笔记(数学选修—导数及其应用)

《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。

2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。

函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。

特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。

5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。

导数及其应用知识点总结导数及其应用是微积分中的重要概念，它可以用来描述一个函数在其中一点的变化率，进而用于求解曲线的切线、求解最值、优化问题等。

在学习导数及其应用的过程中，我们需要掌握导数的定义、导数的计算法则、导数与函数性质的关系以及导数在几何和物理问题中的应用等知识点。

一、导数的定义1.函数在其中一点的导数：函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h2.函数的导函数：函数f(x)在定义域上每一点的导数所构成的新函数，被称为函数f(x)的导函数，记作f'(x)。

二、导数的计算法则1.常数法则：对于常数k，有：(k)'=0。

2.幂函数法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则有：(x^n)'=n*x^(n-1)。

3.基本初等函数法则：对于基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数），可以通过求导法则求得其导函数。

4.乘积法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u*v)'=u'*v+u*v'。

5.商数法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^26.复合函数法则：对于复合函数y=f(g(x))，有：y'=f'(g(x))*g'(x)。

三、导数与函数性质的关系1.导函数与函数的单调性：若函数f(x)在区间I上可导，则f'(x)在I上的符号与f(x)在I上的单调性一致。

2.导函数与函数的极值：若函数f(x)的导函数在点x=a处存在，且导数的符号在x=a左侧从正数变为负数，那么函数在点x=a处取得极大值；若导数的符号在x=a左侧从负数变为正数，那么函数在点x=a处取得极小值。

3.导函数与函数的凹凸性：函数f(x)的导函数f''(x)的符号与函数f(x)的凹凸性一致。

导数知识点总结及例题一、导数的定义1.1 函数的变化率在生活中，我们经常会遇到函数随着自变量的变化而发生变化的情况，比如一辆汽车的速度随着时间的变化而变化、货物的销售量随着价格的变化而变化等。

这种情况下，我们就需要考虑函数在某一点处的变化率，也就是导数。

对于函数y=f(x)，在点x处的变化率可以用函数的增量Δy和自变量的增量Δx的比值来表示：f'(x) = lim(Δx→0) (Δy/Δx)其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

利用导数的定义，我们可以计算得到函数在某一点处的变化率。

1.2 导数的几何意义导数还有一个重要的几何意义，它表示了函数曲线在某一点处的切线的斜率。

例如，对于函数y=x^2，在点(1,1)处的导数就代表了曲线在这一点处的切线斜率。

这也意味着，导数可以帮助我们理解函数曲线在不同点处的形状和走向。

1.3 导数存在的条件对于一个函数f(x)，它在某一点处的导数存在的条件是：在这一点处函数曲线的切线存在且唯一。

也就是说，如果函数在某一点处导数存在，那么这个点就是函数的可导点。

二、导数的性质2.1 导数与函数的关系导数是函数的一个重要属性，它可以帮助我们理解函数的性质。

例如，导数可以表示函数在某一点处的斜率，可以告诉我们函数曲线的凹凸性，还可以帮助我们找到函数的极值点等。

2.2 导数与导函数当一个函数在某一点处的导数存在时，我们可以使用导数的定义来求出函数在该点处的导数。

我们把这个过程称为求导，求出的导数称为导函数。

导函数的值就是原函数在对应点处的导数值。

2.3 导数的性质导数具有一些重要的性质，比如导数存在的条件、可导函数的和、差、积、商的导数求法则等。

这些性质是我们求解导数的问题时的重要依据，也是我们理解函数性质的基础。

三、求导法则3.1 基本求导法则基本求导法则是求解导数问题的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等函数的导数求法。

数学选修2-2导数及其应用知识点必记1. 函数旳平均变化率是什么？答: 平均变化率为注1：其中是自变量旳变化量, 可正, 可负, 可零。

注2: 函数旳平均变化率可以看作是物体运动旳平均速度。

2.导函数旳概念是什么？答：函数在处旳瞬时变化率是, 则称函数在点处可导, 并把这个极限叫做在处旳导数, 记作或, 即= .3.平均变化率和导数旳几何意义是什么？答: 函数旳平均变化率旳几何意义是割线旳斜率；函数旳导数旳几何意义是切线旳斜率。

