人教版初中数学《第26章离散量的最大值和最小值问题》竞赛专题复习含答案

中考数学最值问题总结考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

（2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题）问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”几何基本模型：条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA PB+的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于点P，则PA PB A B'+=的值最小例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．（1）求证：△AMB≌△ENB；（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。

ABA'′Pl例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(b≥2a),且点F在AD上（以下问题的结果可用a,b表示）（1）求S△DBF;(2) 把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450得图2,求图2中的S△DBF;(3) 把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。

人教版数学九年级下册第26章测试题一．选择题1． y=（m2﹣m）是反比例函数，则（）A．m≠0 B．m≠0且m≠1 C．m=2 D．m=1或22．下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y=B．yx=﹣C．y=5x+6 D．=3．设函数y=（k≠0，x＞0）的图象如图所示，若z=，则z关于x的函数图象可能为（）A． B．C． D．4．如图，边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y 轴，反比例函数y=与y=﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和是（）A．2 B．4 C．6 D．85．反比例函数是y=的图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限6．已知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的最小整数值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．已知反比例函数y=﹣，下列结论不正确的是（）A．图象必经过点（﹣1，2）B．y随x的增大而增大C．图象在第二、四象限内D．若x＞1，则0＞y＞﹣28．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（）A．减小B．增大C．先减小后增大D．先增大后减小9．已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定10．如图，已知点P是双曲线y=（k≠0）上一点，过点P作PA⊥x轴于点A，且S△PAO=2，则该双曲线的解析式为（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=D．y=11．正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞212．某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y天，则y与x之间的函数表达式为（）A．y=100x B．y=C．y=+100 D．y=100﹣x二．填空题13．已知反比例函数y=的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式．14．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（2，1），BO=2，反比例函数y=的图象经过点B，则k的值为．15．如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．（1）b= （用含m的代数式表示）；（2）若S△OAF +S四边形EFBC=4，则m的值是．16．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是．三．解答题17. 画出的图象．18．证明：任意一个反比例函数图象y=关于y=±x轴对称．19．如图，已知等边△ABO在平面直角坐标系中，点A（4，0），函数y=（x＞0，k为常数）的图象经过AB的中点D，交OB于E．（1）求k的值；（2）若第一象限的双曲线y=与△BDE没有交点，请直接写出m的取值范围．20．平面直角坐标系中，点A在函数y1=（x＞0）的图象上，y1的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y2=，B在y2的图象上，设A的横坐标为a，B 的横坐标为b：（1）当AB∥x轴时，求△OAB的面积；（2）当△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且AB与x轴不平行时，求ab的值．21．如图，在平面直径坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象上有一点A （m，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度得到点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD=（1）点D的横坐标为（用含m的式子表示）；（2）求反比例函数的解析式．22．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的 1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？答案解析一．选择题1．函数y=（m2﹣m）是反比例函数，则（）A．m≠0 B．m≠0且m≠1 C．m=2 D．m=1或2【考点】反比例函数．【分析】依据反比例函数的定义求解即可．【解答】解：由题意知：m2﹣3m+1=﹣1，整理得m2﹣3m+2=0，解得m1=1，m2=2．当m=l 时，m2﹣m=0，不合题意，应舍去．∴m的值为2．故选C．【点评】本题主要考查的是反比例函数的定义，依据反比例函数的定义列出关于m的方程是解题的关键．需要注意系数k≠0．2．下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（）A．y=B．yx=﹣C．y=5x+6 D．=【考点】反比例函数．【分析】直接利用反比例函数的定义分析得出答案．【解答】解：A、y=，是y与x2成反比例函数关系，故此选项错误；B、yx=﹣，y是x的反比例函数，故此选项正确；C、y=5x+6是一次函数关系，故此选项错误；D、=，不符合反比例函数关系，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．3．设函数y=（k≠0，x＞0）的图象如图所示，若z=，则z关于x的函数图象可能为（）A．B．C．D．【考点】反比例函数的图象特点．【分析】根据反比例函数解析式以及z=，即可找出z关于x的函数解析式，再根据反比例函数图象在第一象限可得出k＞0，结合x的取值范围即可得出结论．【解答】解：∵y=（k≠0，x＞0），∴z===（k≠0，x＞0）．∵反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象在第一象限，∴k＞0，∴＞0．∴z关于x的函数图象为第一象限内，且不包括原点的正比例的函数图象．故选D．【点评】本题考查了反比例函数的图象以及正比例函数的图象，解题的关键是找出z关于x的函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分式的变换找出z关于x的函数关系式是关键．4．如图，边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y 轴，反比例函数y=与y=﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积之和是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】反比例函数图象特点．【分析】根据反比例函数的对称性可得阴影部分的面积等于长是8，宽是2的长方形的面积，据此即可求解．【解答】解：阴影部分的面积是4×2=8．故选D．【点评】本题考查了反比例函数的图象的对称性，理解阴影部分的面积等于长是8，宽是2的长方形的面积是关键．5．反比例函数是y=的图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限【考点】反比例函数的性质．【分析】直接根据反比例函数的性质进行解答即可．【解答】解：∵反比例函数是y=中，k=2＞0，∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限．故选B．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键．6．已知反比例函数y=，当1＜x＜3时，y的最小整数值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数系数k＞0，结合反比例函数的性质即可得知该反比例函数在x＞0中单调递减，再结合x的取值范围，可得出y的取值范围，取其内的最小整数，本题得解．【解答】解：在反比例函数y=中k=6＞0，∴该反比例函数在x＞0内，y随x的增大而减小，当x=3时，y==2；当x=1时，y==6．∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．∴y的最小整数值是3．故选A．【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出反比例函数y=在1＜x＜3中y的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的系数结合反比例函数的性质得出该反比例函数的单调性是关键．7．已知反比例函数y=﹣，下列结论不正确的是（）A．图象必经过点（﹣1，2）B．y随x的增大而增大C．图象在第二、四象限内D．若x＞1，则0＞y＞﹣2【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数的性质：当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行分析即可．【解答】解：A、图象必经过点（﹣1，2），说法正确，不合题意；B、k=﹣2＜0，每个象限内，y随x的增大而增大，说法错误，符合题意；C、k=﹣2＜0，图象在第二、四象限内，说法正确，不合题意；D、若x＞1，则﹣2＜y＜0，说法正确，不符合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质：（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x 的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x 的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．8．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，当m＞1时，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点A，B；过点Q分别作x轴、y轴的垂线，垂足为点C、D．QD交PA于点E，随着m的增大，四边形ACQE的面积（）A．减小B．增大C．先减小后增大D．先增大后减小【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】首先利用m和n表示出AC和AQ的长，则四边形ACQE的面积即可利用m、n表示，然后根据函数的性质判断．【解答】解：AC=m﹣1，CQ=n，则S=AC•CQ=（m﹣1）n=mn﹣n．四边形ACQE∵P（1，4）、Q（m，n）在函数y=（x＞0）的图象上，∴mn=k=4（常数）．=AC•CQ=4﹣n，∴S四边形ACQE∵当m＞1时，n随m的增大而减小，=4﹣n随m的增大而增大．∴S四边形ACQE故选B．【点评】本题考查了反比例函数的性质以及矩形的面积的计算，利用n表示出四边形ACQE的面积是关键．9．已知点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定【考点】反比例函数的性质．【分析】直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．【解答】解：∵点A（2，y1）、B（4，y2）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，∴每个象限内，y随x的增大而增大，∴y1＜y2，故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．10．如图，已知点P是双曲线y=（k≠0）上一点，过点P作PA⊥x轴于点A，且S△PAO=2，则该双曲线的解析式为（）A．y=﹣B．y=﹣C．y=D．y=【考点】确定反比例函数表达式；反比例函数系数k的几何意义．【分析】先判断出k的符号，再由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数的图象在二四象限，∴k＜0．=2，∵PA⊥x轴于点A，且S△PAO∴k=﹣4，∴反比例函数的解析式为y=﹣．故选A．【点评】本题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知反比例函数系数k的几何意义是解答此题的关键．11．正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【考点】反比例函数与一次函数的综合应用．【分析】由正、反比例函数的对称性结合点B的横坐标，即可得出点A的横坐标，再根据两函数图象的上下关系结合交点的横坐标，即可得出结论．【解答】解：∵正比例和反比例均关于原点O对称，且点B的横坐标为﹣2，∴点A的横坐标为2．观察函数图象，发现：当x＜﹣2或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．故选B．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数的性质以及正比例函数的性质，解题的关键是求出点A的横坐标．本题属于基础题，难度不大，根据正、反比例的对称性求出点A的横坐标，再根据两函数的上下位置关系结合交点坐标即可求出不等式的解集．12．某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y天，则y与x之间的函数表达式为（）A．y=100x B．y=C．y=+100 D．y=100﹣x【考点】反比例函数在实际问题中的应用．【分析】利用工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y 天，即xy=100，即可得出答案．【解答】解：根据题意可得：y=．故选：B．【点评】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数解析式，正确运用xy=100得出是解题关键．二．填空题13．已知反比例函数y=的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式y=﹣．【考点】反比例函数的性质．【专题】开放型．【分析】由反比例函数的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，结合反比例函数的性质即可得出k＜0，随便写出一个小于0的k值即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，∴k＜0．故答案为：y=﹣．【点评】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出k＜0．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质得出k的取值范围是关键．14．如图，在△AOB中，∠AOB=90°，点A的坐标为（2，1），BO=2，反比例函数y=的图象经过点B，则k的值为﹣8．【考点】反比例函数图象的特点．【专题】数形结合．【分析】根据∠AOB=90°，先过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，构造相似三角形，再利用相似三角形的对应边成比例，列出比例式进行计算，求得点B的坐标，进而得出k的值．【解答】解：过点A作AC⊥x轴，过点B作BD⊥x轴，垂足分别为C、D，则∠OCA=∠BDO=90°，∴∠DBO+∠BOD=90°，∵∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∴∠DBO=∠AOC，∴△DBO∽△COA，∴，∵点A的坐标为（2，1），∴AC=1，OC=2，∴AO==，∴，即BD=4，DO=2，∴B（﹣2，4），∵反比例函数y=的图象经过点B，∴k的值为﹣2×4=﹣8．故答案为：﹣8【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形，注意：反比例函数图象上的点（x ，y ）的横、纵坐标的积是定值k ，即xy=k ，这是解决问题的关键．15．如图，一次函数y=﹣x +b 与反比例函数y=（x ＞0）的图象交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于C ，D 两点，连结OA ，OB ，过A 作AE ⊥x 轴于点E ，交OB 于点F ，设点A 的横坐标为m ．（1）b= m + （用含m 的代数式表示）；（2）若S △OAF +S 四边形EFBC =4，则m 的值是 ．【考点】反比例函数与一次函数的综合应用．【分析】（1）根据待定系数法点A 的纵坐标相等列出等式即可解决问题．（2）作AM ⊥OD 于M ，BN ⊥OC 于N ．记△AOF 面积为S ，则△OEF 面积为2﹣S ，四边形EFBC 面积为4﹣S ，△OBC 和△OAD 面积都是6﹣2S ，△ADM 面积为4﹣2S=2（2﹣s ），所以S △ADM =2S △OEF ，推出EF=AM=NB ，得B （2m ，）代入直线解析式即可解决问题．【解答】解：（1）∵点A 在反比例函数y=（x ＞0）的图象上，且点A 的横坐标为m ，∴点A 的纵坐标为，即点A 的坐标为（m ，）．令一次函数y=﹣x +b 中x=m ，则y=﹣m +b ，∴﹣m +b=即b=m +．故答案为：m +．（2）作AM ⊥OD 于M ，BN ⊥OC 于N ．∵反比例函数y=，一次函数y=﹣x +b 都是关于直线y=x 对称，∴AD=BC ，OD=OC ，DM=AM=BN=CN ，记△AOF 面积为S ，则△OEF 面积为2﹣S ，四边形EFBC 面积为4﹣S ，△OBC 和△OAD 面积都是6﹣2S ，△ADM 面积为4﹣2S=2（2﹣s ），∴S △ADM =2S △OEF ，由对称性可知AD=BC ，OD=OC ，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM ≌△BON ， ∴AM=NB=DM=NC ，∴EF=AM=NB ，∴点B 坐标（2m ，）代入直线y=﹣x +m +， ∴=﹣2m=m +，整理得到m 2=2，∵m ＞0，∴m=． 故答案为．【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点、对称等知识，解题的关键是利用对称性得到很多相等的线段，学会设参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R （单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过10A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是R≥3.6．【考点】反比例函数在物理学中的应用．【分析】根据图象中的点的坐标先求反比例函数关系式，再由电流不能超过10A列不等式，求出结论，并结合图象．【解答】解：设反比例函数关系式为：I=，把（9，4）代入得：k=4×9=36，∴反比例函数关系式为：I=，当I≤10时，则≤10，R≥3.6，故答案为：R≥3.6．【点评】本题是反比例函数的应用，会利用待定系数法求反比例函数的关系式，并正确认识图象，运用数形结合的思想，与不等式或等式相结合，解决实际问题．三．解答题17．画出的图象．【考点】反比例函数图象的画法．【分析】从正数，负数中各选几个值作为x的值，进而得到y的值，描点，连线即可．【解答】解：列表得：x﹣4﹣2﹣11 24y0.512﹣2﹣1﹣0.5描点，连线得：【点评】本题主要考查反比例函数图象；注意自变量的取值为不为0的任意实数，反比例函数的图象为双曲线．18．证明：任意一个反比例函数图象y=关于y=±x轴对称．【考点】反比例函数图象的特点．【专题】证明题．【分析】利用反比例函数图象上任意一点关于y=±x轴对称点还在反比例函数y=图象上进行证明．【解答】证明：设P（a，b）为反比例函数图象y=上任意一点，则ab=k，点P关于直线y=x的对称点为（b，a），由于b•a=ab=k，所以点（b，a）在反比例函数y=的图象上，即反比例函数图象y=关于y=x轴对称；点P关于直线y=﹣x的对称点为（﹣b，﹣a），由于﹣b•（﹣a）=ab=k，所以点（﹣b，﹣a）在反比例函数y=的图象上，即反比例函数图象y=关于y=﹣x 轴对称，即任意一个反比例函数图象y=关于y=±x轴对称．【点评】本题考查了反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线y=﹣x；②一、三象限的角平分线y=x；对称中心是坐标原点．19．如图，已知等边△ABO在平面直角坐标系中，点A（4，0），函数y=（x＞0，k为常数）的图象经过AB的中点D，交OB于E．（1）求k的值；（2）若第一象限的双曲线y=与△BDE没有交点，请直接写出m的取值范围．【考点】反比例函数的性质．【分析】（1）过点B作BM⊥OA于点M，由等边三角形的性质结合点A的坐标找出点B的坐标，再利用中点坐标公式即可求出点D的坐标，最后利用待定系数法即可得出结论；（2）设过点B的反比例函数的解析式为y=，由点B的坐标利用待定系数法求出n的值，根据反比例函数的性质即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）过点B作BM⊥OA于点M，如图所示．∵点A（4，0），∴OA=4，又∵△ABO为等边三角形，∴OM=OA=2，BM=OA=6．∴点B的坐标为（2，6）．∵点D为线段AB的中点，∴点D的坐标为（，）=（3，3）．∵点D为函数y=（x＞0，k为常数）的图象上一点，∴有3=，解得：k=9．（2）设过点B的反比例函数的解析式为y=，∵点B的坐标为（2，6），∴有6=，解得：n=12．若要第一象限的双曲线y=与△BDE没有交点，只需m＜k或m＞n即可，∴m＜9或m＞12．答：若第一象限的双曲线y=与△BDE没有交点，m的取值范围为m＜9或m＞12．【点评】本题考查了反比例函数的性质、中点坐标公式、等边三角形的性质以及待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是：（1）求出点D的坐标；（2）求出过点B的反比例函数的系数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用等边三角形的性质结合中点坐标公式求出反比例函数图象上一点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的系数即可．20．平面直角坐标系中，点A在函数y1=（x＞0）的图象上，y1的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y2=，B在y2的图象上，设A的横坐标为a，B 的横坐标为b：（1）当AB∥x轴时，求△OAB的面积；（2）当△OAB是以AB为底边的等腰三角形，且AB与x轴不平行时，求ab的值．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】（1）AB交y轴于C，由于AB∥x轴，根据题意知道两个函数图象关于y轴对称，则点A、B关于y轴对称，由此求得可以得到a=﹣b，则易求点O到直线AB的距离，所以根据三角形的面积公式进行解答即可；（2）根据函数图象上点的坐标特征得A、B坐标分别为：（a，），（b，﹣），根据两点间的距离公式得到OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，则利用等腰三角形的两腰相等的性质易得a2+（）2=b2+（﹣）2，即（a2﹣b2）（1﹣）=0．由此可以求得ab的值．【解答】解：（1）如图1，设A（a，），B（b，﹣），当AB∥x轴时，=﹣，∴a=﹣b，∴S=×（a﹣b）×=×2a×=2；△OAB（2）如图2，设A（a，），B（b，﹣），∵△OAB是以AB为底边的等腰三角形，OA=OB，由OA2=a2+（）2，OB2=b2+（﹣）2，∴a2+（）2=b2+（﹣）2，整理得：（ a2﹣b2）（1﹣）=0．∵AB与x轴不平行，∴|a|≠|b|，∴1﹣=0，∴ab=±2．∵a＞0，b＜0，∴ab＜0．∴ab=﹣2．【点评】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、图形与坐标的性质，三角形的面积公式．注意：根据两个反比例函数的解析式可以得到这两个函数图象关于y轴对称，可以省去不少的计算过程．21．如图，在平面直径坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象上有一点A（m，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度得到点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD=（1）点D的横坐标为m+2（用含m的式子表示）；（2）求反比例函数的解析式．【考点】确定反比例函数表达式．【分析】（1）由点A（m，4），过点A作AB⊥x轴于点B，将点B向右平移2个单位长度得到点C，可求得点C的坐标，又由过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，CD=，即可表示出点D的横坐标；（2）由点D的坐标为：（m+2，），点A（m，4），即可得方程4m=（m+2），继而求得答案．【解答】解：（1）∵A（m，4），AB⊥x轴于点B，∴B的坐标为（m，0），∵将点B向右平移2个单位长度得到点C，∴点C的坐标为：（m+2，0），∵CD∥y轴，∴点D的横坐标为：m+2；故答案为：m+2；（2）∵CD∥y轴，CD=，∴点D的坐标为：（m+2，），∵A，D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴4m=（m+2），解得：m=1，∴点A的坐标为（1，4），∴k=4m=4，∴反比例函数的解析式为：y=．【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及平移的性质．注意准确表示出点D的坐标是关键．22．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的 1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？【考点】反比例函数在实际问题中的应用．【分析】（1）分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b；把A（0，10），B（3，4）代入得出方程组，解方程组即可；②当x＞3时，设y=，把（3，4）代入求出m的值即可；（2）令y==1，得出x=12＜15，即可得出结论．【解答】解：（1）分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y=kx+b；把A（0，10），B（3，4）代入得，解得：，∴y=﹣2x+10；②当x＞3时，设y=，把（3，4）代入得：m=3×4=12，∴y=；综上所述：当0≤x≤3时，y=﹣2x+10；当x＞3时，y=；（2）能；理由如下：令y==1，则x=12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．【点评】本题考查了扬州市的应用、反比例函数的应用；根据题意得出函数关系式是解决问题的关键．人教版数学九年级下册第27章测试题一、选择题1．已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（）A．=B．=C．=D．=2．已知，那么的值是（）A．3 B．4 C．5 D．63．下列两个图形一定相似的是（）A．两个矩形B．两个等腰三角形C．两个五边形D．两个正方形4．如果两个相似多边形面积的比是4：9，那么这两个相似多边形对应边的比是（）A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：45．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AE与CD相交于F，与△CEF相似的三角形有（）个．A．1 B．2 C．3 D．46．如图，D为△ABC边BC上一点，要使△ABD∽△CBA，应该具备下列条件中的（）A．=B．=C．=D．=7．如图，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=3cm，则BC的长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm8．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B．C． D．9．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（3，3），D（4，1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB，则端点B的坐标为（）A．（6，6）B．（6，8）C．（8，6）D．（8，2）10．关于对位似图形的表述，下列命题正确的有（）①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意一组对应点P，P′与位似中心O的距离满足OP=k•OP′．A．①②③④B．②③④C．②③D．②④11．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）A．B．C．D．二、填空题12．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函数在第四象限经过点B，若OA2﹣AB2=8，则k的值为．13．已知线段AB=1，C是线段AB的黄金分割点，且AC＜CB，则AC的长度为．14．）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=．15．一块矩形绸布的宽AB=a m，长AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是．16．如图，小亮在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点C时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，当他向前再步行12m到达点D时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小亮的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m．当小亮走到路灯B时，他在路灯A下的影长是m．三、解答题17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．（1）证明：△ACD∽△CBD；（2）已知AD=2，BD=4，求CD的长．18．如图，AD是△ABC的高，点E，F在边BC上，点H在边AB上，点G在边AC上，AD=80cm，BC=120cm．（1）若四边形EFGH是正方形，求正方形的面积．（2）若四边形EFGH是长方形，长方形的面积为y，设EF=x，则y= ．（含x 的代数式），当x=时，y最大，最大面积是．19．如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，点P是AB上一个动点．（1）当AP=3时，△DAP与△CBP相似吗？请说明理由．（2）求PD+PC的最小值．20．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F．（1）证明：BE2=AE•DE；（2）若=1，=；并说明理由．答案解析一、选择题1．已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（）A ．=B ．=C ．=D ．=【考点】比例的性质．【分析】熟练掌握比例的性质是解题的关键．【解答】解：A、两边同时乘以最简公分母ny得xy=mn，与原式相等；B、两边同时乘以最简公分母mx得xy=mn，与原式相等；C、两边同时乘以最简公分母mn得xn=my，与原式不相等；D、两边同时乘以最简公分母my得xy=mn，与原式相等；故选C．【点评】解答此题应把每一个选项乘以最简公分母后与原式相比较看是否相同．2．已知，那么的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】比例的性质．【分析】根据和比性质：=⇒=，可得答案．【解答】解：由=2，得==3．故选：A．【点评】本题考查了比例的性质，利用和比性质是解题关键．3．下列两个图形一定相似的是（）A．两个矩形B．两个等腰三角形。

