方法技巧练——最大值与最小值问题

函数的最大值与最小值在数学中，函数的最大值和最小值是非常重要的概念。

最大值指的是函数在某个区间上取得的最大数值，而最小值则是函数在该区间上取得的最小数值。

求解函数的最大值和最小值在实际问题中具有重要的应用，如寻找最佳解、优化问题等。

本文将介绍如何求解函数的最大值和最小值，并探讨其中的相关概念和方法。

一、局部最值和全局最值函数的最大值和最小值可以分为局部最值和全局最值两种情况。

局部最值指的是函数在某个小区间内取得的最大或最小值，而全局最值则是函数在整个定义域上取得的最大或最小值。

为了更好地理解这两个概念，我们考虑一个简单的例子。

假设有一个函数f(x) = x^2，在闭区间[-1, 1]上进行观察。

当x为-1时，f(-1) = 1；当x为0时，f(0) = 0；当x为1时，f(1) = 1。

可以看出，函数f(x)在这个区间内的最大值和最小值分别为1和0。

因此，在这个例子中，最大值和最小值都是局部最值。

然而，如果我们考虑函数f(x)在整个定义域上的取值情况，就会发现函数f(x)在x等于0时取得了全局最小值0。

因此，全局最值并不一定出现在局部最值处。

二、求解最值的方法在求解函数的最大值和最小值时，有一些常用的方法和技巧。

1. 导数法导数法是一种常见且经典的求解最值的方法。

它基于一个重要的数学定理：在函数的极值点处，导数等于0。

假设有一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，我们想要求解在该区间上的最大值和最小值。

首先，我们可以计算出函数f(x)的导数f'(x)。

然后，我们找到f'(x) = 0的所有解，这些解即为函数f(x)的极值点。

接下来，我们需要判断这些极值点是函数的最大值还是最小值。

可以通过一些判定条件进行判断，如利用二阶导数的符号、导数的变化规律等。

2. 区间法区间法在求解最值时，将区间等分成多个小区间，然后计算函数在每个小区间的取值，并找出最大值和最小值。

具体做法是将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b - a) / n。

按条件求取最⼤值与最⼩值，95%的⼈都问过这个问题了前⼏天呢，有好⼏个群⾥的⼩伙伴在问，如果按条件求取最⼤值与最⼩值的问题，这是⼀个实际⼯作中的经常会遇到的⼀个问题。

今天⼩必⽼师教⼤家两个⽅法可以快速地得到最⼤值最⼩值。

如下图所⽰，是⼀份某个单位的季度奖⾦，现在按要求，计算出每个部门的各个季度的最⾼奖⾦与最低奖⾦：对于以上问题，下⾯⼩必⽼师给⼤家介绍两种⽅法，⼀种是透视表法，⼀种是公式函数法、具体的解决⽅法如下：01透视表法透视表是⽇常处理分析数据最常⽤的⼀个⼯具，具体的操作⽅法如下：Step-01：选中数据区域，单击【插⼊】-【数据透视表】-【现有位置】-【确定】，如下图所⽰：Step-02：在弹出的对话框中，将“部门”与“季度”字段拖放⾄【⾏标签】，将“奖⾦”字段分两次拖放⾄【数值】，如下图所⽰：Step-03：设置字段的计算⽅式，将【数值】⾥的第⼀个“奖⾦”的计算⽅式设置为“最⼤值”，“奖⾦2”的计算⽅式设置为“最⼩值”，并修改标题名称，如下图所⽰：Step-04：设置【分类汇总】⽅式为“不分类汇总”，设置【总计】为“对⾏列禁⽤”，选择【报表布局】为“以表格形式”与“重复所有项⽬标签”，如下图所⽰：02公式法在Excel中提供的最值函数常⽤的有MAX与MIN函数，但是不能直接⽤于计算条件最值，必须与其他的函数配合使⽤，⼀般以数组⽅式出现。

⽽在Office 365的Excel版本中则提供了MAXIF与MINIF的函数，可以直接⽤于计算条件最值。

在H2单元格中输⼊公式：{=MAX(IF((F2=A:A)*(G2=B:B),D:D))}，按组合键<Ctrl+Shift+Enter>完成后向下填充。

如下图所⽰：在I2单元格中输⼊公式：{=MIN(IF((F2=A:A)*(G2=B:B),D:D))}，按组合键<Ctrl+Shift+Enter>完成后向下填充。

如下图所⽰：解释：以上公式属于数组公式，对于初学者来说有⼀定的困难，但是⼩必⽼师给⼤家总结了⼀个万能的套⽤公式，⼤家套⽤这个公式就⾏。

导数与极值最大值与最小值问题练习题在微积分中，导数与极值问题是一类经典且重要的题型。

通过求取导数，我们可以确定函数的极值点，即最大值和最小值。

本文将给出一些导数与极值问题的练习题，帮助读者加深对该类型问题的理解与应用。

练习题一：求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的极值点。

解析：首先，我们需要求出函数的导数f'(x)。

对于f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，导数为f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

接下来，我们将导数f'(x)置为零，求得极值点。

即，3x^2 - 12x + 9= 0。

通过求解这个方程，我们得到x = 1和x = 3两个解。

然后，我们需要分别计算这两个x值对应的函数值f(x)。

当x = 1时，f(x) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 6；当x = 3时，f(x) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3)+ 2 = -2。

综上所述，在函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2中，极小值为-2，极大值为6，对应的x值分别为1和3。