4导数旳背景是什么？答: （1）切线旳斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

6.用导数求函数单调区间旳环节是什么？答: ①求函数f(x)旳导数②令>0,解不等式, 得x旳范围就是递增区间.③令<0,解不等式, 得x旳范围, 就是递减区间；注: 求单调区间之前一定要先看原函数旳定义域。

7.求可导函数f(x)旳极值旳环节是什么？ 答: (1)确定函数旳定义域。

(2) 求函数f(x)旳导数 (3)求方程'()f x =0旳根(4) 用函数旳导数为0旳点, 顺次将函数旳定义区间提成若干小开区间, 并列成表格, 检查 在方程根左右旳值旳符号, 假如左正右负, 那么f(x)在这个根处获得极大值；假如左负右正, 那么f(x)在这个根处获得极小值；假如左右不变化符号, 那么f(x)在这个根处无极值8.运用导数求函数旳最值旳环节是什么？ 答: 求 在 上旳最大值与最小值旳环节如下: ⑴求)(x f 在[]b a ,上旳极值；⑵将 旳各极值与 比较, 其中最大旳一种是最大值, 最小旳一种是最小值。

注: 实际问题旳开区间唯一极值点就是所求旳最值点； 9. 求曲边梯形旳思想和环节是什么？答: 分割 近似替代 求和 取极限 （“以直代曲”旳思想） 10.定积分旳性质有哪些？根据定积分旳定义, 不难得出定积分旳如下性质： 性质1a b dx ba-=⎰1性质5 若 , 则 ①推广:②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰11定积分旳取值状况有哪几种？答: 定积分旳值也许取正值, 也也许取负值, 还也许是0. ( l ）当对应旳曲边梯形位于 x 轴上方时, 定积分旳值取正值, 且等于x 轴上方旳图形面积；（2）当对应旳曲边梯形位于 x 轴下方时, 定积分旳值取负值, 且等于x 轴上方图形面积旳相反数；（3）当位于x 轴上方旳曲边梯形面积等于位于x 轴下方旳曲边梯形面积时, 定积分旳值为0, 且等于x轴上方图形旳面积减去下方旳图形旳面积.12. 物理中常用旳微积分知识有哪些？答：（1）位移旳导数为速度, 速度旳导数为加速度。

导数知识点归纳及应用●知识点归纳一、相关概念1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 处有增量，那么函数y 相应地有增量=f （x +0x ∆y ∆0）－f （x ），比值叫做函数y=f （x ）在x 到x +之间的平均变化率，即x ∆0xy∆∆00x ∆=。

如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x x y ∆∆xx f x x f ∆-∆+)()(000→∆x x y ∆∆处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 处的导数，记作f’（x ）或y’|。

000x x =即f （x ）==。

00lim →∆x x y∆∆0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00说明：（1）函数f （x ）在点x 处可导，是指时，有极限。

如果不存在极限，00→∆x x y ∆∆xy∆∆就说函数在点x 处不可导，或说无导数。

0（2）是自变量x 在x 处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是x ∆00≠∆x y ∆零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 处的导数的步骤：0① 求函数的增量=f （x +）－f （x ）；y ∆0x ∆0② 求平均变化率=；x y ∆∆xx f x x f ∆-∆+)()(00③ 取极限，得导数f’(x )=。

0xyx ∆∆→∆lim 例：设f(x)= x|x|, 则f ′( 0)= .[解析]：∵ ∴f ′( 0)=00||lim ||lim )(lim )0()0(lim0000=∆=∆∆∆=∆∆=∆-∆+→∆→∆→∆→∆x xxx x x f x f x f x x x x 2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x ，f （x ））000处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x ，f （x ））处的切线的斜率00是f’（x ）。

