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考研数学：夹逼准则的推论夹逼准则是高等数学里求极限的重要方法之一，适用于函数与数列极限的计算及反常积分的计算。
在考研数学中是要求考生重点掌握的一块内容，其考查方式多样，需要考生掌握关于夹逼准则的重点题型和基本的放缩技巧，同时也要会使用并证明夹逼准则的推论：无穷小量乘以有界量仍为无穷小量，下面重点讲解该推论的证明及应用。
一、夹逼准则（函数）：如果（1）当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-⋃+时，()()();g x f x h x ≤≤（2）0lim ()x x g x A →=，0lim ()x x h x A →=，则0lim ()x x f x →存在，且等于A 。
此准则必须对所求极限的函数进行适当放大和缩小，且经放大和缩小得到的函数的极限易求且相等。
夹逼准则的关键在于，找两个极限值相同的函数()g x 和()h x ，使得()()()g x f x h x ≤≤。
二、夹逼准则的推论：无穷小量⨯有界量=无穷小量即0lim ()0x x f x →=，且当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-⋃+时，存在0M >，使得()g x M ≤，则0lim ()()0x x f x g x →=。
证明：由条件可得()()()f xg x M f x ≤即()()()()Mf x f xg x M f x -≤≤因为0lim ()0x x f x →=，故00lim ()lim ()0x x x x M f x M f x →→-==，由夹逼准则可得0lim ()()0x x f x g x →=例：求极限201lim sin x x x→分析：由于0x →时，2x 为无穷小量，1sinx 的极限虽然不存在，但1sin 1x ≤，因此为有界量，根据推论可得该极限为0。
解：由于20lim 0x x →=，且1sin 1x ≤，所以201lim sin 0x x x →=。
考研高数求极限的方法总结(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--考研高数求极限的方法总结这是一篇由网络搜集整理的关于2017考研高数求极限的方法总结的文档，希望对你能有帮助。
1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点1为什么会有单侧极限这种极限计算方法，是因为在x→∞，x→a包括x→+∞和x→-∞，x→a+和x→a-，而不同的趋近，极限趋近值也不相同，因此需要分别计算左右极限，根据极限的充要条件来判断极限是否存在，那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢?第一：e∞,arctan∞,因为x趋近于+∞，e∞→+∞，arctan∞→π/2，x趋近于-∞，e∞→0，arctan∞→-π/2;第二：绝对值;第三：分段函数在分段点处的极限。
有个这几条我们就可以在计算极限时知道什么情况下分左右极限计算，什么时候正常计算。
夹逼定理分为函数极限的夹逼定理和数列极限的夹逼定理。
要明确夹逼定理是将极限计算出来的方法，而不是用来判断极限是不是存在，以数列极限为例，即n→∞，yn→?，若存在n>0，当n>n时，找到xn，zn，且xn→a，zn→b，a≠b，则不能说明yn极限不存在，函数极限也是一样的。
这一点一定要注意，防止理解偏差。
单调有界收敛定理主要应用是解决数列极限计算问题，一般情况下，题目的类型是固定的，例如：已知x1=a,xn=f(xn-1)，n=1,2,.....，求数列{xn}的极限。
当看到这种类型的题目，我们要先知道可以应用于单调有界收敛定理来证明，也就是要证明两点，第一：证明数列有界;第二：证明数列单调。
综合以上两点就可以依据该定理证明数列极限存在，再将xn=f(xn-1)两边同时取极限，即可以得到数列极限的值。
上述几种方法原理比较简单，但是需要同学们在做题目中多去总结，掌握其具体的解题思路，也要将知识点和不同类型的题目建立联系，拓宽自己的解题能力。
很多同学都会有这样的感觉，为什么我就是想不到这样解题呢?像这样的'问题在现阶段出现是正常的，因为我们要通过复习来解决问题，所以我们只要认真对待就可以了，首先接受这种方法，然后理解这种方法，最后看看这个解题思路跟题目中的哪个条件是紧密联系在一起的，弄清楚并记住，下次如果做题时遇到了这个条件，我们是不是就可以尝试的做做，时间久了自然而然的就有了自己的解题思路。
考研数学单侧极限和夹逼定理的知识点考研数学单侧极限和夹逼定理复习要点为什么会有单侧极限这种极限计算方法，是因为在x→∞，x→a包括x→+∞和x→-∞，x→a+和x→a-，而不同的趋近，极限趋近值也不相同，因此需要分别计算左右极限，根据极限的充要条件来判断极限是否存在，那么在极限计算中出现哪些“信号”是要分左右极限计算呢?第一：e∞,arctan∞,因为x趋近于+∞，e∞→+∞，arctan∞→π/2，x 趋近于-∞，e∞→0，arctan∞→-π/2;第二：绝对值;第三：分段函数在分段点处的极限。
有个这几条我们就可以在计算极限时知道什么情况下分左右极限计算，什么时候正常计算。
夹逼定理分为函数极限的夹逼定理和数列极限的夹逼定理。
要明确夹逼定理是将极限计算出来的方法，而不是用来判断极限是不是存在，以数列极限为例，即n→∞，yn→?，若存在N>0，当n>N时，找到xn，zn，且xn→A，zn→B，A≠B，则不能说明yn极限不存在，函数极限也是一样的。
