二次函数专项训练“对称性27课件

（一）、教学内容1.二次函数的解析式六种形式 ① 一 般式 y=ax 2+bx+c(a≠0) ② 顶点式③ 交点式y = a (x - h )2 + k （a≠0 已知顶点）y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （a≠0 已知二次函数与 X 轴的交点）④ y=ax 2(a≠0) (顶点在原点)⑤ y=ax 2+c (a≠0) (顶点在 y 轴上)⑥ y= ax 2+bx (a≠0) (图象过原点)2. 二次函数图像与性质 对称轴： x = -2a顶点坐标： (- b 4ac - b 2, )2a 4a与 y 轴交点坐标（0，c ）增减性：当 a>0 时，对称轴左边，y 随 x 增大而减小；对称轴右边，y 随 x 增大而增大当 a<0 时，对称轴左边，y 随 x 增大而增大；对称轴右边，y 随 x 增大而减小☆ 二次函数的对称性二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为 x 1, x 2其对应的纵坐标相等那么对称轴: x = x 1 + x 22与抛物线 y=ax 2 +bx+c(a≠0)关于 y 轴对称的函数解析式：y=ax 2 -bx+c(a≠0) 与抛物线 y=ax 2 +bx+c(a≠0)关于 x 轴对称的函数解析式：y=-ax 2 –bx-c(a≠0)当 a>0 时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大； 当 a<0 时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大；【典型例题】题型 1 求二次函数的对称轴1、 二次函数 y= x 2 -mx+3 的对称轴为直线 x=3，则 m=。

2、 二次函数 y = x 2 + bx + c 的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是 （ ） （A ） x = -1 （B ） x = 1 （C ） x = 2 （D ） x = 33、 y=2x 2 -4 的顶点坐标为，对称轴为 。

一、引入f x=x2的图像关于y 轴对称,为啥子呢?答案一: 折叠能重合.答案二:f x=x2关于y轴对称的点都在f x=x2上.（作y=x2图像）（线由点构成）讲:设（a,b）是f x=x2上任意一点,则b=f a=a2.而（a,b）关于y轴的对称点为（−a,b），则f−a=a2=b.∴（−a,b）在f x=x2图像上. ∴f x=x2关于 y轴对称.∴f−a=f(a). ﹡对函数f x来讲, 将﹡式用文字语言描述: 自变量互为相反数, 函数值相等, 称之为偶函数. 对所以图像关于轴对称的函数都有此性质吗? 用余弦函数图像说明混脸熟.二、新课1、如果对一切使F x有定义的x, F−x也有定义, 并且F−x=F x成立, 则称F x为偶函数。

类比:如果对一切使F x有定义的x,F−x也有定义, 并且F−x=−F x成立, 则称F x为奇函数.2、从函数三要素来分析奇函数、偶函数.①定义域：在数轴上关于原点对称.②解析式举例: 奇函数: x n（n为奇数），偶函数：x n（n为偶数）.③值域：无限制。

例1. 判断下列函数的奇偶性。

（1）f x=|x+1|+|x−1|.（2）f x=1−x2x+1.（3）f x=12x2+1 x>0;−12x2−1 x<0.（4）f x=1−x2|x+2|.例2. 已知f x为R上奇函数. 当x>0时, f x=−2x2+3x+1.(1) 求f x解析式.(2) 做出函数f x的图像.小结：基本知识: 1.奇、偶、定义域特点.2.判断函数奇偶性的方法.数学习惯: 符号语言, 文字语言, 图形语言的转换.数学思想: 类比, 函数思想——用研究函数的方法研究函数(三要素、性质). 作业：一、复习引入回顾上节小结的内容（具体化）.二、新课1、具有奇偶性的函数, 其单调性如何？举例：f x=x2,g x=1x.结论：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同.偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.2、二次函数f x=a(x−1)2+1a≠0的对称轴是x=1为什么？①图像上观察：1+t,a t2+1,(1−t,a t2+1)②解析式：f1+t=f1−t,t∈R成立.③将上式翻译成文字语言：对来说，自变量和为2，函数值相等.④一般化：f x=a(x−h)2+k关于x=h对称.f x= ax2+bx+c对称轴为x=−b2a.点: 对任意x∈R， f h+t=f h−t.自变量和为2h，则图像关于x=h对称.⑤更一般化：对其它（非二次函数）. 若f a+x=f a−x, x∈R成立，则函数f x图像关于x=a对称.3、二次函数图像的分类y= ax2+bx+c a≠0①②③④⑤⑥课外思考题：从偶函数图像关于y轴对称，解析式满足f−x=f x可得出：一般函数图像关于x=a对称，其解析式满足f a+x=f a−x.用类比方法, 得出函数图像关于a,0对称, 其解析式满足的条件, 并翻译成文字语言.例1. 已知二次函数f x同时满足①f1+x=f1−x②f(x)的最大值为15 ③f x=0的两根立方和等于17, 求f x的解析式.优化方案P35, 随堂自测.(1)、（2）、（3）、（4）小结：（1）f(x)= ax2+bx+c a≠0的对称性.（2）f(x)对称轴x=a f a+x=f a−x对一切x∈R成立.数学思想：①特殊到一般②类比方法上类比结论上类比作业：。

