多变量时间序列最大李雅普诺夫指数的计算

物理学报ACTA PHYSICA SINICA2000 Vol.49 No.4 P.636-640一种最大李雅普诺夫指数估计的稳健算法杨绍清章新华赵长安最大李雅普诺夫指数是诊断和描述动态系统混沌的重要参数.在深入研究相空间重构技术和轨道跟踪法的基础上，提出了一种从标量混沌时间序列中估计最大李雅普诺夫指数的新算法.该算法能够克服现有算法的不足，主要有以下三个优点：1）很高的精度；2）几乎不受噪声的影响；3）所需的计算时间和存贮空间小, 能进行在线计算.PACC： 0545A ROBUST METHOD FOR ESTIMATING THE LARGESTLYAPUNOV EXPONENTYANG SHAO-QING(Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China)ZHANG XIN-HUA(Dalian Naval Academy,Dalian 116018,China)ZHAO CHANG-AN(Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China)ABSTRACTThe largest Lyapunov exponent is an important parameter of detecting and characterizing chaos produced from a dynamical system. In this paper, based on the technology of phase space reconstruction and the methods of trajectory tracing, a new algorithm is proposed for estimating the largest Lyapunov exponent from a scalar chaotic time series. This method, which can overcome the deficiencies of the existing methods, has three main advantages: (1) It has highly accurate results; (2) It is little affected by noise; (3) It only needs a little time of computation and small space of memory and can calculate the largest Lyapunov exponent on line.1 引言近几年来，混沌信号的诊断及其特性的描述已经广泛地应用于时间序列的分析中［1］.在诊断和描述混沌信号时，最大李雅普诺夫指数(λ1)不仅是一个很重要的不变量，而且是判断混沌存在的一个重要依据.因此，利用λ1去诊断和描述混沌仍然是一种主要方法.其他有些方法(如K-熵法等［2］)与这种方法没有本质的区别.目前估计λ1的方法主要有两种［3］：一种是分析法(analytic approach)，一种是轨道跟踪法(trajectory tracing method).前者是用一个函数（如局部多项式或神经网络等）来建立系统模型，然后估计系统的雅可比矩阵，进而求取λ1；后者是直接从λ1的定义出发跟踪系统的两条轨道，获取λ1.由于轨道跟踪法不像分析法那样易受系统拓扑结构的影响，因而受到许多学者的高度重视.自从1985年Wolf［4］提出轨道跟踪法以来，这种方法得到了较大的改进.最有代表性的是Rosenstein等［5］的工作,他们给出了一种比较优化的算法: 首先绘制<ln dk(j)> 相对j。

李雅普诺夫指数与奇怪吸引子
1. 李雅普诺夫指数
2. 菲根鲍姆常数
吸引子
3. 奇怪
奇怪吸引子
利用李雅普诺夫指数λ ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间(迭代次数)作指数分离：
在一维映射中λ 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个 λi ，而且沿相空间的不同方向，其 λi (i =1,2,…)值一般也不同。

)
exp(00n n λ⋅⋅−≈−n y x y x
面积 。

r <1 时坐标原点是稳定的不动点，当 r >1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C 1与 C 2是稳定的焦点。

=24.7368） C 1与 C 2成了不稳定的焦点。

c r r >
奇怪吸引子的最重要特征是对初值的敏感性，初始相互靠近的两条轨线将按指数式规律分离。

但在有限空间中如何保持这样的指数式分离状态？ 洛伦兹吸引子有两个不稳定平衡点，因此复杂的相轨线可以随机地在两个中心之间行走。

是否只有一个平衡点的奇怪吸引子呢？
如果有，在有限相空间里如何容纳按指数分离的相轨线？于是就想象伸展开来的相轨线可能产生了某种折叠。

巴克尔变换描写了这种变换：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤≤+<≤==++1212121021
1n n n n n n n x ay x ay y x x ，，
在平面的投影
c =2.6
c =3.5 c =4.1
c =4.18 c =4.21
c =4.6。

多阶方程组的李雅普诺夫指数matlab程序多阶方程组的李雅普诺夫指数matlab程序李雅普诺夫指数(Lyapunov exponent)是描述非线性动力学系统中的混沌现象的一种指标。