八年级数学概率最值问题(人教版)(专题)(含答案)导言概率是数学中一个重要的分支，有着广泛的应用。

本文将介绍八年级中关于概率最值问题的内容，包括相关定义、公式和解题方法，并附上详细的解答。

概率最值问题概率最值问题是指在一定条件下概率取得最大或最小值的问题。

在解决这类问题时，需要掌握以下内容：1.前提条件在求解概率最值问题时，需要明确问题中给出的前提条件。

根据问题中给出的条件，我们可以求出相应的事件发生的概率，并进行比较。

2.概率公式在解决概率最值问题时，需要运用相关的概率公式。

例如，事件A发生的概率为P(A)，事件B发生的概率为P(B)，则它们的和事件的概率为P(A∪B)，交事件的概率为P(A∩B)。

此外，还需掌握条件概率和乘法公式等知识。

3.解题方法在解决概率最值问题时，需要采用合适的方法。

通常有两种方法：一种是枚举法，另一种是导数法。

枚举法难度较小，但对样本空间和各事件的概率要求较高，而导数法则需要对函数求导，适用范围较广。

解题案例接下来，我们来看几个典型的概率最值问题。

例1：某班有10名男生和20名女生，从中随机选出2名同学，求这两位同学均为男生的概率。

分析：本题可以使用条件概率公式来解决。

解答：设事件A为“第一位同学是男生”，事件B为“第二位同学是男生”，则所求概率为P(A∩B)。

根据条件概率公式可得：P(A∩B)=P(A)×P(B|A)，其中P(A)=10/30，P(B|A)=9/29。

因此，所求概率为：P(A∩B)=10/30×9/29=3/29例2：某学校有48名学生，其中30人会打篮球，18人会打足球，有12人两项运动均会，随机选出一名学生，求TA不会打篮球也不会打足球的概率。

分析：本题可以采用样本空间法来解决。

解答：设样本空间S={打篮球，不打篮球}×{打足球，不打足球}，即S={(A,B) | A∈{0,1},B∈{0,1}}，其中1表示会，0表示不会。

离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。

2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为。

3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。

4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为。

5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 。

6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。

7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。

8．图的补图为 。

9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：那么代数系统<A ，*>的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。

10．下图所示的偏序集中，是格的为 。

二、选择 20% （每小题 2分）1、下列是真命题的有（ ）A ． }}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ． }},{{ΦΦ∈Φ；D ． }}{{}{Φ∈Φ。

2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。

3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。

A ． 23 ；B ． 32 ；C ． 332⨯；D ． 223⨯。

4、设R ，S 是集合A 上的关系，则下列说法正确的是（ ）A ．若R ，S 是自反的， 则S R 是自反的；B ．若R ，S 是反自反的， 则S R 是反自反的；C ．若R ，S 是对称的， 则S R 是对称的；D ．若R ，S 是传递的， 则S R 是传递的。

5、设A={1，2，3，4}，P （A ）（A 的幂集）上规定二元系如下|}||(|)(,|,{t s A p t s t s R =∧∈><=则P （A ）/ R=（ ）A ．A ；B ．P(A) ；C ．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D ．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A 上包含关系“⊆”的哈斯图为（ ）7、下列函数是双射的为（ ）A ．f : I →E , f (x) = 2x ；B ．f : N →N ⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C ．f : R →I , f (x) = [x] ；D ．f :I →N, f (x) = | x | 。

人教版 九年级数学 竞赛专题：代数最值问题（含答案）【例1】当x 变化时，分式12156322++++x x x x 的最小值是 ．【例2】已知1≤y ，且12=+y x ，则223162y x x ++的最小值为（ ）A.719 B. 3 C. 727 D. 13 【例3】()21322+-=x x f ，在b x a ≤≤的范围内最小值2a ，最大值2b ，求实数对(a ，b ).【例4】（1）已知211-+-=x x y 的最大值为a ，最小值b ，求22b a +的值． （2）求使()168422+-++x x 取得最小值的实数x 的值．（3）求使2016414129492222+-+++-++y y y xy x x 取得最小值时x ，y 的值．【例5】如图，城市A 处位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半，问：该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低？【例6】（1）设r x ，1+r x ，…，k x （r k >），为k －r ＋1个互不相同的正整数，且x r ＋x r ＋1＋…＋x k ＝2019，求k 的最大可能值．（2）a ，b ，c 为正整数，且432c b a =+，求c 的最小值．（能力训练A 级1．已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a ＋2b ＋c ＝5和2a ＋b －3c ＝1，若m ＝3a ＋b －7c ，则m 的最小值为___________，最大值为 ．2．多项式p ＝2x 2－4xy ＋5y 2－12y ＋13的最小值为 ．3．已知x ，y ，z 为实数，且x ＋2y －z ＝6，x －y ＋2z ＝3，那么x 2＋y 2＋z 2的最小值为 ． 4．若实数a ，b ，c ，满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则代数式(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2的最大值为 ( ) 5．已知两点A (3，2)与B (1，－1)，点P 在y 轴上且使P A ＋PB 最短，则P 的坐标是（ ）A.(0，21-) B.(0，0) C.(0，611) D.(0，41-)6．正实数x ，y 满足1=xy ，那么44411y x +的最小值为（ ） A.21 B. 85 C. 1 D. 45E.27．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y (件)与销售单价x (元/件)可近似看作一次函数b kx y +=的关系（如图所示）.（1）根据图象，求一次函数b kx y +=的解析式；（2）设公司获得的毛利润（毛利润=销售总价-成本总价）为S 元． ①试用销售单价x 表示毛利润；②试问：销售单价定为多少时，该公司可获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销量是多少？8．方程()()06122=-+-+m x m x 有一根不大于1-，另一根不小于1，（1）求m 的取值范围；（2）求方程两根平方和的最大值与最小值．9．已知实数a ，b 满足122=++b ab a ，求22b ab a +-的最大值与最小值．10.已知a ，b ，c 是正整数，且二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个不同的交点A ，B ，若点A ，B 到原点的距离都小于1，求a ＋b ＋c 的最小值．11．某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示：该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-500141x 元．（1）如果将设备从开始投入使用到报废所需的养护与维修费及购买设备费用的总和均摊到每一天，叫作每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y （元）表示为使用天数x （天）的函数．（2）按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问：该设备投入使用多少天应当报废？B 级1．a ，b 是正数，并且抛物线b ax x y 22++=和a bx x y ++=22都与x 轴有公共点，则22b a +的最小值是 ．2．设x ，y ，z 都是实数，且满足x ＋y ＋z ＝1，xyz ＝2，则z y x ++的最小值为 ． 3．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．4．若a ，b ，c ，d 是乘积为1的四个正数，则代数式a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋ab ＋bc ＋ac ＋ad ＋bd ＋cd 的最小值为（ ）A. 0B. 4C. 8D. 105．已知x ，y ，z 为三个非负实数，且满足3x ＋2y ＋z ＝5，x ＋y －z ＝2. 若s ＝2x ＋y －z ，则s 的最大值与最小值的和为（ ）A. 5B.423 C. 427 D. 4356．如果抛物线()112----=k x k x y 与x 轴的交点为A ，B ，顶点为C ，那么△ABC 的面积的最小值为（ ）A.1B.2C.3D.47．某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每提高1元，则日销售量就减少5个；若将这种商品的售价（在每个18元的基础上）每降低1元，则日销量就增加10个，为获得每日最大利润，此商品售价应定为每个多少元？8．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p （万元）和q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系有经验公式：x q x p 53,51==.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得多大的利润？9．已知为x ，y ，z 为实数，且5=++z y x ，3=++zx yz xy ，试求z 的最大值与最小值．10．已知三个整数a ，b ，c 之和为13，且bca b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 值．11．设x 1，x 2，…，x n 是整数，并且满足： ① －1≤x i ≤2，i ＝1，2，…，n ② x 1＋x 2＋…＋x n ＝19 ③ x 12＋x 22＋…＋x n 2＝99求x 13＋x 23＋…＋x n 3的最大值和最小值．12．已知x 1，x 2，…，x 40都是正整数，且x 1＋x 2＋…＋x 40＝58，若x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值为A ，最小值为B ，求A ＋B 的值．参考答案例1. 4 提示：原式=112-62-+）（x . 例2. B 提示：由-1≤y ≤1有0≤x ≤1，则z =2x 2+16x +3y 2=14x 2+4x +3是开口向上，对称轴为71-=x 的抛物线.例3. 分三种情况讨论：①0≤a <b ，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递减，∴f (a )=2b ，f (b )=2a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b a a b 解得⎩⎨⎧==31b a ②a <b ≤0，则f (x )在a ≤x ≤b 上单调递增，∴f (a )=2a ，f (b )=2b ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=213222132222b b a a 此时满足条件的（a ，b ）不存在. ③a <0<b ，此时f (x )在x =0处取得最大值，即2b =f (0)=213,b =413,而f (x )在x =a 或x =b 处取最小值2a .∵a <0，则2a <0，又∵f (b )=f (413)=021341321-2>+⨯）（，∴f (a )=2a ，即2a =2132-2+a ，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=413172b a 综上，（a ，b ）=(1，3)或（17-2-，413） 例4. （1）121≤≤x ，y 2 = 21+216143-2+-）（x .当x =43时，y 2取得最大值1，a =1； 当21=x 或x =1时，y 2取得最小值21，b =22.故a 2+b 2=23.(2) 如图，AB =8，设AC =x ，则BC =8- x ，AD =2，CD =42+x ，BE =4，CE =16)-8(2+x BF =AD =2.10)24(816)8(4222222=++=+=≥+=+-++EF DF DE CE CD x x当且仅当D ，C ，E 三点共线时，原式取最小值.此时△EBC ∽△DAC ，有224===DA EB CA BC ,从而x =AC =3831=AB .故原式取最小值时，x =38. (3)如图， 原式=[]2222222)24()13()32()01(032--0y x y x -+-+-+-+-+）（）（=AB +BC +CD ≥AD ，其中A （-2,0），B （0，3x ）,C (1,2y ),D (3,4),并且当点B ，C 在线段AD 上时，原式取得最小值，此时5423=x ，5432=y .例5. 由S =ay m y n a 2)(22+--，得an -S +2ay =a 22n y -，两边平方，经整理得0)()(4322222=+-+-+m a S an y S an a y a .因为关于y 的一元二次方程有实数解，所以[][]0)(34)(422222≥+-⨯--m a S an a S an a ，可化为2223-m a an S ≥）（.∵S >an ，∴am an S 3-≥，即am an S 3+≥，故S 最小=am an 3+.例6（1）设x 1≥1，x 2≥2，x k ≥k ，于是1+2+…+k ≤x 1+x 2+…+x k = 2019，即120192k(k )+≤ k (k +1)≤4006，∵62×63=3906<4006<4032=63×64，∴k ≤62. 当x 1=1，x 2=2，…x 61=61，x 62=112时，原等式成立，故k 的最大可能值为62.（2） 若取⎩⎨⎧=+=-222ba cb ac ，则2)1(2+=b b c 由小到大考虑b ，使2)1(+b b 为完全平方数.当b =8时，c 2=36，则c =6，从而a =28.下表说明c 没有比6更小的正整数解.显然，表中c 4-x 3的值均不是完全平方数，故cA 级1．57- 111- 2．1 3．14 提示：y =5－x ,z =4－x ，原式=3(x －3)2+14． 4．A 提示：原式=27－(a +b +c )2． 5．D 6．C 7．(1)y =－x +1000(500≤x ≤800) (2)①S =(x －500)(－x +1000)=－x 2+1500x －500000(500≤x ≤800);②S －(x －750)2+62500,即销售单价定为750时，公司可获最大毛利润62500元，此时销量为250件． 8．（1）－4≤m ≤2 （2）设方程两根为x 1，x 2，则x 12+x 22=4(m －34)2+1034，由此得x 12+x 22最小值为1034，最大值为101． 9．设a 2－ab +b 2=k ，又a 2+ab +b 2=1②，由①②得ab =12(1－k )，于是有（a +b )2=12(3－k )≥0，∴k ≤3，从而a +b =．故a ，b 是方程t 2t +12k -=0的两实根，由Δ≥0，得133k ≤≤． 10．设A （x 1,0)，B （x 2，0)，其中 x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两根，则有x 1+x 2=b a -<0，x 1x 2=ca>0，得x 1<0，x 2<0，由Δ=b 2－4ac >0，得b >|OA |=|x 1|<1，|OB |=|x 2|<1，∴－1<x 1<0，－1<x 2<0，于是ca=x 1x 2<1，c <a ．由于a 是正整数，已知抛物线开口向上，且当x =－1时，对应的二次函数值大于0，即a －b +c >0，a +c >b ．又a ，b ，c 是正整数，有a +c ≥b+1，从而a +c ，则211,12>≥，于是a >4，即a ≥5，故b≥b ≥5．因此，取a =5，b =5，c =1，y =5x 2+5x +1满足条件，故a +b +c 的最小值为11． 11．（1）该设备投入使用x 天，每天平均损耗为y =11111[500000(0500)(1500)(2500)(500)]4444x x -+⨯++⨯++⨯++++=11(1)[500000500x ]42x x x -++⨯=500000749988x x ++． (2)y =500000749988x x ++7749999988≥=．当且仅当5000008xx =，即x =2000时，等号成立．故这台设备投入使用2000天后应当报废．B 级 1．20 提示：a 2－8b ≥0，4b 2－4a ≥0，从而a 4≥64b 2≥64a ，a ≥4，b 2≥4． 2．4 提示：构造方程． 3． 提示：设经过t 小时后，A ，B 船分别航行到A 1，B 1，设AA 1=x ，则BB 1=2x ，B 1A 1=4．D 提示：a 2+b 2≥2ab ，c 2+d 2≥2cd ，∴a 2+b 2+c 2+d 2≥2(ab +cd )≥．∴ab +cd ≥2，同理bc +ad ≥2，ac +bd ≥2． 5．A 提示：x =s －2≥0,y =5－43s ≥0，z =1－13s ≥0，解得2≤s ≤3，故s 的最大值与最小值的和为5． 6．A 提示：|AB ，C (2125,24k k k -++-），ABC S =k 2+2k +5=(k +1)2+4≥4． 7．设此商品每个售价为x 元，每日利润为S 元．当x ≥18时，有S =[60－5（x －18)](x －10)=－5(x －20)2+500，即当商品提价为20元时，每日利润为500元；当x ≤18时，S =[60+10（18－x )](x －10)=－10(x －17)2+490，即当商品降价为17元时，每日利润最大，最大利润为490元，综上，此商品售价应定为每个20元． 8．设对甲、乙两种商品的资金投入分别为x ，(3－x )万元，设获取利润为s ，则s 15x =s －15x 两边平方，经整理得x 2+(9－10s )x +25s 2－27=0，∵关于x 的一元二次方程有实数解，∴（9－10s )2－4×（25s 2－27)≥0，解得1891.05180s ≤=，进而得x =0.75（万元），3－x =2.25(万元）．即甲商品投入0.75万元，乙商品投入2.25万元，获得利润1.05万元为最大． 9．y =5－x －z ，代入xy ＋yx ＋zx =3，得x 2＋(z －5)x ＋(z 2－5z ＋3)=0．∵x 为实数，∴Δ=(z －5)2－4(z 2－5z ＋3)≥0，解得－1≤z ≤133,故z 的最大值为133，最小值为－1． 10．设b c x a b==，则b =ax ，c =ax 2，于是，a ＋b ＋c =13，化为a (x 2＋x ＋1)=13．∵a ≠0，∴x 2＋x ＋1－13a =0 ①．又a ，b ，c 为整数，则方程①的解必为有理数，即Δ=52a－3>0，得到1≤a ≤523，为有理数，故1≤a ≤16．当a =1时，方程①化为x 2＋x －12=0，解得x 1=－4，x 2=3． 故a min =1，b =－4，c =16 或a min =1，b =3，c =9．当a =16时，方程①化为x 2＋x ＋316=0．解得x 1=－34，x 2=－14．故a min =16，b =－12，c =9；或a min =16，b =－4，c =1． 11．设x 1，x 2，…，x n 中有r 个－1，s 个1，t 个2，则219499r s t r s t -++=⎧⎨++=⎩，得3t ＋s =59，0≤t ≤19．∴x 13＋x 23＋…＋x n 3=－r ＋s ＋8t =6t ＋19．∴19≤x 13＋x 23＋…＋x n 3≤6×19＋19=133．∴在t =0，s =59，r =40时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最小值19；在t =19，s =2，r =21时，x 13＋x 23＋…＋x n 3取得最大值133． 12．∵把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，∴x 12＋x 22＋…＋x 402的最大值和最小值存在．不妨设x 1≤x 2≤…≤x 40．若x 1>1，则x 1＋x 2=(x 1－1)＋(x 2＋1)，且(x 1－1)2＋(x 2＋1)2=x 12＋x 22＋2(x 2－x 1)＋2>x 12＋x 22．于是，当x 1>1时，可以把x 1逐步调整到1，此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．同理可以把x 2，x 3，…，x 39逐步调整到1，此时x 12＋x 22＋…＋x 402的值将增大．从而，当x 1，x 2，…，x 39均为1，x 40=19时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最大值，即A =22239111+++个＋192=400．若存在两个数x i ，x j ，使得x j －x i ≥2（1≤i ＜j ≤40），则（x i ＋1)2＋(x j －1)2=x i 2＋x j 2－2(x i －x j －1)<x i 2＋x j 2．这表明，在 x 1，x 2，…，x 40中，若有两个数的差大于1，则把较小的数加1，较大的数减1此时，x 12＋x 22＋…＋x 402的值将减小，因此，当x 12＋x 22＋…＋x 402 取得最小值时，x 1，x 2，…，x 40中任意两个数的差都不大于1． 故 当x 1=x 2=…=x 22=1，x 23=x 24=…=x 40=2时，x 12＋x 22＋…＋x 402取得最小值，即222111+++22个222222+++⋯+=94从而，A+B=494.。

