突破17 竖直面内的圆周运动-2019高三物理一轮微专题系列之热点专题突破

专题5 竖直面内的圆周运动（解析版）一、目标要求目标要求重、难点向心力的来源分析重难点水平面内的圆周运动重难点火车转弯模型难点二、知识点解析1．汽车过桥模型(单轨，有支撑)汽车在过拱形桥或者凹形桥时，桥身只能给物体提供弹力，而且只能向上(如以下两图所示)．(1)拱形桥(失重)汽车在拱形桥上行驶到最高点时的向心力由重力和桥面对汽车的弹力提供，方向竖直向下，在这种情况下，汽车对桥的压力小于汽车的重力：mg－F＝2mvR,F ≤ mg，汽车的速度越大，汽车对桥的压力就越小，当汽车的速度达到v max＝gR，此时物体恰好离开桥面，做平抛运动．(2)凹形路(超重)汽车在凹形路上行驶通过最低点的向心力也是由重力和桥面对汽车的弹力提供，但是方向向上，在这种情况下，汽车对路面的压力大于汽车的重力：2-=mvF mgR，由公式可以看出汽车的速度越大，汽车对路面的压力也就越大．说明：汽车过桥模型是典型的变速圆周运动．一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题．2．绳模型(外管，无支撑，水流星模型)(1)受力条件：轻绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力，圆形轨道对小球只能产生垂直于轨道向内的弹力，故这两种模型可归结为一种情况，即只能对物体施加指向轨迹圆心的力．(2)临界问题：①临界条件：小球在最高点时绳子的拉力(或轨道的弹力)如果刚好等于零，小球的重力充当圆周运动所需的向心力，这是小球能通过最高点的最小速度，则：2=v mg m R，解得：0=v gR说明：如果是处在斜面上，则向心力公式应为：20sin v mg m R α=，解得:0sin v gR α=②能过最高点的条件：v ≥0v ．③不能过最高点的条件：v ＜0v ，实际上小球在到0v 达最高点之前就已经脱离了圆轨道，做斜上抛运动．3．杆模型(双管，有支撑)(1)受力条件：轻杆对小球既能产生拉力又能产生支持力，圆形管道对其内部的小球能产生垂直于轨道用长为L 的轻绳拴着质量为m 的小球 使小球在竖直平面内作圆周运动 质量为m 的小球在半径为R 的光滑竖直外管内侧做圆周运动用长为L 的轻杆拴着质量为m 的小球使小球在竖直平面内作圆周运动 质量为m 的小球在半径为R 的光滑竖直双管内做圆周运动向内和向外的弹力．故这两种模型可归结为一种情况，即能对物体施加沿轨道半径向内和向外的力．(2)临界问题：①临界条件：由于硬杆或管壁的支撑作用，小球能到达最高点的临界速度0=v 临，此时轻杆或轨道内侧对小球有向上的支持力：0-=N F mg ．②当0＜v gR N F ．由-mg N F 2=v m R 得：N F 2=-v mg m R．支持力N F 随v 的增大而减小，其取值范围是0＜N F ＜mg ．③当=v gR 时，重力刚好提供向心力，即2=v mg m R，轻杆或轨道对小球无作用力．④当v gR F 或轨道外侧对小球施加向下的弹力N F 弥补不足，由2+=v mg F m R 得：2=-v F m mg R，且v 越大F (或N F )越大．说明：如果是在斜面上：则以上各式中的mg 都要改成sin mg α． 4．离心运动做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者减小的情况下，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动．(1)离心运动的成因做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞去的倾向．当2F mr ω=时，物体做匀速圆周运动；当0F =时，物体沿切线方向飞出；当2F mr ω<时，物体逐渐远离圆心．F 为实际提供的向心力．如图所示．(2)离心运动的应用离心运动可以给我们的生活、工作带来方便，如离心干燥器、洗衣机的脱水筒等就是利用离心运动而设计的．离心干燥器：将湿物体放在离心干燥器的金属网笼里，当网笼转得较快时，水滴所受的附着力不足以提供其维持圆周运动所需的向心力，水滴就做离心运动，穿过网孔，飞离物体，使物体甩去多余的水分．(3)离心运动的防止有时离心运动也会给人们带来危害，如汽车、摩托车、火车转弯时若做离心运动则易造成交通事故；砂轮转动时发生部分砂块做离心运动而造成人身伤害．因此应对它们进行限速，这样所需向心力mvr2较小，不易出现向心力不足的情况，从而避免离心运动的产生．(4)几种常见的离心运动物理情景实物图原理图现象及结论洗衣机脱水筒当水滴跟物体之间的附着力F不能提供足够的向心力(即2ω<F m r))时，水滴做离心运动汽车在水平路面上转弯当最大静摩擦力不足以提供向心力(即2max<vF mr))时，汽车做离心运动三、考查方向题型1：汽车过桥模型典例一：如图所示，质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，当滑块从A滑到B的过程中，受到的摩擦力的最大值为Fμ，则( )A．Fμ=μmg B．Fμ＜μmgC．Fμ＞μmg D．无法确定Fμ的值【答案】：C【解析】在四分之一圆弧底端，根据牛顿第二定律得：2vN mg mR-=，解得：N=mg+ 2vmR，此时摩擦力最大，有：2＞v F N mg m mg R μμμμ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．故C 正确确，ABD 错误．题型2：绳模型典例二：如图所示，杂技演员表演水流星节目．一根长为L 的细绳两端系着盛水的杯子，演员握住绳中间，随着演员的抡动，杯子在竖直平面内做圆周运动，杯子运动中水始终不会从杯子洒出，设重力加速度为g ，则杯子运动到最高点的角速度ω至少为( )A gLB 2g LC 5gLD 10gL【答案】：B【解析】：据题知，杯子圆周运动的半径2=Lr ，杯子运动到最高点时，水恰好不流出，由水的重力刚好提供其做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律得：22Lmg m ω= 解得：2g L ω=题型3：杆模型典例三：一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动，如图所示，则下列说法正确的是( )A ．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零B gRC ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大D ．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小 【答案】：A【解析】：轻杆可对小球产生向上的支持力，小球经过最高点的速度可以为零，当小球过最高点的速度v gR A正确，B错误；若v gR最高点对小球的弹力竖直向上，mg－F＝m2vR，随v增大，F减小，若v gR高点对小球的弹力竖直向下，mg＋F＝m2vR，随v增大，F增大，故C、D均错误。