练习题二：求函数g(x) = e^x - 4x的极值点。

解析：与前一题类似，我们首先求取函数g(x) = e^x - 4x的导数g'(x)。

根据指数函数的导数性质以及常数倍规则，我们有g'(x) = e^x - 4。

将导数g'(x)置为零，求得极值点。

即，e^x - 4 = 0。

通过求解这个方程，我们得到x = ln(4)。

接下来，计算x = ln(4)对应的函数值g(x)。

g(x) = e^x - 4x = e^(ln(4)) - 4(ln(4)) = 4 - 4ln(4)。

因此，在函数g(x) = e^x - 4x中，存在唯一的极值点x = ln(4)，对应的极值为4 - 4ln(4)。

练习题三：求函数h(x) = x^4 - 8x^2 + 16的极值点。

例说求函数的最大值和最小值的方法例1.设x 是正实数，求函数xx x y 32++=的最小值。

解：先估计y 的下界。

55)1(3)1(5)21(3)12(222≥+-+-=+-+++-=xx x x x x x y 又当x =1时，y =5，所以y 的最小值为5。

说明 本题是利用“配方法”先求出y 的下界，然后再“举例”说明这个下界是可以限到的。

“举例”是必不可少的，否则就不一定对了。

例如，本题我们也可以这样估计：77)1(3)1(7)21(3)12(222-≥-++-=-++++-=xx x x x x x y 但y 是取不到-7的。

即-7不能作为y 的最小值。

例2. 求函数1223222++--=x x x x y 的最大值和最小值。

解 去分母、整理得：(2y -1)x 2+2(y +1)x +(y +3)=0. 当21≠y 时，这是一个关于x 的二次方程，因为x 、y 均为实数，所以 ∆=[2(y +1)]2-4(2y -1)(y +3)≥0, y 2+3y --4≤0,所以 -4≤y ≤1 又当31-=x 时，y =-4;x =-2时，y =1.所以y min =-4，y max =1. 说明 本题求是最值的方法叫做判别式法。

例3.求函数152++-=x x y ，x ∈[0,1]的最大值解：设]2,1[1∈=+t t x ，则x =t 2-1y = -2(t 2-1)+5t = -2t 2+5t +1原函数当t =169,45=x 即时取最大值833 例4求函数223,5212≤≤+--=x x x x y 的最小值和最大值 解：令x -1=t (121≤≤t ) 则t t t t y 4142+=+=y min =51,172max =y 例5.已知实数x ,y 满足1≤x 2+y 2≤4,求f (x )=x 2+xy +y 2的最小值和最大值 解：∵)(2122y x xy +≤ ∴6)(23),(2222≤+≤++=y x xy y x y x f 又当2==y x 时f (x ,y )=6，故f (x ,y )max =6 又因为)(2122y x xy +-≥ ∴21)(21),(2222≥+≥++=y x xy y x y x f 又当22,22-==y x 时f (x ,y )=21，故f (x ,y )min =21例6.求函数2224)1(5+++=x x x y 的最大值和最小值 解：原函数即111)1(5222++-+=x x y 令112+=x t (0<t ≤1) 则y =5t 2-t +1 ∴当x =±3时，函数有最小值2019，当x =0时，函数取最大值5 例7.求函数|]211[1|)(+-=x x x f 的最大值 解：设α=+=+}211{,]211[x n x ，则 f (x )=|21|1|-=-αn x 由于 0≤α<1,故f (x )≤21，又当x =122-k (k 为整数)时f (x )= 21, 故f (x )max =21 例8.求函数113632424+-++--=x x x x x y 的最大值 解：原函数即222222)1()0()2()3()(-+---+-=x x x x x f 在直角坐标系中，设点P(x ,x 2),A(3,2),B(0,1)，则f (x )=|PA|-|PB|≤|AB|=10 又当6137+-=x 时，f (x )= 10 故f max (x ) = 10例9.设a 是实数,求二次函数y =x 2-4ax +5a 2-3a 的最小值m ，当0≤a 2-4a -2≤10中变动时，求m 的最大值解：y =x 2-4ax +5a 2-3a =(x -2a )2+a 2-3a由0≤a 2-4a -2≤10解得：622-≤≤-a 或62+≤a ≤6 故当a =6时，m 取最大值18例10.已知函数f (x )=log 2(x +1)，并且当点(x ,y )在y =f (x )的图象上运动时，点)2,3(y x 在y =g (x )的图象上运动，求函数p (x )=g (x )-f (x )的最大值。

对数函数最值问题及解题技巧介绍本文将讨论对数函数的最大值和最小值问题，并提供解题技巧。

对数函数是数学中常见的函数之一，它在各种应用领域中起着重要的作用。

对数函数的定义对数函数是以某个正实数为底的指数函数的反函数。

一般地，对数函数可以表示为：$$y = \log_{a}x$$其中，$a$ 是底数，$x$ 是实数。

对数函数的定义域为正实数，值域为实数。

最值问题最值问题是数学中常见的问题之一。

对数函数的最大值和最小值问题是在特定条件下确定对数函数的取值范围。

最大值问题对于对数函数 $y = \log_{a}x$，我们需要找到使函数取得最大值的特定条件。

根据对数函数的特性，我们可以得出以下结论：- 当 $0 < a < 1$：当 $x$ 趋近于正无穷时，$y$ 趋近于负无穷，即函数无最大值。

- 当 $a = 1$：函数恒为 $0$，即函数无最大值。

- 当 $a > 1$：当 $x$ 趋近于正无穷时，$y$ 趋近于正无穷，即函数无最大值。

根据以上结论，对数函数在不同条件下可能没有最大值。

最小值问题对于对数函数 $y = \log_{a}x$，我们需要找到使函数取得最小值的特定条件。

根据对数函数的特性，我们可以得出以下结论：- 当 $0 < a < 1$：当 $x$ 趋近于正无穷时，$y$ 趋近于正无穷，即函数无最小值。

- 当 $a = 1$：函数恒为 $0$，即函数无最小值。

- 当 $a > 1$：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$y$ 趋近于负无穷，即函数无最小值。

