李雅普诺夫指数的综述.doc

即 x e = f (xe , t) = 0 。
从定义可知，平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化。
线性定常系统：x = Ax
A非奇异：Axe = 0 xe = 0 是唯一零解 A奇异：Axe = 0 xe 有无穷多个解
非线性系统：x = f (x,t)
x = f (xe , t) = 0 xe 可能有一个也可能有多个平衡状态
5-2 李雅普诺夫稳定性的基本概念
一、 平衡状态
系统x = f (x,t) ，X为n 维状态向量，且显含时间变量t，x = f (x,t)为线性或
非线性、定常或时变的n
维向量函数，假定方程的解为
x(t;
x
0
,
t 0
)
，式中
x
0
和 t0 分别为初始状态和初始时刻。
定义：系统 x = f (x,t) 的平衡状态是使x = 0的那一类状态，并用 xe 表示，
1 2
Mx22
，
若用标量函数 V (x) 表示系统的能量。则
V
(x)
=
1 2
Kx12
+
1 2
Mx22
V (x) = Kx1x1 + Mx2x2
=
Kx1x2
+ Mx2 (−
K M
x1
−
f M
x2 )
= − fx22 0
结论：坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。
一、标量函数及其定号性
1．标量函数 V (x) 的符号和性质
+ ... +
a1
+
a0
=
0
如何判断系统的渐近稳定性？
5-4 李雅普诺夫第二方法
李雅普诺夫第二方法，建立在用能量观点分析稳定性的基础上： 若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则系统储存的能量将随时

n维离散系统李雅普诺夫指数
在数学和动力系统理论中，n维离散系统的李雅普诺夫指数（Lyapunov exponent）是一种描述系统稳定性和混沌性质的重要指标。

它衡量了在系统的相空间中初始条件微小变化的指数增长率。

对于一个n维离散系统，设其状态变量为x=[x1, x2, ..., xn]，时间步长为τ。

考虑一个由初始条件x0引起的微小扰动，用δx 表示，表示初始条件发生微小变化后得到的新状态变量。

通过迭代系统的动力学方程，可以得到δx的演化方程：
δx(t+τ) ≈ J(t) δx(t)
其中，J(t)表示系统在时间t处的雅可比矩阵，其定义为系统状态变量对于时间的导数。

李雅普诺夫指数λ定义为：λ = lim (1/t)log‖J(t)δx(0)‖
其中，t趋近于无穷大，‖‖表示向量的模。

李雅普诺夫指数的值可以为正、负或零，分别表示系统的指数增长、指数衰减或者不变。

n维离散系统的李雅普诺夫指数对于系统的稳定性和混沌性有着重要的意义。

当所有的李雅普诺夫指数都为负时，系统是稳定的；当至少一个李雅普诺夫指数为正时，系统是混沌的；而当所有的李雅普诺夫指数为零时，系统是边界稳定的或周期性的。

通过计算和分析系统的李雅普诺夫指数，可以揭示系统的
动力学性质，例如系统的稳定性、周期性还是混沌性质，并对系统的行为进行预测和控制。

因此，李雅普诺夫指数在动力系统理论和非线性科学领域有着广泛的应用。

则状态方程的解为： x(t ) e At x(0) ( R1e1t ... Rnent ) x(0)
Re(i ) 0, (i 1, 2,..., n) lim x(t ) 0, 系统渐近稳定。
t
如果只有一个（或一对）特征值的实部等于0，其余特征值实 部均小于0，则系统仅仅可能是李亚普诺夫意义下的稳定性。
线性定常系统的特征值判据： 系统 x Ax 渐近稳定的充要条件是A的特征值均具有负实 部，即：Re( i ) 0 (i 1,2,, n) 证明：假定A有相异特征值 1 ,..., n 根据凯莱哈密顿定理：矩阵指数eAt为 e1t ,..., ent的线性组合
e At R1e1t ... Rn ent
x xe ( x1 xe1 ) 2 ... ( xn xen ) 2
2
2
2
由范数的定义可知，向量 ( x xe ) 的范数可写成
通常又将 x xe 称为 围之内时，则记为
x 与 xe 的距离。当向量 ( x xe ) 的范数限定在某一范
x xe
0
xe
与经典控制理论的区别： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 平衡点/BIBO； 状态稳定/输出稳定； 经典控制的稳定大致对应于现代控制的渐进稳定； 即便输出稳定，状态可能不稳定； 李雅普诺夫意义下的稳定在经典中是不稳定的； 经典控制不需要一致性、全局性概念。
5.2 李雅普诺夫稳定性理论 一、李雅普诺夫第一方法 李雅普诺夫第一法的基本思想是利用状态方程解的性质来 判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系 统以及线性时变系统和非线性系统可以线性化的情况。
意义：当系统运动到xe点时，系统状态各分量将维持平衡， 不再随时间变化。 平衡点：由系统状态在状态空间中所确定的点 求法：1、线性定常系统

