高中数学第二章基本初等函数（I）新人教版必修12.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算第1课时根式目标定位 1.理解n次方根及n次根式的概念.2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.自主预习1.根式及相关概念(1)a的n次方根定义如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示(3)根式n叫做根指数，a叫做被开方数.2.根式的性质(1)n0＝0(n∈N*，且n＞1)；(2)(na)n＝a(n∈N*，且n＞1)；(3)na n＝a(n为大于1的奇数)；(4)na n＝|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a（a≥0），－a（a＜0）(n为大于1的偶数).即时自测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)根式一定是无理式.()(2)若(n－5)n有意义，则整数n一定是奇数.()(3)a 的n 次方根是na .( ) (4)(m －2)2＝m －2.( )提示 (1)错.根式不一定是无理式，如327＝3，16＝4. (2)对.当整数n 为偶数时，(n－5)n 没有意义.(3)错.当a >0，n 为偶数时，a 的n 次方根为±na . (4)对.根据n 次方根的意义，(m －2)2＝m －2. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2.已知x 7＝16，则x ＝( ) A.2 2B.716C.－716D.±716解析 由根式的定义知x ＝716. 答案 B3.若a ＋(a －2)0有意义，则a 的取值范围是( ) A.a ≥0B.a ＝2C.a ≠2D.a ≥0且a ≠2解析 要使此式子有意义，必须满足a ≥0且a －2≠0，即a ≥0且a ≠2. 答案 D4.3（－1）3＝________；481＝________.解析 当n 为奇数时，na n＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |，∴3（－1）3＝－1，481＝3. 答案 －1 3类型一 n 次方根的概念问题【例1】 (1)若81的平方根为a ，－8的立方根为b ，则a ＋b ＝________.(2)若31a －3有意义，则实数a 的取值范围是________. 解析 (1)依题意，a ＝±81＝±9，b ＝3－8＝－2. ∴a ＋b ＝－11或a ＋b ＝7.(2)由于根指数是3，只需1a －3有意义，∴a －3≠0，故a 的取值范围是{a |a ≠3}.答案 (1)－11或7 (2){a |a ≠3}规律方法 (1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个.(2)根式na 的符号由根指数n 的奇偶性及被开方数a 的符号共同确定： ①当n 为偶数时，为非负实数；②当n 为奇数时，na 的符号与a 的符号一致. 【训练1】 (1)若x 4＝3，则x ＝________. (2)设m ＜0，则(－m )2＝________.解析 (1)依题意，x 是3的4次方根，∴x ＝±43. (2)∵m ＜0，∴－m ＞0，∴(－m )2＝－m .答案 (1)±43 (2)－m 类型二 根式的化简与求值 【例2】 (1)化简13（2＋5）3＋1（32－5）3；(2)求值5＋26＋7－4 3.解 (1)原式＝12＋5＋12－5＝5－2－(5＋2)＝－4.(2)5＋26＋7－43＝3＋26＋2＋4－43＋3 ＝（3＋2）2＋（2－3）2＝3＋2＋2－3＝2＋ 2.规律方法 (1)①解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式是奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.②开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简.(2)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论.【训练2】 (2016·吉林高一检测)化简3（1＋2）3＋4（1－2）4. 解3（1＋2）3＋4（1－2）4.＝2＋1＋|1－2|＝2＋1＋2－1＝2 2.类型三 有限制条件的根式运算(互动探究) 【例3】 (1)若x <0，则x ＋|x |＋x 2x ＝________；(2)若代数式2x －1＋2－x 有意义， 化简4x 2－4x ＋1＋24（x －2）4. [思路探究]探究点一 代数式2x －1＋2－x 有意义，x 应满足什么条件？ 提示 要开偶次方根，满足2x －1≥0且2－x ≥0. 探究点二 代数式4x 2－4x ＋1如何去掉根号？提示 将4x 2－4x ＋1化为(2x －1)2，再利用根式的性质去根号. 解 (1)当x <0时，x ＋|x |＋x 2x＝x －x ＋|x |x ＝－xx＝－1.(2)由2x －1＋2－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2－x ≥0，即12≤x ≤2.故4x 2－4x ＋1＋24（x －2）4 ＝（2x －1）2＋24（x －2）4 ＝|2x －1|＋2|x －2|＝2x －1＋2(2－x )＝3. 规律方法 有限制条件的根式化简注意两点：(1)条件的运用：充分利用已知条件，确定所要化简的代数式中根式的根指数是奇数还是偶数，确定被开方数是正数还是负数.(2)讨论的标准：如果根式的被开方数不确定时，可依据题设条件对被开方数取正值、负值、零进行分类讨论，得出结论.【训练3】 设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值. 解 原式＝（x －1）2－（x ＋3）2＝|x －1|－|x ＋3| ∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时， 原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2； 当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4，∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2 （－3＜x ＜1），－4 （1≤x ＜3）.[课堂小结]1.对n 次方根的三点说明(1)当n 为奇数时，正数a 的n 次方根是一个正数，负数a 的n 次方根是一个负数，记作na . (2)当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，记作±na ，负数没有偶次方根. (3)零的任何次方根都是0. 2.根式记号的注意点(1)根式中根指数要求n >1，且n ∈N *.(2)当n 为奇数时，n a 中a ∈R ，当n 为偶数时，na 中a ≥0.3.掌握两个公式：(1)(na )n＝a ，n 为奇数；(2)na n＝a ，n 为偶数，n a n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≥0），－a （a ＜0）.1.若m 是实数，则下列式子中可能没有意义的是( ) A.4m 2B.3mC.6mD.5－m解析 C 中，6m 隐含m ≥0；当m <0时，没有意义. 答案 C2.下列各式正确的是( ) A.8a 8＝aB.a 0＝1C.4（－4）4＝－4D.3（－3）3＝－3解析 A 中，8a 8＝|a |，当a <0时，不成立.B 中，当a ＝0时，a 0没意义，B 不正确.C 中，4（－4）4＝444＝4，C 不正确；D 中3（－3）3＝－3正确.答案 D3.若x >3，则x 2－6x ＋9－|2－x |＝________.解析 原式＝（x －3）2－|2－x |＝|x －3|－|2－x |＝x －3－(x －2)＝－1(x >3). 答案 －14.(2016·杭州高一检测)化简：(a －1)2＋（1－a ）2＋7（a －1）7. 解 由题意知a －1有意义，则a ≥1.原式＝(a －1)＋|1－a |＋(a －1)＝a －1＋a －1＋a －1＝3a －3.基 础 过 关1.若a ＜12，则化简4（2a －1）2的结果是( )A.2a －1B.－2a －1C.1－2aD.－1－2a解析 ∵a ＜12，∴2a －1＜0，∴（2a －1）2＝1－2a ，∴4（2a －1）2＝1－2a .