多变量时间序列最大李雅普诺夫指数的计算

物理学报ACTA PHYSICA SINICA2000 Vol.49 No.4 P.636-640一种最大李雅普诺夫指数估计的稳健算法杨绍清章新华赵长安最大李雅普诺夫指数是诊断和描述动态系统混沌的重要参数.在深入研究相空间重构技术和轨道跟踪法的基础上，提出了一种从标量混沌时间序列中估计最大李雅普诺夫指数的新算法.该算法能够克服现有算法的不足，主要有以下三个优点：1）很高的精度；2）几乎不受噪声的影响；3）所需的计算时间和存贮空间小, 能进行在线计算.PACC： 0545A ROBUST METHOD FOR ESTIMATING THE LARGESTLYAPUNOV EXPONENTYANG SHAO-QING(Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China)ZHANG XIN-HUA(Dalian Naval Academy,Dalian 116018,China)ZHAO CHANG-AN(Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China)ABSTRACTThe largest Lyapunov exponent is an important parameter of detecting and characterizing chaos produced from a dynamical system. In this paper, based on the technology of phase space reconstruction and the methods of trajectory tracing, a new algorithm is proposed for estimating the largest Lyapunov exponent from a scalar chaotic time series. This method, which can overcome the deficiencies of the existing methods, has three main advantages: (1) It has highly accurate results; (2) It is little affected by noise; (3) It only needs a little time of computation and small space of memory and can calculate the largest Lyapunov exponent on line.1 引言近几年来，混沌信号的诊断及其特性的描述已经广泛地应用于时间序列的分析中［1］.在诊断和描述混沌信号时，最大李雅普诺夫指数(λ1)不仅是一个很重要的不变量，而且是判断混沌存在的一个重要依据.因此，利用λ1去诊断和描述混沌仍然是一种主要方法.其他有些方法(如K-熵法等［2］)与这种方法没有本质的区别.目前估计λ1的方法主要有两种［3］：一种是分析法(analytic approach)，一种是轨道跟踪法(trajectory tracing method).前者是用一个函数（如局部多项式或神经网络等）来建立系统模型，然后估计系统的雅可比矩阵，进而求取λ1；后者是直接从λ1的定义出发跟踪系统的两条轨道，获取λ1.由于轨道跟踪法不像分析法那样易受系统拓扑结构的影响，因而受到许多学者的高度重视.自从1985年Wolf［4］提出轨道跟踪法以来，这种方法得到了较大的改进.最有代表性的是Rosenstein等［5］的工作,他们给出了一种比较优化的算法: 首先绘制<ln dk(j)> 相对j。

李雅普诺夫指数与奇怪吸引子
1. 李雅普诺夫指数
2. 菲根鲍姆常数
吸引子
3. 奇怪
奇怪吸引子
利用李雅普诺夫指数λ ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间(迭代次数)作指数分离：
在一维映射中λ 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个 λi ，而且沿相空间的不同方向，其 λi (i =1,2,…)值一般也不同。

)
exp(00n n λ⋅⋅−≈−n y x y x
面积 。

r <1 时坐标原点是稳定的不动点，当 r >1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C 1与 C 2是稳定的焦点。

=24.7368） C 1与 C 2成了不稳定的焦点。

c r r >
奇怪吸引子的最重要特征是对初值的敏感性，初始相互靠近的两条轨线将按指数式规律分离。

但在有限空间中如何保持这样的指数式分离状态？ 洛伦兹吸引子有两个不稳定平衡点，因此复杂的相轨线可以随机地在两个中心之间行走。

是否只有一个平衡点的奇怪吸引子呢？
如果有，在有限相空间里如何容纳按指数分离的相轨线？于是就想象伸展开来的相轨线可能产生了某种折叠。

巴克尔变换描写了这种变换：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤≤+<≤==++1212121021
1n n n n n n n x ay x ay y x x ，，
在平面的投影
c =2.6
c =3.5 c =4.1
c =4.18 c =4.21
c =4.6。

