下载文档原格式
极值与最值问题极值与最值问题是数学中一个重要的概念，涉及到函数的最大值和最小值的求解。
在实际应用中，我们常常需要找到某个函数在给定区间上的最大或最小值，以便做出最优的决策。
本文将介绍极值与最值问题的定义、求解方法以及一些实际应用。
一、极值与最值问题的定义在数学中，给定一个函数f(x)，我们称x=a为f(x)的极大值点，如果存在一个ε>0，对任意的x∈(a-ε，a+ε)，有f(x)≤f(a)。
类似地，我们称x=a为f(x)的极小值点，如果存在一个ε>0，对任意的x∈(a-ε，a+ε)，有f(x)≥f(a)。
最大值和最小值是函数在给定区间上的极大值和极小值。
设[a,b]是一个闭区间，函数f(x)在[a,b]上有定义。
如果对于任意的x∈[a,b]，都有f(x)≤f(a)，则称f(a)为函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值。
同样地，如果对于任意的x∈[a,b]，都有f(x)≥f(a)，则称f(a)为函数f(x)在闭区间[a,b]上的最小值。
二、求解极值与最值的方法1. 极值点的求解方法要找到函数f(x)的极值点，可以通过求解f'(x)=0来实现。
具体步骤如下：1) 求函数f(x)的导函数f'(x)；2) 解方程f'(x)=0，得到x=k；3) 判断k是否为极值点，即判断二阶导数f''(x)的符号。
a. 如果f''(k)>0，说明f(x)在k处取极小值；b. 如果f''(k)<0，说明f(x)在k处取极大值；c. 如果f''(k)=0，说明x=k处可能为极值点，需进行进一步的分析。
2. 最值的求解方法为了找到函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值，可以通过以下步骤进行：1) 计算函数f(x)在区间端点a和b处的函数值：f(a)和f(b)；2) 计算函数f(x)在(a,b)内的临界点，即f'(x)=0的解x=c；3) 计算函数f(x)在(a,b)内的驻点，即f'(x)不存在的解x=d。
最大值与最小值在数学问题中的应用在数学中，最大值和最小值是两个重要的概念，它们在各种数学问题中都有广泛的应用。
无论是在代数、几何还是概率统计等领域，最大值和最小值都扮演着重要的角色。
本文将探讨最大值和最小值在数学问题中的应用，并通过具体的例子来说明它们的重要性。
一、最大值和最小值在代数问题中的应用在代数中，最大值和最小值通常与方程和不等式相关。
考虑一个简单的方程问题：求解方程f(x) = 0的最大值和最小值。
在这种情况下，我们需要找到使得f(x)= 0的x值，其中f(x)是一个给定的函数。
最大值和最小值的概念可以帮助我们确定方程的解集。
例如，考虑方程x^2 - 4 = 0。
我们可以将f(x) = x^2 - 4表示为一个二次函数。
通过求导数，我们可以找到函数的极值点。
在这种情况下，极值点就是最大值和最小值。
通过求导数，我们可以得到f'(x) = 2x。
令f'(x) = 0，我们可以解得x = 0。
将x = 0代入f(x) = x^2 - 4，我们得到f(0) = -4。
因此，方程的最小值为-4。
类似地，我们可以通过求导数找到方程的最大值。
在这个例子中，方程的最大值为4。
通过求解方程f(x) = 0的最大值和最小值，我们可以得到方程的解集为{-2, 2}。
二、最大值和最小值在几何问题中的应用在几何中，最大值和最小值通常与图形的特征相关。
考虑一个简单的几何问题：求解一个矩形的最大面积。
在这种情况下，我们需要找到一个矩形的尺寸，使得它的面积最大。
假设矩形的长为L，宽为W。
矩形的面积可以表示为A = L * W。
我们可以通过求导数的方法找到矩形面积的最大值。
通过求导数，我们可以得到A' = W + L =0。
解这个方程，我们可以得到W = L。
因此，当长和宽相等时，矩形的面积最大。
这意味着一个正方形具有最大的面积。
通过求解矩形的最大面积问题，我们可以得到一个有趣的结论：在所有具有相同周长的矩形中，正方形具有最大的面积。
数字的最大值与最小值数字的最大值与最小值在我们的日常生活中扮演着重要的角色。
无论是在数学领域还是在其他应用领域，了解数字的最大和最小值是解决问题的关键。
本文从数学、统计学和计算机科学的角度探讨数字的最大值与最小值的概念、计算方法以及应用场景。
一、最大值与最小值的概念在数学中，最大值指的是一组数字中最大的那个数字，而最小值是指一组数字中最小的那个数字。
例如，在数字1、3、5、7、9中，最大值是9，最小值是1。
最大值与最小值是描述一组数字的极值。
二、最大值与最小值的计算方法计算一组数字的最大值与最小值可以使用各种方法。
以下是几种常见的计算方法：1. 遍历比较法：通过遍历一组数字并将每个数字与当前最大值和最小值进行比较，来找出最大值和最小值。
这种方法适用于小规模的数字集合。
2. 排序法：将一组数字进行排序，最大值就是排序后的最后一个数字，最小值就是排序后的第一个数字。
这种方法适用于较大规模的数字集合，但需要进行排序操作。
3. 数学函数法：利用数学函数来计算最大值与最小值。
例如，在计算机科学中，可以使用max()和min()函数来求解最大值和最小值。
这种方法通常使用较多，因为它简单、高效。
三、最大值与最小值的应用场景1. 数据分析与统计学：在数据分析与统计学中，最大值和最小值可以帮助我们了解数据的分布情况以及异常值的存在。
例如，在销售数据中，最大值和最小值可以告诉我们某个产品的最高销量和最低销量。
2. 程序设计与算法：在程序设计与算法中，最大值和最小值可以用于解决各种问题。
例如，找出一个数组中的最大数或最小数，或者确定一个数是否在某个范围内。
这些问题可以通过遍历比较、排序或数学函数等方法来解决。
3. 游戏设计：在游戏设计中，最大值和最小值可以用于确定游戏的得分、时间、速度等参数。