这一点一定要注意，防止理解偏差。
单调有界收敛定理主要应用是解决数列极限计算问题，一般情况下，题目的类型是固定的，例如：已知X1=a,Xn=f(Xn-1)，n=1,2,.....，求数列{Xn}的极限。
当看到这种类型的题目，我们要先知道可以应用于单调有界收敛定理来证明，也就是要证明两点，第一：证明数列有界;第二：证明数列单调。
综合以上两点就可以依据该定理证明数列极限存在，再将Xn=f(Xn-1)两边同时取极限，即可以得到数列极限的值。
上述几种方法原理比较简单，但是需要同学们在做题目中多去总结，掌握其具体的解题思路，也要将知识点和不同类型的题目建立联系，拓宽自己的解题能力。
很多同学都会有这样的感觉，为什么我就是想不到这样解题呢?像这样的'问题在现阶段出现是正常的，因为我们要通过复习来解决问题，所以我们只要认真对待就可以了，首先接受这种方法，然后理解这种方法，最后看看这个解题思路跟题目中的哪个条件是紧密联系在一起的，弄清楚并记住，下次如果做题时遇到了这个条件，我们是不是就可以尝试的做做，时间久了自然而然的就有了自己的解题思路。
考研高数笔记SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第一章 函数、极限、连续第1节函数a) 反函数和原函数关于y=x 对称。
b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。
c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。
d)2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。
(k=0,1,2......)。
e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。
f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。
g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。
第2节 极限a) 左右极限存在且相等⇔极限存在。
b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中0=(x)ɑlim 0x x →。
（等价无穷小）c) 极限存在⇔极限唯一。
（极限唯一性）d) A x =→)(f lim 0x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。
（保号性）e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x)有界。
（有界性）f) 当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n lim(f(x)^g(x))=A b （极限的四则运算）g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。
有限个无穷小之积仍然是无穷小。
一、函数、极限和连续（一）函数1. 知识范围（1）函数的概念：函数的定义函数的表示法分段函数（2）函数的简单性质：单调性奇偶性有界性周期性（3）反函数：反函数的定义反函数的图象（4）函数的四则运算与复合运算（5）基本初等函数：幂函数指数函数对数函数三角函数反三角函数（6）初等函数2. 要求（1）理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。
会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数图像。
（2）理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类别。
（3）了解函数y=ƒ（x）与其反函数y=ƒ-1（x）之间的关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反函数。
（4）理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。
（5）掌握基本初等函数的简单性质及其图象。
（6）了解初等函数的概念。
（7）会建立简单实际问题的函数关系式。
（二）极限1. 知识范围（1）数列极限的概念：数列数列极限的定义（2）数列极限的性质：唯一性有界性四则运算定理夹逼定理单调有界数列极限存在定理（3）函数极限的概念函数在一点处极限的定义左、右极限及其与极限的关系 x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x →-∞）时函数的极限函数极限的几何意义（4）函数极限的定理：唯一性定理夹逼定理四则运算定理（5）无穷小量和无穷大量无穷小量与无穷大量的定义无穷小量与无穷大量的关系无穷小量与无穷大量的性质两个无穷小量阶的比较（6）两个重要极限sinx 1lim =1 lim（1+ ）x = e x→0 x x→∞ x2. 要求（1）理解极限的概念（对极限定义中“ε- N”、“ε- δ”、“ε- M”的描述不作要求），能根据极限概念分析函数的变化趋势。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（2）了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