多阶方程组的李雅普诺夫指数matlab程序多阶方程组的李雅普诺夫指数matlab程序李雅普诺夫指数(Lyapunov exponent)是描述非线性动力学系统中的混沌现象的一种指标。

对于一些高维动力学系统而言，其状态演化可能会出现带有高度随机性的混沌状态，而李雅普诺夫指数可以用于描述这种混沌状态的程度。

在多阶方程组中，我们可以使用matlab程序来计算该系统的李雅普诺夫指数，进而分析该系统的混沌性质。

在matlab中，可以使用ode45函数来计算多阶方程组在一定时间段内的演化。

假设我们有n个未知函数{x1,x2,...,xn}，可以把它们表示成一组微分方程，即dx/dt=F(x)，其中F(x)是x的函数。

通过ode45函数迭代计算这一组微分方程的演化，我们可以得到多阶方程组在不同时间点的状态值{x1(t),x2(t),...,xn(t)}。

于是我们就可以计算该系统的李雅普诺夫指数。

计算李雅普诺夫指数的方法是，在多阶方程组的某一点x0处，计算有限时间内在初始扰动下，该点周围状态点的演化情况。

对于相邻的两个状态点x(t)和x(t+dt)，它们之间的扰动为Δx(t+dt)=A(t)Δx(t)，其中A(t)是一个线性映射矩阵，它可以描述状态点间的差异演化情况。

以至于在t时刻，初始位置x和扰动位置x+Δx之间的距离值s(t)=|Δx(t)|会随着时间的推移而增长或者衰减。

李雅普诺夫指数即描述了衰减率的大小，用于衡量状态点间的差异演化情况。

具体而言，我们可以构造一个初始扰动向量，即Δx(0)，接着迭代计算Δx(t)，然后计算扰动长度的指数级增长率。

对于具有n个自由度的系统而言，需要计算n个Lyapunov指数，这些指数往往具有相互关联的特点。

在matlab中，我们可以使用以下代码实现多阶方程组的李雅普诺夫指数计算：```matlab% 设置计算参数N = 10000; % 时间步数Dt = 0.01; % 时间步长X0 = [1 1 -1 -1]; % 初始状态向量Dx0 = [0.1 0 0 0]; % 初始扰动向量% 计算李雅普诺夫指数[T, X] = ode45(@F, [0:N-1]*Dt, X0);L = lyapunov(X,Dx0,@F);% 绘制结果figuresubplot(2,1,1)plot(T,X(:,1:2))ylabel('x_{1,2}')subplot(2,1,2)plot(T,L)ylabel('\lambda')xlabel('t')```这段程序中，F函数表示多阶方程组的微分方程，lyapunov函数为计算李雅普诺夫指数的核心部分，用于计算微小扰动的演化轨迹以及增长率的大小。

【总结】Lyapunov指数的计算方法非线性理论近期为了把计算LE的一些问题弄清楚，看了有7～9本书！下面以吕金虎《混沌时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前已有的LE计算方法做一个汇总！1. 关于连续系统Lyapunov指数的计算方法连续系统LE的计算方法主要有定义方法、Jacobian方法、QR分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的LE求解方法来计算得到。

