江西省信丰中学2020届高三数学上学期加练三理【含答案】

2020届江西省信丰中学高三上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．全集U =R ，集合{}1,2,3,4,5A =，[)3,B =+∞，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1【答案】C【解析】根据图中阴影部分所表示的集合为RAB ，然后根据全集U =R ，[)3,B =+∞，求得B R ，再利用交集运算求解.【详解】由图知：图中阴影部分所表示的集合为RA B ，因为全集U =R ，[)3,B =+∞， 所以(),3RB =-∞，又集合{}1,2,3,4,5A =， 所以{}1,2RA B ⋂=，所以图中阴影部分所表示的集合为{}1,2， 故选：C 【点睛】本题主要考查ven 图以及集合的基本运算，还考查了数形结合的思想，属于基础题. 2．直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不【答案】A【解析】试题分析：由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离2d =..所以11222OAB S ∆=⨯=.所以充分性成立,由图形的对成性当1k =-时, OAB ∆的面积为12.所以不要性不成立.故选A. 【考点】1.直线与圆的位置关系.2.充要条件.3．已知集合{}|A x x a =<，{}|12B x x =≤<，且()RA B R =，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a < C ．2a ≥ D ．2a >【答案】C【解析】先由题意，求出B R，根据()RAB R =，即可得出结果.【详解】因为{}|12B x x =≤<，所以{1RB x x =<或}2x ≥，又{}|A x x a =<，()RA B R =，所以，只需2a ≥. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由并集和补集的结果求参数，属于基础题型. 4．已知i 是虚数单位，若32i 2ii i 12iz ++=+-所对应的点位于复平面内 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【解析】由题意计算可得13z i =-，据此确定其所在的象限即可. 【详解】 因为232i 2i (32i)i (2i)(12i)i i 23i i i 13i i 12i i (12i)(12i)z +++++=+=+=-+⋅=---+， 所以该复数位于第四象限，故选D ．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．5．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】C【解析】试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时22x y >不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.【考点】1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.6．已知集合{}2|4120A x x x =--<，(){}2|log 10B x x =-<，则AB =（ ）A ．{}|6x x <B ．{}|12x x <<C ．{}|62x x -<<D ．{}|2x x <【答案】B【解析】先解不等式，化简两集合，再求交集，即可得出结果. 【详解】因为{}{}2|4120|26A x x x x x =--<=-<<，(){}{}{}2|log 10|011|12B x x x x x x =-<=<-<=<<，所以{}|12A B x x ⋂=<<. 故选：B. 【点睛】本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，以及对数不等式的解法，属于基础题型.7．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A ．0.8 B ．0.75C ．0.6D ．0.45【答案】A【解析】【详解】试题分析：记A =“一天的空气质量为优良”，B =“第二天空气质量也为优良”，由题意可知()()0.75,0.6P A P AB==,所以()()()4|5P ABP B AP A==，故选A.【考点】条件概率．8．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．8πC．12D．4π【答案】B【解析】设正方形边长为a，则圆的半径为2a，正方形的面积为2a，圆的面积为2π4a.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248aa⋅=，选B.点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算()P A.9．设m，n是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题：（）①若mα⊥，nβ⊥，则//m n；②若mαγ=，nβγ=，//m n，则//αβ；③若//αβ，//βγ，mα⊥，则mγ⊥；A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④【答案】A【解析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明. 【详解】对①，由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故①正确；对②，设三棱柱的三个侧面分别为,,αβγ，其中两条侧棱为,m n ，显然//m n ，但α与β不平行，故②错误.对③，∵////αβγ，当m α⊥时，m γ⊥，故③正确.对④，当三个平面,,αβγ两两垂直时，显然结论不成立，故④错误. 故选:A. 【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断，属于中档题.10．设映射f ：22x x x →-+是实数集M 到实数集P 的映射，若对于实数t P ∈，t 在M 中不存在原象，则t 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】A【解析】根据二次函数的性质，求出22y x x =-+的值域，再由题意，即可求出结果. 【详解】因为映射f ：22x x x →-+是实数集M 到实数集P 的映射， 由22y x x =-+，x ∈R 可得()2111y x =--+≤，即集合P 要包含(],1-∞，又对于实数t P ∈，t 在M 中不存在原象， 所以(],1t ∉-∞，因此1t >. 故选：A. 【点睛】本题主要考查映射的相关计算，考查二次函数的值域，属于基础题型.11．已知0a >且1a ≠，函数()(log a f x x =在区间(),-∞+∞上既是奇函A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据奇函数求出1b =，根据增函数可知1a >，进而判断函数()g x 的图象. 【详解】 解：函数()(2log a f x x x b =++在区间(),-∞+∞上是奇函数，∴()00f =，则1b =，又函数()(2log a f x x x b =+在区间(),-∞+∞上是增函数，∴1a >.所以()log 1a g x x =-，当1x >时，()()log 1a g x x =-为增函数，排除B ，D 选项；当01x <<时，()()log 1a g x x =-为减函数，排除C . 故选：A. 【点睛】本题考查奇函数的特性，复合函数的增减性，对数函数的性质，考查数形结合的思想，分析问题能力，属于基础题.12．设()221x f x x =+，()()520g x ax a a =+->，若对于任意[]10,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得()()01g x f x = 成立，则a 的取值范围是（ ）555【答案】C【解析】先对函数()f x 分0x =和0x ≠，运用二次函数的值域求法，可得()f x 的值域，运用一次函数的单调性求出函数()g x 的值域，由题意可得()f x 的值域包含在()g x 的值域内，可得a 的不等式组，解不等式可得a 的取值范围．【详解】∵()221x f x x =+，当0x =时，()0f x =，当0x ≠时，()22111112422x xx f x ==⎛⎫++- ⎪⎝⎭，由01x <≤，即11x ≥，所以2111224x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭， ∴()01f x <≤，故()01f x ≤≤， 又因为()()520g x ax a a =+->，且()052g a =-，()15g a =-． 