专题：竖直面内的圆周运动问题轻绳、轻杆模型是高中物理的一个典型题型，可分为有支撑和无支撑两种情况，分析时要注意不同情况下安全过最高点的临界条件，掌握对最高点的物理情景的分析。

一、轻绳模型（无支撑情况）二、轻杆模型（有支撑情况）1.安全通过最高点的临界条件：2.对最高点的分析：v gR临1.安全通过最高点的临界条件：2.对最高点的分析：① v gR ＞2v F m G R=- ，方向竖直向下② v ，时轻杆或管道对物体的弹力为零③ v2N v F G m R=-，方向竖直向上=0v 临① v gR=绳子拉力为零。

② v Rv m T mg 2=+ 速度越大，拉力越大。

1. 用长为l 的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是（A ）A. 小球在圆周最低点时拉力一定大于重力B. 小球在圆周最高点时所受向心力一定是重力C. 小球在圆周最高点时绳子的拉力不可能为零D. 小球在最高点时的速率是gl2.如图所示，杂技演员在表演“水流星”，用长为1.6m轻绳的一端，系一个总质量为0.5kg的盛水容器，盛水容器以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，若“水流星”通过最高点的速度为4m/s，g取10m/s2，则下列关于“水流星”通过最高点时说法正确的是（ B ）A. 有水从容器中流出B. 绳的张力及容器的底部受到的压力均为零C. 处于完全失重状态，不受力的作用D. 绳子的拉力大小为5N3.如图所示，长为L＝0.5 m的轻杆OA，A端连着一个质量m＝2 kg的小球，绕O点在竖直平面内做匀速圆周运动，g取10 m/s2.(1)如果在最低点时小球的速度为3 m/s，求杆对小球的拉力为多大；(2)如果在最高点杆对小球的作用力为4 N，求小球的速度为多大；(3)在最高点时小球的速度能不能为0？若可以为0，则杆对小球的作用力为多大？4. (2016·全国Ⅱ·16)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示．将两球由静止释放．在各自轨迹的最低点(C)A．P球的速度一定大于Q球的速度B．P球的动能一定小于Q球的动能C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度5.如图，在竖直平面内由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。

竖直面内圆周运动特训目标特训内容目标1拱形桥凹形桥模型(1T -4T )目标2绳类和轨道内侧类模型(5T -8T )目标3杆类和管类模型(9T -12T )目标4竖直面内圆周运动的图像问题(13T -16T )【特训典例】一、拱形桥凹形桥模型1汽车行驶中经常会经过一些凹凸不平的路面，其凹凸部分路面可以看作圆弧的一部分，如图所示的A 、B 、C 处，其中B 处的曲率半径最大，A 处的曲率半径为ρ1，C 处的曲率半径为ρ2，重力加速度为g 。

若有一辆可视为质点、质量为m 的小汽车与路面之间各处的动摩擦因数均为μ，当该车以恒定的速率v 沿这段凹凸路面行驶时，下列说法正确的是()A.汽车经过A 处时处于超重状态，经过C 处时处于失重状态B.汽车经过B 处时最容易爆胎C.为了保证行车不脱离路面，该车的行驶速度不得超过gρ1D.汽车经过C 处时所受的摩擦力大小为μmg 【答案】C【详解】A ．汽车经过A 处时，加速度向下，处于失重状态，经过C 处时，加速度向上，处于超重状态，选项A 错误；B ．因汽车在BC 两点处于超重状态，而根据F =mg +m v 2R在C 处的曲率半径小于B 处，可知根据汽车经过C 处时最容易爆胎，选项B 错误；C ．汽车在A 点容易脱离桥面，则在A 点汽车对桥面的压力恰为零时，根据mg =m v 2R可知，为了保证行车不脱离路面，该车的行驶速度不得超过v =gR A =gρ1选项C 正确；D ．汽车经过C 处时所受的摩擦力大小为f =μF NC =μmg +m v 2ρ2>μmg 选项D 错误。