关于连续系统LE的计算，主要以定义方法、Jacobian方法做主要介绍内容。

（1）定义法定义法求解Lyapunov指数.JPG关于定义法求解的程序，和matlab板块的“连续系统LE求解程序”差不多。

以Rossler系统为例Rossler系统微分方程定义程序function dX = Rossler_ly(t,X)% Rossler吸引子，用来计算Lyapunov指数% a=0.15,b=0.20,c=10.0% dx/dt = -y-z,% dy/dt = x+ay,% dz/dt = b+z(x-c),a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;x=X(1); y=X(2); z=X(3);% Y的三个列向量为相互正交的单位向量Y = [X(4), X(7), X(10);X(5), X(8), X(11);X(6), X(9), X(12)];% 输出向量的初始化，必不可少dX = zeros(12,1);% Rossler吸引子dX(1) = -y-z;dX(2) = x+a*y;dX(3) = b+z*(x-c);% Rossler吸引子的Jacobi矩阵Jaco = [0 -1 -1;1 a 0;z 0 x-c];dX(4:12) = Jaco*Y;求解LE代码：% 计算Rossler吸引子的Lyapunov指数clear;yinit = [1,1,1];orthmatrix = [1 0 0;0 1 0;0 0 1];a = 0.15;b = 0.20;c = 10.0;y = zeros(12,1);% 初始化输入y(1:3) = yinit;y(4:12) = orthmatrix;tstart = 0; % 时间初始值tstep = 1e-3; % 时间步长wholetimes = 1e5; % 总的循环次数steps = 10; % 每次演化的步数iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数mod = zeros(3,1);lp = zeros(3,1);% 初始化三个Lyapunov指数Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1); Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);for i=1:iteratetimestspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);% 取积分得到的最后一个时刻的值y = Y(size(Y,1),:);% 重新定义起始时刻tstart = tstart + tstep*steps;y0 = [y(4) y(7) y(10);y(5) y(8) y(11);y(6) y(9) y(12)];%正交化y0 = ThreeGS(y0);% 取三个向量的模mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);y0(:,3) = y0(:,3)/mod(3);lp = lp+log(abs(mod));%三个Lyapunov指数Lyapunov1(i) = lp(1)/(tstart);Lyapunov2(i) = lp(2)/(tstart);Lyapunov3(i) = lp(3)/(tstart);y(4:12) = y0';end% 作Lyapunov指数谱图i = 1:iteratetimes;plot(i,Lyapunov1,i,Lyapunov2,i,Lyapunov3)程序中用到的ThreeGS程序如下：%G-S正交化function A = ThreeGS(V) % V 为3*3向量v1 = V(:,1);v2 = V(:,2);v3 = V(:,3);a1 = zeros(3,1);a2 = zeros(3,1);a3 = zeros(3,1);a1 = v1;a2 = v2-((a1'*v2)/(a1'*a1))*a1;a3 = v3-((a1'*v3)/(a1'*a1))*a1-((a2'*v3)/(a2'*a2))*a2;A = [a1,a2,a3];计算得到的Rossler系统的LE为———— 0.063231 0.092635 -9.8924Wolf文章中计算得到的Rossler系统的LE为————0.09 0 -9.77需要注意的是——定义法求解的精度有限，对有些系统的计算往往出现计果和理论值有偏差的现象。

1【总结】Lyapunov 指数的计算方法非线性理论 近期为了把计算LE 的一些问题弄清楚，看了有7〜9本书！下面以吕金虎《混沌 时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线，把目前 已有的LE 计算方法做一个汇总！1.关于连续系统Lyapunov 指数的计算方法 连续系统LE 的计算方法主要有定义 方法、Jacobian 方法、QR 分解方法、奇异值分解方法，或者通过求解系统的微分 方程，得到微分方程解的时间序列，然后利用时间序列（即离散系统）的 LE 求解 方法来计算得到。