答案 C2.下列式子中成立的是( ) A.a －a ＝－a 3B.a －a ＝－a 3C.a －a ＝－－a 3D.a －a ＝a 3解析 依题意－a ≥0，即a ≤0，∴a －a ＝－（－a ）2（－a ）＝－（－a ）3＝－－a 3. 答案 C3.(2016·天津高一检测)化简（x ＋3）2－3（x －3）3得( ) A.6 B.2xC.6或－2xD.－2x 或6或2解析 原式＝|x ＋3|－(x －3)，当x ≥－3时，原式＝x ＋3－x ＋3＝6.当x <－3时，原式＝－(x ＋3)－x ＋3＝－2x . 答案 C4.计算：12－1－⎝⎛⎭⎫350＋⎝⎛⎭⎫94－0.5＋4（2－e ）4＝____________.解析 原式＝2＋1－1＋⎝⎛⎭⎫232×0.5＋e －2＝e ＋23.答案 e ＋235.若x 2＋4x ＋4＝－x －2，则实数x 的取值范围是________. 解析 因为x 2＋4x ＋4＝（x ＋2）2＝|x ＋2|. 又|x ＋2|＝－(x ＋2)，所以x ＋2≤0，故x ≤－2. 答案 (－∞，－2]6.化简n（x －π）n (x <π，且n ∈N *). 解 ∵x ＜π，∴x －π＜0，当n 为偶数时，n（x －π）n ＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，n（x －π）n ＝x －π， 综上，n（x －π）n＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ，n 为偶数，n ∈N *.x －π，n 为奇数，n ∈N * 7.若等式（x －5）（x 2－25）＝(5－x )x ＋5成立，求实数x 的取值范围. 解 由于（x －5）（x 2－25）＝（x －5）2（x ＋5） 依题意要使（x －5）2（x ＋5）＝(5－x )x ＋5成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，即－5≤x ≤5.故实数x 的取值范围是[－5，5].8.当2－x 有意义时，化简x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9. 解 ∵2－x 有意义，∴2－x ≥0，即x ≤2， ∴x 2－4x ＋4－x 2－6x ＋9 ＝（x －2）2－（x －3）2 ＝|x －2|－|x －3|＝2－x －(3－x ) ＝－1.能 力 提 升9.化简－x 3x 的结果为( )A.－－xB.xC.－xD.－x解析 要使式子有意义，只需－x 3>0，即x <0，所以－x 3x ＝－x －xx ＝－－x .答案 A10.已知二次函数y ＝ax 2＋2bx 图象如图所示，则4（a －b ）4的值为( )A.a ＋bB.－(a ＋b )C.a －bD.b －a解析 由图象知a ＜0，－ba ＞－1，故b ＞a ，即a －b ＜0，∴4（a －b ）4＝|a －b |＝b －a .答案 D11.若a <0，则a 2·(a ＋1)＋3a 3＝________.解析 ∵a <0，∴a 2·(a ＋1)＋3a 3＝|a |(a ＋1)＋a ＝－a (a ＋1)＋a ＝－a 2. 答案 －a 212.若x －1＋4x ＋y ＝0，则x 2 015＋y 2 016＝________.解析 由x －1＋4x ＋y ＝0，得x －1＝0且4x ＋y ＝0，∴x ＝1且y ＝－1， 从而x 2 015＋y 2 016＝12 015＋(－1)2 016＝1＋1＝2. 答案 213.已知4a 4＋4b 4＝－a －b ，求4（a ＋b ）4＋3（a ＋b ）3的值.解 因为4a 4＋4b 4＝－a －b .所以4a 4＝－a ，4b 4＝－b ，所以a ≤0，b ≤0，所以a ＋b ≤0，所以原式＝|a ＋b |＋a ＋b ＝－(a ＋b )＋a ＋b ＝0.探 究 创 新14.若x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x －12(x －x 12)＝________.解析 因为x >0，所以原式＝(2x 14)2－(332)2－4x －12·x ＋4x －12·x 12＝4x 14×2－332×2－4x －12＋4x －12＋12＝4x 12－33－4x 12＋4x 0＝4x 12－33－4x 12＋4＝4－27＝－23. 答案 －23第2课时 指数幂及运算目标定位 1.理解分数指数幂的含义；熟练掌握用分数指数幂表示一个正实数的n 次方根.2.会进行根式与分数指数幂的相互转化，能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简.3.经历用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程，了解实数指数幂的含义.自 主 预 习1.分数指数幂(1)定义：规定正数的正分数指数幂的意义是：a m n ＝a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a －m n ＝1a mn (a ＞0，m 、n ∈N *，且n ＞1)；(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.2.有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )；(2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q ).温馨提示：分数指数幂a mn 不能理解为mn 个a 相乘；任何有意义的根式都能化为分数指数幂的形式.3.无理数指数幂一般地，无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.即 时 自 测1.234化成根式形式为( ) A.324B.423C.432 D.243解析 结合正分数指数幂的运算性质可知234＝423. 答案 B2.5a －2可化为( ) A.a －25 B.a 52C.a 25D.－a 52解析5a －2＝(a －2)15＝a －25.答案 A3.计算[(－5)－3]－13的结果是________. 解析 [(－5)－3]－13＝(－5)(－3)(－13)＝－5.答案 － 5 4.a 3a 2＝________.解析 ∵a3a 2＝a 12a 23＝a 12－23＝a －16＝16a .答案16a类型一 根式与分数指数幂的互化 【例1】 (1)(2016·济宁高一检测)设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A.a 12 B.a 32 C.a 56 D.a 76(2)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( )A.－x ＝(－x )12(x >0) B.6y 2＝y 13(y <0)C.x －34＝4⎝⎛⎭⎫1x 3(x >0) D.x －13＝－3x (x ≠0)解析 (1)a 2a ·3a 2＝a 2a ·a 23＝25132()a a＝a 2a 56＝a 2－56＝a 76. (2)选项A 中，(－x )12无意义，不正确. B 中，6y 2＝y 26＝(－y )13(y <0)，B 不正确. C 中，x －34＝⎝⎛⎭⎫1x 34＝4⎝⎛⎭⎫1x 3(x >0)正确. D 中，x －13＝⎝⎛⎭⎫1x 13＝31x ≠－3x (x ≠0)，不正确.答案 (1)D (2)C规律方法 (1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化关系式： ①根指数指数幂的分母.②被开方数(式)的指数分数指数幂的分子.(2)当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简.【训练1】 将下列各式化为分数指数幂的形式. (1)13x ·（5x 2）2(x >0)；(2)ab 3ab 5(a >0，b >0).解 (1)原式＝13x ·⎝⎛⎭⎫x 252＝13x ·x 45＝13x 95＝3513935511x xx -==⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)原式＝[ab 3(ab 5)12]12＝[a ·a 12b 3(b 5)12]12＝(a 32b 112)12＝a 34b 114. 