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课程名称：相似三角形的存在性问题解题策略学生姓名年级九年级校上课时间月日：——：任课教师学学科数学课次第次课课教学主题三角形相似问题专题攻略相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例检验，如例题1、2、3、4．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等应用判定定理3解题不多见，如例题5，根据三边对应成比例列连比式解方例题解析例?如图1-1，抛物线213482y x x 与x 轴交于A 、B 两点（A 点C ．动直线EF （EF//x 轴）从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴负方向BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的在t ，使得△BPF 与△ABC 相似．若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理图1-1例? 如图2-1，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的解析式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．图2-1例? 如图3-1，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(1, 0)、B(3, 0)两点，（1）求此抛物线的解析式；（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点角形与△BCD相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．图4-1例? 如图5-1，二次函数y＝x2＋3x的图象经过点A(1,a)，线段AD平y轴上取一点C(0, 2)，直线AC交抛物线于点B，连结OA、OB、OD、BD．求的点E的坐标；图5-1例? 如图6-1，在△ABC中，AB＝AC＝42，BC＝8．⊙A的半径为方向以每秒1个单位的速度向点C运动．延长BA交⊙A于点D，连结AP 交BC于点F．设点P运动的时间为t秒，当△ABP与△FBD相似时，求t课后练习：1.如图5－1－3，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c(b，c为常数) C(0，4)，顶点为M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二BC.(1)求该二次函数的表达式及点M的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m(m＞0)个单位，使平移后得到落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界)，求m的取值范围；(3)点P是直线AC上的动点，若点P，C，M所构成的三角形与出所有点P的坐标．。
相似三角形培优专题讲义知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。
2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。
）例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。
（2）比例性质1.基本性质:bc ad d cb a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： cda b d c b a =⇒= (把比的前项、后项交换)3.更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．例：已知的值求fd be c af d b f e d c b a ++++≠++===),0(545.合比性质：ddc b b ad c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．知识点二：平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。
《相似三角形》讲义一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形就叫做相似三角形。
相似三角形是初中数学中非常重要的一个概念，它在几何证明、计算以及实际生活中都有着广泛的应用。
二、相似三角形的判定1、两角分别相等的两个三角形相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
这是因为三角形的内角和为 180 度，当两个角相等时，第三个角也必然相等。
例如，在三角形ABC 和三角形A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果AB/A'B' ＝ AC/A'C'，且∠A ＝∠A'，那么三角形 ABC 相似于三角形A'B'C'。
3、三边成比例的两个三角形相似如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果 AB/A'B' ＝ BC/B'C' ＝AC/A'C'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。
三、相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等这是相似三角形的基本性质之一。
因为相似三角形是通过对应角相等来定义的，所以相似三角形的对应角必然相等。
2、相似三角形的对应边成比例相似三角形的对应边的比值是相等的，这个比值称为相似比。
例如，如果三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'，相似比为 k，那么 AB/A'B' ＝BC/B'C' ＝ AC/A'C' ＝ k。