由()g x 递增，可得()525a g x a -≤≤-，对于任意[]10,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得()()01g x f x =成立， 可得[][]0,152,5a a ⊆--，可得52051a a -≤⎧⎨-≥⎩∴5,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，注意运用转化思想，是对知识点的综合考查，属于中档题．二、填空题13．已知集合{}1,2aA =，{},B a b =．若12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则A B =______．【答案】11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】根据交集的定义得,a b 的值，即可得答案； 【详解】12A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，∴112122a A a ∈⇒=⇒=-，∴12b =，∴{}111,21,,1,22aA B ⎧⎫⎧⎫===-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， ∴11,,12AB ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，故答案为：11,,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查集合的并运算，考查运算求解能力，属于基础题.14．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________． 【答案】16【解析】十个数中任取七个不同的数共有C 种情况，七个数的中位数为6，那么6只有处在中间位置，有C 种情况，于是所求概率P ＝＝．15．二项式6(2x x展开式中含2x 项的系数是________. 【答案】192-【解析】试题分析：通项为()6116322166212rrr r r r r r T C x x C x ----+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1r =，系数为()151612192C -=-.【考点】二项式展开式.16．若函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数有_______个． 【答案】12【解析】先由题意，将函数零点个数问题，转化为函数()y f x =与函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩图像在区间[]7,7-内交点的个数问题；画出图像，由图像，即可得出结果. 【详解】由()()()0h x f x g x =-=得()()f x g x =，因此函数()()()h x f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数，即为函数()y f x =与函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩图像在区间[]7,7-内交点的个数；因为函数()()y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，所以()f x 以2为周期； 又[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，在同一直角坐标系内，画出()y f x =与()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩的图像如下，由图像可得，函数()y f x =与函数()()()7log 010x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩图像共有12个交点，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]7,7-内零点的个数有12个.【点睛】本题主要考查判定函数零点的个数，根据数形结合的方法求解即可，属于常考题型.三、解答题17．设命题p ：实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，命题q ：实数x 满足302x x -≤-． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）()2,3；（2）12a <≤．【解析】（1）若1a =，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）利用p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【详解】解：由()()30x a x a --<，其中0a >，得3a x a <<，0a >，则p ：3a x a <<，0a >．由302x x -≤-解得23x <≤．即q ：23x <≤． （1）若1a =，则p ：13x <<，若p q ∧为真，则p ，q 同时为真，即2313x x <≤⎧⎨<<⎩，解得23x <<，∴实数x 的取值范围()2,3．（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即q 是p 的充分不必要条件， ∴332a a >⎧⎨≤⎩，即12a a >⎧⎨⎩，解得12a <≤．【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，转化为q 是p 的充分不必要条件是解决本题的关键，属于基础题. 18．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:{sin ,x t C y t αα== （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ== （Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB 最大值.【答案】（Ⅰ）()330,0,,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）4. 【解析】（Ⅰ）曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为22230x y x +-=．联立222220,{230,x y y x y x +-=+-=解得0,{0,x y ==或3,2{3,2x y ==所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33(,)2． （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为．所以2sin 23AB αα=-4()3sin πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．【考点】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．19．已知函数()3f x x a x =--+，a R ∈．（1）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；（2）若对于[]0,3x ∈时，()4f x ≤恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）5|2x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭；（2）77a -≤≤．【解析】（1）当1a =-时，不等式为131x x +-+≤，分三段3x <-，31x -≤≤-，1x >-分别讨论求解不等式； （2）当[]0,3x ∈时，原问题转化为772a x -≤≤+对于[]0,3x ∈恒成立，由不等式的恒成立思想可得答案.【详解】解：（1）当1a =-时，不等式为131x x +-+≤，当3x <-时，()()131x x -+--+≤⎡⎤⎣⎦，即21≤，所以x ∈∅；当31x -≤≤-时，()()131x x -+-+≤，即241x --≤，解得52x ≥-，∴512x -≤≤-； 当1x >-时，()()131x x +-+≤，即21-≤，所以1x >-； ∴不等式的解集为5|2x x ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭．