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![第28课时 卫星变轨问题 双星模型 [重难突破课]-2025版高中物理一轮 总复习(通用版)](https://img.taocdn.com/s1/m/1fb4bd45c381e53a580216fc700abb68a882ad6f.png)
深度剖析卫星的变轨二、重难点提示：重点：1. 卫星变轨原理；2. 不同轨道上速度和加速度的大小关系。
难点：理解变轨前后的能量变化。
一、变轨原理卫星在运动过程中，受到的合外力为万有引力，F 引＝2RMmG 。
卫星在运动过程中所需要的向心力为：F 向＝Rmv 2。
当：（1）F 引＝ F 向时，卫星做圆周运动； （2）F 引> F 向时，卫星做近心运动； （3）F 引<F 向时，卫星做离心运动。
二、变轨过程 1. 反射变轨在1轨道上A 点向前喷气（瞬间），速度增大，所需向心力增大，万有引力不足，离心运动进入轨道2沿椭圆轨道运动，此过程为离心运动；到达B点，万有引力过剩，供大于求做近心运动，故在轨道2上供需不平衡，轨迹为椭圆，若在B点向后喷气，增大速度可使飞船沿轨道3运动，此轨道供需平衡。
2. 回收变轨在B点向前喷气减速，供大于需，近心运动由3轨道进入椭圆轨道，在A点再次向前喷气减速，进入圆轨道1，实现变轨，在1轨道再次减速返回地球。
三、卫星变轨中的能量问题1. 由低轨道到高轨道向后喷气，卫星加速，但在上升过程中，动能减小，势能增加，增加的势能大于减小的动能，故机械能增加。
2. 由高轨道到低轨道向前喷气，卫星减速，但在下降过程中，动能增加，势能减小，增加的动能小于减小的势能，故机械能减小。
注意：变轨时喷气只是一瞬间，目的是破坏供需关系，使卫星变轨。
变轨后稳定运行的过程中机械能是守恒的，其速度大小仅取决于卫星所在轨道高度。
3. 卫星变轨中的切点问题【误区点拨】近地点加速只能提高远地点高度，不能抬高近地点，切点在近地点；远地点加速可提高近地点高度，切点在远地点。
例题1 如图所示，发射同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行；最后再次点火将其送入同步圆轨道3。
轨道1、2相切于P 点，2、3相切于Q 点。
当卫星分别在1、2、3上正常运行时，以下说法正确的是（ ）A. 在轨道3上的速率大于1上的速率B. 在轨道3上的角速度小于1上的角速度C. 在轨道2上经过Q 点时的速率等于在轨道3上经过Q 点时的速率D. 在轨道1上经过P 点时的加速度等于在轨道2上经过P 点时的加速度思路分析：对卫星来说，万有引力提供向心力，222GMm v m mr ma r rω===，得v =3rGM =ω，2r GM a =，而13r r >，即31v v <，31ωω<，A 不对，B 对。
专题强化七卫星运动的三类问题学习目标 1.会分析卫星的变轨过程及各物理量的变化。
2.掌握双星或多星模型的特点。
3.会分析卫星的追及与相遇问题。
考点一卫星的变轨和能量问题1.变轨原理(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。
(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2.变轨过程各物理量比较速度关系在A 点加速：v ⅡA ＞v Ⅰ，在B 点加速：v Ⅲ＞v ⅡB ，即v ⅡA ＞v Ⅰ＞v Ⅲ＞v ⅡB(向心)加速度关系a Ⅲ＝a ⅡB a ⅡA ＝a Ⅰ周期关系T Ⅰ＜T Ⅱ＜T Ⅲ机械能E Ⅰ＜E Ⅱ＜E Ⅲ例1(2023·江苏南京模拟)2020年我国实施“天问一号”计划，通过一次发射，实现“环绕、降落、巡视”三大任务。
如图1所示，探测器经历椭圆轨道Ⅰ→椭圆轨道Ⅱ→圆轨道Ⅲ的变轨过程。
Q 为轨道Ⅰ远火点，P 为轨道Ⅰ近火点，探测器在三个轨道运行时都经过P 点。
则探测器()图1A.沿轨道Ⅰ运行至P点速度大于运行至Q点速度B.沿轨道Ⅱ运行至P点的加速度小于沿轨道Ⅲ运行至P点的加速度C.沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期D.与火星连线在相等时间内，沿轨道Ⅰ运行与沿轨道Ⅱ运行扫过面积相等答案A解析根据开普勒第二定律可知，沿轨道Ⅰ运行至近火点P的速度大于运行至远火点Q的速度，选项A正确；根据a＝GMr2可知，沿轨道Ⅱ运行至P点的加速度等于沿轨道Ⅲ运行至P点的加速度，选项B错误；根据开普勒第三定律r3T2＝k，可知沿轨道Ⅰ运行的半长轴大于沿轨道Ⅱ运行的半长轴，则沿轨道Ⅰ运行的周期大于沿轨道Ⅱ运行的周期，选项C错误；根据开普勒第二定律可知，沿同一轨道运动时在相等的时间内与火星的连线扫过的面积相等，而在相等时间内，沿轨道Ⅰ运行与沿轨道Ⅱ运行扫过面积一定不相等，选项D错误。
