三视图知识知圆锥、四周体、三棱柱( 放倒看 ) 都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不行能为三角形．答案： A2．一个锥体的正视图和侧视图如下图，下边选项中，不行能是该锥体的俯视图的是()分析：注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项 C 中，其宽3，与题中所给的侧视图的宽度 1 不相等，所以选 C.度为2答案： C3．已知正方体的棱长为 1，其俯视图是一个面积为 1 的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )A.3B．1C.2＋ 1D. 22 2分析：因为该正方体的俯视图是面积为 1 的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，所以该几何体的正视图是一个长为2，宽为 1 的矩形，其面积为 2.答案： D4．(2014 ·北京卷 ) 在空间直角坐标系O xyz 中，已知 A(2 ，0，0) ，B(2 ，2，0) ，C(0 ，2， 0) ，D(1 ，1，2) ．若 S1，S2，S3分别是三棱锥D ABC在 xOy，yOz， zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则()A． S1＝ S2＝S3B．S2＝S1且S2≠ S3C． S3＝ S1且 S3≠ S2D．S3＝S2且S3≠ S1分析：如右图所示。

B．1 D．3
第二十二页，编辑于星期六：二十点 三十六分。
解析: ①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；② 正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多 边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．
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判定与空间几何体结构特征有关命题的方法 (1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征， 依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中 的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误 的，只要举出一个反例即可.
考点二 空间几何体的三视图(高频考点) 空间几何体的三视图是每年高考的热点，题型为选择题或填 空题，难度适中，属于中档题． 高考对三视图的考查常有以下三个命题角度： (1)根据几何体的结构特征确认其三视图． (2)根据三视图还原直观图． (3)由空间几何体的部分视图画出剩余部分视图．
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1.给出下列四个命题： ①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱； ②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； ④若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱． 其中错误的命题的序号是______①__②__③_④__________．
系的简单命题．
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知识点
第七章 立体几何
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1.了解空间向量的意义及相关概念，了解直线的方向 向量的意义，理解平面的法向量的意义． 2．掌握空间向量的线性运算及其运算律，理解共线 (平行)向量，共面向量的意义，能利用它们证明简单 的空间向量共线和共面的问题． 空间向量 3．理解空间向量的数量积的意义及其运算律，理解 及其运算 空间向量的长度和夹角的意义． 4．了解空间向量基本定理及其意义，了解空间向量 的的正交分解，掌握其坐标表示；会在简单的问题中

触类旁通 解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1) 熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模 型， 在条件不变的情况下， 变换模型中的线面关系或增加线、 面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是 错误的，只要举出一个反例即可．
【变式训练 1】 锥；
第7章 立体几何
第1讲 空间几何体的结构及其三视图和 直观图
板块一 知识梳理· 自主学习
[ 必备知识] 考点 1 空间几何体的结构特征
考点 2
空间几何体的三视图
1．三视图的形成与名称 空间几何体的三视图是用平行投影得到的， 在这种投影 之下， 与投影面平行的平面图形留下的影子， 与平面图形的 形 状 和 大 小 是 完 全 相 同 的 ， 三 视 图 包 括 正视图、侧视图、俯视图． ________________________
原图形
＝2 2S
直观图
)．
一、疑难辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．球的任何截面都是圆．( × ) 2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体 是棱锥． ( × ) 3．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆 柱．( × )
4．上下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆 台．( × ) 5．在用斜二测画法画水平放置的∠ A时，若∠ A的两 边分别平行于 x轴和 y轴，且∠ A ∠ A＝45° .( × ) ＝ 90° ，则在直观图中
二、小题快练 1 ． [2017· 广州七校联考 ] 如图为几 何体的三视图， 根据三视图可以判断这 个几何体为( A．圆锥 C．三棱柱
解析 故选 C.