类型二 利用分数指数幂运算性质化简与求值【例2】 (2016·宁波高一检测)计算：(1)a 23b 12·⎝⎛⎭⎫－3a 12b 13÷⎝⎛⎭⎫13a 16b 56. (2)(0.064)－13－⎝⎛⎭⎫－780＋⎝⎛⎭⎫811614＋|－0.01|12.解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎫－3÷13a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a . (2)原式＝(0.43)－13－1＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫32414＋(0.12)12＝0.4－1－1＋32＋0.1＝3110.规律方法 (1)①由分数指数幂的概念，将根式化成分数指数幂.②利用分数指数幂的运算性质进行化简.(2)对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；在进行指数幂运算时，通常是化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时要兼顾运算的顺序. 【训练2】 化简求值：(1)⎝⎛⎭⎫5x －23y 12·⎝⎛⎭⎫－14x －1y 12·⎝⎛⎭⎫－56x 13y －16； (2)(2016·温州高一检测)计算：⎝⎛⎭⎫32－13×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42解 (1)原式＝5·⎝⎛⎭⎫－14·⎝⎛⎭⎫－56x －23－1＋13y 12＋12－16＝2524x －43y 56. (2)原式＝⎝⎛⎭⎫2313×1＋234·214－122323⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝⎝⎛⎭⎫2313＋21－⎝⎛⎭⎫2323×12＝⎝⎛⎭⎫2313＋2－⎝⎛⎭⎫2313＝2. 类型三 分数指数幂的综合应用【例3】 已知a 12＋a -12＝3，求a ＋a －1，a 2＋a－2的值.解 ∵a 12＋a -12＝3，∴两边平方得：a ＋a －1＋2a 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝9， 故a ＋a －1＝7.将a ＋a －1＝7两边平方得a 2＋a －2＋2a ·a －1＝49.因此a 2＋a －2＝47.规律方法 条件求值问题的两个步骤及一个注意点 (1)两个步骤：(2)一个注意点：若已知条件或所求式子中含有平方差、立方差的形式，要注意整体代换及平方差、立方差公式的灵活应用.【训练3】 若例3条件变为：已知x ＋x －1＝7，求值：(1)x 12＋x －12；(2)x 12－x －12.解 (1)设m ＝x 12＋x －12，两边平方得m 2＝x ＋x －1＋2x 12·x －12＝7＋2＝9.又m >0，所以m ＝3，即x 12＋x －12＝3.(2)设n ＝x 12－x －12则n 2＝x ＋x －1－2x 12·x －12＝7－2＝5.∴n ＝±5，即x 12－x －12＝±5. [课堂小结]1.分数指数幂与根式互化(1)指数幂a m n 不可以理解为mn 个a 相乘，它是根式的一种新写法.在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化.(2)通常规定分数指数幂的底数a >0，但要注意在像(－a )14＝4－a 中的a ，则需要a ≤0. 2.对有理数指数幂的运算性质的三点说明(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的幂等于幂的积.(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘. (3)化简的结果不能同时含有根式和分数指数幂.3.根式一般先转化成分数指数幂，然后再利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换为指数的方法，然后运用运算性质准确求解.1.⎝⎛⎭⎫81625－14的值是( ) A.35B.53C.325D.259解析 ⎝⎛⎭⎫81625－14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫354－14＝⎝⎛⎭⎫35－1＝53.答案 B2.计算⎝⎛⎭⎫2a －3b －23·(－3a －1b )÷⎝⎛⎭⎫4a －4b －53得( ) A.－32b 2B.32b 2 C.－32b 73D.32b 73 解析 原式＝－6a －4b134a －4b －53＝－32b 2.答案 A3.614－3338＋30.125的值为________. 解析 原式＝⎝⎛⎭⎫522－3⎝⎛⎭⎫323＋3⎝⎛⎭⎫123＝52－32＋12＝32. 答案 324.(2015·淮安高一检测)不用计算器求下列各式的值： (1)⎝⎛⎭⎫21412－0.30－16-34；(2)设x 12＋x -12＝2，求x ＋x －1.解 (1)原式＝⎝⎛⎭⎫9412－1－(24) -34＝32－1－2－3＝12－18＝38. (2)由x 12＋x-12＝2，得⎝⎛⎭⎫x 12＋x －122＝4，即x ＋x －1＋2＝4，故x ＋x －1＝2.基 础 过 关1.已知a m ＝4，a n ＝3，则a m －2n的值为( )A.23 B.6C.32D.2解析am －2n＝a m（a n ）2＝49＝23. 答案 A2.如果x ＝1＋2b ，y ＝1＋2－b ，那么用x 表示y 等于( )A.x ＋1x －1B.x ＋1xC.x －1x ＋1D.x x －1解析 由x ＝1＋2b ，得2b ＝x －1，y ＝1＋2－b ＝1＋12b ＝1＋1x －1＝x x －1.答案 D3.化简(36a 9)4(63a 9)4的结果为( ) A.a 16B.a 8C.a 4D.a 2解析 (36a 9)4(63a 9)4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 964⎝ ⎛⎭⎪⎫6a 934＝⎝⎛⎭⎫a 124⎝⎛⎭⎫a 124＝a 4.答案 C4.（3×223×512）（－4×212×513）－3×216×556＝________. 解析 原式＝223＋2＋12－16×512＋13－56＝23＝8. 答案 85.下列根式、分数指数幂的互化中，正确命题的序号是______. ①－x ＝(－x )12 (x ≠0)；②x －13＝－3x ；③⎝⎛⎭⎫x y －34＝4⎝⎛⎭⎫y x 3(x ，y ≠0)；④⎝ ⎛⎭⎪⎫4b －32－23＝b 19. 解析 ①不正确，∵－x ＝－x 12； ②不正确，∵x －13＝13x；③正确，∵⎝⎛⎭⎫x y －34＝⎝⎛⎭⎫y x 43＝4⎝⎛⎭⎫y x 3； ④不正确，∵b ≠0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫4b －23－23＝b 19.答案 ③6.计算下列各式的值或化简：(1)(0.027)13－⎝⎛⎭⎫61412＋25634＋(22)23－3－1＋π0； (2)化简：44x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－34x ·13y ÷⎝⎛⎭⎪⎫－63y 2x . 解 (1)原式＝[(0.3)3]13－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫52212＋(44) 34＋⎝⎛⎭⎫23223－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝96715. (2)原式＝4×（－3）－6x 14＋14－(－12)y －13－23＝2x ·y －1＝2x y .7.化简：3xy 2·xy －1·xy ·(xy )－1(xy ≠0). 解 原式＝⎣⎡⎦⎤xy 2（xy －1）1213·(xy )12·(xy )－1＝x 13·y 23|x |16|y |-16·|x |-12·|y |-12 ＝x 13·|x |-13＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，－1，x <0.8.化简：a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3a . 解 原式＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13·a 13 ＝a 13（a －8b ）4b 23＋2a 13b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13 ＝a （a －8b ）⎝⎛⎭⎫a 133－⎝⎛⎭⎫2b 133＝a （a －8b ）a －8b＝a . 