高考物理专题复习：人造卫星变轨问题专题随着我国航天事业的蓬勃发展，高考对天体运动及宇宙航行的考查也逐渐成热点，然而在复习中许多同学对于万有引力在天体运动中的运动仍有许多困惑，其中有不少同学对于人造卫星的变轨问题模糊不清，在此针对上述问题，将个人在卫星变轨问题上的处理与同行共享，希望能够对二轮复习有所帮助，不妥之处，还望指正。
一、人造卫星基本原理绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所需向心力由万有引力提供。
轨道半径r 确定后，与之对应的卫星线速度r GM v =、周期GMr T 32π=、向心加速度2r GM a =也都是确定的。
如果卫星的质量也确定，一旦卫星发生变轨，即轨道半径r 发生变化，上述物理量都将随之变化。
同理，只要上述物理量之一发生变化，另外几个也必将随之变化。
二、在高中物理中，会涉及到人造卫星的两种变轨问题。
1、渐变由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化（逐渐增大或逐渐减小），由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看做是匀速圆周运动。
解决此类问题，首先要判断这种变轨是离心还是向心，即轨道半径是增大还是减小，然后再判断卫星的其他相关物理量如何变化。
如：人造卫星绕地球做匀速圆周运动，无论轨道多高，都会受到稀薄大气的阻力作用。
如果不及时进行轨道维持（即通过启动星上小型火箭，将化学能转化为机械能，保持卫星应具有的速度），卫星就会自动变轨，偏离原来的圆周轨道，从而引起各个物理量的变化。
由于这种变轨的起因是阻力，阻力对卫星做负功，使卫星速度减小，所需要的向心力r mv 2减小了，而万有引力大小2rGMm 没有变，因此卫星将做向心运动，即半径r 将减小。
由㈠中结论可知：卫星线速度v 将增大，周期T 将减小，向心加速度a 将增大。
2、突变 由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的目标。
如：发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v 1，第一次在P 点点火加速，在短时间内将速率由v 1增加到v 2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q 时的速率为v 3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v 3增加到v 4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。
天体运动中的“三类热点”问题1．(多选)如图,地球赤道上的山丘e、近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3,向心加速度分别为a1、a2、a3,则( )A．v1>v2>v3B．v1<v3<v2C．a1>a2>a3D．a1<a3<a2BD [由题意可知：山丘与同步卫星角速度、周期相同,由v＝ωr,a＝ω2r可知v1<v3、a1<a3；对同步卫星和近地资源卫星来说,满足v＝GMr、a＝GMr2,可知v3<v2、a3<a2.故选项B、D正确．]2．2017年,中国航天最大的看点应属嫦娥五号探测器,其由轨道器、返回器、着陆器、上升器四个部分组成．根据计划,我国发射的嫦娥五号探测器将进行月球软着陆及采样返回．其中采样返回是上升器携带样品从月球表面升空,先在近月圆轨道Ⅰ上运行,从P点经调整轨道Ⅱ在Q点与较高轨道Ⅲ上的轨道器对接,最后由轨道器携带样品返回地球,如图所示．已知P、Q分别是轨道Ⅱ与轨道Ⅰ、Ⅲ的切点,下列关于此过程的说法正确的是( )A．轨道器在轨道Ⅲ上的环绕速度必定大于上升器在轨道Ⅰ上的环绕速度B．上升器应在轨道Ⅰ上的P点通过减速进入轨道ⅡC．上升器与轨道器对接后,组合体速度比上升器在轨道Ⅱ上P点的速度小D．若在Q点对接未成功,两者均在轨道Ⅲ上运行,只要上升器向前加速,就可追上轨道器C [由万有引力提供向心力有GMm r 2＝m v2r,解得v ＝GMr,轨道半径越大,速度越小,则轨道器在轨道Ⅲ上的环绕速度必定小于上升器在轨道Ⅰ上的环绕速度,故A 错误；上升器在轨道Ⅰ上P 点加速做离心运动进入轨道Ⅱ,故B 错误；依据以上分析,可知上升器与轨道器对接后,组合体速度比上升器在轨道Ⅱ上P 点的速度小,故C 正确；若在Q 点对接未成功,两者均在轨道Ⅲ上运行,若上升器向前加速,它将做离心运动,不可能追上轨道器实现对接,故D 错误．]3．(2018·湖南张家界三模)(多选)2018年7月27日将发生火星冲日现象,我国整夜可见,火星冲日是指火星、地球和太阳几乎排列在同一条直线上,地球位于太阳与火星之间,此时火星被太阳照亮的一面完全朝向地球,所以明亮且易于观察．