) B．三棱锥 D．三棱台
由三视图可知，该几何体是一个横放的三棱柱，

第三节空间点、直线、平面之间的地点关系【最新考纲】 1. 理解空间直线、平面地点关系的定义.2. 认识能够作为推理依照的公理和定理 .3. 能运用公义、定理和已获取的结论证明一些空间地点关系的简单命题．1．平面的基天性质公义 1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．公义 2：过不共线的三点，有且只有一个平面．公义 3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的地点关系3.平行公义 ( 公义 4) 和等角定理平行公义：平行于同一条直线的两条直线平行．等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(1) 定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线 a′∥ a，b′∥ b，把 a′与 b′所成的锐角或直角叫做异面直线 a 与 b 所成的角．π(2) 范围： (0，2]．1． ( 怀疑夯基 ) 判断以下结论的正误．( 正确的打“√”，错误的打“×”．)(1) 两个平面α，β有一个公共点 A，就说α，β 订交于过 A 点的随意一条直线． ()(2) 两两订交的三条直线最多能够确立三个平面．( )(4) 若直线 a 不平行于平面α ，且a?α ，则α 内的全部直线与a 异面． ()答案： (1) ×(2) √(3) ×(4) ×2．以下图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别是AB， AD的中点，则异面直线B1C与 EF 所成的角的大小为()A． 30°B．45°C． 60° D ． 90°分析：连结 B1D1， D1C，则 B1D1∥ EF，故∠D1B1C为所求，又 B1D1＝ B1C＝ D1C，∴∠ D1B1C＝60° .答案： C3． ( 经典再现 ) 在以下命题中，不是公义的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在此平面内D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线分析： A 不是公义，是个常用的结论，需经过推理论证；B， C， D 是平面的基天性质公理．答案： A4．(2015 ·广东卷 ) 若直线 l 1和 l 2是异面直线， l 1在平面α内， l 2在平面β内， l 是平面α与平面β的交线，则以下命题正确的选项是()A． l 与 l 1， l 2都不订交B． l 与 l 1， l 2都订交C． l 至多与 l 1， l 2中的一条订交D． l 起码与 l 1， l 2中的一条订交分析： 法一∵l 与 l ， l 2分别共面．1故直线 l 与 l 1， l 2 要么都不订交，要么起码与l 1，l 2 中的一条订交．若 l ∥l 1， l ∥ l 2， 则 l 1∥ l 2，这与 l 1， l 2 是异面直线矛盾．故 l 起码与 l 1， l 2 中的一条订交．法二如图 1，l 1 与 l 2 是异面直线， l 1 与 l 平行， l 2与 l 订交， 故 A ，B 不正确； 如图 2，l 1 与 l 2 是异面直线， l 1， l 2 都与 l 订交，故 C 不正确．答案： D5．已知正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 中，E 、F 分别为 BB 1、 CC 1 的中点，那么异面直线 AE 与D 1F 所成角的余弦值为 ________．分析： 连结 DF ，则 AE ∥DF ，∴∠ D 1FD 为异面直线 AE 与 D 1F 所成的角．设正方体棱长为 a ，55则 D 1D ＝ a ， DF ＝ 2 a ， D 1F ＝ 2 a ，5 25 222 a ＋ 2－ a 3∴ cos ∠ D 1FD ＝55＝ 5.2· 2 a · 2 a3答案：5两点注意1．异面直线不一样在任何一个平面内，不可以错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．2．直线与平面的地点关系在判断时最易忽略“线在面内”．两种方法异面直线的判断方法：1．判断定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．2．反证法：证明两直线不行能平行、订交或证明两直线不行能共面，进而可得出两直线异面．三个作用1．公义 1 的作用： (1) 判断直线在平面内；(2) 由直线在平面内判断直线上的点在平面内； (3) 由直线的“直”刻画平面的平．2．公义 2 的作用：公义 2 及其推论给出了确立一个平面或判断直线共面的方法．3．公义 3 的作用： (1) 判断两平面订交；(2) 作两平面订交的交线；(3) 证明多点共线．A 级基础稳固一、选择题1．给出以下命题：①不共面的四点中，此中随意三点不共线；②若点 A， B， C， D 共面，点A， B， C， E 共面，则点A， B， C， D， E 共面；③若直线 a， b 共面，直线a， c 共面，则直线b， c 共面；④挨次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3分析：①中明显是正确的；②中若A，B，C 三点共线则A，B，C，D，E 五点不必定共面，不正确；③结构长方体或正方体，如图明显b、 c 异面故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，不正确．