初中数学竞赛专题选讲(初三.20)最大 最小值一、内容提要1. 求二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)，的最大、最小值常用两种方法：①配方法：原函数可化为y=a(x+ab 2)2+a b ac 442-.∵在实数范围内(x+ab 2)2≥0， ∴若a>0时，当x=－a b2 时， y 最小值=a b ac 442-；若a<0时，当x=－ab2 时， y 最大值=a b ac 442-.②判别式法：原函数可化为关于x 的二次方程ax 2+bx+c －y=0. ∵x 在全体实数取值时， ∴ △≥0即b 2－4a(c －y)≥0， 4ay ≥4ac －b 2.若a>0，y ≥a b ac 442-，这时取等号，则y 为最小值a b ac 442-；若a<0，y ≤a b ac 442-，这时取等号，则y 为最大值ab ac 442-.有时自变量x 定在某个区间内取值，求最大、最小值时，要用到临界点，一般用配方法方便.2. 用上述两种方法，可推出如下两个定理：定理一：两个正数的和为定值时，当两数相等时，其积最大. 最大值是定值平方的四分之一.例如：两正数x 和y ， 如果x+y=10, 那么xy 的积有最大值，最大值是25.定理二：两个正数的积为定值时，当两数相等时，其和最小. 最小值是定值的算术平方根的2倍.例如：两正数x 和y ，如果xy=16, 那么 x+y 有最小值，最小值是8. 证明定理一，可用配方法，也叫构造函数法.设a>0, b>0, a+b=k . (k 为定值).那么ab=a(k －a)=－a 2+ka=－(a －21k)2+42k .当a=2k时，ab 有最大值42k .证明定理二，用判别式法，也叫构造方程法. 设a>0, b>0, ab=k (k 为定值)，再设 y=a+b. 那么y=a+ak, a 2－ya+k=0.（这是关于a 的二次议程方程） ∵ a 为正实数，∴△≥0. 即(－y)2－4k ≥0， y 2－4k ≥0. ∴y ≤－2k (不合题意舍去)； y ≥2k . ∴ y 最小值=2k .解方程组⎩⎨⎧==+.2k ab k b a ， 得a=b=k .∴当a=b=k 时，a+b 有最小值 2 k .3. 在几何中，求最大、最小值还有下列定理：定理三：一条边和它的对角都有定值的三角形，其他两边的和有最大值. 当这两边相等时，其和的值最大.定理四：一条边和这边上的高都有定值的三角形，其他两边的和有最小值. 当这两边相等时，其和的值最小.定理五：周长相等的正多边形，边数较多的面积较大；任何正多边形的面积都小于同周长的圆面积.二、例题例1. 已知：3x 2+2y 2=6x, x 和y 都是实数，求：x 2+y 2 的最大、最小值.解：由已知y 2=2362xx -, ∵y 是实数， ∴y 2≥0.即2362x x -≥0， 6x －3x 2 ≥0， x 2－2x ≤0.解得 0≤x ≤2.这是在区间内求最大、最小值，一般用配方法，x 2+y 2=x 2+2362x x -=－21( x －3)2+29在区间0≤x ≤2中，当x=2 时，x 2+y 2有最大值 4. ∴当x=0时，x 2+y 2=0是最小值 .例2. 已知：一个矩形周长的数值与它面积的数值相等. 求：这个矩形周长、面积的最小值. 解：用构造方程法.设矩形的长，宽分别为 a, b 其周长、面积的数值为k. 那么2(a+b)=ab=k.即 ⎪⎩⎪⎨⎧==+.21k ab k b a ，∴a 和b 是方程 x 2－21kx+k=0 的两个实数根. ∵a, b 都是正实数，∴△≥0. 即(－2k )2－4k ≥0. 解得k ≥16；或k ≤0 . k ≤0不合题意舍去. ∴当k ≥16取等号时，a+b, ab 的值最小，最小值是16. 即这个矩形周长、面积的最小值是16.例3. 如图△ABC 的边BC=a, 高AD=h, 要剪下一个 矩形EFGH ，问EH 取多少长时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？解：用构造函数法设EH=x, S 矩形=y, 则GH=xy . ∵△AHG ∽△ABC ，∴hxh a x y-= . ∴ y=4)2()(2ahh x h a h x h ax +--=-. aCE∴当x=2h时，y 最大值 =4ah .即当EH=2h时，矩形面积的最大值是4ah .例4. 如图已知：直线m ∥n ，A ，B ，C 都是定点，AB=a, AC=b, 点P 在AC 上，BP 的延长线交直线m 于D.问：点P 在什么位置时，S △PAB +S △PCD 最小？ 解：设∠BAC=α，PA=x, 则PC=b －x.∵m ∥n ，∴PA PCAB CD ＝. ∴CD=x x b a )(-S △PAB +S △PCD =21axSin α+21x x b a )(-(b －x) Sin α=21aSin α()222x x bx b x +-+=21aSin α(2x+)22b x b -. ∵2x ×x b 2=2b 2(定值)， 根据定理二，2x +x b 2有最小值.∴ 当2x =x b 2， x=b 221时，S △PAB +S △PCD 的最小值是 (2－1)abSin α. 例5.已知：Rt △ABC 中, 内切圆O 的半径 r=1. 求：S △ABC 的最小值.解：∵S △ABC =21ab ∴ab ＝2S △.∵2r=a+b －c, ∴c=a+b －2r. ∴a+b －2r=22b a + .两边平方，得 a 2+b 2+4r 2+2ab －4(a+b)r= a 2+b 2. 4r 2+2ab －4(a+b)r=0. 用r=1, ab=2S △ 代入， 得 4+4S △－4(a+b) =0. a+b=S △+1. ∵ab=2S △ 且a+b=S △+1.∴a, b 是方程x 2－(S △+1)x+2S △=0 的两个根.nmDa∵a,b 是正实数， ∴△≥0，即 [－(S △+1)]2－4×2S △ ≥0， S △2－6S △+1≥0 .解得 S △≥3+22或S △≤3－22. S △≤3－22不合题意舍去. ∴S △ABC 的最小值是3+22.例6.已知：.如图△ABC 中，AB=26+，∠C=30 . 求：a+b 的最大值.解：设 a+b=y , 则b=y －a. 根据余弦定理，得 (26+)2=a 2+(y －a)2－2a(y －a)Cos30写成关于a 的二次方程： (2+3)a 2－(2+3)ya+y 2－(8+43)=0. ∵a 是实数， ∴△≥0.即(2+3)2y 2－4(2+3)[y 2－(8+43)]≥0， y 2－(8+43)2 ≤0 .∴ －(8+43)≤y ≤(8+43). ∴a+b 的最大值是8+43.又解：根据定理三 ∵AB 和∠C 都有定值. ∴当a=b 时，a+b 的值最大.由余弦定理，(26+)2=a 2＋b 2－2abCos30可求出 a=b=4+23. ……… 三、练习1. x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 满足. x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=. x 1x 2x 3x 4x 5，那么. x 5的最大值是＿＿＿＿＿＿.2. 若矩形周长是定值20cm,那么当长和宽分别为____，____时，其面积最大，最大面积是______.3. 面积为100cm 2的矩形周长的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿.4. a, b 均为正数且a+b=ab,那么 a+b 的最小值 是________.5. 若x>0, 则x+x9的最小值是________. 6.如图直线上有A 、B 、C 、D 四个点.那么到A ，B ，C ，D 距离之和为最小值的点，位于＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其和的最小值等于定线段＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿..7. 如右图△ABC 中，AB=2，AC=3，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ是 以AB ，BC ，CA 为边的正方形，则阴影部份的面积的和的最大值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 8. 下列四个数中最大的是 ( )（A ） tan48 +cot48 ..(B)sin48 +cos48 . (C) tan48 +cos48 . (D)cot48 +sin48 . 9.已知抛物线y=－x 2+2x+8与横轴交于B ，C 两点，点D 平分BC ，若在横轴上侧的点A 为抛物线上的动点，且∠BAC 为锐角，则AD 的取值范围是__________10. 如图△ABC 中，∠C=Rt ∠，CA=CB=1，点P 在ABPQ ⊥BC 于Q.问当P 在AB 上什么位置时，S △APQ 最大？ 11. △ABC 中，AB=AC=a ，以BC 为边向外作等边 三角形BDC ，问当∠BAC 取什么度数时AD 最长？12. 已知x 2+2y 2=1, x,y 都是实数，求2x+5y 2的最大值、最小值.13. △ABC 中∠B=60，AC=1，求BA+BC 的最大值及这时三角形的形状. 14. 直角三角形的面积有定值k,求它的内切圆半径的最大值.15. D ，E ，F 分别在△ABC 的边BC 、AC 、AB 上，若BD ∶DC=CE ∶EA=AF ∶FA =k ∶(1－k) (0<k<1). 问k 取何值时，S △DEF 的值最小？16.△ABC 中，BC=2，高AD=1，点P ，E ，F 分别在边BC ，AC ，AB 上，且四边形PEAF 是平行四边形.问点P 在BC 的什么位置时，S PEAF 的值最大？C DA B AB参考答案1. 5.2. 5，5 25.3. 40cm4. 45. 66.BC 上，BC+AD.7. 最大值是9，∵S △=21×3×2×SinBAC, ∠BAC=90度时值最大. 8. (A). 9. 3<AD ≤910. P 在AB 中点时，S △最大值=81， S △=222x x -⋅x 与2－x 的和有定值， 当x=2－x 时，S △值最大.11. 当∠BAC=120度时，AD 最大，在△ABD 中，设∠BAD=α由正弦定理a Sin ain 230)30180(S AD ==--α，当150 －α=90 时， AD 最大. 12. 当x=52时，有最大值1029；当x=－1时，有最小值－2 (仿例3).13. 当a=c 时，a+c 有最大值2，这时是等边三角形. 14. 内切圆半径的最大值r=(2－1)△S (仿例6).15. 当 k=21时，S △DEF =41S △ABC ，16.当PB=1时，S 有最大值21. 16. 当点P 是BC 中点时，面积最大值是12.。