地球和火星绕太阳公转的方向相同,轨迹都可近似为圆,火星公转轨道半径为地球公转轨道半径的1.5倍,则( )A ．地球的公转周期比火星的公转周期小B ．地球的运行速度比火星的运行速度小C ．火星冲日现象每年都会出现D ．地球与火星的公转周期之比为8∶27AD [已知火星公转轨道半径为地球的1.5倍,则由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得,T ＝2πr3GM,可知轨道半径越大,周期越大,故火星的公转周期比地球的大,选项A 正确；又由G Mm r 2＝m v2r可得v ＝GMr,则轨道半径越大,线速度(即运行速度)越小,故火星的运行速度比地球的小,选项B 错误；根据开普勒第三定律得,T 火T 地＝r 3火r 3地＝278,因为地球的公转周期为1年,所以火星的公转周期大于1年,不是每年都出现火星冲日现象,故选项C错误,D 正确．]4．(2019·陕西西安联考)(多选)如图所示,甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的三颗恒星,甲、丙围绕乙在半径为R 的圆轨道上运行,若三颗星质量均为M,万有引力常量为G,则( )A ．甲星所受合外力为5GM24R2B ．乙星所受合外力为GM2R2C ．甲星和丙星的线速度相同D ．甲星和丙星的角速度相同AD [由万有引力定律可知,甲、乙和乙、丙之间的万有引力为F 1＝G M·MR 2,甲、丙之间的万有引力为F 2＝G M·M 2R 2＝GM 24R 2,甲星所受两个引力的方向相同,故合力为F 1＋F 2＝5GM 24R 2,A 项正确；乙星所受两个引力等大、反向,合力为零,B 项错误；甲、丙两星线速度方向始终不同,C 项错误；由题知甲、丙两星周期相同,由角速度定义可知,两星角速度相同,D 项正确．]。
2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题30 卫星的变轨问题、天体追及相遇问题、双星和多星问题导练目标 导练内容目标1 卫星的变轨问题 目标2 天体追及相遇问题 目标3双星和多星问题一、卫星的变轨问题 1.两类变轨简介两类变轨离心运动近心运动示意图变轨起因 卫星速度突然增大卫星速度突然减小万有引力与 向心力的 大小关系 G Mmr 2<m v 2rG Mmr 2>m v 2r2.变轨前后各运行物理参量的比较（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅰ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅰ上过A点和B点时速率分别为v A、v B。
在A点加速，则v A>v1，在B点加速，则v3>v B，又因v1>v3，故有v A>v1>v3>v B。
（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅰ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅰ、Ⅰ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1<T2<T3。
（4）机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。
若卫星在Ⅰ、Ⅰ、Ⅰ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3。
①在A点，由圆周Ⅰ变至椭圆Ⅰ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；②在B点，由椭圆Ⅰ变至圆周Ⅰ时，发动机向后喷气，推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加；反之也有相应的规律。
【例1】2013年12月6日，“嫦娥三号”携带月球车“玉兔号”运动到地月转移轨道的P点时做近月制动后被月球俘获，成功进入环月圆形轨道Ⅰ上运行，如图所示。
在“嫦娥三号”沿轨道Ⅰ经过P点时，通过调整速度使其进入椭圆轨道Ⅰ，在沿轨道Ⅰ经过Q点时，再次调整速度后又经过一系列辅助动作，成功实现了其在月球上的“软着陆”。
第5节 天体运动的三类热点问题 学案突破一 卫星的发射与变轨问题1．变轨原理及过程(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。
(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2．各物理量的比较(1)两个不同轨道的“切点”处线速度不相等。
图中v ⅢB >v ⅡB ，v ⅡA >v ⅠA 。
(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点的线速度大小不相等。