能 力 提 升9.(2016·宜春高一检测)计算2－12＋（－4）2＋12－1－（1－5）0，结果是( )A.1B.2 2C. 2D.2－12解析 原式＝12＋12＋2＋1（2＋1）（2－1）－1 ＝22＋22＋2＋1－1＝2 2. 答案 B10.(2016·长沙长郡中学模块检测)化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( )A.1B.－1C.a 2－1a 2＋1D.a 2＋1a 2－1解析 (a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)＝（a －a －1）2（a ＋a －1）（a －a －1）＝a －a －1a ＋a －1＝a （a －a －1）a （a ＋a －1）＝a 2－1a 2＋1. 答案 C11.设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝________，(2α)β＝________. 解析 利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝2-15.答案 1421512.(2016·湖北襄阳五中月考)⎝⎛⎭⎫21412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎫338－23＋(1.5)－2＝________.解析 原式＝⎝⎛⎭⎫9412－1－⎝⎛⎭⎫278－23＋⎝⎛⎭⎫232＝32－1－⎝⎛⎭⎫827－23＋⎝⎛⎭⎫232＝12－⎝⎛⎭⎫232＋⎝⎛⎭⎫232＝12.答案 1213.(2016·天津高一检测)已知a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，求a b －a－b的值.解 由a b ＋a －b ＝22，得(a b ＋a －b )2＝8.所以a 2b ＋a－2b＋2＝8，即a 2b ＋a－2b＝6.同理(a b －a －b )2＝a 2b ＋a－2b－2＝6－2＝4又a >1，b <0知a b －a －b <0. 故a b －a －b ＝－2.探 究 创 新14.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，求a －ba ＋b的值. 解 因为a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4，因为a >b >0，所以a >b >0.所以a －b a ＋b >0.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15， 所以a －ba ＋b＝15＝55.2.1.2 指数函数及其性质 第1课时 指数函数的图象及性质目标定位 1.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义.2.能用描点法或借助计算器或计算机画出指数函数的图象.3.初步理解指数函数的有关性质(定义域、值域、特殊点、单调性).自 主 预 习1.指数函数的概念一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 2.指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象和性质温馨提示：指数函数的图象和性质中，掌握图象是关键，根据图象可以观察理解函数的性质.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x 3，y ＝2x ＋1，y ＝52x 都是指数函数.( )(2)指数函数的图象经过点(2，4)，则当x ＝3时，y ＝8.( ) (3)函数y ＝2x与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象关于y 轴对称.( )提示 (1)错.只有y ＝52x ＝10x 是指数函数.(2)对.设指数函数为y ＝a x ，得4＝a 2，所以a ＝2.所以y ＝2x .当x ＝3时，y ＝8. (3)对.作出这两个函数的图象，可知这两个函数的图象关于y 轴对称.答案 (1)× (2)√ (3)√2.下列各函数中，是指数函数的是( ) A.y ＝(－2)x B.y ＝－5x C.y ＝4x －1D.y ＝⎝⎛⎭⎫15x解析 根据指数函数的概念知，y ＝⎝⎛⎭⎫15x是指数函数. 答案 D3.函数y ＝⎝⎛⎭⎫43x的图象可能是( )解析 因为43>1，图象经过点(0，1)，所以y ＝⎝⎛⎭⎫43x 的图象可能是选项A 的图象.答案 A4.函数f (x )＝2x 与y 轴的交点坐标为________. 解析 令x ＝0得f (0)＝20＝1. 答案 (0，1)类型一 指数函数的概念【例1】 在下列的关系式中，哪些是指数函数，为什么？ (1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝(－2)x ；(3)y ＝－2x ；(4)y ＝πx ；(5)y ＝x 2；(6)y ＝(a －1)x (a ＞1，且a ≠2).解 只有(4)，(6)是指数函数，因它们满足指数函数的定义；(1)中解析式可变形为y ＝2x ·22＝4·2x ，不满足指数函数的形式；(2)中底数为负，所以不是；(3)中解析式中多一负号，所以不是；(5)中指数为常数，所以不是；(6)中令b ＝a －1，则y ＝b x ，b ＞0且b ≠1，所以是. 规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a 为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x ；(3)a x 的系数是1. 2.求指数函数的关键是求底数a ，并注意a 的限制条件.【训练1】 函数y ＝(2a －3)x 是指数函数，则实数a 的取值范围是________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2a －3>0，2a －3≠1，解得a >32且a ≠2.答案 ⎝⎛⎭⎫32，2∪(2，＋∞) 类型二 指数函数的图象【例2】 如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( )A.a <b <1<c <dB.b <a <1<d <cC.1<a <b <c <dD.a <b <1<d <c解析 法一 在y 轴的右侧，指数函数的图象由下到上，底数依次增大.由指数函数图象的升降，知c >d >1，b <a <1.∴b <a <1<d <c .法二 作直线x ＝1，与四个图象分别交于A 、B 、C 、D 四点，由于x ＝1代入各个函数可得函数值等于底数的大小，所以四个交点的纵坐标越大，则底数越大. 由图可知b <a <1<d <c .答案 B规律方法 1.无论指数函数的底数a 如何变化，指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象与直线x ＝1相交于点(1，a )由图象可知：在y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.2.处理指数函数的图象：①抓住特殊点，指数函数图象过点(0，1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响.【训练2】 函数y ＝|2x －2|的图象是( )解析 y ＝2x －2的图象是由y ＝2x 的图象向下平移2个单位长度得到的.故y ＝|2x －2|的图象是由y ＝2x －2的图象在x 轴上方的部分不变，下方部分对折到x 轴的上方得到的.所以选项B 满足函数y ＝|2x －2|的图象特征. 答案 B类型三 求指数型函数的定义域、值域 【例3】 求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝21x －4；(2)y ＝1－2x ；(3)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3.解 (1)由x －4≠0，得x ≠4，故y ＝21x －4的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠4}.又1x －4≠0，即21x －4≠1， 故y ＝21x －4的值域为{y |y ＞0，且y ≠1}.