1.2.8二次函数的图象和性质——对称性1．函数f(x)＝x3＋1的奇偶性为()．A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(x)在(－∞，0)上()．A．递增B．递减C．先增后减D．先减后增3．函数f(x)＝x2＋2x＋2，x∈(1,4]的值域是()．A．(5,26] B．(4,26]C．(3,26] D．(2,26]4．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是()．A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)C．f(x)·f(－x)≤0D．()1 ()f xf x=--5．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是递增函数，则()．A．f(－1)＜f(－1.5)＜f(2)B．f(－1.5)＜f(－1)＜f(2)C．f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)D．f(2)＜f(－1)＜f(－1.5)6．若函数y＝x(ax＋1)是奇函数，则实数a＝__________. 7．已知函数f(x)＝x3＋ax＋1，f(1)＝3，则f(－1)＝__________.8．已知f(x)是偶函数，其定义域为R，且在[0，＋∞)上是递增函数，则74f⎛⎫- ⎪⎝⎭与f(2)的大小关系为__________．9．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b为常数)满足f(0)＝f(1)，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的值域．10．求函数f(x)＝x2－2ax－1在闭区间[0,2]上的最大值和最小值．参考答案1.答案：D解析：函数定义域为R，且f(－x)＝－x3＋1，∴f(x)≠f(－x)，且f(x)≠－f(－x)．因此，此函数既不是奇函数也不是偶函数．2.答案：A解析：由f(x)是偶函数知2m＝0，即m＝0.此时f(x)＝－x2＋3，开口向下，对称轴为y轴，所以在(－∞，0)上单调递增．选A．3.答案：A解析：由于f(x)＝(x＋1)2＋1，对称轴为直线x＝－1，因此f(x)在(1,4]上是单调递增的，所以当x∈(1,4]时，f(1)＜f(x)≤f(4)，即5＜f(x)≤26，故选A．4.答案：D解析：()1()f xf x=--当f(－x)＝0时不成立，故选D．5.答案：C解析：f(x)是偶函数，且在(－∞，－1]上是递增函数．而f(2)＝f(－2)，且－2＜－1.5＜－1，所以f(－2)＜f(－1.5)＜f(－1)．即f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)，故选C．6.答案：0解析：由于f(x)＝x(ax＋1)＝ax2＋x，又f(x)是奇函数，必有a＝0.7.答案：－1解析：由f(x)＝x3＋ax＋1得f(x)－1＝x3＋ax.∵f (x)－1为奇函数，∴f(1)－1＝－[f(－1)－1]，即f(－1)＝－f(1)＋2＝－3＋2＝－1.8.答案：74f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(2)解析：∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则7744f f⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而724<，∴74f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(2)．9.解：(1)∵f(x)＝x有两个相等的实数根．∴x2＋(a－1)x＋b＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(a－1)2－4b＝0.①又f(0)＝f(1)，∴a＋b＋1＝b.②由①，②知a＝－1，b＝1，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)∵213()24f x x⎛⎫=-+⎪⎝⎭，x∈[0,4]，∴12x=时，f(x)有最小值34.又f(0)＝1，f(4)＝13，∴f(x)的最大值为13.∴f(x)的值域为3,13 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.10.