培优 易错 难题锐角三角函数辅导专题训练及详细答案
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=814．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．
（1）求cosA的值；
（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=95S△QCN时，求t的值；
（3）当t为何值时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．
【答案】（1）coaA=45；（2）当t=35时，满足S△PQM=95S△QCN；（3）当t=273326s或273326s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．
【解析】
分析：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．利用三角形的面积公式求出BE，利用勾股定理求出AE即可解决问题；
（2）如图2中，作PH⊥AC于H．利用S△PQM=95S△QCN构建方程即可解决问题；
（3）分两种情形①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．分别构建方程求解即可；
详解：（1）如图1中，作BE⊥AC于E．
∵S△ABC=12•AC•BE=814， ∴BE=92，
在Rt△ABE中，AE=22=6ABBE，
∴coaA=647.55AEAB．
（2）如图2中，作PH⊥AC于H．
∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC-AH-CQ=9-9t，
∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9-9t）2，
∵S△PQM=95S△QCN，
∴34•PQ2=9354•CQ2，
∴9t2+（9-9t）2=95×（5t）2，
整理得：5t2-18t+9=0，
解得t=3（舍弃）或35．
∴当t=35时，满足S△PQM=95S△QCN．
（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．
易知：PM∥AC，
∴∠MPQ=∠PQH=60°，
∴PH=3HQ，
∴3t=3（9-9t）， ∴t=273326．
②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．
同法可得PH=3QH，
∴3t=3（9t-9），
∴t=27+3326，
综上所述，当t=273326s或27+3326s时，△PQM的某个顶点（Q点除外）落在△QCN的边上．
点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）求x的值；
（3）求cos36°-cos72°的值．
【答案】(1)证明见解析；（2）152；（3）75816．
【解析】
试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；
（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；
（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．
试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BCD；
（2）∵∠A=∠ABD=36°，
∴AD=BD，
∵BD=BC，
∴AD=BD=CD=1，
设CD=x，则有AB=AC=x+1，
∵△ABC∽△BCD，
∴ABBCBDCD，即111xx，
整理得：x2+x-1=0，
解得：x1=152，x2=152（负值，舍去），
则x=152；
（3）过B作BE⊥AC，交AC于点E，
∵BD=CD，
∴E为CD中点，即DE=CE=154， 在Rt△ABE中，cosA=cos36°=15151441512AEAB，
在Rt△BCE中，cosC=cos72°=1515414ECBC，
则cos36°-cos72°=514-154=12．
【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．
3．水库大坝截面的迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．
【答案】故大坝的截面的周长是（634+305+98）米，面积是1470平方米．
【解析】
试题分析：先根据两个坡比求出AE和BF的长，然后利用勾股定理求出AD和BC，再由大坝的截面的周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC，梯形的面积公式可得出答案．
试题解析：∵迎水坡坡比（DE与AE的长度之比）为1：0.6，DE=30m，
∴AE=18米，
在RT△ADE中，AD=22DEAE=634米
∵背水坡坡比为1：2，
∴BF=60米，
在RT△BCF中，BC=22CFBF=305米，
∴周长=DC+AD+AE+EF+BF+BC=634+10+305+88=（634+305+98）米，
面积=（10+18+10+60）×30÷2=1470（平方米）．
故大坝的截面的周长是（634+305+98）米，面积是1470平方米．
4．2018年12月10日，郑州市城乡规划局网站挂出《郑州都市区主城区停车场专项规划》，将停车纳入城市综合交通体系，计划到2030年，在主城区新建停车泊位33.04万个，2019年初，某小区拟修建地下停车库，如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度为1：3，DE＝3米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志屏的高度（标志牌上写有：限高米），如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41， 3≈1.73）
【答案】该停车库限高约为2.2米．
【解析】
【分析】
据题意得出3tan3B，即可得出tanA，在Rt△ADE中，根据勾股定理可求得DE，即可得出∠1的正切值，再在Rt△CEF中，设EF＝x，即可求出x，从而得出CF＝3x的长．
【详解】
解：由题意得，3tan3B
∵MN∥AD，
∴∠A＝∠B，
∴tanA＝33，
∵DE⊥AD，
∴在Rt△ADE中，tanA＝DEAD，
∵DE＝3，
又∵DC＝0.5，
∴CE＝2.5，
∵CF⊥AB，
∴∠FCE+∠CEF＝90°，
∵DE⊥AD，
∴∠A+∠CEF＝90°，
∴∠A＝∠FCE，
∴tan∠FCE＝33．
在Rt△CEF中，设EF＝x，CF＝3x（x＞0），CE＝2.5，
代入得（52）2＝x2+3x2，
解得x＝1.25，
∴CF＝3x≈2.2， ∴该停车库限高约为2.2米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，坡面坡角问题和勾股定理，解题的关键是坡度等于坡角的正切值．
5．如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点，点F在边BC的延长线上，且CFAE，连接DE，DF，EF. FH平分EFB交BD于点H.
（1）求证：DEDF；
（2）求证：DHDF：
（3）过点H作HMEF⊥于点M，用等式表示线段AB，HM与EF之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）22EFABHM，证明详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据正方形性质， CFAE得到DEDF.
（2）由AEDCFD△△≌，得DEDF.由90ABC，BD平分ABC，
得45DBF.因为FH平分EFB，所以EFHBFH.由于45DHFDBFBFHBFH,45DFHDFEEFHEFH,
所以DHDF.
（3）过点H作HNBC于点N，由正方形ABCD性质，得222BDABADAB.由FH平分,EFBHMEFHNBC，，得HMHN.因为4590HBNHNB，，所以22sin45HNBHHNHM. 由22cos45DFEFDFDH，得22EFABHM.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴ADCD，90EADBCDADC.
∴90EADFCD.
∵CFAE。
∴AEDCFD△△≌.
∴ADECDF.
∴90EDFEDCCDFEDCADEADC.
∴DEDF.
（2）证明：∵AEDCFD△△≌，
∴DEDF.
∵90EDF，
∴45DEFDFE.
∵90ABC，BD平分ABC，
∴45DBF.
∵FH平分EFB，
∴EFHBFH.
∵45DHFDBFBFHBFH,
45DFHDFEEFHEFH,
∴DHFDFH.
∴DHDF.
（3）22EFABHM.
证明：过点H作HNBC于点N，如图，
∵正方形ABCD中，ABAD，90BAD，
∴222BDABADAB.
∵FH平分,EFBHMEFHNBC，，
∴HMHN.