相似培优个性化讲义-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1个性化辅导教案提纲教师： 学生： 时间： 年 月 日 学段：②如果一个三角形的两条边分别与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两③如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． ①它们的对应边成比例，对应角相等；②它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比；ABC ⇒∆∆ABC ⇒∆E Q M AB C N P D 已知：cb b ac b b a -+==:.45,32求的值. 如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边长BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少如图5－130，在ΔABC ，中∠C=60°，AD ，BE 是ΔABC 的高，DF 为ΔABD 的中线.求证：DE=DF.(提示：证明ΔCDE ∽ΔCAB ，得到21=AB DE .)1、如图，C 为线段AB 上的一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，若AC ＝3，BC ＝2，则△MCD 与△BND 的面积比为 。
2、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于O 点，S △AOD :S △COB ＝1:9， 则S △DOC :S △BOC ＝3、如图,已知点D 是AB 边的中点,AF ∥BC,CG ∶GA=3∶1,BC=8,则AF ＝已知：平行四边形ABCD ，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD 、BD 交于G 、F ，求证：EF GF CF ⋅=2。
A B C D M N 第15题A B C D O 第16题 AB D F GC E 第17题，垂足分别为。
教育教学讲义课题相似三角形1通过本章的学习，要熟悉数学中的转化思想，数形结合，分类讨论思想特殊值法。
2转化思想：利用相似性质解决问题时，经常用到转化思想，如在有关面积的问题中, 往往要借助于线段的比，周长的比等进行转化，进而解决问题。
教学目标3数形结合思想：对于很多几何图形，我们都要善于观察，找出其中的隐含条件，做到数形结合，从而解决问题。
4分类讨论思想：在运用相似三角形的对应边成比例的性质时，如果题目的条件中，不能确定如何对应，则应给予讨论。
教学内容课前检测全等三角形的概念？知识梳理相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形. 相似用符号“S”表示，读作“相似于”•相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）• 相似三角形对应角相等，对应边成比例.①对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边.②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的.③两个三角形形状一样，但大小不一定一样.④全等三角形是相似比为1的相似三角形•二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.定理的基本图形：用数学语言表述是:学员姓名: 年级: 学科教师:上课时间: 辅导科目：数学课时数：2DE//BC ,ADE s ABC•相似三角形的等价关系⑴反身性：对于任一ABC有ABC s ABC .(2) 对称性：若ABC s A'B'C'，贝U A' B'C's ABC .(3) 传递性：若ABC s A'B'C，且A'B'C s ABC，贝U ABC s ABC . 三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简述为：两角对应相等，两三角形相似.4、判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似. (在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似)6、判定直角三角形相似的方法：(1) 以上各种判定均适用.(2) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.(3) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.AB ~6c直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似21、数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为 米．2、（2009年淄博市）如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为（ ）A ．9B ．10.5C ．12D ．153、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ）A 、17172B 、17174 C 、 17178D 、3 4、（2009年重庆市江津区）在△ABC 中，BC =10，B 1 、C 1分别是图①中AB 、AC 的中点，在图②中，2121、C 、C 、B B 分别是AB ,AC 的三等分点，在图③中921921;C 、C C B 、、B B 分别是AB 、AC的10等分点，则992211C B C B C B +++ 的值是 （ ）A . 30B . 45C .55D .60① ② ③5、(2009年陕西省)小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD ＝1.2m ，CE ＝0.8m ，CA ＝30m （点A 、E 、C 在同一直线上）．已知小明的身高EF 是1.7m ，请你帮小明求出楼高AB ．A BCD EF P6、如图,已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC,点E 、F 在AB 上,∠ECF=45°.（1）求证:△ACF ∽△BEC ；（2）设△ABC 的面积为S ，求证:AF ·BE=2S.7、如图,在△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC,DE ⊥AC,M 为DE 的中点,AM 与BE 相交于N,AD 与BE 相交于F.