故选C 。

2早在19世纪。

匈牙利物理学家厄缶就明确指出：“沿水平地面向东运动的物体，其重量(即：列车的视重或列车对水平轨道的压力)一定会减轻”。

后来，人们常把这类物理现象称之为“厄缶效应”，已知地球的半径R ，考虑地球的自转，赤道处相对于地面静止的列车随地球自转的线速度为v 0，列车的质量为m ，此时列车对轨道的压力为N 0，若列车相对地面正在以速率v 沿水平轨道匀速向东行驶，此时列车对轨道的压力为N ，那么，由于该火车向东行驶而引起列车对轨道的压力减轻的数量N 0-N 为()A.mv 2R B.m v 0vRC.mv 2+v 0v RD.mv 2+2v 0v R【答案】D【详解】根据题意，当列车相对于地面静止时，有mg-N0=m v20R当列车相对地面的速度为v向东运动时，有mg-N=m (v0+v)2R联立解得N0-N=mv2+2v0vR故选D。

微专题29竖直面内的圆周运动1．“绳—球”模型特点：下无支撑，上有约束，最高点最小速度v min＝gR.2.“杆—球”模型特点：下有支撑，上有约束，在最高点最小速度为0，但速度为gR是球对杆有压力还是拉力的分界点.3.通常情况下竖直平面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的运动情况，通常由动能定理联系物体在两点的速度．1.(2023·山西大同市调研)如图所示，某公园里的过山车驶过轨道的最高点时，乘客在座椅里面头朝下，人体颠倒，若轨道半径为R，人体重为mg(g为重力加速度)，要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身重力的一半，则过山车在最高点时的速度大小为()A．0 B.3gR2C.gRD.3gR答案B解析由题意可知，在最高点座椅对乘客的支持力大小为mg2，根据牛顿第二定律可得mg2＋mg＝m v2R，解得v＝3gR2，故B正确，A、C、D错误．2．(2023·北京市东城区模拟)如图所示，细绳的一端固定于O点，另一端系一个小球，在O 点的正下方钉一个钉子A，小球从一定高度自由摆下，当细绳与钉子相碰后继续向右做摆长更小的摆动．不计空气阻力，假设小球碰钉子前后无机械能损失，有关摆球在整个摆动过程中，下列说法正确的是()A．小球碰钉子之后，绳上拉力减小B．碰后小球向心加速度大小不变C．碰后小球仍能摆到碰前释放摆球时高度D．碰后小球最大摆角小于碰前释放摆球的摆角答案C解析由于小球碰钉子前后无机械能损失，可知细绳与钉子相碰前后瞬间小球的线速度大小不变，半径变小，根据牛顿第二定律可得F T－mg＝m v2r，可得F T＝mg＋mv2r，可知小球碰钉子之后，绳上拉力增大，A错误；根据向心加速度与线速度关系a＝v2r，细绳与钉子相碰前后瞬间小球的线速度大小不变，半径变小，可知碰后小球向心加速度大小变大，B错误；细绳与钉子相碰前后瞬间小球的线速度大小不变，说明小球在整个摆动过程都满足机械能守恒，故碰后小球仍能摆到碰前释放摆球时高度，设碰前释放摆球的摆角为θ1，半径为r1，碰后小球最大摆角为θ2，半径为r2，则有mgr1(1－cosθ1)＝mgr2(1－cosθ2)，又r1>r2，可得cosθ1>cos θ2，即θ1<θ2，C正确，D错误．3.(多选)如图所示，小球紧贴在竖直放置的光滑圆形管道内壁做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，重力加速度为g，则下列说法正确的是()A．小球通过最高点时的最小速度v min＝g R＋rB．小球通过最高点时的最小速度v min＝0C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力答案BC解析小球沿管道上升到最高点的速度可以为零，A错误，B正确；小球在水平线ab以下的管道中运动时，由外侧管壁对小球的作用力F N与小球所受重力在背离圆心方向的分力F′的合力提供向心力，即F N－F′＝ma′，因此，外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，C正确；小球在水平线ab以上的管道中运动时，小球受管壁的作用力情况与小球速度大小有关，外侧管壁对小球不一定有作用力，D错误．4．如图所示，一质量为m的小球分别在甲、乙两种竖直固定轨道内做圆周运动．若两轨道内壁均光滑，半径均为R，重力加速度为g，小球可视为质点，空气阻力不计，则()A．小球通过轨道甲最高点时的最小速度为零B．小球通过管道乙最高点时的最小速度为gRC ．小球以最小速度通过轨道甲最高点时受到轨道弹力大小为mgD ．小球以最小速度通过管道乙最高点时受到轨道弹力大小为mg 答案D解析小球通过轨道甲最高点时，当轨道对小球的弹力等于零时，小球的速度最小，最小为gR ，故A 、C 错误；小球通过管道乙最高点时，因为外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度等于0时，内管对小球产生弹力，大小为mg ，故最小速度为0，故B 错误，D 正确．5．如图所示，将过山车经过两段弯曲轨道的过程等效简化成如图所示两个圆周的一部分(R A <R B )，A 、B 分别为轨道的最低点和最高点，过山车与轨道间的动摩擦因数处处相等，则过山车()A ．在A 点时合力方向竖直向上B ．在B 点时合力方向竖直向下C ．在A 点时所受摩擦力比在B 点时大D ．在B 点时所需向心力比在A 点时大答案C解析过山车在两段弯曲轨道中所做的运动不是匀速圆周运动，经过A 点或B 点时，其合力并不指向圆心，选项A 、B 错误；过山车经过A 点的速度大于B 点的速度，在A 点根据向心力公式有F N A －mg ＝m v A 2R A ，过山车在A 点对轨道的压力F N A ′＝F N A ＝mg ＋m v A 2R A ，由题图可知，过山车在最高点B 时是在轨道的外侧运动，根据向心力公式有mg －F N B ＝m v B 2R B，对轨道的压力F N B ′＝F N B ＝mg －mv B 2R B，故F N A ′>F N B ′，又摩擦力F f ＝μF N ，因动摩擦因数处处相等，所以F f A >F f B ，选项C 正确；因半径R A <R B ，速度v A >v B ，则由向心力公式F n ＝m v 2R可知，在A 点向心力较大，选项D 错误．