最大值、最小值问题

第2章 2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型1.理解最值概念，并能应用柯西不等式、平均值不等式求函数的最值.2.能利用不等式解决有关的实际问题.[基础·初探]教材整理 最值问题，优化的数学模型 1.最值设D 为f (x )的定义域，如果存在x 0∈D ，使得f (x )≤f (x 0)(f (x )≥f (x 0))，x ∈D ，则称f (x 0)为f (x )在D 上的最大(小)值，x 0称为f (x )在D 上的最大(小)值点.寻求函数的最大(小)值及最大(小)值问题统称为最值问题，它属于更一般的问题——极值问题的一个特别的情况.2.分离常数法分离常数法就是在分子中凑出与分母相同的项，然后约分.这在求含有分式的最值问题时经常用到.这种类型的最值问题也可以用去分母的方法转化成关于x 的二次方程，然后利用判别式求最值.用平均值不等式来解此类问题时，特别要注意等号成立的条件.1.已知0＜x ＜1，则x (1－x )取最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.14 D.23 【解析】 ∵0＜x ＜1， ∴x (1－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(1－x )22＝14， 当且仅当x ＝12时取等号.【答案】 B2.已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t 的最小值为________. 【解析】 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2.[再练一题]2.设x ，y ，z ∈R ，且(x －1)216＋(y ＋2)25＋(z －3)24＝1.求x ＋y ＋z 的最大值和最小值.【解】 根据柯西不等式，知[42＋(5)2＋22]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋252＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z －322≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤4·x －14＋5·y ＋25＋2·z －322，当且仅当x －116＝y ＋25＝z －34，即x ＝215，y ＝－1，z ＝195或x ＝－115，y ＝－3，z ＝115时等号成立.∴25×1≥(x ＋y ＋z －2)2. ∴|x ＋y ＋z －2|≤5， ∴－3≤x ＋y ＋z ≤7，即x ＋y ＋z 的最大值为7，最小值为－3.利用二次函数求最值某地区地理环境偏僻，严重制约着经济发展，某种土特产品只能在本地销售，该地区政府每投资x 万元，所获利润为P ＝－1160(x －40)2＋10万元，为顺应开发大西北的宏伟决策，该地区政府在制订经济发展十年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目投资的专项财政拨款每年都是60万元，若开发该产品，必须在前5年中，每年从60万元专款中拿出30万元投资修建一条公路，且5年可以修通，公路修通后该土特产品在异地销售，每投资x 万元，可获利润Q ＝－159160(60－x )2＋1192(60－x )万元.问：从10年的总利润来看，该项目有无开发价值？【精彩点拨】 分别求出开发前、后该项目10年利润的最大值，比较大小即可.【自主解答】 若按原来投资环境不变，由题设知，每年只需从60万元中拿出40万元投资，可获最大利润10万元.这样10年总利润最大值为W ＝10×10＝100(万元).若对该产品开发，则前5年中，当x ＝30时，P max ＝758，前5年总利润为W 1＝758×5＝3758(万元)；设后5年中，x 万元用于本地销售投资，60－x 万元用于异地销售投资，则总利润W 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1160(x －40)2＋10×5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－159160x 2＋1192x ×5＝－5(x －30)2＋4 500， 当x ＝30时，(W 2)max ＝4 500. ∴10年总利润最大值为3758＋4 500(万元). 因3758＋4 500>100，故该项目具有极大的开发价值.1.本题实际上是两个二次函数的叠加问题，叠加后的二次函数最值要比叠加前的二次函数最值大，从而得解.本题的现实意义也很大.2.解不等式应用题的步骤(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系； (2)引入数学符号，用不等式表示不等关系，使其数学化； (3)求解不等式； (4)还原实际问题. [再练一题]2.某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点.(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围.【解】(1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元.依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝150a(100＋2x)(10－x)(0<x<10).(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元).依题意得：150a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得，x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.又∵0<x<10，∴0<x≤2，∴x的取值范围是0<x≤2.[探究共研型]利用不等式解决实际问题探究利用不等式解决实际问题的步骤是什么？【提示】利用不等式解决实际应用问题，一般可分四个步骤：(1)阅读理解材料，弄清问题背景.(2)建立合理的数学模型，将实际问题转化为数学问题.