通过设定最大和最小值，可以控制游戏的难度和挑战性。
四、总结数字的最大值与最小值在数学、统计学和计算机科学中有着广泛的应用。
了解数字的最大值和最小值可以帮助我们解决各种问题，从数据分析到算法设计，从游戏开发到实际应用中的各种领域。
高中函数的极值与最值问题函数是数学中的重要概念之一，它描述了两个变量之间的关系。
在高中数学学习中，我们经常遇到关于函数的极值与最值问题，这是一类常见且重要的问题。
本文将详细介绍高中函数的极值与最值问题，以帮助读者更好地理解和解决这类题目。
一、函数的极值与最值概念函数的极值包括极大值和极小值，统称为极值。
极大值对应函数的最大值，极小值对应函数的最小值。
最值问题是要求在一定条件下找到函数的最大值或最小值。
1. 极值的定义设函数y=f(x)在点x0处取得极大值，如果对于x0的某个邻域上的任意一点x，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数的极大值。
类似地，如果对于x0的某个邻域上的任意一点x，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数的极小值。
2. 最值的定义给定一个函数，如果在其定义域上存在一个点x1，使得对于定义域上的任意一点x，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数的最大值。
类似地，如果对于定义域上的任意一点x，都有f(x)≥f(x1)，则称f(x1)为函数的最小值。
二、求解函数的极值与最值的方法在高中数学中，求解函数的极值与最值可以采用以下方法：1. 导数法当函数的导数存在时，可以通过求导数的方法来找到函数的极值。
具体步骤如下：（1）求出函数的导数f'(x)；（2）令f'(x)=0，求出导数为零的临界点；（3）将临界点和函数的端点代入原函数，并比较函数值，找到最大值与最小值。
2. 函数图像法通过绘制函数的图像，可以直观地找到函数的极值与最值。
具体步骤如下：（1）绘制函数的图像；（2）观察图像的极值点和最值点，标出对应的坐标。
3. 区间端点法当函数在特定区间上连续且可导时，可以通过将函数在区间两个端点处的值进行比较来找到函数的最值。
具体步骤如下：（1）计算函数在区间的两个端点处的函数值；（2）比较函数值，找出最大值与最小值。
三、应用举例下面通过两个例子来说明如何求解函数的极值与最值问题。
函数的最值与最值问题的应用在数学中，函数的最大值和最小值是一种重要的概念。
它们可以在求解问题时提供有用的信息和指导。
本文将探讨函数的最值以及最值问题的应用。
一、函数的最值函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。
函数的最值可以用于确定函数的范围、优化问题的求解，以及解决实际问题。
对于一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)，如果在该区间上存在x1和x2，使得f(x1)≤ f(x) ≤ f(x2)，则f(x)在区间[a, b]上取得最大值和最小值。
通常将最大值称为函数的极大值，最小值称为函数的极小值。
函数的最值可以通过找函数的驻点和端点来确定。
驻点是指函数在该点的导数等于零或不存在，也就是函数在该点的斜率为零或无穷。
端点是指函数定义域的边界点。
二、最值问题的应用函数的最值问题在现实生活中有广泛的应用。
以下是一些典型的最值问题示例：1. 最大收益问题：假设你要投资一笔资金，在不同的投资产品（如股票、债券、房地产等）之间进行选择。
每个产品的收益率都是一个函数。
你的目标是找到最佳的投资组合，使得总收益最大化。
2. 最短路径问题：在地图上寻找两个地点之间的最短路径。
这是一个常见的导航问题，可以用最值问题求解。
每个地点可以看作是函数的定义域，路程可以看作是函数的值。
3. 最优生产问题：在生产过程中，选择最佳的生产方案，以最大化利润或最小化成本。
这涉及到多个变量，每个变量都可以看作是一个函数的值，可以通过最值问题求解最优解。
4. 最优设计问题：在工程设计中，选择最佳的设计方案，以满足特定的需求。
这个问题通常涉及到约束条件，需要找到符合条件的最佳解。
5. 最佳装箱问题：在物流领域，将不同大小的物品装箱，如何使得装箱数量最小化或装箱空间利用率最高化是一个经典的最值问题。
这些应用示例说明了最值问题在不同领域的实际意义。
三、结论函数的最值是数学中重要的概念之一，它可以帮助我们确定函数的范围、优化问题的求解，以及解决实际问题。
函数的极值与最大(小)值(解析版)函数的极值与最大(小)值（解析版）函数的极值与最大(小)值是数学分析中一个重要的概念和研究内容，它在很多领域具有广泛的应用，如经济学、物理学、工程学等。
本文将介绍函数的极值与最大(小)值的定义、求解方法以及一些实际问题中的应用。
一、函数的极值与最大(小)值的概念函数的极值是指在一个特定的区间内，函数取得的最大值或最小值。
定义域中的极值点可以是局部极大值或局部极小值，也可是全局的最大值或最小值。
二、求解函数的极值与最大(小)值求解函数的极值与最大(小)值通常有以下方法：1. 导数法：根据函数的导数（或导函数），可以找到函数的驻点和拐点，并通过一阶和二阶导数的符号来判断极值点的类型，即极大值或极小值。
其中，一阶导数为零的点即为函数的驻点，二阶导数为零的点即为函数的拐点。
2. 边界法：在给定的区间内，如果函数在区间的端点处取得最大或最小值，则该值也是函数的极值。
通过比较函数在边界点和内部点的取值，可以确定函数的最大(小)值。
3. 高阶导数法：对于一些特殊的函数，可以通过多阶导数的方法求解极值。
通过计算函数的高阶导数，可以得到函数的极值点。
4. 参数方程法：对于参数方程给出的函数，可以通过求解参数方程中的参数值，得到函数的极值。
这种方法在实际问题中应用较多。