解：∵f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1，∴f(x)的图象是开口向上，对称轴为x＝a的抛物线，如下图所示．当a＜0时〔如图(1)〕，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f(x)的最小值为f(0)＝－1；当0≤a≤1时〔如图(2)〕，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f (x)的最小值为f(a)＝－a2－1；当1＜a＜2时〔如图(3)〕，f(x)的最大值为f(0)＝－1，f(x)的最小值为f(a)＝－a2－1；当a≥2时〔如图(4)〕，f(x)的最大值为f(0)＝－1，f(x)的最小值为f(2)＝3－4a.。

巧用抛物线对称性解题►类型之一二次函数与三角形的综合图3－ZT－11．如图3－ZT－1，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________．2．如图3－ZT－2，在平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点B，C在x轴上，OA＝8，AB＝AC＝10，点D在AB上，CD与y轴交于点E，且满足S△COE＝S△ADE，求过点B，C，E的抛物线的函数表达式．图3－ZT－23．如图3－ZT－3，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的图象经过点A(3，0)，B(4，1)，且与y轴交于点C，连结AB，AC，BC.(1)求该二次函数的表达式；(2)判断△ABC的形状．图3－ZT－34．如图3－ZT－4，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，已知C(0，5)，M为它的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；(2)求△MAB的面积；(3)求△MCB的面积．图3－ZT－45．如图3－ZT －5，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；(3)设(1)中的抛物线上有一个动点P ，且点P 在x 轴上方．若S △PAB ＝8，请求出此时点P 的坐标．图3－ZT －56．如图3－ZT －6，一小球从斜坡上点O 抛出，球的抛出路线可以用二次函数y ＝－x 2＋4x 刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画．(1)请用配方法求二次函数图象最高点P 的坐标； (2)小球的落点是A ，求点A 的坐标；(3)连结抛物线的最高点P 与点O ，A 得△POA ，求△POA 的面积；(4)在OA 上方的抛物线上存在一点M (点M 与点P 不重合)，使△MOA 的面积等于△POA 的面积，请直接写出点M 的坐标．图3－ZT －6► 类型之二 二次函数与特殊四边形的综合图3－ZT －77．边长为1的正方形OA 1B 1C 1的顶点A 1在x 轴的正半轴上，将正方形OA 1B 1C 1绕顶点O 顺时针旋转75°得正方形OABC (如图3－ZT －7)，使点B 恰好落在函数y ＝ax 2(a ＜0)的图象上，则a 的值为( )A ．－23B ．－12C ．－2D ．－238．如图3－ZT －8，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象过正方形ABOC 的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．3－ZT －83－ZT －99．二次函数y ＝3x 2的图象如图3－ZT －9，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在二次函数y ＝3x 2的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA ＝120°，则菱形OBAC 的面积为__________．10．如图3－ZT －10，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－43x ＋2过点B (1，0)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线与y 轴的交点C 的坐标及与x 轴的另一交点A 的坐标； (3)以AC 为边在第二象限画正方形ACPQ ，求P ，Q 两点的坐标．图3－ZT －1011．如图3－ZT －11，已知抛物线y ＝－14x 2－12x ＋2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C .(1)求点A ，B ，C 的坐标．(2)E 是此抛物线上的点，F 是其对称轴上的点，求以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积．