(3)运用不等式的知识、手段讨论不等式关系.(4)做出结论.然后利用柯西不等式、均值不等式或二次函数等方法来求最值.如图2-4-1所示，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线翻折成一个无盖方底的盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？图2-4-1【精彩点拨】 设切去的小正方形的边长为x ，由题意可知，折成的盒子的底面边长为a －2x ，高为x ，这时盒子的容积为V ＝(a －2x )2x ，再利用三个正数的算术－几何平均值不等式，变形为xyz ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y ＋z 33求解即可. 【自主解答】 设切去的小正方形的边长为x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x <a 2，无盖方底盒子的容积为V ，则V ＝(a －2x )2x ＝14(a －2x )·(a －2x )×4x ≤14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a －2x )＋(a －2x )＋4x 33＝2a 327. 当且仅当a －2x ＝a －2x ＝4x ，即当x ＝a6时，不等式取等号，此时V 取最大值2a 327，即当切去的小正方形边长是原来正方形边长的16时，折成的盒子容积最大. 在解决实际问题时，阅读理解题意，建立数学模型是关键，在求解数学模型时，平均值不等式是常用的手段之一.[再练一题]3.用一块钢锭浇铸一个厚度均匀且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器(如图2-4-2)，设容器的高为h 米，盖子边长为a 米.图2-4-2(1)求a 关于h 的函数解析式；(2)设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值. (求解本题时，不计容器的厚度) 【解】 (1)设h ′为正四棱锥的斜高， 由已知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4·12h ′a ＝2，h 2＋14a 2＝h ′2，解得a ＝1h 2＋1(h >0).(2)由V ＝13ha 2＝h 3(h 2＋1)(h >0)，易得V ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＋1h .∵h ＋1h ≥2h ·1h ＝2，∴V ≤16. 等号当且仅当h ＝1h ，即h ＝1时取得.故当h ＝1米时，V 有最大值，V 的最大值为16立方米.[构建·体系]最值问题—⎪⎪⎪⎪⎪⎪—最大值、最小值——分离常数法——应用1.已知x >1，y >1，且lg x ＋lg y ＝4，那么lg x ·lg y 的最大值是( ) A.2 B.12 C.14D.4【解析】 ∵4＝lg x ＋lg y ≥2lg x ·lg y ， ∴lg x ·lg y ≤4. 【答案】 D2.已知a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是( )【导学号：38000046】A.2 6B. 6C.6D.12【解析】 (4a ＋1＋4b ＋1)2 ＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2]＝2×(4×1＋2)＝12， 当且仅当4b ＋1＝4a ＋1，即a ＝b ＝12时等号成立.【答案】 D3.数列{a n }的通项公式a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( ) A.第9项 B.第8项和第9项 C.第10项D.第9项和第10项 【解析】 a n ＝n n 2＋90＝1n ＋90n ≤12n ×90n ＝1610， 当且仅当n ＝90n ，即n ＝310时等号成立. 又n 为正整数，检验可知选D. 【答案】 D4.函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________. 【解析】 因为函数的定义域为[1,5]，且y >0，则 y ＝5x －1＋2·5－x ≤52＋(2)2×(x －1)2＋(5－x )2＝27×4＝6 3.当且仅当2·x －1＝5·5－x 时，等号成立， 即x ＝12727时，函数取最大值6 3. 【答案】 6 35.(1)求函数y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值；(2)求函数y ＝cos 2x (1＋sin x )的最大值； (3)设x >1，求函数y ＝log 2x ＋log x 4的最小值. 【解】 (1)设l ＝x 2＋4，则l ≥2，于是y ＝x 2＋4＋1x 2＋4＝l ＋1l .∵y ′＝1－1l 2＝l 2－1l2，∴当l ∈[2，＋∞)时，y ′>0，即在[2，＋∞)上函数单调递增，∴当l ＝2，即x ＝0时，y 取得最小值，最小值为y ＝2＋12＝52.(2)y ＝(1－sin 2x )(1＋sin x ) ＝(1－sin x )(1＋sin x )(1＋sin x ) ＝4(1－sin x )·1＋sin x 2·1＋sin x2≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x ＋1＋sin x 2＋1＋sin x 233＝4×827＝3227. 等号成立⇔1－sin x ＝1＋sin x 2⇔sin x ＝13，方程sin x ＝13有解，于是函数y＝cos 2x (1＋sin x )有最大值3227. (3)当x >1时，log 2x >0，log x 4>0，于是 y ＝log 2x ＋log x 4＝log 2x ＋2log 2x≥2 2.等号成立⇔log 2x ＝2log 2x ⇔log 2x ＝2(log 2x ＝－2舍去)⇔x ＝22，于是y min＝2 2.我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