关于连续系统 LE 的计算，主要以定义方法、Jacobian 方法做主 要介绍内容。

（1）定义法— 对H 堆连续动力系統z = 在—OBJ 孙 味“为中心.|拆（心0）||为丰笹啟存 «堆的球面*施著时间的演化，在t 时討该球而0P 变形为M 继的椭球厨・设滾椭域面的第/ 个坐标轴方向的半轴长対卩兀|，则诙系统第i 个指数対*此即连续系统Lyapunov 揩较飽定冥・弼计尊时・取|处（心0）［为岀W 为常数），以孔为球心・欧几里篇范敢为山的正衮 矢量集仙测，…叮为初始球.由非线性徴分方崔“尸㈤可以分别计算出点細 血创、 引他、r 引址经过时间t 后淺化的轨迹・役其终了点分别为珊、砒、f 仙 则令石f 陶一心■处严=甩-和，r 亦耳国=略一報#则可得新的矢重棄 叶禺巴…后畀｝・由于各牛妥臺在演化过程中舌焙向着是大的UapurOT IS 数方何靠掘，因此需要通过Schimdt IE 交化不断地讨新矢量逬行置换.SP Wolf to 文章中提出的GSR^法.表述如下：播着以他为球心，疤数対（I 的正奁矢臺料创巴叫叫…伽严;为祈球继续进行演 出 设演化至N步时，得到矢董慕冈㈤出巴…耳僅牛且N足够大,这可以得到Lyapunov 扌鐵的近似计算公式三实际计算时，取为1・定义法求解 Lyapunov 指数 JPG关于定义法求解的程序，和 matlab板块的 连续系统LE求解程序”差不多。

在计算lyapunov指数值的基础上弄清楚lyapunov指数与时间序列结构在较短的时间范围内稳定的前提条件下建立lyapunov指数一维二维及三维相空间的预测模式综合考虑各种模式的预测结果并对相空间模式的预测误差进行估计最后作出要素的气候预测
李雅普诺夫指数
ห้องสมุดไป่ตู้ 1.此指数的定义 2.此指数的划分意义 3.此指数用在混沌中，如何应用 4.此指数在其他方面的应用 5.此指数的几种计算方法
Lyapunov指数,特别是最大Lyapunov指数 即是系统混沌特性的度量特征量,对应于不 同的运行状态或故障模式,其Lyapunov指 数亦不相同,因而,可基于Lyapunov指数对 系统的 混沌状态进行识别,从而建立航空发动机状 态识别和故障诊断方法。
3.还可以用在判断混沌神经网络 4.用于围岩系统的载荷演化 还有许多方面的应用
该时间长序列是否为混沌系统,在某个方向 上是 指数辐散或辐合(膨胀或缩短),为短期 气候预测指明最大可以预报的时间尺度。 人们可以利用时间变量推出序列的关联维 数及其Lyapunov指数,揭示序列的非线性 演变特性和最大可预报的时间尺度,避免在 做气候预报时的时间尺度过大的情形。
在计算Lyapunov指数值的基础上,弄清楚 Lyapunov指数与时间序列结构在较短的时 间范围内稳定的前提条件下,建立 Lyapunov指数一维、二维及三维相空间的 预测模式,综合考虑各种模式的预测结果, 并对相空间模式的预测误差进行估计,最后 作出要素的气候预测。]
一李雅普诺夫指数的定义
李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近 的两条轨线随着时间的推移，按指数分离 或聚合的平均变化速率。最大李雅普诺夫 指数定义为 其中，表示时刻最邻近两点间的距离；M 为计算总步数。

又设它有已知解
x0
(
x10,
x
20
,,
xn
0
)
，令
（4）
xi = xi0 + δxi i = 1,2,, n
为
x0
邻域内的另一解，将式（5）代入式（4）得：
（5）
∑ ddxi
dt
=
n
Lij(x0 Nhomakorabea)dx
j
j =1
（6）
矩阵
Lij
(x0
)
=
( ∂fi ∂x j
) x0
（7）
为线性化演化算子或李雅普诺夫矩阵。我们知道，只要
Lyapunov 指数的计算与仿真
摘要：Lyapunov 指数在研究动力系统的分岔、混沌运动特性中起着重要的作用，是衡量系 统动力学特性的一个重要定量指标，它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均 指数率。对于系统是否存在动力学混沌，可以从最大 Lyapunov 指数是否大于零非常直观的 判断出来：一个正的 Lyapunov 指数意味着在相空间中，无论初始两条轨线的间距多么小， 其差别都会随时间的演化而成为指数率的增加以致达到无法预测，这就是混沌现象。本文介 绍了 Lyapunov 指数的定义、性质及计算原理和数值计算的实现方法，应用 Matlab 软件、编 写了计算 Lyapunov 指数程序，计算了 Logistic 映射系统、Henon 系统及时间序列的 Lyapunov 指数。实例的计算机仿真表明 Lyapunov 指数是研究分岔、混沌运动，解决工程实际问题的 有效方法之一。
=
dT T
T
x
dTxt−1 迭
代得到。我们可以考虑这些运算在标准基中的矩阵表示，事实上，任何标准正交