0相应地，切线方程为y －y =f /（x ）（x －x ）。

2019人教版精品教学资料·高中选修数学导数及其应用重点列表：1.导数的概念 (1)定义如果函数y ＝f(x)的自变量x 在x0处有增量Δx ，那么函数y 相应地有增量Δy ＝f(x0＋Δx)－f(x0)，比值Δy Δx 就叫函数y ＝f(x)从x0到x0＋Δx 之间的平均变化率，即Δy Δx ＝f （x0＋Δx ）－f （x0）Δx .如果当Δx →0时，ΔyΔx 有极限，我们就说函数y ＝f(x)在点x0处 ，并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数，记作 或y ′0|x x =，即 f ′(x0)＝lim→∆x Δy Δx＝0lim →∆x f （x0＋Δx ）－f （x0）Δx .(2)导函数当x 变化时，f ′(x)便是x 的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数).y ＝f(x)的导函数有时也记作y ′，即f ′(x)＝y ′＝0lim →∆xf （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.(3)求函数y ＝f(x)在点x0处导数的方法①求函数的增量Δy ＝ ； ②求平均变化率ΔyΔx ＝ ；③取极限，得导数f ′(x0)＝0lim →∆xΔyΔx.2.导数的意义 (1)几何意义函数y ＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y ＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 .相应的切线方程为 . (2)物理意义函数S ＝s(t)在点t0处的导数s ′(t0), 就是当物体的运动方程为S ＝s(t)时，物体运动在t0时刻的瞬时速度v ，即 .设v ＝v(t)是速度函数，则v ′(t0)表示物体在t ＝t0时刻的 . 3.基本初等函数的导数公式 (1)c ′＝ (c 为常数)，(xα) ′＝ (α∈Q*)； (2)(sinx) ′＝______________， (cosx) ′＝ ； (3)(lnx) ′＝ ， (logax) ′＝ ；(4)(ex) ′＝ ，(ax) ′＝ . 4.导数运算法则(1)f(x)±g(x)] ′＝ . (2)f(x)g(x)] ′＝ ；当g(x)＝c(c 为常数)时，即cf(x)] ′＝ . (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ） ′＝ (g(x)≠0).5.复合函数的导数复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为 .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 【参考答案】 1.(1)可导 f ′(x0)(3)①f(x0＋Δx)－f(x0) ②f （x0＋Δx ）－f （x0）Δx2.(1)f ′(x0) y －y0＝f ′(x0)(x －x0)(2)v ＝s ′(t0) 加速度3.(1)0 αxα－1 (2)cosx －sinx (3)1x 1xlna(4)ex axlna4.(1)f ′(x)±g ′(x) (2)f ′(x)g(x)＋f(x)g ′(x) cf ′(x)(3)f′（x ）g （x ）－f （x ）g′（x ）[g （x ）]25.yx ′＝y ′u·u ′x 重点1：导数的概念 【要点解读】 严格按照定义进行求值导数的几何意义是改点处曲线的切线的斜率 【考向1】导数的几何意义【例题】设f (x )为可导函数，当x 趋近于0时，f （1）－f （1－2x ）2x 趋近于－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2解：f （1）－f （1－2x ）2x ＝f （1－2x ）－f （1）－2x ，当x 趋近于0时，－2x 也趋近于0，∴y ′|x ＝1＝－1，所以y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1.故选B.【评析】本题利用导数定义求导数，将“表达式”变形为导数的“定义式”的标准形式是关键，这里要找准增量Δx ＝－2x.“y ′|x ＝1”是指曲线在x ＝1处的切线斜率． 【考向2】利用定义求导数【例题】已知f ′(0)＝2，则h 趋近于0时，f （3h ）－f （0）h趋近于 .重点2：导数的几何意义 【要点解读】(1)已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率； ②由点斜式求得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．(2)已知斜率求切点：已知斜率k ，求切点(x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求切线倾斜角的取值范围：先求导数的取值范围，即确定切线斜率的取值范围，然后利用正切函数的单调性解决．(4)根据切线的性质求倾斜角或参数值：已知曲线上一点P (x 0，y 0)的切线与已知直线的关系(平行或垂直)，确定该切线的斜率k ，再求出函数的导函数，然后利用导数的几何意义得到k ＝f ′(x 0)＝tan α，其中倾斜角α∈0，π)，根据范围进一步求得角α或有关参数的值． 【考向1】过曲线上一点的切线方程 【例题】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求满足斜率为1的曲线的切线方程；(2)求曲线在点P (2，4)处的切线方程； (3)求曲线过点P (2，4)的切线方程.解：(1)设切点为(x0，y0)，故切线的斜率为k ＝x20＝1，解得x0＝±1，故切点为⎝⎛⎭⎫1，53，(－1，1)．故所求切线方程为y －53＝x －1和y －1＝x ＋1，(3)设曲线y ＝13x3＋43与过点P(2，4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x0，13x30＋43，又∵切线的斜率k ＝y ′|x ＝x0＝x20，∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x30＋43＝x20(x －x0)， 即y ＝x20x －23x30＋43.∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0， ∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2， 故所求的切线方程为 4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. 【评析】曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f ′(x)； ②求切线的斜率f ′(x0)；③写出切线方程y －f(x0)＝f ′(x0)(x －x0)，并化简．(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y0＝f （x0），y1－y0x1－x0＝f ′（x0），得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．注意：①求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上.②与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个. 【考向2】过曲线外一点的切线方程 【例题】已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求满足斜率为4的曲线的切线方程； (2)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(3)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程. 解：(1)设切点坐标为(x0，y0)， ∵f ′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x0＝1，y0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x0＝－1，y0＝－18. ∴切线方程为y ＝4x －18或y ＝4x －14.∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16， 整理得x0＝－2， ∴斜率k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x.解法二：设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x0，y0)， 则斜率k ＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0，又∵k ＝f ′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x20＋1，解得x0＝－2，∴k ＝13.∴直线l 的方程为y ＝13x. 重点3：导数的运算 【要点解读】导数运算的原则和方法(1)原则：先化简解析式，再求导． (2)方法：①连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； ③对数形式：先化为和、差的形式，再求导； ④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； ⑥复合函数：由外向内，层层求导．注意：当函数解析式中含有待定系数(例如f ′(x 0)，a ，b 等)，求导时把待定系数看成常数，再根据题意求出即可． 【考向1】基本初等函数求导 【例题】求下列函数的导数：(1)y ＝5x 2－4x ＋1； (2)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)；(3)y ＝sin(πx ＋φ)(其中φ为常数)； (4)y ＝x ＋3x ＋2(x ≠－2).【评析】求导运算，一是熟记公式及运算法则，二是掌握求复合函数导数的步骤，遵从“由外到内”的原则，三是要注意在求导前对可以化简或变形的式子进行化简或变形，从而使求导运算更简单．【考向2】复合函数求导 【例题】 求下列函数的导数：(1)y ＝(x ＋1)(x ＋2)； (2)y ＝xe x －1(x ≠0)；(3)y ＝cos2x ；(4)y ＝ln x ＋3x ＋1(x ＞－1).解：(1)y ′＝(x ＋1) ′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2) ′＝x ＋2＋x ＋1＝2x ＋3； (2)y ′＝x ′（e x －1）－x （e x －1）′（e x －1）2＝（1－x ）e x －1（e x －1）2；(3)y ′＝－sin2x ·(2x ) ′＝－2sin2x ； (4)y ′＝ln(x ＋3)－ln(x ＋1)] ′＝1x ＋3－1x ＋1＝－2（x ＋1）（x ＋3）.【名师点睛】1.弄清“函数在一点x0处的导数”“导函数”“导数”的区别与联系(1)函数在一点x0处的导数f ′(x0)是一个常数，不是变量；(2)函数的导函数(简称导数)，是针对某一区间内任意点x 而言的.函数f(x)在区间(a ，b)内每一点都可导，是指对于区间(a ，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f ′(x0)，根据函数的定义，在开区间(a ，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f ′(x)；(3)函数y ＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在点x ＝x0处的函数值. 2.求函数y ＝f(x)在x ＝x0处的导数f ′(x0)通常有以下两种方法(1)利用导数的定义：即求lim →∆xf （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx的值；(2)利用导函数的函数值：先求函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内的导函数f ′(x )，再将x 0(x 0∈(a ，b ))代入导函数f ′(x )，得f ′(x 0).3.求曲线在某一点处的切线方程时，可以先求函数在该点的导数，即曲线在该点的切线的斜率，再利用点斜式写出直线的方程.如果切点未知，要先求出切点坐标.4.在导数与切线斜率的对应关系中体会数形结合的思想方法. 难点列表：1.导数在研究函数中的应用(1)结合实例，借助图形直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次).(2)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)，会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次).2.