根据以上结论，对数函数在不同条件下可能没有最小值。

解题技巧当解决对数函数最值问题时，我们需要考虑底数 $a$ 的取值范围，以及函数定义域的限制条件。

下面是解题时的一些建议：1. 了解底数的取值范围：不同的底数会有不同的取值范围，这对确定最值问题至关重要。

2. 确定函数定义域的限制条件：对于对数函数，定义域为正实数，因此可能存在一些限制条件，需要在解题过程中注意。

最大值与最小值写法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最大值和最小值是数据分析中非常重要的概念，通过最大值和最小值的计算，我们可以更好地了解数据的分布和趋势，从而为决策和预测提供参考。

在统计学和数学领域，最大值和最小值是最基础的数据描述统计量，通常用来描述数据的离散性和集中趋势。

在实际应用中，我们经常需要计算最大值和最小值，以便对数据进行分析和处理。

最大值和最小值的计算方法有很多种，常用的方法包括遍历法、排序法和递归法等。

在实际应用中，我们可以根据数据的特点和需求选择合适的方法来计算最大值和最小值。

下面我们将介绍一些常见的计算最大值和最小值的方法。

1. 遍历法遍历法是最直接的计算最大值和最小值的方法。

遍历法的步骤是遍历数据集中的每一个观测值，通过比较每一个观测值来找到最大值和最小值。

遍历法的优点是简单易懂，适用于数据量较小的情况。

最大值和最小值是数据分析中极为重要的概念和指标，通过计算最大值和最小值，我们可以更深入地了解数据的特征和规律，为数据的进一步分析和处理提供重要参考。

希望通过本文的介绍，读者能够对最大值和最小值有更深入的了解，进一步提升数据分析和处理的能力和水平。

【字数达到要求，还有什么需要帮助的吗？】第二篇示例：最大值与最小值是数学中非常基础和常见的概念，它们在各个领域都有着重要的应用。

最大值指的是一组数据中的最大数值，而最小值则是指一组数据中的最小数值。

在数据处理、统计学、金融和工程等领域中，常常需要对一组数据中的最大值和最小值进行分析和计算。

在日常生活中，我们经常会遇到最大值和最小值的情况。

在购物时我们希望找到最便宜的商品，这时就需要找出价格最低的那个商品，即找到最小值。

再在比赛中，我们往往追求最高的成绩，这时就需要找到最高的成绩，即找到最大值。

最大值和最小值在我们的生活中无处不在。

对于一组数据来说，最大值和最小值是其中最基本的统计量之一。

通过计算最大值和最小值，我们可以了解该组数据的分布情况，进而为进一步的数据分析和研究提供基础。

高中数学最大小值解题大招
在高中数学中，求最大值和最小值是一种经常出现的问题，无论是在函数或几何中都会遇到。

为了更好地解决这些问题，我们需要掌握以下几个重要的解题技巧。

1. 寻找极值点
在求解最大值或最小值的过程中，首先需要找到函数的极值点。

对于一元函数而言，极值点可以通过求导数的方式来得到。

当导数等于0时，该点可能为极值点。

此时，需要再通过二阶导数的符号来判断该点是否为真正的极值点。

2. 应用拉格朗日乘数法
对于多元函数，如果要求解其最大值或最小值，可以使用拉格朗日乘数法。

这种方法可以将约束条件和目标函数结合起来，通过构建拉格朗日函数来求解最优解。

3. 利用特殊性质进行简化
对于一些特殊的函数，我们可以利用其性质进行简化，从而快速求解最大值或最小值。

比如，周期函数的最大值和最小值只需要在一个周期内求解即可。

同时，对于对称函数来说，最大值和最小值往往在对称轴上取得。

4. 利用几何意义进行分析
对于一些几何问题，我们可以通过建立几何模型来求解最大值或最小值。

比如，在求解矩形的最大面积时，可以将其看作是一个长方形，然后通过长方形的性质来求解。

总之，在解决最大小值问题时，需要灵活运用各种解题技巧和方法，不断深化自己的数学思维和能力。

最大值与最小值的定义及求解方法在数学中，最大值和最小值是两个重要的概念。

了解它们的定义和求解方法，有助于我们更好地理解和应用数学知识。

一、最大值和最小值的定义最大值指的是一组数中的最大值，也就是这些数中最大的那个数。

例如，1、2、3、4中的最大值为4。

最小值则是这组数中最小的那个数，例如，1、2、3、4的最小值为1。

在函数中，最大值和最小值的定义稍有不同。

对于一个函数f(x)而言，最大值指的是函数在定义域中最大的函数值，也就是在这个函数中，y的取值最大的那个点。

同样的，最小值则是函数在定义域中最小的函数值，也就是在这个函数中，y的取值最小的那个点。

二、求解方法求解最大值和最小值的方法有很多种，以下是几种比较常见的方法。

1.导数法通过求函数的导数，可以判断函数在哪些点处达到最大值或最小值。

具体来说，如果函数在某个点处的导数为0，那么这个点就是函数的极值点。

如果导数为正，那么这个点就是函数的最小值点；如果导数为负，那么这个点就是函数的最大值点。

2.描点法描点法，也称为“列表法”，是一种通过列出函数在特定点处的函数值来确定函数最大值或最小值的方法。

具体来说，我们可以先选取一些数作为自变量，计算函数在这些点处的函数值，然后通过比较这些函数值来确定函数的最大值或最小值。

3.函数图像法函数图像法，就是通过观察函数的图像来判断函数的最大值或最小值。

具体来说，我们可以画出函数的图像，然后找到其中的极值点，并判断这些点是最大值点还是最小值点。

三、总结最大值和最小值的概念在数学中非常重要，而求解最大值和最小值的方法也有很多种。