李雅普诺夫指数• 1.李雅普诺夫指数的定义• 2. 李雅普诺夫指数的划分意义• 3. 李雅普诺夫指数用在混沌中,如何应用一李雅普诺夫指数的定义李雅普诺夫指数是指在相空间中相互靠近的两条轨线随着时间的推移,按指数分离或聚合的平均变化速率。

李雅普诺夫指数的定义: 首先考虑一维映射假设初始位置附近有一点,则经过一次迭代后,这两点之间的距离为：（1）并利用微分中值定理有：（2）n次迭代后,并利用微分中值定理,这两点之间的距离为：（3）由（3）式可得：（4）又由复合函数的微分规则有：其中那么式（4）就变为：（5）则称（6）为Lyapunov指数。

一维映射就对应一个李雅普诺夫指数,而且当时,该系统具有混沌特性。

当时,对应着分岔点或系统的周期解,既系统出现周期现象。

时,系统有稳定的不动点,即此时对应的是一个点。

而对于多维系统则有多个李雅普诺夫指数。

Lyapunov 特性指数沿某一方向取值的正负和大小表示长时间系统在吸引子中相邻轨线沿该方向平均发散或收敛i的快慢程度,仅从数学角度考虑,Lyapunov特性指数无量纲。

n 维系统具有n 个Lyapunov 特性指数,形成指数谱。

其中数值最大的被称为最大Lyapunov 特性指数。

最大Lyapunov 指数定义为其中,表示时刻最邻近零点间的距离；M为计算总步数。

最大Lyapunov指数不仅是区别混沌吸引子的重要指标,也是混沌系统对于初始值敏感性的定量描述。

其中一维系统只有一个指数,二维系统有两个指数来表征。

在实际计算中,要计算所有的Lyapunov指数,计算量较大,尤其当系统维数L较大时更为突出.所以注意力集中在计算系统的最大Lyapunov指数λm上.二李雅普诺夫指数的物理意义系统的Lyapunov指数谱可有效地表征变量随时间演化时,系统对初值的敏感性。

指数小于零说明体系的相体积在该方向上是收缩的,此方向的运动是稳定的；而正的指数值则表明了体系的相体积在该方向上不断膨胀和折叠,以致吸引子中本来邻近的轨线变得越来越不相关,从而使初态对任何不确定性的系统的长期行为成为不可预测,即所谓的初值敏感性。