(2)由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0， ∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0].由0＜2x ≤1，得－1≤－2x ＜0，∴0≤1－2x ＜1， ∴y ＝1－2x 的值域为[0，1).(3)y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4， ∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16. 又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3＞0，故函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0，16]. 规律方法 1.对于y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)型函数的定义域、值域(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合. (2)值域可分两步求解：①换元，令t ＝f (x )，x ∈D ，并求t ＝f (x )的值域M . ②利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域. 2.求指数型函数定义域、值域注意两点：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集. (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论.【训练3】 (1)函数y ＝1－⎝⎛⎭⎫12x的定义域是________.(2)已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象过点(2，1)，则f (x )的值域为( ) A.[9，81]B.[3，9]C.[1，9]D.[1，＋∞)解析 (1)要使函数有意义，则有1－⎝⎛⎭⎫12x≥0，即⎝⎛⎭⎫12x≤1＝⎝⎛⎭⎫120.解得x ≥0.故函数的定义域为[0，＋∞).(2)∵y ＝f (x )的图象过点(2，1)，∴32－b ＝1，∴b ＝2，则f (x )＝3x －2，由于2≤x ≤4，知0≤x －2≤2.故f (x )的值域是[1，9]. 答案 (1)[0，＋∞) (2)C [课堂小结]1.指数函数概念的理解判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否具有三个特征： (1)底数a >0，且为不等于1的常数，也不含有自变量x . (2)指数位置是自变量x ，且x 的系数是1. (3)a x 的系数是1.2.指数函数的图象随底数的变化规律由图象可知：在y 轴右侧，图象从下到上相应的底数由小变大.可概括为第一象限内，底数自下而上依次增大.3.指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的性质分底数a ＞1，0＜a ＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的.4.(1)由于指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为R ，即x ∈R ，所以函数y ＝a f (x )(a ＞0且a ≠1)与函数f (x )的定义域相同.(2)求函数y ＝a f (x )(a ＞0且a ≠1)的值域的方法如下： ①换元，令t ＝f (x )，并求出函数t ＝f (x )的定义域； ②求t ＝f (x )的值域t ∈M ；③利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t 在t ∈M 上的值域.1.函数f (x )＝2x －32的定义域是( ) A.(5，＋∞) B.[5，＋∞) C.(－∞，5)D.(－∞，5]解析 依题意2x －32≥0，即2x ≥25，解得x ≥5.所以函数y ＝2x －32的定义域为[5，＋∞). 答案 B 2.函数y ＝5－|x |的图象是( )解析 当x ＞0时，y ＝5－|x |＝5－x＝⎝⎛⎭⎫15x，又原函数为偶函数，选项D 的图象满足要求.答案 D3.若函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则实数a ＝________.解析 由y ＝(a 2－3a ＋3)·a x是指数函数，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2. 答案 24.求函数y ＝512x －4的定义域和值域.解 依题意2x －4>0，∴x >2，∴函数y ＝512x －4的定义域为(2，＋∞).当x >2时，2x －4>0， 则12x －4>0，又指数函数y ＝5t 在(0，＋∞)上是增函数，∴y >1， 故函数y ＝512x －4的值域为(1，＋∞).基 础 过 关1.函数y ＝2x＋1的图象是( )解析 当x ＝0时，y ＝2，且函数单调递增，故选A. 答案 A2.若函数f (x )＝(a －1)x 在R 上是指数函数，那么实数a 的取值范围是( ) A.(0，1)∪(1，＋∞) B.(1，2) C.(1，2)∪(2，＋∞) D.(0，＋∞)解析 由题意得a －1>0且a －1≠1，所以a >1且a ≠2. 答案 C3.(2016·浙江求实高中期中)函数y ＝a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( ) A.(0，1)B.(1，0)C.(2，1)D.(0，2)解析 因为y ＝a x 的图象一定经过点(0，1)，将y ＝a x 的图象向上平移1个单位得到函数y ＝a x ＋1的图象，所以，函数y ＝a x ＋1的图象经过点(0，2). 答案 D4.函数y ＝4x ＋2的值域是________.解析 因为对于任意x ∈R ，都有4x >0，所以4x ＋2>2，即函数y ＝4x ＋2的值域是(2，＋∞). 答案 (2，＋∞)5.已知函数y ＝(a －2)x 是指数函数，且当x <0时，y >1，则实数a 的取值范围是________. 解析 由题知函数y ＝(a －2)x 是减函数，所以0<a －2<1，即2<a <3. 答案 (2，3)6.求函数y ＝32x －1－19的定义域.解 要使函数有意义，则32x －1－19≥0，即32x －1≥3－2.∵函数y ＝3x 是增函数， ∴2x －1≥－2，即x ≥－12.故所求函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. 7.已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a ＞0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域. 解 (1)∵f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，12， ∴a 2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1，x ≥0.由x ≥0，得x －1≥－1， 于是0＜⎝⎛⎭⎫12x －1≤⎝⎛⎭⎫12－1＝2， 所以函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域为(0，2].8.若y ＝(a －3)(a －2)x 是指数函数，求函数f (x )＝a 1x ＋2的定义域与值域.解 因为y ＝(a －3)(a －2)x是指数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝1，a －2>0且a －2≠1，解得a ＝4.所以f (x )＝41x ＋2由x ＋2≠0，知f (x )的定义域是{x |x ∈R 且x ≠－2}.令t ＝1x ＋2，则t ≠0，所以4t >0且4t ≠1，故f (x )的值域为{y |y >0且y ≠1}.能 力 提 升9.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x －12，x ＞0，2x ，x ≤0，则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19＝( ) A.4B.14C.