第二节 初等函数(1)

w z z e
n
n ln z n 2 k i
e
n
e
n ln z
m 3、当 (n 1)时，幂函数是一个n值函数。 n m
事实上，
e
2 k i
e
2 k i
只能取n个不同的值，即k=0,1,…,n-1
复变函数 4、当α是无理数或虚数时，幂函数是一多值函数； 例
2
1 i
z
同样k Z ,
z
e
z 2 k i
e . (4.7)
z
(8) 极限 lim e z 不存在.
z z x 0
lim e z lim e x
x
z z x 0
lim e z lim e x 0
x
复变函数
（3）指数函数的映射（几何）性质
复变函数
第二节
4.
初等函数
指数函数
5.
6. 7. 8.
辐角函数
对数函数 幂函数 三角函数
复变函数
6、对数函数 ⑴ 复对数的定义
定义 满足方程z ew ( z 0)的复数w确定的函数,
称为对数函数，记为w Lnz或Logz。
那么，复数z的对数具体是一个什么样的呢？
结论：
w Lnz ln | z | iArgz. (6.1)
讨论z在带形 B= z z C , 0 Im z 2 (4.8)
中变化时，w e 的映射性质。
z
1、把直线L： Im z y0映射为w平面上的射线 L1： arg w y0 .
2、把线段:Re z x0 , 0 Im z 2 映射为w平面
0 上的一个圆: w e x （除去点（ e x0，0）） .

1. 上移k 个单位，若k 为负数，则下 平 移；
移
用xh 代替x 是将图像右移h
个单位( h>0)，若h 为负数，则左
移．
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
例
1. 平
已知 f (x) x3，试画出 2 f (x)
移 和 f (x) 2 的图像，并写出该函数的
图像向左平移 5 个单位所得图像的函
函 函数，设第一种产品的销售利润为
数 U1=f(t)，第二种产品的销售利润为 的 U2=g(t)， 则两种产品的实际利润
和 用函数符号表示即有
差
函数的和
U(t)= U1 +U2 =f(t) +g(t)
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
函数和的定义
2.
函
两个函数的和是一个函数，其在
数 每一点的函数值都是两个函数在自变 的 量的相同取值点的函数值的和．
例 求函数 y x 的反函数. x2
第二节 初等函数及其图像
一、反函数
想一想
1.一个函数与其反函数的定义域及值域有
什么关系？
2.
f
1(
x)与
1 之间有没有关系？ f( x)
3. f 1( f( x))与f( f 1( x))各等于多少？
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
形如 y = x (R)的函数称为幂函数.
y arccos x的图像
4. 反 三 角 函 数 想一想 反余弦函数有什么性质?
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
y arctan x的图像
4. 反 三 角 函 数 想一想 反正切函数有什么性质?

2、反双曲函数
反双曲 ya正 rsi弦 nx;h yasrinxh
lnx( x2 1).
yarsinx hFra bibliotekD:( , )
奇函数,
在( , )内单调. 增加
反双曲余y弦 arcoshx
yacrosxh lnx( x21).
D:[1, )
yarcoshx
y loga x (a1)
(1,0)
y log1 x
a
4、三角函数
正弦函数 ysin x
ysinx
余弦函数 ycoxs
ycoxs
正切函数 ytaxn
ytaxn
余切函数 ycoxt
ycoxt
正割函数 y secx 1
cos x
ysexc
余割函数 y cscx 1
D:( , ) 奇函数, 有界函数,
双曲函数常用公式
sx i y n ) sh x i c n y ( o c h x s o sh y i ; s n h cx o y ) s cx h o cy o ( s sh x s i sn h y i ;n h co 2x s s hi2 n x h 1 ; si2 n x 2 h six n co h x ;sh co 2 x s ch 2 o x s si 2 h x n . h
定义域的子区间内都是初等函数, 所以仍可通过初等函 数来研究分段函数.
复合函数的分解——函数复合的逆运算
将一个复合函数分解成若干简单函数(基本初等函数或 由基本初等函数与常数的四则运算所得到的函数)是由外 到里, 从左到右, 逐层分解, 使每个层次都是简单函数.
例2 将下列函数分解为简单函数并求其定义域：

定成立的是( )
A．3c>3b
B．3c>3a
C．3c＋3a>2
D．3c＋3a<2

【解析】 (1)由题意 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过(3，1)点，
可解得 a＝3.选项 A 中，y＝3－x＝13x，显然图象错误；选项 B
中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项 C 中，y＝(－x)3＝
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
章末复习提升课
指数与对数的运算
求下列各式的值： (1)287－23－3 e·e23＋ （2－e）2＋10lg 2； (2)lg25＋lg2×lg 500－12lg215－log29×log32.
【解】 (1)287－23－3 e·e23＋ （2－e）2＋10lg 2 ＝233－23－e13·e23＋(e－2)＋2 ＝23－2－e＋e－2＋2＝322＝94. (2)lg25＋lg 2×lg 500－12lg215－log29×log32 ＝lg25＋lg 2×lg 5＋2lg 2－lg15－log39 ＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋2lg 2－lg 2＋1－2 ＝lg 5＋lg 2－1＝1－1＝0.
解析：当 x＝－1 时，y＝a0－2＝－1，所以该定点的坐标是(－1， －1)． 答案：(－1，－1)
2．已知 lg a＋lg b＝0，则函数 f(x)＝ax 与函数 g(x)＝－logbx 的 图象可能是________(填序号)．
解析：因为 lg a＋lg b＝lg(ab)＝0， 所以 ab＝1，即 b＝1a， 则 f(x)＝ax，g(x)＝logax. 当 a>1 时，在各自的定义域内，f(x)是增函数，g(x)是增函数， 所以②正确；0<a<1 时，在各自的定义域内，f(x)是减函数，g(x) 是减函数，所以①③④都不正确．