满足上面两点的为全局一致渐近稳定。
满足渐近稳定的球域 S ( )只是状态空间中的有限部分，这时称平 衡状态 x e 为局部渐近稳定，并且称S ( ) 为渐近稳定吸引区，表示只 有从该区域出发的受扰运动才能被“吸引”至平衡状态x e 。
线性系统若是渐近稳定（且A非奇异），必为全局渐近稳定。非 线性系统一般只能是小范围渐近稳定。
一般情况下，李雅普诺夫函数与状态和时间有关，表示为V ( x , t )， 如果不显含时间 t ，则表示为V ( x ) 。
（一）预备知识
1．标量函数的定号性 设 V ( x ) 为关于n维向量 x 的标量函数，并且在 x 0 处，有V(x) 0，
则对于任意的非零向量 x 0 ，有：
① 若V(x) 0 ，V ( x ) 为正定； ② 若V(x) 0 ，V ( x ) 为正半定；
条件（2）表明该“能量”函数随着系统的运动不断衰减， 条件（3）表示了满足渐近稳定的条件可扩展至整个状态空间。
2．渐近稳定判定定理2 ：
系统及平衡状态同上，如果 V ( x , t ) 满足条件：
（1） V ( x , t ) 为正定；
（2） V&( x,t) 为负半定，但它在非零解运动轨线上不恒为零，即 对于 x 0 有V&(x,t) 0 ； 则系统的平衡状态x e 0 是渐近稳定的。同样，如果还满足
3) A的特征值的实部有一部分为0，其它均具负实部，非线性系统 在x e 0 的稳定性不能得出明确结论，而取决于 f ( x ) 的高阶导数 项。一般可通过其它方法（如找合适的Lyapunov函数)确定其稳 定性。
李雅普诺夫第一法需要求出系统的全部特征值，这对于高阶系统 存在一定的困难，经典控制理论中针对线性定常系统提出了一些有 效的工程方法，可视为该法在线性定常系统中的工程应用。

李雅普诺夫稳定性特征根分布
李雅普诺夫稳定性特征根分布在系统控制领域被广泛研究，并被广泛应用在科
学和工程中。

李雅普诺夫稳定性特征根分布是对一个系统的稳定性的影响因素的研究和分析。

李雅普诺夫稳定性特征根分布可以通过一个表达式来表示：λn=(-
βn)+(α+(2π/πn))^2，其中λn为特征根，εn为特征值，α为系统系数，和
πn为系统周期。

它表示了系统的稳定性特征根分布和稳定性特征值分布之间的关系。

由于特征根和特征值严格地反映了一个系统的稳定性，所以李雅普诺夫稳定性
特征根分布被用于分析一个系统的稳定性。

该分布一般包括一个特征根的实部和虚部，它们的关系可以描述为：如果特征根的实部都大于零，则系统是稳定的；如果特征根的实部小于零，则系统是不稳定的；如果特征根的实部有正有负，则系统就会出现振荡。

为了检验一个系统的稳定性，通常先用信号在控制系统上模拟，然后计算系统
的特征根和特征值，并绘制出李雅普诺夫稳定特征根分布图表。

通过该图表分析，如果特征根的实部均大于零，则系统的稳定性得到证明；如果有负特征根，则系统就是不稳定的。

通过李雅普诺夫稳定性特征根分布曲线，在一定程度上可以反映出系统稳定性，从而用于系统状态的判断，以此为基础，改正或调节系统，提高系统的效率，获得更好的性能。

因此，李雅普诺夫稳定性特征根分布在系统应用和控制中有着重要的应用，为后续的系统控制工作提供了可取的依据。

第4章李雅普诺夫稳定性分析李雅普诺夫稳定性分析是数学分析中的一个重要概念，它用于判断非线性系统在其中一点附近的稳定性。

李雅普诺夫稳定性分析方法最初由俄国数学家李雅普诺夫提出，广泛应用于控制论、微分方程和动力系统等领域。

在进行李雅普诺夫稳定性分析时，首先需要确定非线性系统的平衡点。

平衡点是指系统在其中一时刻的状态不再发生变化，即各个状态变量的导数为零。

在平衡点附近，可以通过线性化的方法来近似非线性系统，即将非线性系统转化为线性系统进行分析。

接下来，利用李雅普诺夫稳定性定理可以判断线性化系统的稳定性。

根据定理的不同形式，可以分为不动点稳定性定理和周期解稳定性定理。

不动点稳定性定理是指当线性化系统的特征根都具有负的实部时，非线性系统在平衡点附近是稳定的；而当至少存在一个特征根具有正的实部时，非线性系统在平衡点附近是不稳定的。