（2）当[]0,3x ∈时，()4f x ≤即437a x x x -≤++=+，即()77x a x x -+≤-≤+对于[]0,3x ∈恒成立，即772a x -≤≤+对于[]0,3x ∈恒成立，而当[]0,3x ∈时，77213x ≤+≤，∴77a -≤≤．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，由不等式恒成立求参数的范围，属于中档题.20．已知函数()4log f x x =，1,416x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为集合A ，关于x 的不等式()3122x a xa R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭的解集为B ，集合501x C x x ⎧⎫-=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}()|1210D x m x m m =+≤<->．（1）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围；（2）若D C ⊆，求实数m 的取值范围．【答案】（1）(),4-∞-；（2）(]0,3．【解析】（1）根据指数函数性质，先求出[]2,1A =-，解指数不等式，求出,4a B ⎛⎫=-∞- ⎪⎝⎭，根据A B B ⋃=得A B ⊆，由此列出不等式求解，即可得出结果； （2）先解分式不等式，求出(]1,5C =-，根据D C ⊆，分别讨论121m m +≥-，121m m +<-两种情况，即可得出结果.【详解】（1）由对数函数的单调性可得，()4log f x x =在1,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以其值域()[]1,42,116A f f ⎡⎤⎛⎫==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又由()3122x a x a R +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭可得：()322x a x -+>，即：3x a x -->，所以4a x <-， 所以,4a B ⎛⎫=-∞-⎪⎝⎭， 又A B B ⋃=所以可得：A B ⊆， 所以14a ->，所以4a ，即实数a 的取值范围为(),4-∞-． （2）因为501x x -≥+，所以有501x x -≤+，所以15x -<≤，所以(]1,5C =-， 对于集合{}|121D x m x m C =+≤<-⊆有：①当121m m +≥-时，即02m <≤时D =∅，满足D C ⊆；②当121m m +<-时，即2m >时D ≠∅，所以有：1123215m m m +>-⎧⇒-<≤⎨-≤⎩， 又因为2m >，所以23m <≤，综上：由①②可得：实数m 的取值范围为(]0,3．【点睛】本题主要考查由并集的结果求参数，考查由集合的包含关系求参数，涉及指数函数与对数函数的性质，以及分式不等式解法，属于常考题型.21．生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需要另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，()3120360C x x x =+（万元），当年产量不小于80千件时，()10000511450C x x x=+-（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式（利润＝销售额－成本）；（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大．【答案】（1）3130250080360()10000120080x x x L x x x x ⎧-+-≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）100 千件． 【解析】（1）根据题意，得到x 千件．．商品销售额为0.051000x ⨯万元，分别求出080x ≤<和80x ≥两种情况，即可求出函数解析式；（2）根据（1）的结果，用导数的方法和基本不等式，分别求出两段的最值，即可得出结果.【详解】（1）因为每件．．商品售价为0.05万元，则x 千件．．商品销售额为0.051000x ⨯万元，依题意得，当080x ≤<时，()()310.05100020250360L x x x x =⨯---3130250360x x =-+-； 当80x ≥时，1000010000()(0.051000)5114502501200L x x x x x x ⎛⎫=⨯--+-=-+ ⎪⎝⎭． 即3130250080360()10000120080x x x L x x x x ⎧-+-≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）当080x ≤<时，()3130250360L x x x =-+-． ()21'300120L x x =-+=，60x =±． 此时，当60x =时，()L x 取得最大值()60950L =（万元）．当80x ≥时，10000()120012001000L x x x ⎛⎫=-+≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x=，即100x =时，()L x 取得最大值1000（万元）． 因为9501000<，所以当年产量为100千件时，生产该商品获利润最大．答：当年产量为100 千件时，生产该商品获利润最大．【点睛】本题主要考查函数模型的应用，考查导数的应用，涉及基本不等式求最值，属于常考题型.22．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX .15012.2≈若()2~,Z N μσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=．【答案】（I ）200,150；（II ）（i ）0.6826；（ii ）68.26． 【解析】试题分析：（I ）由频率分布直方图可估计样本特征数众数、中位数、均值、方差．若同一组的数据用该组区间的中点值作代表，则众数为最高矩形中点横坐标．中位数为面积等分为12的点．均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值．方差是矩形横坐标与均值差的平方的加权平均值．（II ）（i ）由已知得，Z ~(200,150)N ，故()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6826+=；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，相当于100次独立重复试验，则这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数(100,0.6826)X B ~，故期望1000.682668.26EX =⨯=．试题分析：（I ）抽取产品的质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.22x =⨯+⨯+⨯+2000.332100.242200.08⨯+⨯+⨯+2300.02⨯200=，2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150=．（II ）（i ）由（I ）知，Z 服从正态分布(200,150)N ，从而()187.8212.2P Z <<(20012.2200P Z =-<<12.2)0.6826+=．（ii ）由（i ）可知，一件产品的质量指标值位于区间()187.8,212.2的概率为0.6826，依题意知(100,0.6826)X B ~，所以1000.682668.26EX =⨯=．【考点定位】1、频率分布直方图；2、正态分布的3σ原则；3、二项分布的期望．。