(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图3－ZT －11详解详析1．(1＋2，2)或(1－2，2)[解析]∵△PCD 是以CD 为底的等腰三角形， ∴点P 在线段CD 的垂直平分线l 上．如图，作CD 的垂直平分线交抛物线于点P 1，P 2，交y 轴于点E ，则E 为线段CD 的中点．∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ， ∴C (0，3)，而D (0，1)，∴点E 的坐标为(0，2)， ∴点P 的纵坐标为2.在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝2，可得－x 2＋2x ＋3＝2，解得x ＝1±2，∴点P 的坐标为(1＋2，2)或(1－2，2)． 2．解：如图，过点D 作DG ⊥x 轴于点G . ∵OA ＝8，AC ＝AB ＝10， ∴A (0，－8)，BO ＝OC ＝6， ∴B (6，0)，C (－6，0)． ∵S △COE ＝S △ADE ，∴S △CBD ＝S △AOB ＝12×8×6＝24，∴12×BC ×||y D ＝24，解得||y D ＝4， ∴D 为AB 的中点，∴D (3，－4)．联合C 点坐标可求得直线CD 的函数表达式为y ＝－49x －83，∴E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－83.设过B ，C ，E 三点的抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋6)(x －6)， 将E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－83代入，得a ＝227，∴过点B ，C ，E 的抛物线的函数表达式为y ＝227(x ＋6)(x －6)＝227x 2－83.3．解：(1)把A (3，0)，B (4，1)代入y ＝ax 2＋bx ＋3中，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋3＝0，16a ＋4b ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－52，∴该二次函数的表达式为y ＝12x 2－52x ＋3.(2)△ABC 是直角三角形．理由：过点B 作BD ⊥x 轴于点D ， 易知点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝45°.又∵点B 的坐标为(4，1)， ∴AD ＝BD ， ∴∠DAB ＝45°，∴∠BAC＝180°－45°－45°＝90°，∴△ABC是直角三角形．4．解：(1)∵A (－1，0)，B (5，0)，∴可设表达式为y ＝a (x ＋1)(x －5)．将C (0，5)代入，得a ＝－1，∴抛物线的函数表达式为y ＝－(x ＋1)(x －5)＝－x 2＋4x ＋5.∴M (2，9)．(2)S △MAB ＝12AB ·||y M ＝12×6×9＝27. (3)过点M 作MD ⊥y 轴于点D ，则S △MCB ＝S 梯形MDOB －S △DCM －S △COB ＝12×(2＋5)×9－12×2×4－12×5×5＝15. 5．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，∴方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根为x ＝－1或x ＝3，∴－1＋3＝－b ，－1×3＝c ，∴b ＝－2，c ＝－3，∴该抛物线的函数表达式是y ＝x 2－2x －3.(2)∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－4)．(3)设点P 的纵坐标为y P ，∵S △PAB ＝8，∴12AB ·|y P |＝8. ∵AB ＝3＋1＝4，∴|y P |＝4，∴y P ＝±4.∵点P 在x 轴上方，∴y P＝4.把y P ＝4代入表达式，得4＝x 2－2x －3，解得x ＝1±2 2，∴点P 的坐标为(1＋2 2，4)或(1－2 2，4)．6．解：(1)∵y ＝－x 2＋4x ＝－(x 2－4x )＝－(x 2－4x ＋4)＋4＝－(x －2)2＋4，∴最高点P 的坐标为(2，4)．(2)点A 的坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝－x 2＋4x ，y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝74， ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，74.