从远地点到近地点万有引力对卫星做正功，卫星的动能增大(引力势能减小)。
图中v ⅡA >v ⅡB ，E k ⅡA >E k ⅡB ，E p ⅡA <E p ⅡB 。
(3)两个不同圆轨道上线速度大小不相等。
轨道半径越大，线速度越小，图中v Ⅰ>v Ⅲ。
(4)卫星在不同轨道上的机械能E 不相等，“高轨高能，低轨低能”。
卫星变轨过程中机械能不守恒。
图中E Ⅰ<E Ⅱ<E Ⅲ。
(5)卫星运行的加速度与卫星和中心天体间的距离有关，与轨道形状无关，图中a ⅢB ＝a ⅡB ，a ⅡA ＝a ⅠA 。
[典例1] (2021·四川省遂宁市高三下学期5月三诊)2021年1月，“天通一号”03星发射成功。
发射过程简化为如图所示：火箭先把卫星送上轨道1(椭圆轨道，P 、Q 是远地点和近地点)后火箭脱离；卫星再变轨，到轨道2(圆轨道)；卫星最后变轨到轨道3(同步圆轨道)。
轨道1、2相切于P 点，轨道2、3相交于M 、N 两点。
忽略卫星质量变化( )A ．卫星在三个轨道上的周期T 3>T 2>T 1B ．由轨道1变至轨道2，卫星在P 点向前喷气C ．卫星在三个轨道上机械能E 3＝E 2>E 1D ．轨道1在Q 点的线速度小于轨道3的线速度[典例2] (多选)若“嫦娥五号”从距月面高度为100 km 的环月圆形轨道Ⅰ上的P 点实施变轨，进入近月点为15 km 的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q 落月，如图所示。
天体运动题型分类专练3一、宇宙速度、卫星变轨和环绕追击问题1.(2019•海南卷)2019年5月，我国第45颗北斗卫星发射成功。
已知该卫星轨道距地面的高度约为36000km，是“天宫二号”空间实验室轨道高度的90倍左右，则A.该卫星的速率比“天宫二号”的大B.该卫星的周期比“天宫二号”的大C.该卫星的角速度比“天宫二号”的大D.该卫星的向心加速度比“天宫二号”的大【答案】B【解析】根据222224Mm vG mr m m mar T rπω====解得GMvr=，32rTGMπ=，3GMrω=，2GMar=，因“天宫二号”的大；该卫星的角速度比“天宫二号”的小；该卫星的向心加速度比“天宫二号”的小；故选项B正确，ACD错误。
2.(2019•北京卷)2019年5月17日，我国成功发射第45颗北斗导航卫星，该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星)。
该卫星A. 入轨后可以位于北京正上方B. 入轨后的速度大于第一宇宙速度C. 发射速度大于第二宇宙速度D. 若发射到近地圆轨道所需能量较少【答案】D【解析】由同步卫星的特点和卫星发射到越高的轨道所需的能量越大解答。
由于卫星为同步卫星，所以入轨后一定只能与赤道在同一平面内，故A错误；由于第一宇宙速度为卫星绕地球运行的最大速度，所以卫星入轨后的速度一定小于第一宇宙速度，故B错误；由于第二宇宙速度为卫星脱离地球引力的最小发射速度，所以卫星的发射速度一定小于第二宇宙速度，故C 错误；将卫星发射到越高的轨道克服引力所作的功越大，所以发射到近地圆轨道所需能量较小，故D正确。
3.(2019•江苏卷)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动.如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则A.121,GMv v vr>= B.121,GMv v vr>>C.121,GMv v vr<= D.121,GMv v vr<【答案】B【解析】“东方红一号”从近地点到远地点万有引力做负功，动能减小，所以12v v >，过近地点圆周运动的速度为GM v r = ，由于“东方红一号”在椭圆上运动，所以1GM v r>，故B 正确。
2021年高考物理【临门一脚】（新高考专用）预测06 不同轨道的卫星的物理量比较与卫星变换问题概率预测 ☆☆☆☆☆ 题型预测 选择题☆☆☆☆ 计算题☆考向预测 此部分仍然以现代航天科技或物理前沿为背景，考查考生对万有引力定律、牛顿运动定律的理解与应用，要关注我国航空航天事业的发展。
有时还涉及卫星变轨、能量及多星问题，题型多为选择题。
1.一个模型天体（包括卫星）的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。
2.两组公式G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r ＝maG Mm R2＝mg （g 为天体表面处的重力加速度） 3.卫星的运行轨道（如图所示）（1）赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种。
（2）极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星。