6．(2023·重庆市南开中学高三月考)如图所示，质量为4kg 、半径为0.5m 的光滑管状细圆环用轻杆固定在竖直平面内，A 、B 两小球的直径略小于管的内径，它们的质量分别为m A ＝1kg 、m B ＝2kg.某时刻，A 、B 两球分别位于圆环最低点和最高点，且A 的速度大小为v A ＝3m/s ，此时杆的下端受到向上的压力，大小为56N ．则B 球的速度大小v B 为(取g ＝10m/s 2)()A ．2m/sB ．4m/sC ．6m/sD ．8m/s答案C解析对A 球，合力提供向心力，设环对A 球的支持力为F A ，由牛顿第二定律有F A －m A g＝m A v A 2R，代入数据解得F A ＝28N ，由牛顿第三定律可得，A 球对环的力向下，大小为28N ．设B 球对环的力为F B ′，由环的受力平衡可得F B ′＋28N ＋m 环g ＝－56N ，解得F B ′＝－124N ，负号表示和重力方向相反，由牛顿第三定律可得，环对B 球的力F B 为124N 、方向竖直向下，对B 球由牛顿第二定律有F B ＋m B g ＝m B v B 2R，解得v B ＝6m/s ，故选C.7．(2023·海南西南大学东方实验中学模拟)汽车通过拱形桥面和凹形桥面是生活中常见的两种现象．如图所示，若在汽车中固定一力传感器，力传感器下端挂有一小球．当汽车通过拱形桥面的最高点和通过凹形桥面最低点时速度大小均为v .已知汽车的质量为M ，小球的质量为m ，桥面的圆弧半径均为r ，重力加速度为g .下列说法正确的是()A ．甲图中汽车对桥面的压力大于汽车所受的重力B ．乙图中汽车对桥面的压力大于汽车所受的重力C ．甲图中力传感器的示数大小为F T1＝mg －m v 2r D ．乙图中力传感器的示数大小为F T2＝mg ＋m v 2r答案A解析当汽车通过凹形桥面最低点时，根据曲线运动特点可知，汽车处于超重状态，凹形桥面对汽车的支持力大于汽车所受到的重力，由牛顿第三定律可知，题图甲中汽车对桥面的压力大于汽车所受重力，当汽车通过拱形桥面的最高点时，汽车处于失重状态，桥面对汽车的支持力小于汽车所受到的重力，由牛顿第三定律可知，题图乙中汽车对桥面的压力小于汽车所受重力，故A 正确，B 错误；对题图甲中的小球受力分析如图(a)所示，根据牛顿第二定律得F T1－mg ＝m v 2r，则力传感器的示数大小为F T1＝mg ＋m v 2r，故C 错误；对题图乙中的小球受力分析如图(b)所示，根据牛顿第二定律得mg －F T2＝m v 2r ，则力传感器的示数大小为F T2＝mg －m v 2r，故D 错误．8．(多选)如图甲所示，用不可伸长的轻质细绳拴着一可视为质点的小球，在竖直面内做圆周运动，不计一切阻力．小球运动到最高点时绳对小球的拉力F 与小球速度的平方v 2的图像如图乙所示，已知重力加速度g ＝10m/s 2，下列说法正确的有()A ．小球运动到最高点的最小速度为1m/sB ．小球的质量为0.1kgC ．细绳长为0.2mD ．当小球在最高点的速度为2m/s 时，小球运动到最低点时细绳的拉力大小为7N 答案ABD解析在最高点，根据牛顿第二定律有F ＋mg ＝m v 2L ，解得F ＝m v 2L－mg ，根据纵轴截距有－mg ＝－1N ，可知质量为m ＝0.1kg ，根据图像的斜率为mL ＝1kg/m ，可得绳长为L ＝0.1m ，故B 正确，C 错误；根据绳—球模型可知小球运动到最高点且速度最小时拉力为零，只有重力提供向心力，有mg ＝m v min 2L，解得最小速度为v min ＝gL ＝1m/s ，故A 正确；当小球在最高点的速度为v 1＝2m/s 时，根据动能定理有mg ·2L ＝12m v 22－12m v 12，在最低点由牛顿第二定律有F ′－mg ＝m v 22L，联立解得小球运动到最低点时细绳的拉力大小为F ′＝7N ，故D正确．9.(多选)如图所示，长为0.3m 的轻杆一端固定质量为m 的小球(可视为质点)，另一端与水平转轴O 连接．现使小球在竖直面内绕O 点做匀速圆周运动，轻杆对小球的最大作用力为74mg ，已知转动过程中轻杆不变形，重力加速度g 取10m/s 2，下列说法正确的是()A ．小球转动的角速度为5rad/sB ．小球通过最高点时对杆的作用力为零C ．小球通过与圆心等高的点时对杆的作用力大小为34mgD ．小球在运动的过程中，杆对球的作用力不一定总是沿杆方向答案AD解析小球运动到最低点时杆对小球的作用力最大，则F T －mg ＝mω2r ，解得ω＝5rad/s ，选项A 正确；小球通过最高点时F T ′＋mg ＝mω2r ，解得F T ′＝－14mg ，可知杆对球有向上的支持力，球对杆有向下的压力，大小为14mg ，选项B 错误；小球通过与圆心等高点时对杆的作用力大小为F T ″＝ mg 2＋ mω2r 2＝54mg ，此时杆对球的作用力方向不是沿着杆的方向，选项C 错误，D 正确．10．(多选)如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O 点做半径为R 的圆周运动．小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F ，小球在最高点的速度大小为v ，其F —v 2图像如图乙所示，g 取10m/s 2，则()A．小球的质量为4kgB．固定圆环的半径R为0.8mC．小球在最高点的速度为4m/s时，小球受圆环的弹力大小为20N，方向向上D．若小球恰好做圆周运动，则其承受的最大弹力为100N答案BD解析对小球在最高点进行受力分析，速度为0时，F1＝20N，则m＝F1g＝2010kg＝2kg，小球质量为m＝2kg，故A错误；当F2＝0时，由重力提供向心力可得mg＝m v2R，结合题图乙可知R＝v22g0.8m，故B正确；小球在最高点的速度大小为4m/s(大于22m/s)，小球受圆环的弹力方向向下，且F3＋mg＝m v32RF3＝20N，故C错误；小球经过最低点时，其受力最大，由牛顿第二定律得F4－mg＝m v42R，若小球恰好做圆周运动，由机械能守恒得mg·2R＝12m v42，由以上两式得F4＝5mg，代入数据得F4＝100N，故D正确．。