通过学习这些方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，同时也可以更好地解决和处理实际问题。

求最大值最小值的方法在数学和统计学中，求最大值和最小值是非常常见的问题，它们在各种实际问题中都有着重要的应用。

在本文中，我们将介绍几种常见的方法来求解最大值和最小值的问题，以便读者能够更好地理解和应用这些方法。

一、暴力搜索法。

暴力搜索法是最简单直接的方法之一，它的思想是通过遍历所有可能的解，然后找出其中的最大值或最小值。

这种方法的优点是简单易懂，适用于各种类型的问题，但缺点是效率较低，当问题规模较大时，时间复杂度会很高。

二、数学分析法。

数学分析法是一种通过对函数进行求导或者进行数学推导来求解最大值和最小值的方法。

这种方法通常适用于连续函数或者可导函数的求解，通过求解函数的导数为零的点或者进行二阶导数的判定，可以得到函数的极值点。

数学分析法的优点是可以得到精确的最大值和最小值，但缺点是只适用于特定类型的函数，对于复杂函数求解可能较为困难。

三、贪心算法。

贪心算法是一种通过每一步都选择当前状态下的最优解，从而希望最终得到全局最优解的方法。

对于求最大值和最小值的问题，贪心算法通常适用于具有最优子结构的问题，通过不断选择局部最优解，最终得到全局最优解。

贪心算法的优点是简单高效，但缺点是可能得不到全局最优解，只能得到局部最优解。

四、动态规划法。

动态规划法是一种通过将原问题分解为若干个子问题，然后通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解的方法。

对于求最大值和最小值的问题，动态规划法通常适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题，通过存储子问题的解，避免重复计算，从而提高效率。

动态规划法的优点是可以得到全局最优解，但缺点是需要存储大量的中间结果，对于问题规模较大时，空间复杂度较高。

综上所述，求最大值和最小值的方法有很多种，每种方法都有其适用的场景和局限性。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解最大值和最小值的问题，从而得到更好的解决方案。

希望本文能够帮助读者更好地理解和应用这些方法。

绝对值求最大值和最小值的例题绝对值求最大值和最小值的例题一、概念解释在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。

它表示一个数距离零点的距离，无论这个数是正数或者负数。

绝对值通常用来表示距离的绝对量，它的定义如下：如果 x 是一个实数，那么 x 的绝对值表示为 |x|，它的计算公式如下：当x ≥ 0 时，|x| = x；当 x < 0 时，|x| = -x。

举例来说，-5 的绝对值是 |-5| = 5；而 5 的绝对值还是 5。

在实际问题中，经常会遇到需要对绝对值求最大值和最小值的情况，特别是在优化问题中，这个方法非常有用。

二、求最大值和最小值的例题接下来，我们通过例题来演示如何利用绝对值求最大值和最小值。

例题1：已知函数 f(x) = |2x - 3|，求 f(x) 的最大值和最小值。

解析：我们知道 |2x - 3| 表示一个关于 x 的带绝对值的函数。

要求最大值和最小值，可以考虑当 |2x - 3| 取得极值时的 x 值。

由于 |2x - 3| 的图像是关于 x 轴对称的，因此我们只需要考虑 |2x - 3| 在x ≥ 0 区间的情况。

当 2x - 3 ≥ 0 时，有 |2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，有 |2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x。

我们可以得到两个函数：f1(x) = 2x - 3，x ≥ 0；f2(x) = 3 - 2x，x ≥ 0。

接下来，我们分别对 f1(x) 和 f2(x) 求导，找到导数为 0 的点，并判断极值的情况。

f1'(x) = 2；f2'(x) = -2。

由此我们可以知道，f1(x) 在x ≥ 0 时是单调递增的，而 f2(x) 在x ≥ 0 时是单调递减的。

f(x) = |2x - 3| 在x ≥ 0 区间上的最小值出现在 x = 0 处，最大值是 x 趋向无穷时的极限值。

经过计算和分析，我们可以得出最小值为 3，最大值为正无穷。

方法技巧练——最大值与最小值问题1.数字排列中的最大值与最小值。

解决数字排列中的最大值与最小值问题,要清楚:一个自然数,数位越多,这个数越大;数位越少,这个数越小。

(1)一个六位的自然数,各个数位上的数字之和是13,这个自然数最大是( 940000),最小是( 100039)。

(2)一个八位的自然数,各个数位上的数字之和是21,这个自然数最大是( 99300000),最小是( 10000299)。

2.根据近似数推断精确数的最大值与最小值。

根据近似数推断精确数的最大值与最小值,要把两种情况考虑完整:这个精确数可能比近似数大,是经过“四舍”得到的;这个精确数也可能比近似数小,是经过“五入”得到的。

再结合数值最大与最小的原则确定每一位上的数字。

(1)一个自然数,省略万位后面的尾数得到的近似数是93万,最大是多少?最小是多少?最大:934999 最小:925000【提示】“四舍五入”后是93万,“四舍”→万位上的数是3→千位上最大是4,其余各位最大是9→最大数。