生活中的优化问题举例通过解“利润最大”“用料最省”“效率最高”等优化问题，体会导数在解决实际问题中的应用.高考对导数应用的考查很频繁.内容既可以是对某一类函数性质的研究，也可以联系方程的根、不等式的解等综合考查，选择、填空、解答等题型均有可能出现，分值比较重，是每年高考考查的重点内容之一.难点1：导数与函数的单调性【要点解读】1.函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果 f ′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f ′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内 .2.函数的极值(1)判断f(x0)是极大值，还是极小值的方法：一般地，当f ′(x0)＝0时，①如果在x0附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧，右侧，那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤：①求f ′(x)；②求方程的根；③检查f ′(x)在上述方程根的左右对应函数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得 .3.函数的最值(1)在闭区间a，b]上连续的函数f(x)在a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在a，b]上单调递增，则__________为函数在a，b]上的最小值，为函数在a，b]上的最大值；若函数f(x)在a，b]上单调递减，则为函数在a，b]上的最大值，为函数在a，b]上的最小值.(3)设函数f(x)在a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.【答案】1.单调递减2.(1)②f ′(x)＜0 f ′(x)＞0(2)②f ′(x)＝0 极大值极小值3.(2)f(a) f(b) f(a) f(b) (3)②f(a) f(b)【考向1】通过图像判断单调性【例题】设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()解：当x＜0时，f(x)为增函数，f ′(x)＞0，排除A，C；当x＞0时，f(x)先增后减，再增，对应f ′(x)先正后负，再正．故选D.【评析】导函数的图象在哪个区间位于x轴上方(下方)，说明导函数在该区间大于0(小于0)，那么它对应的原函数在那个区间就单调递增(单调递减)．【考向2】利用导数判断函数的单调性【例题】已知函数f(x)＝x3－ax，f′(1)＝0.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间.【评析】①用导数求函数的单调区间，突破口是讨论导数的符号．②注意：区间的端点可以属于单调区间，也可以不属于单调区间，对结论没有影响．如，本例中－1，1]也可以写成(－1，1)．③写单调区间时，一般不要使用符号“∪”，可以用“，”“和”分开各区间，原因是各单调区间用“∪”连接的条件是在合并后的区间内函数单调性依然成立．如，本例中(－∞，－1)，(1，＋∞)不能写成(－∞，－1)∪(1，＋∞)，不妨取x1＝－32，x2＝32，x1＜x2，而f(x1)＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝98，f(x2)＝－98，这时f(x1)＜f(x2)不成立． 【名师点睛】(1)方法一：①确定函数y ＝f (x )的定义域； ②求导数y ′＝f ′(x )；③解不等式f ′(x )＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； ④解不等式f ′(x )＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间． (2)方法二：①确定函数y ＝f (x )的定义域；②求导数y ′＝f ′(x )，令f ′(x )＝0，解此方程，求出在定义域内的一切实根；③把函数f (x )的间断点(即f (x )的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f (x )的定义域分成若干个小区间；④确定f ′(x )在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数f ′(x )在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论． 难点2：导数与函数的极值、最值 【要点解读】(1)首先确定函数f(x)的定义域，求f(x)的导函数，对导函数f′(x)进行化简，然后考查分子对应的函数g(x)，先讨论g(x)是否为二次函数，后讨论g(x)是二次函数时实根的分布情况，从而确定g(x)，f ′(x)的符号，得出函数f(x)的单调区间，判断出函数f(x)的极值点个数；(2)根据(1)知a 在不同情况下f(x)在(0，＋∞)上的单调性，要想x ∈(0，＋∞)时f(x)＞0恒成立，只要说明最小值大于0，否则存在函数值小于0即可． 【考向1】极值问题【例题】已知函数f (x )＝12x 3＋cx 在x ＝1处取得极值.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的极值.x，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：因此，f(x)【评析】找函数的极值点，即先找导数的零点，但并不是说导数为零的点就是极值点(如y＝x3)，还要保证该零点为变号零点．【考向2】最值问题【例题】已知函数f(x)＝ax2＋2，g(x)＝x3＋bx.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线.(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，1]上的最大值.x，h ′(x)，h(x)的变化情况如下表：所以f(x)在⎝⎛⎭⎫－∞，－53，(－1，＋∞)上单调递增，在⎝⎭－53，－1上单调递减． ∵h ⎝⎛⎭⎫－53＝427，h(1)＝12，12＞427， ∴f(x)＋g(x)在(－∞，1]上的最大值为12.【评析】函数在限定区间内最多只有一个最大值和一个最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端点和极大值点取得，最小值一般是在端点和极小值点取得． 