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初三培优 易错 难题锐角三角函数辅导专题训练及答案

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初三培优 易错 难题锐角三角函数辅导专题训练及答案

一、锐角三角函数

1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

【答案】6.4米

【解析】

解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°．

∴DC=BC•cos30°=36392米，

∵CF=1米，

∴DC=9+1=10米，

∴GE=10米，

∵∠AEG=45°，

∴AG=EG=10米，

在直角三角形BGF中，

BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米，

∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，

答：树高约为6.4米

首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高

2．如图，△ABC内接于⊙O，2,BCABAC，点D为»AC上的动点，且10cos10B.

(1)求AB的长度；

(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由.

(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BHCDDH.

【答案】(1) 10AB=；(2) 10ADAE；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB即可求得AB长；

（2）连接DG，则可得AG为⊙O的直径，继而可证明△DAG∽△FAE，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG，连接BG，求得AF=3，FG=13，继而即可求得AD•AE的值；

（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明△ADC≌△ADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AH⊥BN，即可证得BH=HD+CD.

【详解】（1)过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，

∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=12BC=1，

在RtΔAFB中，BF=1，∴AB=110cos1010BFB；

（2）连接DG，

∵AF⊥BC，BF=CF，∴AG为⊙O的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，

又∵∠DAG=∠FAE，∴△DAG∽△FAE，

∴AD：AF=AG：AE，

∴AD•AE=AF•AG，

连接BG，则∠ABG=90°，∵BF⊥AG，∴BF2=AF•FG，

∵AF=22ABBF=3，

∴FG=13，

∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×103=10；

（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，

∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，

∴∠ADC=∠ADN，

∵AD=AD，CD=ND，

∴△ADC≌△ADN，

∴AC=AN， ∵AB=AC，∴AB=AN，

∵AH⊥BN，

∴BH=HN=HD+CD.

【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.

3．如图，某无人机于空中A处探测到目标BD、的俯角分别是30、60,此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达'A处.

（1）求之间的距离

（2）求从无人机'A上看目标的俯角的正切值.

【答案】（1）120米；（2）235.

【解析】

【分析】

（1）解直角三角形即可得到结论；

（2）过'A作'AEBC交BC的延长线于E，连接'AD，于是得到'60AEAC，

'30CEAA3，在Rt△ABC中，求得DC=33AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论．

【详解】

解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，

在Rt△ABC中，AC=60m，

AB=sin30AC=6012=120（m）

（2）过'A作'AEBC交BC的延长线于E，连接'AD， 则'60AEAC， '30CEAA3，

在Rt△ABC中， AC=60m，∠ADC=60°，

DC=33AC=203

DE=503

tan∠A'AD= tan∠'ADC='AEDE=60503=235

答：从无人机'A上看目标D的俯角的正切值是235．

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.

4．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．

(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；

(2) 求证：∠ACF=90°；

(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.

图1 图2

【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析

（2）证明见解析

（3）=2π

【解析】

试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH

（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明

（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长

试题解析：（1）BE=FH．理由如下：

∵四边形ABCD是正方形 ∴∠B=90°，

∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°

又∵∠AEF=90° ∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°

∴∠HEF=∠BAE ∴ ∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF

∴△ABE≌△EHF（SAS）

∴BE=FH

(2)∵△ABE≌△EHF

∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"

∴CH=FH

∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°

∵AC是正方形对角线，∴ ∠ACD=45°

∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°

（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形

△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°

过E作EN⊥AC于点N

Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=

Rt△ENA中，EN =

又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）

∴∠EAC=30°

∴AE=

Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8

AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°

=2π·4·（90°÷360°）=2π

考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数

5．问题背景:

如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求.

（1）实践运用：

如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为

．

（2）知识拓展：

如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

【答案】解：（1）22．

（2）如图，在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′．

∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称．

过点B′作B′F⊥AB,垂足为F，交AD于E，连接BE．

则线段B′F的长即为所求 (点到直线的距离最短) ．

在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450, AB/="AB=" 10，

∴．

∴BE+EF的最小值为

【解析】

试题分析：（1）找点A或点B关于CD的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置，根据题意先求出∠C′AE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值：

如图作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于点P，此时PA+PB最小，且等于A．作直径AC′，连接C′E，

根据垂径定理得弧BD=弧DE．

∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°．∴∠AOE=90°．

∴∠C′AE=45°．

又AC为圆的直径，∴∠AEC′=90°．

∴∠C′=∠C′AE=45°．∴C′E=AE=AC′=22．

∴AP+BP的最小值是22．

（2）首先在斜边AC上截取AB′=AB，连接BB′，再过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连接BE，则线段B′F的长即为所求．

6．问题探究：

（一）新知学习：

圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）．

（二）问题解决：

已知⊙O的半径为2，AB，CD是⊙O的直径．P是上任意一点，过点P分别作AB，CD的垂线，垂足分别为N，M．

（1）若直径AB⊥CD，对于上任意一点P（不与B、C重合）（如图一），证明四边形PMON内接于圆，并求此圆直径的长；

（2）若直径AB⊥CD，在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程汇总，证明MN的长为定值，并求其定值；

（3）若直径AB与CD相交成120°角．

①当点P运动到的中点P1时（如图二），求MN的长；

②当点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中（如图三），证明MN的长为定值．

（4）试问当直径AB与CD相交成多少度角时，MN的长取最大值，并写出其最大值．

【答案】（1）证明见解析，直径OP=2；

（2）证明见解析，MN的长为定值，该定值为2；

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中考数学锐角三角函数(大题培优)含详细答案

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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，△ABC内接于⊙O，2,BCABAC，点D为AC上的动点，且10cos10B.

