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北师版八下因式分解及分式、
分式必备知识
【知识点一】因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式；
考点：
因式分解（化和为积）和整式乘法（化积为和）是一个互逆的过程；
【知识点二】因式分解三大原则
(1）因式分解左右恒等；
(2）一定是化和为积；
(3）必须为整式；
【知识点三】因式分解6个要求
(1）在有理数范围内分解；例：x²-2
(2）因式分解到不能分解为止；例：x⁴-81
(3）分数系数要提出；例：¼x²-1
(4）单项式在前-多项式在后；例：a(a+1)
(5）首项不为负；例：-ab²-a
(6）相同因式写成幂形式；例：(x+1)(x+1）口诀：
首项不为负，分母要提出。
单项要在多项前，分解要完全。
相同因式写成幂，结果要是有理数。
因式分解因式分解：把一个多项式分解成几个整式之积的形式叫做多项式的因式分解。
因式分解是多项式乘法的逆向变形。
因式分解的常用方法：提取公因式，公式法，十字相乘法。
1. 提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，把这个因式提出来，作为多项式的一个因式，再用这个因式去除这个多项式，把所得的商作为另一个因式，这种因式分解的方法叫做提取公因式。
提公因式法是因式分解中的首选方法，不能提公因式或者提公因式后再选择其它方法。
公因式的取法为：①系数取各项整数系数的最大公约数（第一项系数为负，一般提出负号）。
②字母取各项的相同字母（有时为多项式）。
③字母的指数取相同字母的最低指数。
例1、 分解下列因式：（1）ma+mb (2)m(a-b)+n(b-a) (3)（4）3x(x-y)-8(x-y) （5）(2a+b)(2a-3b)+a(2a+b) （6）5(x-y)3+10(y-x)2例2、分解下列各式：2. 公式法：由于整式乘法和因式分解是互逆的过程，把乘法公式反过来用，就可以把某些多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法。
用此法分解因式时，首先要分析该多项式是否具有可用公式的特点。
例如，如果多项式是二项式，就可以考虑运用两数和乘以两数差的公式，即；如果多项式是三项式，就可以考虑运用两数和的平方公式，即。
例3、把下列各式分解因式：（1） ； （2） （3）。
（4） （5） （6）3. 十字相乘法：对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。
二次三项式的因式分解问题，只要把二次项系数a分解成两个因数和的积，常数项c 分解成两个因数和的积，且使+=b，则有。
因为一个整数分解成两个因数积得形式不唯一，且要满足上述条件，故常用十字相乘的形式进行试算，最后确定分解的结果。
具体看下面例题：；反之。
例4、将下列各式分解因式：（1）； （2）； （3）。
(4) (5) (6)4. 分组分解法：对于一个多项式，它的各项没有公因式，也不能直接使用公式来分解，这时一般采用分组分解法来进行因式分解。
【方法茶座】如何分解因式
分解因式是初中数学的重要内容之一，同学们应掌握好它，下面将分解因式的一般步骤总结如下，供同学们参考．
步骤一：考虑提公因式
例1 分解因式：x2-2x=__________.
分析：提取公因式时，公因式的系数取多项式中各项系数的最大公约数，字母取多项式中各项都含有的字母的最低次幂，本题的公因式是x.
解：x2-2x=x（x-2）.故应填x（x-2）.
评注：提公因式法是分解因式的一个最基本的方法，若多项式有公因式，应首先将它提取出来；若没有公因式，再考虑其他方法．
跟踪训练1 分解因式：m3+2m2=____________.
步骤二：二项式可考虑用平方差公式
例2 将整式16-a2分解因式的结果是【】
A.（4-a）2
B.（4+a）（4-a）
C.（16-a）2
D.（16+a）（16-a）
分析：这个多项式符合平方差公式的特点，宜采用平方差公式分解.同学们往往对公式的特点记不准确而误选其他选项.
解：16-a2=42-a2=（4+a）（4-a）.故应选B.
评注：解答这类题需抓住题目的特点，合理地选择相应的方法，用平方差公式分解时应注意公式中字母的意义.
跟踪训练2 将整式m4-n2分解因式的结果为___________.
步骤三：三项式可考虑用完全平方公式
例3 分解因式：x2+4x+4=______________.
分析：能运用完全平方公式分解因式的条件是：多项式是三项式，其中两项可以表示成平方的形式，且这两项的符号相同，剩下的一项是两个平方项底数积的2倍.
解：x2+4x+4=（x+2）2.故应填（x+2）2.
评注：运用完全平方公式分解因式时，要注意符号，当左边的乘积项与两个平方项的符号相同时，结果是和的平方；当左边的乘积项与两个平方项的符号相反时，结果是差的平方.
跟踪训练3 分解因式：y4+4y2+4=___________.
步骤四：多于三项的整式可考虑分组分解
例4 分解因式：m2-mn+mx-nx=____________.
分析：多项式有四项，可考虑分成两组，把每组中的公因式提取后再寻求提公因式法或运用公式法分解因式.
解：m2-mn+mx-nx=m（m-n）+x（m-n）=（m-n）（m+x）.
评注：分组是为提公因式法或运用公式法分解因式创造条件.
跟踪训练4 分解因式：x2+xy+ax+ay=________.
步骤五：若以上方法都不行，可考虑特殊方法
1.展合法
例5 分解因式：（2a-b）2+8ab=__________.
分析：观察发现，多项式（2a-b）2+8ab不能直接分解，故需把（2a-b）2+8ab去括号，整理成4a2+4ab+b2后，再利用完全平方公式分解因式.
解：（2a-b）2+8ab=4a2+4ab+b2=（2a+b）2.故应填（2a+b）2.
跟踪训练5 分解因式：（3x+y）2-12xy=_______.
2.拆项、添项法
例6 把x2+2ax-3a2分解因式.
分析：本题前两项符合完全平方公式的特点，如果能添加a2项，就可构成完全平方式.但添加a2后还应同时减去a2，这样才能保证原式的值不变.
解：x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2
=（x+a）2-（2a）2=（x+a+2a）（x+a-2a）
=（x+3a）（x-a）.
评注：若多项式中没有公因式，也不能直接利用公式法分解，则需要将多项式的结构加以改变，如展开、拆项、添项等，这样往往可使问题得以巧妙解决.
跟踪训练6 分解因式：y2+4my-5m2=_______.
答案
1.m2（m+2）
2.（m2+n）（m2-n）
3．（y2+2）2
4．（x+y）（x+a）
5．（3x-y）2 6．（y+5m）（y-m）。