这个定理对于线性化系统为一阶系统或者线性化系统的特征根为复数的情况适用。

周期解稳定性定理是指当线性化系统的所有特征根满足一定条件时，非线性系统在周期解附近是稳定的。

这个定理对于封闭曲线解以及周期解的情况适用。

当线性化系统无法满足上述定理时，可以使用李雅普诺夫直接法来判断非线性系统的稳定性。

李雅普诺夫直接法是基于李雅普诺夫函数的概念，通过构造合适的李雅普诺夫函数来判断非线性系统的稳定性。

李雅普诺夫函数是满足以下条件的函数：1）李雅普诺夫函数的导数在其中一区域内是负定的，即导数的每个分量都小于或等于零；2）在平衡点附近，李雅普诺夫函数取得最小值。

通过构造合适的李雅普诺夫函数，并验证满足上述条件，就可以判断非线性系统的稳定性。

如果李雅普诺夫函数的导数在整个状态空间都是负定的，则非线性系统是全局稳定的；如果李雅普诺夫函数的导数在一些有限的状态空间内是负定的，则非线性系统是局部稳定的。

总之，李雅普诺夫稳定性分析是一种有力的工具，可以用于判断非线性系统的稳定性。

不过需要注意的是，李雅普诺夫稳定性分析方法仅适用于平衡点附近的稳定性分析，对于非线性系统的全局稳定性分析还需要其他的方法。

系统不一定都存在平衡点； 但系统也可能有多个平衡点； 平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当 的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）；
(4)
稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对 多平衡点问题需针对各状态讨论。
二、李雅普诺夫意义下的稳定性 f ( x, t )平衡状态xe的H邻域为 定义4-2：系统x x xe H , H 0, 为2范数(欧几里德范数 )





1982年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性 定理采用了状态向量来描述，适用于单变量， 线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。
应用：自适应，最优控制，非线性控制等。

主要内容：

李氏第一法（间接法）：根据线性系统特征值 或极点来判别稳定性。若是非线性系统，需先 线性化。 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构 造Lyapunov标量函数。
A非奇异： Axe 0 xe 0
解唯一,平衡 点只有一个
xe A奇异： Axe 0 有无穷多个
b. 非线性系统
f ( xe , t ) 0 可能有一个或多个 xe x
例：
1 x1 x 2 x1 x2 x x
3 2
令

1 0 x
Xe
说明：
(1) 若系统渐近稳定，则对于x’=Ax而言，A特征值 应均有负实部。
x(t ) e x0 e A B( )u( )d
At 0 t
(2) 若系统大范围渐近稳定，则其必要条件是在整个 状态空间中只有一个平衡点。
(3) 除非S ( )对应于整个状态平面 , 否则这些定义只能应用 于平衡状态的邻域。
即 x xe

pn1 pn2
pnn
的1～n阶顺序主子式，则P定号性的充要条件为：
为实对称矩阵 P
① 若 i 0 (i 1, 2, , n，) P为正定；
②若
i i
0 0
i为偶数时 i为奇数时
(i 1, 2, ，, n)P为负定；
③若 ④若
i 0 （i 1, 2, i 0 (i n)
，n ，1)P为正半定；
二、李雅普诺夫第二法
又称直接法。它受启示于“一个自治系统在运动过程中伴随着 能量的变化”这样一个物理事实。不需要求解系统的运动方程， 直接分析、判断系统的稳定性能。具有很强的普适性。
不能对任何系统都能找到能量函数来描述系统的能量关系。于 是，李雅普诺夫引入一个 “广义能量”函数，它具备能量函数的基 本属性—正的标量函数，它又能给出随着系统运动发生变化的信 息，把这样的“广义能量”函数称为李雅普诺夫函数。更具一般性。
i 0 i 0 i 0
i为偶数 i为奇数 (i n)
，P为负半定。
（二）李雅普诺夫第二法稳定性判据
1．渐近稳定基本判定定理 ：
x = f (x,t)
设系统的状态方程为
，且其平衡状态为
x，e 如0 果存在
一个具有连续一阶偏导数的标量函数
，并且V (满x,足t) 条件：
（1）V ( x,t) 为正定；
平衡状态 x是e 稳定的几何解释：
从球域 S(内) 任一点出发的运动 都不超越球域 S( )。
一个二维状态空间中零平衡 状态 xe 0 是稳定的几何解释 如右图 。
如果 与 t0无关，称为是
一致稳定，定常系统是一致 稳定的。
上述稳定保证了系统受扰运动的有 界性，通常将它称为李雅普诺夫意义 下的稳定，以区别于工程意义的稳定。