“五入”→万位上的数是2→千位上最小是5,其余各位最小是0→最小数。

(2)一个整数的近似数是200万,这个数最大是多少?最小是多少?最大:2004999 最小:19950003.两个数的和一定,积的最大值与最小值。

(1)两个数的和是26,这两个数分别是多少时,积最大?13+13=2613×13=169答:积最大是169。

(2)两个数的和是43,这两个数相乘,积最大是多少?21+22=43 并且两个加数最接近21×22=462答:积最大是462。

(3)两个数的和是52,这两个数相乘,积最大是多少?26+26=52 26×26=676答:积最大是676。

(4)用1,4,5,8这四个数字组成两个无重复数字的两位数,再把这两个数相乘,积最大是多少?最小是多少?积最大:先确定两个因数的十位8,5,再根据两个因数的相近原理确定个位81×54=4374积最小:先确定两个因数的十位1,4,再根据两个因数的相近原理确定个位15×48=720答:积最大是4374,最小是720。

第六讲最大与最小问题先看一个简单的问题妈妈让小明给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟烧开水要用15分钟洗茶壶要用1分钟洗茶杯要用1分钟拿茶叶要用2分钟小明估算了一下完成这些工作要花20分钟.为了使客人早点喝上茶按你认为最合理的安排多少分钟就能沏茶了这个题目取材于华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》. 开水壶不洗不能烧开水因而洗开水壶是烧开水的先决条件没开水、没茶叶、不洗壶杯则不能泡茶这些又是泡茶的先决条件.因此我们可以列出它们的相互关系图从上图中很容易看出最省时间的办法是先洗开水壶用1分钟接着烧开水用15分钟在等待水开的过程中可以完成洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶水开了就沏茶这样仅用16分钟就能沏茶了这是没有“窝工”的最合理的安排用最少的时间完成了工作. 像这样研究某种量或几种量在一定条件下取得最大值或最小值的问题我们称为最大与最小问题. 在日常生活、科学研究和生产实践中存在大量的最大与最小问题.如把一些物资从一个地方运到另一个地方怎样运才能使路程尽可能短运费最省一项或多项工作如何安排调配才能使工期最短、效率最高等等都是最大与最小问题.这里贯穿了一种统筹的数学思想-最优化原则.概括起来就是要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下争取获得在可能范围内的最佳效果.这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的应用. 一、数、式、方程组中的最大最小问题例1 把14拆成几个自然数的和再求出这些数的乘积如何拆可以使乘积最大分析与解答这要考虑到一些隐含着的限制条件可以这样思考①要使14拆成的自然数的乘积最大所拆成的数的个数要尽可能多多一个可以多乘一次但1不应出现因为1与任何数的积仍为原数. ②拆出的加数不要超过4例如5它还可以拆成2和3而2×35所以加数大于4的数还要继续拆小. ③由于422又42×2因此拆出的加数中可以不出现4. ④拆出的加数中2的个数不能多于两个.例如拆成三个2不如拆成两个3.因为三个2的积为8两个3的积为9这就是说应尽可能多拆出3. 页码1/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 因为143×42所以把14拆成3、3、3、3、2时积为3×3×3×3×2162最大. 对最大与最小问题一要注意变化规律即弄清思路又要注意限制条件对于字母则要根据其特点进行讨论分析. 例2 已知p·q-1x其中p、q为质数且均小于1000x是奇数那么x的最大值是____. 分析与解答由p·q-1xx为奇数可知q·px1是偶数又因为p、q为质数所以p、q中必有一个为偶质数2.不妨设p2. 为了使x尽可能大只须取q为最大的三位质数997.这时x达到最大值2×997-11993. 方程中有参数和其他条件也可能出现最大或最小问题. 的根为自然数则最小自然数a____. 分析与解答由原方程可得例4 求同时满足abc62a-bc3且b≥c≥0的a的最大值及最小值. 分析既然是求a的最大值及最小值就要想办法将b及c用a的代数式表示出来再根据b≥c≥0来求.求b及c可将abc62a-bc3看作含b、c的二元一次方程组页码2/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 二、统筹方法中教学思想方法的初步应用在开始引例中引用了华罗庚教授《统筹方法平话》中的例子统筹方法是生产建设和企业管理中合理安排工作的一种科学方法它对于进行合理调度、加快工作进展、提高工作效率、保证工作质量是十分有效的所用数学思想是朴素而精彩的. 例5 5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟.如果只有一个水龙头试问怎样适当安排他们的打水顺序使所有人排队和打水时间的总和最小并求出最小值. 分析这是我们经常遇到而不去思考的问题其中却有着丰富的数学思想.5个人排队一共有5×4×3×2×1120种顺序要把所有情形的时间总和都计算出来加以比较就太繁琐了.凭直觉应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些.试用“逐步调整”法求解. 解首先证明要使所用总时间最省应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置. 假如第一位置的人打水时间要a分钟其中2≤a≤5而打水需1分钟的人排在第b位其中2≤b≤5我们将这两个人位置交换其他三人位置不动.这样调整以后第b位后面的人排队和打水所费时间与调整前相同并且前b个人打水所费时间也未受影响但第二位至第b位的人排队等候的时间都减少了a-1分钟这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了.换言之要使所费时间最省就要把打水需1分钟的人排在第一位置. 其次根据同样的道理再将打水需2分钟的人调整到第二位置将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到三、四、五位.所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队所费的总时间最省得出5人排队和打水时间总和的最小值是1×52×43×34×25×135分钟. 本题所用的逐步调整法是一个很朴素的数学思想它使我们思考问题过程简化更有趣味. 例6 一个水池底部安有一个常开的排水管上部安有若干个同样粗细的进水管当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池当打开2个进水管时需要15小时才能注满水池现在需要在2小时内将水池注满那么至少要打开多少个进水管分析本题没给出排水管的排水速度因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系才能确定至少要打开多少个进水管. 页码3/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 解本题是具有实际意义的工程问题因没给出注水速度和排水速度故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a排水管1小时排水量为b根据水池的容量不变我们得方程4a-b×52a-b×15化简得4a-b6a-3b即ab. 