函数的最大值与最小值我们常常遇到求最大值和最小值的问题，在许多情况下可以归结为求函数的最大值与最小值．这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用．本讲从四个方面来讨论如何求解函数的最大值与最小值问题．1．一次函数的最大值与最小值一次函数y=kx＋b在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的，但是，如果对自变量x的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了．例1 设a是大于零的常数，且a≠1，求y的最大值与最小值．大值a．例2 已知x，y，z是非负实数，且满足条件 x＋y＋z=30，3x+y-z=50．求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．分析题设条件给出两个方程，三个未知数x，y，z，当然，x，y，z的具体数值是不能求出的．但是，我们固定其中一个，不妨固定x，那么y，z都可以用x来表示，于是u便是x的函数了．解从已知条件可解得 y=40-2x，z=x-10．所以u=5x＋4y+2z＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)=-x+140．又y，z均为非负实数，所以解得10≤x≤20．由于函数u=-x＋140是随着x的增加而减小的，所以当x=10时，u有最大值130；当x= 20时，u有最小值120．2．二次函数的最大值与最小值例3 已知x1，x2是方程 x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0解由于二次方程有实根，所以△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，3k2＋16k＋16≤0，例4 已知函数有最大值-3，求实数a的值．解因为的范围内分三种情况讨论．-a2＋4a-1＝-3例5 已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE(如图3－12)，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．解设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面积 S=xy，2≤X≤4．易知CN=4-x，EM=4-y，且有二次函数S=f(x)的图像开口向下，对称轴为x=5，故当x≤5时，函数值是随x的增加而增加，所以，对满足2≤x≤4的S来说，当x=4时有最大值例6 设p＞0，x=p时，二次函数f(x)有最大值5，二次函数g(x)的最小值为-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+1 6x+13．求g(x)的解析式和p的值．解由题设知f(p)=5，g(p)=25，f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，所以 p2＋16p+13=30， p=1(p=-17舍去)．由于f(x)在x=1时有最大值5，故设 f(x)=a(x-1)2+5，a＜0，所以g(x)=x2+16x+13-f(x)=(1-a)x2+2(a＋8)x＋8-a．由于g(x)的最小值是-2，于是解得a=-2，从而g(x)=3x2＋12x＋10．3．分式函数的最大值与最小值法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式△≥0，得出y的取值范围，进而定出y的最大值和最小值．解去分母、整理得(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．△≥0，即△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y＋3)≥0，解得-4≤y≤1．时，取最小值-4，当x=-2时，y取最大值1．说明本题求最值的方法叫作判别法，这也是一种常用的方法．但在用判别法求最值时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与最值相应的x值．解将原函数去分母，并整理得yx2-ax＋(y-b)＝0．因x是实数，故△=(-a)2-4?y?(y-b)≥0，由题设知，y的最大值为4，最小值为-1，所以(y+1)(y-4)≤0，即y2-3y-4≤0．②由①，②得所以a=±4，b=3．4．其他函数的最大值与最小值处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个上界或下界．解先估计y的下界．又当x=1时，y=1，所以，y的最小值为1．说明在求最小(大)值，估计了下(上)界后，一定要举例说明这个界是能取到的，才能说这就是最小(大)值，否则就不一定对了．例如，本题我们也可以这样估计：但无论x取什么值时，y取不到-3，即-3不能作为y的最小值．例10 设x，y是实数，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值．分析先将u看作是x的二次函数(把y看作常数)，进行配方后，再把余下的关于y的代数式写成y的二次函数，再配方后，便可估计出下界来．又当x=0，y=1时，u=-1，所以，u的最小值为-1．例11 求函数的最大值，并求此时的x值，其中[a]表示不超过a的最大整数．练习1．填空：(1)函数y=x2＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．(3)已知函数y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，则a=_____．是_______．(5)设函数y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M，为使M最大，k=_____．2．设f(x)=kx＋1是x的函数，以m(k)表示函数f(x)=kx＋1在-1≤x≤3条件下的最大值，求函数m(k)的解析式和其最小值．3．x，y，z是非负实数，且满足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值与最小值．4．已知x2＋2y2=1，求2x＋5y2的最大值和最小值．交点间的距离的平方最小，求m的值．6．已知二次函数y=x2＋2(a＋3)x＋2a＋4的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为α，β，当实数a变动时，求(α-1)2＋(β-1)2的最小值．。