竖直平面内的圆周运动 一、分析圆周运动要注意以下几个问题1、 首先要明确物体做圆周运动的圆轨道在哪里?圆心在哪里?2、对物体进行正确的受力分析，确定向心力。

由牛顿运动定律可知，有力才会有加速度。

产生向心加速度的力称做向心力，向心力一般是由合力提供，在具体问题中也可以是由某个实际的力提供，如拉力、重力、摩擦力等。

3、确定圆周运动各物理量之间的关系描述圆周运动的物理量主要是线速度、角速度、轨道半径、周期和向心加速度。

4、要注意虽然圆周运动向心加速度公式a=rv 2是从匀速圆周运动推出的，但是它也适用于非匀速圆周运动情况，可以是瞬时关系。

二、竖直平面内圆周运动应用实例分析（一）汽车过桥分析汽车匀速率过凸形桥和凹形桥两种情况，主要分析汽车在拱形桥最高点和凹形桥最低点对桥面的压力情况。

（1）汽车匀速过凸形路面时在最高点，重力mg 和地面支持力的合外力是使物体做圆周运动的向心力：mg N m v R-=2通过公式可以看出：汽车过拱形桥时，处于失重状态；且当汽车的速度增大时，对地面的压力在逐渐的减小，若汽车刚要脱离路面，此时，N=0， v gR =（2）汽车匀速过凹形最低点时N mg m v R N mg m v R-==+22，即车处于超重状态。

例1、如图所示，汽车质量为1.5×104kg ，以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，桥面圆弧半径为15 ｍ，如果桥面承受的最大压力不得超过2.0×105 N ，汽车允许的最大速率是多少?汽车以此速率驶过桥面的最小压力是多少?（ｇ＝10 m/s 2）解析：首先要确定汽车在何位置时对桥面的压力最大，汽车经过凹形桥面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态；经过凸形桥面时，向心加速度方向向下，汽车处于失重状态，所以当汽车经过凹形桥面的最低点时如图2，汽车对桥面的压力最大。