三、实际问题中的应用函数的极值与最大(小)值在各个领域中都有广泛的应用，例如：1. 经济学中，通过对供需函数的极值分析，可以确定市场的均衡价格和数量，从而指导市场调节和政策制定。
2. 物理学中，通过对物体运动轨迹方程的极值分析，可以确定物体在运动过程中最大(小)值速度、加速度等相关参数。
3. 工程学中，通过对成本、效益、材料使用等函数的极值分析，可以优化设计方案，提高工程效率和经济性。
4. 生物学中，通过对生态系统中的种群数量变化函数的极值分析，可以研究种群的稳定性和生态系统的平衡状态。
总之，函数的极值与最大(小)值是数学分析中的重要内容，它不仅具有理论意义，还在实际应用中发挥着重要的作用。
5.3.2导数的极值与最大（小）值一、导数的极值1、极值的概念：极大值与极小值统称为极值（1）函数的极大值：一般地，设函数y ＝f (x )在点x 0及附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数y ＝f (x )的一个极大值，记作y 极大值＝f (x 0)，x 0是极大值点．（2）函数的极小值：一般地，设函数y ＝f (x )在点x 0及附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)，就说f (x 0)是函数y ＝f (x )的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)，x 0是极小值点．2、极值与导数的关系如图（1），若x 0是极大值点，则在x 0的左侧附近f (x )只能是增函数，即f ′(x )>0，在x 0的右侧附近f (x )只能是减函数，即f ′(x )<0.如图（2），若x 0是极小值点，则在x 0的左侧附近f (x )只能是减函数，即f ′(x )<0；在x 0的右侧附近f (x )只能是增函数，即f ′(x )>0.综合以上情形，可以得到：若x 0满足f ′(x 0)＝0，且在x 0的两侧f (x )的导数异号，则x 0是f (x )的极值点，f (x 0)是极值．若f ′(x )在x 0的两侧满足“左正右负”，则x 0是f (x )的极大值点，f (x 0)是极大值；若f ′(x )在x 0的两侧满足“左负右正”，则x 0是f (x )的极小值点，f (x 0)是极小值．【注意】（1）可导函数的极值点．必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即“点x 0是可导函数f (x )的极值点”是“f ′(x 0)＝0”的充分不必要条件．不可导的点可能是极值点也可能不是极值点．例如：①导数为0的点是极值点：y ＝x 2，y ′|x ＝0＝0，x ＝0是极值点．②导数为0的点不是极值点：y ＝x 3，y ′|x ＝0＝0，x ＝0不是极值点．③不可导的点是极值点：y ＝|sin x |，x ＝0不可导，但x ＝0是极值点．（2）函数的极值只是一个局部性的概念，是仅对某一点及左、右两侧区域而言的．在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大，如图，点x 1、x 3是极大值点，x 2、x 4是极小值点，且在点x 1处的极大值小于在点上x 4处的极小值．（3）极值点是自变量的值，极值指的是函数值．（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．（5）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝对不会是单调函数，即在区间上的单调函数没有极值．3、利用导数求函数极值的方法步骤（1）求导数f ′(x )；（2）求方程f ′(x )＝0的所有实数根；（3）观察在每个根x 0附近，从左到右导函数f ′(x )的符号如何变化．①如果f ′(x )的符号由正变负，则f (x 0)是极大值；②如果由负变正，则f (x 0)是极小值．③如果在f ′(x )＝0的根x ＝x 0的左右侧f ′(x )的符号不变，则不是极值点．题型一已知函数求极值或极值点【例1】已知函数()()()2312f x x x =--，则()f x 的极大值点为（）A．1B．75C．－1D．2【答案】B【解析】因为()()()()()()()()32222123121275'=-----=---f x x x x x x x x ，所以()f x 在(,1)-∞，7,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在71,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()f x 的极大值点为75．所以B 正确.故选：B.【变式1-1】设函数()1x f x xe =+，则（）A．1x =为()f x 的极大值点B．1x =为()f x 的极小值点C．1x =-为()f x 的极大值点D．1x =-为()f x 的极小值点【答案】D【解析】由()1x f x xe =+，可得()(1)x f x x e '=+，令()0f x '>可得1x >-，即函数()f x 在(1,)-+∞上是增函数；令()0f x '<可得1x <-，即函数()f x 在(1)-∞-上是减函数，所以1x =-为()f x 的极小值点．故选：D.【变式1-2】求下列函数的极值：（1）()2221xf x x =-+；（2）()ln xf x x=．【答案】（1）极小值为3-；极大值为1-；（2）极大值为1e，没有极小值【解析】（1）因为()()()()()()22222221421111x x x x f x x x +-+-'==++．令()0f x '=，解得11x =-，21x =．