二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a=-处取得最大值244ac b a-，无最小值． 【例1】当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．【例2】当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：【例3】当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．【例4】当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．解：函数21522y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：当1x =时，2min 1511322y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．综上所述：2213,023,0115,122t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1) 由已知得每件商品的销售利润为(30)x -元，那么m 件的销售利润为(30)y m x =-，又1623m x =-．2 (30)(1623)32524860,3054y x x x x x ∴=--=-+-≤≤(2) 由(1)知对称轴为42x =，位于x 的范围内，另抛物线开口向下 ∴当42x =时，2max 342252424860432y =-⨯+⨯-=∴当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元．练习A 组1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．3．求下列二次函数的最值：(1) 2245y x x =-+； (2) (1)(2)y x x =-+．4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．5．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．6．求函数3y =7．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？B 组1．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；(2) 当a 为实数时，求函数的最大值．2．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．答案解析A 组1．4 14或2，322．2216l m 3．(1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值94，无最小值． 4．当34x =时，min 318y =；当2x =-时，max 19y =．5．5y ≥- 6．当56x =时，min 36y =-23x =或1时，max 3y =． 7．当54t =-时，min 0y =． B 组1．(1) 当1x =时，min 1y =；当5x =-时，max 37y =．(2) 当0a ≥时，max 2710y a =+；当0a <时，max 2710y a =-．2．21m -≤≤-． 3．2,2a b ==-．4．14a=-或1a=-．5．当0t≤时，max22y t=-，此时1x=；当0t>时，max 22y t=+，此时1x=-．。

离散数学试题与答案试卷一一、填空 20% （每小题2分）1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。

2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。

3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝的真值= 。

4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为。

5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为。

6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。

7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。

8．图的补图为 。

9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：* a b c dA BCa b cda b c db c d ac d a bd a b c那么代数系统<A，*>的幺元是，有逆元的元素为，它们的逆元分别为。

10．下图所示的偏序集中，是格的为。

二、选择20% （每小题2分）1、下列是真命题的有（）A．}}{{}{aa⊆；B．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C．}},{{ΦΦ∈Φ；D．}}{{}{Φ∈Φ。

2、下列集合中相等的有（）A．{4，3}Φ⋃；B．{Φ，3，4}；C．{4，Φ，3，3}；D．{3，4}。

3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。

A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。

4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）A．若R，S 是自反的，则SR 是自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是反自反的；C．若R，S 是对称的，则SR 是对称的；D．若R，S 是传递的，则SR 是传递的。

5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下|}||(|)(,|,{tsApt st sR=∧∈><=则P（A）/ R=（）A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。

数学初中竞赛函数最值专题训练一．选择题1．当三个非负实数x、y、z满足关系式x+3y+2z＝3与3x+3y+z＝4时，M＝3x﹣2y+4z的最小值和最大值分别是（）A．B．C．D．2．正实数a，b，c，d满足a+b+c+d＝1，设p＝+++，则（）A．p＞5 B．p＝5C．p＜5 D．p与5的大小关系不确定3．已知y＝+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）A．2﹣1 B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣2 4．设x≥0，y≥0，2x+y＝6，则u＝4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最小值是（）A．B．18 C．20 D．不存在5．代数式的最小值是（）A．0 B．C．D．6．设x是实数，y＝|x﹣1|+|x+1|．下列四个结论：Ⅰ．y没有最小值；Ⅱ．只有一个x使y取到最小值；Ⅲ．有有限多个x（不止一个）使y取到最大值；Ⅳ．有无穷多个x使y取到最小值．其中正确的是（）A．ⅠB．ⅡC．ⅢD．Ⅳ7．方程|x﹣1|+|y﹣1|＝1确定的曲线所围成的图形面积为（）A．4 B．3 C．2 D．18．如果a，b，c是正实数且满足abc＝1，则代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值是（）A．64 B．8C．8 D．二．填空题9．代数式的最小值为．10．a，b是正数，并且抛物线y＝x2+ax+2b和y＝x2+2bx+a都与x轴有公共点，则a2+b2的最小值是．11．当|x|≤4时，函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最大值减去最小值的差是：．12．若a，c，d都是整数，b是正整数，且a+b＝c，b+c＝d，c+d＝a，则a+b+c+d的最大值是．13．函数f（x）＝λx2+（λ﹣3）x+1对于任意实数x都有f（x）≤f（λ），则函数f（x）的最大值是．14．代数式的最小值是．15．函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣10|，当x在实数范围内取值时，y的最小值是．16．a、b、c是非负实数，并且满足3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1．设m＝3a+b﹣7c，记x为m的最小值，y为m的最大值．则xy＝．三．解答题17．当﹣1≤x≤2时，函数y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2有最小值2．求a所有可能取的值．18．已知非负实数x，y，z满足，记W＝3x+4y+5z．求W的最大值与最小值．19．附加题：某城镇沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小．若甲小给乙小﹣3台，则乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最小，应做怎样安排？20．阅读材料：若a，b都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a＝b时，“＝”成立．证明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0．∴a+b≥．当且仅当a＝b时，“＝”成立．举例应用：已知x＞0，求函数y＝2x+的最小值．解：y＝2x+≥＝4．当且仅当2x＝，即x＝1时，“＝”成立．当x＝1时，函数取得最小值，y最小＝4．问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y升．（1）求y关于x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．21．设x1、x2、x3、x4、x5均为正整数，且x1+x2+x3+x4+x5≤x1x2x3x4x5．试求x5的最大值．22．某环形道路上顺时针排列着4所中学：A1，A2，A3，A4，它们顺次有彩电15台，8台，5台，12台．为使各校的彩电数相同，允许一些中学向相邻中学调出彩电．问怎样调配才能使调出的彩电台数最小？并求调出彩电的最小总台数．23．已知：实数x，y，z满足：x+y+z＝0，xy+yz+zx＝﹣3，求z的最大值．参考答案一．选择题1．解：由得：，代入M的表达式中得，M＝3x﹣2y+4z＝3x﹣（1﹣x）+4（2x﹣1）＝﹣，又因x、y、z均为非负实数，所以，即≤x≤1，当x＝时，M有最小值为﹣，当x＝1时，M有最大值为7．故选：B．2．解：∵a，b，c，d均为正数，且a+b+c+d＝1，∴必有0＜a，b，c，d＜1∵p＝+++，事实上我们在xOy坐标系中作出函数f（x）＝的图象，显然可以发现其图象一定在点（0，1）和（1，2）这两点连线的上方，而这两点连线的方程为y＝x+1，∴可以发现在（0，1）上恒有＞x+1，当然这样只是画图所得，未必准确，∴还要严格证明，证之如下：上式两边平方得：3x+1＞x2+2x+1，∴x2﹣x≤x（x﹣1）＜0，而此时x∈（0，1），可见上式显然成立．所以我们有：＞a+1，＞b+1，＞c+1，＞d+1，以上四式相加得p＝+++＞a+b+c+d+4＝5，即有P＞5．故选：A．3．解：∵y＝+，∴y2＝4+2＝4+2×，∵1≤x≤5，当x＝3时，y的最大值为2，当x＝1或5时，y的最小值为2，故当x＝1或5时，y取得最小值2，当x取1与5中间值3时，y取得最大值2，故y的最大值与最小值的差为2﹣2，故选：D．4．解：由已知得：y＝6﹣2x，代入u＝4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y，整理得：u＝2x2﹣6x+18，而x≥0，y＝6﹣2x≥0，则0≤x≤3，u＝2（x﹣）2+，当x＝0或x＝3时，u取得最大值，u max＝18，当x＝时，u取得最小值，u min＝．故选：A．5．解：由题意得：，解得x≥0，又∵、、都是随x的增大而增大，∴当x＝0时，代数式取得最小值，此时式（）min＝+＝1+．故选：B．6．解：从数轴上可知，区间[﹣1，1]上的任一点x到点1与点﹣1的距离之和均为2；区间[﹣1，1]之外的点x到点1与点﹣1的距离之和均大于2．所以函数y＝|x﹣1|+|x+1|当﹣1≤x≤1时，取得最小值2．Ⅰ、y在区间[﹣1，1]上取得最小值2；故本选项错误；Ⅱ、y在区间[﹣1，1]上的任一点x到点1与点﹣1的距离之和均为2；故本选项错误；Ⅲ、y在区间[﹣1，1]之外的点x到点1与点﹣1的距离之和均大于2，且无限大，所以y在区间[﹣1，1]之外的点没有最大值；故本选项错误；Ⅳ、y在区间[﹣1，1]上的任一点x到点1与点﹣1的距离之和均为最小值2，所以有无穷多个x使y取到最小值．故本选项正确；故选：D．7．解：先考虑简单的情况：当|x|+|y|＝1时：当x＞0，y＞0时，x+y＝1，当x＞0，y＜0时，x﹣y＝1，当x＜0，y＞0时，y﹣x＝1，当x＜0，y＜0时，x+y＝﹣1，∴四条直线与坐标轴的交点分别为（0，1），（1，0），（﹣1，0），（0，﹣1），∴正方形边长为：＝，∴正方形面积为：×＝2．∵|x﹣1|+|y﹣1|＝1的在坐标系内的图象只不过是将|x|+|y|＝1的图象向右又向上移动了一个单位，图象的形状并未改变，∴其面积依然为2．故选：C．8．解：要使（a+1）（b+1）（c+1）取得最小值，则三个因式都应取得最小值，∵m+n≥2，当且仅当m＝n时取得最小值，故可得①当a＝1时，a+1取得最小值2；②当b＝1时，b+1取得最小值2；③当c＝1时，c+1取得最小值2；又∵a＝1，b＝1，c＝1可能满足条件abc＝1，∴代数式（a+1）（b+1）（c+1）的最小值＝2×2×2＝8．故选：C．二．填空题（共8小题）9．解：求代数式，即+的最小值，实际上就是求x轴上一点到（0，﹣2）以及（12，3）两点的和的最小值，而两点间的距离是线段最短，所以，点到（0，﹣2）到点（12，3）的距离即为所求，即＝13．故答案为：13．10．解：由题设知a2﹣8b≥0，4b2﹣4a≥0．则a4≥64b2≥64a，∵a，b是正数，∴a3≥64，∴a≥4，b2≥a≥4．∴a2+b2≥20．又∵当a＝4，b＝2时，抛物线y＝x2+ax+2b和y＝x2+2bx+a都与x 轴有公共点，∴a2+b2的最小值是20．故答案为：20．11．解：∵|x|≤4，∴，∴当x＝﹣4时，y取最大值18，当x＝2时，y取最小值2．则最大值与最小值的差是18﹣2＝16．故答案为：16．12．解：∵a+b＝c，①b+c＝d，②c+d＝a，③由①+③，得（a+b）+（c+d）＝a+c，∴b+d＝0，④b+c＝d；⑤由④+⑤，得∴2b+c＝b+d＝0，∴c＝﹣2b；⑥由①⑥，得∴a＝c﹣b＝﹣3b，⑦由④⑥⑦，得∴a+b+c+d＝（a+c）+（b+d）＝a+c＝﹣5b；∵b是正整数，∴b≥1，∴a+b+c+d≤﹣5，∴a+b+c+d的最大值是﹣5．故答案为：﹣5．13．解：由题意得，f（x）有最大值，则可得λ＜0，又∵f（x）＝λ（x+）2+1﹣，∴f（x）的最大值为1﹣，又∵f（x）≤f（λ），∴f（λ）＝λ3+（λ﹣3）λ+1＝1﹣，解得：λ＝1（舍去）或λ＝﹣，将λ＝﹣，代入可得f（x）的最大值为．故答案为：．14．解：若代数式有意义，则，解得：x≥2，∵，，是增函数，∴当x＝2时，代数式的值最小，即＝2+1+0＝3．故答案为3．15．解：设y1＝|x﹣1|+|x﹣10|，则y1可以看作数轴上点x到点1与10的距离和，即可得当x＝＝5.5时，y1取最小值，同理：设y2＝|x﹣2|+|x﹣9|，y3＝|x﹣3|+|x﹣8|，y4＝|x﹣4|+|x﹣7|，y5＝|x﹣5|+|x﹣6|，∴当x＝5.5时，y2，y3，y4，y5取最小值，∴当x＝5.5时，函数y＝|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣10|取最小值，最小值为：y＝|5.5﹣1|+|5.5﹣2|+…+|5.5﹣10|＝4.5+3.5+2.5+1.5+…+0.5+0.5+1.5+2.5+3.5+4.5＝25．故答案为：25．16．解：由3a+2b+c＝5，2a+b﹣3c＝1得⇒，∴可得a＝7c﹣3，b＝7﹣11c，由a、b、c是非负数得：⇒≤c≤，又m＝3a+b﹣7c＝3c﹣2，故﹣≤m≤﹣，于是可得x＝﹣，y＝﹣，故xy＝﹣×（﹣）＝．三．解答题（共7小题）17．解：y＝2x2﹣4ax+a2+2a+2图象的对称轴为：x＝a，①当﹣1≤a≤2时，函数在x＝a处取得最小值2，故﹣a2+2a+2＝2，即a2﹣2a＝0，解得：a＝0或2，②当a＜﹣1时，函数在x＝﹣1处取得最小值2，代入函数式得2+4a+a2+2a+2＝2，即：a2﹣6a+2＝0，解得：a＝﹣3±，取a＝﹣3﹣，③当a＞2时，函数在x＝2处取得最小值2，代入函数式得：8﹣8a+a2+2a+2＝2，即a2﹣6a+8＝0，解得：a＝2或4，取a＝4．故a所有可能的值为：﹣3﹣，0，2，4．18．解：设＝k，则x＝2k+1，y＝﹣3k+2，z＝4k+3，∵x，y，z均为非负实数，∴，解得﹣≤k≤，于是W＝3x+4y+5z＝3（2k+1）﹣4（3k﹣2）+5（4k+3）＝14k+26，∴﹣×14+26≤14k+26≤×14+26，即19≤W≤．∴W的最大值是35，最小值是19．19．解：如图，用A、B、C、D、E分别表示这五所小学的位置，并设A向B调x1台电脑，B向C调x2台电脑，…，E向A调x5台电脑，依题意有：7+x1﹣x2＝11+x2﹣x3＝3+x3﹣x4＝14+x4﹣x5＝15+x5﹣x1＝50÷5＝10，所以，x2＝x1﹣3，x3＝x1﹣2，x4＝x1﹣9，x5＝x1﹣5，设调动的电脑的总台数为y，则y＝|x1|+|x1﹣3|+|x1﹣2|+|x1﹣9|+|x1﹣5|，这样，这个实际问题就转化为求y的最小值问题，并由上面所得结论知：当x1＝＝3时，y的最小值为|3|+|3﹣3|+|3﹣2|+|3﹣9|+|3﹣5|＝12，即调动的总台数为12．因为x1＝3时，x2＝0，x3＝1，x4＝﹣6，x5＝﹣2，故一小就向二小调3台电脑，二小不调出，三小向四小调一台电脑，五小向四小调6台电脑，一小向五小调2台电脑．20．解：（1）∵汽车在每小时70～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．∴y＝x×（+）＝（70≤x≤110）；（2）根据材料得：当时有最小值，解得：x＝90∴该汽车的经济时速为90千米/小时；当x＝90时百公里耗油量为100×（+）≈11.1升．21．解：由于x1、x2、x3、x4、x5在式中对称，故不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5，并令S＝x1+x2+x3+x4+x5≤x1x2x3x4x5．则S≤5x5，即t＝x1x2x3x4≤5；那么t为1或2或3或4或5，而a，b，c，d则为t的约数．①当t＝5时，由于t＝1×5，故令x1＝x2＝x3＝1，x4＝5，代入S 可得x5＝2，与x4≤x5相矛盾，故x5＝2不合题意；②同理，当t＝1或4时均不合题意．当t＝3时，x5＝3，符合题意；③当t＝2时，由于t＝1×2，令x1＝x2＝x3＝1，x4＝2，代入S可得x5＝5，符合题意；综上所述，故x5的最大值为5．22．解：设A1中学调给A2彩电x1台（若x1＜0，则认为是A2，向A1调出|x1|台），A2中学调给A3彩电x2台，A3调给A4x3台，A4调给A1x4台．∵共有40台彩电，平均每校10台，∴15﹣x1+x4＝10，8﹣x2+x1＝10，5﹣x3+x2＝10，12﹣x4+x3＝10，∴x4＝x1﹣5，x1＝x2+2，x2＝x3+5，x3＝x4﹣2，x3＝（x1﹣5）﹣2＝x1﹣7，x2＝（x1﹣7）+5＝x1﹣2．本题即求y＝|x1|+|x2|+|x3|+|x4|＝|x1|+|x1﹣2|+|x1﹣7|+|x1﹣5|的最小值，其中x1是满足﹣8≤x1≤15的整数．设x1＝x，并考虑定义在﹣8≤x≤15上的函数：y＝|x|+|x﹣2|+|x ﹣7|+|x﹣5|，当2≤x≤5时，y取最小值10，即当x1＝2，3，4，5时，|x1|+|x1﹣2|+|x1﹣7|+|x1﹣5|取到最小值10．从而调出彩电的最小台数为10，调配方案有如下4种：23．解：∵x+y+z＝0，∴x+y＝﹣z，①∵xy+yz+zx＝﹣3，∴xy＝﹣3﹣（yz+zx）＝﹣3﹣z（x+y）＝﹣3﹣z（﹣z），即xy＝﹣3+z2，②由①②及韦达定理知：xy是一元二次方程w2+zw+（﹣3+z2）＝0的两实根，则判别式△＝z2﹣4（﹣3+z2）≥0，化简得：z2≤4，∴﹣2≤z≤2，∴z的最大值是2．。