4.3 李雅普诺夫第二法
李雅普诺夫第二法又称直接法。它的基本思路不是通过求解系统的运动 方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系统平衡状态的稳定性做出 判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。
4.3.1 预备知识 1.标量函数的符号性质
设 为由 维矢量 所定义的标量函数，
有
。
所有在域 中的任何非零矢量 ，如果：
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
4.1.1 系统状态的运动及平衡状态 设所研究系统的齐次状态方程为
（1）
式中， 为 各元素 数。如果不显含
维状态矢量； 为与 同维的矢量函数，它是工的 和时间 的函数。一般地，为时变的非线性函
，则为定常的非线性系统。
设方程式(1)在给定初始条件
下，有唯一解：
式中，
一的，例如对线性定常系统：
（4）
当A为非奇异矩阵时，满足
的解
是系统唯一存在的一个
平衡状态。而当A为奇异矩阵时，则系统将有无穷多个平衡状态。
对非线性系统，通常可有一个或多个平衡状态。它们是由方程式(3)所 确定的常值解．例如系统：
就有三个平衡状态：
由于任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其 移到坐标原点 处。所以今后将只讨论系统在坐标原点处的稳定性就可以了。
42李雅普诺夫第一法41李雅普诺夫关于稳定性的定义43李雅普诺夫第二法44李雅普诺夫方法在线性系统中的应用45李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用41李雅普诺夫关于稳定性的定义411系统状态的运动及平衡状态设所研究系统的齐次状态方程为1式中为维状态矢量
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用

李雅普诺夫第二法稳定性判据
① 若 V( x ) 为半负定，那么平衡状态xe为李雅普诺夫 意义下稳定。稳定判据
② 若 V( x )为负定，或者虽然V( x ) 为半负定，但对任
意初始状态 x(t0)0 来说，除去x=0外，对 x0 ，V( x )
不恒为零。原点平衡状态为渐近稳定。如果有 x 时，V(x) 则系统是大范围渐近稳定。
2）对一个给定的系统，V(x)是可以找到的，通常是 非唯一的，但不影响结论的一致性。
3）V(x)的最简单形式是二次型函数，但不一定都是 简单的二次型。
对李雅普诺夫函数的讨论
4）如果V(x)的二次型可以表示成标准二次型，V(x) 就表示从原点到到x点的距离。V(x)的导数表征了系 统相对原点的速度。
渐近稳定
如果平衡状态xe是稳定的，而且当t无限增长时，轨
线不仅不超出 s( ) ，而且最终收敛于xe，则称平衡
状态xe是渐近稳定的。
大范围渐近稳定
如果平衡状态xe是稳定的，并且从状态空间中所有初 始状态出发的轨线都是具有渐近稳定性，则称平衡状 态xe是大范围渐近稳定的。
不稳定
如果对于某个实数 0和任一实数 0，不管 这个实数多么小，由 s( ) 内出发的状态轨线， 至少有一个轨线越过 ，s(则)称平衡状态xe不 稳定。
2）若
0
i
0
i为偶数 i为奇数
则P（或V(x)）为负定的。
3）若 i00,,ii1n,2,n1则P（或V(x)）为半正定的。
0 i为偶数
4）若
i
0
i为奇数
则P（或V(x)）为半负定的。
0 i=n
李雅普诺夫第二法稳定性判据
设系统的状态方程为
x f (x)