当汽车经过凹桥面最低点时，设桥面支持力为1N F ，由牛顿第二定律有Rv m mg F N 21=- 要求51100.2⨯≤N F N解得允许的最大速度v m ＝7.07 m/s由上面的分析可知，汽车经过凸桥顶点时对桥面的压力最小，设为2N F .如图所示由R v m F mg m N 22=-解得52100.1⨯=N F N. 由牛顿第三定律知， 2N F 与2N F ′等值反向.（二）轻绳模型和轻杆模型这类问题的特点是：物体做圆周运动的速率是时刻变化的，先从简单的开始研究，只研究小球通过最高点和最低点时绳子或杆的受力情况。

高频考点：水平面内的圆周运动、竖直面内的圆周运动动态发布：物理第17题、·物理第17题〔2〕、理综卷第17题、理综卷第22题、理综第24题圆周运动包括匀速圆周运动和竖直面内的变速圆周运动。

匀速圆周运动的特点是物体所受合外力大小不变，方向总是指向圆心。

解答匀速圆周运动问题的方法是：选择做匀速圆周运动的物体作为研究对象，分析物体受力情况，其合外力提供向心力；运用F 合=mv 2/R 或F 合=m ω2R 或F 合=m 22T π⎛⎫ ⎪⎝⎭R考查方式一 水平面内的匀速圆周运动例1〔物理第17题〕如图1所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H ，筒内壁A 点的高度为筒高的一半。

内壁上有一质量为m的小物块。

求○1当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小； ○2当物块在A 点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。

【解析】①当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，由平衡条件得 摩擦力的大小22sin Hf mg H R θ==+支持力的大小22cos RN mg H R θ==+②当物块在A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A 点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω有由几何关系得 tan H Rθ= 联立以上各式解得2gH Rω= 【点评】此题考查小球在圆锥筒内壁的平衡和水平面内的匀速圆周运动。

例2.(·物理第17题〔2〕)有一种叫“飞椅〞的游乐工程，示意图如下列图，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系．【解析】：设转盘转动角速度ω时，夹角θ夹角θ座椅到中心轴的距离：θsin L r R +=①对座椅分析有：2tan ωθmR mg F ==心②联立两式 得θθωsin tan L r g += 【点评】此题以游乐工程“飞椅〞考查方式二 竖直面内的匀速圆周运动竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，要注意物体运动到圆周的最高点速度不为零。

专题 竖直面内的圆周运动一、轻绳模型1．（2022·全国·高一专题练习）如图，轻绳OA 拴着质量为m 的物体，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，下列说法正确的是（ ） A ．小球过最高点时的最小速度是0 B ．小球过最高点时，绳子拉力可以为零C ．若将轻绳OA 换成轻杆，则小球过最高点时，轻杆对小球的作用力不可以与小球所受重力大小相等，方向相反D ．若将轻绳OA gR 2．（2022·高一课时练习）（多选）如图所示，轻绳一端系一小球，另一端固定于O 点，在O 点正下方的P 点钉一颗钉子，使线拉紧与竖直方向成一角度θ，然后由静止释放小球，当小球第一次通过最低点，悬线碰到钉子瞬间（ ） A ．小球的瞬时速度突然变大 B ．小球的角速度突然变大 C ．小球的向心加速度突然变小 D ．线所受的拉力突然变大3．（2022春·湖北襄阳·高一襄阳四中阶段练习）王老师在课堂上给同学们做如下实验：一细线与桶相连，桶中装有小球，桶与细线一起在竖直平面内做圆周运动，最高点时小球竟然不从桶口漏出，如图所示，小球的质量m =0.2kg ，球到转轴的距离290cm 10m /s l g ==，。

求 （1）整个装置在最高点时，球不滚出来，求桶的最小速率； （2）如果通过最低点的速度为9m/s ，求此处球对桶底的压力大小。

4．（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考期末）小李同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m 的小球，甩动手腕，使球恰好能在竖直平面内做完整的圆周运动。

再次加速甩动手腕，当球某次运动到最低点A 时，绳恰好断掉，如题图所示。

已知握绳的手离地面高度为2L ，手与球之间的绳长为L ，绳能承受的最大拉力为9mg ，重力加速度为g ，忽略手的运动半径和空气阻力。

求： （1）为使小球能在竖直平面内作完整的圆周运动，小球过最高点B 时的最小速度；（2）绳断时球的速度大小；（3）绳断后，小球落地点与抛出点A 的水平距离。

2020年高考物理专题精准突破专题竖直面内的圆周运动【专题诠释】均是没有支撑的小球均是有支撑的小球【高考领航】【2019·江苏卷】如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动．座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（）A．运动周期为2πRB．线速度的大小为ωRC．受摩天轮作用力的大小始终为mg D．所受合力的大小始终为mω2R【答案】BD【解析】由于座舱做匀速圆周运动，由公式2πTω=，解得：2πT ω=，故A 错误；由圆周运动的线速度与角速度的关系可知，v R ω=，故B 正确；由于座舱做匀速圆周运动，所以座舱受到摩天轮的作用力是变力，不可能始终为mg ，故C 错误；由匀速圆周运动的合力提供向心力可得：2F m R ω=合，故D 正确。