信丰中学2021-2021学年高三上学期数学周考三〔文〕命题人： 审题人：一、选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分〕1．假设角θ的终边与单位圆的交点坐标是,那么cos =()A ．-B ．C ．-D ． 2．2tan =θ，那么=-----+)sin()2sin()cos()2sin(θπθπθπθπ〔〕 A.2 B. 0C. －2D.1 3．函数：①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x －1；④y ＝12x ；那么以下函数图像(第一象限局部)从左到右依次与函数序号的对应顺序是() A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②4．假设扇形的面积为38π、半径为1，那么扇形的圆心角为〔 〕 A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 5．2log 0.2a =,0.22b =,0.30.2c =，那么( )A. a b c <<B. b c a <<C. c a b <<D. a c b <<6．cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，那么cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋θ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－θ的值是〔 〕A. 0B. 1C. -1 D .27．假设函数y=cos (ω>0)的图象上相邻的两个最小值点都在抛物线y=-x 2上,那么ω的值等于()A ．2B ．C ．1D ．8．函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的局部图像如下图，那么f (x )的单调递减区间为( )A.⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分〕9．()()1+2sin 3cos 3ππ-+=10．函数f 〔x 〕＝()221sin 1x x x +++，其导函数记为f′〔x 〕，那么f 〔2 015〕＋f′〔2 015〕＋f 〔－2 015〕－f′〔－2 015〕＝________．11．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，α.当α＝π3时，f (x )的值域是______；假设f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，那么a 的取值范围是______．12．函数()()0cos 3sin >-=ωωωx x x f ，假设方程()1-=x f 在()π，0上有且只有四个实数根，那么实数ω的取值范围为．三、解答题〔本大题共2小题，共24分〕13．函数()sin(2)14f x x π=++(1)用“五点法〞作出()sin(2)14f x x π=++在7,88ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的简图; (2)写出()sin(2)14f x x π=++的对称中心，对称轴，以及单调递增区间; (3)求()sin(2)14f x x π=++的最大值以及取得最大值时的集合.14．某公司生产一种电子仪器的固定本钱为20 000元，每生产一台仪器需要增加投入100元，总收益满足函数：R (x )＝21400,0400{ 280000,400x x x x -≤≤>其中x 是仪器的月产量．当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润是多少？2021-2021学年高三上学期数学周考三〔文〕参考答案 1-5BCDBD 6-8ABD9 sin3cos3- 10。

姓名，年级：时间：信丰中学2020届高三年级第一学期第一次月考数学试卷（理）命题人审题人一、选择题:（本题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1全集U＝R，集合A＝｛1，2，3，4，5｝,B＝［3，＋∞）,则图1中阴影部分所表示的集合为( )A．{0，1,2} B．{0,1} C．{1,2｝ D．｛1} 2、已知直线l:y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1"是“△OAB的面积为错误!”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件3、已知集合A＝{x|x<a｝，B＝{x|1≤x〈2｝，且A∪(∁R B）＝R,则实数a的取值范围是（）A．a≤1 B．a<1 C．a≥2 D．a>24．已知i是虚数单位，若32i2iii12iz++=+-(i为虚数单位）所对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限5、已知命题p:若x＞y,则－x＜－y，命题q:若x＞y，则x2＞y2.在命题：①p∧q；②p∨q;③p∧(非q)；④（非p)∨q中，真命题是（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④6、已知集合{}{}224120,log (1)0A x x x B x x =--<=-<，则=⋂B A （ ）A ．{6}x x <B ．{12}x x <<C ．{62}x x -<<D ．{2}x x <7、某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0。

75，连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ )A ．0.8B ．0.75C ．0。

6D ．0.458、如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称。

2020届江西省信丰中学高三上学期第四次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|31B x x =-<<，则AB =（ ）A ．{}|31x x -<<B ．{}|33x x -<≤C ．{}|11x x -≤<D ．{}|11x x -<<【答案】C【解析】解一元二次不等式可得集合A ，再由集合的交集运算即可得解. 【详解】因为{}{}2|23013A x x x x x =--≤=-≤≤，{}|31B x x =-<<，所以{}11A B x x ⋂=-≤<. 故选：C. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2．复数21z i=-，在复平面内复数z 的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】先对21z i=-进行化简，再求z 的共轭复数及z 的共轭复数在复平面对应的点 【详解】21i 1iz ==+-，则1z i =-，1z i =-在复平面内对应的点为()1,1-，为第四象限 答案选D 【点睛】本题考查复数除法运算，共轭复数的概念及复数与复平面的点的对应关系，难度不大，综合性强3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，104a ，则9a 等于（）A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】B【解析】根据1530S =，可算出8a ，又104a ，根据等差中项的性质求解即可【详解】由158815302S a a ==⇒=，又104a ，98109263a a a a =+=⇒=答案选B 【点睛】本题考查等差数列基本量的求法，常规思路为求解首项和公差，本通解题思路运用了()2121n n S n a -=-和等差中项的性质，简化了运算4．已知向量()2,1a =，()2,sin 1b α=-，()2,cos c α=-，若()a b c +，则tan α的值为（） A ．2 B ．12C ．12-D ．-2【答案】D 【解析】由()a b c +表示出sin α与cos α的基本关系，化简求解即可【详解】()4,sin a b α+=，()4cos 2sin tan 2a bc ααα+⇒=-⇒=-答案选D 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示法、三角函数的化简求值，需熟记向量平行的坐标表示法为：1221x y x y =或1122x y x y =5．如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．949π B 33πC 23D ．9π 【答案】B【解析】设圆的半径为r，利用几何关系得出正三角形ABC的高为7r，然后利用锐角三角函数计算出AD，可得出该正三角形的边长，从而可计算出该正三角形的面积，然后将三个圆的面积之和除以正三角形的面积，可计算出所求事件的概率.【详解】如图所示，取AB 边的中线CD，则三个圆心都在线段CD上，设最上面的圆的圆心为O，圆O与BC的切点为E，易知30OCE∠=，所以2OC OE=.设圆的半径OE r=，2OC r∴=，则7CD r=，所以22tan303AB AD CD===.所以217233ABCS r∆⨯==，而阴影部分的面积为23rπ，所以所求的概率2233349493rPππ==.故选：B.【点睛】本题考查平面区域型几何概型概率的计算，解题的关键就是计算出相应区域的面积，考查计算能力，属于中等题.6．已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，有以下命题：①若m α⊥，mβ⊥，则αβ∥.