故只有①正确．答案： B2．(2015 ·湖北卷 )l ， l 2 表示空间中的两条直线，若p ： l ， l 2是异面直线， q ： l ， l2111不订交，则 ()A ． p 是 q 的充足条件，但不是 q 的必需条件B ． p 是 q 的必需条件，但不是 q 的充足条件C ． p 是 q 的充足必需条件D ． p 既不是 q 的充足条件，也不是 q 的必需条件分析： 若 l 1，l 2 异面，则 l 1，l 2 必定不订交；若 l 1， l 2 不订交，则 l 1，l 2 是平行直线或异面直线．故 p? q ， q? / p ，故 p 是 q 的充足不用要条件．答案： A3．(2016 ·郑州联考 ) 已知直线 a 和平面 α，β ，α ∩ β ＝l ， a?α ，a?β ，且 a 在 α ，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线 b 和 c 的地点关系是 ( )A ．订交或平行B ．订交或异面C ．平行 或异面D ．订交、平行或异面分析： 依题意，直线 b 和 c 的地点关系可能是订交、平行或异面．答案： D4．如图是某个正方体的侧面睁开图，l 1， l 2 是两条侧面对角线，则在正方体中， l 1 与l 2( )A ．相互平行B ．异面且相互垂直C．异面且夹角为πD ．订交且夹角为π3 3分析：将侧面睁开图复原成正方体以下图，则B， C两点重合．故l 1与 l 2订交，连结AD，则△ ABD 为正三角形，因此l 1与 l 2的夹角为π . 3答案： D5．(2016 ·山东师大附中月考) 三棱柱 ABC A1B1C1中，AA1与 AC、AB 所成的角均为 60°，∠BAC＝ 90°，且 AB＝ AC＝ AA1，则 A1B 与 AC1 所成角的正弦值为 ( )A． 11C.3 6B. D.33 3分析：以下图，把三棱柱补形为四棱柱ABDC A B D C ，连结 BD，A D ，则 BD∥ AC，1 1 1 1 1 1 1 1 1 则∠ A1BD1就是异面直线A1B 与 AC1所成的角，设AB＝α，在△A1BD1中， A1B＝ a， BD1＝3a，6A D ＝ 2a，∴ sin ∠ A BD＝3 .1 1 1 1答案： D二、填空题6．以下图，正方体ABCD A1B1C1D1中， M、N 分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个①直线 AM与 CC1是订交直线；②直线 AM与 BN是平行直线；③直线 BN与 MB1是异面直线；④直线 MN与 AC所成的角为 60° .此中正确的结论为________( 注：把你以为正确的结论序号都填上) ．分析：由图可知AM与 CC1是异面直线， AM与 BN是异面直线， BN与 MB1为异面直线．由于 D1C∥ MN因此直线 MN与 AC所成的角就是D1C与 AC所成的角，且角为60°.答案：③④7．如图，正四棱柱ABCD A1B1C1D1( 底面为正方形，侧棱与底面垂直) 中， AA1＝ 2AB，则异面直线A1B 与 AD1所成角的余弦值为________．分析：连接 BC1， A1C1，则 A1B 与 BC1所成角即为所求．在△A1BC1中，设 AB＝ a，则A1B ＝BC1＝ 5a， A1C1＝ 2a，22 2A1B ＋C1B － A1C1 44答案：58．(2014 ·江西卷 ) 如图，正方体的底面与正四周体的底面在同一平面α 上，且AB∥CD，则直线 EF与正方体的六个面所在的平面订交的平面个数为________．分析：取 CD的中点为G，由题意知平面EFG与正方体的左、右边面所在平面重合或平行，进而EF 与正方体的左、右边面所在的平面平行或EF在平面内．因此直线 EF 与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面订交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面订交的平面个数为 4.答案： 4三、解答题9．以下图，正方体ABCD A1B1C1D1中， M、 N 分别是 A1B1， B1C1的中点．问：(1)AM 和 CN是不是异面直线？说明原因．(2)D 1B 和 CC1是不是异面直线？说明原因．解： (1)AM， CN不是异面直线．原因：连结MN， A1C1， AC.由于 M， N 分别是 A1B1， B1C1的中点，因此MN∥A1C1.又由于 A1A 綊 C1C，因此 A1ACC1为平行四边形，因此 A1C1∥AC，因此 MN∥AC，因此 A， M， N，C 在同一平面内，故 AM和 CN不是异面直线．(2)直线 D1B 和 CC1是异面直线．原因：由于ABCD A1B1C1D1是正方体，因此B， C， C1，D1不共面．假定D1B 与 CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B?平面α ，CC1?平面α ，因此 D1，B， C， C1∈α，这与 B， C， C1， D1不共面矛盾．因此假定不建立，1 1即 D B 和 CC 是异面直线．10．以下图，在三棱锥 P ABC中， PA⊥底面 ABC，D 是 PC的中点．已知∠ BAC＝π2 ，AB＝ 2， AC＝ 2 3，PA＝ 2. 求：(1)三棱锥 P ABC的体积；(2)异面直线 BC与 AD所成角的余弦值．1解： (1)S △ABC＝2× 2× 2 3＝ 2 3，三棱锥 P ABC的体积为11 4V＝3S△ABC· PA＝3× 2 3× 2＝3 3.