高等数学定理大解析-考研必捋版（考研大纲要求范围+高数重点知识）第一章函数与极限1、函数(de)有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界,K1为下界；如果有f(x)≤K2,则有上界,K2称为上界.函数f(x)在定义域内有界(de)充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界.2、函数(de)单调性、奇偶性、周期性（指最小正周期）3、数列(de)极限定理(极限(de)唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同(de)极限.定理（收敛数列(de)有界性）如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界. 如果数列{xn}无界,那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界,却不能断定数列{xn}一定收敛,例如数列1,-1,1,-1,（-1）n+1…该数列有界但是发散,所以数列有界是数列收敛(de)必要条件而不是充分条件.定理（收敛数列与其子数列(de)关系）如果数列{xn}收敛于a,那么它(de)任一子数列也收敛于a.●如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同(de)极限,那么数列{xn}是发散(de),如数列1,-1,1,-1,（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1,{xnk}收敛于-1,{xn}却是发散(de)；同时一个发散(de)数列(de)子数列也有可能是收敛(de).4、函数(de)极限函数极限(de)定义中0<|x-x0|表示x≠x0,所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关.定理（极限(de)局部保号性）如果lim(x→x0)时f(x)=A,而且A>0（或A<0）,就存在着点那么x0(de)某一去心邻域,当x在该邻域内时就有f(x)> 0（或f(x)>0）,反之也成立.●函数f(x)当x→x0时极限存在(de)充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等,即f(x0-0)=f(x0+0),若不相等则limf(x)不存在.●一般(de)说,如果lim（x→∞）f(x)=c,则直线y=c是函数y=f(x)(de)图形水平渐近线.如果lim（x→x0）f(x)=∞,则直线x=x0是函数y=f(x)图形(de)铅直渐近线.5、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小(de)乘积是无穷小；常数与无穷小(de)乘积是无穷小；有限个无穷小(de)乘积也是无穷小；定理如果F1（x）≥F2（x）,而limF1(x)=a,limF2(x)=b,那么a≥b.6、极限存在准则●两个重要极限lim（x→0）（sinx/x）=1；lim（x→∞）（1+1/x）x=1.●夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a,limzn=a,那么limxn=a,对于函数该准则也成立.●单调有界数列必有极限.7、函数(de)连续性●设函数y=f(x)在点x0(de)某一邻域内有定义,如果函数f(x)当x→x0时(de)极限存在,且等于它在点x0处(de)函数值f(x0),即lim（x→x0）f(x)=f(x0),那么就称函数f(x)在点x0处连续.●不连续情形：1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim （x→x0）f(x)不存在；3、虽在x=x0有定义且lim（x→x0）f(x)存在,但lim（x→x0）f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断.●如果x0是函数f(x)(de)间断点,但左极限及右极限都存在,则称x0为函数f(x)(de)第一类间断点（左右极限相等者称可去间断点,不相等者称为跳跃间断点）.非第一类间断点(de)任何间断点都称为第二类间断点（无穷间断点和震荡间断点）.●定理有限个在某点连续(de)函数(de)和、积、商（分母不为0）是个在该点连续(de)函数.●定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续,那么它(de)反函数x=f(y)在对应(de)区间Iy={y|y=f(x),x∈Ix}上单调增加或减少且连续.反三角函数在他们(de)定义域内都是连续(de).●定理（最大值最小值定理）在闭区间上连续(de)函数在该区间上一定有最大值和最小值.如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点,那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值.●定理（有界性定理）在闭区间上连续(de)函数一定在该区间上有界,即m≤f(x)≤M.●定理（零点定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号（即f(a)×f(b)<0）,那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)(de)一个零点,即至少有一点ξ（a<ξ<b）使f(ξ)=0.