高等数学 初等函数

高数是一门重要的数学课程，其中最基础的内容就是16个基本初等函数。

这些函数在数学和实际应用中都有着广泛的应用，下面我们将逐一介绍这16个函数。

一、常数函数常数函数是指函数f(x)=c，其中c为常数。

这个函数的图像是一条平行于x轴的直线，它的斜率为0。

常数函数在实际应用中常用于表示一些固定的量，如重力加速度g=9.8m/s²。

二、幂函数幂函数是指函数f(x)=x^a，其中a为常数。

幂函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。

幂函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如人口增长、放射性衰变等。

三、指数函数指数函数是指函数f(x)=a^x，其中a为常数。

指数函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。

指数函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如利息的复利计算、细胞的增长等。

四、对数函数对数函数是指函数f(x)=loga(x)，其中a为常数。

对数函数的图像是一条上升的曲线，它的斜率在x=1处为1。

对数函数在实际应用中常用于描述一些量的倍数关系，如声音的强度、地震的震级等。

五、三角函数三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数和余弦函数的图像都是周期性波动的曲线，它们的周期为2π。

正切函数的图像则是一条无限延伸的曲线。

三角函数在实际应用中常用于描述周期性变化的现象，如天体运动、电流的交流等。

六、反三角函数反三角函数是指正弦函数的反函数、余弦函数的反函数和正切函数的反函数。

反三角函数的图像是一条上升或下降的曲线，它们的定义域和值域与对应的三角函数相反。

反三角函数在实际应用中常用于求解三角函数的反函数值，如角度的计算、电路的分析等。

七、双曲函数双曲函数是指双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。

高等数学公式与定理（第六版上册）第一章 函数与极限第一节：初等函数幂函数：a x y =(是常数）R a ∈ 指数函数：x a y =（a >0且)1≠a对数函数：y=x a log (a>0且a ≠1，特别当a=e 时，记为y=lnx) 三角函数: 如y=x sin 等 反三角函数：如y=arctan x 等第二节：数列的极限收敛数列的性质：定理1 (极限的唯一性)如果数列{x n }收敛，那么它的极限唯一。

定理2 (收敛数列的有界性)如果数列{x n }收敛，那么数列{x n }一定有界。

定理3 (收敛数列的保号性)如果,lima x n n =∞→且a>0(或a<0),那么存在正整数N>0，当n>N 时，都有.n x >0(.n x <0)定理 4 (收敛数列与其子数列的关系)如果数列{.n x }收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.第三节 函数的极限函数极限的性质定理1 (函数极限的唯一性) 如果)(limx f xx →存在，那么这极限唯一.定理2 （函数极限的局部有界性）如果)(limx f xx →=A 存在，那么存在常数M>0和δ>0,使得当0<{0x x - }<δ时，有)(x f M≤.定理 3 （函数极限的局部保号性）如果)(limx f xx →=A ，且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0，使得δ<-<00x x 时，有0)(>x f （或0)(<x f ）定理3′ 如果)0()(lim 0≠=→A A x f xx ,那么就存在着n x 的某一去心邻域),(00x U 当)(00x U x ∈时，就有2)(0A x f >.推论 如果在0x 的某去心邻域内)0)x 0)(0≤≥（或（f x f ，而且A x f x x =→)(lim 0，那么）或（00≤≥A A定理4 （函数极限与数列极限的关系） 如果极限)(limx f xx →存在，{n x }为函数)(x f 的定义域内任一收敛于0x 的数列，且满足：)(*0N n x x n ∈≠,那么相应的函数数列)(n x f 必收敛，且).(lim )(lim 0x f x f x x n →∞→=第四节 无穷小与无穷大定理 1 在自变量的同义一变化过程0x x →)x (∞→或中，函数)(x f 具有极限A 的充分必要条件是,)(a A x f +=其中a是无穷小。

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

高数重点总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 1031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。

例如：||x y =连续但不可导。

6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df ∙= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y x y yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f ∙∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），xy 1=（x=0是函数的无穷间断点） 12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→ 斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。