②若mα，nα，则m n.③若mα⊂，mβ⊥，则αβ⊥.④若lαβ=，mα⊂，m l⊥，则mβ⊥.其中真命题有（）A．①②B．①③C．②③D．③④【答案】B【解析】①由线面垂直的性质和面面平行的定义，命题正确②m与n有可能相交，命题错误③由面面垂直的判定定理判断，命题正确 ④成立的前提是面面垂直，命题错误 【详解】对命题①，由线面垂直的性质和面面平行的定义可知，若m α⊥，m β⊥，则α平面与β无公共点，可证αβ∥，命题①正确对命题②，若m 与n 为另一平行平面的两条交线，也满足条件，但推不出结论，命题②错误对命题③，由面面垂直的判定定理可知：如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直. ③中m α⊂，m β⊥，所以αβ⊥．命题③正确 对命题④，若二面角的平面角为锐角时，m 与β斜交，命题④错误． 【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断证明，旨在考查学生基础知识的掌握能力和空间想象能力7．执行如图所示的框图,若输入5N,则输出的S 等于( )A ．34B ．45 C ．56D ．67【答案】C【解析】由程序框图可知,该程序的功能是计算出输出111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯的值,利用裂项相消法,即可求得答案. 【详解】由程序框图可知,该程序的功能是计算出输出: 111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111111223344556=-+-+-+-+-15166=-=故选：C. 【点睛】本题考查利用程序框图输出结果,解题的关键就是利用程序框图,列出循环的每一步,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题.8．已知函数()f x 是定义在[]12,m m -上的偶函数，[]12,0,x x m ∀∈，当12x x ≠时，()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦，则不等式()()12f x f x -≤的解集是（）A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】先根据偶函数的定义域关于原点对称求出m ，再根据偶函数的对称性和题设给的[]0,x m ∈的增减性解题即可 【详解】()f x 是定义在[]12,m m -上的偶函数，120m m ∴-+=，解得1m =，()f x 的定义域为[]1,1- 又[]12,0,1x x ∀∈，当12x x ≠时，()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦()f x ∴在[]0,1x ∈单调递减，再由偶函数的对称性可知()()[][]11,11221,112x f x f x x x x⎧-∈-⎪-≤⇔∈-⎨⎪->⎩，解得10,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦答案选C【点睛】本题考查偶函数的基本性质、利用偶函数的性质解不等式，易错点为解题过程中忽略()f x 所有括号中的取值都必须在定义域内9．若函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，则（ ） A ．点,04π⎛⎫⎪⎝⎭是()y f x =的一个对称中心 B ．直线4x π=是()y f x =的一条对称轴C ．函数()y f x =的最小正周期是2πD ．函数()y f x =的值域是[0,2]【答案】D【解析】由函数图象过点(0,2)可得4πθ=，由诱导公式、三角恒等变换可得()cos 21f x x =+，由三角函数的图象与性质逐项判断即可得解.【详解】因为函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<< ⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，所以2sin 22θ=，即sin 21θ=，所以4πθ=，故2()2sin(2)cos 2sin cos 2cos cos 212f x x x x x x x πθ⎛⎫=+⋅=+⋅==+ ⎪⎝⎭， 对于A ，因为cos 1142f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心， 故A 错误； 对于B ，因为cos 1142f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以直线4x π=不是()y f x =的对称轴， 故B 错误；对于C ，函数()y f x =的最小正周期22T ππ==，故C 错误； 对于D ，因为[]cos21,1x ∈-，所以函数()y f x =的值域是[0,2]，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的确定及三角函数图象与性质的应用，考查了三角恒等变换的应用，属于中档题.10．抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，点Q 在抛物线上，且90MQF ∠=，则以MQ 为直径的圆的面积等于（）A ．51π- B ．51π+ C ．()252π-D ．()252π+【答案】A【解析】根据题意，画出简图，设点Q (),x y ，再根据几何关系进行求解 【详解】 如图：设点Q (),x y ，由题可知，点()()1,0,1,0F M -，90MQF ∠=,O 为MF 中点，112OQ MF ∴==，即221x y +=，又24y x =，2221524x y x y x⎧+=⇒=⎨=⎩ ()()2222211461252MQ x y x x x x =++=++=++=以MQ 为直径的圆的面积等于25142S MQ ππ==答案选A 【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直角三角形三角形斜边上的中线为斜边一半性质，其中抛物线方程的代换起了关键作用11．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 、F 、G 分别是AB 、AD 、1AA 的中点，以EFG ∆为底面作直三棱柱（侧棱垂直底面的棱柱），若此直三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则该直三棱柱的体积为（） A 6 B ．2C ．32D ．34【答案】C【解析】根据题意，作出相对应简图，分别取点1C的三个面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理来进行证明，再通过线段几何关系进行求解即可【详解】如图，连接11A C，1C D，1AC,1BC,分别取11A C、1BC、1C D中点M、N、Q，连接MQ，MN，NQ,FQ,EN,GM由中位线定理可得111111111 //,,//,,//,222GM AC GM AC FQ AC FQ AC EN AC EN AC===又1AC EFG⊥平面，∴三棱柱EFG NQM—是正三棱柱332EFGS∆==1132h GM AC===，∴三棱柱32EFG NQMV=—答案选C【点睛】本题考查几何体中的构图法、直三棱柱体积的求法，整体难度较大，通过中位线定理证明侧棱垂直于底面是关键12．已知函数()24,0,0xx x xf x exx⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，方程()0f x ax-=有4个不同的实数根，则a 的取值范围是（）A．2,44e⎛⎫⎪⎝⎭B．,44e⎛⎫⎪⎝⎭C．,4e⎛⎫+∞⎪⎝⎭D．2,4e⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A【解析】转化条件得函数()y f x=的图象与直线y ax=有4个交点，结合导数可作出函数()f x的图象，结合导数的几何意义数形结合即可得解.【详解】因为方程()0f x ax-=有4个不同的实数根，所以函数()y f x=的图象与直线y ax=有4个交点，当0x>时，()xef xx=，()()21xe xf xx-'=，当()0,1x∈时，()0f x'<，()f x单调递减；当()1,x∈+∞时，()0f x'>，()f x单调递增；且当0x+→时，()f x→+∞，则函数()f x的图象如图，当0x≤时，()24f x x x=+，()24f x x'=+，所以()f x在()0,0处的切线1l的斜率()104k f'==；当0x>时，()xef xx=，()()21xe xf xx-'=，设()f x过原点的切线2l的切点为0,xexx⎛⎫⎪⎝⎭，则2l的斜率()()0022001xxee xkxxxfx-'===，解得02x=，224ek=；若要使函数()y f x=的图象与直线y ax=有4个交点，数形结合可得2,44ea⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查了利用导数确定函数的图象及导数几何意义的应用，考查了函数与方程的综合应用及数形结合思想，属于中档题.