求证:（1）DE CE =AD CD ；（2）△BCE ∽△ADM ；（3）AM 与BE 互相垂直.45°A EFBC ADBFE N MC8、（2009年中山）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， （1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；（2）设BM x ，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值．9．如图，已知矩形ABCD 的边长AB=2，BC=3，点P 是AD 边上的一动点（P 异于A 、D ），Q 是BC 边上的任意一点. 连AQ 、DQ ，过P 作PE ∥DQ 交AQ 于E ，作PF ∥AQ 交DQ 于F. （1）求证：△APE ∽△ADQ ；（2）设AP 的长为x ，试求△PEF 的面积S △PEF 关于x 的函数关系式，并求当P 在何处时，S △PEF 取得最大值？最大值为多少？（3）当Q 在何处时，△ADQ 的周长最小？（须给出确定Q 在何处的过程或方法，不必给出证明）A BCD PEFQ10、(2009年宁德市)如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ． （1）连接GD ，求证：△ADG ≌△ABE ；（2）连接FC ，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由； （3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB =a ，BC =b （a 、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、C ），以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不变，若∠FCN 的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan ∠FCN 的值；若∠FCN图（2）NM B E C DFG图（1）A巩固练习1、(2009年温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( ) A．第4张 B．第5张 C.第6张 D．第7张2、（2009年孝感）如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．3、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=40cm，BC=48cm，动点P从A开始沿AD边向D以每秒2cm的速度运动，动点Q开始沿CB边向B以每秒6cm的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发，设运动时间为t秒，则（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）t为何值时四边形PQCD为等腰梯形？4、如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=3,BC=7,∠B=60°P为下底BC上一点（不与B,C重合），连接AP,过点P作PE交DC于E，使∠APE=∠B(1)求证：△AB P∽△PCE (2)求等腰梯形的腰AB的长（3）在底边BC上是否存在点P，使得DE：EC=5:3，如果存在，求BP的长，如果不存在，说明理由PAB CDQ证:△ABP∽△DPC；（2）如果点P在AD边上移动（P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么,当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x，CQ=y，求关于的函数解析式,并写出函数的取值范围.6、如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段DA上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P、Q移动的时间为t秒，(1)求直线AB的解析式；(2)当t为何值时，△APQ与△AOB相似?并求出此时点P与点Q的坐标；(3)当t为何值时，△APQ的面积为245个平方单位?B CDAPEQB CDA P。
图形的相似辅导讲义【知识点拨及配套练习】形状相同的图形叫做相似图形。
（1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；（2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同；（3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。
（2011年海宁市盐官片一模）视力表对我们来说并不陌生．如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“E”之间的变换是（ ）A 、平移B 、旋转C 、对称D 、相似在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
（1）若四条线段a 、b 、c 、d 成比例，则记作a cb d=或::a b c d =。
（2）四条线段a 、b 、c 、d 的单位应一致（3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。
（4）拓展：比例式中，a c b d=或()a b c d =：：中，a 、d 叫外项，b 、c 叫内项，a 、c 叫前项，b 、d 叫后项，如果b c =，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
下列各组线段中，能组成比例线段的是（ ）A 、3、6、7、9B 、2、5、6、8、C 、3、6、9、18D 、1、2、3、4（1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。
（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。
如果一个矩形对折后和原来的矩形相似，则此矩形的长边与短边之比为（ ）A 、2：1B 、4：11C 、2：1D 、1.5：11、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。
三角形相似具有传递性。
2、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。