2020 年中考数学系列复习之最大值最小值专项训练题（附答案详解）1．已知二次函数y ax2 bx c同时满足下列条件：对称轴是x 1；最值是15；二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15 a，则b 的值是（）A．4或30 B．30 C．4 D．6或20 2．如图， AB 为⊙O的直径，AB 4，点 C为半圆 AB 上动点，以 BC为边在⊙O 外作正方形 BCDE ，（点 D在直线 AB 的上方）连接 OD，当点 C运动时，则线段 OD 的长（）A ．随点 C 的运动而变化，最大值为2 2 2B ．不变C．随点 C 的运动而变化，最小值为2 2 D．随点 C 的运动而变化，但无最值3．如图， AB 是⊙O的直径， C为圆上一点，且∠AOC＝120°，⊙O的半径为2，P为ACB DCE 90o，连接BE ，AD ，两条线段所在的直线交于点（1）线段BE与AD 有何数量关系和位置关系，请说明理由.（ 2）若已知BC 12，DC 5，DEC绕点C顺时针旋转，① 如图 2 ，当点D 恰好落在BC 的延长线上时，求AP 的长；②在旋转一周的过程中，设PAB的面积为S，求S的最值 .125．如图，抛物线y x2 x 4 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A 和点B．若2N 点是 AC 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 N 作 MN 平行于y 轴，交AC 于点 M ．（1）求直线 AC 的解析式；（ 2）当点 N 运动至抛物线的顶点时，求此时 MN 的长；（ 3）设点 N 的横坐标为 t， MN 的长度为 l；① 求 l 与 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围；② l 是否存在最值，有如有写出最值；（4）点 D 是点 B 关于y 轴的对称点．抛物线上是否有点 N，使△ODM 是等腰三角形？若存在，请求出此时△CAN 的面积；若不存在，请说明理由．6．阅读下面文字 :求代数式x2 4x 7 的最值，我们可以这样做：2 222x24x 7 x24x 4 3 x 2 3,因为x 2 ≥0，所以当 x=2 时，该代数式有最小值，最小值为 3.仿照以上方法，求（ 1）a2 8a 3 的最值 .（ 2）y2 2y 2的最值 .127．用配方法求二次函数y x23x 2 的最值 .28．已知二次函数y x2 bx c的图像经过点（4,3）和点（2, 1），求该函数的表达式，并求出当0剟x 3时，y的最值 .9．设函数y kx -3 x 1 （其中 k 为常数）（ 1）当 k=-2 时，函数 y 存在最值吗？若存在，请求出这个最值；（ 2）在 x> 0 时，要使函数 y 的的值随 x 的增大而减小，求 k 应满足的条件；（ 3）若函数 y 的图象与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于点 C，求能使△ ABC 为等腰三角形的 k 的值 .（分母保留根号，不必化简）10．已知抛物线y=ax2 bx c （a ≠0）与x轴交于 A?B两点,与y轴交于 C点,其对称轴为x=1,且 A（-1,0）?C（0,2）.（ 1）直接写出该抛物线的解析式 ;（ 2）P是对称轴上一点 ,△PAC 的周长存在最大值还是最小值 ?请求出取得最值（最大值或最小值）时点 P 的坐标 ;（ 3）设对称轴与x 轴交于点 H,点 D 为线段 CH 上的一动点（不与点 C?H 重合） .点 P 是（2）中所求的点 .过点 D作DE∥PC交x轴于点 E.连接 PD?PE.若CD的长为m ,△PDE 的面积为 S,求 S与m之间的函数关系式 ,试说明 S是否存在最值 ,若存在 ,请求出最值 ,并（1）如图 1：四边形 ABCD 是矩形，试在 AD 边上找一点 P，使△ BCP 为等腰三角形；（2）如图 2：矩形 ABCD 中， AB=13 ，AD=12 ，点 E在 AB 边上， BE=3,点P 是矩形 ABCD 内或边上一点，且 PE=5，点 Q 是 CD 边上一点，求 PQ 得最值；问题解决：（3）如图 3，四边形 ABCD 中,AD∥BC，∠C=90°，AD=3，BC=6，DC=4,点E在AB 边上， BE=2 ，点 P 是四边形 ABCD 内或边上一点，且 PE=2，求四边形PADC 面积的最值．12．已知：在四边形 ABCD 中， AD∥BC ， AB CD 5， AD 6，BC12． （ 1 ）求四边形 ABCD 的面积．（ 2 ）点 P 是线段 AD 上的动点，连接 BP 、 CP ，求 VBCP 周长的最小值及此时 AP 的长．（ 3）点 P 是线段 AD 上的动点， N 、M 为边 BC 上的点， BM CN 5，连接 AN 、 DM ，分别交 BP 、CP 于点 E 、F ，记VADG 和△BPC 重叠部分的面积为 S ，求 S 的最值．13．如图，直线 y ＝2x ﹣8分别交 x 轴、y 轴于点 A 、点 B ，抛物线 y ＝ ax 2+bx （a ≠0）（ 2）点 P 是第四象限内抛物线上的点， 连结 OP 、AP 、BP ，设点 P 的横坐标为 t ，△ OAP 的面积为 s 1，△ OBP 的面积为 s 2，记 s ＝ s 1+s 2，试求 s 的最值．14 ．如图，长方形 OABC 的 OA 边在 x 轴的正半轴上， OC 在 y 轴的正半轴上，抛物线2y=ax 2+bx 经过点 B （1， 4）和点 E （ 3， 0）两点．AB 上．1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 在线段 OC 上，且 BD ⊥DE ，BD=DE ，求 D 点的坐标；（ 3）在条件（ 2）下，在抛物线的对称轴上找一点 M ，使得 △BDM 的周长为最小，并求 △ BDM 周长的最小值及此时点 M 的坐标；（ 4）在条件（2）下，从 B 点到 E 点这段抛物线的图象上， 是否存在一个点 P ，使得 △PAD 的面积最大？若存在，请求出 △ PAD 面积的最大值及此时 P 点的坐标；若不存在，请15．如图，抛物线 y= ﹣ x 2+bx+c 与 x 轴相交于 A 、 B 两点，与 y 轴相交于点 C ，且点 B 点 P 为线段 MB 上一个动点， 过点 P 作PD ⊥x 轴于点 D ．若OD=m ，△PCD 的C （0， 3），点 M 是抛物线的顶点．积为S ，试判断 S 有最大值或最小值？并说明理由； 2）在 MB 上是否存在点 P，使△ PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出3）点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．16．问题提出（1）如图①，在△ABC 中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC 的外接圆半径 R 的值为问题探究（2）如图②，⊙O的半径为 13，弦 AB＝24，M是AB 的中点， P是⊙O 上一动点，求PM 的最大值．问题解决（3）如图③所示，AB 、AC 、BC 是某新区的三条规划路其中， AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝ 60°，BC 所对的圆心角为 60°．新区管委会想在 BC 路边建物资总站点 P ，在 AB 、AC 路边分别建物资分站点 E 、F ．也就是，分别在 B ?C 、线段 AB 和 AC 上选取点 P 、E 、F ．由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按 P →E →F → P 的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE 、EF 和 FP ．为了快捷环保和节约成本要使得线段 PE 、 PE ＋EF ＋ FP 的最小值 （各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计 ）．17．如图 1，抛物线 y ＝ax 2+（a+2）x+2（a ≠0）与 x 轴交于点 A （4，0）和点C ，与 y 轴交于点 B ．1）求抛物线解析式和点 B 坐标；2）在 x 轴上有一动点 P （ m ，0）过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N ，交抛物线 与点 M ，当点 M 位于第一象限图象上，连接 AM ，BM ，求△ ABM 面积的最大值及此时M 点的坐标；（ 3）如图 2，点 B 关于 x 轴的对称点为 D ，连接 AD ，BC ．① 填空：点 P 是线段 AC 上一点（不与点 A 、C 重合），点 Q 是线段 AB 上一点（不与点A 、B 重合），则两条线段之和 PQ+BP 的最小值为 ；②填空：将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 a （ 0°< α< 180°），当点 C 的对应点 C ′落在 △ABDEF 、 FP 之和最短，试求图①图 ②图③ 的边所在直线上时，则此时点 B 的对应点 B ′的坐标为ax 1 x 3 （ a 为常数，且 a 3B （点 A 位于点 B 的左侧），与 y 轴交于点C 0, 3 ，点 P 是线段 BC 上一个动点，点 P 横坐标为 m . 0 ）与 x 轴交于点 A 、18 ．如图，已知抛物线 y（ 1）求出抛物线的解析式；（ 2）判断 ABC 的形状，并求出 ABC 的面积；（3）如图 1，过点 P 作y 轴的平行线， 交抛物线于点 D ，过点 D 作DE BC 于点 E ， 设 PDE 的面积为 S ，求 S 的最大值；4）如图 2， F 为AB 中点，连接 FP ，一动点 Q 从F 出发，沿线段 FP 以每秒 1个单位的速度运动到 P ，再沿线段 PC 以每秒 2个单位的速度运动到 C 后停止.若点 Q 在 t 秒，请直接写出 t 的最小值及此时点 P 的坐标 .D 、E 、F 分别在 △ ABC 的三条边上，我们称等边三角形DEF 是 △ ABC 的内接正三角形．（概念辨析）（ 1）下列图中 △DEF 均为等边三角形，则满足 是 操作验证）2）如图①．在△ABC 中， ∠ B ＝ 60°，整个运动过程中的时间为 19．（数学概念）若等边三角形的三个顶△ DEF 是△ ABC 的内接正三角形的D 为边 AB 上一定点（ BC>BD ）， DE ＝DB ，EM 平分∠DEC，交边 AC于点 M，△DME 的外接圆与边 BC的另一个交点为 N．求证：△DMN 是△ ABC 的内接正三角形．（知识应用）（3）如图②．在△ABC中，∠B＝60°，∠A＝45°，BC＝2，D 是边 AB上的动点，若边 BC 上存在一点 E，使得以 DE 为边的等边三角形 DEF 是△ ABC 的内接正三角形．设△ DEF 的外接圆⊙O 与边 BC 的另一个交点为 K ，则 DK 的最大值为，最小值为．20．如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点E是AB 边的中点，以AE 为边作正方形AEFG，① 线段 DE、BG 之间的数量关系是；② 直线 DE、BG 之间的位置关系是．（2）探究如图 2，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转，（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（ 3）应用如图 3，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转一周，记直线 DE 与 BG 的交点为 P，若 AB=4 ，请直接写出点 P到CD 所在直线距离的最大值和最小值．21．以平面上一点 O 为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB 和△COD ，其中∠ ABO= ∠DCO=3°0 ．（1）点 E、F、M 分别是 AC、CD、DB 的中点，连接 EF 和 FM．①如图 1，当点 D、C分别在 AO、BO 的延长线上时，EF= ____ ；FM图1②如图 2，将图 1 中的△AOB 绕点 O 沿顺时针方向旋转角（ 0o60o），其他条件不变，判断EF的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；FM图2（ 2）如图 3，若 BO= 3 3 ，点 N 在线段 OD 上，且 NO=3 ．点 P 是线段 AB 上的一个动点，在将△ AOB 绕点 O 旋转的过程中，线段 PN 长度的最小值为____________________________________________________________ ，最大值为22．如图 1，直线 l ： y=x+ 3与 x 轴负半轴、 y 轴正半轴分别相交于 A 、C 两点，抛物（ 2）已知点 Q 是抛物线 y= ﹣ x 2+bx+c 在第二象限内的一个动点． 3①如图 1，连接 AQ 、CQ ，设点 Q 的横坐标为 t ，△AQC 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数 关系式，并求出 S 的最大值；② 连接 BQ 交 AC 于点 D ，连接 BC ，以 BD 为直径作 ⊙I ，分别交 BC 、AB 于点 E 、F ， 连接 EF ，求线段 EF 的最小值，并直接写出此时点 Q 的坐标．23．如图，直线 l ：y=x ﹣ 3 与 x 轴正半轴、 y 轴负半轴分别相交于 A 、C 两点，抛物 x 2+bx+c 经过点 B （﹣ 1， 0）和点 C ．1）填空：直接写出抛物线的解析式：①如图，连接 AQ 、CQ ，设点 Q 的横坐标为 t ，△AQC 的面积为 S ，求 S 与 t的2）已知点 Q 是抛物线 y= x 2+bx+c 在第四象限内的一个动点．A图33线 y=﹣ x 2+bx+c 经过点 B （ 1，0）和点线y=函数关系式，并求出 S 的最大值；②连接 BQ交 AC 于点 D，连接 BC，以 BD 为直径作⊙I，分别交 BC、AB 于点E、F，连接 EF，求线段 EF 的最小值，并直接写出此时 Q 点的坐标．24．我市某蔬菜种植农户购买白菜苗和西红柿苗共1000株，其中白菜苗每株 3 元，西红柿苗每株 5 元．已知该农户打算用不少于 3600 元但不多于 3800 元的资金购买两种蔬菜．（ 1）求该农户可以购买白菜苗株数的最大值和最小值；（ 2）该农户按（ 1）中购买白菜苗株数的最小值的方案购买两种蔬菜苗，经过农户的精心培育，两种蔬菜苗全成活．根据以往的数据分析，平均一株白菜苗可长成 2千克白菜，平均一株西红柿苗可结 3 千克西红柿．农户计划采用直接销售和生态采摘销售两种方式进行销售，其中直接销售白菜的售价为每千克 4 元，直接销售西红柿的售价为每千克 5 元；生态采摘销售时两种蔬菜的售价一样，都比直接销售白菜的售价高a% ，但生态采摘过程中会有10% 的损耗．当白菜和西红柿各直接销售一半后、剩下的全部采用生态采摘销售时，该农户可获得 8080 元的利润．求a 的值．25．如图，抛物线 y=ax 2﹣ 5ax﹣4 交 x 轴于 A ，B 两点（点 A 位于点 B 的左侧），交 y 轴于点 C，过点 C作CD∥AB ，交抛物线于点 D，连接 AC 、AD ，AD 交y 轴于点 E，且 AC=CD ，过点 A 作射线 AF 交 y 轴于点 F，AB 平分∠ EAF．（ 1）此抛物线的对称轴是；（ 2）求该抛物线的解析式；（3）若点 P是抛物线位于第四象限图象上一动点，求△APF 面积 S△APF的最大值，以及此时点 P 的坐标；（ 4）点 M 是线段 AB 上一点（不与点 A ， B 重合），点 N 是线段 AD 上一点（不与点A ， D 重合），则两线段长度之和： MN+MD 的最小值是．26．操作探究：数学研究课上，老师带领大家探究《折纸中的数学问题》时，出示如图 1 所示的长方形纸条 ABCD ，其中 AD=BC=1 ，AB=CD=5 ．然后在纸条上任意画一条截线段 MN ，将纸片沿 MN 折叠，MB 与DN交于点 K ，得到△MNK ．如图 2所示：探究：（ 1）若∠1=70°，∠MKN= °；（ 2）改变折痕 MN 位置，△MNK 始终是三角形，请说明理由；应用：△ MNK 的面积时，发现 KN 边上的高始终是个不变的值．根△KMN 的面积最小值为，此时∠1 的大小可以为4）小明继续动手操作，发现了△ MNK 面积的最大值．请你求出这个最大值．27．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC （其中∠ BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2 ，AC=4 ，以 BC 为边在 BC 的下方作等边△PBC，求 AP 的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点 B 为旋转中心将△ABP 逆时针旋转 60°得到△ A′BC，连接 A′A，当点 A落在A′C上时，此题可解（如图 2）．请你回答： AP 的最大值是3）爱动脑筋的小明在研究据这一发现，他很快研究出参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图 3，等腰 Rt △ABC ．边 AB=4 ，P 为△ABC 内部一点，则 AP+BP+CP 的最小值与 y 轴交于点 N ，其顶点为 D ．1）求抛物线及直线 AC 的函数关系式； （ 2）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求 △ APC 的面积的最大值及此时 点 P 的坐标；（ 3）在对称轴上是否存在一点 M ，使 △ ANM 的周长最小．若存在，请求出 M 点的坐 标和 △ ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．29．如图 1，已知抛物线 y=－x 2+bx+c 经过点 A （1，0），B （－ 3，0）两点，且与 y 轴 交于点 C ．1）求 b ， c 的值．（ 2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点 P ，使得△PBC 的面积最大？求出点 P 的坐标及 △PBC 的面积最大值． 若不存在，请说明理由．（3）如图 2，点 E 为线段 BC 上一个动点（不与 B ，C 重合），经过 B 、E 、O 三点的圆 与过点 B 且垂直于 BC 的直线交于点 F ，当△OEF 面积取得最小值时，求点 E 坐标．．（结果可以不化简）y ＝﹣ x 2+bx+c 与一直线相交于 A （1，0）、C （﹣ 2， 3）两点，是30．在锐角△ABC 中， AB=4 ，BC=5 ，∠ACB=45°，将△ ABC 绕点 B 按逆时针方向旋 转，得到 △DBE ．（ 1）当旋转成如图 ①，点 E 在线段 CA 的延长线上时，则 ∠CED 的度数是度； （ 2）当旋转成如图 ②，连接 AD 、CE ，若△ABD 的面积为 4，求△CBE 的面积；（3）点 M 为线段 AB 的中点，点 P 是线段 AC 上一动点，在 △ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转过程中，点 P 的对应点 P ′，连接 MP ′，如图 ③，直接写出线段 MP ′长度的最大AM 为半径的圆交 y 轴于点 B ，连结 BM 并延长交 ⊙M 于点 C ，动点 P 在线段 BC 上运 动，长为 5的线段 PQ ∥x 轴（点 Q 在点 P 右侧），连结 AQ ．3（ 1）求 ⊙ M 的半径长和点 B 的坐标； （2）如图 2，连结 AC ，交 线段 PQ 于点 N ，①求AC 所在直线的解析式；②当PN=QN 时，求点 Q 的坐标；（3）点 P 在线段 BC 上运动的过程中，请直接写出 AQ 的最小值和最大值．，－ 1），以 M （－ 1，0）为圆心，以ABCD ，顶点 B 的坐标为（ 13 ， 0），顶点 A 在x 轴上方，顶点 D 在⊙O 上运动．32．如图① ，△ ABC 和△BDF 均为等腰直角三角形， ∠ ACB ＝∠ BDF ＝90°，点 D 在 AB 上，以 CA ，CD 为邻边作平行四边形 CAED ，连接 EA ，EF ． （ 1）求证： EA ＝ EF 且 EA ⊥ EF ；（ 2）将图①中△BDF 绕点 B 顺时针旋转，其它条件不变， （1）的结论是否成立？请结 合图 ② 说明理由．3）若 BC ＝3，BD ＝ 2 ，将图①中△ BDF 绕点 B 顺时针旋转 180°，直接写出 AF 的1，以 O 为原点，建立如图所示的直角坐标系．有个正方形 最大值和最小33．已知 ⊙ O 的半（1）当点D运动到与点A 、O在一条直线上时，CD 与⊙ O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出 OD 所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；（2）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S 的最大值和最小值．34．（1）如图 1，等边三角形 ABC 的边长为 4，两顶点 B、C分别在 y 轴的正半轴和 x 轴的正半轴上运动，显然，当 OA⊥BC 于点 D时，顶点 A 到原点 O的距离最大，试求出此时线段 OA 的长．（2）如图 2，在 Rt△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，两顶点 B、C分别在 x 轴的正半制和 y 轴的正半轴上运动，求出顶点 A 到原点 O 的最大距离．（ 3）如图 3，正六边形 ABCDEF 的边长为 4，顶点 B、 C 分别在 x 轴正半轴和y 轴正35．已知，△AOB 中， AB=BC=2, ∠ABC=90°，点 O是线段 AC 的中点，连接OB，将△AOB 绕点 A逆时针旋转α度得到△ANM ，连接 CM ，点P是线段 CM 的中点，连接PN、PB．（ 1）如图 1，当α =180°时，直接写出线段 PN 和 PB 之间的位置关系和数量关系；（ 2）如图 2，当α =90°时，探究线段 PN 和 PB 之间的位置关系和数量关系，并给出完整的证明过程；（ 3）如图 3，直接写出当△ AOB 在绕点 A 逆时针旋转的过程中，线段 PN 的最大值和最小值．36．如图，⊙ O的半径为 1，等腰直角三角形 ABC的顶点 B固定且坐标为（，0），顶点 A 在⊙O 上运动，始终保持 CAB=90°， AC=AB（ 1）当点 A 在 x 轴上时，求点 C 的坐标；（2）当点 A运动到 x轴的负半轴上时，试判断直线 BC与⊙O 位置关系，并说明理由；（3）设点 A的横坐标为 x，△ABC的面积为 S，求 S与x之间的函数关系式，并求出 S 的最大值与最小值；（ 4）当直线 AB与⊙O相切时，求 AB 所在直线对应的函数关系式．37．如图①，C为线段 BE上的一点，分别以 BC和 CE为边在 BE的同侧作正方形ABCD和正方形 CEFG ，M 、N 分别是线段 AF 和 GD 的中点，连接 MN（1）线段 MN 和GD 的数量关系是，位置关系是；（ 2）将图①中的正方形 CEFG 绕点 C 逆时针旋转 90°，其他条件不变，如图②，（ 1）的结论是否成立？说明理由；（3）已知 BC=7 ， CE=3，将图①中的正方形 CEFG 绕点 C 旋转一周，其他条件不变，直接写出 MN 的最大值和最小值．38．已知抛物线y x2 bx c的图象经过点A 1,0 、B 3,0 ，顶点为E，与y 轴交于点C ．1 求抛物线的解析式和顶点E 的坐标；2 如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴平行线，交抛物线于点D ，当VBDC 的面积最大时，求点P 的坐标；3 如图2，若点Q是直线BC上的动点，点Q、C、E所构成的三角形与VAOC相似，请直接写出所有点Q 的坐标；4 如图3 ，过E 作EF x 轴于F 点，M m,0 是x 轴上一动点，N 是线段EF 上39．如图 1，在正方形 ABCD 中，点 O是对角线 BD 的中点．1中的△ BCD 绕点 O 逆时针旋转至图 2 中△ ECF 的位置，连接AC ，DE ，则线段 AC 与DE 的数量关系是 ，直线 AC 与DE 的位置关系是（ 2）类比探究：将图 2中的△ECF 绕点 O 逆时针旋转至图 3的位置，（1）中的结论是 否成立？并说明理由．（ 3）拓展延伸：将图 2中的△ECF 在平面内旋转，设直线 AC 与 DE 的交点为 M ，若 AB ＝ 4，请直接写出 BM 的最大值与最小值．40．如图， △ABC 为等边三角形， D 、E 分别是边 AB 、BC 所在直线上的两个动点，且 满足 AD=BE ，连接 AE 、CD ，直线 AE 、 CD 交于点 P 。