（3）其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心。
4.同步卫星的六个“一定”1、地面赤道上物体与地球卫星的比较（1）地面赤道上的物体随地球一起转动，具有相同的角速度，所受万有引力并非全部提供向心力。
（2）空中绕地球自转的卫星万有引力全部充当向心力，周期和半径有关。
（3）比较地面赤道上物体和空中卫星的运行参数，可借助同步卫星的“桥梁”作用。
2、卫星变轨问题（1）卫星变轨的运动模型是向心运动和离心运动。
当由于某种原因卫星速度v 突然增大时，有G Mm r 2<m v 2r ，万有引力不足以提供向心力，卫星将偏离圆轨道做离心运动；当v 突然减小时，有G Mm r 2>m v 2r ，卫星将做向心运动。
（2）在不同轨道的同一点，加速度相同、线速度不同、机械能不同。
1．（2020·北京高考真题）我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。
已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是（ ）A ．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B ．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C ．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D ．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度【答案】 AA ．当发射速度大于第二宇宙速度时，探测器将脱离地球的引力在太阳系的范围内运动，火星在太阳系内，所以火星探测器的发射速度应大于第二宇宙速度，故A 正确；B ．第二宇宙速度是探测器脱离地球的引力到太阳系中的临界条件，当发射速度介于地球的第一和第二宇宙速度之间时，探测器将围绕地球运动，故B 错误；C ．万有引力提供向心力，则有212mv GMm R R= 解得第一宇宙速度为1v =所以火星的第一宇宙速度为v =地地火 所以火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故C 错误；D ． 万有引力近似等于重力，则有2GMm mg R = 解得星表面的重力加速度()2210%2===550%GM g g g R 火地地火火 所以火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故D 错误。
专题5.3 三种特殊的卫星及卫星的变轨问题、天体的追击相遇问题一、近地卫星、赤道上物体及同步卫星的运行问题1．近地卫星、同步卫星、赤道上的物体的比较比较内容赤道表面的物体近地卫星同步卫星向心力来源万有引力的分力万有引力向心力方向指向地心重力与万有引力的关系重力略小于万有引力重力等于万有引力线速度v1＝ω1R v2＝GMRv3＝ω3(R＋h)＝GMR＋hv1＜v3＜v2(v2为第一宇宙速度)角速度ω1＝ω自ω2＝GMR3ω3＝ω自＝GMR＋h3ω1＝ω3＜ω2向心加速度a1＝ω21R a2＝ω22R＝GMR2a3＝ω23(R＋h) ＝GMR＋h2a1＜a3＜a2卫星的轨道半径r是指卫星绕天体做匀速圆周运动的半径，与天体半径R的关系为r＝R＋h(h为卫星距离天体表面的高度)，当卫星贴近天体表面运动(h≈0)时，可认为两者相等。
【示例1】(多选)如图，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动。
设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则( )A．v1＞v2＞v3B．v1＜v3＜v2C．a1＞a2＞a3D．a1＜a3＜a2【答案】BD【解析】由题意可知：山丘与同步卫星角速度、周期相同，由v＝ωr，a＝ω2r可知v1＜v3、a1＜a3；对同步卫星和近地资源卫星来说，满足v ＝GM r 、a ＝GMr2，可知v 3＜v 2、a 3＜a 2。
故选项B 、D 正确。