相似三角形专题讲义一、本章知识点：1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c da b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
其中AB AC 215-=≈0.618AB 。
2. 比例性质：①基本性质：a b c da dbc =⇔= ②合比性质：±±a b cd a b b c dd=⇒=③等比性质：……≠……a b c d mn b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
如图：L 1∥L 2∥L 3。
则，，，…A B B C D E E F A B A C D E D F B C A C E FD F===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4.相似三角形的概念：①定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形． 相似用符号“∽”表示，读作“相似于” 。
②相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)． ③对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边。
④顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的。
⑤相似三角形特点：两个三角形形状一样，但大小不一定一样。
如：全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例。
⑥相似三角形的等价关系：对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆。
一对一个性化讲义学生姓名：授课教师：班主任：科目：数学上课时间： 20 年 11 月日教管主任/校长批阅意见/签字：以图形的平移、翻折、旋转、动点问题等为代表的动态几何题，是中考的热点，本文以中考题为例介绍动态几何题中的相似三角形问题．一、平移问题例1（宜宾）如图1，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝5．BC ＝6，且△ABC ≌△DEF ．将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，DEF 运动，并满足：点E 在边BC 上沿B 到C 的方向运动，且DE 始终经过点A ，EF 与AC 交于M 点． (1)求证：△ABE ∽△ECM ；(2)探究：在△DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形，若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由；(3)当线段AM 最短时，求重叠部分的面积．点评此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键．本小题也可以用几何法求解．二、翻折问题例2（徐州）如图2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，翻折∠C ，使点C 落在斜边AB 上某一点D 处，拆痕为EF(点E 、F 分别在边AC 、BC 上)． (1)若△CEF 与△ABC 相似，①当AC ＝BC ＝2时，AD 的长为_______； ②当AC ＝3，BC ＝4时，AD 的长为_______；(2)当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似吗？请说明理由．解 (1)若△CEF 与△ABC 相似， ①当AC ＝BC ＝2时，△ABC 为等腰直角三角形，如图2所示．此时D 为AB 边中点，AD 2＝；②当AC ＝3，BC ＝4时，有两种情况： (i)若CE ：CF ＝3：4，如图4所示． ∵CE ：CF ＝AC ：BC ，∴EF ∥BC ． 由折叠性质，可知CD ⊥EF ． ∴CD ⊥AB ，即此时CD 为AB 边上的高．综上所述，当AC ＝3，BC ＝4时，AD 的长为1.8或2.5．(2)当点D 是AB 的中点时，△CEF 与△ABC 相似．理由如下：如图5所示，连结CD ，与EF 交于点Q ．2点评本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质，第(1)②问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意．三、旋转问题例3（宜昌）如图6，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．AO⊥BC于点O，F是线段AO上的点（与A、O不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连结FE，FC，BF．(1)求证：BE＝BF；(2)如图7，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K．①求证：△AGC∽△KGB；②当△BEF为等腰直角三角形时，请直接写出AB：BF的值．疑难点相似三角形与函数等知识的综合6. 如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为(1,1)A ，且与直线2y x =-交于,B C 两点.(1)求抛物线的函数表达式及点C 的坐标; (2)求证: ABC ∆是直角三角形;(3)若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN x ⊥轴与抛物线交于点M ，则是否存在以,,O M N 为顶点的三角形与ABC ∆相似?若存在，请求出点N 的坐标;若不存在，请说明理由. (1)∵顶点坐标为(1,1)∴设抛物线的函数表达式为2(1)1y a x =-+又∵抛物线过原点 ∴20(01)1a =-+ 解得1a =-∴抛物线的函数表达式为2(1)1y x =--+ 即22y x x =-+联立抛物线和直线的函数表达式可得222y x xy x ⎧=-+⎨=-⎩ 解得20x y =⎧⎨=⎩或13x y =-⎧⎨=-⎩∴(2,0),(1,3)B C --(2)如图，分别过,A C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于,D E 两点则1,213,3AD OD BD BE OB OE EC ====+=+== ∴45ABO CBO ∠=∠=︒ 即90ABC ∠=︒∴ABC ∆是直角三角形.