【趁热打铁】1.函数f (x )＝x 3＋sin2x 的导数f ′(x )＝( ) A ．x 2＋cos2x B ．3x 2＋cos2x C ．x 2＋2cos2xD ．3x 2＋2cos2x2.已知f (x )＝(x －2)(x －3)，则f ′(2)的值为( ) A ．0B ．－1C ．－2D ．－33.曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9B ．－3C ．9D ．154.若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1，0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(－1，0)5.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－16.已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，则曲线在点(0，f (0))处的切线的斜率是( )A ．2B ．1C ．0D ．－17.曲线y ＝x 3＋x －2的一条切线平行于直线y ＝4x －1，则切点P 0的坐标是________________.8.设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 9.求函数f (x )＝x 3－4x ＋4图象上斜率为－1的切线的方程.10.设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数.已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2，0)处有相同的切线l ，求a ，b 的值，并写出切线l 的方程.11.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x 2. (1)求x ＜0时， f (x )的表达式；(2)令g (x )＝ln x ，问是否存在x 0，使得f (x )，g (x )在x ＝x 0处的切线互相平行？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由.12.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象有可能是( )13.函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0，3) C ．(1，4)D ．(2，＋∞)14.函数f (x )＝(x －1)(x －2)2的极值点为x ＝( ) A ．1，2B.43，2 C.13，1 D.13，4315.f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间－1，1]上的最大值是( ) A ．－2B ．0C ．2D ．416.已知函数f (x )＝x e -x (x ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间； (2)求函数f (x )的极值.17.已知函数f (x )＝ax ＋ln(x ＋1)，a ∈R .(1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若f (x )在x ＝1处取得极值，试讨论f (x )的单调性. 第三章∵(0，b)在切线x －y ＋1＝0上，∴b ＝1，故选A.6解：∵y ′＝4′·（ex ＋1）－4·（ex ＋1）′（ex ＋1）2＝－4exe2x ＋2ex ＋1，∴y ′|x ＝0＝－41＋2＋1＝－1.故选D.7解：∵y ′＝3x2＋1，又∵3x2＋1＝4，解得x ＝±1.∴切点P0的坐标为(1，0)或(－1，－4)．故填(1，0)或(－1，－4)．8解：令ex ＝t ，则x ＝lnt.∵f(ex)＝x ＋ex ，∴f(t)＝lnt ＋t ，∴f ′(t)＝1t ＋1，∴f ′(1)＝1＋1＝2.故填2.9解：设切点坐标为(x0，y0)， ∵f ′(x0)＝3x20－4＝－1，∴x0＝±1. ∴切点为(1，1)或(－1，7)．切线方程为x ＋y －2＝0或x ＋y －6＝0.10解：f ′(x)＝3x2＋4ax ＋b ，g ′(x)＝2x －3，由于曲线y ＝f(x)与y ＝g(x)在点(2，0)处有相同的切线，故有f(2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此解得a ＝－2，b ＝5.从而切线l 的方程为x －y －2＝0.得x0＝12.故存在x0＝12满足条件．12解：当x ＜0时，f ′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x ＞0时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减．故选C. 13解：f ′(x)＝(x －3) ′ex ＋(x －3)(ex) ′＝(x －2)ex ，令 f ′(x)＞0，解得x ＞2，故选D.14解：f ′(x)＝(x －2)2＋2(x －1)(x －2)＝(x －2)(3x －4)．令f ′(x)＝0⇒x1＝43，x2＝2，结合导数的符号变化．故选B.15解：f ′(x)＝3x2－6x ＝3x(x －2)， 令f ′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2(舍去)， 当－1≤x ＜0时，f ′(x)＞0；当0＜x≤1时，f ′(x)＜0.所以当x ＝0时，f(x)取得最大值为2.故选C. 16解：(1)f ′(x)＝(1－x)e-x.令f ′(x)＝0，得x ＝1. x ，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在区间(－∞在区间(1，＋∞)内是减函数．(2)由(1)可知，函数f(x)在x ＝1处取得极大值f(1)＝1e .17解：f ′(x)＝a ＋1x ＋1.(1)若a ＝2，则f ′(0)＝2＋10＋1＝3，又f(0)＝0，因此曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y －0＝3(x －0)，即3x －y ＝0.(2)∵f ′(1)＝0，x ，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以f(x)在(－1。