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：x(),1-∞-－1()1,1-1()1,+∞()f x '－0＋0－()f x 单调递减－3单调递增－1单调递减由上表看出，当=1x -时，()f x 取得极小值，为()13f -=-；当1x =时，()f x 取得极大值，为()11f =-．（2）函数()ln x f x x =的定义域为()0,∞+，且()21ln xf x x -'=．令()0f x '=，解得e x =．当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：x()0,e e()e,+∞()f x '＋0－()f x 单调递增1e单调递减因此，e x =是函数的极大值点，极大值为()1e ef =，没有极小值．【变式1-3】知函数ln ()=xxf x e 的极值点为0x x =，则0x 所在的区间为（）A．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C．()1,2D．()2,e 【答案】C【解析】由ln ()=x x f x e ，得'1ln ()xxx f x e-=（0x >），令1()ln g x x x =-（0x >），则'211()0g x x x=+>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，因为1(1)10,(2)ln 2ln 202g g =-<=-=->，所以存在0(1,2)x ∈，使0()0g x =，即'0()0f x =，当01x x <<时，'()0,()0g x f x <>，当02x x <<时，'()0,()0g x f x ><，所以0x 为ln ()=xxf x e 的极大值点，所以0x 所在的区间为()1,2，故选：C 【变式1-4】已知函数()1ex af x x =++，求函数()f x 的极值.【答案】见解析.【解析】()1e x a f x x =++，定义域为R ，()e 1e ex x x a af x -=-='.①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在R 上为增函数，()f x 无极值.②当0a >时，令()0f x '=，得e x a =，ln x a =.当(),ln x a ∈-∞，()0f x '<；当()ln ,x a ∈+∞，()0f x '>；∴()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增，()f x 在ln x a =取得极小值，极小值为()ln ln 2f a a =+，无极大值.综上所述，当0a ≤时，()f x 无极值；当0a >时，()f x 有极小值()ln ln 2f a a =+，无极大值.题型二函数（导函数）图象与极值的关系【例2】函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则下列命题不正确的是（）A．函数()f x 在(),a b 内一定不存在最小值B．函数()f x 在(),a b 内只有一个极小值点C．函数()f x 在(),a b 内有两个极大值点D．函数()f x 在(),a b 内可能没有零点【答案】A【解析】设()0f x '=的根为1x ，2x ，3x ，且123a x x x b <<<<，则由图可知，函数()f x 在()1,a x 内单调递增，在()12,x x 内单调递减，在()23,x x 内单调递增，在()3,x b 内单调递减；所以函数()f x 在区间(),a b 内有极小值()2f x ，当()()2f x f a ≤，()()2f x f b ≤时，()2f x 是函数()f x 在区间(),a b 内的最小值，所以A 错误，B 正确；函数()f x 在区间(),a b 内有极大值()1f x 、()3f x ，所以C 正确；当()0f a ≥，()20f x >，()0f b ≥时，函数()f x 在(),a b 内没有零点,所以D 正确.故选:A．【变式2-1】设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()g x x f x =⋅'的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．()f x 有两个极值点B．(2)f -为函数的极大值C．()f x 有两个极小值D．(1)f -为()f x 的极小值【答案】C【解析】()()g x x f x '=⋅，并结合其图像，可得到如下情况，当<2x -时，()0,()0g x f x '><，()f x 在(,2)-∞-单调递减；当20x -<<时，()0,()0g x f x '<>，()f x 在(2,0)-单调递增；当01x <<时，()0,()0g x f x '<<，()f x 在(0,1)单调递减；当1x >时，()0,()0g x f x '>>，()f x 在()1,∞+单调递增∴()f x 在2x =-和1x =处取得极小值，故B，D 错，C 正确；在0x =处取得极大值.所以()f x 有3个极值点，故A 错.故选:C.【变式2-2】函数()f x 的导函数是()f x '，下图所示的是函数()()()1R y x f x x '=+⋅∈的图像，下列说法正确的是（）A．=1x -是()f x 的零点B．2x =是()f x 的极大值点C．()f x 在区间()2,1--上单调递增D．()f x 在区间[]2,2-上不存在极小值【答案】B【解析】当2<<1x --时，10x +<，而0y >，故()0f x '<；当12x -<<时，10x +>，而0y >，故()0f x '>；当2x >时，10x +>，而0y <，故()0f x '<；所以(2,1),(2,)--+∞上()f x 递减；(1,2)-上()f x 递增，则=1x -、2x =分别是()f x 的极小值点、极大值点.