●定理（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在这区间(de)端点处取不同(de)值f(a)=A,f(b)=B,那么对于A与B之间(de)任一数C,在开区间（a,b）内至少有一点ξ使f(ξ)=C,（a<ξ<b）.●推论在闭区间上连续(de)函数必取得介于最大值M与最小值m之间(de)任何值.第二章导数与微分1、导数存在(de)充分必要条件●函数f(x)在点x0处可导(de)充分必要条件是在点x0处(de)左极限lim（h→-0）[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim（h→+0）[f(x0+h)-f(x0)] /h都存在且相等,即左导数f-′(x0)右导数f+′(x0)存在相等.2、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续；函数f(x)在点x0处连续≠>在该点可导.即函数在某点连续是函数在该点可导(de)必要条件而不是充分条件.3、原函数可导则反函数也可导,且反函数(de)导数是原函数导数(de)倒数.4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导；函数f(x)在点x0处可微(de)充分必要条件是函数在该点处可导.第三章中值定理与导数(de)应用1、定理（罗尔定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间（a,b）内可导,且在区间端点(de)函数值相等,即f(a)=f(b),那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ（a<ξ<b）,使(de)函数f(x)在该点(de)导数等于零：f’(ξ)=0.2、定理（拉格朗日中值定理）如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间（a,b）内可导,那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ（a<ξ<b）,使(de)等式f(b)-f(a)=f’(ξ)（b-a）成立即f’(ξ)=[f(b)-f(a)]/（b -a）.3、定理（柯西中值定理）如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间（a,b）内可导,且F’(x)在（a,b）内(de)每一点处均不为零,那么在开区间（a,b）内至少有一点ξ,使(de)等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立.4、洛必达法则应用条件●只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式.5、函数单调性(de)判定法●设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间（a,b）内可导,那么：（1）如果在（a,b）内f’(x)>0,那么函数f(x)在[a,b]上单调增加；（2）如果在（a,b）内f’(x)<0,那么函数f(x)在[a,b]上单调减少.●如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在(de)点外导数存在且连续,那么只要用方程f’(x)=0(de)根及f’(x)不存在(de)点来划分函数f(x)(de)定义区间,就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号,因而函数f(x)在每个部分区间上单调.6、函数(de)极值●如果函数f(x)在区间（a,b）内有定义,x0是（a,b）内(de)一个点,如果存在着点x0(de)一个去心邻域,对于这去心邻域内(de)任何点x,f(x) <f(x0)均成立,就称f(x0)是函数f(x)(de)一个极大值；如果存在着点x0 (de)一个去心邻域,对于这去心邻域内(de)任何点x,f(x)>f(x0)均成立,就称f(x0)是函数f(x)(de)一个极小值.●在函数取得极值处,曲线上(de)切线是水平(de),但曲线上有水平曲线(de)地方,函数不一定取得极值,即可导函数(de)极值点必定是它(de)驻点（导数为0(de)点）,但函数(de)驻点却不一定是极值点.●定理（函数取得极值(de)必要条件）设函数f(x)在x0处可导,且在x0处取得极值,那么函数在x0(de)导数为零,即f’(x0)=0.●定理（函数取得极值(de)第一种充分条件）设函数f(x)在x0一个邻域内可导,且f’(x0)=0,那么：（1）如果当x取x0左侧临近(de)值时,f’(x)恒为正；当x去x0右侧临近(de)值时,f’(x)恒为负,那么函数f(x)在x0处取得极大值；（2）如果当x取x0左侧临近(de)值时,f’(x)恒为负；当x去x0右侧临近(de)值时,f’(x)恒为正,那么函数f(x)在x0处取得极小值；（3）如果当x取x0左右两侧临近(de)值时,f’(x)恒为正或恒为负,那么函数f(x)在x0处没有极值.