(2)如图，取 PB的中点 E，连结 DE，AE，则 ED∥BC，因此∠A DE是异面直线 BC与 AD所成的角 ( 或其补角 ) ．在△ ADE中， DE＝ 2， AE＝2， AD＝ 2，2 22＋2－2 33故异面直线BC与 AD所成角的余弦值为4.B 级能力提高1．如图是正方体或四周体，P， Q，R，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是()分析：在 A 图中分别连结PS， QR，易证 PS∥QR，∴ P， Q， R， S 共面；在 C 图中分别连结PQ， RS，易证 PQ∥RS，∴ P， Q， R， S 共面；以下图，在 B 图中过 P， Q， R， S可作一正六边形，故四点共面；D图中 PS与 QR为异面直线，∴P， Q， R， S 四点不共面．答案： D2．(2016 ·青岛质检 ) 如图，正方形 ACDE与等腰直角三角形 ACB所在的平面相互垂直，且AC＝ BC＝ 2，∠ ACB＝ 90°， F，G分别是线段 AE，BC的中点，则 AD与 GF所成的角的余弦值为 ________．分析：取 DE的中点 H，连结 HF，GH.1由题设， HF2AD.∴∠ GFH为异面直线AD与 GF所成的角 ( 或其补角 )在△ GHF中，可求 HF＝2， GF＝GH＝6，HF23∴cos∠ HFG＝GF＝6 .3答案：63．(2016 ·佛山质检 ) 如图，四棱锥 P ABCD中，侧面 PAD是边长为 2 的正三角形，且与底面垂直，底面 ABCD是∠ ABC＝ 60°的菱形， M为 PC的中点．(1)求证： PC⊥AD；(2)在棱 PB上能否存在一点 Q，使得 A， Q， M， D 四点共面？若存在，指出点Q的地点并证明；若不存在，请说明原因．(1) 证明：取 AD的中点 O，连结 OP， OC， AC.由于四边形ABCD是∠ ABC＝ 60°的菱形．因此∠ ADC＝ 60°， AD＝ CD，则△ ACD是等边三角形，OC⊥ AD在等边△ PAD 中， PO⊥ AD又 OC∩OP＝ O，OC? 平面 POC， OP? 平面 POC，因此 AD⊥平面 POC，由 PC? 平面 POC，得 PC⊥AD.(2) 解：存在．当点 Q为棱 PB 的中点时， A，Q， M， D 四点共面，证明以下：取棱 PB的中点 Q，连结 QM， QA.由于点 M为 PC的中点，因此QM∥BC在菱形 ABCD中， AD∥ BC因此 QM∥AD故 A，Q， M， D四点共面．。

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【解析】 (1)把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上 得到矩形 ABCD(如图)，
由题意知 BC＝3π cm，AB＝4π cm，点 A 与点 C 分别是铁丝 的起、止位置，故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度，又 AC ＝ AB2＋BC2＝5π (cm)，故铁丝的最短长度为 5π cm.
第七章
立体几何(lìt共四十三页。
第一节 空间(kōngjiān)几何体的结构特征和直观图
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第二页，共四十三页。
课标要求
考情分析
1.认识柱、锥、台、 1.本节内容是高考中的重点考查内容，
球及其简单组合体 涉及空间几何体的结构特征、空间几何
的结构特征，并能运 体的直观图等内容．
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第二十三页，共四十三页。
解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平 行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂 直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确， 因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面； ④正确，如图，正方体 AC1 中的三棱锥 C1-ABC，四个面都是直 角三角形；⑤正确，由棱台的概念可知．
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方法技巧 空间几何体概念辨析题的常用方法 1定义法：紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的 情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据 定义进行判定. 2反例法：通过反例对结构特征进行辨析.
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给出下列命题： ①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形； ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂 直； ③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则 该四棱柱为直四棱柱； ④存在每个面都是直角三角形的四面体； ⑤棱台的侧棱延长后交于一点． 其中正确命题的序号是____②__③__④__⑤_____.