对于一些高维动力学系统而言，其状态演化可能会出现带有高度随机性的混沌状态，而李雅普诺夫指数可以用于描述这种混沌状态的程度。

在多阶方程组中，我们可以使用matlab程序来计算该系统的李雅普诺夫指数，进而分析该系统的混沌性质。

在matlab中，可以使用ode45函数来计算多阶方程组在一定时间段内的演化。

假设我们有n个未知函数{x1,x2,...,xn}，可以把它们表示成一组微分方程，即dx/dt=F(x)，其中F(x)是x的函数。

通过ode45函数迭代计算这一组微分方程的演化，我们可以得到多阶方程组在不同时间点的状态值{x1(t),x2(t),...,xn(t)}。

于是我们就可以计算该系统的李雅普诺夫指数。

计算李雅普诺夫指数的方法是，在多阶方程组的某一点x0处，计算有限时间内在初始扰动下，该点周围状态点的演化情况。

对于相邻的两个状态点x(t)和x(t+dt)，它们之间的扰动为Δx(t+dt)=A(t)Δx(t)，其中A(t)是一个线性映射矩阵，它可以描述状态点间的差异演化情况。

以至于在t时刻，初始位置x和扰动位置x+Δx之间的距离值s(t)=|Δx(t)|会随着时间的推移而增长或者衰减。

李雅普诺夫指数即描述了衰减率的大小，用于衡量状态点间的差异演化情况。

具体而言，我们可以构造一个初始扰动向量，即Δx(0)，接着迭代计算Δx(t)，然后计算扰动长度的指数级增长率。

对于具有n个自由度的系统而言，需要计算n个Lyapunov指数，这些指数往往具有相互关联的特点。

在matlab中，我们可以使用以下代码实现多阶方程组的李雅普诺夫指数计算：```matlab% 设置计算参数N = 10000; % 时间步数Dt = 0.01; % 时间步长X0 = [1 1 -1 -1]; % 初始状态向量Dx0 = [0.1 0 0 0]; % 初始扰动向量% 计算李雅普诺夫指数[T, X] = ode45(@F, [0:N-1]*Dt, X0);L = lyapunov(X,Dx0,@F);% 绘制结果figuresubplot(2,1,1)plot(T,X(:,1:2))ylabel('x_{1,2}')subplot(2,1,2)plot(T,L)ylabel('\lambda')xlabel('t')```这段程序中，F函数表示多阶方程组的微分方程，lyapunov函数为计算李雅普诺夫指数的核心部分，用于计算微小扰动的演化轨迹以及增长率的大小。

【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。

关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。

（1）定义法定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。

以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数% a=0.15,b=0.20,c=10.0% dx/dt = -y-z,% dy/dt = x+ay,% dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);lp = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为———— 0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09 0 -9.77需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。

1【总结】Lyapunov 指数的计算方法非线性理论 近期为了把计算LE 的一些问题弄清楚，看了有7〜9本书！下面以吕金虎《混沌 时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前 已有的LE 计算方法做一个汇总！1.关于连续系统Lyapunov 指数的计算方法 连续系统LE 的计算方法主要有定义 方法、Jacobian 方法、QR 分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分 方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的 LE 求解 方法来计算得到。

关于连续系统 LE 的计算，主要以定义方法、Jacobian 方法做主 要介绍内容。

（1）定义法— 对H 堆连续动力系統z = 在—OBJ 孙 味“为中心.|拆（心0）||为丰笹啟存 «堆的球面*施著时间的演化，在t 时討该球而0P 变形为M 继的椭球厨・设滾椭域面的第/ 个坐标轴方向的半轴长対卩兀|，则诙系统第i 个指数対*此即连续系统Lyapunov 揩较飽定冥・弼计尊时・取|处（心0）［为岀W 为常数），以孔为球心・欧几里篇范敢为山的正衮 矢量集仙测，…叮为初始球.由非线性徴分方崔“尸㈤可以分别计算出点細 血创、 引他、r 引址经过时间t 后淺化的轨迹・役其终了点分别为珊、砒、f 仙 则令石f 陶一心■处严=甩-和，r 亦耳国=略一報#则可得新的矢重棄 叶禺巴…后畀｝・由于各牛妥臺在演化过程中舌焙向着是大的UapurOT IS 数方何靠掘，因此需要通过Schimdt IE 交化不断地讨新矢量逬行置换.SP Wolf to 文章中提出的GSR^法.表述如下：播着以他为球心，疤数対（I 的正奁矢臺料创巴叫叫…伽严;为祈球继续进行演 出 设演化至N步时，得到矢董慕冈㈤出巴…耳僅牛且N足够大,这可以得到Lyapunov 扌鐵的近似计算公式三实际计算时，取为1・定义法求解 Lyapunov 指数 JPG关于定义法求解的程序，和 matlab板块的 连续系统LE求解程序”差不多。