对于三维情形（n=3），类似的分析结果是： (λ1, λ2 , λ3 ) = (−,−,−) ： 稳定定点 (λ1, λ2 , λ3 ) = (0,−,−) ： 极限环（周期运动） (λ1, λ2 , λ3 ) = (0,0,−) ： 二维环面（准周期振荡） (λ1, λ2 , λ3 ) = (+,+,0) ： 不稳极限环 (λ1, λ2 , λ3 ) = (+,0,0) ： 不稳二维环面 (λ1, λ2 , λ3 ) = (+,0,−) ： 奇怪吸引子（混沌运动）
但是在不断地迭代过程中， dF 的值要不断变化。为了表示从整体看两相邻初始 dx
状态分离的情况，必须对时间（或迭代次数）取平均。为此，设平均每次迭代所
引起的指数分离中的指数为 λ ，则初始两点 x0 与 x0 + ε 相距 ε ，经 n 次迭代后，
点变为 F n (x0 ) 与 F n (x0 + ε ) ，相距 εenλ ，即：
n
∑ 成的超球体的体积由 λ1 + λ2 + + λk 决定。而 λi 则决定整个 n 维超球体的体 i =1
积收缩的快慢。
由以上分析可以看出：
（1）任何吸引子，不论其奇怪与否，至少有一个 Lyapunov 指数小于零，否 则轨线就不可能收缩为吸引子。
（2）稳定定态和周期运动（以及准周期运动）不可能有正的 Lyapunov 指数。 稳定定态的 Lyapunov 指数都是负的；周期运动的 λ1 = 0 ，其余的 Lyapunov 指数 也都是负的。
eenλ(x0 ) = F n (x0 + ε ) - F n (x0 ) 取极限 ε → 0 ， n → ∞ ，由上式得到：
（1）

李雅普诺夫指数范数摘要：1.李雅普诺夫指数的定义和意义2.李雅普诺夫指数在非线性系统中的应用3.李雅普诺夫指数在混沌运动检测中的应用4.李雅普诺夫指数在非线性电路分析中的应用5.总结与展望正文：李雅普诺夫指数是一种用于描述系统动力学特性的重要指标，它起源于19世纪末的俄罗斯数学家李雅普诺夫的研究。