故A、C、D 错误，B 正确.故选：B【变式2-3】如图，可导函数()f x 在点()()00,P x f x 处的切线方程为()y g x =，设()()()h x g x f x =-，()h x '为()h x 的导函数，则下列结论中正确的是（）A．()00h x '=，0x 是()h x 的极大值点B．()00h x '=，0x 是()h x 的极小值点C．()00h x '≠，0x 不是()h x 的极大值点D．()00h x '≠，0x 是()h x 的极值点【答案】B【解析】由题得，()h x 的几何意义为当x 取同值时，()g x 到()f x 的距离．根据题意，当()0,x x ∞∈-+时，()h x 单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()h x 单调递增，又()()()0000h x g x f x =-''='，则有0x 是()h x 的极小值点，故选:B．题型三根据函数的极值或极值点求参数【例3】函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值3-，则a b -的值等于（）A．0B．6C．3D．2【答案】A【解析】2()1222f x x ax b'=--因为()f x 在1x =处有极值3-，所以(1)12220(1)4223f a b f a b =--=⎧⎨=--+=-'⎩，解得3a b ==所以0a b -=故选：A【变式3-1】设函数()()330f x x mx n m =-+>的极大值为6，极小值为2，则m n +=__________．【答案】5【解析】()(2333f x x m x x '=-=，∴当(),x ∈-∞+∞时，()0f x '>；当(x ∈时，()0f x '<；∴()f x 在(,-∞，)+∞上单调递增，在(上单调递减，∴的极大值(26f m n ==；极小值22f n =-=，4n ∴=，1m =，5m n ∴+=.【变式3-2】已知函数()f x 321132x x cx d =+--有极值，则c 的取值范围为（）A．14c <-B．14c ≤-C．14c ≥-D．14c >-【答案】D【解析】由题意知，定义域为R ，()2f x x x c '=+-，要使函数()f x 有极值，则()f x '必有两个不等的实根，则140c ∆=+>，解得14c >-.故选：D.【变式3-3】已知函数32()3(1)3(1)3f x x m x m x =+-+++既有极大值，又有极小值，则m 的取值范围是（）A．3m ≥或0m ≤B．3m >或0m <C．3m >D．0m <【答案】B【解析】由2()3[2(1)(1)]f x x m x m '=+-++，又()f x 有极大值、极小值，所以()f x '有两个变号零点，则24(1)4(1)0m m ∆=--+>，整理得230m m ->，可得3m >或0m <.故选：B【变式3-4】若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则实数a 的取值范围（）A．()2,2-B．(-C．⎡-⎣D．[]22-,【答案】D【解析】由()()22e xx a f x x =++⋅可得()()()()222e 2e 22e x x xx a x ax x a x f a x ⎡⎤=+⋅+++⋅=++++⋅⎣⎦'，e 0x >恒成立，()222y x a x a =++++为开口向上的抛物线，若函数()()22e xx a f x x =++⋅在R 上无极值，则()2220y x a x a =++++≥恒成立，所以()()22420a a ∆=+-+≤，解得：22a -≤≤，所以实数a 的取值范围为[]22-,，故选：D.题型四利用导数求函数的最值【例4】函数e x y x =在[]2,4x ∈上的最小值为（）A．22e B．1eC．44e D．22e 【答案】A【解析】∵e x y x =，∴()e e 1e x x xy x x '=+=+，当[]2,4x ∈时，()1e 0xy x '=+>∴函数e x y x =在区间[]2,4上单调递增，∴当2x =时，函数e x y x =取得最小值，2min 2e y =，∴函数e x y x =在[]2,4x ∈上的最小值为22e .故选：A.【变式4-1】函数()e cos x f x x =在区间3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取得最大值时x 的值为（）A．0B．π4C．π2D．3π4【答案】B【解析】由()e cos x f x x =得()πe cos e sin cos 4x x xf x x x x ⎛⎫=-+ ⎝'⎪⎭，令()0f x '=，即πcos()04x +=在区间3π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上解得π4x =，当π04x ≤<时，()0f x '>，()f x 为增函数，当π3π44x ≤≤时，()0f x '<，()f x 为减函数，所以当π4x =时，()f x 取得最大值.故选：B.【变式4-2】已知函数()ln 2f x x =+，设函数()()12h x f x x =+--，则()h x 的最大值是______．【答案】0【解析】因为()()ln 1h x x x =+-定义域为()1,-+∞，所以()1111xh x x x '=-=-++．当()1,0x ∈-时，()0h x '>；当()0,x ∈+∞时，()0h x '<．