【示例2】(多选)同步卫星离地心距离为r ，运行速率为v 1，加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球的半径为R ，则下列比值正确的是( )A.a 1a 2＝rRB.a 1a 2＝r 2R2 C.v 1v 2＝r R D.v 1v 2＝R r【答案】： AD【示例3】(2016·四川理综·3)国务院批复，自20XX 年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2 060 km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为( ) A.a 2＞a 1＞a 3 B.a 3＞a 2＞a 1 C.a 3＞a 1＞a 2 D.a 1＞a 2＞a 3【答案】 D【解析】 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a ＝ω2r ，r 2>r 3，则a 2>a 3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，G Mmr2＝ma ，由题目中数据可以得出，r 1<r 2，则a 2<a 1；综合以上分析有，a 1>a 2>a 3，选项D 正确.【示例4】．有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 在地球赤道上未发射，b 在地面附近近地轨道上正常运动，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有( )A ．a 的向心力由重力提供B ．c 在4 h 内转过的圆心角是π6C ．b 在相同时间内转过的弧长最长D ．d 的运动周期有可能是20 h 【答案】 C二、 卫星的变轨问题 1．三种情境2．变轨问题的三点注意(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由v ＝GMr判断。
(2)同一航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。
(3)航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度 【示例5】(多选)“嫦娥一号”探月卫星绕地运行一段时间后，离开地球飞向月球。
如图所示是绕地飞行的三条轨道，轨道1是近地圆形轨道，轨道2和轨道3是变轨后的椭圆轨道。
A点是轨道2的近地点，B点是轨道2的远地点，卫星在轨道1的运行速率为7.7 km/s，则下列说法中正确的是( )A．卫星在轨道2经过A点时的速率一定大于7.7 km/sB．卫星在轨道2经过B点时的速率一定小于7.7 km/sC．卫星在轨道3所具有的机械能小于在轨道2所具有的机械能D．卫星在轨道3所具有的最大速率小于在轨道2所具有的最大速率【答案】AB【示例6】.(2014·山东卷·20)20XX年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程。
某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球。
设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的重力加速度为g月。
以月面为零势能面，“玉兔”在h高度的引力势能可表示为E p＝GMmhR R＋h，其中G为引力常量，M为月球质量。
若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为( )A.mg 月RR ＋h(h ＋2R ) B.mg 月RR ＋h (h ＋2R ) C.mg 月R R ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＋22R D.mg 月R R ＋h ⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＋12R 【答案】： D【解析】： 根据万有引力提供向心力及功能关系解决问题。
“玉兔”在h 高处做圆周运动时有GMmR ＋h2＝mv 2R ＋h 。
发射“玉兔”时对“玉兔”做的功W ＝12mv 2＋E p 。
在月球表面有GMm R 2＝mg 月，联立各式解得W ＝mg 月R R ＋h⎝ ⎛⎭⎪⎫h ＋12R 。
故选项D 正确，选项A 、B 、C 错误。
【示例7】(多选)(2015·课标全国Ⅰ)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m 高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落。
已知探测器的质量约为1.3×103kg ，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s 2。
则此探测器( ) A ．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s B ．悬停时受到的反冲作用力约为2×103NC ．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒D ．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度 【答案】 BD三 天体的追及相遇问题两卫星在同一轨道绕中心天体同向运动，要使后一卫星追上前一卫星，我们称之为追及问题。