(3)假设存在满足条件的点N ，设(,0)N x ，则2(,2)M x x x -+ ∴2,2ON x MN x x ==-+在Rt ABD ∆和Rt CEB ∆中，易得AB BC ==∵MN x ⊥轴于点N∴90ABC MNO ∠=∠=︒ ∴当ABC ∆和MNO ∆相似时，有MN ON AB BC =或MN ONBC AB=①当MN ONAB BC ==即23x x x -+=∵当0x =时，,,M O N 不能构成三角形 ∴0x ≠∴123x -+=即123x -+=±解得53x =或73x =此时点N 的坐标为5(,0)3或7(,0)3②当MN ONBC AB ==即23x x x -+= ∴23x -+= 即23x -+=±解得5x =或1x =-此时点N 的坐标为(1,0)-或(5,0)综上可知，存在满足条件的点N ，其坐标为5(,0)3或7(,0)3或(1,0)-或(5,0)教案附录2.如图,抛物线y=ax 2+bx −3(a≠0)的顶点为E,该抛物线与x 轴交于A. B 两点,与y 轴交于点C,且BO=OC=3AO,直线131+-=x y 与y 轴交于点D. (1)求抛物线的解析式； (2)证明：△DBO∽△EBC；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形?若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由。
相似之类比探究（讲义）一、 知识点睛● 类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主． ● 解决类比探究问题的通常思路解决类比探究问题的核心思想是类比（照搬），类比上一问的思路方法（如照搬字母，照搬辅助线等）．探究变化过程中的不变特征（如常见结构），是类比的前提．● 类比探究中的常见结构平行结构：由比例找平行，构造A 字型或X 型； 直角结构：由斜置的直角通过作垂线构造相似三角形．二、 精讲精练1. 类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G ，若3AFEF=，求CD CG 的值． （1）尝试探究：在图1中，过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ， 则AB 和EH 的数量关系是_____________，CG 和EH 的数量关系是_____________，CDCG的值是_________．（2）类比延伸：如图2，在原题的条件下，若AFm EF=（m >0）， 则CD CG的值是_________（用含m 的代数式表示），试写出 解答过程．图3BFE CDA图2ADE F G图1ABCDE F G（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，点E是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F ．若ABa CD=，BCb BE=（a >0，b >0），则AF EF 的值是________（用含a ，b 的代数式表示）．2. 数学课上，魏老师出示图1和下面框中条件：（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AMDM的值为___________；②在平移过程中，AMDM的值为___________（用含x 的代数 式表示）．（2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请计算AMDM的值． （3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，090m <≤，原题中的其他条件保持不变，如图4所示，请计算AMDM的值（用含x 的代数式表示）．如图1，两个等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，∠ABC =∠DEF =90°，AB =1，DE =2．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45°，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C ，E 两点间的距离为x ．图2l图1图4图3图3FECDA3. 如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合，三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G ．（1）求证：EF =EG ．（2）如图2，移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成 立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”， 且使三角板的一边经过点B ，其他条件不变，若AB =a ，BC =b ，求EFEG的值．E (A )BCD FGG FD CBAEEACD FG (B )图1图2图34. 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，AC =mBC ，CE =nEA （m ，n 为实数）.试探究线段EF 与EG 的数量关系．（1）如图2，当m =1，n =1时，EF 与EG 的数量关系是 ____________．（2）如图3，当m =1，n 为任意实数时，EF 与EG 的数量关 系是______________，并证明你的结论．（3）如图1，当m ，n 均为任意实数时，EF 与EG 的数量关 系是______________．（写出关系式，不必证明）三、 回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________D A B图1GC E图2G D FEC图3C GBA D F E【参考答案】1.（1）AB =3EH ；CG =2EH ；32（2）2m；提示：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H （3）ab ；提示：过点E 作EH ∥AB 交BD 的延长线于点H2.（1）①1；②2x（2）提示：过点B 作BE 的垂线交EM 的延长线于点G ，连接AG ，证AG ∥DE ，得△AMG ∽△DME ，所以212AM AG DM DE ===（3）提示：过点B 作BE 的垂线交EM 的延长线于点G ，连接AG ，证AG ∥DE ，得△AMG ∽△DME ，所以2AM AG xDM DE ==．