所以()h x 在()1,0-上为增函数，在()0,∞+上为减函数，从而()()max 00h x h ==．【变式4-3】设函数()()2ln 23f x x x =++（1）讨论()f x 的单调性；（2）求()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值．【答案】（1）函数()f x 单调递增区间为31,1,22⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；单调递减区间为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+.【解析】（1）函数()()2ln 23f x x x =++的定义域为32⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，又()()141232223232x x f x x x x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=+=>- ⎪++⎝⎭.令()0f x '>，解得12x >-或312x -<<-；令()0f x '<，解得112x -<<-.所以函数()f x 单调递增区间为31,1,22⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；单调递减区间为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（2）由（1）可得：函数()f x 在区间31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦内单调递减，在11,24⎡⎤-⎢⎣⎦内单调递增.所以当12x =-时，函数()f x 取得最小值11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，又393ln 4162f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，而319317131ln ln ln ln044162162272f f ⎛⎫⎛⎫--=-=+<+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以当14x =时，函数()f x 取得最大值为：17ln 162+.即()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+.题型五已知函数的最值求参数【例5】若函数323()42a f x x x =-+在区间[1，2]上的最小值为0，则实数a 的值为（）A．－2B．－1C．2D．103【答案】C【解析】由323()42a f x x x =-+，得2()333()f x x ax x x a '=-=-，当0a ≤时，()0f x '>在[1,2]上恒成立，所以()f x 在[1,2]上递增，所以min 3()(1)1402a f x f ==-+=，解得103a =（舍去），当0a >时，由()0f x '=，得0x =或x a =，当01a <≤时，()0f x '>在[1,2]上恒成立，所以()f x 在[1,2]上递增，所以min 3()(1)1402a f x f ==-+=，解得103a =（舍去），当12a <<时，当1x a <<时，()0f x '<，当2a x <<时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)a 上递减，在(,2)a 上递增，所以当x a =时，()f x 取得最小值，所以323()402a f a a a =-+=，解得2a =（舍去），当2a ≥时，当12x ≤≤时，()0f x '<，所以()f x 在[1,2]上递减，所以3min 3()(2)24402af x f ==-⨯+=，解得2a =，综上，2a =，故选：C 【变式5-1】若函数()ln 12,0()1,0x ax x f x x a x x ⎧+-->⎪=⎨++<⎪⎩的最大值为2a -，则实数a 的取值范围为（）A．(,e]-∞B．10,e ⎛⎤⎥⎝⎦C．1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭D．[e,)+∞【答案】C【解析】当x ＜0时，()11()2f x x a x a a a xx =++=--++≤-=--，当且仅当x ＝−1时，()f x 取得最大值f （−1）＝a −2，由题意可得x ＞0时，()()ln 12f x x ax =+--的值域包含于（−∞，a −2]，即ln(1)22x ax a +--≤-在x ＞0时恒成立即ln(1)1x a x +≥+在x ＞0时恒成立，即maxln(1)1x a x +⎡⎤≥⎢⎥+⎣⎦设ln(1)()1x g x x +=+，21ln(1)()(1)x g x x -+'∴=+当0e 1x <<-时，()0,()g x g x >'在(0,e 1)-上单调递增，当e 1x >-时，()0,()g x g x <'在(e 1,)-+∞上单调递减，()()max ln e 1e 1e e g x g ∴=-==1ea ∴≥，故选：C．【变式5-2】若函数()33f x x x =-在区间()2,3a a +上有最小值，则实数a 的取值范围是（）A．12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B．()2,1-C．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D．