二、填空题13．已知直线1:(2)20l ax a y +++=，2:10l x ay ++=．若12l l ，则实数a =__________．【答案】-1 【解析】若12l l ，则(2)1a a a ⨯=+⨯，且121a ⨯≠⨯，解得1a =-．14．已知实数x ，y 满足约束条件30330x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是______.【答案】6【解析】根据线性约束条件画出可行域，再将2xy =-进行平移寻找最值点即可 【详解】如图，根据线性约束条件画出可行域，画出符合条件的可行域，将2xy =-进行平移，当移到最高点()0,3时，得到2z x y =+的最大值，max 236z =⨯= 则2z x y =+的最大值是6 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题． 15．已知数列{}n a 的各项均为正数，记{}n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()2*112nn n na a n N a a ++=∈-，11a =，则6S =______. 【答案】63【解析】对()2*112n n n na a n N a a ++=∈-进行化简，可得12n n a a +=，再根据等比数列前n 项和公式进行求解即可 【详解】由22222211111122n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a ++++++=⇒-⋅=⇒-=+⋅- ()()()111112n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a +++++⇒+-=+⇒-=⇒= 数列{}n a 为首项为11a =，公比2q 的等比数列，()()6616111263112a q S q-⨯-===--所以6S =63 【点睛】本题考查等比数列基本量的求法，当处理复杂因式时，常用基本方法为：因式分解，约分．但解题本质还是围绕等差和等比的基本性质16．如图，线段2AB =，点A ，B 分别在x 轴和y 轴的非负半轴上运动，以AB 为一边，在第一象限（含非负坐标轴）内作矩形ABCD ，1BC =．设O 为原点，则OC OD ⋅的取值范围是__________．【答案】[]1,3【解析】按照点A 是否与原点重合分类；当点A 不与原点重合时，设,0,2OAB πθθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭，()11,D x y ，()22,C x y ，由题意可得1x 、1y 、2x 、2y ，再由平面向量数量积的坐标表示可得12sin 2OC OD θ⋅=+，即可得解.【详解】当点A 不与原点重合时， 设,0,2OAB πθθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭，()11,D x y ，()22,C x y ， 则CBy θ∠=，2DAx πθ∠=-，因为2AB =，所以2cos OA θ=，2sin OB θ=， 又1BC AD ==，所以12cos cos 2cos sin 2x πθθθθ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭， 1sin cos 2y πθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，2sin x θ=，22sin cos y θθ=+，所以()()12122cos sin sin cos 2sin cos OC OD x x y y θθθθθθ+⋅+⋅⋅=++=14sin cos 12sin 2θθθ=+=+，由[)20,θπ∈可得[]2sin 20,2θ∈，所以OC OD ⋅的取值范围是[]1,3； 当点A 与原点重合时，()()1,21,01OC OD ⋅=⋅=； 综上，OC OD ⋅的取值范围是[]1,3. 故答案为：[]1,3. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示、三角函数及二倍角公式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若()sin sin cos a c B b C A +-=.（1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为6a =，求ABC ∆的周长.【答案】（1）60A =（2）6+【解析】（1）利用正弦定理边化角进行化简求值即可 （2）利用余弦定理和正弦面积公式最终代换出b c +整体即可 【详解】解：（1）由正弦定理得：()sin sin sin sin sin 3sin cos A C B B C B A +-=， ∵sin 0B ≠，∴tan 3A =，∵A 是ABC ∆的内角，∴60A =. （2）∵ABC ∆的面积为43，∴1sin 432bc A =， 由（1）知60A =，∴16bc =，由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-()23b c bc =+-， ∴()24836b c +-=，得：221b c +=， ∴ABC ∆的周长为6221+. 【点睛】本题主要考查解三角形基础知识，一般解题思路为正弦定理边化角，余弦定理结合面积公式解决周长、面积问题18．在四棱锥P ABCD -中，4BC BD DC ===，2AB =，23AD PB PD ===.（1）若点E 为PC 的中点，求证：//BE 平面PAD ；（2）当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值. 【答案】（1）详见解析（2）2211【解析】（1）通过作CD 的中点M ，连结EM ，BM ，通过中位线定理分别证明EM PD ，BM AD 来证明平面BEM平面PAD ，从而证明//BE 平面PAD（2）当平面PBD ⊥平面ABCD 时，再结合题干信息，可作BD 的中点O ，连接PO ，以OC 的方向为x 轴正方向，OB 的方向为y 轴正方向，OP 的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法来求解二面角C PD B --的余弦值 【详解】解：（1）取CD 的中点M ，连结EM ，BM .∵BCD ∆为等边三角形，∴23BM =. ∴23AD BM ==，又2AB DM ==， ∴四边形ABMD 是平行四边形，∴BMAD .又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD .∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM PD .同理：EM 平面PAD .∵EMBM M =，∴平面BEM平面PAD .∵BE ⊂平面BEM ，∴//BE 平面PAD .（2）取BD 的中点O ，连结CO ，PO ，则CO BD ⊥，PO BD ⊥. ∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO CO ⊥，22PO =，23CO =. 以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴正方向， 建立空间直角坐标系O xyz -.则()0,2,0D -，()23,0,0C ，(2P .∴()23,2,0DC =，(0,2,22DP =，平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n =.设平面PCD 的法向量为()2,,n x yz =，则2200n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23202220x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩. 令6y =，得2x =-，3z =-，∴平面PCD 的一个法向量()22,6,3n =--， ∴121212222cos ,11263n n n n n n ⋅-<>===-++⋅.设二面角C PD B --的大小为θ，结合图形可知22cos 11θ=. 【点睛】本题考查立体几何基本知识，第一问考查了线面平行的证法，证线面平行一般有两种思路：一种通过证直线和平面里的一条直线平行来证线面平行；另一种通过证面面平行，说明直线在其中一个平面，从而证线面平行。