●定理（函数取得极值(de)第二种充分条件）设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0,f’’(x0)≠0那么：（1）当f’’(x0)<0时,函数f(x)在x0处取得极大值；（2）当f’’(x0)>0时,函数f(x)在x0处取得极小值；●驻点有可能是极值点,不是驻点也有可能是极值点.7、函数(de)凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续,如果对任意两点x1,x2恒有f[(x1+x2)/2]< [f(x1)+f(x1)]/2,那么称f(x)在区间Ix上图形是凹(de)；如果恒有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2,那么称f(x)在区间Ix上图形是凸(de).●定理设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间（a,b）内具有一阶和二阶导数,那么（1）若在（a,b）内f’’(x)>0,则f(x)在闭区间[a,b]上(de)图形是凹(d e)；（2）若在（a,b）内f’’(x)<0,则f(x)在闭区间[a,b]上(de)图形是凸(de).●判断曲线拐点（凹凸分界点）(de)步骤（1）求出f’’(x)；（2）令f’’(x)=0,解出这方程在区间（a,b）内(de)实根；（3）对于（2）中解出(de)每一个实根x0,检查f’’(x)在x0左右两侧邻近(de)符号,如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定(de)符号,那么当两侧(de)符号相反时,点（x0,f(x0)）是拐点,当两侧(de)符号相同时,点（x0,f(x0)）不是拐点.●在做函数图形(de)时候,如果函数有间断点或导数不存在(de)点,这些点也要作为分点.第四章不定积分1、原函数存在定理●定理如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上存在可导函数F（x）,使对任一x∈I都有F’（x）=f(x)；简单(de)说连续函数一定有原函数.●分部积分发如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数(de)乘积,就可以考虑用分部积分法,并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数(de)幂降低一次.如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数(de)乘积,就可设对数和反三角函数为u.2、对于初等函数来说,在其定义区间上,它(de)原函数一定存在,但原函数不一定都是初等函数.第五章定积分1、定积分解决(de)典型问题（1）曲边梯形(de)面积（2）变速直线运动(de)路程2、函数可积(de)充分条件●定理设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上可积,即连续=>可积.●定理设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在区间[a,b]上可积.3、定积分(de)若干重要性质●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0.●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上(de)最大值和最小值,则m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,该性质说明由被积函数在积分区间上(de)最大值及最小值可以估计积分值(de)大致范围.●性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点ξ,使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)（b-a）.4、关于广义积分设函数f(x)在区间[a,b]上除点c（a<c<b）外连续,而在点c(de)邻域内无界,如果两个广义积分∫acf(x)dx与∫cbf(x)dx都收敛,则定义∫abf(x) dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx,否则（只要其中一个发散）就称广义积分∫abf(x) dx发散.第六章定积分(de)应用1、求平面图形(de)面积（曲线围成(de)面积）●直角坐标系下（含参数与不含参数）●极坐标系下（r,θ,x=rcosθ,y=rsinθ）(扇形面积公式S=R2θ/2) ●旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成(de)面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx,其中f(x)指曲线(de)方程）●平行截面面积为已知(de)立体体积（V=∫abA（x）dx,其中A（x）为截面面积）●功、水压力、引力●函数(de)平均值（平均值y=1/(b-a)∫abf(x)dx）第七章多元函数微分法及其应用1、多元函数极限存在(de)条件极限存在是指P（x,y）以任何方式趋于P0（x0,y0）时,函数都无限接近于A,如果P（x,y）以某一特殊方式,例如沿着一条定直线或定曲线趋于P 0（x0,y0）时,即使函数无限接近某一确定值,我们还不能由此断定函数极限存在.反过来,如果当P（x,y）以不同方式趋于P0（x0,y0）时,函数趋于不同(de)值,那么就可以断定这函数(de)极限不存在.