第26章 离散量的最大值和最小值问题26.1.1** 某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6、第7、第8、第9场比赛中分别得了23、14、11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他的10场比赛的平均分超过18分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？解析 设前5场比赛的平均得分为x ，则前9场比赛的平均得分为52314112056899x x +++++=． 由题设知5689x x +>， 解得17x <．所以前5场最多得分是 517184⨯-=（分）．再设他第10场比赛得了y 分，那么有 84681810180y ++>⨯=， 解得28y >y>28． 故他第10场比赛得分≥29分．另一方面，当他在第6、第7、第8、第9、第10场比赛中分别得了23、14、11、20和29分，前5场总得分为84分时，满足题意．所以，他在第10场比赛中至少得了29分．评注 在解最大值（或者最小值）问题时，我们常常先估计上界（对于最小值，估计下界），然后再构造一个例子说明这个上界（或者下界）是能够取到的，只有这样，才完整地解决了问题．26.1.2* 从任意n 个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是12的倍数，求n 的最小值．解析 任取13个不同的整数，它们除以12所得到的余数中，一定有两个相同，于是它们的差是12的倍数．又l ，2，…，12这12个数，其中没有两个数的差为12的倍数． 综上所述，至少需任取13个数才能满足题意．26.1.3** 从1，2，3，…，20中，至少任取多少个数，可使得其中一定有两个数，大的数是小的数的奇数倍．解析 从1，2，…，20中取7，8，…，20这14个数，其中没有一个数是另一个数的奇数倍．把1，2，…，20分成如下14组：{1，3，9}，{2，6，18}，{4，12}，{5，15}，{7}，f8}，{10}，{11}，{13}，{14}，{16}，{17}，{19}，{20}，从中任取15个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小数的奇数倍．26.1.4** 如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙；在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子．问100个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个？解析 取100个小伙子是这样的一种特殊情况．他们的身高互不相同，是从小到大排列的，他们的体重也互不相同，且是从大到小排列的，这样的100个小伙子都是棒小伙子，所以棒小伙子最多有100个．26.1.5** 代数式rvz rwy suz swy tux tvx --++-中，r 、s 、t 、u 、v 、w 、x 、y 、z 可以分别取1或者1-．（1）求证：代数式的值都是偶数； （2）求该代数式所能取到的最大值． 解析 （1）因为()11111110mod2rvz rwy suz swy tux tvx --++-≡++++++≡，所以，此代数式的值为偶数．（2）原式()()()uy s r tx u v z rv su =-+-+-，要使原式取得最大值，则s 与r 取1与1-，u 与v 取l 与1-．但是，若r 与v 的取值相同（1或1-），则s 与u 的取值也相同，有0rv su -=．若r 与v 的取值不同．则s 与u 的取值也不同，也有0rv su -=．所以，原式的最大值为4．这时取1s =，1r =-，1u =，1v =-，1w y t x ====．26.1.6** 一个三位数除以43，商是a ．余数是b （a 、b 都是整数），求a b +的最大值． 解析 由带余除法可知： 43a b ⨯+=一个三位数． ①因为b 是余数，它必须比除数小，即b ≤42．根据①式．考虑到等式右边是一个三位数，为此a 不超过23（因为24×43>1000）．当23a =时，因为43×23+10＝999，此时b 为10．当2a =时，可取余数42b =，此时43×22+42＝998．故当22a =，42b =时，a b +值最大，最大值22+42＝64．从1，2，…，1001这1001个正整数中取出n 个数，使得这n 个数中任意两个数的差都不是素数，求n 的最大值．解析 设正整数a 被取出，则2a +，3a +，5a +，7a +都不能被取出．而1a +，4a +，6a +三者中至多只能有一个被取出．所以连续8个整数a ，1a +，2a +，a +3，a +4，5a +，6a +，7a +中至多有两个数被取出，而 1001＝8×125+1，所以n ≤2×125+1＝251．又1，5，9，…，1001这251个数满足题设条件．所以n 的最大值为251．26.1.8*** 从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数a 、b 、c （a b c <<），都有ab c ≠．解析 首先，1，14，15，…，205这193个数，满足题设条件．事实上，设a 、b 、c （a b c <<）这三个数取自1，14，15，…，205，若1a =，则ab b c =<；若1a >，则14152100ab ⨯=>≥．另一方面，考虑如下12个数组： （2，25，2×25），（3，24，3×24），…，（13，14，13×14），上述这36个数互不相等，且其中最小的数为2，最大的数为13×14＝182<205，所以，每一个数组中的三个数不能全部都取出来，于是，取出来的数的个数不超过205－12＝193个． 综上所述，从1，2，…，205中，最多能取出193个数，满足题设条件．26.1.9*** 从1，2，3，…，16这16个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中，任意三个数都不是两两互质的．解析 首先，取出1，2，…，16中所有2或3的倍数： 2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16．这11个数要么是2的倍数，要么是3的倍数．由抽屉原理知，这11个数中的任意三个数，都必有两 个数同为2或3的倍数，它们的最大公约数大于1，也就是说这三个数不是两两互质的．所以，从1，2，…，16中可以选出11个数满足要求．下面证明从1，2，…，16中任取12个数，其中一定有3个数两两互质． 事实上，令数组A ={1，2，3，5，7，…，13）．数组A 中有7个数，而且这7个数是两两互质的．从 1，2，…，16中任取12个数，由于A 以外只有9个数，故A 中至少有3个数被选出，这三个数是两两互质的．所以，最多选出11个数满足要求．26.1.10*** 已知1x ，2x ，…，40x 都是正整数，且124058x x x ⋯+++=，若2221240x x x ⋯+++的最大值为A ，最小值为B ，求A B +的值．解析 因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故2221240x x x ⋯+++的最小值和最大值是存在的．不妨设1240x x x ⋯≤≤，若11x >z1>1，则 ()()121211x x x x +=+++，且()()()222222121221121122x x x x x x x x -++=++-+>+． 所以，当1x >1时，可以把1x 逐步调整到1，这时，2221240x x x ⋯+++将增大；同样地，可以把2x ，3x ，…，39x 逐步调整到1，这时2221240x x x ⋯+++将增大．于是，当1x ，2x ，…，39x 均为1，4019x =时，2221240x x x ⋯+++取得最大值，即 22223911119400A ⋯=++++=个若存在两个数i x 、j x ，使得()2140j i x x i j -<≥≤≤，则()()()2222221121i j i j j i i j x x x x x x x x ++-=+---+≤，这说明在1x ，2x ，…，39x ，40x 中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加l ，较大的数减1，这时，2221240x x x ⋯+++将减小． 所以，当2221240x x x ⋯+++取到最小时，1x ，2x ，…，40x 。

26．2 二次函数的图象与性质2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质第5课时二次函数最值的应用知|识|目|标1．经过阅读、探究、讨论交流，能列出几何图形中两个变量之间的二次函数关系，并求出其最大值或最小值．2．在理解二次函数性质的基础上，通过对具体问题的分析、操作，能用二次函数知识求出实际问题中的最值．3．通过对实际问题中二次函数图象的绘制、观察与分析，能求出自变量取值受限制的二次函数的最值．目标一能用二次函数模型解决几何图形中的最值例1 教材补充例题如图26－2－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝8，点D在斜边AB上，过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，得到四边形DECF，设DE＝x，DF＝y.(1)用含y的代数式表示AE；(2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；(3)设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值．图26－2－4【归纳总结】用二次函数模型解决几何最值问题的“三部曲”：(1)认真审题，联想几何图形的性质(包括图形面积、体积、周长，以及等腰三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形的性质等)；(2)用已知条件和图形的性质列出问题中两个变量之间的二次函数关系式；(3)根据二次函数的性质求出所列关系式的最值，从而解决原问题．目标二能用二次函数模型解决实际问题中的最值例2 高频考题某杂技团用68米长的幕布围成一个矩形临时场地，并留出2米作为出入口，设矩形的长为x米，面积为y平方米．(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)由于表演需要，矩形的长不小于18 米，求能围成的矩形的最大面积．【归纳总结】用二次函数求实际问题中的最值：(1)在实际问题中，列出函数关系式后，一般要考虑自变量的取值范围；(2)先确定二次函数图象的顶点的横坐标是否在自变量的取值范围内，再应用二次函数的性质确定最值．目标三 能求自变量的取值受限制的二次函数的最值例3 教材补充例题 (1)已知0≤x ≤1，那么函数y ＝－2x 2＋8x －6的最大值是( )A ．－6B ．0C ．2D ．4(2)函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是( )A ．4和－3B ．－3和－4C ．5和－4D ．－1和－4【归纳总结】确定自变量的取值受限制的二次函数的最值：(1)根据函数关系式求最值：当自变量在某个范围内取值时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，并结合自变量的取值范围，从而得出最值．(2)根据图象求最值：可以画出此函数完整的图象(虚线)，将在自变量的取值范围内的部分画成实线，函数在实线的最高点处取得最大值，在最低点处取得最小值．知识点 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最值(1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最值有两种求法：①配方法：将y ＝ax 2＋bx ＋c 配方后整理为y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a ，则顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a ，可知当x ＝________时，函数取得最值，y 最值＝________；②公式法：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在x ＝－b 2a时取得最值，y 最值＝________．(2)如果自变量的取值范围受限制，即x 1≤x ≤x 2，那么首先要看－b 2a是否在自变量的取值范围内，若在此范围内，则当x ＝－b 2a 时，y 有最大值或最小值为________；若－b 2a不在自变量的取值范围内，则需考虑函数在x 1≤x ≤x 2范围内函数值的变化情况，如果y 随x 的增大而增大，则当x ＝________时，y 取得最大值，当x ＝________时，y 取得最小值．而这种最大值、最小值的计算只需把自变量的取值代入关系式中就可以求得．某水果超市销售进价为40元/箱的苹果，按照物价部门规定，该种苹果每箱售价不得高于55元，经市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．求销售该苹果每天能获得的最大利润是多少．解：设销售该苹果每天获得的利润为y元，每箱苹果的售价为x元，则y＝(x－40)[90－3(x －50)]＝－3x2＋360x－9600＝－3(x－60)2＋1200.∵a＝－3＜0，∴抛物线开口向下，y有最大值，最大值为1200，∴销售该苹果每天能获得的最大利润是1200元．上面的解答过程正确吗？如果不正确，错在哪里？请你写出正确的解答过程．教师详解详析【目标突破】例1 解：(1)由题意可知，四边形DECF 为矩形，因此AE ＝AC －EC ＝AC －DF ＝8－y.(2)由DE ⊥AC ，∠C ＝90°得DE ∥BC ，所以DE BC ＝AE AC ，即x 4＝8－y 8， 所以y ＝8－2x ，x 的取值范围是0＜x ＜4.(3)S ＝xy ＝x(8－2x)＝－2x 2＋8x ＝－2(x －2)2＋8，当x ＝2时，S 有最大值8.例2 [解析] 先列出函数关系式，再用配方法求最值．解：(1)由矩形的长为x 米，可知矩形的宽为12×(68＋2)－x ＝(35－x)米， ∴y ＝(35－x)x ＝－x 2＋35x.(2)由于矩形的长不小于18米，故18≤x ＜35.∵y ＝－x 2＋35x ＝－(x －17.5)2＋306.25，当x>17.5时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝18时，y 有最大值，为－182＋35×18＝306，∴能围成的矩形的最大面积为306平方米．例3 [解析] (1)B (2)C(1)∵y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2＋2.∴该抛物线的对称轴是直线x ＝2，且当x ＜2时，y 随x 的增大而增大．又∵0≤x ≤1，∴当x ＝1时，y 取得最大值，y 最大值＝－2×(1－2)2＋2＝0.(2)先将一般式化为顶点式就可以求出最小值，再根据函数的增减性及自变量的取值范围就可以求出最大值．∵y ＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4(－2≤x ≤2)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－1，∴当x ＝－1时，y 有最小值－4.∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，y 有最大值5.∴当－2≤x ≤2时，函数的最大值为5，最小值为－4.【总结反思】[小结] 知识点 (1)－b 2a 4ac －b 24a 4ac －b 24a (2)4ac －b 24ax 2 x 1 [反思] 不正确，忽略了自变量的取值范围．正解：设销售该苹果每天获得的利润为y 元，每箱苹果的售价为x 元，则y ＝(x －40)[90－3(x －50)]＝－3x 2＋360x －9600＝－3(x －60)2＋1200.∵a ＝－3＜0，∴抛物线开口向下，∴当x ＜60时，y 随x 的增大而增大．∵物价部门规定，该种苹果每箱售价不得高于55元，∴当x ＝55时，y 取得最大值，最大值为1125，∴销售该苹果每天能获得的最大利润是1125元．。