9.4 李雅普诺夫稳定性分析
概 述
稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。 稳定性的定义 系统的稳定性，表示系统在受到外界扰动偏离原 来的平衡状态，而在扰动消失后，系统自身恢复到 原来平衡状态的一种能力。
分析一个控制系统的稳定性，一直是控制理论中所关注的 最重要问题。
在经典控制理论中，对于单输入单输出线性定常系统， 常应用稳定性判据，如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz) 判据、根轨迹判据和奈奎斯特判据等，这些判据都给 出了既实用又方便的判别系统稳定性的方法。但这些 稳定性判别方法都是以分析系统特征方程的根的分布 为基础的，只适用于线性定常系统，不能推广到时变 系统和非线性系统。 现代控制系统的结构比较复杂，大都存在非线性或时 变因素, 在解决这类复杂系统的稳定性问题时，最通 常的方法是基于李雅普诺夫稳定性理论，即李雅普诺 夫稳定性定理。
★ 李雅普诺夫第二法
李雅普诺夫第二方法又称直接法。不求解系统方程， 而是通过一个叫李雅普诺夫函数来直接判定系统的稳定 性，该方法不仅适用于线性定常系统，而且适用于难以 求解的非线性系统和时变系统。
本章重点讨论李雅普诺夫第二法。
一、 李雅普诺夫稳定性概念
1、平衡状态
设我们所研究的系统的状态方程为
x f ( x, t )
由于导数表示的状 态的运动变化方向， 因此平衡状态即指 能够保持平衡、维 持现状不运动的状 态，如图所示。
平衡状态
平衡状态
平衡状态
显然，对于线性定常系统
x Ax
的平衡状态xe是满足下述方程的解。 Axe=0


当矩阵A为非奇异时，线性系统只有一个孤立的平衡 状态xe=0（状态空间原点）;
而当A为奇异时，则存在无限多个平衡状态。

李雅普诺夫‎指数• 1.李雅普诺夫‎指数的定义‎• 2. 李雅普诺夫‎指数的划分‎意义• 3. 李雅普诺夫‎指数用在混‎沌中，如何应用一李雅普诺‎夫指数的定‎义李雅普诺夫‎指数是指在‎相空间中相‎互靠近的两‎条轨线随着‎时间的推移‎，按指数分离‎或聚合的平‎均变化速率‎。

李雅普诺夫‎指数的定义‎:首先考虑一‎维映射假设‎初始位置附‎近有一点，则经过一次‎迭代后，这两点之间‎的距离为：（1）并利用微分‎中值定理有‎：（2）n次迭代后‎，并利用微分‎中值定理，这两点之间‎的距离为：（3）由（3）式可得：（4）又由复合函‎数的微分规‎则有：其中那么式（4）就变为：（5）则称（6）为Lyap‎u nov指‎数。

一维映射就‎对应一个李‎雅普诺夫指‎数，而且当时，该系统具有‎混沌特性。

当时，对应着分岔‎点或系统的‎周期解，既系统出现‎周期现象。

时，系统有稳定‎的不动点，即此时对应‎的是一个点‎。

而对于多维‎系统则有多‎个李雅普诺‎夫指数。

Lyapu‎n ov 特性指数沿‎某一方向取‎值的正负和‎大小表示长‎时间系统在‎吸引子中相‎邻轨线沿该‎方向平均发‎散或收敛i‎的快慢程度‎，仅从数学角‎度考虑，Lyapu‎n ov特性‎指数无量纲‎。

n维系统具有‎ n个Lyapu‎n ov 特性指数，形成指数谱‎。

其中数值最‎大的被称为‎最大Lyapu‎n ov 特性指数。

最大Lyapu‎n ov 指数定义为‎其中，表示时刻最‎邻近零点间‎的距离；M为计算总‎步数。

最大Lyapu‎n ov指数‎不仅是区别‎混沌吸引子‎的重要指标‎，也是混沌系‎统对于初始‎值敏感性的‎定量描述。

其中一维系‎统只有一个‎指数，二维系统有‎两个指数来‎表征。

在实际计算‎中,要计算所有‎的Lyap‎u n ov指‎数,计算量较大‎,尤其当系统‎维数L较大‎时更为突出‎.所以注意力‎集中在计算‎系统的最大‎L y apu‎n ov指数‎λm上.二李雅普诺‎夫指数的物‎理意义系统的Ly‎a puno‎v指数谱可‎有效地表征‎变量随时间‎演化时，系统对初值‎的敏感性。