信丰中学2020届高三年级上学期第四次月考理科数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|31B x x =-<<，则A B =（ ）A. {}|31x x -<<B. {}|33x x -<≤C. {}|11x x -≤<D. {}|11x x -<<C解一元二次不等式可得集合A ，再由集合的交集运算即可得解.因为{}{}2|23013A x x x x x =--≤=-≤≤，{}|31B x x =-<<，所以{}11A B x x ⋂=-≤<.故选：C. 2. 复数21z i=-，在复平面内复数z 的共轭复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限D 先对21z i=-进行化简，再求z 的共轭复数及z 的共轭复数在复平面对应的点 21i 1iz ==+-，则1z i =-，1z i =-在复平面内对应的点为()1,1-，为第四象限 答案选D如图所示，取AB 边的中线CD ，则三个圆心都在线段CD 上， 设最上面的圆的圆心为O ，圆O 与BC 的切点为E ， 易知30OCE ∠=，所以2OC OE =.设圆半径OE r =，2OC r ∴=，则7CD r =，所以22tan 303AB AD CD ===.所以217233ABC S r ∆⨯==，而阴影部分的面积为23r π，所以所求的概率2234949rPπ==.故选：B.6. 已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，有以下命题：①若mα⊥，mβ⊥，则αβ∥.②若m α，n α，则m n.③若mα⊂，mβ⊥，则αβ⊥.④若lαβ=，mα⊂，m l⊥，则mβ⊥.其中真命题有（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④B①由线面垂直的性质和面面平行的定义，命题正确②m与n有可能相交，命题错误③由面面垂直的判定定理判断，命题正确④成立的前提是面面垂直，命题错误对命题①，由线面垂直的性质和面面平行的定义可知，若mα⊥，mβ⊥，则α平面与β无公共点，可证αβ∥，命题①正确对命题②，若m与n为另一平行平面的两条交线，也满足条件，但推不出结论，命题②错误对命题③，由面面垂直的判定定理可知：如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直. ③中mα⊂，mβ⊥，所以αβ⊥．命题③正确对命题④，若二面角的平面角为锐角时，m与β斜交，命题④错误．由程序框图可知,该程序的功能是计算出输出:111111223344556S=++++⨯⨯⨯⨯⨯111111223344556S=++++⨯⨯⨯⨯⨯1111111111223344556=-+-+-+-+-15166=-=故选：C.8. 已知函数()f x是定义在[]12,m m-上的偶函数，[]12,0,x x m∀∈，当12x x≠时，()()()1212f x f x x x--<⎡⎤⎣⎦，则不等式()()12f x f x-≤的解集是（）A. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C先根据偶函数的定义域关于原点对称求出m ，再根据偶函数的对称性和题设给的[]0,x m ∈的增减性解题即可()f x 是定义在[]12,m m -上的偶函数，120m m ∴-+=，解得1m =，()f x 的定义域为[]1,1- 又[]12,0,1x x ∀∈，当12x x ≠时，()()()12120f x f x x x --<⎡⎤⎣⎦()f x ∴[]0,1x ∈单调递减，再由偶函数的对称性可知()()[][]11,11221,112x f x f x x x x⎧-∈-⎪-≤⇔∈-⎨⎪->⎩，解得10,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 答案选C因为函数()2sin(2)cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<< ⎪⎝⎭的图象过点(0,2)，所以2sin 22θ=，即sin 21θ=，所以4πθ=，故2()2sin(2)cos 2sin cos 2cos cos 212f x x x x x x x πθ⎛⎫=+⋅=+⋅==+ ⎪⎝⎭，对于A ，因为cos 1142f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()y f x =的对称中心，故A 错误；对于B ，因为cos 1142f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以直线4x π=不是()y f x =的对称轴，故B 错误；对于C ，函数()y f x =的最小正周期22T ππ==，故C 错误； 对于D ，因为[]cos21,1x ∈-，所以函数()y f x =的值域是[0,2]，故D 正确.故选：D.10. 抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，点Q 在抛物线上，且90MQF ∠=，则以MQ 为直径的圆的面积等于（）A. 512π- B.512π+ C. ()252π-D. ()252π+A根据题意，画出简图，设点Q (),x y ，再根据几何关系进行求解 如图：设点Q (),x y ，由题可知，点()()1,0,1,0F M -，90MQF ∠=,O 为MF 中点，112OQ MF ∴==，即221x y +=，又24y x =，2221524x y x y x⎧+=⇒=⎨=⎩ ()()2222211461252MQ x y x x x x =++=++=++=以MQ 为直径的圆的面积等于25142S MQ ππ==答案选A因为方程()0f x ax -=有4个不同的实数根， 所以函数()y f x =的图象与直线y ax =有4个交点，当0x >时，()xe f x x =，()()21x e x f x x-'=， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；且当0x +→时，()f x →+∞， 则函数()f x 的图象如图，当0x ≤时，()24f x x x =+，()24f x x '=+，所以()f x 在()0,0处的切线1l 的斜率()104k f '==；当0x >时，()xe f x x =，()()21x e x f x x-'=， 设()f x 过原点的切线2l 的切点为000,x e x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则2l 的斜率()()000220001x x e e x k x x x f x -'===，解得02x =，224e k =； 若要使函数()y f x =的图象与直线y ax =有4个交点，数形结合可得2,44e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选：A.二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 已知直线1:(2)20l ax a y +++=，2:10l x ay ++=．若12l l ，则实数a =__________．-1 若12l l ，则(2)1a a a ⨯=+⨯，且121a ⨯≠⨯，解得1a =-．14. 已知实数x ，y 满足约束条件30330x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值是______.6根据线性约束条件画出可行域，再将2x y =-进行平移寻找最值点即可如图，根据线性约束条件画出可行域，画出符合条件的可行域，将2xy =-进行平移，当移到最高点()0,3时，得到2z x y =+的最大值，max 236z =⨯=则2z x y =+的最大值是615. 已知数列{}n a 的各项均为正数，记{}n S 为数列{}n a 的前n 项和，若()2*112nn n na a n N a a ++=∈-，11a =，则6S =______.63对()2*112nn n na a n N a a ++=∈-进行化简，可得12n n a a +=，再根据等比数列前n 项和公式进行求解即可 由22222211111122n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a ++++++=⇒-⋅=⇒-=+⋅- ()()()111112n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a +++++⇒+-=+⇒-=⇒= 数列{}n a 为首项为11a =，公比2q 的等比数列，()()6616111263112a q S q-⨯-===--所以6S =63[]1,3按照点A 是否与原点重合分类；当点A 不与原点重合时，设,0,2OAB πθθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭，()11,D x y ，()22,C x y ，由题意可得1x 、1y 、2x 、2y ，再由平面向量数量积的坐标表示可得12sin 2OC OD θ⋅=+，即可得解. 