离散两点最大值和最小值问题知识定位离散量的最大值和最小值问题是数学竞赛中的热门话题，在数学竞赛中常常扮演着“押台”角色。

所谓离散量的最大值和最小值，具体地说是指以整数，点，线，圆等离散量为背景，求满足某些条件的最大值和最小值。

它的解法与求函数的最大值和最小值的方法是完全不同的，实际上，对于这类非常规的最值问题，尚无一般的方法，对不同的题目需用不同的策略和方法，因此难度较大。

知识梳理知识梳理1. 离散两点最大值和最小值问题解离散量的最值问题，虽无一般方法，但我们通常是从这两方面考虑的，即论证与构造。

先论证（求得）该量变化的上界或下界，然后构造出一个实例说明此上界或下界能达到。

这样便求得了该离散量的最大值或最小值。

但“构造”对学生来说是一个难点，常常需要“创造”，这也是这类问题受命题者青睐的原因之一吧。

下面我们通过“问题”来介绍解决这类问题的方法。

方法1：枚举法 方法2：逐步调整法 方法3：估计，构造例题精讲【试题来源】【题目】设正整数n 是75的倍数且恰有75个正整数因子（包括1和自身），求n 的最小值。

【答案】32400【解析】设n 的质因数分解式为1212,k r r r k n p p p其中12,,,kp p p 是n 的不同质因数，12,,,kr r r 是正整数，于是n 的正整数因子的个数为12(1)(1)(1)k r r r +++所以12(1)(1)(1)75355k r r r +++==⨯⨯所以n 最多有三个不同的质因数，为了使n 最小且是75的倍数，n 的质因数取之集合{2，3，5}，且3至少出现1次，5至少出现2次，即：12312323235,(1)(1)(1)75,1,2r r r n r r r r r =+++=≥≥123解得满足上述条件的（,,)为：r r r（4，4，2），（4，2，4），（2，4，4），（0，4，14），（0，14，4），（0，2，24），（0，24，2）。

【八年级】初二数学数据的代表值与离散程度单元测试题及参考答案数据的代表值与离散程度一、严肃冷静！（每个子问题3分，共24分）1.为了准备班级里的元旦联欢会，班长以全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，以决定最终买什么水果，最好选用下面哪个数据()a、平均B.中位数C.模式D.以上均无2.在一次数学考试中，第一小组的14名同学的成绩与全班平均分的差是2，3，，10，12，8，2，，，4，，，5，5(全班平均成绩为83分)，则这个小组的平均成绩是()a、 81分b.83分c.85分d.87分3.有一组数据，按从小到大的顺序排列为13，14，19，，23，27，28，31，其中位数是22，则等于()a、 23b。

22摄氏度。

20天。

214.有一组数据16，，19，19，它们的平均数比众数小1，则这组数据的平均数和中位数分别是()a、 18,17.5b。

18,19c。

19,18d。

18，18.55.为了解我市九年级女生的体能状况，从某校九年级的甲、乙两班中各抽取了27名女生进行了一分钟跳绳测试，测试数据统计结果如下表：平均班级人数中位数甲班2710497B类2710696如果每分钟跳绳次数105次的为优秀，那么甲、乙两班的优秀率的关系是()a、 a你b你b你c.甲优=乙优d.无法比较6.如果三个数字的平均值是6，那么，，的平均值是（）a.6b.8c.12d.147.如果8个数字的平均值为11，12个数字的平均值为12，则这20个数字的平均值为（）a.11.6b.10c.23.2d.11.58.当学生使用计算器计算30个数据的平均值时，他错误地将105输入为15，因此计算出的平均值与实际平均值之间的差值为（）a.3b.c.3.5d.二、小心，记录下你的自信！（每个子问题3分，共24分）1.数据120，200，100，150，125，80，100的平均数是，众数是，中位数是.2.八（1）班有45名学生，8（2）班有50名学生。

第26章 离散量的最大值和最小值问题26.1.1** 某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6、第7、第8、第9场比赛中分别得了23、14、11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高，如果他的10场比赛的平均分超过18分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？解析 设前5场比赛的平均得分为x ，则前9场比赛的平均得分为52314112056899x x +++++=． 由题设知5689x x +>， 解得17x <．所以前5场最多得分是 517184⨯-=（分）．再设他第10场比赛得了y 分，那么有 84681810180y ++>⨯=， 解得28y >y>28． 故他第10场比赛得分≥29分．另一方面，当他在第6、第7、第8、第9、第10场比赛中分别得了23、14、11、20和29分，前5场总得分为84分时，满足题意．所以，他在第10场比赛中至少得了29分．评注 在解最大值（或者最小值）问题时，我们常常先估计上界（对于最小值，估计下界），然后再构造一个例子说明这个上界（或者下界）是能够取到的，只有这样，才完整地解决了问题．26.1.2* 从任意n 个不同的正整数中，一定可以从中找到两个数，它们的差是12的倍数，求n 的最小值．解析 任取13个不同的整数，它们除以12所得到的余数中，一定有两个相同，于是它们的差是12的倍数．又l ，2，…，12这12个数，其中没有两个数的差为12的倍数． 综上所述，至少需任取13个数才能满足题意．26.1.3** 从1，2，3，…，20中，至少任取多少个数，可使得其中一定有两个数，大的数是小的数的奇数倍．解析 从1，2，…，20中取7，8，…，20这14个数，其中没有一个数是另一个数的奇数倍．把1，2，…，20分成如下14组：{1，3，9}，{2，6，18}，{4，12}，{5，15}，{7}，f8}，{10}，{11}，{13}，{14}，{16}，{17}，{19}，{20}，从中任取15个数，一定有两数取自同一组，于是大数便是小数的奇数倍．26.1.4** 如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙；在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子．问100个小伙子中的棒小伙子最多可能有多少个？解析 取100个小伙子是这样的一种特殊情况．他们的身高互不相同，是从小到大排列的，他们的体重也互不相同，且是从大到小排列的，这样的100个小伙子都是棒小伙子，所以棒小伙子最多有100个．26.1.5** 代数式rvz rwy suz swy tux tvx --++-中，r 、s 、t 、u 、v 、w 、x 、y 、z 可以分别取1或者1-．（1）求证：代数式的值都是偶数； （2）求该代数式所能取到的最大值． 解析 （1）因为()11111110mod2rvz rwy suz swy tux tvx --++-≡++++++≡，所以，此代数式的值为偶数．（2）原式()()()uy s r tx u v z rv su =-+-+-，要使原式取得最大值，则s 与r 取1与1-，u 与v 取l 与1-．但是，若r 与v 的取值相同（1或1-），则s 与u 的取值也相同，有0rv su -=．若r 与v 的取值不同．则s 与u 的取值也不同，也有0rv su -=．所以，原式的最大值为4．这时取1s =，1r =-，1u =，1v =-，1w y t x ====．26.1.6** 一个三位数除以43，商是a ．余数是b （a 、b 都是整数），求a b +的最大值． 解析 由带余除法可知： 43a b ⨯+=一个三位数． ①因为b 是余数，它必须比除数小，即b ≤42．根据①式．考虑到等式右边是一个三位数，为此a 不超过23（因为24×43>1000）．当23a =时，因为43×23+10＝999，此时b 为10．当2a =时，可取余数42b =，此时43×22+42＝998．故当22a =，42b =时，a b +值最大，最大值22+42＝64．从1，2，…，1001这1001个正整数中取出n 个数，使得这n 个数中任意两个数的差都不是素数，求n 的最大值．解析 设正整数a 被取出，则2a +，3a +，5a +，7a +都不能被取出．而1a +，4a +，6a +三者中至多只能有一个被取出．所以连续8个整数a ，1a +，2a +，a +3，a +4，5a +，6a +，7a +中至多有两个数被取出，而 1001＝8×125+1，所以n ≤2×125+1＝251．又1，5，9，…，1001这251个数满足题设条件．所以n 的最大值为251．26.1.8*** 从1，2，…，205共205个正整数中，最多能取出多少个数，使得对于取出来的数中的任意三个数a 、b 、c （a b c <<），都有ab c ≠．解析 首先，1，14，15，…，205这193个数，满足题设条件．事实上，设a 、b 、c （a b c <<）这三个数取自1，14，15，…，205，若1a =，则ab b c =<；若1a >，则14152100ab ⨯=>≥．另一方面，考虑如下12个数组： （2，25，2×25），（3，24，3×24），…，（13，14，13×14），上述这36个数互不相等，且其中最小的数为2，最大的数为13×14＝182<205，所以，每一个数组中的三个数不能全部都取出来，于是，取出来的数的个数不超过205－12＝193个． 综上所述，从1，2，…，205中，最多能取出193个数，满足题设条件．26.1.9*** 从1，2，3，…，16这16个数中，最多能选出多少个数，使得被选出的数中，任意三个数都不是两两互质的．解析 首先，取出1，2，…，16中所有2或3的倍数： 2，3，4，6，8，9，10，12，14，15，16．这11个数要么是2的倍数，要么是3的倍数．由抽屉原理知，这11个数中的任意三个数，都必有两 个数同为2或3的倍数，它们的最大公约数大于1，也就是说这三个数不是两两互质的．所以，从1，2，…，16中可以选出11个数满足要求．下面证明从1，2，…，16中任取12个数，其中一定有3个数两两互质． 事实上，令数组A ={1，2，3，5，7，…，13）．数组A 中有7个数，而且这7个数是两两互质的．从 1，2，…，16中任取12个数，由于A 以外只有9个数，故A 中至少有3个数被选出，这三个数是两两互质的．所以，最多选出11个数满足要求．26.1.10*** 已知1x ，2x ，…，40x 都是正整数，且124058x x x ⋯+++=，若2221240x x x ⋯+++的最大值为A ，最小值为B ，求A B +的值．解析 因为把58写成40个正整数的和的写法只有有限种，故2221240x x x ⋯+++的最小值和最大值是存在的．不妨设1240x x x ⋯≤≤，若11x >z1>1，则 ()()121211x x x x +=+++，且()()()222222121221121122x x x x x x x x -++=++-+>+． 所以，当1x >1时，可以把1x 逐步调整到1，这时，2221240x x x ⋯+++将增大；同样地，可以把2x ，3x ，…，39x 逐步调整到1，这时2221240x x x ⋯+++将增大．于是，当1x ，2x ，…，39x 均为1，4019x =时，2221240x x x ⋯+++取得最大值，即 22223911119400A ⋯=++++=个若存在两个数i x 、j x ，使得()2140j i x x i j -<≥≤≤，则()()()2222221121i j i j j i i j x x x x x x x x ++-=+---+≤，这说明在1x ，2x ，…，39x ，40x 中，如果有两个数的差大于1，则把较小的数加l ，较大的数减1，这时，2221240x x x ⋯+++将减小． 所以，当2221240x x x ⋯+++取到最小时，1x ，2x ，…，40x 。

2021年华师大版数学中考专题演练——数据的离散程度一、单选题1．两年前，某校七（1）班的学生平均年龄为13岁，方差为3，若学生没有变动，则今年升为九（1）班的学生年龄中（ ） A ．平均年龄为13岁，方差改变 B ．平均年龄为15岁，方差不变 C ．平均年龄为15岁，方差改变 D ．平均年龄不变，方差不变2．某天7名学生在进入校门时测得体温（单位℃）分别为：36.5，36.7，36.4，36.3，36.4，36.2，36.3，对这组数据描述正确的是（ ）A ．众数是36.4B ．中位数是36.3C ．平均数是36.4D ．方差是1.93．某同学对数据31，36，36，47，5•，52进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ） A ．平均数B ．中位数C ．方差D ．众数4．李华根据演讲比赛中九位评委所给的分数制作了表格：对9个评委所给的分数，去掉一个最高分和一个最低分后，表中数据一定不发生变化的是（ ） A ．中位数B ．众数C ．方差D ．平均数5．四位同学各有一组跳远成绩的数据，他们的平均成绩一样，王老师想从这四位同学中选一位波动性不大的运动员参加市运动会跳远比赛，则王老师应考虑四组数据的（ ） A ．平均数B ．方差C ．众数D ．中位数6．甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩平均是均为9.2环，方差分别为2S 甲、2S 乙，若甲的成绩更稳定，则2S 甲、2S 乙的大小关系为（ ）A ．2S 甲＞2S 乙B ．2S 甲＜2S 乙C ．2S 甲＝2S 乙D ．无法确定7．在一场排球比赛中，某排球队6名场上队员的身高（单位：cm ）是：180，184，员，那么换人后与换人前相比，场上队员身高的平均数和方差大小变化正确的是（ ） A ．平均数变小，方差变小 B ．平均数变小，方差变大 C ．平均数变大，方差变大D ．平均数变大，方差变小8．甲、乙、丙、丁4名运动员参加射击训练，他们10次射击的平均成绩都是8.5环，方差分别是23S =甲，24S =乙，26S =丙，22S =丁，则这4名运动员10次射击成绩最稳定的是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．对于一组数据－1，2，－1， 4，下列结论不正确的是（ ） A ．平均数是1B ．众数是－1C ．中位数是1.5D ．方差是4.510．如果一组数据1，3，5，a ，8的平均数是5，方差是7.6，则另一组数据11，13，15，10a +，18的平均数和方差分别是（ ） A ．5，7.6 B ．5，760C ．15，7.6D ．15，760二、填空题11．已知一组数据的方差S 2＝15[（6﹣10）2+（9﹣10）2+（a ﹣10）2+（11﹣10）2+（b ﹣10）2]＝6.8，则a 2+b 2的值为_____．12．甲、乙两名同学投掷实心球，每人投10次，平均成绩为7米，方差分别为； S 甲2＝0.1，S 乙2＝0.04，成绩比较稳定的是_____．13．在脱贫攻坚工作中，为比较甲、乙两村扶贫攻坚工作的成效，从这两村中，各随机抽取20户对其年收入情况进行调查．统计结果是两村年人均收入的平均数基本相同，方差分别是2 6000S =甲，2480S =乙，则年人均收入比较均衡的村是______．（填“甲”或“乙”）14．计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：()()()22221210133310S x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦，则这组数据的平均数是__________．15．若一组数据121,1,,1n x x x ++⋯+的平均数为17，方差为2，则另一组数据122,2,,2n x x x ++⋯+的平均数是________，方差是_________．16．跳远运动员李阳对训练效果进行测试5次跳远的成绩如下：7.9，7.6，7.8，7.7，8.0，（单位：m ）这五次成绩的平均数为7.8m ，方差为0.02．如果李阳再跳一次，成绩为7.8m ．则李阳这6次跳远成绩的方差____（填“变大”、“不变”或“变小”）．17．聪聪利用暑假到工厂进行社会实践活动，他跟在张师傅后学加工某种机器零件，共加工9天，每天加工的机器零件个数如下：1，2，3，4，5，6，7，8，9． （1）求聪聪这9天加工零件数的平均数；（2）聪聪问张师傅加工的零件数，张师傅说；我每天加工的零件数是两位数，并且每天加工零件数的个位上数字都与你相同，这9天加工零件数的平均数比你多30但方差和你一样，听完张师傅的话，聪聪笑着说，张师傅我知道了，根据上面的信息，请你直接写出张师傅每天加工的零件数．18．为了从甲、乙两名选手中选拔一个参加射击比赛，现对他们进行一次测试，两个人在相同条件下各射靶5次，甲命中的环数分别是：10、6、10、6、8，乙命中的环数分别是：7、9、7、8、9.经过计算，甲命中的平均数为8x =甲，方差为23.2S =甲．（1）求乙命中的平均数x 乙和方差2S 乙；（2）现从甲、乙两名队员中选出一人去参加射击比赛，你认为应该选哪名队员去？为什么？19．在一次广场舞比赛中，甲、乙两个队参加表演的女演员的身高（单位：cm ）分别是甲队：163 165 165 164 168 乙队：162 164 164 167 168 （1）求甲队女演员身高的平均数、中位数﹑众数；（2）计算两队女演员身高的方差，并判断哪个队女演员的身高更整齐？20．我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，初、高中根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩（满分100）如图所示：根据图示信息，整理分析数据如表：（1）求出表格中a、b、c．（2）小明同学已经算出高中代表队决赛成绩的方差是160，请你计算出初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．参考答案1．B 2．C 3．B 4．A 5．B 6．B 7．D 8．D 9．C 10．C 11．296 12．乙． 13．乙 14．315．18 2 16．变小17．（1）5件；（2）31，32，33，34，35，36，37，38，39 【详解】解：（1）这9天加工零件数的平均数为：12345678959++++++++=（件）；（2）℃每天加工零件数的个位上数字都与聪聪的相同，这9天加工零件数的平均数比聪聪多30，且方差一样，℃张师傅每天加工的零件数为：31，32，33，34，35，36，37，38，39．18．（1）8x =乙；20.8S =乙；（2）乙，见解析【详解】解：（1）()7978958x =++++÷=乙（个），()()()()()222222178987888980.85S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙；（2）应选乙去，理由：℃x x =甲乙℃2 3.2S =甲，20.8S =乙，℃22S S >甲乙，℃乙的波动小，成绩更稳定 ℃应选乙去参加射击比赛．19．（1）甲队女演员身高的平均数是165cm ，中位数是165cm ，众数是165cm ；（2）甲队数据方差为2.8；乙队数据方差为4.8；甲队女演员的身高更整齐 【详解】解：（1）()()1163164165165168165cm 5⨯++++=， ℃甲队女演员身高的平均数是165cm ， 把这些数从小到大排列，则中位数是165cm ，165cm 出现了2次，出现的次数最多，则众数是165cm ； （2）乙队女演员身高的平均数()()1162164164167168165cm 5=⨯++++=， 甲队数据方差()()()()()2222221163165164165165165165165168165 2.85s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣⎦甲，乙队数据方差()()()()()2222221162165164165164165167165168165 4.85s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣⎦乙，℃22s s <甲乙，℃甲队女演员的身高更整齐．20．（1）a=85，b=80 ，c=85；（2）初中代表队决赛成绩的方差为70，初中代表队选手成绩较为稳定 【详解】解：（1）a=（75＋80＋85＋85＋100）÷5=85将高中部5名选手的决赛成绩从小到大排列为：70、75、80、100、100 ℃b=80初中部5名选手的决赛成绩中，85出现的次数多 ℃c=85（2）初中代表队决赛成绩的方差为()()()()2222758580858585210085705-+-+-⨯+-=，℃70＜160℃初中代表队选手成绩较为稳定．。