高等数学初等函数习题答案高等数学初等函数习题答案高等数学作为大学本科阶段的数学课程，是一门较为重要的学科。

其中，初等函数是高等数学的基础内容之一，也是数学中最为常见和重要的函数类型之一。

学习初等函数的过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。

下面将对一些常见的高等数学初等函数习题进行解答。

1. 求函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 的零点。

解：要求函数的零点，即求函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 = 0 的解。

我们可以使用因式分解或者配方法来求解该方程。

首先，我们可以尝试因式分解：x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0。

因此，方程的解为 x = 1 或 x = 2。

其次，我们可以使用配方法：x^2 - 3x + 2 = (x - 1.5)^2 - 0.25。

因此，方程的解为x = 1.5 ± 0.5。

综上所述，函数 f(x) = x^2 - 3x + 2 的零点为 x = 1, 2 或x = 1.5 ± 0.5。

2. 求函数 f(x) = e^x + 2 的反函数。

解：要求函数的反函数，即求函数 f(x) = e^x + 2 的反函数 g(x)。

我们可以通过交换自变量和因变量来求解。

首先，将 f(x) = e^x + 2 转化为关于 x 的方程：y = e^x + 2。

然后，将 y 与 x 互换位置：x = e^y + 2。

接下来，解出 y：y = ln(x - 2)。

因此，函数 f(x) = e^x + 2 的反函数为 g(x) = ln(x - 2)。

3. 求函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x 的极值点。

解：要求函数的极值点，即求函数 f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x 的导数为零的点。

首先，求出函数的导数：f'(x) = 6x^2 + 6x - 12。

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：三角函数：正弦函数sin x ；余弦函数cos x ；正切函数sin tan cos x x x =；余切函数cos cot sin xx x =； 正割函数1sec cos x x =；余割函数1csc sin x x=·诱导公式：常用三角函数公式：22cos sin 1x x += 22cos sin cos 2x x x -= 2sin cos sin 2x x x = 21cos 22sin x x -= 21cos 22cos x x += 22211tan sec cos x x x +== 22211cot csc sin x x x+== xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x1sin sin [cos()cos()]2x y x y x y =-+-- 1cos cos [cos()cos()]2x y x y x y =++-1sin cos [sin()sin()]2x y x y x y =++-·和差角公式： ·和差化积公式：反三角函数： arcsin arccos 2x x π+= arctan arc cot 2x x π+=arcsin x ：定义域[1,1]-，值域[,]22ππ-；arccos x ：定义域[1,1]-，值域[0,]π；arctan x ：定义域(,)-∞+∞，值域(,)22ππ-；arc cot x ：定义域(,)-∞+∞，值域(0,)π·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==33223()33a b a a b ab b ±=±+± 3322()()a b a b a ab b ±=±+ 123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++122(1)(1)(1)()2!!n n n n n k kn n n n n n k a b a na b a b a b b k ------++=++++++高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