－4D.－14解析 因为f ⎝⎛⎭⎫19＝1－⎝⎛⎭⎫19－12＝－2，所以f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫19＝f (－2)＝2－2＝14. 答案 B10.函数y ＝－e x 的图象( ) A.与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 B.与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称C.与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称D.与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称解析 y ＝e x 的图象与y ＝－e x 的图象关于x 轴对称，y ＝－e x 的图象与y ＝e －x 的图象关于原点对称. 答案 D11.(2016·浙江杭州西湖高中月考)已知集合A ＝{x |1≤2x <16}，B ＝{x |0≤x <3，x ∈N }，则A ∩B ＝________.解析 由1≤2x <16得0≤x <4，即A ＝{x |0≤x <4}，又B ＝{x |0≤x <3，x ∈N }，所以A ∩B ＝{0，1，2}.答案 {0，1，2}12.方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是______.解析 作出y ＝|2x －1|的图象(如图)，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0. 答案 {a |a ≥1或a ＝0} 13.设f (x )＝3x，g (x )＝⎝⎛⎭⎫13x.(1)在同一坐标系中作出f (x )，g (x )的图象.(2)计算f (1)与g (－1)，f (π)与g (－π)，f (m )与g (－m )的值，从中你能得到什么结论？ 解 (1)函数f (x )与g (x )的图象如图所示：(2)f (1)＝31，g (－1)＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3.f (π)＝3π，g (－π)＝⎝⎛⎭⎫13－π＝3π. f (m )＝3m，g (－m )＝⎝⎛⎭⎫13－m＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的指数互为相反数时，它们的图象关于y 轴对称.探 究 创 新14.已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|x |－1. (1)作出f (x )的简图.(2)若关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解，求实数m 的取值范围.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫13x －1，x ≥0，3x －1，x <0，如图所示.(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且－1<f (x )≤0.作出直线y ＝3m ，当－1<3m <0，即－13<m <0时，函数y ＝f (x )与y ＝3m 有两个交点. 故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－13，0. 第2课时 指数函数及其性质的应用目标定位 1.能够利用指数函数的图象和性质比较数的大小，解不等式.2.在解决一些简单的实际问题中，体会指数函数是一类重要的函数模型.3.会求一些与指数函数有关的简单复合函数的定义域、值域、单调性等.自 主 预 习1.比较幂大小的方法(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图象的变化规律来判断. 2.简单指数不等式的解法形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x 的单调性求解； (1)当0<a <1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x )； (2)当a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x ). 3.形如y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)函数的性质 (1)函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )有相同的定义域.(2)当a ＞1时，函数y ＝a f (x )与y ＝f (x )具有相同的单调性；当0＜a ＜1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反.即 时 自 测1.思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当a >1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性相同；当0<a <1时，函数y ＝a f (x )与函数y ＝f (x )的单调性相反.( )(2)函数y ＝a 2x －1(a >0且a ≠1)的定义域是(0，＋∞).( )(3)函数y ＝3－x ＋1的值域是R .( )提示 (1)对.由复合函数的单调性的性质知，该结论正确；(2)错.由指数函数的定义知，函数y ＝a 2x －1(a >0且a ≠1)的定义域是R ；(3)错.函数y ＝3－x ＋1的值域是(0，＋∞).答案 (1)√ (2)× (3)× 2.已知x ，y 为正实数，则( ) A.2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B.2lg (x＋y )＝2lg x ·2lg yC.2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg yD.2lg(xy )＝2lg x ·2lg y解析 利用指数幂及对数的运算性质逐项验证.A 项，2lg x＋lg y＝2lg x ·2lg y ，故错误；B 项，2lg x ·2lgy＝2lg x＋lg y＝2lg(x ·y )≠2lg(x＋y )，故错误；C 项，2lg x ·lg y＝(2lg x )lg y ，故错误；D 项，2lg(xy )＝2lg x＋lg y＝2lg x ·2lg y ，正确. 答案 D 3.函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的单调递增区间为( )A.(－∞，＋∞)B.(0，＋∞)C.(1，＋∞)D.(0，1)解析 因为x ∈R ，y ＝⎝⎛⎭⎫121－x ＝2x －1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 在(－∞，＋∞)上是增函数.答案 A4.已知某种细菌在培养过程中，每20 min 繁殖一次，经一次繁殖1个细菌变成2个，经过3 h ，这种细菌由1个可繁殖成________个细菌.解析 因为3 h ＝9×20 min ，所以这种细菌由1个可繁殖成29＝512(个). 答案 512类型一 利用函数的单调性比较大小 【例1】 比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫56－0.24与⎝⎛⎭⎫56－14；(2)⎝⎛⎭⎫1π－π与1； (3)(0.8)－2与⎝⎛⎭⎫54－12.解 (1)考查函数y ＝⎝⎛⎭⎫56x，且0<56<1.∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫56x 在(－∞，＋∞)上是减函数，又－0.24>－14，∴⎝⎛⎭⎫56－0.24＜⎝⎛⎭⎫56－14. (2)考查函数y ＝⎝⎛⎭⎫1πx ，且0＜1π＜1，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫1πx在(－∞，＋∞)上是减函数， 又－π＜0，∴⎝⎛⎭⎫1π－π＞⎝⎛⎭⎫1π0＝1.(3)(0.8)－2＝⎝⎛⎭⎫45－2＝⎝⎛⎭⎫542.函数y ＝⎝⎛⎭⎫54x 在(－∞，＋∞)上是增函数，∴⎝⎛⎭⎫54－12＜⎝⎛⎭⎫542，即⎝⎛⎭⎫54－12＜(0.8)－2. 规律方法 比较幂值大小的三种类型及处理方法【训练1】 (1)下列判断正确的是( ) A.2.82.6>2.82.9 B.0.52<0.53 C.