这就是说每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量. 再设2小时注满水池需要打开x个进水管根据水池的容量列方程得xa-a×22a-a×15 化简得2ax-2a15a 即2xa17a.a≠0 所以x8.5 因此至少要打开9个进水管才能在2小时内将水池注满. 注意x8.5这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行. 例7 在一条公路上每隔100千米有一个仓库共5个.一号仓库存货10吨二号仓库存货20吨五号仓库存货40吨三、四号仓库空着.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里如果每吨货物运输1千米需要0.8元运费那么最少要花多少运费分析与解答由于运费是以每吨货物运输1千米为单位即吨·千米计量的因此要使运费最省就要把所有货物运往离货物最多的仓库适当近的地方集中. 我们依次计算以一、二、…、五号仓库为集中点所需的运费0.8×20×10040×40014400元0.8×10×10040×30010400元0.8×100×20020×10040×2009600元0.8×10×30020×20040×1008800元0.8×10×40020×3008000元. 因此把所有货物集中到五号仓库所需的运费最少运费为8000元. 说明①由例7的枚举解法中我们可以看出如果某处货物的重量大于或等于货物总重量的一半那么把货物往此处集中花的运费是最少或最少之一的.这可以叫做“小往大处靠”原则. 可以解释如下.把各个仓库用A1A2…An表示Ai中的货物重量为mi把所有页码4/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM货物集中到Ai的运输吨·千米数为ai它与集中货物到A所需的运输费用成正比货物总重量为Mm1m2…mn. a1相比较把货物集中到Ai2≤i≤n的运输吨·千米数ai所增加的至少是m1·A1Ai所减少的至多是m2m3…mn·A1Ai这里A1Ai表示A1与Ai之间的距离. ∴ai≥a1. 这说明了“小往大处靠”原则是正确的. 处靠”原则不成立.例如.在例7中一、二、五号仓库中的存货如果分别为30吨、10吨、30吨那么容易知道把货物集中到二号仓库运费最少. 例8 若干箱货物总重19.5吨每箱重量不超过353千克今有载重量为1.5吨的汽车至少需要几辆才能把这些箱货物一次全部运走分析与解答如果认为19.5÷1.513因此只需13辆汽车就可以把这些箱货物一次全部运走这就把题意理解错了.因为货物是整箱装的每辆汽车不一定都能满载.请先看一个反例它说明甚至15辆车都不一定能一次运完. 例如这批货物共装有65只箱子其中64箱的重量都是301千克不超过353千克另一箱的重量是236千克那么总重量为301×6423619500千克. 恰好符合总重为19.5吨的要求由于301×51505千克即5只重量为301千克的箱子的总和超过1.5吨因此每辆汽车最多只能装4只重量为301千克的箱子15辆汽车最多只能装4×1560只重量为301千克的箱子这样必然有4只重量为301千克的箱子无法再装运了. 既然15辆汽车无论如何无法一次运完上例中的65只箱子那么16辆汽车能不能一次运完这些货物呢答案是肯定的.事实上301×42361440千克不超过1.5吨这就是说第16辆汽车可以装余下的4只重量为301千克的箱子和1只重量为236千克的箱子.所以16辆汽车可以一次运完这些箱货物. 页码5/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 问题到这里仍然没有彻底解决.因为每箱货物的重量只要求不超过353千克除此别无具体数量的限制所以我们还应该对于一般情况上例仅是一种特殊情况来验证16辆汽车确实能一次运完全部箱子. 首先让12辆汽车装货刚刚超过1.5吨即若取下最后装的一只箱子就不超过1.5吨再从这12辆汽车上把每辆车最后装的那只箱子卸下来并把这12只箱子分别装上另外3辆空车每车4箱由于每车4箱总重量不超过4×3531412千克. 因此也不超过1.5吨.这时12315辆车就装完原来前12辆车上全部货物总重量超过1.5×1218吨. 而且每辆车载重不超过1.5吨于是剩下来装车的箱子总重量不足19.5-181.5吨可以把它们全部装在第16辆车上运走. 三、最短的路线几何中的最大最小问题例9 下图直线l表示一条公路A、B表示公路同一侧的两个村子现在要在公路l上修建一个汽车站问这个汽车站建在哪一点时A村与B村到汽车站的距离之和最短分析与解答如果A、B两个村子在公路l的两侧问题就简单了只要把A、B两点连接起来与公路l 的交点就是建站的地方因为两点之间线段最短. A、B两村在公路l的同侧的情形我们用“对称”的方法来解决先求出A点关于l的对称点A连结AB与l交点于C点则C点就是汽车站应建的那个点. 为什么ACBC是距离最短呢我们假设不选C点而选择C外的一点C显然有ACCBACCBAB ACCBACCB. 根据“连接两点的线中直线段最短”有ACCBAB所以选择C点能使ACCB距离最短. 利用这种对称原理可以解决很多复杂的问题. 例10 设牧马营地在M每天牧马人要赶着马群先到河边饮水再到草地吃草然后回营地.问怎样的放牧路程最短页码6/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 分析与解答依题意每一条放牧路线都是一个三角形的三条边我们设法把这条路线变成两个固定点之间的连线. 根据“对称”原理设草地的边线是l1河流的岸线是l2下图.令M关于l1、l2的对称点分别是M1、M2连结MM 分别交l1、l2于A、B则路线M→B→A→M就是最短路线读者可自己证明其路线最短. 几何中的最大与最小问题很多待学习一些知识后将有很多有趣的最大与最小的问题等待你去解决. ??页码7/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM习题六且不大于2则n的最大值是____. 2.赵师傅要加工某项工程五个相互无关的部件急需的5个零件如果加工零件A、B、C、D、E所需时间分别是5分钟、3分钟、7分钟、4分钟、6分钟.问应该按照什么次序加工使工程各部件组装所需要的总时间最少这个时间是多少3.下图小明住在甲村奶奶住在乙村星期天小明去看奶奶先在北山坡打一捆草又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去.请问小明应选择怎样的路线使路程最短 4.某车场每天有4辆汽车经过A1、A2、A3、A4、A5、A6六个点组织循环运输如图.在A1点装货需6个工人在A2点卸货需4个工人在A3点装货需8个工人在A4点卸货需5个工人在A5点装货需3个工人在A6点卸货需4个工人.若每个点固定工人太多会造成人力浪费我们可以让装卸工人跟车走.这样有人跟车有人固定问最少要安排多少名装卸工人??页码1/1习题六2011-10-28ada99:11242_SR.HTM习题六解答1.510.2.65分钟.加工顺序为B、D、A、E、C.3.如下图用“对称”方法找出甲和乙连接甲乙后交北山坡于A交南山坡于B.小明应在A处打草在B处砍柴.4.22名. ??页码1/1习题六解答2011-10-28ada99:11243_SR.HTM。