高等数学函数 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】§1函数本节内容: 一、邻域 二、函数的概念三、基本初等函数四、复合函数 五、初等函数一、邻域1.定义1:设,a R R δ+∈∈,则—点a 的δ邻域a —(,)U a δ的中心,δ—(,)U aδ的半径.2.定义2:—点a的去心δ邻域二、函数的概念f——定义在D上的函数; D——定义域;x——自变量; y——因变量;() f x0——x处的函数值;{}(),W y y f x x D==∈——值域.注意:函数的两个要素——定义域和对应法则.补例1求下列函数的定义域.(1)y =1(2)ln y x =+12.三、基本初等函数基本初等函数指下列5类: 幂函数是常数()y x μμ=指数函数 是常数(,,)x y a a a a =>≠01对数函数是常数log (,,)a y x a a a =>≠01三角函数sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x======反三角函数arcsin ,arccos ,arctan ,arccot y x y x y x y x ====(一)幂函数 1.幂函数的定义: 2.幂函数的图形与性质:(a)μ取不同值,幂函数的定义域与值域均可能不同;(b)对任意μ,函数图形都过点(1,1);当0μ>时,图形过点(0,0)和(1,1);图1-22x -1图1-12(c)当0μ>时,幂函数在(0,)+∞为单调递增函数;而0μ<时,幂函数在(0,)+∞为单调递减函数;(d)幂函数为无界函数. 3.幂函数的运算性质: (a)a a aαβαβ+⋅=;(b)a aa ααββ-=;(c)()a a αβαβ=;(d)()a b a b μμμ⋅=⋅. (二)指数函数 1.指数函数的定义: 2.指数函数的图形与性质: (a)定义域为R ,值域为R +;图1-3(b)a 不论取何值,函数图形都过点(0,1); (c)当1a >时,指数函数为单调递增函数, 而01a <<时,指数函数为单调递减函数;(d)指数函数为无界函数; (e)指数函数是非奇非偶函数. 3.指数函数的运算性质: 与幂函数的运算性质相似,略. (三)对数函数 1.对数函数的定义: 其中a ——底数. 一种特殊对数:ln y x =. 2.对数函数的图形与性质:图1-4x(a)定义域为R +,值域为R ;(b)a 不论取何值,函数图形都过点(1,0); (c)当1a >时,对数函数为单调递增函数; 而01a <<时,对数函数为单调递减函数;(d)对数函数为无界函数; (e)对数函数是非奇非偶函数. 3.对数函数的运算性质: (a)log ()log log a a a uv u v =+;(b)log log log a a a uu v v=-;(c)log log v a a u v u =; (d)ln log ln a xx a=.(四)三角函数1.sin ,cos y x y x ==:sin y x =——正弦函数;cos y x =——余弦函数.sin ,cos y x y x ==的图形与性质:(a)定义域均为R ,值域均为[1,1]-; (b)sin ,cos y x y x ==均为非单调函数; (c)sin ,cos y x y x ==均为有界函数; (d)sin y x =为奇函数,cos y x =为偶函数; (e)sin ,cos y x y x ==均为周期函数. 2.tan ,cot y x y x ==:tan y x =——正切函数;cot y x =——余切函数.tan ,cot y x y x ==的图形与性质:(a)tan y x =定义域为1\{()}2R k π+,cot y x =定义域为\{}R k π, 值域均为R ;(b)tan ,cot y x y x ==均为非单调函数;(c)tan ,cot y x y x ==均为无界函数;(d)tan ,cot y x y x ==均为奇函数;图1-6(e)tan ,cot y x y x ==均为周期函数.3.sec ,csc y x y x ==:1sec cos y x x==——正割函数; 1csc sin y x x==——余割函数. (五)反三角函数1.arcsin ,arccos y x y x ==:arcsin y x =——反正弦函数;arccos y x =——反余弦函数.arcsin ,arccos y x y x ==的图形与性质:(a)arcsin ,arccos y x y x ==定义域均为[1,1]-,arcsin y x =的值域为[2,2]ππ-,arccos y x =的值域为[0,]π;(b)arcsin ,arccos y x y x ==均为单调函数; (c)arcsin ,arccos y x y x ==均为有界函数; (d)arcsin y x =为奇函数,arccos y x =为非奇非偶函数.图1-72.arctan ,arccot y x y x ==:arctan y x =——反正切函数;arccot y x =——反余切函数.arctan ,arccot y x y x ==的图形与性质:(a)arctan ,arccot y x y x ==的定义域均为R ,arctan y x =的值域为(2,2)ππ-,arccot y x =的值域为(0,)π;(b)arctan ,arccot y x y x ==均为单调函数; 图1-8(c)arctan ,arccot y x y x ==均为有界函数; (d)arctan y x =为奇函数,arccot y x =为非奇非偶函数.四、复合函数设ln y u =,tan u x =,则ln(tan )y x =.1.定义:设有函数链且(),(),()y f u u D u x x D D D ϕϕ=∈⎧⎪=∈⎨⎪⋂≠Φ⎩1221,则 函数[()]y f x ϕ=称为由()y f u =及()u x ϕ=复合而成的复合函数,其中u 称为中间变量.2.写出下列复合函数的复合过程,并求其定义域.(1)arctan()y x =2;(2)sin()y x =2;(3)(sin )y x =2. 五、初等函数1.定义:由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合步骤所构成并且可以用一个式子表示的函数叫做初等函数.如:sin ln y x x =+,y =1,ln y x =+12,. 思考题:||y x =是否是初等函数?小结:邻域的定义;函数的定义及定义域;五类基本初等函数的图形与性质; 复合函数的定义与复合函数的分解; 初等函数的定义.。