混沌：混沌就是指在确定性系统中出现的一种貌似无规律，类似随机的现象。

对于确定性的非线性系统出现的具有内在随机性的解，就称为混沌解。

对初始条件的敏感性是确定性系统混沌的关键特性，这意味着在相空间中相互靠近的两条轨线，随着时间的推移，它们将相互分离（或靠近），李亚普诺夫（Lyapunov ）指数正是反映相邻点之间距离平均辐射率，Lyapunov 指数正是用来度量运动对初始条件敏感度的量，更通俗的可以说是反映了系统产生或消除不确定因素的速度，最大的Lyapunov 指数为正可作为系统进入混沌状态的一个重要判据。

Lyapunov 指数是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标，它表征了系统在相空间中相邻轨道间收敛或发散的平均指数率。

对于系统是否存在动力学混沌，可以从最大Lyapunov 指数是否大于零非常直观的判断出来：一个正的Lyapunov 指数，意味着在系统相空间中，无论初始两条轨线的间距多么小，其差别都会随着时间的演化而成指数率的增加以致达到无法预测，这就是混沌现象。

Lyapunov 指数的特性：通常情况下将Lyapunov 指数按大小排列为：n λλλλ≥≥≥≥ 321一维情形：如果存在吸引子，则它只能是不动点，此时必有01<λ。

二维情形：吸引子为不动点或极限环。

对于稳定的不动点，任意方向的i X δ都要收缩，故这时两个Lyapunov 指数都应该是负的，记为（-，-）。

对于稳定的极限环，若i X δ垂直于环线的方向，则要收缩，所以垂直于环线方向的Lyapunov 指数1λ为负；沿环线切线方向的Lyapunov 指数2λ为零，记为)0,(),(21-=λλ。

三维情形：同理归纳如下),,(),,(321---=λλλ,不动点；),,0(),,(321--=λλλ，极限环；),0,0(),,(321-=λλλ，二维环面；)0,,(),,(321++=λλλ，不稳定极限环；)0,0,(),,(321+=λλλ，不稳定二维环面；),0,(),,(321-+=λλλ，奇异吸引子。

奇怪吸引子 相对于平庸吸引子而言，它们的特点 之一是终态值与初始值密切相关，或者说对初始值 具有极端敏感性；初始取值的细微差别可能会导致 完全不同的结果，这时的吸引子毫无周期可言，即 所谓混沌。
1.李雅普诺夫指数
李雅普诺夫指数公式
两个系统：
xn1 f ( xn ),
yn1 f ( yn )
设其初始值微小误差 x0 ， 经y0 过一次迭代以后有：
x1 y1
f (x0 ) f ( y0 )
f (x0 ) f ( y0 ) x0 y0
x0 y0
df
dx x0
x0 y0
式中：
df lim f ( x0 ) f ( y0 )
dx x0
x0 y0
x0 y0
由第二次迭代得：
df
df df
x2 y2 dx x1 x1 y1 dx x1 dx x0 x0 y0
岔－霍夫分岔，平衡点 C1 与 C2 将失稳发展成为奇怪吸引子。 取 r = 28 时计算的结果如下。
2.奇怪吸引子-洛伦兹吸引子
洛伦兹吸引子的 指数
根据李雅普诺夫指数的含义，描述洛伦兹吸引子需 、1 、2三个指3 数，且
三个指数 之和为：
1 2
3
1 V
dV dt
(
1 b)
取参数 =10，b = 8/3，r = 28 得： 1 2 3 13.667
李亚谱诺夫指数是用来刻画混沌行为对初始条件的高度敏感性是用来度量从两个相邻初始点出发的两条轨道经过一段时间演化后他们之间的距离随时间按指数形式吸引或分离的程度
• 混沌的研究方法 ：
• 李亚普诺夫指数法：李亚谱诺夫指数是用来刻画混沌行为对 初始条件的高度敏感性，是用来度量从两个相邻初始点出发 的两条轨道，经过一段时间演化后，他们之间 的距离随时间 按指数形式吸引或分离的程度。可以区分 奇怪吸引子和其他 的吸引子。1983年，格里波基证明只 要最大李指数大于0,就 可以肯定混沌性的存在。