求最大值最小值的方法在数学和统计学中，求最大值和最小值是非常常见的问题，它们在各种实际问题中都有着重要的应用。

在本文中，我们将介绍几种常见的方法来求解最大值和最小值的问题，以便读者能够更好地理解和应用这些方法。

一、暴力搜索法。

暴力搜索法是最简单直接的方法之一，它的思想是通过遍历所有可能的解，然后找出其中的最大值或最小值。

这种方法的优点是简单易懂，适用于各种类型的问题，但缺点是效率较低，当问题规模较大时，时间复杂度会很高。

二、数学分析法。

数学分析法是一种通过对函数进行求导或者进行数学推导来求解最大值和最小值的方法。

这种方法通常适用于连续函数或者可导函数的求解，通过求解函数的导数为零的点或者进行二阶导数的判定，可以得到函数的极值点。

数学分析法的优点是可以得到精确的最大值和最小值，但缺点是只适用于特定类型的函数，对于复杂函数求解可能较为困难。

三、贪心算法。

贪心算法是一种通过每一步都选择当前状态下的最优解，从而希望最终得到全局最优解的方法。

对于求最大值和最小值的问题，贪心算法通常适用于具有最优子结构的问题，通过不断选择局部最优解，最终得到全局最优解。

贪心算法的优点是简单高效，但缺点是可能得不到全局最优解，只能得到局部最优解。

四、动态规划法。

动态规划法是一种通过将原问题分解为若干个子问题，然后通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解的方法。

对于求最大值和最小值的问题，动态规划法通常适用于具有重叠子问题和最优子结构的问题，通过存储子问题的解，避免重复计算，从而提高效率。

动态规划法的优点是可以得到全局最优解，但缺点是需要存储大量的中间结果，对于问题规模较大时，空间复杂度较高。

综上所述，求最大值和最小值的方法有很多种，每种方法都有其适用的场景和局限性。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解最大值和最小值的问题，从而得到更好的解决方案。

希望本文能够帮助读者更好地理解和应用这些方法。

方法技巧练——最大值与最小值问题1.数字排列中的最大值与最小值。

解决数字排列中的最大值与最小值问题,要清楚:一个自然数,数位越多,这个数越大;数位越少,这个数越小。

(1)一个六位的自然数,各个数位上的数字之和是13,这个自然数最大是( 940000),最小是( 100039)。

(2)一个八位的自然数,各个数位上的数字之和是21,这个自然数最大是( 99300000),最小是( 10000299)。

2.根据近似数推断精确数的最大值与最小值。

根据近似数推断精确数的最大值与最小值,要把两种情况考虑完整:这个精确数可能比近似数大,是经过“四舍”得到的;这个精确数也可能比近似数小,是经过“五入”得到的。

再结合数值最大与最小的原则确定每一位上的数字。

(1)一个自然数,省略万位后面的尾数得到的近似数是93万,最大是多少?最小是多少?最大:934999 最小:925000【提示】“四舍五入”后是93万,“四舍”→万位上的数是3→千位上最大是4,其余各位最大是9→最大数。