例如函数：f(x,y)={0 (xy)/(x^2+y^2) x^2+y^2≠02、多元函数(de)连续性●定义设函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义,P0（x0,y0）是D(de)内点或边界点且P0∈D,如果lim(x→x0,y→y0)f(x,y)=f(x0,y0)则称f(x,y)在点P0（x0,y0）连续.●性质（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上(de)多元连续函数,在D上一定有最大值和最小值.●性质（介值定理）在有界闭区域D上(de)多元连续函数,如果在D 上取得两个不同(de)函数值,则它在D上取得介于这两个值之间(de)任何值至少一次.3、多元函数(de)连续与可导如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴(de)方向趋于P0时,函数值f (P)趋于f(P0),但不能保证点P按任何方式趋于P0时,函数值f(P)都趋于f(P0).4、多元函数可微(de)必要条件一元函数在某点(de)导数存在是微分存在(de)充分必要条件,但多元函数各偏导数存在只是全微分存在(de)必要条件而不是充分条件,即可微=>可偏导.5、多元函数可微(de)充分条件定理（充分条件）如果函数z=f(x,y)(de)偏导数存在且在点(x,y)连续,则函数在该点可微分.6多元函数极值存在(de)必要、充分条件定理（必要条件）设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数,且在点(x0, y0)处有极值,则它在该点(de)偏导数必为零.定理（充分条件）设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)(de)某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0,令fxx(x0,y0)=0=A, fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=C,则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值(de)条件如下：（1） AC-B2>0时具有极值,且当A<0时有极大值,当A>0时有极小值；（2） AC-B2<0时没有极值；（3） AC-B2=0时可能有也可能没有.7、多元函数极值存在(de)解法（1）解方程组fx(x,y)=0,fy(x,y)=0求(de)一切实数解,即可求得一切驻点.（2）对于每一个驻点(x0,y0),求出二阶偏导数(de)值A、B、C. （3）定出AC-B2(de)符号,按充分条件进行判定f(x0,y0)是否是极大值、极小值.注意：在考虑函数(de)极值问题时,除了考虑函数(de)驻点外,如果有偏导数不存在(de)点,那么对这些点也应当考虑在内.第八章二重积分1、二重积分(de)一些应用●曲顶柱体(de)体积●曲面(de)面积（A=∫∫√[1+f2x(x,y)+f2y(x,y)]dσ）●平面薄片(de)质量●平面薄片(de)重心坐标（x=1/A∫∫xdσ,y=1/A∫∫ydσ;其中A=∫∫dσ为闭区域D(de)面积.●平面薄片(de)转动惯量（Ix=∫∫y2ρ(x,y)dσ,Iy=∫∫x2ρ(x,y) dσ;其中ρ(x,y)为在点(x,y)处(de)密度.●平面薄片对质点(de)引力（FxFyFz）2、二重积分存在(de)条件当f(x,y)在闭区域D上连续时,极限存在,故函数f(x,y)在D上(de)二重积分必定存在.3、二重积分(de)一些重要性质●性质如果在D上,f(x,y)≤ψ(x,y),则有不等式∫∫f(x,y)dxdy≤∫∫ψ(x,y)dxdy,特殊地由于-|f(x,y)|≤f(x,y)≤|f(x,y)|又有不等式|∫∫f(x,y)dxdy|≤∫∫|f(x,y)|dxdy.●性质设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上(de)最大值和最小值,σ是D(de)面积,则有mσ≤∫∫f(x,y)dσ≤Mσ.●性质（二重积分(de)中值定理）设函数f(x,y)在闭区域D上连续,σ是D(de)面积,则在D上至少存在一点（ξ,η）使得下式成立：∫∫f(x,y)dσ=f(ξ,η)σ4、二重积分中标量在直角与极坐标系中(de)转换●把二重积分从直角坐标系换为极坐标系,只要把被积函数中(de)x, y分别换成ycosθ、rsinθ,并把直角坐标系中(de)面积元素dxdy换成极坐标系中(de)面积元素rdrdθ.。
函数形式的单调有界原理及其证明
单调有界原理是包含多项式在内的重要的定理，这个定理主要讨论的是在给定的区间中函数的单调性和变化上限。
单调有界原理定义如下：设
f(x)是在区间[a,b]上顺序可导的函数，且f在该区间上有界，则函数f在[a,b]上单调递增或单调递减。
证明：假设f(x)在[a,b]上不是单调递增或单调递减，则存在一个节点x1，使得f(x1)>f(x1 - ΔX) 以及f(x1)<f(x1 + ΔX)。
由于f函数在[a,b]上顺序可导，令ΔX逐渐减小，则存在极小正值ΔX0，使得f在[x1 - ΔX0，x1]的某点satisfy的待定不等式f(x1) <= f(x1 - ΔX0) 以及f在[x1，x1 + ΔX0]的某点satisfy的待定不等式f(x1) >= f(x1 + ΔX0)，所以f在(x1 - ΔX0, x1 + ΔX0)区间内极小。
而区间限的f的最值究竟是谁，已无法得知，故f(x)在[a,b]上未必有界，与单调有界原理矛盾，故证毕。