冀教版八年级（下）中考题单元试卷：第26章数据的代表值与离散程度（13）一、选择题（共15小题）1．2014年8月26日，第二届青奥会将在南京举行，甲、乙、丙、丁四位跨栏运动员在为该运动会积极准备．在某天“110米跨栏”训练中，每人各跑5次，据统计，他们的平均成绩都是13.2秒，甲、乙、丙、丁的成绩的方差分别是0.11、0.03、0.05、0.02．则当天这四位运动员“110米跨栏”的训练成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁2．某校要从四名学生中选拔一名参加市“风华小主播”大赛，选拔赛中每名学生的平均成绩及其方差s2如表所示，如果要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（）A．甲B．乙C．丙D．丁3．一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是（）A．2B．C．10D．4．射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击10次，平均环数均为8.7环，方差分别为S甲2＝0.51，S乙2＝0.41、S丙2＝0.62、S丁2＝0.45，则四人中成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．甲、乙两个同学在四次模拟试中，数学的平均成绩都是112分，方差分别是S甲2＝5，S 乙2＝12，则成绩比较稳定的是（）A．甲B．乙C．甲和乙一样D．无法确定6．下列说法正确的是（）A．数据1，2，3，2，5的中位数是3B．数据5，5，7，5，7，6，11的众数是7C．若甲组数据方差S2甲＝0.15，乙组数据方差S2乙＝0.15，则乙组数据比甲组数据稳定D．数据1，2，2，3，7的平均数是37．六箱救灾区物资的质量（单位：千克）分别是17，20，18，17，18，18，则这组数据的平均数，众数，方差依次是（）A．18，18，3B．18，18，1C．18，17.5，3D．17.5，18，1 8．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在5天中，两台机床每天出次品数如下表所示，则出次品波动较小的是（）A．甲机床B．乙机床C．两台机床一样D．无法判断9．有一组数据如下：3、a、4、6、7，它们的平均数是5，那么这组数据的方差是（）A．10B．C．2D．10．在某次射击训练中，甲、乙、丙、丁4人各射击10次，平均成绩相同，方差分别是S甲2＝0.35，S乙2＝0.15，S丙2＝0.25，S丁2＝0.27，这4人中成绩发挥最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁11．为了了解某校学生的课外阅读情况，随机抽查了10学生周阅读用时数，结果如下表：则关于这10名学生周阅读所用时间，下列说法正确的是（）A．中位数是6.5B．众数是12C．平均数是3.9D．方差是612．甲、乙、丙、丁四位同学最近五次数学成绩统计如表，如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加即将举行的中学生数学竞赛，那么应选（）A．甲B．乙C．丙D．丁13．甲、乙两名同学某学期的四次数学测试成绩（单位：分）如下表：据上表计算，甲、乙两名同学四次数学测试成绩的方差分别为S甲2＝17、S乙2＝25，下列说法正确的是（）A．甲同学四次数学测试成绩的平均数是89分B．甲同学四次数学测试成绩的中位数是90分C．乙同学四次数学测试成绩的众数是80分D．乙同学四次数学测试成绩较稳定14．若甲、乙、丙、丁四位同学一学期4次数学测试的平均成绩恰好都是85分，方差分别为S甲2＝0.80，S乙2＝1.31，S丙2＝1.72，S丁2＝0.42，则成绩最稳定的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁15．一组数据2，3，1，2，2的中位数、众数和方差分别是（）A．1，2，0.4B．2，2，4.4C．2，2，0.4D．2，1，0.4二、填空题（共14小题）16．甲、乙两台机器分别灌装每瓶质量为500克的酸奶，从甲、乙灌装的酸奶中分别随机抽取了30瓶，测得它们实际质量的方差是：S甲2＝4.8，S乙2＝3.6，那么（填“甲”或“乙”）机器灌装的酸奶质量较稳定．17．有一组数据：5，4，3，6，7，则这组数据的方差是．18．某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示：现该工程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，与调整前相比，该工程队员工月工资的方差（填“变小”、“不变”或“变大”）．19．在射击比赛中，某运动员的6次射击成绩（单位：环）为：7，8，10，8，9，6，计算这组数据的方差为．20．甲乙两人8次射击的成绩如图所示（单位：环）根据图中的信息判断，这8次射击中成绩比较稳定的是（填“甲”或“乙”）21．甲、乙丙三人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均为9.3环，方差分别为＝0.55，＝0.47，＝0.62，则三人射击成绩最稳定的是．22．若甲组数据为：5，7，3，6，4；乙组数据为：8，1，5，2，9，则s甲2s乙2（填“＞”或“＜”或“＝”）23．扎西和达娃进行射击比赛，每人射击10次，两人射击成绩的平均数都是9.2环，方差分别是S扎西2＝0.16，S达娃2＝0.76，则射击成绩较稳定的是．24．下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则甲、乙两人成绩比较稳定的是．25．一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，3，x，4，5，若这组数据的中位数为3，则这组数据的方差是．26．在某次军事夏令营射击考核中，甲、乙两名同学各进行了5次射击，射击成绩如图所示，则这两人中水平发挥较为稳定的是同学．27．甲、乙两人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是8.8环，方差分别是：S甲2＝0.8，则射击成绩较稳定的是．（填“甲”或“乙”）2＝1，S乙28．一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是．29．甲、乙两人各射击5次，成绩统计表如下：那么射击成绩比较稳定的是（填“甲”或“乙”）．三、解答题（共1小题）30．某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而做相应调整．营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如表统计表及不完整的折线图．A，B产品单价变化统计表并求得了A产品三次单价的平均数和方差：＝5.9，s A2＝[（6﹣5.9）2+（5.2﹣5.9）2+（6.5﹣5.9）2]＝（1）补全如图中B产品单价变化的折线图．B产品第三次的单价比上一次的单价降低了%（2）求B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；（3）该厂决定第四次调价，A产品的单价仍为6.5元/件，B产品的单价比3元/件上调m%（m＞0），使得A产品这四次单价的中位数是B产品四次单价中位数的2倍少1，求m的值．冀教版八年级（下）中考题单元试卷：第26章数据的代表值与离散程度（13）参考答案一、选择题（共15小题）1．D；2．B；3．A；4．B；5．A；6．D；7．B；8．A；9．C；10．B；11．D；12．B；13．B；14．D；15．C；二、填空题（共14小题）16．乙；17．2；18．变大；19．；20．甲；21．乙；22．＜；23．扎西；24．乙；25．；26．甲；27．乙；28．0；29．乙；三、解答题（共1小题）30．25；。

第二十九讲 最值问题求某个量、或者几个量的和、差、积、商的最大值和最小值，是数学问题中的一种常见类型，又在实际生活与生产实践中，我们经常碰到一些带有“最”字的问题，如投入最少、路程最短、材料最省等，这些问题我们称之为最值问题，在现阶段，解这类问题的基本知识与基本方法有：1．穷举获取；2．运用非负数的性质；3．利用不等分析逼近求解；4．使用几何公理、定理、性质等．解这类问题时，既要说明最值可以达到，又要证明不可能比所求的值更大(或更小)，前者需构造一个恰当的例子，后者需要详细说理．例题【例1】 设自然数x ，y ，m ，n 满足条件85===n m m y y x ，则x+y+m+n 的最小值是 ． (湖北省黄冈市竞赛题) 思路点拨 把连等式拆开用，用一个字母的代数式表示另一个字母，利用隐含整除条件，分别求出x ，y ，m ，n 的最小值．【例2】 设a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2=9，那么代数式(a 一b)2+(b —c)2+(c 一a)2的最大值是( )．A ．27B ．18C ．15D ．12(全国初中数学联赛题) 思路点拨 利用乘法公式，把代数式变形成与已知条件关联的式子，进而求出最大值．【例3】 已知n 、k 均为自然数，且满足不等式116137<+<k n n ，若对于某一给定的自然数n ，只有惟一的一个自然数k 使不等式成立，求所有符合要求的自然数中的最大数和最小数．(“希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 解关于k 的不等式组，利用已知条件的约束，通过穷举求出n 的最大数与最小数．注：解含等式、不等式组成的混合组的基本思路是：用消元法转化为只合有一个未知数的不等式(组)，解不等式(组)来逼近这个未知数的值，进而解出相关问题【例4】某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间(单位：小时)如图所示．若汽车行驶的平均速度为80千米／时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元，试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线，并求出所需费用最少为多少元?(全国初中数学竞赛题)思路点拨 即要求出此人从A 城出发到B 城的最短时间，而从A 城到B 城有多条线路，故只需一一列举，比较就可得出结论．【例5】 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品的所需工时和每台产值如下表：问：每周生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高?最高产值是多少(以千元为单位)?(河南省竞赛题)思路点拨 设每周生产空调器、彩电、冰箱各x 台、y 台、z 台，产值为s ，可得到关于x 、y 、z 的混合方程组，通过消元，建立一元不等式组，通过解不等式组，确定相应字母取值范围，进而求出x 的最大值．学力训练1．多项式些x 2+y 2一6x+8y+7的最小值为 ．(江苏省竞赛题)2．在式子4321+++++++x x x x 中，用不同的x 值代人，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的值为 ．3．如果把分数79的分子、分母分别加上正整数a ，b 结果等于139，那么a+b 的最小值是 ． (第15届江苏省竞赛题)4．当x ＝ 且y= 时，代数式－x 2一2y 2—2x+8y 一5有最大值，这个最大值是 ．5．若a 、b 、c 、d 为整数，且b 是正整数，满足b+c ＝d ，c+d ＝a ，a+b=c ，那么a+b+c+d 的最大值是( )．A ．一1B ．一5C ．0D ．16．多项式5x 2—4xy+4y 2+12x+25的最小值为( )．A ．4B ． 5C ．16D ．25(“五羊杯”竞赛题)7．已知2351312x x x --≥--，求31+--x x 的最大值和最小值． 8．某校举行庆祝“十六大”的文娱汇演，评出一等奖5个，二等奖l0个，三等奖15个．学校决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同，并且只能从下表所列物品中选取一件：(1)如果获奖等次越高，奖品单价就越高，那么学校最少要花多少钱买奖品?(2)学校要求一等奖的奖品单价是二等奖奖品单价的5倍，二等奖的奖品单价是三等奖奖品单价的4倍，在总费用不超过1000元的前提下，有几种购买方案?花费最多的一种方案需要多少钱?(江苏泰州市试题)9．现有某物质73吨，计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走，且每辆车都要装满，已知载重量7吨的卡车每台车运费65元，载重量5吨的卡车每台车运费50元，问最省运费是多少元?(重庆市竞赛题)10．设m ，n 是非零自然数，并且19n 2一98n —m ＝0，则m+n 的最小值是 ． (国家理科实验班招生试题)11．设a 1，a 2，…，a k 为k 个互不相同的正整数，且a 1+a 2+…+a k ＝1995，那么k 的最大值是 ．12．a 、b 、c 是非负数，并且满足3a+2b+c ＝5，2a+b －3c=1，设m ＝3a+b －7c ，设x 为m 的最小值，y 为m 的最大值，则xy ＝ ．(2003年北京市竞赛题)13．甲、乙两个粮库分别存粮600吨、1400吨，A 、B 两市分别用粮1200吨、800吨，需从甲、乙两粮库调运，由甲库到A 、B 两市的运费分别为6元／吨、5元／吨；由 乙库到A 、B 两市的运费分别是9元／吨、6元／吨，则总运费最少需 元．(北京市“迎春杯”竞赛题)14．设a 、b 、c 、d 都是整数，且a<3b ，b<5c ，c<7d ，d<30，则a 的最大可能值是 ( )．A ．3026B ．3029C ．3045D ．3150(“数学新蕾”竞赛题)15．某种出租车的收费标准是：起步价5元(即行驶距离不超过3千米都需付5元车费)，超过3千米以后，每增加0．5千米，加收0．9元(不足0．5千米按0．5千米计)．某人乘坐这种出租车从甲地到乙地共支付车费19．4元，则此人从甲地到乙地经过的路的最远可能值是( )千米．A ．12B ．11C ．10D ．9(重庆市竞赛题)16．把一根lm 长的金属线材，截成长为23cm 和13cm 的两种规格，用怎样的方案截取材料利用率最高?求出最高利用率．（利用率＝%100 原材料长度实际利用材料长度，截口损耗不计） (江苏省竞赛题)17．已知a 1，a 2，…，a 2000的值都是+1或－1，设S 是这2002个数的两两乘积之和．(1)求S 的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；(2)求S 的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．(“我爱数学”夏令营竞赛题)18．6盒火柴按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻2盒必须是以完全重合的面对接，最后得到的包装形状要是一个长方体．已知火柴盒的长、宽、高尺寸分别是：a ＝46mm ，b ＝36mm ，c=16mm ，请你给出一种能使表面积最小的打包方式，并画出其示意图．19．永强加工厂接到一批订单，为完成订单任务，需用a 米长的材料440根，b 米长的材料480根，可采购到的原料有三种，一根甲种原料可截得a 米长的材料4根，6米长的材料8根，成本为60元；一根乙种原料可截得a 米长的材料6根，b 米长的材料2根，成本为50元；一根丙种原料可截得a 米长的材料4根，b 米长的材料4根，成本为40元．问怎样采购，可使材料成本最低?(第六届北京市数学知识应用竞赛试题)参考答案。