“五入”→万位上的数是2→千位上最小是5,其余各位最小是0→最小数。

(2)一个整数的近似数是200万,这个数最大是多少?最小是多少?最大:2004999 最小:19950003.两个数的和一定,积的最大值与最小值。

(1)两个数的和是26,这两个数分别是多少时,积最大?13+13=2613×13=169答:积最大是169。

(2)两个数的和是43,这两个数相乘,积最大是多少?21+22=43 并且两个加数最接近21×22=462答:积最大是462。

(3)两个数的和是52,这两个数相乘,积最大是多少?26+26=52 26×26=676答:积最大是676。

(4)用1,4,5,8这四个数字组成两个无重复数字的两位数,再把这两个数相乘,积最大是多少?最小是多少?积最大:先确定两个因数的十位8,5,再根据两个因数的相近原理确定个位81×54=4374积最小:先确定两个因数的十位1,4,再根据两个因数的相近原理确定个位15×48=720答:积最大是4374,最小是720。

七年级数学最大值最小值题型
七年级数学中，最大值和最小值的题型是比较常见的。

以下是一些常见的题型：1.代数式求最值：给定一个代数式，求其最大值或最小值。

例如，已知x、y、z均为非负数，且满足x+y+z=30，求M=5x+4y+2z的最小值和最大值。

2.实际应用题：在解决实际问题时，经常需要求最值。

例如，求一个几何图
形中最大面积或最小周长等问题。

3.最大（小）值点问题：给定一个函数，求其最大（小）值点。

例如，求二
次函数y=ax²+bx+c的最大（小）值点。

4.利用不等式求最值：通过不等式的性质，将代数式进行适当变形，然后利
用不等式求解。

例如，已知x、y、z均为正数，且满足x+y+z=3，求xy+yz+zx 的最小值。

5.利用函数的单调性求最值：通过函数的单调性来判断函数的最值。

例如，
求一个二次函数在指定区间内的最大（小）值。

以上是一些常见的最大值和最小值的题型，需要学生掌握相应的解题方法和技巧。

同时，还需要多做练习题，加深对知识的理解和掌握。

2.2 最大值，最小值问题1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,1．求函数593)(23+--=x x x x f 在]4,2[-上的最大值和最小值。

【解析】)3)(1(3963)(2-+=+-='x x x x x f令0)(='x f ，得3,121=-=x x ， 由于15)4(,3)2(,22)3(,10)1(-==--==-f f f f所以，)(x f 在在]4,2[-上的最大值是10)1(=-f ，最小值是22)3(-=f 。

2． 已知某商品的需求函数为x Q 1001000-=，从成本函数为Q C 31000+=。

最大值和最小值问题2.2 最大值、最小值问题教学过程：一、复习引入：极大值：一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x0)，x0是极大值点2.极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点3.极大值与极小值统称为极值注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点二、讲解新课：1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大值是，最小值是．一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值．说明：⑴在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求在内的极值；⑵将的各极值与、比较得出函数在上的最值三、讲解范例：例1求函数在区间上的最大值与最小值例2已知x,y为正实数，且满足，求的取值范围例3.设 ,函数的最大值为1,最小值为 ,求常数a,b 例4已知, ∈(0,+∞).是否存在实数 ,使同时满足下列两个条件：（1） )在（0，1）上是减函数，在［1，+∞)上是增函数；（2）的最小值是1，若存在，求出，若不存在，说明理由.四、课堂练习：1．下列说法正确的是( )A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x) ( )A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能3.函数y= ，在［－1，1］上的最小值为( )A.0B.－2 C.－1D函数y= 的最大值为( )。