人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习《导数及其应用》全章复习与巩固【学习目标】1. 会利用导数解决曲线的切线的问题.2. 会利用导数解决函数的单调性等有关问题.3. 会利用导数解决函数的极值、最值等有关问题.4. 能通过运用导数这一工具解决生活中的一些优化问题：例如利润最大、用料最省、效率最高等问题【知识网络】【要点梳理】要点一：有关切线问题直线与曲线相切，我们要抓住三点： ①切点在切线上； ②切点在曲线上；③切线斜率等于曲线在切点处的导数值. 要点诠释：通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.要点二：有关函数单调性的问题设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：（1）若函数()f x 在区间（a ，b ）内单调递增，则'()0f x ≥，若函数()f x 在（a ，b ）内单调递减，则'()0f x ≤.（2）'()0f x ≥或'()0f x ≤恒成立，求参数值的范围的方法： ① 分离参数法：()m g x ≥或()m g x ≤.② 若不能隔离参数，就是求含参函数(,)f x m 的最小值min (,)f x m ，使min (,)0f x m ≥. （或是求含参函数(,)f x m 的最大值max (,)f x m ，使max (,)0f x m ≤） 要点三：函数极值、最值的问题 函数极值的问题（1）确定函数的定义域； （2）求导数)(x f '； （3）求方程0)(='x f 的根；（4）检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释： ①先求出定义域②一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点； 若由负变正，则该点为极小值点.注意：无定义的点不用在表中列出③根据表格给出结论：注意一定指出在哪取得极值. 函数最值的问题若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根；（3）求在),(b a 内所有使0)(='x f 的的点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值.要点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可.②若)(x f 在开区间),(b a 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值. 要点四：优化问题在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决.我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题.利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式()y f x =；(2) 求函数的导数'()f x ，解方程'()0f x =；(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值． 要点诠释：①解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． 利用导数解决优化问题的基本思路：②得出变量之间的关系()y f x =后，必须由实际意义确定自变量x 的取值范围；③在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使'()0f x =的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．④在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． 要点五：定积分的概念如果函数=()y f x 在区间[]a b ，上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[]a b ，等分成n 个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取点()1,2,,i i n =ξ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f n==-=∆=∑∑ξξ．当n →+∞时，上述和式n S 无限趋近于常数，那么称该常数为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：()baf x dx ⎰，即+1()lim()nbi an i b af x dx f n→∞=-=∑⎰ξ．要点诠释： （1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()bbbaaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰（称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如120(1)x dx +⎰与320(1)x dx +⎰的值就不同．要点六：定积分的几何意义要点诠释：（1）当()0f x ≤时，由()y f x =、x =a 、x =b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，积分()d baf x x⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数（负数）．所以[()]d ()bbaaS f x x f x S =-=-=-⎰⎰，即()d baf x x S =-⎰，如图（b ）．（2）当()f x 在区间[a ，b ]上有正有负时，积分()d b af x x ⎰在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x 轴上方面积取正号，x 轴下方面积取负号）．在如图（c ）所示的图象中，定积分132()d baf x x S S S =+-⎰．要点七：定积分的运算性质 性质1：()d ()bba ak f x x k f x kS ==⎰⎰；性质2：[()g()]d ()g()d bb baaaf x x x f x x x ±=±⎰⎰⎰；性质3：定积分关于积分区间具有可加性。