(]2,1--【答案】C【解析】因为函数()33f x x x =-，所以()233f x x ¢=-，当1x <-或1x >时，()0f x '>，当11x -<<时，()0f x '<，所以当1x =时，()f x 取得最小值，因为()f x 在区间()2,3a a +上有最小值，且(1)(2)2f f =-=-所以2213a a -≤<<+，解得112a -≤<，所以实数a 的取值范围是1[1,)2-.故选：C【变式5-3】若函数()()()()2=ln +21,+f x x ax a x x ∞--∈有最小值，则实数a 的取值范围为（）A．()1,0-B．(),1-∞-C．()0,1D．()1,1-【答案】A【解析】由题意可得：()()()()112122ax x f x ax a xx+-'=-+-=∵1x >，则120x -<当0a ≥，则10ax +>当1x >时恒成立，即()0f x '<∴()f x 在()1,+∞上单调递减，则()f x 在()1,+∞上无最值，即0a ≥不成立当1a ≤-，则10ax +<当1x >时恒成立，即()0f x '>，∴()f x 在()1,+∞上单调递增，则()f x 在()1,+∞上无最值，即1a ≤-不成立当10a -<<，令10ax +<，则11x a>->∴()f x 在1,a⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，则()f x 在()1,+∞上有最小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即10a -<<成立故选：A.【变式5-4】设函数()()3230f x ax ax b a =-+>在区间[]1,4上有最大值23，最小值3，求a ，b 的值．【答案】1a =，7b =【解析】因为()323f x ax ax b =-+，所以()236f x ax ax'=-令()()236320f x ax ax ax x '=-=-=，则0x =或2x =由于0a >，[]14x ∈，当()12x ∈，时，()0f x '<；当()24x ∈，时，()0f x '>故在2x =，()323f x ax ax b =-+取得最小值3所以()()28124313223f a a b a b f a a b a b =-+=-+=⎧⎪⎨=-+=-+=⎪⎩或者()()281243464481623f a a b a b f a a b a b =-+=-+=⎧⎪⎨=-+=+=⎪⎩所以10a =，43b =或者1a =，7b =若10a =，43b =，则()32103043f x x x =-+而()3241043044320323f =⨯-⨯+=>，不合题意，舍去；若1a =，7b =，则()3237f x x x =-+，而()3211317523f =-⨯+=<故1a =，7b =题型六函数的极值与最值综合应用【例6】已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()=y f x 在=1x 处的切线方程；（2）记函数21()2()2g x x bx f x =---，设1x ，212()x x x <是函数()g x 的两个极值点，若32b ≥，且()()12g x g x k -≥恒成立，求实数k 的最大值．【答案】（1）1y =-；（2）152ln2.8-【解析】（1）()11f x x'=-，所以切线斜率为()10f '=，又()11f =-，切点为()11-，，所以切线方程为：1y =-．（2）21()ln (1)2g x x x b x =+-+，21(1)1()(1),x b x g x x b x x -++'∴=+-+=若32b ≥，则()()()214310b b b +-=+->恒成立，121x x b ∴+=+，121x x =，22112121221()()ln ()(1)()2-=+--+-x g x g x x x b x x x 11221ln (1)()2=-+-x b x x x 11212212()()1ln2+-=-x x x x x x x x 1122211ln ()2=--x x x x x x ，120x x <<，设12x t x =，则01t <<，令11()ln ()2G t t t t =--，01t <<，则222111(1)()(1)022t G t t t t -'=-+=-<，()G t ∴在()01，上单调递减；32b ≥，225(1)4b ∴+≥，2222112212122(1)()x x x x b x x x x +++=+=1221122x x t x x t =++=++，12524t t ∴++≥，241740t t ∴-+≥，104t ∴<≤，∴当14t =时，min 115()()2ln 248==-G t G ，152ln 28∴≤-k ，即实数k 的最大值为152ln 2.8-【变式6-1】己知函数21()2ln (21)(0)2f x x ax a x a =-+->．（1）若曲线(=)y f x 在点(1,(1))f 处的切线经过原点，求a 的值；（2）设2()2g x x x =-，若对任意(0,2]s ∈，均存在(0,2]t ∈，使得()()f s g t <，求a 的取值范围．【答案】（1）=4a ；（2）(0,1ln 2)-.【解析】（1）由21()2ln (21)(0)2f x x ax a x a =-+->，可得2()21f x ax a x'=-+-．因为(1)2211f a a a '=-+-=+，13(1)21122f a a a =-+-=-，所以切点坐标为3(1,1)2a -，切线方程为：()311(1)2a y a x ⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭，因为切线经过(0,0)，所以3112aa -=+，解得=4a ．