李雅普诺夫指数在非线性系统、混沌运动检测和非线性电路分析等领域具有广泛的应用。

首先，我们来了解李雅普诺夫指数的定义。

在微分方程中，李雅普诺夫指数用于衡量系统状态变量随时间演变的速度。

具体来说，李雅普诺夫指数反映了系统状态变量之间的收敛速度和分离速度。

如果李雅普诺夫指数大于0，那么系统状态变量将以指数速度converge 或diverge。

在非线性系统中，李雅普诺夫指数具有重要的意义。

它可以用来判断系统是否具有稳定性和可控性。

对于非线性系统，如果李雅普诺夫指数为正值，那么系统可能存在混沌运动。

混沌运动是一种高度复杂、不可预测的运动形式，它在气象、生态、生物等领域有广泛的应用。

因此，通过检测李雅普诺夫指数的正负，我们可以了解非线性系统是否存在混沌现象。

李雅普诺夫指数在非线性电路分析中也发挥着重要作用。

非线性电路是指至少含有一个非线性元件的电路。

非线性元件的特性使得电路的输出与输入之间不存在线性关系。

在这种情况下，李雅普诺夫指数可以用来判断电路的稳定性和可控性。

通过分析李雅普诺夫指数，我们可以预测电路中的混沌现象，从而为电路设计和优化提供理论依据。

总之，李雅普诺夫指数作为一种数学工具，在非线性系统、混沌运动检测和非线性电路分析等领域具有广泛的应用。

通过研究李雅普诺夫指数，我们可以更好地理解系统的动态特性，为实际应用提供理论支持。

李雅普诺夫指数与奇怪吸引子
1. 李雅普诺夫指数
2. 菲根鲍姆常数
吸引子
3. 奇怪
奇怪吸引子
利用李雅普诺夫指数λ ，相空间内初始时刻的两点距离将随时间(迭代次数)作指数分离：
在一维映射中λ 只有一个值，而在多维相空间情况下一般就有多个 λi ，而且沿相空间的不同方向，其 λi (i =1,2,…)值一般也不同。

)
exp(00n n λ⋅⋅−≈−n y x y x
面积 。

r <1 时坐标原点是稳定的不动点，当 r >1, 坐标原点为鞍点，两个新平衡点 C 1与 C 2是稳定的焦点。

=24.7368） C 1与 C 2成了不稳定的焦点。

c r r >
奇怪吸引子的最重要特征是对初值的敏感性，初始相互靠近的两条轨线将按指数式规律分离。

但在有限空间中如何保持这样的指数式分离状态？ 洛伦兹吸引子有两个不稳定平衡点，因此复杂的相轨线可以随机地在两个中心之间行走。

是否只有一个平衡点的奇怪吸引子呢？
如果有，在有限相空间里如何容纳按指数分离的相轨线？于是就想象伸展开来的相轨线可能产生了某种折叠。

巴克尔变换描写了这种变换：
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
≤≤+<≤==++1212121021
1n n n n n n n x ay x ay y x x ，，
在平面的投影
c =2.6
c =3.5 c =4.1
c =4.18 c =4.21
c =4.6。

李雅普诺夫指数范数
摘要：
1.李雅普诺夫指数与范数的概念
2.李雅普诺夫指数与范数的关系
3.李雅普诺夫指数的应用
正文：
1.李雅普诺夫指数与范数的概念
李雅普诺夫指数，又称为李雅普诺夫稳定性指数，是一种用于描述线性时不变系统稳定性的数学量。

它可以用来衡量一个系统在受到微小扰动后，恢复到原状态的速度。

范数，又称为向量范数，是数学中一种用于度量向量大小的量。

它可以用来比较两个向量的大小，或者用来计算向量的模长。

2.李雅普诺夫指数与范数的关系
李雅普诺夫指数与范数有着密切的关系。

李雅普诺夫指数可以通过系统的特征值和特征向量来计算，而特征值和特征向量又可以通过范数来表示。

具体来说，李雅普诺夫指数等于系统特征值范数的倒数。

因此，李雅普诺夫指数与范数在衡量系统稳定性和向量大小方面，具有一致性。

3.李雅普诺夫指数的应用
李雅普诺夫指数在许多领域都有广泛的应用，如航空航天、自动化控制、通信系统等。

在这些领域中，系统的稳定性是非常重要的。

通过计算李雅普诺夫指数，可以有效地判断系统的稳定性，从而为系统的设计和运行提供理论依据。

同时，李雅普诺夫指数还可以用来分析系统的鲁棒性，即系统在受到扰动
后，能否保持稳定性。

总的来说，李雅普诺夫指数和范数是数学中两个重要的概念，它们在系统稳定性和向量大小方面有着密切的关系。

最大李雅谱诺夫数数值计算————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：最大李雅谱诺夫指数的数值计算------------------------------------------------------------------------最大李雅谱诺夫指数的数值计算J.C.SprottDepartment of Physics, University of Wisconsin, Madison, WI 53706, USAOctober 15, 1997(Revised August 31, 2004)袁来翻译/上海大学/05/03/22原文出处:/chaos/lyapexp.htm通常通过计算最大的李雅谱诺夫指数来检验系统是否混沌，一个正的最大李雅谱诺夫指数标致了该系统是否混沌，当你已经获得已知产生混沌的方程，这是相对容易做的。