π2<π 2D.0.9－0.3>0.9－0.2(2)(2016·潍坊高一检测)已知a ＝5－12，函数f (x ) ＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系是________.解析 (1)函数y ＝0.9x 在(－∞，＋∞)上为减函数，所以0.9－0.3>0.9－0.2.(2)因为f (x )＝a x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12x 在R 上是减函数，又f (m )>f (n )，因此m <n . 答案 (1)D (2)m <n类型二 解简单的指数不等式【例2】 (1)解不等式⎝⎛⎭⎫12x 2－2≤2.(2)已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，求x 的取值范围.解 (1)⎝⎛⎭⎫12x 2－2＝22－x 2，所以原不等式等价于22－x 2≤21. 因为y ＝2x 是R 上的增函数，所以2－x 2≤1，所以x 2≥1，即x ≤－1或x ≥1.所以⎝⎛⎭⎫12x 2－2≤2的解集为{x |x ≤－1或x ≥1}.(2)因为a 2＋a ＋2＝⎝⎛⎭⎫a ＋122＋74>1， 所以y ＝(a 2＋a ＋2)x 在R 上是增函数. 所以x >1－x ，解得x >12.所以x 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12. 规律方法 1.解指数不等式问题，需注意两点：(1)形如a f (x )>a g (x )的不等式，借助y ＝a x 的单调性①a >1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )>g (x ). ②0<a <1时，a f (x )>a g (x )⇔f (x )<g (x ).(2)形如a x ＞b 的不等式，注意将b 化为以a 为底的指数幂的形式，再借助y ＝a x 的单调性求解.2.(1)解指数不等式时，若底数a 的取值不定，要分类讨论.(2)不等式的解集一定要写成集合或区间的形式，不能写成不等式的形式. 【训练2】 设0＜a ＜1，解关于x 的不等式a 2x 2－3x ＋2＞a 2x 2＋2x －3. 解 ∵0＜a ＜1，∴y ＝a x 在R 上是减函数， 又∵a 2x 2－3x ＋2＞a 2x 2＋2x －3， ∴2x 2－3x ＋2＜2x 2＋2x －3，解得x ＞1. ∴不等式的解集是(1，＋∞).类型三 指数型函数的单调性(互动探究)【例3】 判断f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x 的单调性，并求其值域.[思路探究]探究点一 函数f (x )是由哪两个函数复合而成的？提示 由二次函数u ＝x 2－2x 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫13u复合运算得到.探究点二 如何研究f (x )的单调性？提示 根据二次函数u ＝x 2－2x 及指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫13u的单调性，利用“同增异减”的规律确定函数f (x )的单调性.解 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u，u ∈[－1，＋∞)， ∴0＜⎝⎛⎭⎫13u≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3， ∴原函数的值域为(0，3].规律方法 1.形如y ＝a f (x )(a >0且a ≠1)的函数的单调性的判定(1)定义法，即“取值——作差——变形——定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性.(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律.其中影响单调性的因素有两点决定，一是底数a ＞1还是0＜a ＜1；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成.2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f (φ(x ))的单调区间. 【训练3】 求函数y ＝2－x 2＋2x 的单调区间.解 函数y ＝2－x 2＋2x 的定义域是R .令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x 2＋2x 在(－∞，1]上是增函数. 当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝2－x 2＋2x 在[1，＋∞)上是减函数.综上，函数y ＝2－x 2＋2x 的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]. 类型四 指数型函数在实际中的应用【例4】 某林区2015年木材蓄积量为200万立方米，由于采取了封山育林、严禁采伐等措施，使木材蓄积量的年平均增长率达到了5%.经过x 年后该林区的木材蓄积量为多少万立方米？经过9年后，该林区的木材蓄积量约为多少万立方米？(精确到0.1万立方米) 解 先归纳出函数解析式，再按指数型函数的性质进行讨论.列表如下：由上表，得经过x 年后，该林区的木材蓄积量为f (x )＝200(1＋5%)x ＝200×1.05x ，x ∈N *.当x ＝9时，f (9)＝200×1.059≈310.3(万立方米).故经过9年后，该林区的木材蓄积量约为310.3万立方米.规律方法 1.类似上面此题，设原值为N ，平均增长率为p ，则对于经过时间x 后总量y ＝N (1＋p )x ，像y ＝N (1＋p )x 等形如y ＝ka x (k ≠0，a ＞1且a ≠1)的函数称为指数型函数. 2.解指数型函数应用题的流程(1)审题：弄清题目中的已知条件与未知条件. (2)建模：根据题目的条件建立指数型函数模型. (3)解模：解答此指数型函数模型.(4)结论：把解答结果还原为实际问题，归纳得出结论.【训练4】 某工厂2014年开发一种新型农用机械，每台成本为5 000元，并以纯利润20%标价出厂.自2 015年开始，加强内部管理，进行技术革新，使成本降低，预计2 018年平均出厂价尽管只有2 014年的80%，但却可实现纯利润为50%的高效益.以2 014生产成本为基础，设2 014年到2 018年生产成本平均每年每台降低的百分数为x ，试建立2 018年生产成本y (元)与x 的函数关系式，并求x 的值(可能用到的近似值2≈1.41，3≈1.73，5≈2.24). 解 根据题意，从2 015年到2 018年生产成本经历了4年的降低. 所以y ＝5 000(1－x )4.由2 014年出厂价为5 000(1＋20%)＝6 000元， 得2 018年出厂价为6 000×80%＝4 800元， 由4 800＝y (1＋50%)，得y ＝3 200.再由5 000(1－x )4＝3 200，得x ＝⎝⎛⎭⎫1－255×100%≈10.4%.所以，从2 015年到2 018年生产成本平均每年每台降低约为10.4%. [课堂小结]1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性.(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m <c 且c <b n ，则a m <b n ；若a m >c且c >b n ，则a m >b n . 2.指数函数单调性的应用(1)形如y ＝a f (x )的函数的单调性：令u ＝f (x )，x ∈[m ，n ]，如果两个函数y ＝a u 与u ＝f (x )的单调性相同，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y ＝a f (x )在[m ，n ]上是减函数.(2)形如a x >a y 的不等式，当a >1时，a x >a y ⇔x >y ；当0<a <1时，a x >a y ⇔x <y .1.若a ＝0.512，b ＝0.513，c ＝0.514，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.a ＜b ＜c C.a ＜c ＜bD.b ＜c ＜a解析 ∵y ＝0.5x 在R 上是减函数，而12＞13＞14，∴0.512＜0.513＜0.514，即a ＜b ＜c . 