李雅普诺夫指数范数摘要：1.李雅普诺夫指数的定义和意义2.李雅普诺夫指数在非线性系统中的应用3.李雅普诺夫指数在混沌运动检测中的应用4.李雅普诺夫指数在非线性电路分析中的应用5.总结与展望正文：李雅普诺夫指数是一种用于描述系统动力学特性的重要指标，它起源于19世纪末的俄罗斯数学家李雅普诺夫的研究。

李雅普诺夫指数在非线性系统、混沌运动检测和非线性电路分析等领域具有广泛的应用。

首先，我们来了解李雅普诺夫指数的定义。

在微分方程中，李雅普诺夫指数用于衡量系统状态变量随时间演变的速度。

具体来说，李雅普诺夫指数反映了系统状态变量之间的收敛速度和分离速度。

如果李雅普诺夫指数大于0，那么系统状态变量将以指数速度converge 或diverge。

在非线性系统中，李雅普诺夫指数具有重要的意义。

它可以用来判断系统是否具有稳定性和可控性。

对于非线性系统，如果李雅普诺夫指数为正值，那么系统可能存在混沌运动。

混沌运动是一种高度复杂、不可预测的运动形式，它在气象、生态、生物等领域有广泛的应用。

因此，通过检测李雅普诺夫指数的正负，我们可以了解非线性系统是否存在混沌现象。

李雅普诺夫指数在非线性电路分析中也发挥着重要作用。

非线性电路是指至少含有一个非线性元件的电路。

非线性元件的特性使得电路的输出与输入之间不存在线性关系。

在这种情况下，李雅普诺夫指数可以用来判断电路的稳定性和可控性。

通过分析李雅普诺夫指数，我们可以预测电路中的混沌现象，从而为电路设计和优化提供理论依据。

总之，李雅普诺夫指数作为一种数学工具，在非线性系统、混沌运动检测和非线性电路分析等领域具有广泛的应用。

通过研究李雅普诺夫指数，我们可以更好地理解系统的动态特性，为实际应用提供理论支持。

李雅普诺夫指数与奇怪吸引子
1. 李雅普诺夫指数
2. 菲根鲍姆常数
吸引子
3. 奇怪
奇怪吸引子
利用李雅普诺夫指数λ ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间(迭代次数)作指数分离：
在一维映射中λ 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个 λi ，而且沿相空间的不同方向，其 λi (i =1,2,…)值一般也不同。

)
exp(00n n λ⋅⋅−≈−n y x y x
面积 。

r <1 时坐标原点是稳定的不动点，当 r >1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C 1与 C 2是稳定的焦点。

=24.7368） C 1与 C 2成了不稳定的焦点。

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奇怪吸引子的最重要特征是对初值的敏感性，初始相互靠近的两条轨线将按指数式规律分离。

但在有限空间中如何保持这样的指数式分离状态？ 洛伦兹吸引子有两个不稳定平衡点，因此复杂的相轨线可以随机地在两个中心之间行走。

是否只有一个平衡点的奇怪吸引子呢？
如果有，在有限相空间里如何容纳按指数分离的相轨线？于是就想象伸展开来的相轨线可能产生了某种折叠。

巴克尔变换描写了这种变换：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤≤+<≤==++1212121021
1n n n n n n n x ay x ay y x x ，，
在平面的投影
c =2.6
c =3.5 c =4.1
c =4.18 c =4.21
c =4.6。