3.（1）提示：证明Rt △FED ≌Rt △GEB (ASA)，所以EF =EG ； （2）成立．理由如下： 证明：如图，I HEAB CD FG过点E 分别作BC ，CD 的垂线，垂足分别为H ，I ， 证明Rt △FEI ≌Rt △GEH (ASA)，所以EF =EG ； （3）解：如图，MN G (B )FD CAE过点E 分别作BC ，CD 的垂线，垂足分别为M ，N ， 证明△GME ∽△FNE ，所以EF bEG a． 4. （1）EF =EG ．（2）EF =1nEG ；作EM ⊥AB 于点M ，EN ⊥CD 于点NN MEC FAG（3）EF =1mnEG ． I H C EF DA BG相似之类比探究（每日一题） 姓名_________1． 在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ，某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1）当11211==+AE AC 时，有22321==+AO AD ； （2）当11312==+AE AC 时，有22422==+AO AD ； （3）当11413==+AE AC 时，有22523==+AO AD ； （4）当11=+AE AC n 时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AOAD的一般结 论，并给出证明（其中n 是正整数）．OE D CBA2． 在图1至图3中，直线MN 与线段AB 相交于点O ，∠1=∠2=45°． （1）如图1，若AO =OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系． （2）将图1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图2，其中AO =OB ． 求证：AC =BD ，AC ⊥BD ．（3）将图2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图3，求BDAC的值． ABD OM NC 1221NM O D BA21C NMO D BA图1图2图33． 已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P ．（1）如图1，当D 为OA 中点时，求APPC 的值； （2）如图2，当AD :DO =1:m 时，求APPC的值；（3）如图3，把题目中“点C 为OB 中点”改为“BC :CO =1:n ”，当AD :DO =1:m 时，直接写出APPC的值． ABC DOPPODC BA PODC BA 图1图2图34． （1）如图1，已知正方形ABCD ，E 是AD 上一点，F 是BC 上一点，G 是AB 上一点，H 是CD 上一点，线段EF ，GH 交于点O ，∠EOH =∠C ．求证：EF =GH ．（2）如图2，若将“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，且AD =mAB ，其他 条件不变，探索线段EF 与线段GH 的数量关系并加以证明．（3）根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能， 写出推广命题，画出图形，并证明；若不能，说明理由．A BCD EFG HOOHG F EDCBA图1图25． 在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，点F 在BC 的延长线上，CM 平分∠DCF ，连接AE ，作EM ⊥AE 交CM 于点M ．（1）如图1，当AB =BC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明； （2）如图2，当AB =nBC 时，请判断AE 与EM 的数量关系并证明； （3）如图3，把题目中“E 是BC 的中点”改为“BE =mEC ”，当AB =nBC 时， 请判断AE 与EM 的数量关系并证明．图3图2图1ABCDFEM ABCDFE MME FDCBA【参考答案】1．解：当11=+AE AC n 时，2=2AO AD n+ FOEDCBA证明如下：过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ∵ 11=+AE AC n ∴1AE EC n =∵ AF ∥BC∴ △AEF ∽△CEB ，△AOF ∽△DOB ∴1AF AE BC EC n ==，AF AOBD OD =∵ D 为BC 的中点 ∴ BD =DC∴2212AF AF AFBD BC nBC===∴2=AOOD n，即：2=2AOAD n+2．解：（1）由题意知∠BOD=∠1=45°，此时△OBD是等腰直角三角形∴OB=BD，OB⊥BD∴AO=BD，AO⊥BD（2）如图2，EFC21NMODBA图2过点B作BE//AC交CD于点E，延长AC，DB交于点F．∴∠DEB=∠DCF=∠1=45°，∠ACO=∠BEO，∠OAC=∠OBE ∴△BED，△FCD是等腰直角三角形∴BD=BE，AC⊥BD∵AO=BO∴△AOC≌△BOE，∴AC=BE∴AC=BD，AC⊥BD（3）如图3，EF21CNMODBA图3过点B作BE//AC交CD于点E，延长AC，DB交于点F．∴∠DEB=∠DCF=∠1=45°，∠ACO=∠BEO，∠OAC=∠OBE ∴△BED、△FCD是等腰直角三角形，且△AOC∽△BOE∴BD=BE，BE OB AC OA=∵OB是OA的k倍∴BE AC=k∴BDk AC=3．解：（1）如图1，E图1BPODCA过点D作DE∥OB交AC于点E，∠ADE=∠O，∠AED=∠ACO∴△ADE∽△AOC∴12 AE AD DE DE AC AO OC BC====又∵DE∥OB∴∠EDP=∠B，∠DEP=∠BCP ∴△DEP∽△BCP∴12 EP DE PC BC==∴AP PC=2（2）如图2，E图2OADPB过点D作DE∥OB交AC于点E，∠ADE=∠O，∠AED=∠ACO ∴△ADE∽△AOC∴11AE AD DE DEAC AO OC BC m====+，1AE ADEC DO m==∵DE∥OB∴∠EDP=∠B，∠DEP=∠BCP ∴△DEP∽△BCP∴11 EP DEPC BC m==+∴12 EPEC m=+设AE =k ，则EC =mk ∴ EP =2mkm + ∴ AP =AE +EP =2222mk mk kk m m ++=++，PC =EC －EP =222mk m k mk mk m m +-=++ ∴AP PC =2m（3）1n m+ 4．