【2018·天津卷】滑雪运动深受人民群众的喜爱，某滑雪运动员（可视为质点）由坡道进入竖直面内的圆弧 形滑道AB ，从滑道的A 点滑行到最低点B 的过程中，由于摩擦力的存在，运动员的速率不变，则运动员沿 AB 下滑过程中（ ）A ．所受合外力始终为零B ．所受摩擦力大小不变C ．合外力做功一定为零D ．机械能始终保持不变 【答案】C【解析】根据曲线运动的特点分析物体受力情况，根据牛顿第二定律求解出运动员与曲面间的正压力变化情况，从而分析运动员所受摩擦力变化；根据运动员的动能变化情况，结合动能定理分析合外力做功；根据运动过程中，是否只有重力做功来判断运动员的机械能是否守恒；因为运动员做曲线运动，所以合力一定不为零，A 错误；运动员受力如图所示，重力垂直曲面的分力与曲面对运动员的支持力的合力充当向心力，故有22cos cos N N v v F mg m F m mg R Rθθ-=⇒=+，运动过程中速率恒定，且θ在减小，所以曲面对运动员的支持力越来越大，根据N f F μ=可知摩擦力越来越大，B 错误；运动员运动过程中速率不变，质量不变，即动能不变，动能变化量为零，根据动能定理可知合力做功为零，C 正确；因为克服摩擦力做功，机械能不守恒，D 错误。

单位时间内质点沿圆周运动的弧长， 用v表示。
v = ωr，其中r为质点到圆心的距离。
角速度定义
单位时间内质点绕圆心转过的角度， 用ω表示。
向心加速度与向心力关系
1 2
向心加速度定义
质点做匀速圆周运动时，指向圆心的加速度，用 a_n表示。
向心力定义
使质点产生向心加速度的力，用F_n表示。
3
向心加速度与向心力关系
05
实验：研究竖直面内圆周运动规律
实验目的和原理介绍
实验目的
通过观察和测量竖直面内圆周运动的物体，探究其运动规律，加深对圆周运动 的理解。
原理介绍
竖直面内的圆周运动是一种常见的运动形式，其运动规律遵循牛顿第二定律和 向心力公式。通过测量物体的速度、半径和周期等物理量，可以研究圆周运动 的加速度、向心力和角速度等特性。
3
与电磁学的联系
在电磁学中，带电粒子在磁场中的运动 轨迹也可能是圆周。因此，可以将竖直 面内的圆周运动与带电粒子在磁场中的 运动进行联系和比较。
解决实际问题时如何应用所学知识
分析物体的受力情况
在解决竖直面内的圆周运动问题时，首先需要分析物体的受力情况，确定物体所受的力以 及这些力对物体运动的影响。
为了防止汽车飘离桥面，需要限制汽车过桥时的速度，同时增加桥面的宽度和强度 ，提高桥面的稳定性和安全性。
汽车过桥时还需要注意桥面的起伏和坡度变化，以及桥面的摩擦系数等因素对行车 安全的影响。
火车转弯时轨道设计原理
火车转弯时，需要克服向心力的作用 ，使火车沿着弯道行驶。为了提供足 够的向心力，轨道设计时需要采用一 定的超高和曲线半径。
质点在以某点为圆心、半径为$r$ 的圆周上运动时，其轨迹称为圆 周，这种运动叫做圆周运动。

竖直平面内的圆周运动一，“绳”模型例 1、质量为 m 的小球，在长为 r 的细绳拘束下，在竖直平面内作圆周运动。

经过圆周最高点时的速度为v。

议论以下问题：vm（ 1）剖析小球的受力状况，求出此时细绳拉力的大小？ro（ 2）当经过最高点的速度v 渐渐减小时，绳的拉力将。

（“变大”或“变小” ）（ 3）当速度 v= 时，细绳的拉力为0。

此时小球运动的向心力只由供给？假如速度 v 小于上述值，绳索的拉力已经为0，而重力不变，此时小球持续做圆周运动所需的向心力将（“大于”或“小于” ）所供给的向心力，小球还可以持续做圆周运动么？总结：（1）当 v（2）当 v 高点。

grgr，向心力由重力和绳的拉力共同供给，小球做圆周运动能过最高点。

，绳的拉力为0.，只有重力供给向心力，小球做圆周运动恰巧能过最（ 3）当 v gr，小球不可以经过最高点，在抵达最高点以前要离开圆周。

如图，小球在圆形轨道内侧运动(过山车 )过圆周最高点的状况与此近似。

【追踪训练】1、用细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，若经过最高点速度为v 时，恰巧能经过最高点。

则当小球以2v 的速度经过最高点时，绳索对小球的拉力大小为（）A 0B mgC 3mgD 5mg二 . 杆模型：【自主学习】v m例 2、如图，小球在轻杆的拘束下在竖直平面内做匀速圆周运动，小球质量为 m，杆长为 r，过最高点时，小球的速度为v，剖析下边问题r （ 1）若经过最高点时，细杆对小球产生拉力，则此时小球运动的向心力o由和的协力供给。

向心力Fn= =（ 2）由上边计算知：当经过最高点的速度v 渐渐减小时，杆的拉力逐渐，当经过最高点的速度v= 时，杆对小球的拉力等于0；此时小球运动的向心力完好由供给。