由图4-2(b)可得系统实现：
0 1 1 A , B , C 1 1 2 1 0
（4-5）
显然，系统仍为内部不稳定，且能控但不能观测。 由图4-2可见，由于极点1和零点1的对消发生在系统的 输出通道，使得Go(s)中的不稳定极点1生成的模态 et 被Gc(s)中的零点1所阻断，成为仅存在于系统内部但在 输出量中却观测不到的模态。 尽管在输出端观察不到模态 et ，但这种指数 上升型模态由于实际存在于系统内部，仍将对系统 正常运行产生有害后果，导致系统饱和或损坏。
0 t
（4-4）
式（4-4）表明，对应任一有界输入v(t)，输出y(t)有界， 因此该系统理论上为BIBO稳定。但这一BIBO稳定的取得要求满足 两个条件：一是串联补偿器的零点与被控对象的极点精确相消； 二是零初始条件。
然而，实际系统中存在的元件老化和建模误差， 故零、极点精确对消难以保证； 另一方面，外界扰动的存在使零初始条件难以保证， 若外界扰动使
x0 x10
x20
T
则由式（2-43）可获得系统输出的全响应为
t 1 t t t y (t ) x2 (t ) (e e ) x10 e x20 e t v(t )d 2 0
（4-3）
若令 x0 0 ，则由式（4-3）得
y (t ) e t v(t )d
4.1 引言
稳定性和能控性、能观测性一样,均是系 统的结构性质。稳定性是自动控制系统能否 正常工作的先决条件,因此判别系统的稳定性 及如何改善其稳定性是系统分析和综合的首 要问题。一个动态系统的稳定性,通常指系统 的平衡状态是否稳定。简单地说, 稳定性是指 系统在扰动消失后,由初始偏差状态恢复到原 平衡状态的性能,其是系统的一个自身动态属 性。

李雅普诺夫指数范数摘要：1.李雅普诺夫指数的定义和意义2.李雅普诺夫指数在非线性系统中的应用3.李雅普诺夫指数在混沌运动检测中的应用4.李雅普诺夫指数在非线性电路分析中的应用5.总结与展望正文：李雅普诺夫指数是一种用于描述系统动力学特性的重要指标，它起源于19世纪末的俄罗斯数学家李雅普诺夫的研究。

李雅普诺夫指数在非线性系统、混沌运动检测和非线性电路分析等领域具有广泛的应用。

首先，我们来了解李雅普诺夫指数的定义。

在微分方程中，李雅普诺夫指数用于衡量系统状态变量随时间演变的速度。

具体来说，李雅普诺夫指数反映了系统状态变量之间的收敛速度和分离速度。

如果李雅普诺夫指数大于0，那么系统状态变量将以指数速度converge 或diverge。

在非线性系统中，李雅普诺夫指数具有重要的意义。

它可以用来判断系统是否具有稳定性和可控性。

对于非线性系统，如果李雅普诺夫指数为正值，那么系统可能存在混沌运动。

混沌运动是一种高度复杂、不可预测的运动形式，它在气象、生态、生物等领域有广泛的应用。

因此，通过检测李雅普诺夫指数的正负，我们可以了解非线性系统是否存在混沌现象。

李雅普诺夫指数在非线性电路分析中也发挥着重要作用。

非线性电路是指至少含有一个非线性元件的电路。

非线性元件的特性使得电路的输出与输入之间不存在线性关系。

在这种情况下，李雅普诺夫指数可以用来判断电路的稳定性和可控性。

通过分析李雅普诺夫指数，我们可以预测电路中的混沌现象，从而为电路设计和优化提供理论依据。

总之，李雅普诺夫指数作为一种数学工具，在非线性系统、混沌运动检测和非线性电路分析等领域具有广泛的应用。

通过研究李雅普诺夫指数，我们可以更好地理解系统的动态特性，为实际应用提供理论支持。