【数学】培优 易错 难题锐角三角函数辅导专题训练及答案解析

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，△ABC内接于⊙O，2,BCABAC，点D为AC上的动点，且10cos10B.

(1)求AB的长度；

(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由.

(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BHCDDH.

【答案】(1) 10AB；(2) 10ADAE；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB即可求得AB长；

（2）连接DG，则可得AG为⊙O的直径，继而可证明△DAG∽△FAE，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG，连接BG，求得AF=3，FG=13，继而即可求得AD•AE的值；

（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明△ADC≌△ADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AH⊥BN，即可证得BH=HD+CD.

【详解】（1)过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，

∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=12BC=1，

在RtΔAFB中，BF=1，∴AB=110cos1010BFB；

（2）连接DG，

∵AF⊥BC，BF=CF，∴AG为⊙O的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，

又∵∠DAG=∠FAE，∴△DAG∽△FAE，

∴AD：AF=AG：AE，

∴AD•AE=AF•AG，

连接BG，则∠ABG=90°，∵BF⊥AG，∴BF2=AF•FG，

∵AF=22ABBF=3，

∴FG=13， ∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×103=10；

（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，

∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，

∴∠ADC=∠ADN，

∵AD=AD，CD=ND，

∴△ADC≌△ADN，

∴AC=AN，

∵AB=AC，∴AB=AN，

∵AH⊥BN，

∴BH=HN=HD+CD.

【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.

2．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=12 ∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．

（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；

（2）通过观察、测量、猜想：BFPE= ，并结合图2证明你的猜想；

（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BFPE的值．（用含α的式子表示）

【答案】（1）证明见解析（2）12BFPE （3）1tan2BFPE

【解析】 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合，

∴OB="OP" ， ∠BOC=∠BOG=90°．

∵PF⊥BG ，∠PFB=90°，∴∠GBO=90°—∠BGO，∠EPO=90°—∠BGO．

∴∠GBO=∠EPO ．∴△BOG≌△POE（AAS）．

（2）BF1PE2．证明如下：

如图，过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，

∴∠PNE=∠BOC=900， ∠BPN=∠OCB．

∵∠OBC=∠OCB =450， ∴∠NBP=∠NPB．

∴NB=NP．

∵∠MBN=900—∠BMN， ∠NPE=900—∠BMN，∴∠MBN=∠NPE．

∴△BMN≌△PEN（ASA）．∴BM=PE．

∵∠BPE=12∠ACB，∠BPN=∠ACB，∴∠BPF=∠MPF．

∵PF⊥BM，∴∠BFP=∠MFP=900．

又∵PF=PF， ∴△BPF≌△MPF（ASA）．∴BF="MF" ，即BF=12BM．

∴BF=12PE， 即BF1PE2．

（3）如图，过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，

∴∠BPN=∠ACB=α，∠PNE=∠BOC=900．

由（2）同理可得BF=12BM， ∠MBN=∠EPN．

∵∠BNM=∠PNE=900，∴△BMN∽△PEN．

∴BMBNPEPN． 在Rt△BNP中，BNtan=PN，

∴BM=tanPE，即2BF=tanPE．

∴BF1=tanPE2．

（1）由正方形的性质可由AAS证得△BOG≌△POE．

（2）过P作PM//AC交BG于M，交BO于N，通过ASA证明△BMN≌△PEN得到BM=PE，通过ASA证明△BPF≌△MPF得到BF=MF，即可得出BF1PE2的结论．

（3）过P作PM//AC交BG于点M，交BO于点N，同（2）证得BF=12BM，

∠MBN=∠EPN，从而可证得△BMN∽△PEN，由BMBNPEPN和Rt△BNP中BNtan=PN即可求得BF1=tanPE2．

3．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．

（1）求证：直线CP是⊙O的切线．

（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．

（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．

【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20

【解析】

试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；

（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．

试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC，

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ANC=90°，

∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，

∵∠CAB=2∠BCP， ∴∠BCP=∠CAN，

∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，

∵点D在⊙O上，

∴直线CP是⊙O的切线；

（2）如图，作BF⊥AC

∵AB=AC，∠ANC=90°，

∴CN=CB=，

∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，

∴sin∠CAN=，

∴

∴AC=5，

∴AB=AC=5，

设AF=x，则CF=5﹣x，

在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，

在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，

∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，

∴x=3，

∴BF2=25﹣32=16，

∴BF=4，

即点B到AC的距离为4．

考点：切线的判定

4．如图，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与x轴分别相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴的交点为C，动点T在射线AB上运动，在抛物线的对称轴l上有一定点D，其纵坐标为23，l与x轴的交点为E，经过A、T、D三点作⊙M．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在点T的运动过程中， ①∠DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由；

②若MT＝12AD，求点M的坐标；

（3）当动点T在射线EB上运动时，过点M作MH⊥x轴于点H，设HT＝a，当OH≤x≤OT时，求y的最大值与最小值（用含a的式子表示）．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）①在点T的运动过程中，∠DMT的度数是定值②（0，3）（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求得系数b的值即可；

（2）①如图1，连接AD．构造Rt△AED，由锐角三角函数的定义知，tan∠DAE＝3．即∠DAE＝60°，由圆周角定理推知∠DMT＝2∠DAE＝120°；

②如图2，由已知条件MT＝12AD，MT＝MD，推知MD＝12AD，根据△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上，得到：点M是线段AD的中点时，此时AD为⊙M的直径时，MD＝12AD．根据点A、D的坐标求得点M的坐标即可；

（3）如图3，作MH⊥x于点H，则AH＝HT＝12AT．易得H（a﹣1，0），T（2a﹣1，0）．由限制性条件OH≤x≤OT、动点T在射线EB上运动可以得到：0≤a﹣1≤x≤2a﹣1．

需要分类讨论：（i）当2111(1)211aaa，即413a，根据抛物线的增减性求得y的极值．

（ii）当0112111(1)211aaaa，即43＜a≤2时，根据抛物线的增减性求得y的极值．

（iii）当a﹣1＞1，即a＞2时，根据抛物线的增减性求得y的极值． 【详解】

解：（1）把点B（3，0）代入y＝x2+bx﹣3，得32+3b﹣3＝0，

解得b＝﹣2，

则该二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）①∠DMT的度数是定值．理由如下：

如图1，连接AD．

∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4．

∴抛物线的对称轴是直线x＝1．

又∵点D的纵坐标为23，

∴D（1，23）．

由y＝x2﹣2x﹣3得到：y＝（x﹣3）（x+1），

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

在Rt△AED中，tan∠DAE＝2332DEAE．

∴∠DAE＝60°．

∴∠DMT＝2∠DAE＝120°．

∴在点T的运动过程中，∠DMT的度数是定值；

②如图2，∵MT＝12AD．又MT＝MD，

∴MD＝12AD．

∵△ADT的外接圆圆心M在AD的中垂线上，

∴点M是线段AD的中点时，此时AD为⊙M的直径时，MD＝12AD．

∵A（﹣1，0），D（1，23），

∴点M的坐标是（0，3）．

（3）如图3，作MH⊥x于点H，则AH＝HT＝12AT．

又HT＝a，

∴H（a﹣1，0），T（2a﹣1，0）．

∵OH≤x≤OT，又动点T在射线EB上运动，

∴0≤a﹣1≤x≤2a﹣1．

∴0≤a﹣1≤2a﹣1．

∴a≥1，

∴2a﹣1≥1．

（i）当2111(1)211aaa，即14a3时，

当x＝a﹣1时，y最大值＝（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣3＝a2﹣4a；