(1)求AB的长度；

(2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由.

(3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BHCDDH.

【答案】(1) 10AB；(2) 10ADAE；（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB即可求得AB长；

（2）连接DG，则可得AG为⊙O的直径，继而可证明△DAG∽△FAE，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG，连接BG，求得AF=3，FG=13，继而即可求得AD•AE的值；

（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明△ADC≌△ADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AH⊥BN，即可证得BH=HD+CD.

【详解】（1)过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，

∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF=12BC=1，

在RtΔAFB中，BF=1，∴AB=110cos1010BFB；

（2）连接DG，

∵AF⊥BC，BF=CF，∴AG为⊙O的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°，

又∵∠DAG=∠FAE，∴△DAG∽△FAE，

∴AD：AF=AG：AE，

∴AD•AE=AF•AG，

连接BG，则∠ABG=90°，∵BF⊥AG，∴BF2=AF•FG，

∵AF=22ABBF=3，

∴FG=13， ∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×103=10；

（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，

∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，

【中考冲刺】初三数学培优专题 12 三角函数(含答案)(难)

【中考冲刺】初三数学培优专题 12 三角函数(含答案)(难)

三角函数

阅读与思考

三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的重要体现，解三角函数相关问题时应注意以下两点：

1．理解同角三角函数间的关系．

（1）平方关系：1cossin22；

（2）商数关系：cossintan，sincoscot；

（3）倒数关系：1cottan．

2．善于解直角三角形．

从直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的过程叫作解直角三角形．解直角三角形，

关键是合理选用边角关系，它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的概念．许多几何计算问题都可归结为解直角三角形，常见的基本图形有：

例题与求解

【例1】在△ABC中，BC＝1992，AC＝1993，AB＝19931992，则CAcossin ．

（河北省竞赛试题）

解题思路：通过计算，寻找BC2，AC2，AB2之间的关系，判断三角形形状，看能否直接用三角函数的定义解题．

【例2】某片绿地形状如图所示，其中∠A＝600，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200m，CD＝100m．

求AD，BC的长．（精确到1m，732.13）

图2图1FEAEAABCDDCBDCB

解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破坏∠A，所以连结AC不行．延长AD和BC交于一点E（如图1），这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A；或过点D作矩形ABEF（如图2）来求解．

【例3】如图，已知正方形ABCD中，E为BC上一点．将正方形折叠起来，使点A和点E重合，折痕为MN．若31tanAEN，DC＋CE＝10．

（1）求△ANE的面积；

（2）求ENBsin的值．

解题思路：将31tanAEN与DC＋CE＝10结合起来，可求出相关线段的长，为解题铺平道路．

【例4】如图，客轮沿折线A—B—C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A—B—C上的某点E处．已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝900，客轮速度是货轮速度的2倍．

人教【数学】培优易错试卷锐角三角函数辅导专题训练及详细答案

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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．

【答案】553 4

【解析】

【分析】

如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．

【详解】

解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．

∵AM⊥CD，

∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，

∴四边形OQMP是矩形，

∴QM＝OP，

∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，

∴△COD是等边三角形，

∵OP⊥CD，

∴∠COP＝12∠COD＝30°，

∴QM＝OP＝OC•cos30°＝53（分米），

∵∠AOC＝∠QOP＝90°，

∴∠AOQ＝∠COP＝30°，

∴AQ＝12OA＝5（分米），

∴AM＝AQ＋MQ＝5＋53．

∵OB∥CD，

∴∠BOD＝∠ODC＝60° 在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），

在Rt△PKE中，EK＝22EFFK＝26（分米），

∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），

在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），

在Rt△FJE′中，E′J＝2263（2）＝26，

∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，

∴B′E′−BE＝4．

故答案为：5＋53，4．

【点睛】

济南市九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合经典习题(培优练)

济南市九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合经典习题(培优练)

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________

一、选择题

1．若菱形的边长为2cm，其中一内角为60°，则它的面积为（ ）

A．232cm B．23cm C．22cm D．223cm

2．如图，在矩形ABCD中，G是AB边上一点，连结GC，取线段CG上点E，使EDDC且90AED，AFCG于F，2AF，1FG，则EC的长（ ）

A．4 B．5 C．163 D．83

3．国家电网近来实施了新一轮农村电网改造升级工程，解决了农村供电“最后1公里”问题，电力公司在 改造时把某一输电线铁塔建在了一个坡度为1:0.75的山坡CD的平台BC上（如图），测得52.5,5AEDBC＝＝米，35CD米，19DE米，则铁塔AB的高度约为（ ）（参考数据：52.50.79,52.50.61,52.51.30sincostan）

A．7.6 米 B．27.5 米 C．30.5 米 D．58.5 米

4．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（ ）

A．5:1 B．4:1 C．3:1 D．2:1

5．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数2yx的图象上，第二象限的点B在反比例函数kyx的图象上，且OA⊥OB，tanA=2，则k的值为（ ）

A．4 B．8 C．-4 D．-8

6．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF=2AF；②tan∠CAD=22 ；③DF=DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF=52S△ABF ,其中正确的结论有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

7．如图，在矩形ABCD中，AB=3，做BD的垂直平分线E，F，分别与AD、BC交于点E、F，连接BE，DF，若EF=AE+FC，则边BC的长为（ ）

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