答案 B2.若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域都为R ，则( )A.f (x )与g (x )均为偶函数B.f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C.f (x )与g (x )均为奇函数D.f (x )为奇函数，g (x )为偶函数解析 f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，f (x )为偶函数，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )，g (x )为奇函数.答案 B3.若指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[1，2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值为________.解析 当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，最小值为a 2，最大值为a ， 故a ＝2a 2，解得a ＝12.当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，最小值为a ，最大值为a 2，故a 2＝2a ， 解得a ＝2，综上，a ＝12或a ＝2.答案 2或12。
高中数学必修一第二章基本初等函数的章节知识分析一新课标教材内容的变化1.1、加强的内容•⑴加强了函数模型的背景和应用的要求。
①了解指数函数模型的实际背景，了解对数函数模型的实际背景；认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义；让学生通过收集现实生活中普遍使用的函数模型实例. ②要求学生要了解无理数指数幕的意义，明确有理数指数幕的运算性质在无理数范围内也是成立的，大纲只要求掌握有理数指数幕的运算。
③在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解.④新课标在指数函数与对数函数的内容上与原大纲有较大区别，新课标更侧重于指数型函数与对数型函数的教学.⑵加强了信息技术整合的要求明确指出了要运用信息技术进行教学•如：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；1.2、削弱的内容.⑴削弱了对定义域、值域的过于繁难的，尤其是人为的过于技巧化的训练x⑵削弱了反函数的概念，只要求知道指数函数y = ax与对数函数y=log a （a> 0,且1）是互为反函数；将复合函数概念放到“导数及其应用”的相关内容中.此外，对于对数函数内容的要求也有所降低.1.3、增删的内容（与原《教学大纲》比较）1⑴增加的内容：幕函数（y = x, y = x2, y = x3, y= x°, y= X」）；⑵删减的内容：简易逻辑.（不作为必修，而作为选修 1 - 1）在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解.新课标在指数函数与对数函数的内容上与原大纲有较大区别，新课标更侧重于指数型函数与对数型函数的教学.二、教材分析2.1、课时新课标：基本初等函数（I）14课时，其中2.1指数函数6课时,2.2对数函数6课时,2.3幕函数1课时，本章小结1课时。
（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． ②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()nn a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈ ③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈（4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<定义域 R 值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数1、 对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O1y =（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（5）对数函数函数名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域RxyO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．[例1]已知18log 9,185,ba ==求36log 45解：∵185,b=∴18log 5b = ∴1818183621818181818log 45log 5log 9log 451818log 36log 4log 92log ()2log ()99b a b a b aa a a++++=====+-++[例2]求函数361265xxy =-⋅-的单调区间. 解：令6xt =，则6xt =为增函数，361265x x y =-⋅-＝2125t t -⋅-＝2(6)41t --∴当t ≥6,即x ≥1时，y 为关于t 的增函数， 当t ≤6,即x ≤1时，y 为关于t 的减函数∴函数361265xxy =-⋅-的单调递减区间是(,1]-∞，单调递增区间为[1,)+∞ [例3]已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0 ∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，∴a ＞1又由于x 在[0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数，∴x ＝1时，ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可， ∴a ＜2综上可知所求的取值范围是1＜a ＜2 [例4]已知函数()log (3)a f x ax =-.（1）当[0,2]x ∈时()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围.（2）是否存在这样的实数a 使得函数()f x 在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.解：（1）由假设，ax -3＞0，对一切[0,2]x ∈恒成立，0,1a a >≠显然，函数g(x)= ax -3在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a -＞0得到a ＜32∴a 的取值范围是（0，1）∪（1，32） (2)假设存在这样的实数a ，由题设知(1)1f =，即(1)log (3)a f a =-＝1 ∴a ＝32此时3()log (3)2a f x x =- 当2x =时，()f x 没有意义，故这样的实数不存在.[例5]已知函数f (x )=1421lg 2+-⋅++a a a x x , 其中a 为常数，若当x ∈(－∞, 1］时, f (x )有意义，求实数a 的取值范围.解：14212+-⋅++a a a x x >0, 且a 2－a +1=(a －21)2+43>0, ∴ 1+2x+4x·a >0, a >)2141(x x +-, 当x ∈(－∞, 1]时, y =x 41与y =x 21都是减函数，∴ y =)2141(x x +-在(－∞, 1]上是增函数，)2141(x x +-max =－43,∴ a >－43, 故a 的取值范围是(－43, +∞).[例6]若1133(1)(32)a a --+<-，试求a 的取值范围.解：∵幂函数13y x-=有两个单调区间，∴根据1a +和32a -的正、负情况，有以下关系10320.132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩① 10320.132a a a a+<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩② 10.320a a +<⎧⎨->⎩③ 解三个不等式组：①得23＜a ＜32，②无解，③a ＜－1 ∴a 的取值范围是（－∞，－1）∪（23，32）。