证明：（1）如图1，Q N MR 图1OHG FED C BA过点F 作FM ⊥AD 于M ，过点G 作GN ⊥CD 于N则FM =GN =CD =BC ，且GN ⊥FM ，设它们的垂足为Q ，EF ，GN 交于点R ∵ ∠EOH =∠GOF =∠C =90°，∴ ∠OGR =90°-∠GRO =90°-∠QRF =∠OFM ． ∵ ∠GNH =∠FME =90°，FM =GN ， ∴ △GNH ≌△FME ． ∴ EF =GH（2）GH=mEF证明如下：如图2，MNRQ图2AB CDEFGHO过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF，GN交于点R，GN，MF交于点Q∵∠EOH=∠GOF=∠C=90°，∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF =∠OFM．∵∠GNH=∠FME=90°，∴△GNH∽△FME．∴GH ADEF AB=m，即：GH=mEF（3）A E M DHNCQORFGB如图，已知平行四边形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF，GH交于点O，∠EOH=∠C，AD=mAB，则GH=mEF．证明：如图，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF，GN交于点R、GN，MF交于点Q，在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°∴∠ADC+∠MQN=180°．∴∠MQN=∠C=∠EOH=∠GOF．∵∠ORG=∠QRF，∴∠HGN=∠EFM．∵∠FME=∠GNH=90°，∴△GNH∽△FME．∴GH GN EF MF=∵AB⋅GN=AD⋅MF∴GN AD FM AB==m∴GHmEF=，即：GH=mEF5．解：（1）AE=EM，理由如下：如图1，G图1ME FDCBA取AB的中点G，连接GE．∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∵点E，G分别为正方形ABCD的边BC和AB的中点∴AG=EC∵△BGE是等腰直角三角形∴∠AGE=135°∵CM平分∠DCF∴∠ECM=135°∴△AEG≌△EMC∴AE=EM（2）当AB=nBC时，AE=(2n-1)EM，理由如下：如图2，G图2AB CDFEM在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形∴∠BGE=45°∴∠AGE=∠ECM=135°∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∴△AEG∽△EMC∴AE AG EM EC=∵AB=nBC，BC=2BE=2EC，BG=BE ∴AG+BG=2nEC∴AG=(2n-1)EC∴AE AGEM EC==(2n-1)∴AE=(2n-1)EM（3）当AB=nBC，BE=mEC时，AE=(mn+n-m)EM，理由如下：如图3，ME FDCBA图3G在AB上截取BG=BE，连接GE，则△BGE为等腰直角三角形∴∠BGE=45°∴∠AGE=∠ECM=135°∵∠AEM=90°∴∠MEC+∠AEB=90°∵∠B=90°∴∠EAG+∠AEB=90°∴∠EAG=∠MEC∴△AEG∽△EMC∴AE AG EM EC=∵BE=mEC∴BC=BE+EC=(m+1)EC ∵AB=nBC，BG=BE∴AG+BG=n(m+1)EC∴AG+mEC=n(m+1)EC ∴AG=(mn+n-m)EC∴AE AGEM EC==(mn+n-m)∴AE=(mn+n-m)EM相似之类比探究（随堂测试）1． 已知：在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，∠A =30°，点P 在AC 上，且∠MPN =90°．当点P 为线段AC 的中点，点M ，N 分别在线段AB ，BC 上时（如图1），过点P 作PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，可证Rt △PME ∽Rt △PNF ，得出PN（不需证明）．当PCP A ，点M ，N 分别在线段AB ，BC 或其延长线上，如图2、图3这两种情况时，请写出线段PN ，PM 之间的数量关系，并任选一种情况给予证明．图3B NAPMC【参考答案】如图2，如图3中都有结论：PNPM ．理由略HG AMBPCI QC MPANB图1AEFMCPB 图2CPBMA相似之类比探究（作业）2. 原题：如图1，D 是△ABC 的边BC 上一点，过点D 的一条直线交AC 于点F ，交BA 的延长线于点E ．若BD =CD ，CF =2AF ，则EAEB的值是_____________．（1）如图2，在原题的条件下，若BD =CD ，CF =mAF ，则EAEB的值是__________（用含m 的代数式表示），试写出解答过程．（2）如图3，若将原题改为“过点D 的一条直线交AC 的延长线于点F ，交AB 于点E ”，且BD =aCD ，CF =bAF ，则EAEB的值是__________（用含a ，b的代数式表示）．图1BD FEA图2FAE B 图3BCD E A3. 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO ，交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ． （1）求证：△ABF ∽△COE ； （2）如图2，当O 为边AC 中点，2AC AB =时，求OFOE的值； （3）如图3，当O 为边AC 中点，ACn AB=时，请直接写出OFOE的值．DEFBA图2A CED F B图3图1BF D O ECA4. 如图，在△ABC 中，∠A =60°，BD ，CE 分别是AC ，AB 上的高．求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ； （3）BC =2ED ．DCAEB【参考答案】1. 原题：12； （1）1m ； （2）1ab；2. 解：（1）略（2）2OF OE=．提示：如图，过点O 作OG ∥AB 交BC 于点G ，证明△AOF ∽△GOEGDEOCFBA（3）OFn OE = 3.（1）略；（2）略；（3）略。