(3)如图，过点P 作PB ⊥x 轴交OA 于点B ，则点B 的坐标为(2，1)，∴PB ＝3，∴S △POA ＝S △OPB ＋S △APB ＝12×3×2＋12×3×32＝214. (4)如图，过点P 作PM ∥OA 交抛物线于点M ，连结OM ，则△MOA 的面积等于△POA 的面积．设直线PM 的函数表达式为y ＝12x ＋b ， ∵直线PM 过点P (2，4)，∴12×2＋b ＝4，解得b ＝3，∴直线PM 的函数表达式为y ＝12x ＋3. 根据题意，可列方程组⎩⎨⎧y ＝－x 2＋4x ，y ＝12x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝154， ∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，154.7．D [解析] 如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，连结OB .依题意得∠AOE ＝75°，∠AOB ＝45°，∴∠BOE ＝30°.∵OA ＝1，∴OB ＝ 2.∵∠OEB ＝90°，∴BE ＝12OB ＝22，∴OE ＝62， ∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22. 将其代入y ＝ax 2(a ＜0)，得a ＝－23. 故选D.8．－2 [解析] 连结BC，与AO交于点D.观察图象，根据二次函数的图象与其表达式的系数之间的关系可知a<0，c>0.由图象可知，点A是抛物线的顶点，设点A的坐标为(0，c)，则OA＝c，∵四边形ABOC 是正方形，∴AO ＝BC ，AD ＝OD ，△ABD ，△ACD 是等腰直角三角形，∴AD ＝OD ＝c 2. ∵△ABD 是等腰直角三角形， ∴BD ＝c 2. ∵BD ＝c 2，OD ＝c 2， ∴点B 的坐标为(－c 2，c 2)． 将点B 的坐标代入二次函数表达式y ＝ax 2＋c ，可得c 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 22＋c ， 整理，得ac ＝－2.9．2 3 [解析] 连结BC 交OA 于点D .∵四边形OBAC 为菱形，∴BC ⊥OA .∵∠OBA ＝120°，∴∠OBD ＝60°，∴OD ＝3BD .设BD ＝t ，则OD ＝3t ，∴B ()t ，3t . 把B (t ，3t )代入y ＝3x 2，得3t ＝3t 2，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝1.∴BD ＝1，OD ＝3，∴BC ＝2BD ＝2，OA ＝2OD ＝2 3，∴菱形OBAC 的面积为12×2×2 3＝2 3.10．解：(1)将B (1，0)代入y ＝ax 2－43x ＋2，得a －43＋2＝0，∴a ＝－23， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－23x 2－43x ＋2. (2)当y ＝0时，－23x 2－43x ＋2＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－3.当x ＝0时，y ＝2，∴抛物线与x 轴的另一交点A 的坐标为(－3，0)，与y 轴的交点C 的坐标为(0，2)．(3)如图，过点P ，Q 分别作PH ⊥y 轴，QG ⊥x 轴，H ，G 分别为垂足．∵四边形ACPQ 是正方形，∴易知△AOC ≌△QGA ≌△CHP ，∴AO ＝QG ＝CH ＝3，OC ＝GA ＝HP ＝2，∴P (－2，5)，Q (－5，3)．11．解：(1)当x ＝0时，y ＝2，∴C (0，2)．当y ＝0时，－14x 2－12x ＋2＝0， 解得x 1＝－4，x 2＝2，∴B (－4，0)，A (2，0)．(2)易得对称轴为直线x＝－1.当AB为对角线时，如图①，图①由点F 的横坐标为－1，易知点E 的横坐标也是－1，∴E (－1，94)， ∴▱AEBF 的面积为AB ×94×12×2＝272； 当AB 为边时，如图②，图②∵AB ＝6，∴EF ＝6，∴E (5，－274)或E ′(－7，－274)， ∴以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积为AB ×274＝6×274＝812. 综上，以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积为272或812. (3)存在，设点M 的坐标为(－1，t )．∵A (2，0)，C (0，2)，∴AC ＝22，MC ＝1＋（t －2）2，AM ＝9＋t 2.①当AC＝MC时，22＝1＋（t－2）2，解得t＝2±7，即M(－1，2＋7)或M(－1，2－7)；②当MC＝AM时，1＋（t－2）2＝9＋t2，解得t＝－1，即M(－1，－1)；③当AC＝AM时，22＝9＋t2，此方程无解．综上，此抛物线的对称轴上存在点M，使得△ACM是等腰三角形，点M的坐标为(－1，2＋7)或(－1，2－7)或(－1，－1)．感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。