（ 3）若速度 v 持续减小，当 v＜时，杆对球的作使劲方向将变成向上，即：此时杆对球产生的是，向心力是由供给。

1 / 4总结：（ 1）当 v =gr，杆对小球既没有拉力，也没有支持力，此时向心力完好由重力供给；（ 2）当 v＞gr，杆对小球产生，向心力 Fn= ， v 越大，杆对球的力将。

2019年高考物理（热点+题型全突破）专题4.6 竖直面内的圆周运动问题（含解析）1. 轻绳模型绳或光滑圆轨道的内侧，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时均没有物体支撑着小球。

下面讨论小球(质量为m )在竖直平面内做圆周运动(半径为R )通过最高点时的情况：(1) 临界条件小球到达最高点时受到绳子的拉力恰好等于零，这时小球做圆周运动所需要的向心力仅由小球的重力来提供。

根据牛顿第二定律得，mg ＝m v 2临界R，即v 临界＝Rg .这个速度可理解为小球恰好通过最高点或恰好通不过最高点时的速度，也可认为是小球通过最高点时的最小速度，通常叫临界速度。

(2) 小球能通过最高点的条件：当v >Rg 时，小球能通过最高点，这时绳子对球有作用力，为拉力。

当v ＝Rg 时，小球刚好能通过最高点，此时绳子对球不产生作用力。

(3) 小球不能通过最高点的条件：当v <Rg 时，小球不能通过最高点，实际上小球还没有到达最高点就已经脱离了轨道。

（如图）2. 轻杆模型杆和光滑管道，如图所示，它的特点是：在运动到最高点时有物体支撑着小球。

下面讨论小球(质量为m )在竖直平面内做圆周运动(半径为R )通过最高点时的情况：(1) 临界条件由于硬杆的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度是：v临界＝0。

此时，硬杆对物体的支持力恰等于小球的重力mg。

(2) 如上图所示的小球通过最高点时，硬杆对小球的弹力情况为：当v＝0时，硬杆对小球有竖直向上的支持力F N，其大小等于小球的重力，即F N＝mg.当0<v<Rg时，杆对小球的支持力竖直向上，大小随速度的增加而减小，其取值范围为0<F N<mg.当v＝Rg时，F N＝0.这时小球的重力恰好提供小球做圆周运动的向心力。

当v>Rg时，硬杆对小球有指向圆心(即方向向下)的拉力，其大小随速度的增大而增大。

3. 两种模型分析比较如下：轻杆模型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球4. 分析物体在竖直平面内做圆周运动时的易错易混点（1）绳模型和杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是绳不能有支撑力，而杆可有支撑力。

例题1:如图所示,细杆的一端与一小球相 连,可绕过O点的水平轴自由转动,现给小 球一初速度,使它做圆周运动,圆中a、b点 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则 杆对的球的作用力可能是（ ＡＢ ） Ａ、a处为拉力，b处为拉力 Ｂ、 a处为拉力，b处为推力 Ｃ、 a处为推力，b处为拉力 Ｄ、 a处为推力，b处为推力
mg O 绳
mg O 轨道 N mg O 管道
物体 在 最 高 点 的 最 小速 度决定于物体在最高点 受的 最 小 合 外 力 ， 不同 情况 下 的 最 小 合 外 力决 定了 不 同 情 况 下 的 最小 速度.
N mg O 杆
作业：1、如图所示，质量m=0.2kg的小球固 定在长为Ｌ＝0.9m的轻杆的一端，杆可绕Ｏ点 的水平轴在竖直平面内转动，g=10m/s2，求：
答案:
A球:mg/2
B球:3mg/2
比较三种桥面受力的情况
v G FN m r v FN G m r
2
2
FN=G
例：一辆质量 m 2.0t 的小轿车，驶 过半径 R 80 m 的一段圆弧形桥面，重 2 力加速度 g 10m / s 。求： （1）若桥面为凹形，汽车以 20 m / s 的速 度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？ （2）若桥面为凸形，汽车以 的 10 m / s 速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多 大？ （3）汽车以多大速度通过凸形桥面的顶 点时，对桥面刚好没有压力？
（１）当小球在最高点的速度为多大 时，小球对杆的作用力为零？
（２）当小球在最高点的速度分别为 ６m/s和1.5m/s时，杆对否等于 零？
2、一根长为L的轻质硬杆，两端各固定一 质量为m的小球。现以杆的中点为轴心，使 两小球在竖直平面内匀速转动，其周期T＝ 2π√L/g。在如图所示竖直位置时，杆对两球 的作用力。

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突破17 竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆"模型1。

“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力,而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。

2.有关临界问题出现在变速圆周运动中,竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下,只讨论最高点和最低点的情况。

物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋FN＝m Rv2mg±FN＝m Rv2临界特征FN＝0mg＝m min2min即v min＝v＝0即F向＝0FN＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥v≥0【典例1】如图甲所示,轻杆一端固定在O点,另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。

小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示,则( )aRA．小球的质量为bRB．当地的重力加速度大小为bC．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0。