两卫星在不同轨道绕中心天体在同一平面内做匀速圆周运动，当两星某时相距最近时我们称之为两卫星相遇问题。
绕同一中心天体运动的运行天体，由于331r r GM ∝=ω，故在同一轨道上不可能发生相遇，只有在不同轨道上的运行天体才能发生追赶现象，相遇时是指运行天体相距最近的现象。
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a 卫星的角速度为ωa ，b 卫星的角速度为ωb ，若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近(如图甲所示)。
当它们转过的角度之差Δθ＝π，即满足ωa Δt －ωb Δt ＝π时，两卫星第一次相距最远（如图乙所示）。
当它们转过的角度之差Δθ＝2π，即满足ωa Δt －ωb Δt ＝2π时，两卫星再次相距最近。
经过一定的时间，两星又会相距最远和最近。
1. 两星相距最远的条件：ωa Δt －ωb Δt ＝(2n ＋1)π(n ＝0,1,2，…)2. 两星相距最近的条件：ωa Δt －ωb Δt ＝2n π(n ＝1,2,3…)3. 常用结论（1）同方向绕行的两天体转过的角度πθθn 2||21=-或n T tT t =-21（n=0、1、2、……）时表明两物体相距最近。
（2）反方向转动的天体转过的角度πθθn 2||21=+或n T t T t =+21（n=0、1、2、……）时表明两物体相遇或相距最近。
（3）轨道平面不重合时，两天体只有在同一时刻位于中心天体同一侧的同一直线上时发生相遇。
【典例8】某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。
每过N 年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如题图所示。
该行星与地球的公转半径比为A ．231()N N +B ．23()1N N -C ．321()N N +D ．32()1NN - 【答案】B【示例9】 (多选)(2014·全国卷新课标Ⅰ·19)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。
当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。
据报道，20XX 年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。
已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。
则下列判断正确的是( )地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径(AU)1.01.55.29.51930A.各地外行星每年都会出现冲日现象 B ．在20XX 年内一定会出现木星冲日C ．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D ．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短 【答案】 BD【解析】： 本题以“行星冲日”为背景考查了圆周运动的相遇问题。
由题意可知地球的轨道半径r 地＝1.0 AU ，公转周期T 地＝1年。
由开普勒第三定律r 3T 2＝k 可知T 行＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 行r 地3·T 地＝r 3行年，根据相遇时转过的角度之差Δθ＝2n π及ω＝Δθt可知相邻冲日时间间隔为t，则⎝⎛⎭⎪⎫2πT地－2πT行t＝2π，即t＝T行T地T行－T地＝T行T行－1，又T火＝ 1.53年，T木＝ 5.23年，T土＝9.53年，T天＝193年，T海＝303年，代入上式得t＞1年，故选项A错误；木星冲日时间间隔t 木＝5.235.23－1年＜2年，所以选项B正确；由以上公式计算t土≠2t天，t海最小，选项C错误，选项D正确。
【示例10】如图所示，两颗卫星在同一轨道平面内同方向绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面高度为R，b卫星离地面高度为3R，则a、b两卫星周期之比为多大？若某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方，a卫星至少经过多少个周期两卫星相距最远？【答案】：0.77T a某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方，相当于两卫星从同一半径上的两点开始出发，当两卫星转过的角度之差φa－φb＝π时，两卫星相距最远。