当你仅仅只有试验数据记录时，这种计算的困难程度是几乎不可能的，这里我们不考虑这种情形。

计算的一般思路是跟踪两个较近的轨道，计算它们分离的平均对数率，无论它们分离得多远，其中之一的轨道将最终回到另一条轨道的附近。

在每次迭代过程中，一程序将实现这个工作，完整的程序过程如下：1：在吸引域内，开始于任何初值条件。

最好开始于吸引子上的一个已知点，这种情形，第2步可以省略掉。

2：迭代直至轨道落到吸引子上。

这需要自己的判断或通过研究得到的有关该系统的一些知识，对绝大多数系统，只要迭代几百次，我们就认为足够了。

通常情况下，除非你选的初值点刚好靠近分岔点，要不在几百次后它不会远离吸引子的。

3：选择（几乎任意的）靠近的点（设两点的距离为d0）适合的d0的选择是至少要比计算机中的浮点数的1000倍大，如：在（8字节）的双精度的（对这些计算的最低推荐），变量有52－比特的尾数，故，精度是：2-52=2.22x10-16，因此，我们只要有d0=10-12 就足够了。

（8）
因此，可以得到如下不等式
（9）
也就是，闭环系统（3）是指数稳定的在定义1的条件下。
所以在这篇文章中我们将构建一个李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数其满足引理1。为了达到这个目的，首先我们先引进一个新的状态变量即
（10）
由此原始的时滞系统（1）可以表示为
（11）
这是一个无时滞的线性系统，因此反馈（2）变为了
（48）
在此F不应该是个0矩阵并且
（49）
进一步，从（36）和（45）可以推断出
（50）
从不等式（47），（48）和（50）我们知道 也是一个ISS李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数[27]。
4.一个数值例子
在这部分，一个数值例子被给出来证实所提方法的有效性。我们考虑系统（1）带有参数
并且 我们指出在此没有必要假设 。如果我们选择
（45）
在这里 是某一常数，证明完成。
备注1.在[27]，给出了对于耦合微分方程和泛函微分方程的输入状态稳定（ISS）李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数的定义。在此我们也证明 也是一个ISS李雅普诺夫-克拉索夫斯基函数满足所有条件在[27]中如果我们定义
（46）
在此条件下，很明显从（36）可得
（47）
除此之外，从（12）可以推断出 并且我们可以计算
在现有关于时滞系统的稳定性和稳定性实现的成果中，大部分是关于状态延迟的线性系统（可见，参考，[10,19,30,38]）,然而相对少的成果适用于输入时滞的线性系统控制问题（参考[33,42]）。为了处理输入时滞的控制系统的稳定性实现，基本上有两种有效的设计方法，也就是预测反馈的记忆控制器设计和采用无时滞系统的无记忆控制器设计。无记忆控制器已经许多研究者所使用，例如，[4,12]。这种方法的优点就是它们很容易实现。然而，这种方法在延迟很大的情况下就不适用了。相反，由梅恩发现的预测反馈可以允许任意大的输入延迟。这种方法的基本思想是把时滞系统转换为等价的非时滞系统且任何常规设计方法对此都是适用的。这种方法在文献中已被广泛研究且在近几年又得到了广泛关注（可见，参考，[1,25,41]）。