（2）由题知()f x 的定义域为(0,)+∞，21()[(21)2]f x ax a x x '=----，令()f x '=2(21)20ax a x ---=，解得1x a=-或=2x ，因为0,a >所以10a -<，所以12a-<，令()0f x '>，即2(21)20ax a x ---<，解得：12x a -<<，令()0f x '<，即2(21)20ax a x --->，解得：1x a<-或2x >，所以()f x 增区间为(0,2)，减区间为(2,)+∞．因为()22()211g t t t t =-=--，所以函数()g t 在区间(0,2]的最大值为0，函数()f s 在(0,2)上单调递增，故在区间(0,2]上max ()(2)2ln 222f s f a ==+-，所以2ln 2220a +-<，即ln 210a +-<，故1ln 2a <-，所以a 的取值范围是(0,1ln 2)-.【变式6-2】已知实数a 满足12a <≤，设函数()321132a f x x x ax +=-+．（1）当=2a 时，求()f x 的极小值；（2）若函数()()()324362g x x bx b x b =+-+∈R 与()f x 的极小值点相等，证明：()g x 的极大值不大于10.【答案】（1）23；（2）证明见解析【解析】（1）当=2a 时()3213232f x x x x =-+，所以()()()23212f x x x x x =-+=--'．列表如下：x (),1-∞1()1,22()2,+∞()f x '+0－0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以()f x 的极小值为()223f =．（2）证明：()()()()211f x x a x a x x a '=-++=--．由于1a >，所以当x a >或1x <时()0f x '>，当1x a <<时()0f x '<，即()f x 在(),1-∞和(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减，所以当=x a 时，()f x 取极小值，所以()g a 为()g x 的极小值，而()()()()2=12+66+2=612++2g x x bx b x x b --'，所以22b a +=-，即()21b a =-+．所以当x a >或1x <时()0g x '>，当1x a <<时()0g x '<，即()g x 在(),1-∞和(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减，又因为12a <≤，所以()()()14362386210g x g b b b a ==+-+=--=-≤极大值．故()g x 的极大值不大于10．【变式6-3】已知函数()2e xf x x -=.（1）求()f x 的单调区间和极值.（2）若关于x 的方程()f x k =有唯一的实数根，求实数k 的取值范围.【答案】（1）递增区间为()0,2，递减区间为(),0∞-，()2,+∞，极小值为0，极大值为24e -；（2）{}()204e,-+∞【解析】（1）()()()222e e 2e 2e x x x xf x x x x x x x ----'=-=-+=--，由()0f x '<得0x <或2x >，由()0f x '>得02x <<，所以()f x 的递增区间为()0,2，递减区间为(),0∞-，()2,+∞.极小值为()00f =，极大值为()224e f -=.（2）方程()f x k =有唯一的实数根等价于函数()y f x =与直线y k =有唯一的交点，画出()f x 的大致图像如图所示，所以实数k 的取值范围为{}()204e,-+∞.。
微积分中的极值问题及最值问题的应用微积分是数学的重要分支，经常被应用于自然科学和工程技术领域。
极值问题及其相关的最值问题也是微积分中的基础概念和重要问题。
在本文中，我们将会介绍极值问题及最值问题的定义、应用和解决方法。
一、极值问题的定义极值问题是指某函数在一定范围内取得的最大值和最小值的问题。
极大值和极小值统称为极值，也称为驻点。
对于一元函数f(x)，在x=a处如果f(x)在x=a左侧单调递减，在右侧单调递增，那么称x=a为f(x)的极大值点；反之则称x=a为f(x)的极小值点。
如果f(x)在x=a的左右两侧都不存在单调性，那么x=a为驻点，但不是极值点。
对于二元函数z=f(x,y)，极值点要满足偏导数为0，即f’x(x,y)=0，f’y(x,y)=0，极值点也被称为驻点。
二、最值问题的定义最大值和最小值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
最大值和最小值统称为最值。
若指标量与限制条件是形如≤的约束，称这类问题为约束最值问题；若指标量与限制条件是形如=的约束，称这类问题为无约束最值问题。
三、应用举例1.楼体开发问题在楼体开发问题中，我们需要确定楼体的高度、长和宽，使得物业建筑总面积最大，而楼体的高度与长、宽有一定关系，构成了约束条件。
这就是约束最值问题的一个实际应用。
2.生产成本问题在生产成本问题中，我们需要确定生产的数量和生产的价格，使得总利润最大。
这是一个无约束最值问题的例子。
3.投资组合问题在投资组合问题中，我们需要确定资产组合的比例和相应的收益率，使得投资组合的期望收益最大。
这是一个无约束最值问题的例子。
四、解决方法1. 二阶导数法在一元函数的极值问题中，我们可以通过二阶导数的正负性来确定极值点的位置：当f''(x)>0时，x点取极小值；当f''(x)<0时，x点取极大值。
2. 拉格朗日乘数法在约束最值问题中，我们可以使用拉格朗日乘数法，它将带约束的最值问题转化为不带约束的最值问题。