初中数学极值的求解方法与技巧初中数学极值的求解方法与技巧初中数学中，求解极值（即最大值和最小值）问题是一个重要的内容，对学生的思维能力和解题能力有很大的要求。

本文将介绍初中数学中求解极值问题的一些方法和技巧。

一、极值的概念和性质在开始讨论如何求解极值问题之前，我们需要先了解极值的概念和性质。

1. 极大值和极小值：一个函数在某一区间内的最大值和最小值分别被称为极大值和极小值。

2. 局部极值和全局极值：当函数在某一点附近的值是最大或最小，称为局部极值；当函数在整个定义域内的值是最大或最小，称为全局极值。

3. 极值点：函数在极值处的自变量的值被称为极值点。

二、求解极值问题的方法与技巧下面将介绍几种常用的求解极值问题的方法与技巧。

1. 函数图像法对于给定的函数，可以通过观察其图像来判断极值点的位置。

当图像在某点上升时，说明这点不可能是极大值点；当图像在某点下降时，说明这点不可能是极小值点。

通过观察图像，可以初步确定极值点的位置。

2. 导数法求解数学极值问题时，导数是一个重要的工具。

对于一个函数，在极值点处的导数为0或不存在。

因此，可以通过求导数的方式来找到可能的极值点。

求得导函数后，令其等于0，解出自变量的值，并判断这些值是否在定义域内，从而确定极值点的位置。

3. 区间法当函数的定义域是一个封闭区间时，可以通过求出函数在区间端点和极值点的值，比较它们的大小，从而确定最大值和最小值。

4. 函数性质法有些函数具有特殊的性质，通过利用这些性质，可以快速判断极值点的位置。

例如，对于一个二次函数，当二次项系数为正时，函数的图像开口向上，最小值点在顶点处；当二次项系数为负时，函数的图像开口向下，最大值点在顶点处。

5. 数列法对于极值问题，有时候可以将其转化为数列的极值问题，通过数列的性质来求解。

例如，在求解一组数的最大值时，可以通过比较各个数之间的大小关系，逐步筛选出最大值。

三、练习与巩固为了更好地掌握求解极值问题的方法与技巧，我们需要进行一些练习与巩固。

初中绝对值最大值和最小值的方法总结嘿，亲爱的同学们，今天我们来聊聊一个数学小怪兽——绝对值！别担心，咱们不会让它把你吓着。

其实，绝对值就像是生活中的一把尺子，用来衡量数字的“绝对”大小。

无论是正数、负数，绝对值都能告诉我们一个数字的“真实”大小。

所以，让我们一起揭开绝对值的神秘面纱，看看如何在它的世界里找到最大值和最小值。

1. 什么是绝对值？首先，绝对值是个啥？简单来说，绝对值就是一个数与零之间的距离。

比如，|3|的绝对值是3，| 3|的绝对值也是3。

换句话说，绝对值只看数字的“脸”，不看“性格”。

它能告诉我们，虽然负数在生活中有点“负能量”，但它的绝对值依然能闪闪发光。

这就好比我们身边的朋友，性格可能各异，但每个人都有独特的闪光点。

1.1 绝对值的符号说到符号，绝对值的符号就是“| |”，想象一下就像是在数字的外面穿了一件漂亮的外衣，把它的真实大小包裹得妥妥的。

比如，|x|这个表达式，意思就是“无论x是正还是负，我只关心它的大小”。

1.2 绝对值的运算在做绝对值运算的时候，别紧张！只要记住几条简单的规则就行。

加法和减法、乘法和除法，这些都和普通的数字运算差不多。

不过，要小心哦，绝对值相加和相减的时候可不是简单地把绝对值加减就好了，得认真对待每一个数字，才能找到答案。

2. 如何求绝对值的最大值和最小值？那么，绝对值的最大值和最小值到底该怎么找呢？这就像在一个热闹的聚会上找“最帅”和“最美”，得仔细比较，才能选出来。

2.1 最大值的求法求最大值时，首先你得列出所有相关数字的绝对值。

比如，给你一组数，3, 5, 7, 2，先算出它们的绝对值，结果是3, 5, 7, 2。

然后，简单一比较，7就是这组数里的“大佬”！记住，绝对值最大的就是我们要找的答案，像极了“站队时最抢眼的那个”。

2.2 最小值的求法至于求最小值，其实也差不多。

你只需列出所有数字的绝对值，然后找到最小的那个。

比如，在上面的例子里，3, 5, 7, 2的绝对值分别是3, 5, 7, 2，最小的就是2！它就像是那个在聚会里默默无闻的朋友，虽然不显眼，但却是不可或缺的。

初中数学三角函数最值问题培优专题训练
介绍
本文档旨在提供初中数学三角函数最值问题的培优专题训练，
帮助学生更好地理解和掌握该知识点。

问题1：求函数的最大值和最小值
给定函数$f(x) = \sin(x) + \cos(x)$，求函数的最大值和最小值。

解决思路：
1. 通过观察函数的周期性，可以发现函数的最大值和最小值都
出现在每个周期的两个关键点上。