我在网上看到一个关于计算信号李雅普诺夫指数的程序，但是我不知道这个程序得到的是什么，望哪位大神帮我解释一下：% sigma = 10; % Lorenz方程参数% r = 28;% b = 8/3;%% y = [-1;0;1]; % 起始点(3x1 的列向量)% h = 0.01; % 积分时间步长%% k1 =8000; % 前面的迭代点数10000% k2 =5000; % 后面的迭代点数5000%% z = LorenzData(y,h,k1+k2,sigma,r,b);% X = z(k1+1:end,1);clc% clearX=load('E:\实验数据\后1d\1df\10-1.lvm');% X=denosie1(X);%去除噪声% X=denosie2(X);%再次去噪% tau=Mutual_Information_main(X);%互信息法求延迟时间tau% plot(X)tau=6;X = normalize_1(X); % 归一化data=X';logdelt = 0.2;% delt=std(X); %计算标准差,求r的范围ln_r = [-7:logdelt:0];%r=[delt./2:0.004:2*delt];delt = exp(ln_r);K1=[];K1(1)=0;K13=[];K13(1)=0;GP=[];GP(1)=0;m=1;for k=1:length(ln_r)r=delt(k);C(k)=correlation_interal(m,data,r,tau);% 输出变量为关联积分m,kif (C(k)<0.0001)C(k)=0.0001;endln_C(k)=log(C(k));%lnC(r)% ln_r(k)=log(r(k));%lnrend %k循环完毕ln_Cr=ln_C;ln_r=ln_r;LinearZone = [10:25];Xj=ln_r(LinearZone);Yj=ln_Cr(LinearZone);X_mean=mean(Xj);Y_mean=mean(Yj);% for j=1:length(LinearZone)l_xy=sum((Xj-X_mean).*(Yj-Y_mean));l_xx=sum((Xj-X_mean).*(Xj-X_mean));a=l_xy./l_xx;b1=Y_mean-a*X_mean;K13(m)=b1./(m*tau);for m=2:20% for k=1:length(r)for k=1:length(ln_r)r=delt(k);C(k)=correlation_interal(m,data,r,tau);% 输出变量为关联积分 m,kif (C(k)<0.0001)C(k)=0.0001;endln_C(k)=log(C(k));%lnC(r)% ln_r(k)=log(r(k));%lnrend %k循环完毕C;%------------------------------------------------------% 拟合线性区域ln_Cr=ln_C;ln_r=ln_r;LinearZone = [10:25];F = polyfit(ln_r(LinearZone),ln_Cr(LinearZone),1);GP(m)=F(1); K1(m)=F(2);K1(m)=K1(m)/(m*tau);Xj=ln_r(LinearZone);Yj=ln_Cr(LinearZone);X_mean=mean(Xj);Y_mean=mean(Yj);% for j=1:length(LinearZone)l_xy=sum((Xj-X_mean).*(Yj-Y_mean));l_xx=sum((Xj-X_mean).*(Xj-X_mean));a=l_xy./l_xx;b=Y_mean-a*X_mean;K13(m)=(b1-b)./(tau);b1=b;% if (abs((GP(m)-GP(m-1)))<0.01)% break;% end% subplot(411)% plot(ln_r,ln_C,'+:');grid on;% xlabel('ln r'); ylabel('ln C(r)');% hold on;endsubplot(211)%画出K熵随嵌入维数m变化的图,X=[1:1:m];Y1=K1;plot(X,Y1,':m*');axis([2 20 0 0.9])hold on;grid on;xlabel('m'); ylabel('K1');% subplot(421)%画出关联积分随嵌入维数m变化的图, % X=[1:1:m];% Y2=GP;% plot(X,Y2,':m*');% title('The plot lnC(r) vs.lnr');% %legend('关联维数随m 变化最终趋于不变',2)% hold on;% grid on;% xlabel('m'); ylabel('关联维数D(m) ');subplot(212)%画出K熵随嵌入维数m变化的图,X=[1:1:m];Y3=abs(K13);plot(X,Y3,':m*');axis([6 20 0 0.2])hold on;grid on;xlabel('m'); ylabel('K2');。