导数及其应用基本知识点1，导数：当x ∆趋近于零时，x x f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数C 。

可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x x f ∆-∆+)()(00c →或记作c x x f x x f x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。

函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。

即x x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(l i m)(0000'2，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率；导数的物理意义，通常是指物体运动在某一时刻的瞬时速度。

即若点),(00y x P 为曲线上一点，则过点),(00y x P 的切线的斜率x x f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(l i m )(0000'切由于函数)(x f y =在0x x =处的导数，表示曲线在点))(,(00x f x P 处切线的斜率，因此，曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线方程可如下求得：（1）求出函数)(x f y =在点0x x =处的导数，即曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线的斜率。

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为：))((00'0x x x f y y -=-，如果曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为0x x =，故过点),(00y x P 的切线的方程为：))((00'0x x x f y y -=- 3，导数的四则运算法则：（1）)()())()((x g x f x g x f '±'='± （2）)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='（3）)()()()()()()(2x g x g x f x f x g x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡4，几种常见函数的导数：(1))(0为常数C C =' (2))(1Q n nx x n n ∈='-）（ (3)x x cos )(sin =' (4)x x sin )(cos -='(5)x x 1)(ln =' (6)e xx a a log 1)(log =' (7)x x e e =')( (8)a a a x x ln )(=' 5，函数的单调性：在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)('<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减。

高二数学选修二公式总结一、导数及其应用1. 导数的定义- 函数y = f(x)在x = x_{0}处的导数f^′(x_{0})=limlimits_{Δ x→0}(Δ y)/(Δx)=limlimits_{Δ x→0}frac{f(x_{0}+Δ x)-f(x_{0})}{Δ x}2. 基本初等函数的导数公式- C^′ = 0（C为常数）- (x^n)^′=nx^n - 1（n∈ Q）- (sin x)^′=cos x- (cos x)^′ =-sin x- (a^x)^′=a^xln a（a>0,a≠1）- (e^x)^′ = e^x- (log_{a}x)^′=(1)/(xln a)（a>0,a≠1,x>0）- (ln x)^′=(1)/(x)3. 导数的运算法则- (u± v)^′ = u^′± v^′- (uv)^′ = u^′ v+uv^′- ((u)/(v))^′=(u^′ v - uv^′)/(v^2)(v≠0)4. 复合函数求导法则- 设y = f(u)，u = g(x)，则y^′_{x}=y^′_{u}· u^′_{x}5. 函数的单调性与导数- 设函数y = f(x)在某个区间内可导，如果f^′(x)>0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递增；如果f^′(x)<0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减。

6. 函数的极值与导数- 设函数f(x)在点x_{0}处可导，且在x_{0}处取得极值，那么f^′(x_{0}) = 0。

- 求函数y = f(x)极值的步骤：- 求导数f^′(x)；- 求方程f^′(x)=0的根；- 列表判断在方程f^′(x)=0的根左右两侧f^′(x)的符号，确定是极大值还是极小值。

7. 函数的最值与导数- 求函数y = f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：- 求函数y = f(x)在(a,b)内的极值；- 将函数y = f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

高二数学学习：高二数学选修1导数及其应用知识点总结你还在为高中数学学习而苦恼吗?别担心，看了高二数学学习：高二数学选修1导数及其应用以后你会有很大的收获：高二数学学习：高二数学选修1导数及其应用第三章：导数及其应用知识点：1、若某个问题中的函数关系用表示，问题中的变化率用式子表示，则式子称为函数从到的平均变化率．2、函数在处的瞬时变化率是，则称它为函数在处的导数，记作或，即．3、函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率．曲线在点处的切线的斜率是，切线的方程为．若函数在处的导数不存在，则说明斜率不存在，切线的方程为．4、若当变化时，是的函数，则称它为的导函数（导数），记作或，即．5、基本初等函数的导数公式：若，则；若，则；若，则；若，则；若，则；若，则；若，则；若，则．6、导数运算法则：；；．7、对于两个函数和，若通过变量，可以表示成的函数，则称这个函数为函数和的复合函数，记作．复合函数的导数与函数，的导数间的关系是．8、在某个区间内，若，则函数在这个区间内单调递增；若，则函数在这个区间内单调递减．9、点称为函数的极小值点，称为函数的极小值；点称为函数的极大值点，称为函数的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 10、求函数的极值的方法是：解方程．当时：如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值．11、求函数在上的最大值与最小值的步骤是：求函数在内的极值；将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．考点：1、导数在切线方程中的应用2、导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用4、导数在恒成立问题中的应用典型例题1.（05全国卷Ⅰ）函数，已知在时取得极值，则=（）A．2 B. 3 C. 4 D.52．函数在[0,3]上的最大值与最小值分别是（）A.5 , - 15B.5 , 4C.- 4 , - 15D.5 , - 163.（根据____年天津卷文21改编）已知函数是R上的奇函数，当时取得极值－2.（1）试求a、c、d的值；（2）求的单调区间和极大值；4.（根据山东____年文21改编）设函数，已知为的极值点。