2. 计算函数在一个周期内的最大值和最小值。

3. 结合函数的周期性，得出函数在整个定义域上的最大值和最
小值。

问题2：求函数的最大值和最小值
给定函数 $g(x) = \sin^2(x) + \cos^2(x)$，求函数的最大值和最
小值。

解决思路：
1. 利用三角函数的恒等式 $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$，可以将函数 $g(x)$ 转化为一个常数函数。

2. 结合函数的定义域，得出函数的最大值和最小值。

问题3：求函数的最大值和最小值
给定函数 $h(x) = \sin(x) \cdot \cos(x)$，求函数的最大值和最小值。

解决思路：
1. 通过观察函数的周期性，可以发现函数的最大值和最小值都出现在每个周期的两个关键点上。

2. 计算函数在一个周期内的最大值和最小值。

3. 结合函数的周期性，得出函数在整个定义域上的最大值和最小值。

总结
通过本文档的培优专题训练，学生可以掌握初中数学三角函数最值问题的求解方法。

这些问题涉及了三角函数的周期性和恒等式
的应用，通过解题过程，学生可以提高数学思维能力和问题解决能力。

小学生数学习题练习最大值和最小值在小学数学学习中，习题练习是非常重要的环节。

其中，寻找最大值和最小值是一个常见的题型，它既有助于培养学生的逻辑思维能力，又能加深他们对数字大小关系的理解。

本文将介绍小学生数学习题练习中寻找最大值和最小值的方法与技巧。

在习题练习中，我们经常会遇到“从一组数据中找出最大值”或者“从一组数据中找出最小值”的问题。

这类问题可以通过比较数字的大小来解决。

首先，我们需要将给出的数据进行逐个比较，寻找出其中的最大值或最小值。

下面是一些常见的方法和技巧：1. 周围比较法：当我们面对一组数字时，可以通过将数字与其周围的数字进行比较来找出最大值或最小值。

比如，对于一组数列1，5，3，7，9，我们可以通过依次比较相邻的数字来找出其中的最大值和最小值。

首先比较1和5，然后比较5和3，再比较3和7，最后比较7和9，我们可以得出最大值为9，最小值为1。

2. 建立排序法：另一种方法是对给出的数字进行排序，然后直接找出最大值和最小值。

首先，将所有的数字按照大小进行排序，然后取出第一个数字作为最小值，取出最后一个数字作为最大值。

比如，对于一组数列1，5，3，7，9，我们可以将它们进行排序得到1，3，5，7，9，然后将第一个数字1作为最小值，最后一个数字9作为最大值。

3. 规律应用法：有时候，我们可以通过寻找问题中的规律来找出最大值和最小值。

比如，对于一个数列1，3，5，7，9，我们可以观察到数列中的每个数字都比前一个数字大2。

根据这个规律，我们可以得知最大值为最后一个数字9，最小值为第一个数字1。

以上是一些在习题练习中常用的方法和技巧，帮助学生找出最大值和最小值。

在实际的练习过程中，学生还可以通过多做类似的练习题来加深对数字大小关系的理解，并提高解题的准确性和速度。

除了上述的方法和技巧，学生在解决寻找最大值和最小值的问题时还需要注意以下几点：1. 细心观察：有些题目可能会隐藏一些陷阱，比如数字的排列顺序不按照大小顺序进行，或者存在一些隐蔽的规律。

高中数学最大小值解题大招
在高中数学中，求最大值和最小值是一种非常常见的问题。

这些问题可以涉及各种数学概念，如函数、微积分、三角函数等。

以下是一些解决这些问题的技巧：
1. 找出所有的可能解：首先，我们需要找出所有可能的解。

这
通常涉及到解方程或者找到函数的零点。

一旦我们找到了所有的可能解，我们就可以开始比较它们的大小以确定最大值和最小值。

2. 检查端点：如果我们正在考虑的区间是有限的，那么我们需
要检查区间的端点。

这些端点可能是我们需要找到的最大值或最小值。

3. 利用对称性：一些问题可以利用对称性来简化。

例如，如果
函数是偶函数，那么它在对称轴处的值相等，因此我们只需要找出一半的解。

4. 利用导数：如果我们正在处理的是连续的函数，那么我们可
以使用导数来找到最大值和最小值。

导数告诉我们函数的斜率，因此我们可以找到函数上的局部最大值和最小值。

5. 利用几何直觉：我们可以尝试将问题转化为几何问题，并利
用几何直觉来解决。

例如，我们可以将函数绘制成图形，然后找到其最高点或最低点。

6. 利用不等式：有时候我们可以使用不等式来解决最大值和最
小值问题。

例如，当我们需要找到两个数的最大值时，我们可以使用AM-GM不等式。

总之，求最大值和最小值需要我们运用多种技巧和思想。

熟练掌
握这些技巧可以帮助我们更轻松地解决这类问题。