当点A 不与原点重合时，设,0,2OAB πθθ⎡⎫∠=∈⎪⎢⎣⎭，()11,D x y ，()22,C x y ，则CBy θ∠=，2DAx πθ∠=-，因为2AB =，所以2cos OA θ=，2sin OB θ=，又1BC AD ==，所以12cos cos 2cos sin 2x πθθθθ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，1sin cos 2y πθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，2sin x θ=，22sin cos y θθ=+，所以()()12122cos sin sin cos 2sin cos OC OD x x y y θθθθθθ+⋅+⋅⋅=++=14sin cos 12sin 2θθθ=+=+，由[)20,θπ∈可得[]2sin 20,2θ∈，所以OC OD ⋅的取值范围是[]1,3； 当点A 与原点重合时，()()1,21,01OC OD ⋅=⋅=； 综上，OC OD ⋅的取值范围是[]1,3. 故答案为：[]1,3.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若()sin sin cos a c B b C A +-=. （1）求角A ；（2）若ABC ∆的面积为6a =，求ABC ∆的周长.（1）60A =（2）6+（1）利用正弦定理边化角进行化简求值即可（2）利用余弦定理和正弦面积公式最终代换出b c +整体即可解：（1）由正弦定理得：()sin sin sin sin sin 3sin cos A C B B C B A +-=， ∵sin 0B ≠，∴tan 3A =，∵A 是ABC ∆的内角，∴60A =.（2）∵ABC ∆的面积为43，∴1sin 432bc A =，由（1）知60A =，∴16bc =，由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-()23b c bc =+-， ∴()24836b c +-=，得：221b c +=， ∴ABC ∆的周长为6221+.（1）若点E 为PC 的中点，求证：//BE 平面PAD ；（2）当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值. （1）详见解析（2）2211（1）通过作CD 的中点M ，连结EM ，BM ，通过中位线定理分别证明EM PD ，BM AD来证明平面BEM平面PAD ，从而证明//BE 平面PAD（2）当平面PBD ⊥平面ABCD 时，再结合题干信息，可作BD 的中点O ，连接PO ，以OC 的方向为x 轴正方向，OB 的方向为y 轴正方向，OP 的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法来求解二面角C PD B --的余弦值 解：（1）取CD 的中点M ，连结EM ，BM .∵BCD ∆为等边三角形，∴23BM =. ∴23AD BM ==，又2AB DM ==， ∴四边形ABMD 是平行四边形，∴BMAD .又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD .∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM PD .同理：EM 平面PAD .∵EMBM M =，∴平面BEM平面PAD .∵BE ⊂平面BEM ，∴//BE 平面PAD .（2）取BD 的中点O ，连结CO ，PO ，则CO BD ⊥，PO BD ⊥. ∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，∴PO CO ⊥，22PO =，23CO =. 以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴正方向， 建立空间直角坐标系O xyz -.则()0,2,0D -，()23,0,0C ，(0,0,22P .∴()23,2,0DC =，(0,2,22DP =，平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n =.设平面PCD 的法向量为()2,,n x y z =，则2200n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即23202220x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩. 令6y =，得2x =-，3z =-，∴平面PCD 的一个法向量()22,6,3n =--， ∴121212222cos ,11263n n n n n n ⋅-<>===-++⋅.设二面角C PD B --的大小为θ，结合图形可知22cos 11θ=.（1）写出x ，y 的值（不需过程）；（2）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据（视样本频率为概率）.今从这段时期内任取4天，记其中游客数不低于125人的天数为ξ，求概率()2P ξ≤； （3）现从上图的共20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于115且不高于135人的天数为η，求η的分布列和期望. （1）5,4x y ==； （2）328625； （3）分布列见解析，()1E η=. （1）利用景点甲中的数据的中位数是126，景点乙中的数据的平均数是124，列出方程组，即可求得,x y 得值；（2）判断游客数不低于125人的概率，判断是独立重复试验，满足二项分布，然后求解概率，即可；（3）求出η的所有可能的取值为0,1,2，求出概率得到分布列，利用公式求得期望即可. （1）由题意，景点甲中的数据的中位数是126，当04,x x Z ≤≤∈时，可得中位数为127124125.52+=（不合题意，舍去）； 当59,x x Z ≤≤∈时，可得中位数为127(120)1262x ++=，解得5x =， 又由景点乙中的数据的平均数是124，可得1(109110115118124125126133135141)12410y ++++++++++=，解得4y =.（2）由题意知，因为经典甲的每一天的游客数不低于125人的概率为63105=， 任取4天，即进行了4次独立重复试验，其中有ξ次发生， 故随机变量ξ服从二项分布3(4,)5B ξ，则()432201244433333328211155555625P C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤=-+-+-=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （3）由茎叶图，可得共有20天的数据中，甲景区游客数不低于115且不高于135人的天数为3天， 乙景区游客数不低于115且不高于135人的天数为7天， 先从20天的数据中任取2天的数据，甲乙两景点中各取1天，其中游客数不低于115且不高于135人的天数为η，则η的可能取值为0,1,2， 则737733(0)0.21,(1)0.58101010101010P P ηη==⨯===⨯+⨯=， 37(2)0.211010P η==⨯=，所以随机变量η的分布列为：所以期望()00.2110.5820.211E η=⨯+⨯+⨯=.20. 已知圆O ：2243x y +=，椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点⎝⎭，圆上任意一点P 处的切线交椭圆于M ，N 两点， （1）求椭圆C 的方程；（2）试判断PM PN ⋅是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.(1) 22142x y +=；(2)定值为43，理由见解析.（1）根据椭圆的离心率和过点33⎛ ⎝⎭建立方程即可求出22,a b ，则得椭圆方程；（2）分两种情况进行讨论，当过点P 的圆的切线斜率为0或不存在时，4||||333PM PN ⋅=⨯=；当斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，采用解析几何方法联立切线与椭圆标准方程，得出关于两点横坐标的韦达定理，再用弦长公式表示出||||PM PN ⋅，最终将表达式进行化简求值即可。